Nama
: Mukhtar
NPM
: 21601053002
Fak / Prody Prody : Teknik / Elektro Elektro
A. Persamaan diferensial homogen
Suatu fungsi fungsi f (x,y) dikatakan homogen homogen berderajat n, jika : f (dx (dx,, dy) dy) = d n f (x,y) PD : M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = 0 Dikatakan persamaan diferensial Homogen derajat n jika : M (x,y) dan N (x,y) adalah fungsi homogen yang berderajat sama. sama. Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial homogen kita lakukan transformasi transformasi : y = vx dan dy = v dx + x dv dengan transformasi transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam x dan v dengan variabel terpisah.
Contoh: 1. (x2+y2) dx + xy dx = 0 subtitusikan y = vx dan dy = v dx + x dv, sehingga diperoleh : ( x 2 (vx) 2 ) dx x(vx)(vdx xdv) 0 ( x 2 2 x 2 v 2 ) dx x 3vdv 0 x
2
(1 2v 2 )dx x 3vdv 0......
dx x
vdv (1 2v 2 )
ln x
1 4
0
PD. variabel terpisah
dx x
ln( 1 2v ) c ln x 2
1 4
vdv (1 2v 2 ) ln( 1 2
0
y 2 x 2
)c
B. Persamaan Diferensial Eksak
Bentuk umum : m (x,y) dx + n(x,y) dy = 0 Disebut PD Eksak Eksak bila dipenuhi
m y
n x
Cara menyelesaikan :
Dicari fungsi F(x,y) = C yang memenuhi persamaan diferensial tersebut, maka F
F y
dx
F x
F
dy 0
Maka
F(x,y) = m( x, y ).dx Q( y )
Turunkan terhadap y dan disamakan dengan n (x,y) diperoleh Q
x
m( x, y )dan.
y
n( x, y )
(y) Sehingga diperoleh penyeesaian F (x,y) = C.
Contoh : 1. Selesaikan persamaan diferensial berikut : (2xy - sin x) dx + x 2 dy = 0 Jawab : m= 2 xy – xy – sin sin x .n = x2
m y n x
2 x
2 x
Jadi merupakan PD Eksak.
Penyelesaian : sin x)dx Q( y ) F(x,y) = (2 xy sin
F(x,y) = x2 y + cos x + Q(y)
.
F
y
n( x, y ) x2
+ 0 + Q’(y) = x2 Q’(y) = 0 Q(y) = C
Jadi F(x,y) = x2 y + cos x = C
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut : (3+ y exy ) dx – dx – ( ( 3y – 3y – x x exy) dy = 0 Jawab : m= .(3+ y exy )
m
n = – = – ( ( 3y – 3y – x x exy)
y
xy
e
n x
xy
xye
xy
e
xy
xye
Jadi merupakan PD Eksak.
Penyelesaian : F(x,y) = {3 ye xy ) }dx Q( y ) F(x,y) = 3x + exy + Q(y) .
F
y
n( x, y ) 0+ x exy + Q’(y) = – ( ( 3y – 3y – x x exy)
Q’(y) = - 3y Q(y) = - 3/2 y 2 + C Jadi F(x,y) = 3x + exy – 3/2 3/2 y2 = C
C. Persamaan Diferensial Bernoulli
Bentuk Umum : dy dx
+P( x) y = Q( x) . yn
Cara Menyelesaikan :
Dibagi yn : 1 y
n
dy dx
+P( x) y1-n = Q( x)
Dimisalkan u = y1-n du = (1-n) y-n dy 1 du
1 n dx
1 dy y n dx
Persamaan diferensial akan menjadi: 1
du
1 n dx du dx
P ( x ).u Q( x)
(1 n) P ( x ).u (1 n)Q ( x) PD linier orde satu dalam u.
Penyelesaian umum : p ( x ) dx p ( x ) dx { q( x).e ue dx C }
Dimana p(x) = (1-n) P(x) .q(x) = (1-n) Q(x)
Contoh: 1. Selesaikan persamaan diferensial berikut : dy dx
+ y =(2- 3x.) y4
Jawab :
Dibagi y4 : 1 y
4
dy dx
+ y-3 = (2-3x)
Dimisalkan u = y-3 du = (-3) y-4 dy 1 du 3
dx
1 dy y 4 dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
du
1
3 dx du
dx
+ u = (2-3x)
3.u
3(2
3x) PD linier orde satu dalam u.
Penyelesaian umum : p ( x ) dx p ( x ) dx ue { q( x).e dx C }
u
3dx 3dx e { (6 9 x).e dx C }
u
e3 x { (6 9 x).e 3 x dx C }
u
1 y
3
e
3 x
{
(9 x 6)
e
3 x
3
e
3x
C }
(2 3 x) 1 Ce3 x 1
.y =
3
1 3 x Ce
3 x
///
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut : dy
2
+
dx
y = 3x.y3
x
Jawab :
Dibagi y3 : 1 y
3
dy dx
2
+ y2 = 3x x
Dimisalkan u = y-2 du = (-2) y-3 dy 1
2
du dx
1
dy
3
y dx
Persamaan diferensial akan menjadi:
du
1
2
+ u = 3x
2 dx du
x
4
dx
.u
x
6 x PD
linier orde satu dalam u.
Penyelesaian umum : p ( x ) dx p ( x ) dx ue { q( x).e dx C }
e
u
4
dx
x
4
{ (9 x).e
x dx
dx C }
u e 4 ln x { (9 x).e 4 ln x dx C }
x 4{ (9 x). x 4 dx C }
u
1 y
2
1 y
2
x
9 2
4
( 92 x 2 C )
x 2
Cx
4
y=
1 9 2
x
2
Cx
/// 4
