Persamaan Lagrange Dan Hamilton

Mekanika Lagrangia n

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Persamaan Persamaan Lagrange dan dan Hamilton Hamilton

Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda.Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui.Namun dalam keba kebany nyak akan an kasu kasus, s, pers persoa oala lan n yang yang diha dihada dapi pi terk terkad adan ang g tida tidak k muda mudah h diselesa diselesaikan ikan dengan dengan menggunakan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan persyaratan awal yang yang dibe diberi rika kan. n. Seba Sebaga gaii cont contoh oh,, bend bendaa yang yang berg berger erak ak pada pada sebu sebuah ah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun maupun koordina koordinatt lainnya lainnya sudah sudah tidak tidak efekti efektiff lagi lagi diguna digunakan kan,, sekali sekalipun pun bentuk persamaan gayanya diketahui. Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efekti efektiff diguna digunakan kan dalam dalam mencar mencarii persam persamaan aan gerak gerak sistem sistem yang yang pertam pertamaa dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan kecepatan sebagai sebagai koordinat koordinat rampatan rampatan yang menghasilka menghasilkan n persamaan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digun digunak akan an untuk untuk koor koordi dina natt rampa rampata tan n yang yang meng mengha hasi silk lkan an pers persam amaa aan n diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.

A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posi Posisi si sebu sebuah ah part partike ikell dala dalam m l ruan ruang g dapa dapatt dinya dinyata taka kan n denga dengan n meng menggu guna naka kan n tiga tiga jeni jeniss koor koordi dina nat; t;da dapa patt beru berupa pa koord koordin inat at Kart Kartes esia ian, n, koordinat koordinat bola atau koordinat koordinat silinder. silinder. Jika partikel partikel bergerak bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja. Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara 2

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Persamaan Persamaan Lagrange dan dan Hamilton Hamilton

Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda.Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui.Namun dalam keba kebany nyak akan an kasu kasus, s, pers persoa oala lan n yang yang diha dihada dapi pi terk terkad adan ang g tida tidak k muda mudah h diselesa diselesaikan ikan dengan dengan menggunakan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan persyaratan awal yang yang dibe diberi rika kan. n. Seba Sebaga gaii cont contoh oh,, bend bendaa yang yang berg berger erak ak pada pada sebu sebuah ah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun maupun koordina koordinatt lainnya lainnya sudah sudah tidak tidak efekti efektiff lagi lagi diguna digunakan kan,, sekali sekalipun pun bentuk persamaan gayanya diketahui. Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efekti efektiff diguna digunakan kan dalam dalam mencar mencarii persam persamaan aan gerak gerak sistem sistem yang yang pertam pertamaa dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan kecepatan sebagai sebagai koordinat koordinat rampatan rampatan yang menghasilka menghasilkan n persamaan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digun digunak akan an untuk untuk koor koordi dina natt rampa rampata tan n yang yang meng mengha hasi silk lkan an pers persam amaa aan n diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.

A. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

Posi Posisi si sebu sebuah ah part partike ikell dala dalam m l ruan ruang g dapa dapatt dinya dinyata taka kan n denga dengan n meng menggu guna naka kan n tiga tiga jeni jeniss koor koordi dina nat; t;da dapa patt beru berupa pa koord koordin inat at Kart Kartes esia ian, n, koordinat koordinat bola atau koordinat koordinat silinder. silinder. Jika partikel partikel bergerak bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja. Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara 2

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi

umum umum,, terd terdap apat at n juml jumlah ah mini minimu mum m koord koordin inat at yang yang dipe diperl rluka ukan n untuk untuk menyatakan menyatakan konfigurasi konfigurasi sistem. sistem. Koordinat-ko Koordinat-koordina ordinatt tersebut tersebut dinyatakan dinyatakan dengan q1, q2, …..qn (1) yang disebut disebut dengan dengan koordinat koordinat rampatan rampatan (generaliz (generalized ed coordinate coordinates). s). Istilah Istilah rampat diambil rampat diambil dari kata merampat dan merampat dan papan papan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem sistem terse tersebut but dinama dinamakan kan holono holonomic mic.. Jumlah Jumlah koordina koordinatt n dalam dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut. tersebut. Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholo nonholonom nomic ic adalah adalah sebua sebuah h bola bola yang yang dibata dibatasi si melunc meluncur ur pada pada sebuah sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koor koordin dinat at untu untuk k meny menyat atak akan an perp perput utar aran anny nya. a. Dala Dalam m hal hal ini, ini, koor koordi dina nattkoordina koordinatt terseb tersebut ut tidak tidak dapat dapat beruba berubah h semua semuanya nya secara secara bebas. bebas. Jika Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri diri pada sistem holonomic. Untuk Untuk partik partikel el tungga tunggal, l, fungsi fungsi koordin koordinat at rampat rampatan an lebih lebih mudah mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius: x = x(q) (satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva). x = x(q1,q2) (dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan). x = x(q1,q2,q3) y = y(q1,q2,q3) z = z(q1,q2,q3) (tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang) Misalk Misalkan an q beruba berubah h dari dari harga harga awal awal (q1,q2, ….) menuju harga (q1+δq1,q2+δq1 ..). Perubahan Perubahan koordinat koordinat Kartesius Kartesius yang bersesuaia bersesuaian n adalah : 3


δx =

∂x ∂x δq1 + δq 2 + ..... ∂q 1 ∂q 2

(2)

δy =

∂y ∂y δq1 + δq + ..... ∂q1 ∂q 2 2

(3)

δz =

∂z ∂z δq1 + δq + ..... ∂q1 ∂q 2 2

(4)

Turunan parsial ∂x/∂q1 dan seterusnya seterusnya adalah adalah fungsi dari q. Sebagai Sebagai contoh, misalk misalkan an sebua sebuah h partik partikel el bergera bergerak k dalam dalam bidang bidang.. Misalk Misalkan an kita kita memili memilih h koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini : q2 = θ

q1 = r

(5)

Selanjutnya : x = x(r,θ) = r cosθ y = y(r,θ) = r sinθ dan

(6)

δx =

∂x ∂x δq 1 + δq 2 ∂q 1 ∂q 2

= cos θ δr - r sin θ δθ

(7)

δy =

∂y ∂y δq 1 + δq ∂q 1 ∂q 2 2

= sin θ δr + r cos θ δθ

(8)

Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan : q1, q2, …..qn

(9)

4


Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, …..qn) ke konfigurasi di dekatnya (q1+δq1, q2+δq2, …qn+δqn) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik (xi,yi,zi) ke titik di dekatnya (x i+δxi,yi+δyi,zi+δzi) dimana:

∑

∂x i δq ∂q k k

(10)

n

∑

∂y i δq k q ∂ k

(11)

n

∂z i δq k ∂q k

(12)

n

δx i =

k =1

δy i =

k =1

δz i =

∑ k =1

Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol xi kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N.

B. GAYA RAMPATAN

Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh δr dibawah pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan dengan

δW = F ⋅ δr = Fx δx + Fy δy + Fz δz

(13)

Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan

δW =

∑δ

Fi x i

(14)

i

Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk satu partikel, 5

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N. Jika pertambahan δxi dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka diperoleh

δW =

∑ ∑

 ∂x i δq k   ∂q k 

   k

 ∂x i δq k   ∂q k 

i

=

k

∑∑ i

=

  Fi 

Fi

   k

∑ ∑F i

i

(15)

∂x i   δq k ∂q k  

Persamaan di atas juga dapat ditulis

δW =

∑Q δq k

k

(16)

k

dimana :

Q k =

∑

 ∂x i   Fi    dq k 

(17)

Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalian Qk δqk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah gaya jika q k menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka, jika qk menyatakan sudut.

C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM KONSERVATIF

6


Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh persamaan

Fi

=−

∂V ∂x i

(18)

dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan

Q k

 = − 

∑ i

∂V ∂x i   ∂x i ∂q k  

(19)

Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan parsial fungsi V terhadap qk . Oleh karena itu

Q k

=−

∂V ∂q k

(20)

Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q 2 = θ, maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -∂V/∂r ; Qθ = -∂V/∂θ. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya sentral), maka Q θ = 0.

D. PERSAMAAN LAGRANGE

Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:

7


= m i x i

Fi

(21)

dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan dengan k

T

=

∑

[

1 2

m i ( x 12

+ y i2 + z i2 ]

(22)

i =1

atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut 3 N

T

=

∑ m x 1 2

i

2 i

(23)

i =1

Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat misalkan

xi

= x i ( q1 , q 2 ,..., q n , t )

i x

=

(24)

dan selanjutnya

∑

∂x i  ∂x i q + ∂q k k ∂t

(25)

Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan qk , sehingga ∂xi/∂t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik

 k . T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan q

8


∂x i ∂x i = ∂q k ∂q k

Dari persamaan

(26)

 i dan diferensialkan Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan x terhadap t, akan diperoleh:

 ∂x i  d  ∂x i   x i   =  x i    dt  ∂q k  dt  ∂q k  d

= x i

∂x i  ∂x i + xi ∂q k ∂q k

(27)

atau

 ∂ x i2   x i2  ∂ xi ∂    = x i    + ∂q k ∂q k  2  dt  ∂ q k 2  d

(28)

Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan m i x i

=F, i

kita dapat peroleh

∂x i ∂   m i x i2   ∂   mi x i2   = Fi + ∂ ∂q k  2   dt ∂q k  2  q k  d

(29)

Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :

∂T = dt ∂q k d

∑ i

 ∂x i  ∂T  Fi  +   ∂q k  ∂q k

(30)

Dari definisi gaya rampatan kita peroleh

9


∂T ∂T = Q k + dt ∂q k ∂q k d

(31)

Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk gerak. Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai berikut:

∂T ∂T ∂V = −  dt ∂q k ∂q k ∂q k d

(32)

Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni L=T-V

(33)

Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam koordinat  k = 0 , kita peroleh rampatan. Oleh karena V = V(q k ) dan ∂V / ∂q

∂L ∂T = ∂q k ∂q k

dan

∂L = ∂T − ∂V ∂q k ∂q k ∂q k

(34)

Persamaan Lagrange dapat ditulis

∂L ∂L =  k ∂q k dt ∂q d

(35)

Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat tertentu. Di sisi lain, '

jika gaya rampatan tidak konservatif, misalkan nilainya adalah Q k , maka kita dapat menuliskan

Q k

= Q 'k −

∂V ∂q k

(36) 10


Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam bentuk

∂L ∂L = Q 'k + dt ∂q k ∂q k d

∂L ∂L − = Qk ' dt ∂& qk ∂qk d

(37)

(37)

Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan diperhitungkan. E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN LAGRANGE

Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut: 1. 2. 3.

4.

Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk . Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.

Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya : 1.

Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut. Misalkan koordinat polar (r,θ) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r, θ) dapat dihubungkan melalui : 11


x = r cos θ

y = r sin θ

Energi kinetik partikel dapat ditulis :

T = 12 mv 2

= 12 m ( x&2 + y&2 ) = 12 m ( r&2 + r&2 θ 2 )

Energi potensial oleh gaya sentral

V=−

k

( x 2 + y2 )

1/ 2

=−

k r

Persamaan Lagrange untuk sistem ini:

L = T − V = 12 m ( & r 2 + r&2 θ2 )

+

k r

Dari persamaan Lagrange:

∂T ∂T ∂V = −  k ∂q k ∂q k dt ∂q d

 ∂L  ∂L − =0  ÷ dt  ∂q&k  ∂q k d

Substitusi q1 = r dan q2 = θ, diperoleh:

 ∂L  − ∂L = 0  ÷ dt  ∂r& ∂r d

 ∂L  − ∂L = 0  ÷ dt  ∂θ& ∂θ d

12


Dari kedua persamaan di atas diperoleh:

∂L = mr & & ∂r d  ∂L  & & = mr  ÷ & dt  ∂r ∂L k = mr θ&2 − 2 ∂r& r 2

& mr&

−

mr & 2

θ =−

k r 2

Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :

F(r) = −

Jadi :

∂V(r) ∂ k = −  − 2  ∂r ∂r  r ÷

2 &2 + F & = mrθ mr& r

Dari persamaan Lagrange :

∂L = mr 2 θ ∂θ&

∂L =0 ∂θ

 ∂L  = 2mrr&θ&+ mr 2 & θ  ÷ & dt  ∂θ  d

θ&+ mr 2& θ&= 0 2mrr& atau :

d dt

( mr 2θ&) =

dJ dt

=0 13

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan

J = mr 2 θ = konstan Berdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan gerak.

2.

Osilator Harmonik Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah L=T-V=

1 2

mx 2

− 12 kx 2

(38)

dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya:

∂L = mx ∂x

dan

∂L = −kx ∂x

(39)

Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang &, sehingga harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c x persamaan gerak dapat ditulis :

d dt

( mx ) = −cx + (−kx)

& &+cx &+kx mx

(40)

=0

Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal. 3.

Partikel yang berada dalam medan sentral. 14


Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = θ. Maka

= 12 m r  2 + r 2 θ 2

T = 12 mv 2 V

(41)

= V( r )

2 L = 12 m r

(42)

+ r 2 θ 2 − V( r )

(43)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :

∂L  2 −f ( r ) = mr θ ∂r

∂L = mr  ∂r  (44)

∂L 0 = ∂θ

∂L  mr 2 θ =  ∂θ

(45)

Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah :

∂L ∂L =  dt ∂r ∂r 2 mr  = mr θ

d

d

dt +f ( r )

∂L ∂L =  ∂θ ∂θ

(46)

d dt

(mr θ) = 0 2

(47) 4. Mesin Atwood Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m 1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m 1 seperti yang ditunjukkan pada gambar. 15


a

l-x x

m1

m2

Gambar 2. 1 Mesin atwood tunggal

 / a , dimana a adalah jari-jari katrol. Kecepatan sudut katrol adalah x Energi kinetik sistem ini adalah : T

=

1 2

m 1 x

2

+

1 2

m 2 x

2

+

1 2

I

x 2 a

2

(48)

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

V

= −m2 gx − m1 g( l − x )

(49)

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

16


L=

1 2

 m + m + I  x 2 + g( m − m ) x + m gl  1  2 1 2 2 2 a  

(50)

dan persamaan Lagrangenya adalah

d dt

∂L ∂L =  ∂x ∂x

(51)

yang berarti bahwa :

 m + m + I  x = g( m − m )  1 2 2  1 2 a   atau

=g

& x&

m1 − m 2 m1 + m2 + I / a 2

(52)

(53)

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka m1 akan bergerak turun, sebaliknya jika m1
Mesin Atwood Ganda

Mesin Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.2.. Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajat kebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengan koordinat x dan x'. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untuk menyederhanakan persoalan). Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah :

T = 12 m1 x V

2

+ 12 m 2 ( − x + x ' ) 2 + 12 m 3 ( − x − x ' ) 2

(54)

= −m1gx − m 2 g(l − x + x' ) − m 3 g(l − x + l'−x' )

(55)

17

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi dimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, dan l serta l' adalah panjang tali penghubungnya.

l-x

x

m1

l'-x’

m2 m3 Gambar 2.2. Mesin Atwood Ganda

L = 12 m1x& + 12 m2 (− x&+ x&') 2

2

+ 12 m3 (− x&− x&')2 +

g(m1 − m 2 − m 3 )x +

g(m2 − m3 )x'+ tetapan (56) sehingga persamaan geraknya dapat ditulis :

d dt

∂L = ∂L ∂x ∂x

d dt

∂L ∂L = ∂x ' ∂x'

(57)

dengan penyelesaian

m1x + m 2 ( x − x ' ) + m 3 ( x + x ' ) = g( m1 − m 2

m 2 ( −x + x ' ) + m 3 ( x + x ' ) = g( m 2

− m3 )

− m3 )

(58) (59) 18


dan dari persamaan ini percepatan 6.

x dan x ' dapat ditentukan.

Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.

Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar. Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

v2

= x 2 + x '2 + 2 x x ' cos θ

(60)

Oleh karena itu energi kinetiknya adalah

T = 12 mv 2 + 12 Mx 2

= 12 m( x 2 + x 2 + 2x 2 x 2cosθ) + 12 Mx 2 '

'

(61)

dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan θ, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. dan m adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan : V=mgx'sin θ + tetapan

(62)

dan

L = 12 m(x& + x& 2

'2

' 2 ' &&cos θ) + 12 Mx & & + mgx sin θ + tetapan + 2xx

(63)

Persamaan geraknya

19


d dt

∂L ∂L = ∂x ∂x

d dt

∂L ∂L = ∂x ' ∂x'

(64) sehingga

m( x + x ' cosθ) + Mx

=0

m( x '

;

+ x cosθ)+ = mgsinθ

(65) Percepatan

x =

x

dan

x ' adalah :

− g sin θ cos θ m+M − cos2 θ

;

− g sin θ

x ' =

1−

m

m cos

 x

x'

2

θ

(66)

m +M

' x

θ

v m

x

M

θ Gambar 2. 3 Gerak pada bidang miring dan representasi vektornya

7.

Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan: 20


T

= 1 (I1ω12 + I 2 ω22 + I 3 ω32 )

(67)

2

Dalam hal ini harga ω mengacu pada sumbu utama. Dalam Bagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa ω dapat dinyatakan dalam sudut Euler θ, φ dan ψ sebagai berikut:

ω1 = θ cos ψ + φ sin θ sin ψ ω2 = −θ sin ψ + φ sin θ cos ψ

(68)

 cos θ  +φ ω3 = ψ Dengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai persamaan geraknya adalah:

d dt d dt d dt

koordinat

rampatan,

∂L ∂L  = ∂θ ∂θ

(69)

∂L ∂L  = ∂φ ∂φ

(70)

∂L ∂L =  ∂ψ ∂ψ

(71)

oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya nol. Dengan menggunakan aturan/dalil rantai :

∂L = ∂T ∂ω   ∂ψ ∂ω ∂ψ 3

(72)

3

Sehingga

d dt

∂L 3 = I 3ω  ∂ψ

(73)

Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh 21


∂T ∂ω ∂ω = I1ω1 1 + I 2ω2 2 ∂ψ ∂ψ ∂ψ  sin ψ + φ  sin θcos ψ ) + I 2ω2 (−θ  cos ψ − φ  sin θsin ψ ) = I1ω1 (−θ

= I1ω1ω2 −I 2 ω2 ω1 (74) Akibatnya, persamaan 71 menjadi :

3 I 3ω

= ω1ω2 ( I1 − I 2 )

(75)

yang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnya adalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuah benda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Euler lainnya dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik (putaran) dari subskrip : 1 →2, 2→3, 3→1. 8. Pandanglah sebuah benda bermassa m (gambar 2.4) meluncur dengan bebas pada sebuah kawat dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan jari jari a. Lingkaran kawat berputar searah jarum jam pada bidang horisontal dengan kecepatan sudut ω disekitar titik O. (a). Selidiki bagaimana gerak benda tersebut, dan (b). Bagaimana reaksi lingkaran kawat.

22


Gambar 2.4. Gerak pada kawat melingkar

Perhatikan gambar di atas. C adalah pusat lingkaran kawat. Diameter OA membentuk sudut

φ = ωt

dengan sumbu-X, sedangkan benda bermassa

m membentuk sudut θ dengan diameter OA. Jika yang kita perhatikan hanyalah gerak benda bermassa m saja, maka sistim yang kita tinjau memiliki satu derajat kebebasan, oleh karena itu hanya koordinat rampatan q = θ yang dipakai. Berdasarkan gambar 2.4 a dan 2.4 b, kita dapat tuliskan:

x = a cos ωt + a cos(ωt + θ) y = a sin ωt + a sin(ωt + θ) x

= −aω sin ωt − a[ sin(ωt + θ)](ωt + θ ) 23


y = aω cos ωt + a[ cos(ωt + θ)] (ωt + θ ) Kuadratkan persamaan-persamaan di atas, kemudian jumlahkan akan diperoleh besaran energi kinetik :

T

= 12 m( x 2 + y 2 ) = 12 ma 2 ω2 + ( θ + ω) + 2ω( θ + ω) cos θ 2

∂T = ma 2 ( θ + ω + ω cos θ) ∂θ dan

 ∂T  = ma 2 (θ − ωθ sin θ)   dt  ∂θ  ∂T = −ma 2 ω( θ + ω) sin θ ∂θ d

Selanjutnya persamaan Lagrange :

 ∂T  ∂T   − = Q1   dt  ∂q 1  ∂q 1 d

Dalam hal ini Q1 = 0 dan q1 = θ, maka persamaan yang dihasilkan :

ma 2 (θ − ωθ sin θ) + ma 2 ( θ + ω) sin θ = 0

θ + ω 2 sin θ = 0 Persamaan di atas menggambarkan gerak benda bermassa m pada lingkaran kawat. Untuk harga θ yang cukup kecil,

θ + ω 2 θ = 0 yang tak lain adalah gerak bandul sederhana. Bandingkan dengan persamaan berikut : 24


θ + g θ = 0 l

Dan kita peroleh

ω2 =

g l

atau l

=

g

ω2

Ini berarti bahwa benda bermassa m berosilasi di sekitar garis berputar OA 2 sebagai bandul sederhana yang panjangnya l = g / ω . Persamaan tersebut selanjutnya dapat juga digunakan untuk menghitung kecepatan dan posisi benda bermassa m.

b.Untuk menghitung reaksi kawat, kita mesti melihat pergeseran virtual massa m dalam suatu arah yang tegaklurus pada kawat. Untuk maksud tersebut, kita anggap bahwa jarak CB sama dengan jarak r (merupakan variabel dan bukan tetapan), seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4 c. Maka dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan dan dua koordinat rampatan, yakni r dan θ. Dari gambar nampak bahwa:

= a cos ω t + r cos(ω t +θ ) y = a sin ω t + r sin(ω t +θ ) x

 ω +θ

x

= − aω sin ω t + r  cos(ω t +θ ) − r [ sin( ω t +θ ) ]

y

= aω cos ω t + r  sin(ω t + θ ) + r [ cos(ω t + θ ) ] ω + θ 

T =

=

1 2 1 2

m( x 2

[

+ y 2 )

m a 2ω 2

+ r  2 + r 2 (θ  + ω ) + 2aω r  sinθ + 2aω r (θ  + ω ) cos θ ] 2

 ∂T = Q  ∂T   − r   dt  ∂ r  ∂ r d

25


 dan ∂T ∂r T ∂r Dimana Qr = R adalah gaya reaksi. Nilai dari ∂ diperoleh dari persamaan (i) dan jika disubstitusi ke persamaan (ii), didapatkan : R

= m r  + aω θ  cos θ − r (θ  + ω ) − aω (θ  + ω ) cos θ 2

r = a ,

R

 = 0 , r

dan

r  = 0

= − ma ω 2 cos θ + (θ  + ω )

2

yang merupakan persamaan yang menyatakan reaksi kawat . 9. Bahaslah gerak sebuah partikel dengan massa m yang bergerak pada bidang sebuah kerucut dengan sudut setengah puncak (half-angle) (lihat Gambar 2.5) dimana gaya yang bekerja hanyalah yang disebabkan oleh gaya gravitasi saja.

Gambar 2.5. Gerak pada kerucut

Misalkan puncak kerucut berada di titik O (pusat koordinat dalam gambar), sedangkan sumbu kerucut berimpit dengan sumbu z. Posisi partikel 26


pada permukaan kerucut dapat dinyatakan dengan koordinat Cartesian ( x,y,z ). Namun kita akan gunakan koordinat silinder ( r , θ , z ) sebagai koordinat rampatannya. Tidak semua ketiga koordinat tersebut a adalah independen (bebas satu sama lain). Koordinat z dan r dihubungkan oleh parameter melalui persamaan :

z = r cot φ

 = r  cot φ z Kemudian diperoleh dua derajat kebebasan. Bisa digunakan r , θ sebagai koordinat umum dan menghilangkan z dengan menggunakan persamaan pembatas diatas. Energi kinetik massa m adalah :

T =

=

1 2

1 2

mv 2

=

1 2

2 m[r

+ r 2θ  2 + z  2 ] =

1 2

 2 (1 + cot 2 φ ) + r 2θ  2 ] m[r

 2 csc 2 φ + r 2θ  2 ) m( r

atau Energi potensial massa m (anggap V = 0 dan z = 0) : V = mgz = mgr cot φ Kemudian Lagrangian L sistem :

L

= T − V = 1 m( r  2 csc 2 φ + r 2θ  2 ) − mgr cot φ 2

Persamaan Lagrange untuk koordinat r adalah :

 ∂ L = 0  ∂ L   −   dt  ∂ r  ∂ r d

Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :

∂ L = mr  csc 2 φ , ∂ r 

d  ∂ L    = mr  csc 2 φ ,    dt  ∂ r

∂ L = mr θ  2 − mg cot φ ∂ r 27


Substitusi nilai ini ke persamaan (*), diperoleh :

r  − r θ  2 sin 2 φ + g cos φ sinφ = 0 Ini adalah persamaan gerak untuk koordinat r . Persamaan Lagrange untuk koordinat θ adalah :

 ∂ L  ∂ L    − =0 ∂ dt  ∂θ  θ  d

(**)

Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :

∂ L  = mr 2θ  ∂θ

dan

∂ L =0 ∂θ

Substitusi nilai ini ke persamaan (ii), diperoleh :

d dt

( mr θ  ) = 2

d dt

( J z ) = 0

Artinya

J z

= mr 2θ  = kons tan

F. MOMENTUM RAMPATAN

Tinjaulah gerak sebuah partikel tunggal yang bergerak sepanjang garis lurus (rectilinier motion). Energi kinetiknya adalah

2 T = 12 mx

(76)

dimana m adalah massa partikel, dan x adalah koordinat posisinya. Selanjutnya disamping mendefinisikan momentum partikel p sebagai hasil

28


kali m x  , kita juga dapat mendefinisikan p sebagai kuantitas

∂T

∂ x ,

yakni:

p

=

∂T = mx ∂x

(77)

Dalam kasus dimana sebuah sistem yang digambarkan oleh koordinat rampatan q1, q2, …, qk … qn, kuantitas pk didefinisikan dengan

p k

=

∂L ∂q k

(78)

yang disebut momentum rampatan. Persamaan Lagrange untuk sistem konservatif dapat ditulis

 k p

=

∂L ∂q k

(79)

Misalkan dalam kasus khusus, satu dari koordinatnya, katakanlah q λ, tidak tersirat secara eksplisit dalam L. Maka

λ p

=

∂L ∂q λ

(80)

sehingga

p λ

= tetapan = c λ

(81)

Dalam kasus ini, koordinat qλ dikatakan dapat terabaikan (ignorable). Momentum rampatan yang diasosiasikan dengan koordinat terabaikan tak lain adalah tetapan gerak sistem. Sebagai contoh, dalam persoalan partikel yang meluncur pada bidang miring yang licin (yang telah dikerjakan pada bagian sebelumnya), kita dapatkan bahwa koordinat x, posisi bidang, tidak tersirat dalam fungsi Lagrangian L. Oleh karena x merupakan suatu koordinat terabaikan, maka 29


p x

=

∂L = (M + m) x + mx ' cos θ = tetapan ∂x

(82)

Kita dapat lihat bahwa ternyata px adalah komponen total dalam arah mendatar dari momentum linier sistem dan oleh karena tidak terdapat gaya yang bekerja dalam arah mendatar pada sistem, komponen momentum linier dalam arah mendatar harus konstan. Contoh lain koordinat terabaikan dapat dilihat dalam kasus gerak partikel dalam medan sentral. Dalam koordinat polar

 L = 12 m r

2

+ r  2θ 2 − V(r )

(83)

seperti yang diperlihatkan dalam contoh di atas. Dalam kasus ini koordinat terabaikan dan

p θ

=

θ

adalah

∂L  2 = tetapan = mr θ ∂θ

(84) yang sebagaimana telah kita ketahui dari bab terdahulu adalah momentum sudut di sekitar titik asal.

Contoh Bandul sferis, atau potongan sabun dalam mangkuk . Suatu persoalan klasik dalam mekanika adalah bahwa partikel yang terbatasi untuk berada pada permukaan sferis yang licin di bawah pengaruh gravitasi, seperti sebuah massa kecil meluncur pada permukaan mangkuk yang licin. Kasus ini juga digambarkan oleh bandul sederhana yang berayun dengan bebas dalam sembarang arah, Gambar 2.6. Ini dinamakan bandul sferis, yang dinyatakan sebelumnya dalam bagian terdahulu.

z

30


θ

l

m

mg y φ

x

Gambar 2.6 Bandul sferis

Dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan, dan kita akan menggunakan koordinat rampatan θ dan φ seperti yang ditunjukkan. Hal ini kenyataannya ekivalen dengan koordinat bola dengan r = l = tetapan dimana l adalah panjang tali bandul. Kedua komponen kecepatan adalah vθ = l  dan vφ = l sin θ . Ketinggian bola bandul, dihitung dari bidang-xy, adalah (l - l cos θ) , sehingga fungsi Lagrangian adalah

L=

1 2

2 ml 2 (θ

+ sin 2 θφ 2 ) − mgl(1 − cos θ)

(85)

Koordinat φ dapat diabaikan, sehingga diperoleh

p θ

∂L =  = ml2 sin 2 θφ = tetapan ∂θ

(86)

Ini adalah momentum sudut di sekitar sumbu tegak atau sumbu z. Kita akan menundanya untuk persamaan dalam θ:

31


d dt

∂L ∂L =  ∂θ ∂θ

(87)

yang dapat juga dinyatakan sebagai:

 = ml2 sin θcos θφ 2 ml2 θ

− mgl sin θ

(88)

Mari kita perkenalkan tetapan h, yang didefinisikan dengan:

p φ  h = sin θφ − ml

(89)

2

Selanjutnya persamaan diferensial gerak dalam

g

θ + sin θ − h

θ menjadi

θ =0 2 sin θ

cos

2

l

2

(90)

Persamaan (90) mengandung beberapa makna sebagai berikut. Pertama, jika sudut φ konstan, maka h = 0. Akibatnya, persamaan di atas dapat ditulis sebagai :

θ + g sin θ = 0

(91)

l

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul sederhana. Geraknya berada dalam bidang φ = φo = konstan. Kedua, adalah kasus banduk konik ( conical pendulum). Dalam hal ini, gantungan bandul menggambarkan suatu lingkaran  = 0 dan θ = 0 , sehingga horisontal, sehingga θ = θo = konstan. Jadi, θ persamaan (90) dapat disederhanakan menjadi :

g l

sin θ o

− h2

θo =0 2 sin θ o

cos

2

(92)

atau :

h2

=

g l

sin 4 θo sec θo

(93)

Dari nilai h yang diperoleh pada persamaan di atas, maka 32


φ = g sec θ 2 o

l

o

(94)

yang tak lain adalah persamaan gerak bandul konik.

φ=φ2 φ=φ1

Gambar 5 Gambar 2.7 Gerak pada permukaan bola

G. FUNGSI HAMILTON

Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi dari koordinat rampatan 33


H

=

∑q p k

k

−L

(95)

k

Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistem adalah fungsi  dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja : kuadrat dari q

= T(q k , q k ) − V (q k )

L

(96)

Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh

∑

q k p k − L

=

k

∑

q k

k

∂L = ∂q k

∑

q k

k

∂T = 2T ∂q k

(97)

Oleh karena itu : H

=

∑q p k

k

− L = 2T − (T − V) = T + V

(98)

k

Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan yang ditulis sebagai :

p k

=

∂L ∂q k

(k = 1,2, …n)

(99)

 dalam p dan q dan nyatakan dalam q q k

= q k ( p k , q k )

(100)

Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yang bersesuaian dengan variasi δ p k , δq k sebagai berikut :

δH =

∑ k

 ∂L q ∂L q    p q q p δ + δ − δ − δ k  k  k k k k ∂q q ∂ k k  

(101)

34


Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurung saling

 k meniadakan, oleh karena menurut defenisi p

δH =

∑[q δ p

k

= ∂L / ∂q

− p k δq k ]

k ,

oleh karena itu:

(102)

k

Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalam persamaan berikut :

δH =

∑ k

 ∂H  ∂H δ p + δ q k  ∂ p ∂q k k   k

(103)

Akhirnya diperoleh :

∂H  = q k ∂ p k

(104)

∂H = − p k ∂q k

(105)

Dua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan persamaan Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2. Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik). Contoh pemakaian. 1.

Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi. Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai :

T

=

1 2

 mx

2

dan V

=

1 2

Kx 2

(106) 35


Momentumnya dapat ditulis

p

=

∂T = mx ∂x

 atau x

=

p

(107)

m

Hamiltoniannya dapat ditulis :

H

=T+V =

1

p 2 2m

+

K 2

x2

(108)

Persamaan geraknya adalah :

∂H = − p ∂x

∂H  =x ∂ p

(109)

dan diperoleh :

p m

= x

Kx

= − p

Persamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, dapat kita tulis :

mx + Kx = 0

(110)

yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik. 2.

Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.

Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut:

T

=

m 2

2 (r

+ r 2 θ 2 )

dan V=V(r)

(111)

Jadi : 36


p r

p θ

=

∂T = mr  ∂r 

∂ = T = mr 2 θ ∂θ

= r

p r

θ =

p θ

(112)

m

2

mr

(113)

Akibatnya :

H=

1 2m

( p 2r +

p θ2 2

r

) + V (r )

(114)

Persamaan Hamiltoniannya:

∂H  = r , ∂ p r

∂H  ∂H ∂H = θ, = − p r , = − p θ p ∂ ∂θ ∂r θ

(115) Selanjutnya:

p r m

= r 

∂V(r ) − p θ2 = − p r ∂r mr 3 p θ

(116)

(117)

= θ

(118)

− p θ = 0

(119)

2

mr

Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentum sudut tetap,

p θ

= kons tan = mr2 θ&= mh

(120)

Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan, 37


 = p r mr

=

mh 2 3

r

−

∂V(r ) ∂r

(121)

untuk persamaan gerak dalam arah radial. H. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK GERAK DALAM ELEKTROMAGNETIK

MEDAN

Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanika adalah gerak zarah bermuatan dalam medan elektromagnetik. Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannya dengan metode Lagrange. Medan elektromagnetik mempunyai potensial yang bergantung dari kecepatan zarah. Oleh karena itu perlu dilakukan penanganan terlebih dahulu terhadap bentuk matematika fungsi potensial itu, sehingga kemudian metode Lagrange dapat diterapkan. Suatu zarah dengan massa m dan muatan q yang bergerak dalam medan listrik E dan medan magnet berinduksi magnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya : F=qE+qvxB

(122)

Dalam ungkapan itu v merupakan kecepatan zarah. Komponen gaya itu dalam arah X berbentuk:

Fx

= q E x + q y B z − z B y

Menurut teori elektromagnet, fungsi potensial elektromagnet terdiri dari dua bagian berikut :

(123) suatu

medan

Potensial skalar Ф dan potensial vektor A Masing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E dan induksi magnetik B melalui hubungan :

E

= −∇Φ − ∂A ∂t 38


B

= ∇× A

(124)

Jika medan tak bergantung waktu, maka : E=

−∇ Φ

B ≡ ∇×A

dan

(125)

Medan E tidak terkait dengan B.

Perhatikanlah suatu fungsi U yang diungkapkan sebagai :

U

≡ q Φ(r , t ) − q [ v •A (r , t )]

(126) Fungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu zarah bermuatan dalam suatu medan elektromagnetik. Fungsi U tersebut dapat ditulis sebagai :

U

≡ q Φ − q x A x + y A y + z A z

(127)

Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi

−

∂U d  ∂U +  ∂x dt   ∂x

(128)

Yang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan (127) ke x, ke kemudian ke t. Dua yang pertama secara parsial. Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan :

∂Ay  ∂ A x ∂Az ∂U ∂Φ    − = −q + q x +y + z ∂x ∂x ∂x ∂x  ∂ x Diferensiasi U secara parsial ke

   

 , dan x

(129)

 , memberikan : x

∂U = −q A x ∂x

(130)

39

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan :

  ∂ A x ∂ A x  ∂ A x  ∂ A x ∂ U   ∂ U   = − + q x+ y+   ∂ t  ∂ x  ∂x ∂y ∂z  ∂ t

 

z  

(131)

Sehingga bentuk persamaan 128 menjadi :

∂ U d  ∂ U   +  ∂ x dt  ∂ x   ∂ A y ∂ A x   ∂ A z ∂ A x    ∂ Φ ∂ A x      = q  − − + z  −  + q y  ∂ x − ∂ y     x t x z ∂ ∂ ∂ ∂         = q E x + q ( y B z − z B y ) = Fx −

Oleh karena itu :

∂U  − ∂U + ∂    = qE x + q ( y B z − z B y ) = Fx ∂x ∂t  ∂x 

(132)

Dengan Ê = îE x + jˆ E y +k z ˆ B +k ˆB B = îB x + j y z

E

adalah kuat medan listrik adalah induksi magnetik

Persamaan 132 yang merupakan fungsi potensial untuk zarah yang bermuatan dalam sebuah medan elektromagnetik, merupakan fungsi dari kedudukan dan kecepatan. Seperti pembahasan-pembahasan sebelumnya fungsi Lagrange senantiasa menganggap bahwa fungsi potensial V hanya bergantung pada kedudukan saja yakni : V = V (q1, q2, .......... q3N)

(133)

Pertanyaan kita adalah apakah mungkin persamaan Lagrange dapat diterapkan dalam persoalan gerak zarah bermuatan listrik ? 40


Andaikan bahwa gaya-gaya rampatan Qk yang bekerja pada suatu sistem mekanika agar dapat diturunkan dari suatu fungsi potensial skalar U yang bergantung dari kecepatan. Jika hubungan antara Qk dan potensial U dinyatakan oleh

Q k

 U  U = ∂ + ∂  ∂  ∂q k ∂t  ∂q k  

(134)

dan fungsi Lagrange untuk sistem ini dinyatakan oleh : L=T–U

(135)

Berdasar pada pembahasan-pembahasan sebelumnya, hubungan

 k dapat dinyatakan dengan antara T, Qk , qk , dan q

  ∂T  ∂   ∂U    Q = + k   ∂t  ∂q k   ∂q k 

(136)

Substitusi 134 ke dalam 136 menghasilkan :

  ∂U d  ∂U    ∂T  ∂   ∂T    = − +  +     ∂t  ∂q k   ∂q k dt  ∂q k    ∂q k  

(137)

dan dapat ditulis juga dalam bentuk lain

 ∂T ∂U   ∂T ∂U    − − −  =0 dt  ∂q k ∂q k  q q ∂ ∂ k    k d

(138)

Apabila definisi umum fungsi Lagrange digunakan maka akan diperoleh :

 ∂T  ∂L   − =0 dt  ∂q k  q ∂ k  d

(139)

41

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Berdasarkan pembahasan di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa, jika U merupakan fungsi potensial skalar yang bergantung pada kecepatan zarah v yang ditandai oleh hubungan gaya rampatan

Q k

=

∂U ∂  ∂U   +  ∂q k ∂t  ∂q k  

(140)

maka persaman Lagrange untuk sistem mekanika yang dikuasai oleh U memiliki bentuk

 ∂T  ∂L   − =0 ∂ dt  ∂q k  q k  d

(141)

dengan fungsi Lagrange L = T - U Untuk memecahkan persoalan apakah fungsi Lagrange di atas dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan gerak zarah dalam medan elektromegnetik, tinjaulah sebuah fungsi potensial sebagaimana persamaan 127 seperti berikut:

U

≡ q Φ − q x A x + y A y + z A z

Untuk komponen gaya ke arah x berlaku :

Fx

=−

∂U ∂  ∂U  +   ∂x ∂t  ∂x 

(142)

Dengan penalaran yang sama, juga dapat dilakukan untuk komponen F y dan Fz. Jadi dengan demikian fungsi Lagrange yang dimaksud dalam hal ini adalah :

L

=

1 2

Mv ⋅ v - qΦ(r , t) + v ⋅ A (r , t)q

(143)

42


dimana m dan q masing-masing adalah massa dan muatan zarah, v adalah kecepatan zarah, dan Ф (r,t) serta A(r,t) masing-masing adalah potensial skalar dan potensial vektor medan elektromagnetik. Contoh : 1.

1

Tunjukkan bahwa A =

2

( B ×r )

merupakan vektor potensial

untuk suatu medan dengan induksi magnetik B. Jawab :

∇ × A = 12 ∇ × A = 12 { B( ∇ ⋅ r ) − r ( ∇ ⋅ B ) + ( r ⋅ ∇ ) B − ( B ⋅ ∇ )r} Diketahui bahwa (B ⋅ ∇)

∇ ⋅ r = 3 . Jadi suku pertama adalah 3 B.

 ∂ ∂ ∂  ˆ ˆ ˆ = B x ∂x + B y ∂y + B z ∂z   ⋅ (ix + jy +k z ) = B  

Sehingga :

∇ × A = 12 [ 2B − ( r ⋅ ∇ ) B] Bila B merupakan medan yang konstan, suku

∇× A = B

menurut definisi A. Jadi untuk magnet yang tetap

A=

1 2

medan

( r ⋅ ∇)B = 0 dengan

dan

induksi

( B × r)

ˆ B maka dalam koordinat Cartesius : Misalkan bahwa B = k o

A=

( k × r ) B0 A = 12 B 0 jˆ x − î y A

1 2

= î ( 12 B 0 y) + jˆ( 12 B 0 x )

Dalam koordinat silinder : 43


A= A

1 2

( B × r)

= 12 B 0 r

Arah A adalah dalam bidang r tegak lurus pada sumbu –z, dan dapat pula tegak lurus pada sumbu r sendiri. Jadi dalam arah koordinat φ, sehingga A hanya terdiri dari komponen A φ =

1 2

B 0 r ,

Ar = Az = 0.

z

k B0

y r

x Gambar 2.8 Hubungan antara arah B dengan r 2.

Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B ˆ , maka dalam koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = = B0 k 1 2

B o r dan Az = 0.

Jawab : 3.

Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu-z, artinya B ˆ , maka dalam koordinat silinder berlaku : Ar = 0, Aφ = = B0 k 1 2

B o r dan Az = 0. 44


Jawab :

4.

Bagaimanakah bentuk potensial skalar Φ dalam koordinat silinder, apabila medan listrik juga searah dengan sumbu-z. Artinya E = E0 ˆ . k

5.

Tulislah fungsi Lagrange untuk suatu zarah (massa M dan muatan q) ˆ dan yang bergerak dalam medan elektromagnetik dengan B = B 0 k ˆ . Gunakan koordinat silinder. E = E0 k

Jawab : Sesuai dengan definisi : L = T - V Fungsi Lagrange L untuk zarah dengan massa M dan mauatn Q dalam medan tersebut :

= 12 m(r  2 + r 2ϕ  2 + z  2 ) + QE 0 z + Qr ϕ  12 B0 r  2 + r 2ϕ  2 + z  2 ) + QE 0 z + 12 Qr ϕ  B0 r 2 L = 12 m(r L

6.

Besaran fisika mana saja yang merupakan tetapan gerak dalam soal nomor 5 ? Koordinat siklik dalam fungsi Lagrange di atas adalah φ, sehingga p φ merupakan tetapan gerak. Hal tersebut dapat diturunkan dari persamaan Lagrange

 ∂L  ∂L    − ∂ϕ = 0  dt  ∂ ϕ   d

45

Mekanika Mahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Bila L tidak merupakan fungsi φ, maka

∂L = 0, dan oleh karena ∂

 ∂L     = 0 , yang berarti bahwa pφ = tetap, atau  dt  ∂ ϕ    2 + 12 Qr 2 ϕ B 0 = tetap. Mr 2 ϕ

itu

7.

d

∂L = pφ = ∂

Tulis perangkat persamaan Lagrange untuk sistem di atas Perangkat persamaan Lagrange untuk sistem diatas :

∂ L = mr  ∂r 

∂ L  2 + QB0 r ϕ  = mr ϕ ∂r

Dengan demikian :

2 mr  = Mr ϕ

+ QB0 r 

1 ∂L  + QB o r 2 = M r 2 ϕ  2 ∂ϕ ∂L =0 ∂ϕ Diperoleh :

+ m r 2ϕ

1 2

QBo r 2

= kons tan

Kemudian :

∂ L = m z  ∂ z 

∂L =Q Eo ∂z Sehingga :

 =Q E o m z 46


Andaikanlah dicari solusi dengan r tetap, maka diperoleh dari persamaan Lagrange pertama diatas :

 + Q Bo ) ϕ  0 = ( m ϕ  =0 ϕ

, atau

 =− ϕ

Q Bo m

Sedangkan persamaan ketiga memberikan :

 = z

Q E m

= tetap

Artinya gerak dipercepat dalam arah z. Secara

skematik

solusi

 =− ϕ

dengan

Q Bo m

diterangkan

disamping. Bagaimanakah lintasan bila diambil

 =0 ϕ

?s

SOAL SOAL Gunakan metode Lagrange untuk mencari persamaan gerak berikut, kecuali ada pernyataan lain.

1. 2.

Cari persamaan diferensial gerak peluru dalam sebuah medan gravitasi seragam tanpa hambatan/gesekan udara. Cari percepatan bola pejal seragam yang menggelinding dengan sempurna pada bidang miring. 47

Persamaan Lagrange Dan Hamilton

Recommend Documents