ECUACIONES DIFERENCIALES FASE TRES Presentado a: William de Jesús Montoa !enao T"tor
Entre#ado $or: L"is Fernando D"%"e C&di#o: '''(()(*+( Jor#e I,-n !ern-nde. C&di#o: '''/0'11(/ 233333323333233333 C&di#o: 33333 233333323333233333 C&di#o: 33333 233333323333233333 C&di#o: 33333
4r"$o: '))*'/5'01
UNI6ERSIDAD NACIONAL A7IERTA 8 A DISTANCIA 9 UNAD ESCUELA DE CIENCIAS 7ASICAS IN4ENIERIAS 8 TECNOLO4IAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FEC!A 7O4OT; D
INTRODUCCION Este Este trab trabaj ajo o se fund fundam amen enta ta en el reco reconoc nocim imie ient nto o de la unida unidad d 3 del del curso curso Ecuac Ecuacio ione ness Diferenciales que tiene que ver con el Estudio de Series y de Funciones Especiales, para lo cual fue necesario realizar una lectura sobre conceptos de gran importancia como son Generalidades del estudi estudio o de series series,, Soluci Solución ón de ecuacio ecuaciones nes difere diferencia nciales les median mediante te series series de potenci potencias as y Funciones especiales y series matemticas! "as ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del anlisis matemtico y modelan innumerables procesos de la vida real! #na ecuación diferencial es una relación, vlida en cierto interv intervalo alo,, entre entre una variab variable le y sus deriva derivadas das sucesi sucesivas vas!! Su resolu resolució ción n permite permite estudia estudiarr las caracter$sticas de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas, por medio de la realización de este trabajo se da a conocer los m%todos usados al momento de &allarle solución a una ecuación diferencial por serie de potencias, logrando de ese modo identificar de qu% manera puede ser aplicada en nuestra vida actual!
O7JETI6OS
General: Dejar en evidencia mediante el desarrollo de una serie de ejercicios la teoría vista en el módulo del curso de ecuaciones diferenciales, los cuales serán subidos al foro para así retroalimentar nuestro conocimiento con bases y argumentos sólidos Específco: Adquirir destrezas que nos permitan mejorar habilidades inter personales para lograr un desempeño alto en equipo colaborativo
DESARROLLO DE LA ACTI6IDAD COLA7ORATI6A Actividad Individual:
A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SAB! "!#, de las cuáles cada integrante de$e seleccionar dos % seleccionar la respuesta correcta &ustificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general %'o particular l estudiante de$e garantizar que los e&ercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compaeros ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, pro$lema o contexto, frente al cual, usted de$e seleccionar aquella opción que responda correctamente al *tem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D +na ez la seleccione, márquela con un óalo la que corresponda % &ustifique la respuesta Teniendo en cuenta la siguiente ino!"aci#n conteste las $!eguntas %& ' ( )* -oda serie de potencias tiene un radio de conergencia R Si R > 0 , entonces la serie de potencias ∞
c ( x − a ) ∑ =
n
n
n 0
conerge para | x −a|< R % dierge para | x −a|> R Si la serie conerge sólo en su centro a entonces R= 0 Si la serie conerge para todo x entonces se escri$e R= ∞ s importante recordar que la desigualdad de un alor a$soluto es igual a.
| x −a|< R →a − R < x < a + R | x −a|> R → x >a + R ó
x < a− R
+na serie de potencias podr*a conerger o no en los puntos extremos a + R de este interalo
a − R %
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó1 -eniendo en cuenta lo anterior, /para qué alores de x conerge la serie de potencias ∞
(−1 ) + n ( x −2 ) ∑ = n 1
n
n 1
A a serie conerge para | x −3|< 1
lo que equiale a 2 ¿ x < 4 B a serie conerge a$solutamente para | x −2|< 1 lo que equiale a 1 < x < 3 3 4o se puede determinar la conergencia 5 a serie conerge a$solutamente para | x + 2|< 1 1 < x < 3 PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó2 l radio de conergencia de la serie de potencias es. ∞ ( x + 1 )n
∑=
n 1
A
n 2n ρ =1
lo que equiale a 6
B
ρ= 0
3
ρ =3
5
ρ=2
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó7 /3uál es el con&unto de conergencia a$soluta % el radio de conergencia de la siguiente serie ∞
∑ = n 0
n
x √ n
a 3on&unto (61, 1)
ρ=1
$ 3on&unto (61, 18
ρ=1
c 3on&unto 961, 1)
ρ=1
d 3on&unto 961, 18
ρ=1
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó- .o!ge I/0n 1e!n0nde2
: +n punto singular de y ´ ´ + f ( x ) y ´ + g ( x ) y =0 se puede definir como. a s un punto donde las funciones f ( x ) % g ( x ) no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias $ s el punto x 0 que al formar los siguientes productos f ( x ) ( x − x 0) % g ( x )( x − x0 )
2
;ace que sea anal*tico en x 0
c s el punto x 0 que al formar los siguientes productos
f ( x ) ( x − x 0)
2
%
g ( x )( x − x0 ) ;ace que sean desarrolla$les en series de potencias
d s el punto donde una ecuación tiene representación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dic;o punto PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N Definición de Punto singular de la sección del libro '(ntroducción al )%todo de Frobenius y el problema de Sturm* "oiuville+ de Sebastin ruzzone -or esta definición podemos concluir que la opción correcta de selección m.ltiple es la b!
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó- .o!ge I/0n 1e!n0nde2 < #$tenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Air% y ´ ´ ( t )− ty ( t )= 0 , y ( 0 )= y 0 , y ´ ( 0 )= y ´ 0
A
y (t )= y 0+
y 0 6
3
t −
y ´ 0 12
4
x +
y0 180
6
t −
y ´ 0 504
7
t
y0
B
y (t )= y ´ 0 t +
3
y (t )= y 0+ y ´ 0 t +
5
y (t )= y 0+ y ´ 0 t +
9
3
t
+
y0 6
y0 6
y ´ 0 16
3
t +
2
t +
4
t
+
y ´ 0 12
y ´ 0 12
y0 36
t +
4
t +
5
t +
6
y ´ 0 49
y0 180
y0 180
6
t +
7
7
t
t +
y ´ 0 504
y ´ 0 504
y =
9
9
11
t + Ot
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA ∞
7
t + O t
RA=>N O E2PLICACI>N "a forma gen%rica de una serie de potencia, incluyendo la ecuación diferencial de /iry!
a t ∑ =
n
n
n 0
Derivando dos veces esta ecuación, tomamos la segunda derivada que es la que nos interesa para este caso y remplazando estos valores en la E!D! inicial!
0omo la segunda suma comienza en n 1 2, mientras que la primera suma tiene un t%rmino ms y empieza en n 1 ! Separamos el t%rmino de la primera suma y combinar las dos sumas! Factorizando!
{
2 a n =0
( n +2 ) ( n+ 1 ) a n+2− an−1=0 Para todon =1,2,3, …
{
an+ 2 =
a2= 0 a n− 1
( n+ 1 ) ( n+2 )
Para todo n= 1,2,3, …
(gualando a cero y despejando!
0alculando
a3 remplazando
la relación de recurrencia para n 1 2 y as$ sucesivamente!
a3 k + 2= 0 paratodok = 0,1,2,3, … a3 k =
a0
( 2∗3 ) (5∗6 ) … ( 3 k −1 ) ( 3 k )
a3 k +1=
4odos los t%rminos a2 , a5 , a8 , … son iguales a cero
Paratodo k =1,2,3, …
a1
(3∗4 ) ( 6∗7 ) … ( ( 3 k ) ( 3 k + 1 ) )
Para todo k =1,2,3
4odos los t%rminos a3 , a6 , a9 , … son m.ltiplos de
a0 ! 4odos los t%rminos a 4 ,a 7 , a 10 , … son m.ltiplos
a1 !
de
forma general de las soluciones a la Ecuación de /iry y -ara nuestro caso como y ( 0 )= y 0 y
y ( 0 )= y ' 0 remplazando estos '
y (t )= y 0+
y 0 6
3
t −
y ´ 0 12
4
t +
y0 180
6
t −
y ´ 0 504
7
t
valores! 5ue corresponde a la opción / de selección m.ltiple!
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó= -eniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta. +n punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma y ´ ´ + f ( x ) y ´ + g ( x ) y =0 es aquel punto x 0 en el cual am$as funciones
f ( x ) y g ( x ) son anal*ticas> es
decir, pueden representarse en series de potencias de conergencia R > 0.
( x − x 0) con radio de
?ientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias ( x − x 0 ) . 5e la siguiente ecuación
x
2
xy´ ´ + e y ´ + xy = 0 se puede afirmar que.
a
x =0
$ c
x = 0 irregular, x ≠ 0 ordinarios x =0 ordinario % x > 0 ordinarios
d
x = 0 singular regular
ordinario, as* como el resto de los reales
x ≠ 0 ordinarios
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA ste tipo de preguntas consta de un enunciado, pro$lema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a :, usted de$erá seleccionar la com$inación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta % marcarla en la ;o&a de respuesta, de acuerdo con la siguiente información. Seleccione A si % ( ' son co!!ectas* Seleccione B si % ( ) son co!!ectas* Seleccione C si ' ( 3 son co!!ectas*
Seleccione D si ) ( 3 son co!!ectas* +na ez seleccione su respuesta, descri$a el procedimiento que la &ustifique ESTUDIANTE +UE REALI,Ó- Luis 4e!nando Du5ue @ a solución general de la ecuación y ´ ´ ( x ) + y ( x ) =0 mediante series de potencia es. 1
a0 cos x + a1 sen x
2
(−
7
x + a1 cos x + a2 sen x
1
1 2!
x +
(
a0 + a1 1 +
:
1
2
x −… + a 1 x −
4!
1 2!
) (
4
2
x −
1 4!
4
' '
a x ∑ =
3!
) (
+
x
5
5!
x
−…
3
3!
+
x
)
5
5!
+…
) RA=>N O E2PLICACI>N
E!D original
∞
y =
3
x + … + a2 x +
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA y + y = 0
x
Solución dada y sus derivadas
n
n
n 0
∞
y = '
∑= n a x −
n 1
n
n 0
∞
y
''
= ∑ n ( n− 1 ) a n x n− 2 n= 0
∞
' '
y =
∑= a + ( n + 2 ) ( n +1 ) x
n
(niciando la serie desde 6
n 2
n 0
∞
x [ a + ( n + 2 ) ( n + 1 ) + a ]=0 ∑ =
7emplazando en la E!D! original
a n + 2 ( n + 2 ) ( n + 1 ) + a n =0
(gualando el t%rmino de la derec&a a cero y despejando
n
n 2
n
n 0
a n + 2=
-ara
a2 =
-ara
a3 =
-ara
a 4=
− an ( n+2) ( n+1)
n =0
− a0 2
/nalizando los diferentes valores
⇒ a 2=
− a0 2!
n =1
−a1 3∗2
⇒
a3 =
−a 1 3!
n =2
−a2 = 4∗3
−1 ∗−a 0 4∗3 2
0
1
⇒
a 4=
2
a0 4!
3
y = a0 x + a 1 x + a2 x + a3 x + … y = a0+ a1 x −
[
y = a0 1−
x
2
2!
a2 2!
2
x −
a3 3!
] [
3
x +
+ … + a1 x −
(−1 )n x 2n +1 senx =∑ n=0 ( 2 n + 1 ) ! ∞
x
a4 4!
Solución para series de potencia y remplazando los valores obtenidos! 4
x …
3
3!
+…
] Definición de funciones elementales bsicas de seno y coseno
∞
(−1 )n x 2 n cosx =∑ ( 2n )! n=0 y = a0 cosx + a1 senx
7emplazando valores y obteniendo respuesta 8pción correcta dada estas respuestas literal /
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó- Luis 4e!nando Du5ue alle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias xprese dic;a ecuación mediante funciones elementales ( 1 + x 2 ) y ´ ´ + 2 xy ´ −2 y =0
1
x 1− x sen ¿ y = a1 x + a0 ¿
2
y = a1 x + a0 1+ x − x + x − x + …
7
y = a1 x + a0 x − x + x − x + …
( (
1
2
4
3
3
1
4
4
1
6
5
1
6
6
1
7
7
1
7
7
)
)
x 1 + x arctan ¿
:
y = a1 x + a0 ¿
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
∞
y =
∑ =
an x
Solución para series de potencia y remplazando en la E!D original!
n
n 0
∞
y = '
∑= a n x −
n 1
n
n 0
∞
y
''
= ∑ an n ( n− 1 ) x n− 2 n= 0
∞
∞
∞
( 1 + x ) ∑ an n ( n−1 ) x +2 x ∑ an n x − 2 ∑ an n− 2
2
n= 0
∞
a n ( n −1 ) x ∑ = n
n 0
n−1
n=0
n−2
n= 0
∞
∞
+ ∑ an n ( n−1 ) x + ∑ 2 a n n x n−
7esolviendo y factorizando!
n
n= 0
n= 0
n
∞
a n ( n −1 ) x ∑ =
n−2
n
a n ( n −1 ) x ∑ =
n−2
n
∑ =
a n n ( n −1 ) x
∞
+ ∑ ( n + 2 ) ( n −1 ) an x n =0 n= 0
n 2
∞
+ ∑ ( n2+ n−2 ) a n x n= 0 n= 0
n 2
∞
∞
n−2
n 2
∞
+ ∑ n ( n −3 ) an−2 x n−2 =0
(niciando la serie desde 6 y despejando!
n= 2
∞
( n ( n−1 ) a +n ( n −3 ) a − ) x − =0 ∑ = n 2
n
n 2
n 2
( n ( n −1 ) an + n ( n−3 ) an− ) x n− = 0 2
2
an =
− ( n − 3 ) an− 2 n−1 7emplazando valores
{
a1= a 1 a 2 n+ 3= 0 ∀ n ∈ Z a0= a 0
(−1 )n ( (− 1 ) 1∗3∗ … ( 2 n − 3 ) ) a0 a2 n= ∀ n ∈ N 1∗3∗5∗… ( 2 n − 1 )
{
a 1= a1 a2 n + 3= 0 ∀ n ∈ Z a 0= a0
(−1 )n + 1 a 0 a2 n= ∀ n ∈ N (2 n − 1 )
(−1 )n+1 x2 n y = ax + a0 ∑ ( 2 n−1 ) n= 0 ∞
(
Solución para la E!D! dada
)
(− 1 )n+ 1 x2 n y = a1 x + a0 1+ ∑ n = 1 ( 2 n− 1 )
(
∞
(−1 )n x 2 n+2 y = a1 x + a0 1+∑ ( 2 n +1) n=0 ∞
)
y = a1 x + a2 ( 1 + xtan x ) −1
(
Solución mediante funciones elementales remplazando valores en la solución inicial! 2
1
4
1
6
1
8
y = a1 x + a0 1+ x − x + x − x + … 3
5
7
)
8pciones 6 y 9 de la selección m.ltiple
ÍTEMS DE AN6LISIS DE RELACIÓN ste tipo de *tems consta de dos proposiciones as*. una Afirmación % una !azón, unidas por la pala$ra POR+UE +sted de$e examinar la eracidad de cada proposición % la relación teórica que las une "ara responder este tipo de *tems, de$e leerla completamente % sealar en la ;o&a de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones. Ma!5ue A si la ai!"aci#n ( la !a2#n son 7ERDADERAS ( la !a2#n es una e8$licaci#n CORRECTA de la ai!"aci#n* Ma!5ue B si la ai!"aci#n ( la !a2#n son 7ERDADERAS& $e!o la !a2#n NO es una e8$licaci#n CORRECTA de la ai!"aci#n* Ma!5ue C si la ai!"aci#n es 7ERDADERA& $e!o la !a2#n es una $!o$osici#n 4ALSA* Ma!5ue D si la ai!"aci#n es 4ALSA& $e!o la !a2#n es una $!o$osici#n 7ERDADERA* ESTUDIANTE +UE REALI,Ó-
y
C Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice que es no anal*tica POR+UE los coeficientes de la serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de -a%lor PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
ESTUDIANTE +UE REALI,Ó−1 −2 10 l punto singular de la siguiente ecuación ordinaria y ´ ´ − x y ´ + x y =0 es x 0=0 POR+UE P ( x )=− x− 1 % ( x )= x −2 no están definidas en dic;o punto
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA
RA=>N O E2PLICACI>N
P!i"e!a acti/idad 9!u$alSe plantea una situación pro$lema % el grupo de realizar los aportes respectios en el foro cola$oratio con el fin de reconocer las caracter*sticas del pro$lema que se ;a planteado % $uscar el método de solución más apropiado segDn las ecuaciones diferenciales de primer orden P!o:le"a-
Al calentar un resorte, su EconstanteF decrece Suponga que el resorte se calienta de modo que la EconstanteF en el instante t es k ( t )= 6 − t N / (éase la figura) Si el sistema masa6resorte sin forzamiento tiene masa =2 kg % una constante de amortiguamiento " =1 Ns / ! con condiciones iniciales x ( 0 )= 3 % x ´ ( 0 )= 0 , entonces el desplazamiento x (t ) queda descrito mediante el pro$lema de alores iniciales
2 x ´ ´ ( t ) + x ´ ( t ) + ( 6 − t ) x (t )= 0
x ( 0 )= 3
x ´ ( 0 )= 0
5etermine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de t =0 para el desplazamiento
PROPOSICION ENUNCIADO O E2PRESION MATEMATICA x ( t )= Pos#c#ónde$ resorte
RA=>N O E2PLICACI>N Ecuaciones para movimiento
x ( t )=%e$oc#dadde$ resorte '
x (t )= &ce$erac#ón de$ resorte ''
' '
'
x + " x + kx = 0 2 x
+ x ' + ( 6 − t ) x = 0
' '
E!D! generada por la situación descrita!
+ 0 + ( 6 −0 ) ( 3 ) =0
2 x
' '
2 x
' '
7emplazando valores
+ 18 =0
''
x ( 0 )=− 9 2 x
' ' '
2 x
' ' '
2 x
' ' '
x
+ x '' − x + ( 6 − t ) x ' = 0
− 9− 3 + ( 6− 0 ) ( 0 )= 0 − 12= 0
'' '
( 0 ) =6
2 x
( 4)
+ x ' ' ' + ( 6 − t ) x ' ' = 0
2 x
( 4)
+ 6 + ( 6− 0 ) ( − 9 ) = 0
( 4)
−48 =0
2 x
(4 )
x
Derivando con respecto a t y remplazando
derivando nuevamente remplazando!
con respecto
a t y
( 0 )= 24 n
pn (t )=
∑
( )
f
( t ) 0
!
=0
f ( t 0 )
( t −t 0)
0
pn (t )=
pn (t )=
0! 3 1
0
( t −t 0 ) +
f ' ( t 0 ) 1!
(t − 0 )0 + 0 ( t −0 )1 +
p4 ( t )=3−
usando la serie de !aylor para apro"imar un polinomio de # t$rminos
1
1
( t −t 0 ) + (−9 ) 2
f ' ' ( t 0 ) 2!
2
2
( t −0 )2 + 12 ( t −0 )3
2
9 t
( t −t 0)
+ t 3+ t 4+ …
Segunda acti/idad 9!u$al-
12
:aciendo t1 y encontrando la solución para los cuatro primeros t%rminos pedidos inicialmente!
Se presenta un pro$lema &unto con su solución, de forma cola$oratia de$en ealuar % analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso % respuesta se encuentra de manera correcta, de$en realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante % fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución Si el grupo considera que el proceso %'o respuesta se encuentra incorrecto, de$en realizar la o$seración % corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección % aportes extras a la solución EJERCICIO 8 SOLUCI>N PLANTEADA
O7SER6ACIONES ANE2OS MODIFICACIONES A LA SOLUCI>N PLANTEADA
Situación % solución planteada. Pandeo de una colu"na c#nica* +na columna de longitud , está a$isagrada en am$os extremos, tiene secciones transersales circulares % es cónica como se muestra en la figura
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal y = cx , como se muestra en la sección transersal de la figura $, el momento de inercia de una sección transersal respecto a un e&e xy perpendicular al plano es 1
( = ) r 4
4
, donde r = y % y = cx
"or
tanto,
()
x ( ( x )= ( 0 "
escri$imos 1
donde ( 0 = ( ( " )=¿ 1
Sustitu%endo
4
4
)r
4
4
4
) ( c" )
en la ecuación
4
diferencial x y ´ ´ ´ + *y =0 , la deflexión en este caso se determina del pro$lema de alor en la frontera 2
d y + *y = 0 y ( a )= 0 y ( " ) = 0 x 2 dx 4
4
P " * = + ( 0
5onde
ncuentre las cargas cr*ticas Pn para la columna cónica +se una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo y n ( x ) como una sola función SOLUCIÓN -eniendo en cuenta las condiciones iniciales y ( a )=0 y ( " ) =0
-enemos. 1 sen
1 sen
√ * a
√ * "
− 2 cos √ * = 0 a
− 2 cos √ * = 0 "
Ga que es un sistema ;omogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triiales
¿
sen
sen
√ * a
¿
√ * "
cos
cos
√ * a
√ *
¿
a
¿ sen √ * . cos √ * + sen √ * . cos √ * a
"
(
¿ sen √ * + √ * a
"
"
)
( )
¿ sen √ * " + a = 0 a"
ste será el caso si √ * √ *=
H
"
( )
" −a =n) a"
n*a" n*a" = , n=1,2,3, … "− a 2
* =
# si,
2
2
n ) a " -
2
2
P " = n +(
as cargas cr*ticas entonces son. 2
2
2
n ) +( 2 2 a +( Pn= 2 2 P n=n ) 2 2 - " - -
+sando 2 =
− 1 sen √ * a
cos
√ * "
-enemos
[
y = 1 x sen
√ * x
sen
− cos
( ) ( ) √ * a
√ * a
cos
√ * x
]
4
[
y = 3 x sen
√ * x
. cos
y n ( x )= 3 en √ *
a
− cos √ * .sen √ *
( ) 1
x
−
1
a
( ) (− )
y n ( x )=, 3 .en
¿ 4 sen
√ *
n)a" 1 1 − - x a
n)a" a 1 x
x
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CONCLUSIONES %n este trabajo presentamos una forma alternativa de resolver una ecuación diferencial por series de potencias , %l A&' es una estrategia que favorece el pensamiento crítico y las habilidades de solución de problemas junto con el aprendizaje de contenidos a trav$s del uso de situaciones o problemas del mundo real, con una buena investigación se realiza modelos óptimos que nos ayudan a resolver los problemas, las ecuaciones diferenciales nos ayudan a determinar diferentes formas de tratar la realidad
REFERENCIAS 7I7LIO4R;FICAS &ruzzone, ( )*++- .ntroduccion al /etodo de 0robenius y el problema de (turm1 2oiuville 3haves, 3 . )*++4- Módulo Ecuaciones Diferenciales. UNAD. &ogotá5 6niversidad 7acional Abierta y a Distancia 1 67AD