POG-2 Dimenzioniranje Prz

Osnove drvenih konstrukcija

Ak. 2011/2012

POGLAVLJE 2 PRORAČUN DRVENIH KONSTRUKCIJA PREMA DOPUŠTENIM NAPONIMA


Ak. 2011/2012

UVOD Osnova proračuna: -

teorijska

-

eksperimantalna

Element konstrukcije ima dovoljnu stabilnost ako su ispunjeni sljede ći uvjeti: stv

fstv

(

stv

)

s tv

(

stv

)

f dop

σstv ( τstv ) - stvarni naponi od utjecaja najnepovoljnijeg optere ćenja f stv - stvarna deformacija od utjecaja najnepovoljnijeg optere ćenja

σdop ( τdop ) - dopušteni naponi fdop - do dopuštena de deformacija


Ak. 2011/2012

Konstrukcija (konstruktivni element) je neuporabljiva kada nastupi: -

gubitak statičke ravnoteže konstrukcije (elementa) kao krutog tijela (prevrtanje);

-

lom kritičnog presjeka zbog prekora čenja

čvrstoće

ugrađenog gradiva ili

prekoračenja deformacija; deformacija; -

gubitak stabilnosti stabilnost i zbog izvijanja pojedinih elemenata konstrukcije; konstrukc ije;

-

nekontrolirani nekontrolirani pomak konstrukcije kao cjeline ili elementa konstrukcije.

Također, konstrukcija je neuporabljiva neuporabljiva kada nastupe: -

prevelike deformacije koje nepovoljno utje ču na efikasnu uporabu konstrukcije, njen izgled ili izgled pojedinih elemenata;

-

pretjerane vibracije koje otežavaju normalnu uporabu konstrukcije konstrukc ije (elemenata);

-

lokalna oštećenja koja umanjuju trajnost, efikasnost i oblikovne vrijednosti konstrukcije ili njenih elemenata; elemenata;

-

lokalna izbočavanja bez loma (npr. kod tankih plo ča);

-

pretjerano gnje čenje pri tlačnom naprezanju upravno na vlakna bez obzira na iskorištenu čvrstoću.


Ak. 2011/2012

OPTEREĆENJA Dokaz napona i deformacija sprovodi se za sve mogu će kombinacije optere ćenja. Kombinacija optere ćenja je zajedni čko djelovanje više optere ćenja, koja mogu da djeluju istodobno. Mogući utjecaji na konstrukciju su: -

utjecaji od stalnog optere ćenja;

-

utjecaji od korisnog opterećenja: - u trajanju do 3 mjeseca - u trajanju preko 3 mjeseca

-

klimatski utjecaji: - utjecaj vjetra - utjecaj snijega: - utjecaj snijega u trajanju do 3 mjeseca - utjecaj snijega u trajanju preko 3 mjeseca,

-

utjecaji od temperaturnih promjena (ukoliko su bitni);


-

seizmički utjecaji.

Sva opterećenja dijele se u tri grupe: -

osnovna optere ćenja

-

dopunska opterećenja

-

naročita opterećenja

U osnovna opterećenja spadaju: -

stalno opterećenje

-

korisno opterećenje

-

snijeg

-

vjetar (kada djeluje kao samostalno optere ćenje)

U dopunska optere ćenja spadaju: -

vjetar (kada ne djeluje kao samostalno optere ćenje)

-

opterećenje skela i oplata (za beton)

-

opterećenje privremenih konstrukcija

Ak. 2011/2012


-

trenje na ležajima

-

sile kočenja od vozila

-

temperaturne promjene

-

skupljanje i bubrenje drva

Ak. 2011/2012

U naročita opterećenja spadaju: -

seizmika

-

razmicanje (primicanje) oslonaca

-

utjecaj leda

-

požarno optere ćenje u trajanju do 30 min

Moguće kombinacije optere ćenja pri dimenzioniranju: -

Kombinacija optere ćenja I – osnovno optere ćenje

-

Kombinacija optere ćenja II – osnovno + dopunsko optere ćenje

-

Kombinacija optere ćenja III – osnovno + dopunsko + naro čito opterećenje


Ak. 2011/2012 3

Računska zapreminska masa drva pri normalnoj vlažnosti (kg/m )

Računska zapreminska masa za svježe oboreno drvo -

četinari

i meki listari 900 kg/m

-

tvrdi listari 1000 kg/m

3

3

Korisna opterećenja – propisi za optere ćenje objekata visokogradnje i mostova.


Ak. 2011/2012

OPTEREĆENJE SNIJEGOM Osnovno opterećenje snijegom kod ravnih ili blago nagnutih krovnih površina ( α ≤ 20°) 2

s = 0,75 kN/m (osnove krova) Osnovno opterećenje snijegom kod ve ćih nagiba krovnih površina ( α > 20°)

U planinskim podru č jima s većim snježnim padavinama uzima se u obzir pove ćano opterećenje snijegom, ovisno o lokalnim uvjetima, s tim da maksimalno optere ćenje za krovove nagiba

α ≤ 20°

ne prelazi vrijednost:

⎛ ⎝

s = ⎜ 75 +

A − 500 ⎞ ⋅ 10 −2 kN 2 osnove krova ⎟ m 4 ⎠

(

)

A – nadmorska visina (m) Za nagibe krova α > 20° opterećenje se koriguje prema prethodnoj tabeli.


Ak. 2011/2012

U krajevima bez snježnih padavina u ra čun se uzima minimalno zamjenjuju će 2

opterećenje snijegom s = 0,35 kN/m (osnove krova).

Kod dvovodnih krovova, pri iznalaženju najnepovoljnijih utjecaja, uzimaju se dva slu čaja opterećenja snijegom: -

simetrično opterećenje snijegom (puni snijeg (s) na obje strane krova)

-

nesimetrično opterećenje snijegom (puni snijeg s jedne strane krova (s), pola opterećenja snijegom (s/2) s druge strane krova).

Mjestimi čna nagomilavanja snijega na krovovima (uvale na krovu i sl.) moraju se posebno računski tretirati.


Ak. 2011/2012

OPTEREĆENJE VJETROM U statičkom proračunu uzima se djelovanje vjetra u bilo kom horizontalnom pravcu. U posebnim slučajevima uzima se i djelovanje vjetra s otklonom od horizontale ± 15°. Faktori koji utječu na intenzitet djelovanja vjetra su: 1. Brzina i pravac vjetra, udarno djelovanje vjetra, 2. Konfiguracija terena, zemljopisni položaj, zašti ćenost objekta u odnosu na okolinu i sl., 3. Oblik i dimenzije elemenata odnosno konstrukcije, položaj elementa u odnosu na konstrukciju i na pravac vjetra. Faktori 1. i 2. uzimaju se u obzir izborom osnovnog optere ćenja vjetrom (wo), a faktori 3. uzimaju se u obzir izborom koeficijenta oblika (c).

Opterećenje vjetrom na konstrukciju: w

= wo ⋅ c

(kN m

2

upravno na krovnu površinu

)


Ak. 2011/2012

Osnovno opterećenje vjetrom wo

(kN m

2

verti vertika kaln lne e proje projekci kcije je

)

v2 v2 ≈ wo = ρ ⋅ 2 16 ρ - odnos specifične težine zraka pri temperaturi od 15 ° C i barometarskom tlaku od 760 mm prema ubrzanju sile teže, v – brzina vjetra ovisno o zemljopisnoj zoni, visini objekta, lokalnom položaju objekta i njegovoj zaštićenosti od djelovanja vjetra. Osnovno opterećenje vjetrom


Prikaz vjetrovnih zona za podru č je bivše SFRJ

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Vjetrovna zona I – zona umjerenih vjetrova vjetrova Vjetrovna zona II – zona jake košave i vardarca Vjetrovna zona III – zona jake bure Prema stupnju zašti ćenosti objekti se svrstavaju u tri grupe: -

Objekti zaštićeni od djelovanja vjetra (objekti visine do 10 m u naseljima izme đu zgrada ili zidova, u gustim visokim šumama, objekti stalno i potpuno zašti ćeni od jakog vjetra); vjetra);

-

Objekti poluzaštićeni (djelomi čno zaštićeni) od djelovanja vjetra (objekti visine do 30 m u naseljima, šumama i kotlinama koji su zašti ćeni od najjačih udara vjetra);

-

Objekti izloženi djelovanju vjetra (objekti koji su u potpunosti izloženi direktnom djelovanju vjetra iz kojeg pravca i ja čine).


Shematski prikaz stupnja zašti ćenosti objekta

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Pri proračunu djelovanja vjetra na objekte treba razlikovati: -

zatvoreni objekti (zgrade bez otvora ili s malim, ravnomjerno raspore đenim otvorima);

-

djelomično otvoreni objekti (objekti koji su s jedne ili više strana potpuno otvoreni ili mogu biti otvoreni, zgrade koje imaju jedan ili više otvora, ali najmanje veli čine 1/3 površine strane);

-

potpuno otvoreni objekti (objekti koji su otvoreni sa svih strana, npr. peronski krovovi). Utjecaj vjetra (koeficijent oblika (c)) na zatvorene i djelomi čno otvorene objekte

C = ±0,3 – koeficijent oblika za unutrašnje djelovanje vjetra


Ak. 2011/2012

Djelimi čno otvoreni objekti – utjecaj vjetra na unutrašnje površine izložene djelovanju vjetra (zbog otvorenosti) c = +0,8.

Utjecaj vjetra (koeficijent oblika (c)) na potpuno otvorene objekte (visina objekta manja od širine) a) Dvovodni krovovi

a.1) 1. slučaj opterećenja a.1.1) Vanjska strana krova

⎛ = 1,3 ⋅ α − 0,5 ⎞ ≤ 0,80 ⎟ 30 ⎝ ⎠ 1,3 ⋅ α ≥ − 0,50 Krovna površina BC: c = Krovna površina AB: 0 ≤ ⎜ c

30


Ak. 2011/2012

a.1.2) Unutrašnja strana krova 0 ≤ α ≤ 30°

→

c

α = 0,5 ⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ - srednja vrijednost koeficijenta oblika c. ⎝ 30 ⎠

Koeficijent oblika c se linearno mijenja tako da na rubu A ima 2-struku vrijednost u odnosu na srednju, a na rubu B c = 0. 30 ≤ α ≤ 90° → c

α = 0,5 ⋅ ⎛⎜ − 1⎞⎟ ≥ −0,5 - koeficijent oblika c ima konstantnu ⎝ 30 ⎠

vrijednost i odnosi se na sisaju će djelovanje vjetra.

a.2) 2. slučaj opterećenja c = ±0,5 – dodatni tlak na unutrašnjoj strani krova.


Ak. 2011/2012

b) Jednovodni krovovi

b.1) Vanjska strana krova neposredno izložena djelovanju vjetra

⎛ = 1,3 ⋅ α − 0,5 ⎞ ≤ +0,8 ⎟ 30 ⎝ ⎠

0 ≤ ⎜c

b.2) Unutrašnja strana krova posredno izložena djelovanju vjetra b.2.1)

0 ≤ α ≤ 30°

→

c

= − 0,5 - srednja vrijednost koeficijenta oblika c (koeficijent c

linearno se mijenja po strani AC; c = -1 na rubu A; c = 0 na rubu C). b.2.2)

30° ≤ α ≤ 90 °

→

koeficijenta oblika c odre đen prema b.2.1) uve ća se za:

α = +0,25 ⋅ ⎛⎜ − 1,0 ⎞⎟ ⎝ 30 ⎠ ⎛ α − 1,0 ⎞ rub B: c = −0,25 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ rub A: c


Ak. 2011/2012

Tangencijalno djelovanje vjetra: 2

0,1wo (kN/m ) krovne površine

Djelovanje vjetra na cilindri čne konstrukcije w

= cα ⋅ wo


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

DOPUŠTENI NAPONI U DRVENIM KONSTRUKCIJAMA

σd =

σL n

σd - dopušteni napon σL - slomna čvrstoća drva n – koeficijent sigurnosti Koeficijentom sigurnosti n obuhvaćeni su: moguće pogreške drva, eventualne pogreške u radu konstrukcije, razlike u vrsti drva i sl. n = 2 ÷ 4 (ovisno od vrste naprezanja, opterećenja i slomne čvrstoće). Dopušteni naponi, koje koristimo prilikom dimenzioniranja odnosno kontrole napona u drvenim konstrukcijama, razlikuju se prema: -

botaničkoj vrsti drva

-

vrsti naprezanja

-

kvalitetnoj klasi drva

-

% vlažnosti građe


Ak. 2011/2012

Osnovni dopušteni naponi za monolitno i lamelirano ljepljeno drvo

σcα = σcd − ( σcd − σc ⊥d ) ⋅ sin α α - pravac sile u odnosu na pravac vlakana drva


Ak. 2011/2012

Osnovni dopušteni naponi ↔ osnovna opterećenja (Osnovni dopušteni naponi) x 1,15 ↔ osnovna + dopunska opterećenja (Osnovni dopušteni naponi) x 1,50 ↔ osnovna + dopunska + naročita opterećenja Prema važećim standardima (JUS U.C9.200/300) osnovni dopušteni naponi se reduciraju ovisno o: -

procentu vlažnosti drva

-

stupnju zaštite drva

-

duljini trajanja opterećenja

-

intenzitetu održavanja

Osnovna dopuštena opterećenja se reduciraju faktorom kd = 0,9 za objekte kod kojih: -

puno računsko opterećenje traje stalno,

-

korisno opterećenje ili snijeg djeluje dulje od 3 mjeseca.


Ak. 2011/2012

Faktori korekcije osnovnih dopuštenih napona ovisno o vlažnosti drva

Ovisno o intenzitetu održavanja odnosno stupnju zaštite konstrukcije, osnovne dopuštene napone treba reducirati sljedećim faktorima: 1. Za glavne nosive elemente -

potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni, izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti zraka u zatvorenom prostoru: kat = 0,85 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 0,95 (nadgledani i održavani objekti);


-

Ak. 2011/2012

djelimično otvoreni objekti najmanje s jedne bočne strane, nezaštićeni i djelimično izloženi atmosferilijama: kat = 0,90 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 0,95 (nadgledani i održavani objekti);

2. Za sekundarne nosive elemente -

potpuno otvoreni objekti, nezaštićeni, izloženi atmosferilijama ili izloženi visokoj trajnoj vlažnosti zraka u zatvorenom prostoru: kat = 0,90 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 1,0 (nadgledani i održavani objekti);

-

djelimično otvoreni objekti najmanje s jedne bočne strane, nezaštićeni i djelimično izloženi atmosferilijama: kat = 0,95 (nendgledani i neodržavani objekti); kat = 1,0 (nadgledani i održavani objekti);

Ukoliko je izvršena zaštita glavnih nosivih elemenata protiv atmosferilija, impregniranjem ili nekim drugim postupkom, dopušta se povećanje naprijed navedenih koeficijenata za 10%, s tim da je kat,max =1,0.


Procent vlažnosti drva ovisno o ambijentu u kojem se nalazi

Ak. 2011/2012


Dopušteni procenti vlažnosti drvene građe

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

PLOČASTI PROIZVODI NA BAZI DRVA Pločaste proizvode od drva sortiramo na: -

furnirske ploče (''šperploče''),

-

lamelirane građevinske ploče

-

ploče vlaknatice (''lesonit'' ploče) i

-

ploče iverice.

Furnirske ploče ili ''šperploče'' izrađuju se u sljedećim dimenzijama: -

debljina: 6, 8,10, 12, 15, 20, 22 i 25 mm

-

širina: 1220, 1500, 1700 i 1800 mm

-

duljina: 200, 2100, 2200, 2500, 2800 i 3100 mm.

Ploče vlaknatice (''lesonit'' ploče) izrađuju se u debljinama 2,5; 3,3 i 4 mm … do 50 mm (s prirastom 1 mm). Ploče iverice se rade u debljinama preko 3 mm (s prirastom od 1 mm).


ČELIČNI

Ak. 2011/2012

ELEMENTI U DRVENIM KONSTRUKCIJAMA

Dopušteni naponi za elemente od čelika

Čelični

elementi u drvenim konstrukcijama dimenzioniraju se u svemu prema pravilima

i principima metalnih konstrukcija, s tim da se koriste 10% umanjeni osnovni dopušteni naponi. Za čelične elemente koji kvalitetom ne odgovaraju važećim standardima za čelik, dopušteni naponi na savijanje i vlak za kombinaciju opterećenja osnovno + dopunsko i kombinaciju osnovno + dopunsko + naročito opterećenje iznose 11000 N/cm2. Za čelične elemente sa navojnicom čija kvaliteta ne odgovara standardima za čelik, dopušta se proračun nosivosti s max. vlačnim naponom 10000 N/cm2.


Ak. 2011/2012

DIMENZIONIRANJE PRESJEKA -

Ispitivanje presjeka Poznato: statički utjecaji (M, N, T) i dimenzije presjeka (A) Nepoznato: stvarni naponi (σstv) i deformacije (f stv) i usporedba istih s dopuštenim vrijednostima (σd, f d).

-

Dimenzioniranje presjeka Poznato: statički utjecaji (M, N, T) i kvalitet gradiva ( σd, E) Nepoznato: dimenzije presjeka (A)

Minimalni presjeci elemenata (neovisno o veličini napona i deformacije) iznose: -

Kod monolitnih presjeka 40 cm2, s tim da je manja dimenzija presjeka ≥ 4 cm (izuzetak su krovne letve),

-

Kod složenih presjeka i krovnih konstrukcija 18 cm2, s tim da je manja strana presjeka ≥ 2,4 cm.


Ak. 2011/2012

Element konstrukcije je dovoljno siguran pri zadanom (najnepovoljnijem) opterećenju ako su stvarni naponi i deformacije manji od dopuštenih.

σ ( τ )stv ≤ σ ( τ )d Tablica dopuštenih napona za klasično drvo (vlažnost 18 %) – N/cm2


Ak. 2011/2012

fstv ≤ f d

Osnovne računske vrijednosti modula elastičnosti i posmika (kN/cm2)


Ak. 2011/2012

CENTRIČNI VLAK

N = ∫ σ tdA → σ t = const. → N = σ t ⋅ A → A

Monolitni (prosti) presjek – neoslabljen N σ t = A Monolitni (prosti) presjek – simetrično oslabljen

σ t =

N A n


Ak. 2011/2012

Monolitni (prosti) presjek – nesimetrično oslabljen

Utjecaji u presjeku N; M = N⋅ e

→

ekscentrični vlak

Prema važećim propisima centrično zategnuti štapovi se dimenzioniraju prema: N ≤ σ t d A n σt - normalni vlačni napon u presjeku u pravcu vlakana

σ t =

σtd - dopušteni normalni vlačni napon N – vlačna sila u presjeku An – neto (oslabljena) površina presjeka


Ak. 2011/2012

Potrebna površina presjeka (dimenzije presjeka): A n =

N σ t d

Nosivost centrično zategnutog štapa: Ndop = A n ⋅ σtd Deformacija (izduženje) centrično zategnutog štapa, računa se prema:

ΔL =

N⋅L A ⋅ E

N – vlačna sila L – duljina štapa A – bruto (ukupna) površina presjeka EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana drva. -

U statičkom računu, utjecaj oslabljenja presjeka izazvanog fitiološkim razvojem drva ili fizičkim i mehaničkim oštećenjima, uzet je u obzir preko koeficijenata sigurnosti unutar dopuštenog napona.

-

U procesu deformacije – izduženja štapa angažira se čitav štap tako da lokalne pogreške i lokalna slabljenja presjeka bitno ne utječu na veličinu izduženja.


-

Ak. 2011/2012

Pri dimenzioniranju presjeka uvijek je mjerodavan uvjet iskorištenja dopuštenog napona (nosivost), a uvjet ograničenja deformacija (uporabljivost) se ne postavlja. Primjer proračuna neto površine poprečnog presjeka

Bruto (ukupna) površina presjeka - A = b ⋅ h Površina slabljenja presjeka - Δ A = 2 ⋅ a ⋅ c + ( b − 2c ) ⋅ d Neto (smanjena) površina presjeka - A n = A − ΔA


Ak. 2011/2012

CENTRIČNI TLAK

Normalni tlačni napon u pravcu vlakana, pod uvjetom da prava os štapa i pod opterećenjem ostaje prava, iznosi: N A σc - normalni tlačni napon u presjeku u pravcu vlakana

σc  =

N – tlačna sila u presjeku A – bruto (ukupna) površina presjeka


Ak. 2011/2012

Prema važećim propisima centrično pritisnuti štapovi, pod uvjetom da prava os štapa i pod opterećenjem ostaje prava, tj. da se ne dešava efekt ''izvijanja'' štapa, se dimenzioniraju prema:

σc  =

N ≤ σ cd A

σtd - dopušteni normalni tlačni napon u pravcu vlakana Deformacija (skraćenje) centrično pritisnutog štapa, računa se prema:

ΔL =

N⋅L A ⋅ E

N – tlačna sila L – duljina štapa A – bruto (ukupna) površina presjeka EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana drva.


Ak. 2011/2012

IZVIJANJE ŠTAPA

Euler-ova kritična sila Ni = π2 Imin – minimalni moment tromosti presjeka Li – duljina izvijanja štapa E .Imin Ni = π / ÷A L2i Ni 2 E .Imin =π 2 A Li ⋅ A 2

E .Imin L2i


imin =

Imin - radijus tromosti presjeka, tj. A

Imin A E .I E 2 E E Ni = π2 2 min → π2 2 ⋅ imin = π2 2  = π2 2  Li λmax A Li ⋅ A Li 2 imin L λmax = i - maksimalna vitkost štapa imin 2 imin =

Ni = σi - Eulor-ov napon na izvijanje A E σi = π 2 2  λmax

σcL = ω - koeficijent izvijanja σi σcL - granična (lomna) čvrstoća drva na tlak

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

σcL σi = / ÷n ω σi σcL 1 = ⋅ n n ω σi = σid - dopušteni napon na izvijanje štapa n σcL = σ cd - dopušteni tlačni napon n N σ N σid = = cd → σcd = ω A ω A Odnosno, napon u jednom štapu opterećenom na izvijanje, dobija se prema: N σcstv = ω ⋅ ≤ σcd A ''ω'' – postupak za dimenzioniranje centrično pritisnutih štapova Potrebna površina poprečnog presjeka: A pot = ω ⋅

N σ c d


Nosivost centrično pritisnutog štapa: Ndop Za ω = 1 → σc =

Ak. 2011/2012

A ⋅ σcd = ω

N ≤ σcd - ''kratki'' štapovi (λ ≤ 10). A

Veličina koeficijenta ω određuje se na osnovu deformacija štapa unutar i izvan granice elastičnosti.


Ak. 2011/2012

a) σc < σ cp

σcL σcL λ2 1 ω= = = 2⋅ E σi π E π2 ⋅ 2 λ σcL E = const. = 312 σcL

λ2 1 λ2 ω= 2 ⋅ = - koeficijent izvijanja u područ ju elastičnog ponašanja materijala π 312 3100 (tgα = EII = const.) σ b) σc > σ cp ( E = tg α = ) ε λ2 Izraz ω = može se koristiti i u neelastičnoj oblasti ako se u račun uvede prividan 3100 modul elstičnosti, koji ovisi o obliku odnosno geometriji presjeka, modulu elastičnosti u elastičnoj oblasti E i modulu elastičnosti Eσ koji se određuje na osnovu dijagrama σ − ε .


Ak. 2011/2012

Važeći propisi za proračun stabilnosti pritisnutih štapova prihvatili su eksperimentalno dobiveni obrazac za ω koji je definirao Kočetkov.


Ak. 2011/2012

Kočetkov izraz za izračun koeficijenta izvijanja u neelastičnom područ ju:

ω= λ2 ω= = 3100

1 2 λ ⎞ ⎛ 1 − 0,8 ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

1 2 λ ⎞ ⎛ 1 − 0,8 ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

→ λ = 75 - vitkosti na granici elastičnosti


Ak. 2011/2012

Koeficijent izvijanja za drvo


Ak. 2011/2012

Li i Li – duljina izvijanja štapa Vitkost štapa: λ =

i – radijus tromosti presjeka U drvenim konstrukcijama vitkost štapa ograničena je sljedećim vrijednostima: -

λ ≤ 150 za glavne nosive elemente za koje se sa dovoljno sigurnosti može odrediti duljina izvijanja

-

λ ≤ 120 za glavne nosive elemente kod kojih konstrukcija ne omogućava pouzdanu točnost proračuna vitkosti ( λ )

-

λ ≤ 175 za sekundarne elemente tj. one elemente čija je stabilnost od sekundarnog značaja na stabilnost konstrukcije kao cjeline.

Uglavnom, proračun glavnih nosivih elemenata radimo s ograničenjem vitkosti na

λ gr = 120


Radijus tromosti presjeka: i =

Ak. 2011/2012

I A

I – moment tromosti presjeka A – površina poprečnog presjeka

Kvadratni presjek

Kružni presjek

a4 I a2 12 ix = iy = = 2 = = 0,289 ⋅ a A a 12

d4 ⋅ π I d2 d 64 = 2 = = ix = i y = d ⋅π A 16 4 4


Pravokutni presjek b ⋅ h3 I h2 12 = = = 0,289 ⋅ h = imax ix = A b⋅h 12 h ⋅ b3 2 I b iy = = 12 = = 0,289 ⋅ b = imin A b⋅h 12

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Duljina izvijanja Li Li = f (L,rubni uvjeti nakrajevimaštapa)


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Duljina izvijanja rešetkastih nosača

a) U ravni rešetke: -

kada se štapovi vezuju čavlima Li = 0,8 ⋅ L

-

kada se štapovi vezuju vezom na zasjek, moždanicima i vijcima Li = L

-

za pojasne štapove Li = L b) Izvan ravni rešetke:

-

za sve štapove ispune Li = L

-

za pojasne štapove Li ovisno o razmaku ukrućenja kojima se ukrućuje tlačni pojas


Ak. 2011/2012

Duljina izvijanja krovnih konstrukcija

a) U ravni vezača -

su ≤ 0,75 ⋅ s i sustav pomičan si = 0,8 ⋅ s

-

su > 0,75 ⋅ s i sustav pomičan si = s

-

pomični sustavi - si = su ili si = so

b) Upravno na ravan vezača – duljine izvijanja jednake su razmacima točaka koje su poduhvaćene odgovarajućim ukrućenjima.


Ak. 2011/2012

Dimenzioniranje pritisnutih presjeka N σc = ω⋅ ≤ σcd A N A pot = ω ⋅ σ c d

→

1. Dimenzioniranje probanjem N Pretpostavimo dimenzije presjeka i vršimo kontrolu napona σc = ω⋅ ≤ σcd A 2. Direktno dimenzioniranje Korištenjem gotove tablice


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

SAVIJANJE -

Čisto

savijanje

-

Koso savijanje ČISTO

SAVIJANJE


Ak. 2011/2012

Mmax ≤ σmd W T ⋅S = max ≤ τmd b ⋅I

1.

Normalno naprezanje

σmmax =

2.

Posmično naprezanje

τmmax

Za pravokutne presjeke:

τmmax

b ⋅ h2 Tmax ⋅ S Tmax ⋅ 8 Tmax ⋅ 12 ⋅ b ⋅ h2 Tmax Tmax = = = = 1,5 ⋅ = 1,5 ⋅ ≤ τmd 3 2 3 b⋅h b ⋅I 8⋅b ⋅h b⋅h A b⋅ 12

3.

Progib fmax ≤ f d =

L m

MM NN TT ds + ∫ ds + k ∫ ds = f(M) + f(N) + f( T) EI EA GA MM NN f( σ) = ∫ ds + ∫ ds = f(M) + f(N) EI EA TT A S2 f( τ) = k ∫ ds = f( T) ; k = 2 ∫ dA GA I b f=∫


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

KOSO SAVIJANJE


1.

Normalno naprezanje

σm = σmx + σmy = 2.

Ak. 2011/2012

Mx My + ≤ σmd Wx Wy

Posmično naprezanje 2

τm = τm2 x + τm2 y

2 ⎛ Tx ⋅ Sx ⎞ ⎛ Ty ⋅ S y ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ b ⋅ I ⎟⎟ ≤ τmd b ⋅ I ⎝ x ⎠ y ⎠ ⎝

3. Progib L f = fx2 + fy2 ≤ fd = m


Ak. 2011/2012

EKSCENTRIČNI TLAK (kombinirano djelovanje savijanja i tlačne sile)


Ak. 2011/2012

PRIBLIŽNA METODA PRORAČUNA EKSCENTRIČNO PRITISNUTIH ŠTAPOVA

Maksimalni progib u sredini nosača: fo = f max

qL4 = 4 π EI


fo = f max

Δfo =

M qL4 qL2 L2 = 4 = 2 ⋅ 2 = max π EI π π EI Nkrit

MN N = f max ⋅ Nkrit Nkrit

N fmax = fo + Δfo = fo + fmax ⋅ → Nkrit N fmax − fmax ⋅ = f o → Nkrit f max =

f o

N 1− Nkrit

→

Ak. 2011/2012


f max

Ak. 2011/2012

Mmax Mmax N Nkrit M = krit = = max N Nkrit − N Nkrit − N 1− Nkrit Nkrit

Izraz za f max točan je samo za opterećenje po zakonu sinusa, a približno je točan za sve ostale u praksi moguće sheme opterećenja. Npr. f o = β ⋅

Mmax N → β = krit ⋅ f o Nkrit Mmax

β = 1 za sinusno opterećenje Primjer 1

Mmax

P ⋅L P ⋅ L3 EI = ; f o = ; Nkrit = π 2 ⋅ 2 → 4 48 ⋅ EI L


Ak. 2011/2012

π2 EI P ⋅ L3 4π2 β= 2 ⋅ ⋅4⋅ = = 0,823 L P ⋅L 48 ⋅ EI 48 Primjer 2

Mmax

q ⋅ L2 5 q ⋅ L4 EI = ; f o = ⋅ ; Nkrit = π 2 ⋅ 2 → 8 384 EI L

EI 8 5 q ⋅ L4 40π2 β=π ⋅ 2 ⋅ ⋅ = = 1,028 2 L q ⋅ L 384 EI 384 2

Znači:

β=

Nkrit ⋅ f o Mmax

β = 1 sinusno opterećenje 0,82 < β < 1,23 za ostale u praksi moguće sheme opterećenja


Ak. 2011/2012

Uz pretpostavku o elastičnom radu materijala sve do sloma, veličina napona u krajnjim vlaknima ekscentrično pritisnutog štapa dobiva se metodom superpozicije M N Mmax + ⋅ η + N,max ⋅ η ≤ σ cd A W W σ η = cd - koeficijent kojim se naponi savijanja reduciraju na napone tlaka. σmd

σc  =

MN,max = N ⋅ f max - moment savijanja od utjecaja aksijalne sile N f max =

Mmax - maksimalni progib grede Nkr − N

MN,max = N ⋅ fmax = N ⋅

ξ = 1− σc  =

Mmax Nkr − N

N Nkr

N Mmax η + ⋅ ≤ σcd - ivični napon kod ekscentrično pritisnutog štapa A W ξ


Ak. 2011/2012

Progib kod ekscentrično pritisnutog štapa: fmax =

Mmax L ≤ f d = Nkr − N m

Moment savijanja od poprečnog opterećenja (Mmax) kod ekscentrično pritisnutih štapova uzima se u račun samo kada se deformacije od momenta (Mmax) poklapaju sa izvijanjem od aksijalne sile (N). Kontrola napona kod ekscentrično pritisnutih štapova se prema važećim propisima za drvene konstrukcije radi se prema izrazu: N σcd Mmax σc  = ω + ⋅ ≤ σ c d A σmd W N (1) σc = ω ≤ σ cd - utjecaj tlačne sile A M (2) σm = max ≤ σmd - utjecaj poprečnog opterećenja (momenta savijanja) W


Ak. 2011/2012

Mmax M M ≤ σmd ⋅ σcd → σcd ⋅ max ≤ σmd ⋅ σc d → σcd ⋅ max ≤ σmd ⋅ σcd / σmd W W W σ M (2) cd ⋅ max ≤ σ cd σmd W (2)

→

N σ M (1) + (2) → σc = ω + cd ⋅ max ≤ σ cd A σmd W Također, kontrolira se posmično naprezanje od poprečne sile u mjerodavnom presjeku prema: Tmax ⋅ S ≤ τmd b ⋅I Odnosno za pravokutne presjeke:

τmmax =

τmmax = 1,5 ⋅

Tmax ≤ τmd A


Ak. 2011/2012

Progib se kontrolira prema: fmax = f(M)max ≤ f d f (M)max - progib od poprečnog opterećenja na gredu. Progib od normalne sile f (N) ne uzima se u obzir pošto se utjecaj sile uključuje kroz ''ω''postupak dimenzioniranja.


Kombinacija kosog savijanja i tlačne sile

Normalno naprezanje dobiva se superpozicijom prema: N ⎛ Mxmax Mymax ⎞ η σc = + ⎜⎜ + ⎟ ⋅ ≤ σ c d A ⎝ Wx Wy ⎟⎠ ξ

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Odnosno, prema važećim propisima za drvene konstrukcije:

⎞ M N σ ⎛M σc = ω + cd ⎜⎜ xmax + ymax ⎟⎟ ≤ σ cd A σmd ⎝ Wx Wy ⎠ Kontrola posmičnog naprezanja radi se prema: 2

τmmax = τm2 x + τm2 y

2

⎛ Tx ⋅ S x ⎞ ⎛ Ty ⋅ Sy ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜⎜ b ⋅ I ⎟⎟ ≤ τmd b ⋅ I x ⎠ y ⎠ ⎝ ⎝

Progib se kontrolira prema: L fmax = fx2 + fy2 ≤ fd = m


Ak. 2011/2012

EKSCENTRIČNI VLAK

Normalno naprezanje u presjeku štapa dobiva se prema:

σ t =

N σcd Mmax σcd N ⋅ f + ⋅ − ⋅ ≤ σ td A n σmd Wn σmd Wn


Ak. 2011/2012

Uz zanemarivanje smanjenja progiba od poprečnog opterećenja usljed djelovanja vlačne sile dobivamo:

σ t =

N σcd Mmax + ⋅ ≤ σ td A n σmd Wn

Posmično naprezanje kontrolira se prema:

τmmax =

Tmax ⋅ S ≤ τmd b ⋅I

Progib se kontrolira prema: fmax = f(M)max ≤ f d =

L m

U slučaju kada ekscentritet vlačne sile N (MN = N ⋅ e ) povećava progib od poprečnog opterećenja tada se normalno naprezanje kontrolira prema:

σ t =

N σcd Mmax σcd N ⋅ e + ⋅ + ⋅ ≤ σ td A n σmd Wn σmd Wn


Ak. 2011/2012

σc d - koeficijent redukcije kojim se naponi od savijanja svode na vlačne napone ( da σmd bi se moglo superponirati i uspoređivati zajedničko djelovanje savijanja i vlaka.


Ak. 2011/2012

ČISTI

POSMIK

F F = ≤τ A L v ⋅ b d = 6t - najmanja dopuštena dulina posmika

τ =

L vmin

L v ≤ 8t - može se računati sa jednolikom raspodjelom posmičnog napona na cijeloj posmičnoj površini (L v ⋅ b )


Ako je L v > 8t u račun se umjesto L v,stv uzima L v,rač iz sljedeće tabele.

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

TORZIJA

Iz uvjeta ravnoteže slijedi: Mt − ∫ ρ ⋅ τρ ⋅ dA = 0 A

Mt = ∫ ρ ⋅ τρ ⋅ dA A

Deformacija štapa:

τρ = G ⋅

dϕ ⋅ρ dL

→

→


Mt M dL = t ⋅ L - relativno obrtanje dva poprečna presjeka koja su na GIo L GIo

ϕ=∫

međusobnom rastojanju L GIo - torziona krutost štapa

Io - polarni (torzioni) moment inercije

τρ = τ =

Mt ⋅ρ Io

τmin = 0 - u težištu presjeka Mt ⋅ r - na rubu presjeka Io

τmax = Io = Wt r

τmax =

Mt ≤ τ d Wt

ϕmax =

Mt ⋅ L m ax GIo

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Torzija štapova složenog poprečnog presjeka

Raspodjela momenta torzije na elemente složenog presjeka i na cijeli presjek: Mti = Mt ⋅

Ioi Ifs ; Mts = Mt ⋅ ∑Ioi + Ifs ∑ Ioi + Ifs

Is Ifs = G ⋅ e' 1+ ⎛a b ⎞ c⎜ 1 + 1 ⎟ ⎝b b⎠

16a12b12bh ; Is = a1h + b1b


τ = τ ti + τts ≤ τd τti =

Mti Wti

τts =

Mts Wts

Wts1−1 = 8a1b1b ⎪⎫ ⎬ − za presjek sa slike 2− 2 Wts = 8a1b1h⎪⎭ Deformacija (kut zakretanja) dobija se preko: tg ϕ =

Mt ⋅ L ( ∑ Ioi + Ifs ) ⋅ G

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Štapovi izloženi istovremenom djelovanju torzije i savijanja

Napon od savijanja: M W Posmični napon od poprečne sile od savijanja:

σm =

T ⋅S b ⋅I Napon od torzionog momenta:

τm =

τ t =

Mt Wt


Glavni normalni naponi dobivaju se prema: 2

σ ⎛σ ⎞ σ1,2 = m ± ⎜ m ⎟ + τ2t 2 ⎝ 2 ⎠ Maksimalni napon posmika dobiva se prema:

τmax =

σ1 − σ2 ≤ τ d 2

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

PRITISNUTI ŠTAPOVI SLOŽENOG POPREČNOG PRESJEKA


Ak. 2011/2012

Materijalna os presjeka – izvijanje oko ove osi ne ovisi o popustljivosti spojnih sredstava u spojnim ravninama. Proračun obzirom na ovu os je isti kao i kod prostih štapova.

σc = ω⋅

N ≤ σ c d A

n

A = ∑ A i i=1

n

I = ∑ Ii i=1

I A L λ= i →ω i

i=

Slobodna os presjeka – izvijanje oko ove osi ovisi o popustljivosti spojnih sredstava u spojnim ravninama i isti efekt mora se uzeti u račun.


Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Proračun se radi s računskim momentom tromosti presjeka (umjesto momenta tromosti krutog monolitnog presjeka): n

n

i=1

i=1

If = ∑ Ii + γ ∑ A i ⋅ ai2 n

∑I - suma vlastitih momenata tromosti elemenata presjeka i

i=1

A i - površina presjeka pojedinih elemenata složenog presjeka

γ=

1 - koeficijent popustljivosti spojnih sredstava 1+ k


Koeficijenti popustljivosti spojnih sredstava

Ak. 2011/2012


EII – modul elastičnosti u pravcu vlakana c – koeficijent iz tablice e' – prosječni razmak spajala α =

2,49d ; d – prečnik čavla u cm.

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Štapovi složenog presjeka sa kontinuirano vezom elemenata duž štapa Kontrola dopuštenog razmaka spajala: Ns,dop e' = t f,max

(kN cm' )

Ns,dop - dopuštena nosivost spajala t f,max - maksimalna posmična sila u spojnoj ravni Qmax ⋅ γ ⋅ Si kN cm2 If N = ω⋅ za λ f ≥ 60 60 N λ = ω ⋅ ⋅ f za 30 ≤ λ f ≤ 60 60 60 N = ω⋅ za λ f < 30 120

t f,max = Qmax Qmax Qmax

N – tlačna sila

(

)


Ak. 2011/2012

λ f =

Li - računska vitkost štapa if

if =

If - računski radijus tromosti presjeka A

Si = A i ⋅ ai - statički moment površine presjeka

h12 h22 If = ∑ Ii + γ ∑ A i ⋅ a = A1 ⋅ + A 2 ⋅ + γ ( A1 ⋅ a12 + A 2 ⋅ a22 ) 12 12 i=1 i=1 n

if =

n

If A1 + A 2

2 i

→

λx =

Lix → ωx if

N → σ c  = ωx ⋅ ≤ σcd A1 + A 2


Ak. 2011/2012

Štapovi složenog presjeka sa mjestimično raspoređenim vezama elemenata


Ak. 2011/2012

Najmanji broj podmetača (veza) je dva. Maksimalni razmak podmetača (veza) je 1/3 duljine izvijanja štapa. Štapovi sa podmetačima: a/h1 ≤ 3. Štapovi sa poprečnim vezama: 3a/h1 ≤ 6. Izvijanje oko slobodne osi presjeka (y-os) Računska vitkost štapa: m 2 ⋅λ 2 1 λ y - vitkost štapa složenog presjeka kao da je monolitan

λ f = λ2y + s ⋅

λ1 =

L1 - lokalna vitkost jednog elementa presjeka i1

I i1 = 1y A1

;

⎧ Liy ⎪ L1 ≤ ⎨ 3 ⎪⎩60 ⋅ i1


Za λ1 =

Ak. 2011/2012

L1 < 30 u proračun se uzima vrijednost λ1 = 30. i1

s – koeficijent ovisan o vrsti veze i spajalu Koeficijent s

m – broj elemenata presjeka koji idu cijelom duljinom štapa

λ f = λ 2y + s ⋅

m 2 ⋅λ 2 1

N σ c  = ω ⋅ ≤ σ c d A

→ω


Ak. 2011/2012

Broj spajala za vezu podmetača odnosno poprečnih veza sa uzdužnim elementima složenog presjeka određuje se prema posmičnoj sili T: Qmax ⋅ L1 2a1 Qmax – maksimalna poprečna sila koja se određuje kao kod štapova s kontinuiranim T=

vezom elemenata; L1 – lokalna duljina izvijanja štapa a1 – razmak osi uzdužnih elemenata od težišta složenog presjeka Dimenzije podmetača (poprečnih veza) treba provjeriti na moment: Qmax ⋅ L1 2 Za štapove složenog presjeka sa podmetačima kao vezama propisano je: M=

-

minimalan broj čavli u vezi – 4

-

minimalan broj vijak (moždanika) u vezi – 2

-

kod ljepljenih podmetača duljina podmetača veća od dvostrukog razmaka između uzdužnih elemenata štapa


Ak. 2011/2012

Savijanje nosača složenog poprečnog presjeka Horizontalne spojne ravni

A1 = b ⋅ t ; A R = d ⋅ ( h − 2t ) h S1 = A1 ⋅ o ; 2

SR = d ⋅

π2 ⋅ E ⋅ A1 ⋅ e' k= L2 ⋅ c

( h − 2t )

2

8

3

If = ∑ Ii + γ ∑ A i ⋅a

2 i

→

b ⋅ t 3 d ⋅ ( h − 2t ) h If = 2 + + 2γ ⋅ A1 ⋅ ⎛⎜ ⎞⎟ 12 12 ⎝ 2⎠

2


Kontrola napona radi se prema: - naprezanje na rubu rebra:

σmR = ±

Mmax h − 2t IR ⋅ ⋅ ≤ σmd If 2 IRn

- naprezanje na rubu pojasnice (flanše):

σmF = ±

Mmax If

⎛ A t I ⎞ ⋅ ⎜ γ ⋅ a1 ⋅ 1 + ⋅ 1 ⎟ ≤ σ md A1n 2 I1n ⎠ ⎝

- naprezanje u težištu pritisnute pojasnice:

σc  = ±

Mmax A ⋅ γ ⋅ a1 ⋅ 1 ≤ σ cd If A1n

- naprezanje u težištu zategnute pojasnice:

σ t = ±

Mmax A ⋅ γ ⋅ a1 ⋅ 1 ≤ σcd If A1n

Ak. 2011/2012


U slučaju da je: A1

= A1n ; I1 = I1n ; IR = IRn ; a1 = ho 2

- naprezanje na rubu rebra:

σmR = ±

Mmax h − 2t ⋅ ≤ σmd If 2


σmF = ±

Mmax If

⎛ h t⎞ ⋅ ⎜ γ ⋅ o + ⎟ ≤ σmd ⎝ 2 2⎠


σc  = ±

Mmax h ⋅ γ ⋅ o ≤ σ c d If 2


σ t = ±

Mmax h ⋅ γ ⋅ o ≤ σ c d If 2

Ak. 2011/2012


Posmični napon u neutralnoj osi:

Tmax ( γS1 + SR ) ≤ τmd d ⋅ If h A h − 2t S1 = A1 o ; SR = R ⋅ 2 2 4

τmmax =

Kontrola razmaka spajala (čavli) za vezu pojasnice i rebra: -

posmična sila po jedinici duljine spojne ravni: Tmax ⋅ γS1 If t S1 = A1 - statički moment površine pojasnice u odnosu na spojnu ravan 2 N e ⋅ T1 = N1s → e = 1s T1 T1 =

N1s – nosivost spajala

Ak. 2011/2012


Ak. 2011/2012

Kontrola progiba:

fmax = f( σ )max + f( τ )max ≤ fd =

L m

Npr. statički sustav – prosta greda raspona L optere ćena kontinuiranim opterećenjem q

f ( σ )max

5 q ⋅ L4 = 384 E ⋅ If

f ( τ )max

1 q ⋅ L2 = 8 G ⋅ AR


Ak. 2011/2012

Vertikalne spojne ravni

A1 = 2t

b1 = tb1 ; A R = hd 2

π2 ⋅ E ⋅ A1 ⋅ e' 1 k= ; γ = L2 ⋅ c 1+ k If = ∑ Ii + γ ∑ A i ⋅a

2 i

→

dh3 b1d3 ⎛h ⎞ If = + + 2γ ⋅ A1 ⋅ ⎜ o ⎟ 12 12 ⎝2⎠

2

; h0 = h - t


Kontrola napona radi se prema: - naprezanje na rubu rebra:

σmR = ±

Mmax h IR ⋅ ⋅ ≤ σmd If 2 IRn


σmF = ±

Mmax If

⎛ h A t I ⎞ ⋅ ⎜ γ ⋅ o ⋅ 1 + ⋅ 1 ⎟ ≤ σ md ⎝ 2 A1n 2 I1n ⎠


σc  = ±

Mmax h A ⋅ γ ⋅ o ⋅ 1 ≤ σ c d If 2 A1n


σ t = ±

Mmax h A ⋅ γ ⋅ o ⋅ 1 ≤ σ c d If 2 A1n

Ak. 2011/2012

POG-2 Dimenzioniranje Prz

Recommend Documents