Pertemuan Pertama
P en u n j a n g A. DIFERENSI 1. Rumus-rumus diferensiasi dari fungsi aljabar Jika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.
(c) = 0, dimana c = konstanta (x) = 1 (u + v + … ) = (u) + (v) + … (c u) = c (u), dimana c = konstanta (u . v) = u (v) + v (u) (u.v.w) = uv (w) + uw (v) + vw (u) = c. = (u), dimana u ≠ 0, c = konstanta = (u) x = n xn-1 u = n un-1 u = –
2. Atutan rantai Jika y = f(u) adalah fungsi dari u yang dapat ddiferensialkan dan u = g(x) adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :
dy = dy . du dx du dx
3. Diferensiasi Implisit Suatu persamaan f(x, y) = 0 Untuk menentukan
digunakan
proses diferensiasi implisit, adapun langkah-
langkahnya : a. Pandang y sebagai fungsi dari x b. Diferensialkan persamaan yang diberikan terhadap x c. Selesaikan hubungan hasilnya untuk
Contoh Diberikan : xy + x 2 – 2 – 2 xy + y 2 – 5 – 5 = 0 Diferensialkan persamaan ini terhadap x, dengan memandang y sebagai fungsi dari x
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
1
Solusi
(xy) + (x2) - (2 yx) + (y2) - (5) = (0) x + y + 2x – 2x - 2y + 2y - 0 = 0 (x – 2x + 2y) = 2y – y – 2x (2y – x) = y – 2x = − −
= g (x,y) menurut gantilah
Apabila diperlukan derivative order yang lebih tinggi maka didiferensialkan lagi terhadap x, dan selanjutnya hubungan yang baru diperoleh. Contoh Dari contoh di atas : Kemudian
= − −
d dy = dy dx dx dx − = −
− −−− − = − − − − −− = − =…
4. Diferensiasi dari fungsi Trigonometri Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c. d. e. f.
(sin u) = cos u (u) (cos u) = - sin u (u) (tan u) = sec2 u (u) (cot u) = - cosec2 u (u) (sec u) = sec u tan u (u) (cosec u) = – cosec u cot u (u)
5. Diferensiasi dari invers fungsi Trigonometri Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c.
(arc sin u) = (u) √ − (arc cos u) = - (u) √ − (arc tan u) = (u) √ +
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
2
d. e. f.
(arc cot u) = - (u) √ + (arc sec u) = (u) √ − (arc cosec u) = – (u) √ −
6. Diferensiasi dari fungsi logaritma dan eksponensial Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c. d.
(alog u) = alog e (u), (a > 0, a ≠ 1) (au) = au ln a (u), (a > 0) (eu) = eu (u) (ln u) = (u)
7. Diferensiasi dari fungsi hiperbolik Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c. d. e. f.
(sinh u) = cosh u (u) (cosh u) = - sinh u (u) (tanh u) = - sech 2 u (u) (coth u) = - cosech 2 u (u) (sech u) = - sech u tanh u (u) (cosech u) = -cosech u coth u (u)
8. Diferensiasi dari invers fungsi hiperbolik Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka : a. b. c. d. e.
f.
(sinh-1 u) = (u) √ + (cosh-1 u) = (u), (u > 1) √ − (tanh-1 u) = (u), (u2 < 1) − (coth-1 u) = (u), (u2 > 1) − (sech-1 u) = − (u), (0 < u < 1) √ − (cosech-1 u) = − (u), (u ≠ 0) √ +
B. INTEGRASI
1. Rumus-rumus integrasi dasar A B
dxd fxdx=f x c u du = n1 1 u+ c,n ≠ 1 Lenovo G450 | Persamaan
O P
cosec u du = cotu c secutanu du = secu c
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
3
C D E F G H I J K L M N
u v dx = u dx v dx au dx = au dx, a adalah konstanta 1u du = ln|u| c a a du = lna c,a>0, ≠1 e du = e c sinu du = cosu c cosu du = sinu c tanu du = ln|secu| c cot u du = ln|sinu| c secu du = ln|secutanu| c cosec u du = ln|cosec u cotu| c sec u du = tanu c
Q R S T U V W X Y Z Aa Ab
cosec ucotu du = cosec u c √adu u =arcsin ua c √adu u =arcsin ua c u√udu a = 1a arcsec ua c … … … … … … … …
∫ u dv = uv ∫ v du ∫ u du
Ada dua aturan untuk menghitung integral , yaitu : a. Bagian yang dipilih sebagai dv harus siap dapat diintegralkan b. harus tidak lebih rumit daripada
∫ v du
2. Integral Trigonometri Untuk menemukan integral trigonometri digunakan aturan identitas fungsi trigonometri sebgai berikut : a. Sin2 x + cos 2 x = 1 b. 1 + tan2 x = sec 2 x c. 1 + cot2 = cosec2 x d. Sin x cos y = ½ [sin (x – y) + sin (x + y)] e. Sin x sin y = ½ [cos (x – y) – cos (x + y) f. Cos x cos y = ½ [cos (x – y) + cos (x + y)] g. 1 ± sin x = cos (½π – x) h. Cos(-x) =cos x i. Sin(-x) = -sin x Dengan menggunakan aturan identitas di atas dan rumus-rumus integral didepan, integral trigonometri dapat diselesaikan. 3. Integrasi fungsi pecahan rasional Suatu fungsi F(x) =
, dimana f(x) dan g(x) merupakan polynomial, dinamakan g
suatu pecahan rasional.
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
4
Jika derajat dari f(x) adalah lebih besar atau sama dengan derajat dari g(x), maka F(x) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu polinomial dan suatu fungsi pecahan rasional dimana derajat pembilangnya adalah lebih kecil daripada derajat penyebutnya. Dari sini, ∫F(x) dx baru dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus integrasi yang ada. Contoh
x3 =x x x 1 x 1 Maka : ∫ dx = ∫ x dx ∫ dx = x ln|x 1| c + +
Jika derajat dari f(x) adalah lebih kecil dari pada derajat g(x), maka ditinjau tentang keadaan faktor-faktor dari g(x). Ada 4 kemungkinan keadaan faktorfaktor tersebut : a) Faktor-faktor linier berbeda Jika ada n faktor linier dari g(x) yang berbeda, maka :
= A A … A + g + + konstanta koefisien.
untuk
ditentukan
dengan
dimana
A 1,
A 2,
menggunakan
…,
A n adalah
aturan
kesamaan
b) Jika ada n faktor linier dari g(x) yang sama, maka :
= A A … A + g + +
dimana A 1, A 2, …, A n adalah konstanta
untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien. c) Faktor kwadratik irreducible yang berbeda Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang berbeda, maka :
= A+ B A+ B … A+ B dimana g + + + + + +
A 1, A 2, …, A n, B1,
B2, …, B n adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien. d) Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang sama, maka :
= A+ B = A+ B … A+ B dimana A 1, A 2, …, A n, B1, B2, + + g + + + +
…, Bn adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien. Apabila faktor-faktor dari g(x) merupakan perpaduan diantara keempat kemungkinan di atas, maka cara yang dipakai untuk menguraikan
kedalam jumlahan seperti di atas adalah juga sama tergantung keadaan faktor-faktornya. 4. Integrasi fungsi irrasional Untuk mengintegralkan fungsi irrasional dapat melalui dua cara yaitu : Dibawa ke bentuk rumus-rumus integrasi yang ada
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
5
Menggunakan substitusi sedemikian sehingga merubah bentuk irrasional menjadi bentuk rasional a. Substitusi Trigonometri Jika integran (fungsi yang akan dicari integralnya)
Berbentuk Substitusi Didapatkan Substitusi Didapatkan
Berbentuk Substitusi Didapatkan
√ , a dan b adalah konstanta : = sin : √1 = a cos z, atau : = cos : √1 = a sin z : √ : = tan : √ 1 = a sec z : √ : = sec : √ 1 = a tan z :
Berbentuk Substitusi Didapatkan
b. Substitusi Alajabar Jika integran
√
Berbentuk Substitusi
: : ax + b = zn
Berbentuk Substitusi
: :c + bx + x2 = (z – x)2
Berbentuk
:
Substitusi
√
√ = : c + bx – x = z atau c + bx – x = z 2
2
2
2
5. Integrasi fungsi sin x dan cos x Dengan substitusi x = 2 arc tan z, didapatkan bahwa : sin x = dan dx =
, hubungan itu dapat digambarkan : +
, cos x = − + +
1 + z2 2z x 1 - z2
Setelah proses integrasi selesai, gunakan z = tan , untuk mengembalikan ke variabel semula.
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
6
6. Integrasi dari fungsi hiperbolik
sinh = cosh cos = cosh = sinh ℎ = lncosh coth = ln|sinhℎ| ℎ = tanh = coth
Lenovo G450 | Persamaan
… … … … … …
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
7
Pertemuan Kedua
Per samaan Dif er ensial Biasa A. ORDE (TINGKAT) DAN DEGREE (DERAJAT) Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk : F(x, y, y’, y”, …, y (n)) = 0 yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x, perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu y’, y”, …, y(n). Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n. Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat K Contoh.
4 =sinx; orde 3, derajat Satu 3 2xy = 6; orde tiga, derajat dua
1. x + 5y = 6; orde satu, derajat Satu 2. 3.
B. MENCARI PERSAMAAN DIFERENSIAL Langkah-langkah mencari persamaan diferensial : 1. Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada didalam persamaan garis lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya 2. Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara mengeliminasi semua konstanta sembarang itu Jika banyaknya konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dibutuhkan n + 1 persamaan. Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula dideferensialkan. 3. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dalam persamaan diferensial yang dicari C. CONTOH Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung : 1. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang 2. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang 3. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Solusi 1. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satu Persamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh Persamaan 2 : y =
= 4 Ce−
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
8
Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi :
=
4 y ee− sehingga = 4 y
Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :
dy 4y = 0 dx
2. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua. Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :
= 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 3 : = -9A sin 3x – 9B cos 3x Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa + 9y = 0 Persamaan 2 :
3. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C) Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tiga Persamaan 1 : y = x 3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :
= 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 3 : = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 4 : = 6 Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah = 6 Persamaan 2 :
D. TUGAS MANDIRI 1. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah konstanta sembarang 2. Carilah persamaan diferensial dari : a. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 ) b. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 ) c. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 2Ax 2By + c = 0) 3. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang : a. Y = A ex + B b. x = A sin (y + B) –
–
–
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
–
BIM ”
9
Pertemuan Ketiga, Keempat, dan Kelima
P. D. Biasa Or de Per tama Der ajat Per tama E. PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL-VARIABEL TERPISAH Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0 Penyelesaian Umum PD adalah : ∫f(x) dx + ∫g(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang Contoh. Selesaikan PD berikut : x 5 dx + (y + 2) 2 dy = 0 Solusi Karena variabel-variabelnya telah terpisah maka langsung diintegrasikan bagian demi bagian : ∫x5 dx + ∫(y + 2) 2 dy = 0
x6 + (y + 2)3 = k 3
x6 + 2(y + 2)3 = 6k atau x 6 + 2(y + 2) 3 = c, dimana c = 6k Penyelesaian umum PD itu adalah x6 + 2(y + 2)3 = c
∴
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : 9y
+ 4x = 0
F. REDUKSI KE VARIABEL-VARIABEL TERPISAH Bentuk PD : f 1 (x) g 1 (y) dx + f 2 (x) g 2 (y) dy = 0 Direduksi dengan faktor integral
, menjadi : dx + g dy = 0 g g
Karena telah berubah menjadi PD variabel-variabel terpisah maka penyelesaian umum PD adalah :
∫ dx ∫ gg dy = c, c adalah konstanta sembarang Contoh. Selesaikan PD berikut : (1 + 2y) dx + (x – 4) dy = 0 Solusi Faktor integrasi =
sehingga PD tersebut tereduksi menjadi : +−
1 12ydx x 4dy = 0 12yx4 + = 0 ⇔ − + + = (gunakan rumus integrasi B.E) ⇔ − + ⇔ ln |x – 4| + ½ ln |1 + 2y| = k ⇔ 2 ln |x – 4| + ln |1 + 2y| = 2k ⇔ ln (x – 4) + ln (1 + 2y) = ln, dimana c = e 2
2k
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
10
⇔ (x – 4) (1 + 2y) = c ∴ Penyelesaian umum PD adalah (x – 4) (1 + 2y) = c 2
2
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : a. xy dx + (1 + x2) dy = 0 b. (xy + x) dx + (xy y) dy = 0 c.
–
= −
G. PERSAMAAN HOMOGEN Suatu fungsi f(x, y) dikatakan homogen berderajat n jika f(λx, λy) = λn f(x, y) Pandang bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 Syarat PD di atas dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) adalah homogen dan berderajat sama. Langkah-langkah menentukan penyelesaian umum PD : 1. Gunakan transformasi : y = ux, dy = x du + u dx atau x = uy, dx = y du + u dy 2. PD homogen tereduksi ke PD variabel-variabel terpisah 3. Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel terpisah untuk mendapatkan solusi umum PD 4. Gantilah u =
,
jika menggunakan transformasi y = ux dan u =
,
jika
menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan kembali variabel semula. Contoh Selesaikan PD berikut : 2x dy – 2y dx = Solusi 2x dy – 2y dx =
4
4
4) dx – 2x dy = 0 Periksalah apakah homogen ? M(x, y) = (2y + x 4y ) M(λx,λy) = 2λy + λ x 4λ y = λ (2y + x 4y ) = λ. M(x, y) (2y +
N(x, y) = -2x N(λx, λy) = -2 λx = λ (-2x) = λN(x, y) Jadi PD di atas adalah PD homogen berderajat 1 Transformasi : y = ux, dy = u dx + x du Bentuk PD berubah menjadi :
2ux x 4ux dx 2xudxxdu = 0 ⇔ √ x 4ux dx -2x du = 0 ⇔ √ 1 4u dx -2x du = 0 2
2
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
11
PD tereduksi menjadi √ + ⇔ √ + (√ 1 4 2 ) = 0 ⇔ √ + =0 Dengan mengintegralkan, diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah = ⇔ ∫ ∫ + Dengan faktor integrasi :
(Gunakan rumus integrasi B.W)
⇔ ln |x| - ln (2u + √ 1 4) = k ⇔ ln (2u + √ 1 4) = ln c + ln |x|, dimana c = e ⇔ 2u + √ 1 4 = cx ⇔ √ 1 4 = cx – 2u ⇔ 1 + 4u = (cx -2u) ⇔ 1 + 4u = c x – 4cxu + 4u ⇔ 1 + 4cxu – c x = 0 Untuk mendapatkan solusi umum PD homogen, gantilah u dengan ⇔ 1 + 4cy – c x = 0 ∴ Penyelesaian umum PD homogen adalah : 1 + 4cy – c x = 0 k
2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : a. (x + 2y) dx + (2x + 3y) dy = 0 b. (y2 x2) dx + xy dy = 0 c. (x3 + y3) dx + 3xy2 dy = 0 d. (1 + 2e x/y) dx + 2e x/y (1 - )dy = 0 –
H. PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN M(x,y) DAN N(x,y) ADALAH LINIER TETAPI TIDAK HOMOGEN Bentuk PD : (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 Ada tiga kemungkinan yaitu : 1. λ
= = = Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD a. Karena = = = λ, maka gunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti bahwa ax + by + c = λu b. Bentuk PD menjadi : λu dx + u dy = 0 λ dx + dy = 0 c. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah d. Penyelesaian PD : λ∫ dx + ∫ dy = c λx + y = c, dimana c adalah konstanta sembarang
2.
=
≠
Langkah-langkah mendapatkan PD : a. Gunakan transformasi : px + qy = u, dy = b. Misalnya
= =
μ, maka ax + by = µu
c. Bentuk PD menjadi (µu + c) dx + (u + r) Lenovo G450 | Persamaan
− atau dx = −
− = 0, atau
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
12
(µu + c)
− +(u + r) dy = 0
d. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah e. Gantilah u = px + qy untuk mendapatkan kembali variabel semula dalam penyelesaian umum PD. 3.
≠
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD : a. Gunakan transformasi : ax + by + c = u a dx + b dy = du px + qy + r = v p dx + q dy = dv diperoleh :
→ → dudv qb q du b dv dx= a b = aqbp p q pa dudv a dv p du dy= a b = aqbp p q b. Bentuk PD menjadi : b dv v a dv p du = 0 uq duaqbp aqbp Karena aq – bp ≠ 0, maka : (qu – pv) du + (av – bu) dv = 0
Merupakan PD homogen c. Selesaikan PD homogen tersebut dengan langkah-langkah yang tertera dalam C d. Gantilah u dan v dengan transformasi semula untuk mendapatkan kembali variabel semula Contoh Selesaikan PD berikut : (2x – 5y + 2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0 Solusi Dari bentuk PD diperoleh bahwa :
= = = Transformasi : 10y – 4x – 4 = u, maka 2x – 5y + 2 = u. Bentuk PD berubah menjadi : u dx + u dy = 0 ⇔ dx + dy = 0 ⇔ ∫dx + ∫dy = k ⇔ x + y = k a = 2, b = -5, c = 2, p = -4, q = 10, r = -2, sehingga :
⇔ x - 2y = c, dimana (c = -2k) ∴ Penyelesaian umum PD adalah : x – 2y = c
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : a. (3x + 2y + 1) dx - (3x + 2y - 1) dy = 0 b.
= −− ++
c. (2x 5y + 3) dx (2x + 4y 6) dy = 0 d. (3y 7x + 7) dx + (7y 3x + 3) dy = 0 –
–
Lenovo G450 | Persamaan
–
–
–
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
13
I. BENTUK PD : y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0 Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD : 1. Gunakan transformasi : xy = z, y = , dy =
−
2. Bentuk PD itu tereduksi ke bentuk PD variabel-variabel terpisah 3. Selesaikan PD baru ini dan gantilah z = xy untuk mendapatkan kembali variabel semula Contoh Selesaikan PD berikut : (xy 2 + y) dx + (x 2y – x) dy = a Solusi Bentuk PD di atas dapat ditulis dalam bentuk PD y(xy + 1) dx + x(xy – 1) dy = 0 Transformasi z = xy y = , dy =
z
z−z
Bentuk PD tereduksi menjadi :
⇔ z (z + 1) dx + x (z – 1) z−z = 0 ⇔ (z2 + z – z2 + z) dx + x(z – 1) dz = 0 ⇔ 2z dx + x(z – 1) dz =0 Dengan faktor integrasi , PD tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah : z z− ⇔ dx + z dz = 0 ⇔ dx + 1 z dz = 0
Dengan mengintegralkan bagian demi bagian akan diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah 2 dx + ∫dz dz = k
⇔ ∫ ∫ ⇔ 2 ln|x| + z – ln |z| = k ⇔ ln = ln c e ⇔ x = z c e Gantilah z dengan yx untuk mendapatkan solusi umum PD semula ⇔ x = yxc e ⇔ y = cx e , dimana c = ∴ Penyelesaian umum PD adalah y = cx e 1
2
2
1
1
-z
-z
-xy
xy
xy
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : a. Y(1 + 2xy) dx + x(1 xy) dy = 0 b. (xy2 + y) dx + (x + x2 y + x3 y2) dy = 0 –
J. PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD eksak jika mempunyai penyelesaian umum f(x, y) = c.
=
Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x, y) 1. Perhatikan bahwa : = M(x, y) dan = N(x, y)
2. Integrasikan M(x, y) terhadap x dengan y tetap.
∂f dx=Mx,ydx ∂xF(x, y) =∫M(x, y) dx + ∅y Dimana ∅y adalah fungsi sembarang dari y saja Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
14
3. Fungsi f(x, y) dalam langkah ke 2, didiferensialkan parsial terhadap y diperoleh ;
∂f = ∂ [∫Mx,ydx] d∅ ∂y ∂y dy
4. Karena
= N(x, y) maka :
∅ =
Nx,y [∫Mx,ydx] dari sini ∅(y)
dapat diperoleh 5. (y) yang baru saja diperoleh disubstitusikan ke f(x, y) dalam langkah ke 2. Dengan deminkian f(x, y) = c diperoleh
∅
Catatan Dari langkah ke 2 dapat diintegrasikan N(x, y) terhadap y dengan x tetap. Langkah selanjutnya adalah sama, hanya peranan x diganti y (atau sebaliknya) Contoh Selesaikan PD berikut : (x 2 – y) dx – x dy = 0 Solusi M = (x2 – y),
= 1 N = -x, = 1 Karena = 1 = maka PD eksak F(x, y) = c = M maka f(x, y) = ∫ x (x2 – y) dx = 3 - yx + ∅(y) Karena 3
∅
Dimana (y) adalah fungsi sembarang dari y saja. [∫x berarti integral terhadap x dengan y tetap] Langkah selanjutnya, mencari (y), dengan cara mendeferensialkan parsial terhadap y dan diperoleh : - x + (y)
∅
∅ Karena = N, maka –x + ∅(y) = -x ⇔ ∅(y) = 0 ⇔3 ∅(y) = k (konstanta) Sehingga f(x, y) = - yx + k 3 =c ∴ Penyelesaian umum PD eksak ini adalah 3 3 - yx = c
Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : a. (x2 + y2) dx + 2 xy dy = 0 b. (2x + e y) dx + x e y dy = 0 c. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0 d. (x + y + 1) dx (y x + 3) dy = 0 e. (2x + 3y + 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0 –
–
K. REDUKSI KE PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi µ(x, y) sedemikian sehingga PD : µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y) dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
15
Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain : 1.
2.
− = f(x) suatu fungsi dari x saja, maka e∫f(x) dx adalah suatu faktor Jika
integrasi PD itu. − = - g(y) suatu fungsi dari g saja, maka Jika
e∫g(y)
dy adalah suatu
factor integrasi dari PD itu. 3. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD homogen dan xM + yN ≠ 0, maka adalah suatu faktor integrasi PD tersebut.
+
4. Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy) ≠ g(xy), maka adalah suatu faktor integrasi
−
PD itu. 5. Persamaan xp y q (my dx + nx dy) + x r ys (uy dx + vxd y) = 0 dimana p, q, r, s, m, n, u, v, adalah konstanta dan mv – nu ≠ 0 mempunyai fak tor integrasi berbentuk . 6. Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak. Misalnya
Kelompok bagian
Factor integrasi
1 1
(x dy – y dx) (x dy – y dx) Dan seterusnya
Diferensial eksak
= =
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD 1. Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau merupakan PD eksak pakailah langkah J. Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor integrasi yang cocok agar PD semula dapat tereduksi ke PD eksak 2. Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 – jenis 4, maka pakailah langkah J untuk menentukan penyelesaian umum PD 3. Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosedur tersendiri yaitu mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk mendapatkan harga dan Faktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah dan disubstitusikan pada akan mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah J 4. Apabila menggunakan faktor integrasi coba-coba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.
Contoh Selesaikan PD berikut : (2y – x3) dx + x dy = 0 Solusi M = 2y – x3 ,
= 2
= 1 Karena ≠ N = x,
maka merupakan PD tidak eksak
Selanjutnya mencari faktor integrasi yang dapat meredaksi PD tidak eksak menjadi PD eksak Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
16
− = −
= = f(x) maka factor integrasinya adalah ∫ dx = e e
ln|x| =
x
Selanjutnya PD semula tereduksi menjadi x[(2y – x3) dx + x dy] = 0 (2xy – x4) dx + x2 dy = 0 Dari persamaan ini, berarti bahwa : M = 2xy – x4,
⇔
= 2
= 2 Karena = , maka PD yang telah tereduksi ini merupakan PD eksak. N = x2,
Untuk mendapatkan solusi umum PD ini dapat digunakan langkah J F(x, y) = c Karena = M maka f(x, y) = ∫x (2xy – x4) dx
5
∅
= x2y - x5 + (y)
∅
Fungsi (y) dicari dengan mendeferensialkan parsil fungsi f(x, y) ini terhadap y
= ∅ ∅ = x2 Karena maka x2 + = ⇔ ∅ = 0 = k (konstanta) ⇔ ∅ Sehingga f(x, y) = x 2y - x5 + k 5
⇔ c
Solusi umum PD eksak ini adalah merupakan solusi umum PD semula yang direduksi ke PD eksak
∴ Penyelesaian umum PD semula adalah x y - 5x = c 2
5
L. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk PD : + y P(x) = Q(x)
Persamaan ini mempunyai factor integrasi e∫p(x) dx Penyelesaian umum PD ini adalah : y e∫ p(x) dx = ∫Q(x) e∫p(x) dx dx + c Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD : 1. Tentukan factor integrasi 2. Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum PD di atas. Contoh Selesaikan PD berikut :
+ y = 2 + 2x
Solusi Dari sini : P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x Factor integrasi e∫p(x) dx = e∫dx = ex Solusi umum PD linier orde satu ini adalah : Y . ex = ∫(2 + 2x) e x dx = 2∫ex dx + 2∫ xe x dx (gunakan rumus integrasi) = 2 ex + 2[xex - ∫ex dx] = 2 ex + 2 xe x – 2ex + c = 2x ex + c y = (2x ex + c) e -x Penyelesaian umum PD adalah : y = 2x + c e-x
∴
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
17
M. PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI N. TRAYEKTORI O. TUGAS MANDIRI Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung : 4. Y = C e-4x, C adalah konstanta sembarang 5. Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang 6. Y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Solusi 4. Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satu Persamaan 1 : y = C e-4x, turunkan terhadap x, diperoleh Persamaan 2 : y =
= 4 Ce− Dari persamaan 1, C = y e4x. Maka persamaan 2 menjadi : = 4 y ee− sehingga = 4 y Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :
dy 4y = 0 dx
5. Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua. Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 2 : = 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :
Persamaan 3 : = -9A sin 3x – 9B cos 3x Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa + 9y = 0
6. Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C) Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tiga Persamaan 1 : y = x 3 + Ax2 + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 2 : = 3x2 + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :
Persamaan 3 : = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh : Persamaan 4 : = 6 Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah = 6
P. TUGAS MANDIRI 4. Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah konstanta sembarang 5. Carilah persamaan diferensial dari : d. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 ) e. Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x c)2 + y2 = r2 ) f. Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x2 + y2 2Ax 2By + c = 0) 6. Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang : c. Y = A ex + B d. X = A sin (y + B) –
–
–
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
–
– “STKIP
BIM ”
18
Lenovo G450 | Persamaan
Diferensial Biasa
– “STKIP
BIM ”
19
