APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE
Disusun Oleh: Lindawati
(070823)
Tia An Anita
(070786)
FKIP Matematika 5B
UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA SERANG 2009
1
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE
Persamaaan Diferensial Legendre adalah persamaan diferensial orde ke dua.
(1 ) (1 ) Yang dapat ditulis;
(2 ) (2 ) Format di atas adalah suatu kasus khusus yang disebut " persamaan diferensial legendre yang dihubungkan" sesuai dengan kasus m=0. Persamaan diferensial Legendre Telah teratur poin Tunggal di persamaan diferensial Legendre mempunyai poin-poin bentuk tunggal reguler pada, -1, dan, 1, dan
.
Jika variabel digantikan oleh
, Maka persamaan diferensial Legendre menjadi; (3 ) (3 )
Diturunkan di bawah ini untuk kasust (
).
Karena Legendre adalah suatu persamaan diferensial orde kedua persamaan diferensial biasa, , itu memiliki memiliki dua solusi solusi independen independen linear. linear. Solusi Solusi A solution solution
yang biasa di
titik-titik yang terbatas disebut fungsi Legendre jenis pertama, sementara sementara solusi solusi yang singular singular adalah tunggal tunggal di
disebut disebut fungsi Legendre jenis kedua. Jikafungsi
legendre adalah bilangan bulat, fungsi jenis pertama polinom polinom tereduksi menjadi menjadi dikenal sebagai polinomial sebagai polinomial Legendre.
2
Persam Persamaan aan difere diferensi nsial al Legend Legendre re dapat dapat dipecah dipecahkan kan dengan dengan menggu menggunaka nakan n metode Frobenius dengan membuat serangkaian ekspansi dengan
.
(4 ) (4 ) (5 ) (5 ) (6 ) (6 ) Memasukkan, (7) (7) (8) (8) (9) (9) (10) (10) (11 ) (11 ) Maka setiap istilah harus lenyap dan; (12 ) (12 ) (13 ) (13 )
3
(14 ) (14 ) Oleh karena itu, (15 ) (15 ) (16 ) (16 ) (17 ) (17 ) (18 ) (18 ) (19 ) (19 ) Sehingga solusinya, (20 ) (20 ) Demikian pula, solusinya (21 ) (21 ) Jika suatu bilangan bulat, rangkaian kuasa-kuasa x dan rangkaian menurunkan menurunkan sekedar sekedar
menurunkan polynomial derajat tingkat dengan genap berbeda. Jika adalah suatu bilangan bulat aneh, rangkaian
polynomial polynomial derajat derajat tingkat tingkat dengan kuasa-kuasa kuasa-kuasa x yang lain dan
4
rangkaian
berbeda. Solusi yang umum untuk suatu bilangan bulat kemudian adalah yang
diberi oleh Legendre polynomials.
(22 ) (22 ) (23 ) (23 ) Di mana
dipilih sehingga menghasilkan normalisasi
dan
adalah
sebuah fungsi HIPERGEOMETRIS. Terkait persamaan diferensial Legendre; (24 ) (24 ) Yang dapat ditulis (25 ) (25 ) (Abramowitz dan Stegun 1972; Zwillinger 1997, hal 124). Solusi
untuk persamaan
ini disebu disebutt polino polinomia miall Legend Legendre re yang yang terkai terkaitt (jika (jika sebuah sebuah bilang bilangan an bulat) bulat),, atau atau yang yang terkait terkait fungsi Legendre jenis pertama (jika (jika bukan bilangan bulat). Solusi lengkapnya adalah; (26 ) (26 ) Di mana
adalah sebuah fungsi Legendre jenis kedua.
5
Persamaan diferensial Legendre Yang dihubungkan sering ditulis dalam suatu format yang diperoleh dengan pengaturan
. Isi identitas Yang mengisi identitas; (27 ) (27 ) (28 ) (28 ) (29 ) (29 ) (30 ) (30 )
ke (◇) kemudian memberikan (31 ) (31 ) (32 ) (32 ) Moon dan Spencer (1961, hal. 155) (33 ) (33 ) Fungsi gelombang Legendre (Zwillinger (Zwillinger 1997, hal 124).
6
FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA
erhubunga dengan fungsi Legendre Legendre jenis pertama pertama Berhubunga
adalah solusi solusi bagi persamaan bagi persamaan
diferensial Legendre yang teratur pada titik asal untuk
bilangan bulat dan
bilangan
real, real, fungsi fungsi Legend Legendre re jenis jenis pertam pertamaa diseder disederhana hanakan kan menjad menjadii polino polinom m yang yang disebut disebut poli polino nom m Legen Legendr dre. e. Yang Yang terk terkai aitt fung fungsi si Legen Legendr dree jeni jeniss pert pertam amaa dibe diberi rika kan n oleh oleh Mathematica perintah LegendreP [n, m, z], dan fungsi tidak terkait oleh LegendreP [n, z].
FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA
Solu Solusi si kedu keduaa
ke persamaan persamaan diferensial diferensial Legendre. Legendre. Fungsi Fungsi Legendr Legendre e yang yang kedua kedua
mencukupi mencukupi hubungan hubungan perulangan perulangan sebagai sebagai polynomials Legendre. Fungsi Legendre jenis
Kedua, implementasi dalam Matematika sebagai LegendreQ [ l , x ]. Yang pertama adalah
7
(1 ) (1 ) (2 ) (2 ) (3 ) (3 ) (4 ) (4 ) Yang Yang terk terkai aitt fung fungsi si Lege Legendr ndree jeni jeniss kedua kedua
solu solusi si kedu keduaa terk terkai aitt pers persam amaa aan n
diferensial Legendre, dan dilaksanakan di Mathematica sebagai LegendreQ [l, m, x] memiliki turunan dari 0. (5 ) (5 ) (Abramowitz dan Stegun 1972, hal 334). Turunan Logaritmanya adalah (6 ) (6 )
DEFINISI LAIN: Dari sumber lain diperoleh;
Persamaan diferensial yang Legendre adalah urutan kedua persamaan diferensial biasa (ODE) yang dapat ditulis sebagai:
8
atau yang dapat ditulis juga sebagai:
Di mana
adalah operator Legendre:
Kami Kami menggu menggunaka nakan n metode metode Froben Frobenius ius untuk untuk memecah memecahkan kan persam persamaan aan di wilaya wilayah h .Kita mulai dengan menetapkan parameter metode Frobenius p dalam nol.
,,
,,
.. Mengganti istilah-istilah ini ke dalam persamaan asli, diperoleh;
.. Jadi ,
9
Dan secara umum,
.. Rangkaian ini menyatu ketika
Oleh karena itu solusi rangkaian harus dipotong dengan memilih: .
POLINOMIAL LEGENDRE fungsi Legendr Legendree adalah persamaan diferensial diferensial Dalam matematika, fungsi adalah solusi solusi untuk untuk persamaan Legendre punya:
Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre. Ini persamaan diferensial biasa yang sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis lainnya. Secara khusus, hal itu terjadi ketika ketika menyel menyelesa esaika ikan n persa persamaa maan n Laplac Laplacee (dan (dan berhub berhubun unga gan n denga dengan n persamaan diferensial parsial) dalam koordinat bola. persam persamaan aan difere diferensi nsial al Legend Legendre re yang yang dapat dapat disele diselesai saikan kan menggun menggunakan akan standa standar r seri seri kekuatan metode. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = ± 1 , secara umum, serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x | <1. Jika n adalah bilangan bulat, solusi P solusi P n (x) yang teratur pada x pada x = 1 adalah juga teratur pada x pada x = -1, dan seri untuk solusi ini berakhir (yaitu adalah polinomial).
10
Solusi untuk n untuk n = 0, 1, 2, ... (Dengan normalisasi P normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom polinom urutan dari polinomial dari polinomial ortogonal disebut polinomial Legendre. Setiap Legendre polinom P polinom P n (x) adalah n derajat polinomial th. Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues 'rumus:
P n sering didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi: Taylor ekspansi:
.. Dalam fisika, fungsi pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipol Definisi Rekursif
Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi
.. untuk pertama dua polinomial Legendre. Untuk mendapatkan pengertian lebih lanjut langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1) dibedakan dengan terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan
.. Menggan Menggantik tikan an hasil hasil bagi bagi akar kuadrat kuadrat dengan dengan defini definisi si dalam dalam (1), (1), dan menyam menyamakan akan koefisien t kekuasaan dalam hasil ekspansi memberikan Bonnet's memberikan Bonnet's rekursi rumus
11
Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P polinomial P 0 dan P 1, memungkinkan polinomial Legendre dapat dihasilkan secara rekursif. The orthogonality properti (Sifat orthogonal)
Sifat penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan dengan produk dengan produk L 2 batin pada batin pada interval -1 ≤ x ≤ 1:
(di mana
mn
menunjukkan δ Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0
sebal sebalik ikny nya) a).. Bahka Bahkan, n, alte altern rnat atif if turu turuna nan n dari dari poli polinom nomia iall Legen Legendr dree adal adalah ah deng dengan an melaksanakan proses melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial (1, x, (1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan produk produk batin batin ini. ini. Alasan Alasan untuk untuk proper properti ti orthogo orthogonal nalit ity y ini adalah adalah bahwa bahwa persam persamaan aan diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturm-masalah, dan karenanya mereka eigenfunctions
Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika
Para Para polino polinomi mial al Legendr Legendree pertam pertamaa kali kali diperk diperkena enalkan lkan pada 1782 oleh oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian
dimana r dan r dan r 'adalah r 'adalah panjang dari vektor X dan X ‘masing-masing dan γ adalah sudut r '. Ekspresi memberikan potensial antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan
12
menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polino Polinomia miall Legendr Legendree terjad terjadii dalam dalam pemecah pemecahan an persamaan persamaan Laplace Laplace dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana
adalah sumbu simetri simetri dan θ adalah sudut antara antara posisi posisi pengamat pengamat dan
sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan
•
dan
. harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah .
•
Polinomial Legendre dalam perluasan multipole
Legendre Legendre Polinomial Polinomial juga bermanfaat bermanfaat dalam memperluas memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):
yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi contoh, potensi listrik Φ listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang z = terletak pada sumbu z sumbu z pada pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti
13
Jika jari-jar jari-jarii r dari titik pengamatan pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre
di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan r dari titik untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari pengamatan P adalah adalah lebih lebih kecil kecil daripada, potens potensii masih masih dapat dapat diperl diperluas uas dalam dalam r bertukar. Perluasan ini adalah polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. dasar dari interior multipole ekspansi.
14
