PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE n
A. Persamaan Linear Orde n Bentuk umum PD orde n :
Dapat diasumsikan fungsi-fungsi dan G adalah fungsi-fungsi kontinu bernilai real pada interval Pada persamaan ini
dalam interval ini.
dibagi
dengan sehingga diperoleh :
O pertator
persamaan diferensial linear L dengan orde n dalam persamaan
adalah sama operator orde dua yang telah dipelajari sebelumnya. Karena persamaan mempunyai n buah turunan datri y maka diperlukan n buah integrasi untuk memnyelesiakan
persamaan
dan setiap integralnya akan memuat sebuah konstanta sebarang. Ada sebuah solusi tunggal dari persamaan dengan n buah kondisi, yaitu :
dimana sebarang titik pada interval I dan adalah nilai-nilai konstanta. Maka akan terdapat sebuah solusi yang tunggal seperti teorema berikut ini :
Teorema 4.1.1. Jika
fungsi-fungsi
adalah kontinu pada interval terbuka I maka
terdapat tepat sebuah solusi dari persamaan diferensial
yang memenuhi kondisi awal
yang terdapat pada interval I.
Persamaan
1.
Diferensial Linear Orde n meliputi :
Persamaan
Homogen
Jika
fungsi-fungsi
adalah
solusi
persamaan
maka kombinasi linear , dimana adalah sebarang konstanta yang juga merupakan solusi
. Khususnya untuk , dan untuk sebarang , sehingga dapat
sebarang
menententukan merupakan persamaan :
, , . . .
Terpenuhi.
Persamaan
,
mempunyai
penyelesaian tunggal jika determinan dari koefisiannya tidak nol. Dilain pihak jika determinan dari koefisien sama dengan nol, maka sangat mungkin untuk memilih
nilai
sehingga
persamaan
tidak mempunyai sebuah solusi.
Oleh
karena itu syarat
cukup dan syarat perlu untuk keberadaan solusi persamaan
untuk sebarang nilai adalah workskian.
Tidak
sama dengan nol untuk . Karena sebarang titik pada I , maka perlu
dan cukup bahwa Terdapat
tidak nol pada setiap titik pada interval.
juga dalam persamaan linear orde dua, dapat ditunjuk bahwa jika
solusi-solusi
, maka
persamaan
adalah
nol untuk setiap
t
dalam interval I atau tidak nol.
Teorema 4.1.2. Jika
fungsi-fungsi dan g adalah kondisi pada interval I, jika funisi-
fungsi solusi dari persamaan
dan jika
untuk paling tidak
sebuah titik dalam interval I, maka setiap solusi persamaan
dapat
dinyatakan
sebagai
kombinasi linear dari solusi-solusi .
Himpunan
solusi-solusi
dari
persamaan
yang Wronskiannya tidak nol disebut sebagai fundamental dari solusi-solusi. Keberadan dari himpunan fundamental dari solusi-solusi dapat dinyatakan dengan cara yang sama seperti persamaan
orde
dua.
Karena
semua
solusi
persamaan
dalam
bentuk
, kita menggunakan pengertian solusi umum untuk menyatakan sebuah sebarang kombinasi linear dari sebarang himpunan fundamental solusi persamaan
.
2.
Persamaan
Tak Homogen
Persamaan tan homogen :
Jika
.
adalah sebarang solusi persamaan
merupakan solusi persamaan homogen
. Kerana setiap solusi dari persamaan homogen dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari himpunan fundamental dari solusi , maka sebarang solusi persamaan
dapat ditulis sebagai :
Dimana
adalah suatu solusi khusus dari persamaan tak homogen
.
Kombinasi
linear
disebut solusi umum persamaan tak homogen
B.
.
Persamaan Linear dengan Koefisien Konstan Persamaan diferensial linear orde n :
Dimana adalah konstanta real. Pada persamaan linear orde dua
merupakan solusi untuk suatu nilai r . Gantilah nilai y dengan , maka hasilnya :
, Untuk semua r dengan
Untuk nilai r dimana maka dan merupakan solusi persamaan
.
Polinomial
disebut polinimial karakteristik dan persamaan disebut persamaan
karakteristik
dari
persamaan
diferensial
. Sebuah polynomial berdarajat n mempunyai n akar, katakan beberapa mungkin sama sehingga bisa dinyatakan polynomial karakteristiknya adalah sebagai berikut :
1. Akar-akar Real dan Tak Sama Jika
akar-akar persamaan karakteristik adalah real tidak sama maka dipunyai n
solusi
berbeda
dari
persamaan
. Jika fungsi-fungsi ini bebas linear maka solusi umum persamaan
adalah :
2. Akar-akar Komplek Jika
akar-akar persamaan karakteristik mempunyai akar-akar komplek, maka
harus terjadi juga pada pasangan konju gatenya.
karena koefisien-
koefisien adalah bilanagn real. Solusi umum dari persamaan
masih
dalam
bentuk
. Akan tetapi seperti dalam persamaan linear orde dua bisa diganti solusi-solusi berniali komplek dan dengan solusi-solusi bernilai real.
Yang
diperoleh dari bagian real dan imajiner dari . Jadi meskipun
sebagian dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai komplek, masih memungkinkan untuk menyatakan solusi umum persamaan
sebagai kombinasi linear dari solusisolusi bernilai real.
3.
Akar-akar Berulang Jika
akar-akar persamaan karakteristik tidak berbeda, yakni mempunyai
beberapa akar yang berulang, maka persamaan
bukab
merupakan
solusi
umum
persamaan
. Jika adalah akar yang berulang untuk persamaan linear orde dua maka dua solusi yang bebas adalah
dan . Untuk sebuah persamaan orde n, jika sebuah akar
dari , katakan mempunyai s buah maka :
Adalah
solusi
yang
bersesuaian
dengan
persamaan
. Jika akar komplek berulang s kali, maka komplek konju gatenya
juga akan berulang s kali.
Oleh
karena itu dari 2s solusi komplek kita temukan 2s solusi bernilai real dengan catatan bagian real dan imajiner dari juga solusi yang bebas linear, yakni
C.
Metode Koefisien Tak Tentu Sebuah solusi
Y
dari persamaan linear tak homogeny orde ke n dengan
koefisien konstanta
