D I S U S U N
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017 DIFERENSIAL PARSIAL SERTA APLIKASINYA DALAM FISIKA A. Pengertian Persamaan Diferensial Parsial
Misalkan kita memiliki sebuah fungsi A(x), dimana A merupakan sebuah besaran turunan yang merupakan fungsi dari besaran pokok x.Laju perubahan A terhadap x didefenisikan sebagai : A x
A( x x) A( x) x
Differensial dari fungsi A(x) terhadap x adalah : A' ( x)
dA( x )
dx
Lazimnya perhitungan laju perubahan A terhadap x dilakukan di titik x dengan ∆x →0 jika limitnya ada, maka; A'
dA dx
A
lim x x 0
Lambang lain f x
x f
f x
D x f
Turunan parsial dengan orde lebih tinggi berlaku :
f 2 f x x x 2
,
f 2 f y x y x
2 f 3 f y x 2 y x 2
,
Contoh: 1. Misalkan
f x 2
3
2 xy
y2
Maka
Penyelesaian :
f ( x 2 2 xy 3 y 2 ) 2 x 2 y 3 x x
f
,
2
f
,
3
f
2
x y x y x
2 f f (2 x 2 y 3 ) 6 y 2 y x y x y
3 f 2 f (6 y 2 ) 12 y y y 2 x y y x
Jadi, persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan parsial dengan dua atau lebih variabel bebas.
B. Aplikasi Persamaan Diferensial Parsial dalam Fisika 1. Perubahan Variabel
Fenomena-fenomena di fisika harus digambarkan melalui persamaan diferensial. Jika fenomena tersebut berbentuk variable maka persamaan diferensial yang terkait adalah persamaan diferensial parsial. Berikut ccontoh persamaan gelombang : 2
2
x
2
1 v
2
t
2
Dengan menyatakan fungsi gelombang dan
v
menyatakan laju perambatan gelombang.
Persamaan gelombang dapat menggambarkan perambatan dua gelombang yang saling berlawanan arah, untuk menggambarkannya digunakan variable baru, yaitu : r x vt s x vt
Misalkan
( r , s ) dengan
r
r ( x, t )
d
dr
dr
r
s x
Dari diferensial total diperoleh :
r
s ( x, t ) .
ds
s
dx
x
ds
s
dan
dx
r
dt
t x t
dt
diferensial total , r dan
s
adalah :
r s r s dx dt r x s x r t s t
d
Yang sekarang merupakan diferensial total terhadap x dan t, sehingga diperoleh :
r
x
s
r x
r
x
s x
s
r t
s t
Berdasarkan persamaan variable baru maka diperoleh : r x
1
r
,
t
v,
s x
1,
s
v
t
Sehingga persamaan duferensial total terhadap x dan t memiliki bentuk :
x r s v t r s Akan berguna jika menyatakan operator kedua persamaan tersebut sebagai berikut : x
r
s
v t r t Untuk mencari turunan kedua dari fungsi
terhadap x dan t dapat menggunakan penulisan
operator pada persamaan diatas sebagai berikut :
2 2 2 2 2 x2 x x r s r s r 2 r s s 2 2 2 2 2 2 2 2 v v 2 2 r s r s r s t 2 t t s r
Subtitusikan persamaan diatas ke persamaan gelombang, maka bentuk persamaan diferensial untuk gelombang dalam variable r dan s adalah :
2 0 r s Persamaan gelombang diatas lebih sederhana dari persamaan gelombang diawal. Pemecahan persamaan diatas dapat ditulis sebagai :
x vt x vt
Dengan menggambarkan
r
s
gelombang
yang
merambat
ke
arah x
negative
dan
menggambarkan gelombang ke arah x positif.
2. Hubungan Maxwell dalam Termodinamika Hukum Pertama Termodinamika
“Jika pada sebuah sistem yang berinteraksi secara termal dengan lingkungan melakukan usaha terhadap lingkungan sebesar dW, maka sistem tersebut akan mengalami pertambahan energi dalam dU, dan menerima atau melepas kalor sebanyak dQ, menurut hubungan d Q dU d W d Q Menyatakan sejumlah kecil kalor yang keluar/masuk system,dU untuk menyatakan selisih infinitesimal energy dalam sistem, dand W menyatakan sejumlah kecil kerja yang diterima sistem. Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melalui pers. keadaan F(P, V, T) = 0 Gas ideal : PV = nRT dan umumnya U (T, V), sedangkan δW = P dV
Hukum Kedua Termodinamika
“Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), k alor δQ = TdS, dengan S adalah entropi“ Hukum pertama termodinamika : T dS = dU + P dV, atau
dU = - TdS + P dV
Tampak bahwa U = U(S, V)
U T S
U U dS dV S V
dU
U P S V S
U P V
U U V S S V
T
V
P
Relasi Maxwell besaran-besaran termodinamika
S
Dengan cara yang sama, tunjukkan relasi Maxwell berikut: T
P
V S
S V
P T
S ;
P
V T
Contoh:
Tinjau pers. Gas ideal PV = nRT, dengan P,V, dan T berturut-turut adalah tekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan R suatu tetapan fisika, yaitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akan menganggap n tetap. Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh:
P
nRT
V
P
T
P
nR V
dan
nRT
V
V
Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh:
V
nRT
P
V T
nR
V
P
P
Sehingga nRT P T V nR P nRT 1 PV T V P V nR P 2
nRT 2
P
2
