PERSAMAAN LAPLACE UNTUK SISTEM KORDINAT KORDINAT BOLA
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi dari dua atau atau lebih lebih peubah peubah yang yang tidak tidak diketa diketahui hui dan turuna turunan-t n-turu urunan nan parsia parsialny lnyaa terhad terhadap ap peubah peubah tersebut. Suatu masalah nilai batas melibatkan suatu persamaan diferensial parsial dan semua penyelesaiaan yang memenuhi syarat dinamakan syarat batas. Sebuah solusi persamaan diferensial parsial adalah sebuah fungsi yang memenuhi persamaan tersebut dalam bentuk suatu kesamaan (secara identik). Persamaan Laplace merupakan persamaan differensial parsial yang berbentuk ∇
2
U =0
Untuk kasus 3 dimensi, hanya merupakan pengembangan dari dimensi. !entuk umum dari persamaan Laplace 3 dimensi adalah 2
2
2
d U d U d U + 2 + 2 = 0 2 dx dy dz Penyelesaian Penyelesaian persamaan Laplace Laplace (ataupun (ataupun bentuk bentuk persamaan persamaan differen differensial sial parsial parsial lain lainny nya) a) untu untuk k
pers persoa oala lan n
yang yang memp mempun unya yaii
sime simetr trii
sili silind nder er atau ataupu pun n
bola bola perl perlu u
memperhatikan bentuk operator differensial dalam sistem koordinat silinder ataupun bola. Untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam sistem koordinat bola, dilakukan pemisahan "ariabel dengan menganggap solusinya berbentuk
u= R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) kemudian substitusikan ke persamaan Laplace untuk sistem koordinat bola sehingga diperoleh
( )
d 2 dR d 1 + R Φ 2 ΘΦ 2 r dr r dr r sin θ d θ 1
(
)
2
d Θ d Φ 1 + R Θ 2 =0 sin θ 2 dθ r sin θ d ϕ
kemudian kalikan persamaan tersebut dengan r sin#$%&' sehingga menadi
( )
2
θ d 2 dR 1 d + r R dr dr Θ d θ
sin
(
)
2
dΘ 1 d Φ + = 0 sin θ d θ Φ d ϕ2
erlihat bah*a suku ketiga hanya merupakan fungsi dari f saa, sehingga dapat dinyatakan 2
d Φ =−m2 2 Φ dϕ 1
+ang memberikan bentuk fungsi ' yaitu
Φ=
{
sin m ϕ
cos m ϕ
engan demikian persamaan differensial tersebut dituliskan kembali dalam bentuk 2
( )
θ d 2 dR 1 d + r R dr dr Θ d θ
sin
(
sin θ
)
dΘ −m 2= 0 dθ
( )
d 2 dR + 12 d r R dr dr Θ sin θ d θ 1
(
)
2
d Θ − m =0 sin θ d θ sin 2 θ
Sekarang terlihat bah*a suku pertama hanya merupakan fungsi dari r saa, sehingga dapat dianggap sebagai suatu konstanta
( )
d 2 dR =k r R dr dr 1
Selanutnya
d k + 2 Θ sin θ d θ 1
(
d 2 Θ sin θ d θ 1
(
)
2
d Θ −m =0 sin θ d θ sin 2 θ
)
2
d Θ − m sin θ + k Θ =0 d θ sin 2 θ
!entuk tersebut merupakan bentuk persamaan differensial yang solusinya adalah fungsi Legendre terasosiasi ika k l(l/0). engan menggunakan k l(l/0), maka bentuk fungsi & adalah fungsi Legendre terasosiasi m
Θ = pt ( cos θ ) Sedangkan bentuk solusi fungsi % adalah
Φ=
{
r
t
−t −1
r
engan demikian bentuk solusi persamaan Laplace dalam system koordinat bola adalah
{
u ( r , θ , ϕ )=
r
r
t
−t −1
m
p t ( cos θ )
{
sin m ϕ
cos m ϕ
!entuk solusi yang sesuai tergantung dari syarat batas persoalan fisis yang ditinau. 1ubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat bola
x = r sin θcosϕ y =r sin θsinϕ
z =rcosθ 2ector kedudukan adalah
´s = x i+ y j + z k
´s =rsinθcosϕ i + rsinθsinϕ j + rcosθk ds =
∂s ∂s ∂s dr + dθ + dϕ ∂r ∂θ ∂ϕ
ds =( sinθcosϕ i + sinθsinϕ j + cosθk ) dr + ( rcosθcosϕ i + rcosθsinϕ j −rsinθk ) dθ + (−rsinθsinϕ i + sinθcosϕ j )
ds =( sinθcosϕdr + rcosθcosϕdθ −rsniθn siϕ adi, kuadrat elemen panang busur adalah 2
ds =ds.ds
dϕ)+ ( sinθsinϕ + rcosθsinϕdθ +n siθcosϕ
dϕ) j + ( cosθdr − rsinθdθ )
2
2
2
2
2
2
ds =sin θ cos ϕ dr + rsinθcosθ cos ϕdθdr −r sin θsniϕ
2
drdϕ+ rsinθcosθ cos ϕdθdr + r
cosϕ
2
cos
2
2
θ cos ϕ d
/
r
2
sin
2
2
2
/ r 2 sin2 θcosθ nsiϕ
r
2
sin
2
2
2
2
2
2
θ sin ϕ dϕ + sin θ sin ϕ dr +rsinθcosθ sin ϕdrdθ + r sin θn siϕ
θ dθ
dθdϕ+ r
cosϕ
2
sin
2
2
drdϕ+ rsinθcosθ sin ϕdrdθ + r
cosϕ
co
2 2 2 2 θ cos ϕ dϕ + cos θ dr −rsinθcosθdθdr /
2
ds =sin θ ( cos ϕ + sin ϕ ) dr + rsinθcosθ ( cos ϕ + sin ϕ ) dθdr + rsinθcosθ ( cos ϕ + sin ϕ ) drdθ + r 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
θ ( cos
2 2 2 ds =sin θ dr + rsinθcosθdθdr /
rsinθcosθdrdθ + r
2
cos
2
2
θ dθ + r
2
sin
2
2
2
2
θ dϕ + cos θ dr + rsinθcosθdθdr + r
2
sin
2
2
θ dθ + r
sin
¿
sin
2
2
2
+cos θ ¿ 2 θ ¿ dθ ¿
2
2
θ + cos θ ¿ dr + 2 rsinθcosθdθdr −2 rsinθcosθdθdr + r ¿ 2 ds =¿
2
2
2
2
2
2
ds =dr + r dθ + r 2
2
2
sin
2
2
2
θ dϕ 2
2
ds =h1 dr + h2 dθ + h3 dϕ 4aka
h 1= 1 h2= r
h3= rsinθ 4isalkan 2 adalah fungsi skalar,
GradV = ∇ V = ∇ V =
∂ V 1 ∂ V 1 ∂ V + + h1 ∂r h2 ∂ θ h3 ∂ ϕ 1
1 ∂V 1 ∂ V ∂V + + ∂ r r ∂ θ rsinθ ∂ ϕ
4aka operator grad dalam koordinat bola adalah ∇=
1 ∂ 1 ∂ ∂ + + ∂ r r ∂ θ rsinθ ∂ ϕ
5perator Laplacian
∇
2
dalam koordinat bola adalah ∇
. . . . . . (0) Lakukan se"arasi "ariable
2
2
1 1 ∂ 2 ∂ ∂ ( r )+ 2 ( sinθ ∂ )+ 2 2 ∂ 2 2 ∂r r sinθ ∂ θ ∂ θ r sin θ ∂ ϕ r ∂r 1
2
sin
2
2
2
θ dϕ + cos θ dr
2
Θ ( θ ¿ Φ( φ )
U (r, θ , φ ) %(r)
. . . . . . () Persamaan di atas disubtitusi ke persamaan Laplace, kemudian dikali dengan 2
θ R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) . . . . . . (3) dan diperoleh
[
]
∂ Φ (φ) d 2 dR + 1 1 ∂ sinθ ∂ Θ + 2 1 2 1 =0 r dr Θ ( θ ) sinθ ∂ θ ∂ θ r sin θ Φ ( φ ) ∂ θ R ( r ) dr
( )
1
2
. . . . . . (6) Pada suku ketiga persamaan 6 di atas,
Φ ( φ ) harus berulang (periodic) pada periode
φ (7
→ 8) dan negati"e, maka
∂ Φ (φ) =−m2 Φ ( φ) ∂ θ 1
2
dengan
m
bulat positif maka solusinya adalah
Φ ( φ ) = A cos mφ + sin mφ
...
. . . (9) Selanutnya suku pertama persamaan 6 ditulis dalam bentuk
( )
d 2 dR =k 2 r dr R ( r ) dr 1
4aka, 2
k +
[
]
∂ ∂ ! m − 2 =0 sinθ ∂θ Θ ( θ ) sinθ ∂θ sin θ 1
1
[
](
)
∂ ∂ Θ m − k 2− 2 Θ=0 sinθ sinθ ∂ θ ∂θ sin θ 1
. . . (:) Untuk menyelesaikan persamaan : ini, maka perlu dilakukan pemisalan seperti berikut " cos θ d" -sin θ d θ d θ sehingga persamaan : berubah menadi
" cos θ
;
d" sin θ
;
sin θ 0 < "
...
(]
[
2
)
∂ ∂Θ m + k 2− 2 Θ =0 sinθ −d" sinθ −d" sin θ sinθ sinθ 1
−∂ ∂"
[−
sin
2
](
)
2
∂ Θ m + k 2− 2 Θ =0 θ ∂" sin θ
Perhatikan tanda (-) kemudian susun persamaan di atas, sehingga diperoleh
[ [
]( ]+(
)
2
∂ ∂Θ m (1− " 2) + k 2− Θ= 0 2 ∂" ∂" 1− " ∂ ∂Θ − " 2 ∂ Θ ∂" ∂" ∂" 2
m
2
k −
2
−"
1
2
)= Θ
(
2
0
)
2
∂Θ ∂ Θ ∂ Θ m −2 " −2 " 2 + k 2− Θ =0 2 2 ∂" ∂" 1 −" ∂" Perhatikan tiga suku pertama, ini dapat digabung sehingga menadi 2
2
(
2
)
( 1− " ) ∂ Θ2 − 2 " ∂ Θ − 2 " 2 ∂ Θ + k 2− m 2 Θ=0 ∂" ∂" 1 −" ∂" 2
.....
. (=)
Θ( " ) terbatas dalam bentuk polynomial, karena
Persamaan = dapat menadi a*aban dari
kembali ke bentuk persamaan diferensial Legendre
(
2
)
2
[ 1− x ] ∂ y2 −2 x ∂∂ xy + # ( # + 1 )− m 2 y =0 ( 1− x ) ∂x 2
>dalah persamaan diferensial Legendre terasosiasi yang a*abnya adalah
p1 ( x ) = p 1 ( cos θ ) m
m
?ni hanya akan mempunyai a*ab terbatas (tidak terhingga) ika k l(l / 0) dimana l bulat positif dan m
$ l.
sehingga a*aban persamaan = di atas adalah
Θ = p1 ( cos θ ) m
dengan m
∂ p1 ( " )= [1 −" ] m p# (" ) ∂" m
2
yang dapat diselesaikan dengan menerapkan %umusan %edri#ues, sehingga #
∂ p1 ( " )= m p # (") (" < 0)l dan k l (l / 0) # 2 #% ∂" 1
+ang mengakibatkan persamaan = menadi
(
)
d 2 dR ( r ) =# (# + 1) r dr R ( r ) dr 1
dan solusinya adalah %(r) @0r 0 / 0
1 #+ 1
. . . . . (A)
r
imana @lr l / l real dan m 7, 0, , 3, . . . .
$ l
l 7, 0, , 3, . . . . dengan m
sehingga persamaan menadi m
U (r, θ , φ )
#
∑ ∑= = #
0
m
0
(
1
c 1 r + &1
1 #+1
r
)
'# ( cosθ ) [ A m cos mφ + m sinmφ ] m
Untuk menyelesaikan solusi yang diberikan persamaan B, syarat batas U (r,
. . . . . (B)
θ , φ ) yang
φ , karena ika (r, θ ¿ tetap, maka untuk
diberikan tak bergantung pada perubahan
φ
7 ; 8 U (r, θt(tap , φ ) tetap
φ adalah
Carena U tetap, sedangkan komponen yang mengandung
[ A m cos mφ + m sinmφ ] → m=0 [ A m cos mφ + m sinmφ ]=#
l tetapan
Perhatikan r
→ %, tidak boleh
i dalam bola r 7 1
c 1 r + &1
r
1 # +1
|
)
*)
r =0
Sehingga 0 7 engan demikian )
+ ' ( cosθ ) ∑ =
U (r, θ , φ ) U (r, θ )
1
#
1
0
{
/
00 $ θ $ - 2 0 $ x $1
/
100 - 2 $ θ $ -
−1 $ x $ 0
4aka penyelesaian selanutnya diselesaikan dengan ortogonalitas Legendre, seperti berikut #
∫ ' ( x ) ' ( x ) dx = 1
0
n
{
0n 2 2#
+1
=#
n*# 1
∫ [ ' ( x ) ] dx = 2 #2+1 2
@0
1
0
@0
@0
[ + ]=∫ ( ) 1
2
2#
1
2#
+1
¿
. θ '1 ( cosθ ) d ( cosθ )
−1
1
∫ ( θ ) ' ( cosθ ) d ( cosθ ) 1
2
−1
θ
Untuk D cos
#
2
P0(D)
x −1 ¿ # d 1 #
r # % dx
¿
#
2
P0( osθ )
os θ − 1 ¿ # 1 d #
r # % dx
#
#
¿
2
P0( osθ )
#
c os θ−1 ¿ 1 d ¿ 2 dx
adi U(r, θ ¿=100
[
1 2
3
7
4
16
'0 ( cosθ ) + r '# ( cosθ )−
r '2 ( cosθ ) + / .. 2
engan @7 077 (0$) E @ l 077(3$6)E dan @ 077 (-=$0:)
]
. . . . . (07)
