UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULT FA CULTAD AD DE INGENIERÍA INGENIE RÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
FISICA 1 CB-312 Péndulo !"#$o % &l '&o(&)* d& S'&#n&( L*+o(*'o(#o N,3 2.1/-I P(o&"o(0 é$'o( V*ld##* In'&(*n'&"0 - Su$"o Su$"o B& B&n* n*#d& #d&"" M*( M*($o" $o" 4o" 4o"&56 &56 2.1 2.131 311171 - Pé(&8 - Cu)5*
OBJETIVO: Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.
EQUIPOS Y MATERIALES: *Barra metálica de longitud L con 21 huecos. *oporte de madera con una cuchilla. *Dos morda!as simples *"n cronómetro digital *"na regla milimetrada *"n #ernier
FUNDAMENTO TEÓRICO: RECTA MINIMO CUADRADA
ea$ % &xi' (
)&xi' +
i$ ,i &error'( & )&xi' +
- yi '
xi / yi &datos experimentales'
n
S
ea tam0ién$
Ω
x ( Ei ) i ∑ =
2
(
i 1
&sumatoria de todos los errores al
cuadrado' &e le utili!a como un error glo0al/ ya ue introduce a todos los datos o0tenidos experimentalmente'. ara hacer el me3or a3uste de la ecuación y tener un error glo0al mínimo se utili!an las deri#adas parciales respecto a cada uno de los coe4cientes y se igualan a cero/ llegando a un con3unto de ecuaciones. e llegó al siguiente sistema de ecuaciones$ n
x i ∑ = i 1
n
+
x xi i ∑ = i 1
n
2
)
(
i
1
i 1
&
∂ S ∂ Ω / ∂ ∂ α '
n
n
x i ∑ =
xiyi ∑ =
)
n +
(
yi ∑ = i 1
& ∂Ω
∂S /∂∂ β
' Luego se o0tienen los parámetros & )/ + ' por el método de determinantes o regla de cramer.
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN PARALELEPÍPEDO DE MASA M Y LADOS A, B, C.
Los tres momentos de inercia han de tener/ por ra!ones de simetría/ una estructura análoga/ y serian iguales solamente si las tres aristas fueran iguales/ es decir/ si se tratara de un cu0o/ o 0ien de un paralelepípedo de caras iguales. "tili!aremos el momento de inercia de una cara rectangular con respecto a un e3e contenido en ella y aplicaremos a continuación el teorema de teiner
,l momento de inercia de la cara 0c &oscurecida en la 4gura'/ es con respecto al e3e de simetría contenido en ella ue atra#iesa el lado 0 por su punto medio. ,s tam0ién
/ por lo cual/ aplicando teiner$
or tanto/ será$
or analogía/ es
Momento e !ne"#!$ e %n #!&!n"o 5amos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa R y longitud L respecto de su e3e.
M/
radio
6omamos un elemento de masa ue dista x del e3e de rotación. ,l elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x / exterior x+dx / y de longitud L/ tal como se muestra en la 4gura. La masa dm ue contiene esta capa es
,l momento de inercia del cilindro e
PENDULO FISICO
"n péndulo físico es un sólido rígido de forma ar0itraria ue puede oscilar en un plano 5ertical alrededor de un e3e perpendicular a un plano ue contenga a su centro de masas. ,l punto de intersección del e3e con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de euili0rio es auella en ue el centro de masas se encuentra en la misma #ertical y por de0a3o del punto de suspensión. ,n la 4gura se presenta esuemáticamente un sólido plano de peue7o espesor utili!ado como péndulo físico.
e producen oscilaciones como consecuencia de des#iaciones de la posición de euili0rio/ ya ue entonces el peso del cuerpo/ aplicado en su centro de masas/ produce un momento respecto del punto de suspensión ue tiende a restaurar la posición de euili0rio. ,l momento respecto del punto de suspensión 8 es$ τ
( d 9 m.g
'1
F"e#%en#!$ ($"$ $m(&!t%e) e o)#!&$#!*n (e+%e$) La frecuencia angular del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la expresión 1:
ω
=
mgd I
donde I es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), m la masa del mismo, g la aceleración de la gravedad del lugar d la distancia del centro de masa del péndulo al centro de rotación!
PROCEDIMIENTO: a' o0re la mesa y apoyado so0re su 0ase mayor/ se su3eta el soporte de madera con las morda!as simples. 0' Locali!amos el centro de masa de la 0arra/ suspendiéndola hori!ontalmente en la cuchilla. ,l punto de apoyo de la 0arra en euili0rio será el centro de gra#edad de la 0arra. c' uspendemos la 0arra #erticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y la hacemos oscilar separándola ligeramente de su posición de euili0rio &1:; como máx.'/ tomando nota del tiempo ue emplea en 1< oscilaciones para los = primeros agu3eros y > oscilaciones para los ? agu3eros más cercanos al @.A. d' epetimos la operación anterior > #eces para disminuir el C de error.
e' edimos las dimensiones de la 0arra y hallamos su masa.
CALCULOS Y RESULTADOS: 6a0la con los datos tomados en el la0oratorio$ L$ distancia del punto de oscilación al centro de gra#edad &c.g' E de hueco 1 2 > ? : = G F H 1<
L&cm'
61&s'
62&s'
6>&s'
::/F >
1=/2> 1=/<1 1:/F> 1:/== 1:/?= 1:/:G ?/?G ?/H1 :/=2 G/=>
1=/:= 1=/<2 1:/G> 1:/=: 1:/:< 1:/H1 ?/=G :/<< :/:1 G/=1
1=/:2 1=/<> 1:/F? 1:/=2 1:/:1 1:/=2 ?/:= ?/H= :/F> G/?:
Eoscilacio 6&promedio nes '&s' 1< 1/=? 1< 1/=2 1< 1/:F 1< 1/:= 1< 1/:? 1< 1/:G > 1/:2 > 1/=: > 1/FF > 2/:2
,n los cuatro agu3eros más cercanos al @. solo hemos considerado > oscilaciones ya ue las oscilaciones casi no son tan nota0les. asa de la 0arra ( 1.F11 Ig ''-"e$&
o te*"!#$
DJ,KJ8K, D, L B ,6LJ@
partir de la siguiente fórmula se calculará el momento de inercia&J' para cada posición de la 0arra &L'$ 2
I ( L)=
T
2
4 π
MgL
esultado de todos los momentos de inercia $ E de hueco
L&cm'
6 &s '
1
:
2/=F
J&momento de inercia' &Ig.m2'
2
?:/F
2/=2
H
2
>
?
2/?H
1==?/=?
?
>:/F
2/?>
H1
12F1/=?
:
>
2/>G
2F
H?F/?
= G F
2:/F 2
2/?= 2/>1 2/G2
==:/? ?>2/? 2?H/=?
2
2
L2&cm2' 2:F
H
1
>/:>
11=/=?
1<
:/F
=/>:
>>/=?
/"01#$ e 2 3) 4 <.G <.= <.:
I-momento e !ne"#!$-67.m5
<.? <.> <.2 <.1 < < <.<: <.1 <.1: <.2 <.2: <.>
L2L-met"o) #%$"$o)-m5
continuación por el teorema de teiner se cumple ue$ J&L' ( L2 J&A' su @.A
J&A' $ omento de inercia de la 0arra respecto a
sumiendo$ J&L' ( %&x' / L2 (M / () / J&A' ( + ( @onstante hora podremos empe!ar a reali!ar un a3uste lineal con los datos experimentales o0tenidos$ %&x' ( )x + or mínimos cuadrados se o0tienen las siguientes ecuaciones$ N
1.<
1< +
(
>.>:G
N
1.<
<.1G
De auí$ ) ( 1.F1?: Og
(
<.?=>H=><:2
+ ( <.1:2H Og.m 2
Donde se o0tiene$ ) ( ( 1.F1?: Og
'''''''.. -8o"m$
e2(e"!ment$&
9e""o" "e)(e#to $ &$ m$)$ $
1.8145 −1811 1.8145
( ,;< 9
+ ( J&A' ( <.1:2H Og.m 2 ''''''''..-8o"m$
e2(e"!ment$&
F-2 = ;.>;2 ? .;@5< 2: 2< 1:
I-momento e !ne"#!$-67.m5
1< : < -? -2 < -:
2
?
=
F 1< 12 1?
L2L-met"o) #%$"$o)-m5
Pallando el J&A' de la 0arra en forma teórica$
rimero hallaremos el momento de inercia de toda la 0arra asumiendo no tenga agu3eros $ or la demostración #ista en el fundamento teórico$ 0
J&0arra maci!a' (
M t 12
2
& a + b
2
'
<
(
Mb Vb −21 Vc &50' (
1.811 0,0002401
&> Og
a ( <.<>F m / 0 ( 1.1m 1.9533
J&0arra maci!a' (
12
2 2 & 0.038 + 1.1 '
J&0arra maci!a' ( <.1=2GG: &<.<<1??? 1.21' ( <.1HG1H Ogxm 2 QQ. &1' Luego hallaremos los momentos de inercia de todos los agu3eros &cilindros' con respecto al @.A.
or la demostración #ista en el fundamento teórico$ Ji ( Jc &L.i'2 m QQQQQ.&teorema de steiner' / para$ L ( <.<: m
omento de inercia total de todos los agu3eros&cilindros'$ 10
2
Ii ∑ = i 1
10
( 2R &1<'Jc m
m
Jc(
2
( L. i) ∑ = i 1
2
S
1.81 Kg
M
2
&r '
pero$
m ( Vb −21 Vc &#c'( 0.0002401 m 3 &T.
&
Jc(
&
2
10
( L. i) ∑ = i 1
10
2
( L2 .
( i) ∑ = i 1
2
( &<.<:'2&1<'&1<1'&2<1'U= (
or lo tanto $ 10
2
Ii ∑ = i 1
(2 R &1<'.
10
2
Ii ∑ = i 1
( =>1? Ogxm2 QQ..&2'
or Vltimo/ restaremos el momento de inercia de los agu3eros&cilindros' al momento de inercia de la 0arra maci!a y o0tendremos el momento de inercia de la 0arra. &1' - &2' J&A' ( =>1? (: Ogxm 2
'''.-8o"m$ te*"!#$
9e""o" "e)(e#to $& I-/ $
0,1835 −0,1529 0,1835
( ;, 9
COCLUSIONES Y ANALISIS DE LAS /RAFICAS: De las 2 ta0las descritas con anterioridad se deduce para el agu3ero EG hu0o un periodo mínimo/ esto se de0e a lo peue7o ue es el cociente I ( L ) L
en dicho punto.
@on la grá4ca a3ustada tam0ién pudimos hallar un C de error con respecto a la masa. e sa0e ue los peue7os C de error se de0en a la resistencia del aire y a ue no siempre oscila en un plano xy solamente/ pero exitosamente solo fueron muy peue7os. ,l periodo de oscilación del péndulo físico para cada posición no depende nunca de su masa. ,n la grá4ca E2 la pendiente de la recta representa el #alor de la masa de la 0arra. ,n la grá4ca E1 los #alores experimentales aseme3an una recta/ demostrando ue el experimento se reali!ó con mucha sutile!a. ientras más peue7os hu0ieran sido los agu3eros de la 0arra se hu0iera tra0a3ado con mayor precisión en los cálculos/ ya ue ha0ría mayor oposición al desli!amiento en el momento de la oscilación.
e tra0a3ó con ángulos de oscilación peue7os/ pues eso reuiere la fórmula del péndulo físico.
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