Makalah Fisika Komputasi |1
KOMPUTASI DISTRIBUSI TEMPERATUR PELAT LOGAM DALAM KEADAAN TUNAK DENGAN PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LAPLACE DUA DIMENSI METODE BEDA HINGGA MENGGUNAKAN MATLAB 7.9 Oleh:
Uswatun Chasanah NIM: 093224022 Jurusan Fisika, Fakultas MIPA Universitas Negeri Surabaya Abstrak
Telah dilakukan penelitian tentang komputasi distribusi temperatur pelat logam dalam keadaan tunak dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Laplace Dua Dimensi Metode Beda Hingga menggunakan menggunakan Matlab 7.9. Dengan tujuan mengetahui distribusi temperatur pada pelat logam berukuran 0,5 x 0,5 meter. Jika pada sebuah pelat logam terdapat gradient temperatur, maka akan terjadi perpindahan energi dari bagian bertemperatur tinggi ke bagian bertemperatur rendah (proses perambatan panas). Proses perhitungan perubahan panas tidak hanya dapat dilakukan melalui pengamatan langsung, tetapi dapat juga melalui perhitungan numerik. Bentuk model matematika perambatan panas adalah bentuk persamaan diferensial parsial. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial bentuk eliptik, para peneliti maupun praktisi saat ini banyak yang masih menggunakan metode beda hingga (Finite Difference Method). Ada kelemahan penggunaan metode beda hingga, yaitu diskritisasi domain yang akan dihitung perambatan panasnya hanya berbentuk segi empat. Sehingga untuk domain yang tidak berbentuk segi empat akan banyak menimbulkan error. Salah satu metode penyelesaian yang saat ini sedang dikembangkan adalah penggunaan metode elemen hingga (Finite Element Method). Semakin banyak jumlah elemen titik-titik domain atau mesh point semakin akurat hasil penyebaran temperatur.. Kata Kunci: Kunci: Persamaan Diferensial Parsial, Perambatan Panas, , Persamaan Laplace 2D,
Keadaan Tunak, Metode beda hingga hingga
Makalah Fisika Komputasi |2
BAB I PENDAHULUAN 1.1.
Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang ada saat ini memerlukan suatu solusi yang tepat dari permasalahan yang ada, terutama dalam bidang industri. Persoalan yang timbul adalah bagaimana membawanya ke dalam bentuk matematika sehingga nantinya dapat diselesaikan menggunakan metode matematika dengan memperhatikan syarat-syarat batasnya. Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai hal-hal yang berkaitan dengan perpindahan temperatur, terutama dalam bidang industri. Perpindahan temperatur atau heat transfer adalah ilmu yang meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan temperatur diantara benda atau material. Ilmu perpindahan temperatur tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi temperatur itu berpindah dari suatu benda ke benda lainya, tetapi juga dapat meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisikondisi tertentu. Salah satu masalah mendasar yang sering ditemui dalam kasus fisikanya adalah masalah syarat batas (boundary (boundary term). term). Syarat batas ini biasanya diperlukan untuk menyelesaikan kasus yang melibatkan persamaan diferensial orde 2, seperti pada fenomena elektromagnetik, gelombang mekanik, hidrodinamika, aliran temperatur, dan gravitasi dalam bentuk persamaan Poisson, Laplace dan Helmholtz. Di dalam matematika, persamaan Laplace adalah suatu persamaan diferensial parsial yang dinamai menurut penemunya, Pierre-Simon Laplace. Solusi persamaan Laplace sangat penting dalam bidang ilmu pengetahuan khususnya, bidang keelektromagnetan, ilmu perbintangan, dan dinamika alir. Persamaan Laplace menguraikan perilaku tentang elektris, gravitasi, dan aliran potensial. Solusi teori yang umum ke persamaan Laplace dikenal sebagai teori-potensial. Dalam tugas akhir semester ini, penulis ingin meneliti dan mencoba menyelesaikan “ Komputasi distribusi Temperatur Pelat Logam dalam dalam keadaan Tunak dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Laplace Dua Dimensi Metode Beda Hingga menggunakan menggunakan Matlab 7.9 ”.
Makalah Fisika Komputasi |3
1.2
Rumusan Masalah
Dari uraian Latar Belakang di atas maka masalah yang ingin diselesaikan adalah bagaimanakah menyelesaikan komputasi distribusi temperatur pelat logam dalam keadaan tunak dengan penyelesaian persamaan diferensial parsial laplace dua dimensi metode beda hingga menggunakan matlab 7.9?. 1.3
Tujuan Penulisan
Terdapat tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini. Tujuan tersebut adalah menyelesaikan Komputasi distribusi Temperatur Pelat Logam dalam keadaan Tunak dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Laplace Dua Dimensi Metode Beda Hingga menggunakan Matlab 7.9 dan mengetahui distribusi temperatur pada pelat logam. 1.4
Pembatasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah Sebuah plat logam persegi tipis yang keadaannya: 1. Kedua permukaan dilapisi dengan isolator temperatur 2. Sisi-sisi plat diberi temperatur dengan temperatur tertentu 3. Transfer temperatur hanya dimungkinkan pada arah x dan y 4. Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai ( steady-state condition) 1.5
Asumsi
Distribusi suhu pada pelat logam naik secara linear dari suhu rendah ke batas suhu paling tinggi.
Makalah Fisika Komputasi |4
BAB II DASAR TEORI
2.1 Hukum Dasar Thermodinamika
Termodinamika adalah cabang ilmu pengetahuan yang membahas hubungan antara panas dan bentuk-bentuk energi lainya. Termodinamika membahas sistem dalam keseimbangan. Ilmu ini dapat digunakan untuk meramalkan energi yang diperlukan untuk mengubah dari keadaan setimbang ke keadaan setimbang yang lain, tetapi tidak dapat meramalkan kecepatan perpindahan itu. Hukum pertama termodinamika, menyatakan bahwa energi tidak dapat diciptakan maupun dihilangkan tetapi hanya dapat diubah dari satu bentuk menjadi bentuk lainya. Sedangkan hukum kedua termodinamika menyatakan panas akan mengalir secara otomatik dari titik yang bertemperatur lebih tinggi ke titik yang bertemperatur lebih rendah. Semua proses perpindahan panas menyangkut perpindahan dan pengubahan energi. Karenanya proses proses itu harus mengikuti hukum 2 pertama maupun kedua termodinamika, tapi seperti yang kita ketahui bahwa ilmu termodinamika tidak dapat meramalkan laju perpindahan kalor. Ilmu tentang perpindahan panas memberikan metode untuk menyelesaikan masalah laju perpindahan kalor.
2.2 Perpindahan Panas
Dalam buku prinsip-prinsip perpindahan panas (Kreith.F,1994) disebutkan bahwa panas adalah suatu bentuk energi yang dipindahkan melalui batas system yang ada pada temperatur yang lebih tinggi ke system lain atau lingkungan yang mempunyai temperatur yang lebih rendah. Suatu benda tidak dapat memiliki panas, akan tetapi panas dapat dikenali pada saat melalui batas sistem. Sedangkan perpindahan panas adalah berlangsungnya perpindahan energi karena adanya perbedaan temperatur antara dua sistem yang bersinggungan, dimana arah perpindahannya dari daerah yang bertemperatur lebih rendah didalam suatu medium baik padat, cair maupun gas. Perpindahan panas mengenal tiga cara pemindahan yang berbeda yaitu: 1. Konduksi atau hantaran 2.
Konveksi
3. Radiasi atau Pancaran.
Makalah Fisika Komputasi |5
2.3 Kondisi Perpindahan Panas
Masalah Perpindahan Panas tidak hanya bergantung pada prosesnya tetapi juga bergantung pada kondisi proses berlangsungnya perpindahan panas tersebut. Umumnya kondisi berlangsungnya proses perpindahan panas ada dua macam yaitu : 1. Kondisi Steady (Tunak). 2. Kondisi Unsteady (Tidak tunak)
2.4 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial yang selanjutnya akan dipersingkat menjadi PDP adalah perubahan variabel tidak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Dalam sistem fisika biasananya perubahan terhadap ruang dan waktu. PDP dapat dibagi menjadi tiga jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik, parabolik dan hiperbolik. PDP eliptik dinyatakan sebagai berikut:
d 2 dx 2
( x, y)
d 2 dx 2
( x, y) f ( x, y ) ……………..(1)
Di bidang fisika, persamaan (1) dikenal sebagai Persamaan Poisson . Jika f(x, y)=0, maka diperoleh persamaan yang lebih sederhana sebagai berikut:
d 2 dx 2
( x, y)
d 2 dx 2
( x, y ) 0 ………………(2)
yang biasa disebut sebagai Persamaan Laplace. Contoh masalah PDP eliptik di bidang fisika adalah distribusi panas pada kondisi steady-state pada obyek 2-dimensi dan 3dimensi. Jenis PDP kedua adalah PDP parabolik yang dinyatakan sebagai berikut
d 2 dx 2
( x, t )
2
d 2 dx 2
( x, t ) 0 ………………(3)
Fenomena fisis yang bisa dijelaskan oleh persamaan ini adalah masalah aliran panas pada suatu obyek dalam fungsi waktu t dan difokuskan pada bagaimana cara menyatakan semua PDP di atas dalam formulasi beda hingga atau Finite-Difference.
2.4 Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Eliptik dengan metode Beda Hingga
Persamaan diferensial parsial tipe eliptik dapat diselesaikan dengan metode beda hingga skema eksplisit. Kondisi batas ditentukan sebelum diskritsasi dilakukan untuk memudahkan transformasi dari satu persamaan ke system persamaan linear dengan n bilangan anu.
Makalah Fisika Komputasi |6
Persamaan yang akan diuraikan adalah persamaan Laplace 2 Dimensi dengan bidang tinjauan ( 0 ≤ x ≤ 40 , 0 ≤ y ≤ 40 ).
d 2 dx
2
( x, y)
d 2 dx
2
( x, y ) 0 ………………(4)
Kondisi batas yang digunakan adalah : ᴪ(x,0)=0 ; ᴪ(x,40)=0 ; ᴪ(0,y)=0 ; ᴪ(40,y)=0 ; ᴪ(10,y)=1 ;
ᴪ(20,y)=1 ; ᴪ(30,y)=1
…..(5)
Mesh Point
Grid Lines
Gambar 1. Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite Difference Gambar diatas merupakan jaringan titik hitung persamaan Laplace, dan nilai ᴪ disekeliling lingkaran atau mesh point. Bentuk diskrit persamaan (4) diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga skema eksplisit sebagai berikut: m1, n
2 m,n m1,n x 2
m, n 1
2 m,n m,n1 y 2
0 ……..(6)
Jika diketahui Δx=Δy, maka persamaan (6) menjadi:
4 m,n m1,n m1,n m,n1 m,n 1 0
……..(7)
Bidang hitungan dibagi dalam bentuk grid dengan skala 10 (gambar 1), dengan memanfaatkan kondisi batas yang telah diketahui, akan ditentukan nilai ᴪ pada titik mesh point yang diberi tanda titik hitam. Dan penjabaran dari perhitungan 9 mesh point sebagai berikut: Koordinat (2,2):
4 2, 2 1, 2 3, 2 2,1 2,3 0
Makalah Fisika Komputasi |7
4 2, 2 3, 2 2,3 2,1 2,1 Koordinat (3,2):
4 3, 2 2, 2 4, 2 3,1 3,3 0 4 3, 2 2, 2 4, 2 3,3 3,1 Koordinat (4,2):
4 4, 2 3, 2 5, 2 4,1 4,3 0 4 4, 2 3, 2 4,3 5, 2 4,1 Koordinat (2,3):
4 2,3 1,3 3,3 2, 2 2, 4 0 4 2,3 3,3 2, 2 1,3 2, 4 Koordinat (3,3):
4 3,3 2,3 4,3 3, 2 3, 4 0 Koordinat (4,3):
4 4,3 3,3 5,3 4, 2 4, 4 0 4 4,3 3,3 4, 2 4, 4 5,3 Koordinat (2,4):
4 2, 4 1, 4 3, 4 2,3 2,5 0 4 2, 4 3, 4 2,3 1, 4 2,5 Koordinat (3,4):
4 3, 4 2, 4 4, 4 3,3 3,5 0 4 3, 4 2, 4 4, 4 3,3 3,5 Koordinat (4,4):
4 4, 4 3, 4 5, 4 4,3 4,5 0 4 4, 4 3, 4 4,3 5, 4 4,5 Penjabaran sistem persamaan diatas dapat dijabarkan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Makalah Fisika Komputasi |8
4 1 0 1 0 0 0 0 0
1
0
1
0
0
0
0
0 2, 2
4
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
4 0
0 1 0 1 0 1
0 0
1
0
1
1
0
1
0 0
1 0
0 1 1 0
4 0
0 4
0 1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
1
4
4
0 0 0 1 0 1 4
1, 2 2,1 3, 2 3,1 4, 2 5, 2 4,1 2, 4 2 ,3 1,3 3, 3 = 0 5, 3 4 , 3 2, 4 1, 4 2 ,3 3 , 4 3 , 5 4, 4 5, 4 4,5
……..(8)
Ruas kanan persamaan (8) merupakan kondisi batas nilai yang telah diketahui. Dengan menghitungkan kondisi batas, maka persamaan (8) menjadi:
4 1 0 1 0 0 0 0 0
1
0
1
0
0
0
0
0 2, 2
4
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
4 0
0 1 0 1 0 1
0 0
1
0
1
1
0
1
0 0
1 0
0 1 1 0
4 0
0 4
0 1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
1
4
4
0 0 0 1 0 1 4
0 3, 2 0 4, 2 0 1 2 ,3 3, 3 = 1 4 , 3 1 2, 4 0 0 3, 4 4, 4 0
.……(9)
Dari persamaan (9) solusi Persamaan Laplace 2 dimensi untuk menyelesaikan masalah perambatan panas pada pelat logam dalam keadaan steady state dapat diselesaikan dengan menentukan nilai vektor kolom menggunakan penyelesaian metode eliminasi gauss atau metode iterasi gauss-seidel.
2.4 M atlab 7.9
MATLAB singkatan dari Matrix Laboratory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh The Mathwork .Inc (http://www.mathworks.com). Bahasa pemrograman ini banyak digunakan untuk perhitungan numerik keteknikan, komputasi simbolik, visualisasi, grafis, analisis data matematis, statistika, simulasi, pemodelan, dan desain Graphical User Interface (GUI) (Gunaidi, 2006:5). Karakteristik MATLAB (Hartanto, 2003:3):
Bahasa pemrogramannya didasarkan pada matriks (baris dan kolom).
Makalah Fisika Komputasi |9
Lambat (dibandingkan dengan fortran atau C) karena bahasanya langsung diartikan. Sebagai contoh, tidak diperlukan pre-compiled. Menghindari kalang for (for loops). Setiap saat menggunakan bentuk-bentuk vektor.
Automatic memory management, misalnya kita tidak harus mendeklarasikan arrays terlebih dahulu.
Tersusun rapi (seperti pengaturan array di Fortran-90)
Memiliki waktu pengembangan program yang lebih cepat dibandingkan bahasa pemrograman tradisional seperti Fortran atau C.
Dapat diubah ke bahasa C lewat MATLAB Compiler untuk efesiansi yang lebih baik.
Tersedia banyak Toolbox untuk aplikasi-aplikasi khusus.
Bersama dengan Maple untuk komputasi-komputasi simbolik.
Dalam shared-memory parallel computers, seperti SGI Origin 2000, beberapa operasi secara otomatis dapat diproses bersama.
Gambar 2.Tampilan awal jendela Matlab 7.9
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 10
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Lokasi Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan November-Desember 2011. Dan penelitian ini dilaksanakan di Laboratorium Fisika Komputasi jurusan Fisika Universitas Negeri Surabaya.
3.2 Alat Penelitian
Alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah : 1. Seperangkat komputer personal tipe Core 2 Duo CPU 2.00 GHz, harddisk 320 Gigabyte, memori 1 Gigabyte RAM dan sistem operasi Microsoft Windows 7 Ultimate untuk membuat program dan penulisan laporan. 2. Perangkat lunak (software) Matlab versi 7.9 untuk membuat program. 3.3 Diagram dan Alur Penelitian START
Sistem persamaan linear dalam bentuk matrik tridiagonal
Penentuan panjang
Penentuan batas-batas
pelat logam
temperatur pelat logam
Perhitungan mesh point dengan metode beda hingga
Kondisi batas dan bidang hitung persamaan laplace 2D
Solusi persamaan linear
Nilai distribusi
dengan metode iterasi
temperatur pada
gauss-seidel
END
titik-titik yang
Gambar 3.Diagram alur perancangan program
Berdasarkan diagram di atas, secara umum aplikasi dibuat dengan langkahlangkah berikut :
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 11
Step I. Menentukan batasan panjang pelat logam yang akan dianalisis secara komputasi
Step II. Menetukan batas-batas temperatur pada pinggir pelat logam dalam keadaan steady state (tunak).
Step III Membuat Skema grid lines dan mesh points untuk menghitung titik jaringan distribusi temperatur pada pelat logam dengan metode PDP eliptik beda hingga.
Step IV Setelah diketahui bentuk persamaan matriksnya, diselesaikan dengan metode iterasi gauss-seidel untuk mengetahui nilai temperatur pada titik-titik yang dicari.
Step V Penyusunan algoritma dan program dalam bahasa pemrograman menggunakan Matlab 7.9
STEP VII Running Program
STEP VIII Analisis hasil
STEP IX Menarik kesimpulan dan menyusun laporan
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 12
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Permodelan Matematis dan Metode Beda Hingga
Skema grid lines dan mesh point untuk menghitung dengan metode pendekatan beda hingga sebagai berikut:
Gambar 4. Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference Dari skema diatas, dengan panjang pelat logam 0,5 x 0,5 meter ( 0 ≤ x ≤ 0,5 ; 0 ≤ y ≤ 0,5 ), kondisi syarat batas yang digunakan adalah: ᴪ(x,0)=0 ; ᴪ(x,0,5)=0 ; ᴪ(0,y)=0 ; ᴪ(0,5,y)=0 ; ᴪ(0,125,y)=1 ;
ᴪ(0,25,y)=1 ;
ᴪ(0,375,y)=1. Batas temperatur pada tepi pelat logam sebagai berikut:
Gambar 5. Skema batas temperatur pada tepi-tepi pelat logam Di titik-titik yang berada di batas domain (simbol bulat putih), berlaku syarat batas (boundary conditions) temperatur diketahui atau ditetapkan. BC semacam itu dikenal dengan nama Dirichlet boundary condition.
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 13
Metode
beda
hingga
untuk
mencari
nilai
pada
masing-masing
titik
menggunakan persamaan (6) dan persamaan (7), dan hasilnya sebagai berikut: Pada titik koordinat (1,1)
4 2, 2 1, 2 3, 2 2,1 2,3 0 4 2, 2 3, 2 2,3 2,1 2,1 Dan untuk koordinat lain pun dapat dituliskan persamaan beda hingga diskrit semacam diatas, persamaan untuk titik lain (terlampir). Penjabaran sistem persamaan diatas dapat dijabarkan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
4 1 0 1 0 0 0 0 0
1, 2 2,1 3,1 3, 2 4 , 2 5, 2 4,1 2, 4 2, 3 1,3 3,3 = 0 5,3 4 , 3 2 , 4 1, 4 2,3 3, 5 3, 4 4 , 4 5, 4 4,5
1
0
1
0
0
0
0
0 2 , 2
4
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
4 0
0 1 0 1 0 1
0 0
1
0
1
1
0
1
0 0
1 0
0 1 1 0
4 0
0 4
0 1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
1
4
4
0 0 0 1 0 1 4
……..(10)
Ruas kanan persamaan (10) merupakan kondisi batas nilai yang telah diketahui. Dengan menghitungkan kondisi batas, maka persamaan (10) menjadi:
4 1 0 1 0 0 0 0 0
1
0
1
0
0
0
0
0 2 , 2
4
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
4 0
0 1 0 1 0 1
0 0
1
0
1
1
0
1
0 0
1 0
0 1 1 0
4 0
0 4
0 1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
0
0
1
0
1
Dari
4
4
persamaan
(11)
solusi
0 0 0 1 0 1 4
0 75 0 3, 2 4 , 2 50 0 0 75 2, 3 3,3 = 0 4, 3 50 2 , 4 75 100 100 3, 4 4 , 4 50 100
Persamaan
Laplace
2
.……(11)
dimensi
untuk
menyelesaikan masalah perambatan panas pada pelat logam dalam keadaan steady state dapat diselesaikan dengan menentukan nilai vektor kolom menggunakan penyelesaian metode eliminasi gauss atau iterasi gauss-seidel.
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 14
Tabel berikut memperlihatkan hasil pemrosesan dengan metode iterasi GaussSeidel Proses/Titik ke-
iterasi Gauss-Seidel
2, 2
42.8569
3, 2
33.2587
4, 2
33.9285
2,3
63.1694
3,3
56.2498
4,3
52.4552
2 , 4
78.5713
3, 4
76.1160
4, 4
69.6428
Pada tabel diatas merupakan solusi yang dihasilkan oleh metode beda hingga ( Finite-Difference). Jika diamati dengan teliti, angka angka distribusi temperatur pada 9 buah domain (mesh points) memang logis dan masuk akal. Dalam kondisi riil, mungkin kondisi seperti ini hanya bisa terjadi bila pelat logam tersebut terbuat dari bahan yang homogen. Sehingga distribusi temperatur pada pelat logam yang dalam perhitungan secara numerik diwakili titik-titik domain atau mesh point dapat digambarkan dalam skema berikut:
Gambar 6. Distribusi temperatur pada pelat logam
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 15
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa: a. Telah dapat dibuat sebuah program komputasi perhitungan distribusi panas pada pelat
logam dalam keadaan tunak dengan Persamaan Laplace dua dimensi dengan penyelesaian
Persamaan
Diferensial
Parsial
(PDP)
Metode
Beda
Hingga
menggunakan Matlab 7.9 b. Semakin banyak jumlah elemen titik-titik domain atau mesh point semakin akurat
hasil penyebaran temperatur. c. Panas menyebar dari titik yang temperaturnya lebih tinggi menuju ke titik yang
temperaturnya lebih rendah.
5.2 Saran
Dari hasil analisis penelitian komputasi distribusi temperatur pelat logam dalam keadaan tunak dengan penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Laplace Dua Dimensi Metode Beda Hingga menggunakan Matlab 7.9 ini, terdapat bebrapa kekurangan dan terdapat bebrapa hal yang dapat disarankan bahwa jika sistem persamaan linear yang diperoleh dari metode beda hingga ( Finite Difference) berorde 100 atau kurang dari itu, maka lebih baik memilih metode Eliminasi Gauss sebagai langkah penyelesaian akhir. Alasannya karena, direct method seperti eliminasi Gauss, lebih stabil dibandingkan metode iterasi. Tetapi jika orde-nya lebih dari 100, disarankan memilih metode iterasi seperti iterasi Gauss-Seidel, atau menggunakan metode SOR (Successive Over Relaxation) yang terbukti lebih efisien dibanding Gauss-Seidel. Jika matrik A bersifat positive definite, metode Court Factorization adalah pilihan yang paling tepat karena metode ini sangat efisien sehingga bisa menghemat memori komputer.
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 16
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Aminudin, Jamrud, 2008, Dasar-dasar Fisika Komputasi Menggunakan MATLAB, Bandung: Gava Media.
[2]
Boas, Mary L, 1983, Mathematical Methods in the Physical Sciences, Edisi ke-2, John Wiley and Sons, New York.
[3]
http://supriyanto.fisika.ui.ac.id/laci04/komputasi_matlab_3.pdf
[4] http://istiarto.staff.ugm.ac.id/docs/matek/MT%20Persamaan%20Diferensial% 20Parsial.pdf [5] http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Supardi,%20S.Si.,%20M.Si. /PDP%20JADI.pdf [6]
http://www.unsri.ac.id/upload/arsip/persamaan%20differensial%20parsial.pdf
[7]
http://eprints.ums.ac.id/1397/1/8._RITA_P_new.pdf
[8]
http://wiki.verkata.com/id/wiki/Persamaan_diferensial
[9] http://www.opi.lipi.go.id/utama.cgi?bacaforum&teknis&1256550021&&&10 83714576 [10]
Krane, Kenneth S, 1992, Fisika Modern, Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta
[11]
Suarga, M.Sc dan Math., M. Ph.D, 2007, Fisika Komputasi Solusi Problema Fisika dengan MATLAB, Yogyakarta: ANDI Yogyakarta.
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 17
Lampiran I
Penjabaran dari perhitungan 9 mesh point Koordinat (2,2):
4 2, 2 1, 2 3, 2 2,1 2,3 0 4 2, 2 3, 2 2,3 75 0 Koordinat (3,2):
4 3, 2 2, 2 4, 2 3,1 3,3 0
4 3, 2 2, 2 4, 2 3,3 0 Koordinat (4,2):
4 4, 2 3, 2 5, 2 4,1 4,3 0 4 4, 2 3, 2 4,3 50 0 Koordinat (2,3):
4 2,3 1,3 3,3 2, 2 2, 4 0 4 2,3 3,3 2, 2 75 0 Koordinat (3,3):
4 3,3 2,3 4,3 3, 2 3, 4 0 Koordinat (4,3):
4 4,3 3,3 5,3 4, 2 4, 4 0 4 4,3 3,3 4, 2 4, 4 50 Koordinat (2,4):
4 2, 4 1, 4 3, 4 2,3 2,5 0 4 2, 4 3, 4 2,3 75 100 Koordinat (3,4):
4 3, 4 2, 4 4, 4 3,3 3,5 0 4 3, 4 2, 4 4, 4 3,3 100 Koordinat (4,4):
4 4, 4 3, 4 5, 4 4,3 4,5 0 4 4, 4 3, 4 4,3 50 100
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 18
Lampiran II FLOWCHART ITERASI GAUSS-SEIDEL PERSAMAAN LAPLACE 2-D
START
masukkan matriks ukuran MxN [9x9] dan matriks B [1x9], batas iterasi, dan toleransi error (sc)
For I= 1 to iterasi max (100)
JUMLAH = 0
For J= 2 to n
xb=xl xb(n,1)=(smtr4+b(n,1))/A(n,n) s=s+(xb(i,1)-xl(i,1))^2
.
NEXT J Tidak Ya
if epsilon
NEXT J
Cetak Hasil penyelesaian=Xb
Cetak Hasil penyelesaian tidak ditemukan dalam 100 iterasi, hasil hitung Xb[1],Xb[2],…Xb[n]
END
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 19
Lampiran I I I Scri pt Progr am
Script Perhitungan metode Iterasi Gauss-Seidel clear all clc % Integrasi numerik soal UTS no.3 SOLUSI PERSAMAAN LAPLACE 2D %By Uswatun Chasanah-093224022-FISIKA REG'09 disp('*****Its Me USWATUN CHASANAH dan ini ProgramKu*****' ) disp('$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$' ) disp('++ ++') disp('++ MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN LAPLACE 2D ++' ) disp('++===============================================++' ) disp('$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$' ) disp(' ') n=9; A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0; -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0; 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0; -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0; 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0; 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1; 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0; 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4]; b=[75; 0; 50; 75; 0; 50; 175; 100; 150]; %&&&&&&& ITERASI GAUSS-SEIDEL &&&&&&&&&&&&&&&&&& itermax=100; %iterasi maksimum %----nilai awal----------xl=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]; xb=xl; %----stopping criteria----------sc=0.001; %----memulai iterasi------------for iterasi=1:itermax smtr1=0; for j=2:n smtr1=smtr1+A(1,j)*xl(j,1); end xb(1,1)=(-smtr1+b(1,1))/A(1,1); %---------------------------------------------for i=2:n-1 smtr2=0; for j=i+1:n smtr2=smtr2-A(i,j)*xl(j,1); end smtr3=0; for k=1:i-1 smtr3=smtr3-A(i,k)*xb(k,1); end xb(i,1)=(smtr3+smtr2+b(i,1))/A(i,i); end %---------------------------------------------smtr4=0; for k=1:n-1 smtr4=smtr4-A(n,k)*xb(k,1); end
M a k a l a h F i s i k a K o m p u t a s i | 20 xb(n,1)=(smtr4+b(n,1))/A(n,n); %------perhitungan norm2 ------------s=0; for i=1:n s=s+(xb(i,1)-xl(i,1))^2; end epsilon=sqrt(s); %------------------------------------xl=xb; %------memeriksa stopping criteria-------if epsilon
