i c a á t 5 6 m 9 0 1 234 5 7
e
t
a
M
8 7 6
5
8
9
0
4
3 2 1
Tutorial MT-m2
Matemática 2006 Tutor utorial ial Nivel Medio Porcentajes Porc entajes y proporción compuesta
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
Tutorial
Porcentajes y Proporción compuesta Marco Teórico
1. Porcentajes: corresponde siempre a una proporción directa. Se representa como: a%
= a
100
Explicaremos un método práctico para resolv resolver er problemas de porcentaje. Siempre lo que va a continuación de la palabra “de” corresponde al 100%. Por lo tanto, independiente al tipo de ejercicio, lo aplicamos utilizando proporción directa. Ejemplos: a) Calcular el 20% de 80. En este caso lo que va después de la palabra “de” es 80, por lo tanto, corresponde al 100% y 20% es porcentaje, el espacio libre corresponde a “ x”. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad
%
80
100 20
x
(Multiplicamos cruzado)
=
80 ⋅20
(Despejando x)
x=
80 · 20 100
(Simplificando)
100 ⋅ x
x = 16
∴
El 20% de 80 es 16
Observación: a% de b = b% de a
b) ¿Qué porcentaje es 30 de 40? En este caso lo que va después de la palabra “ de” es 40, por lo tanto, corresponde al 100% y 30 es cantidad, el espacio libre corresponde a “x”. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad 40 30
% 100
x
2 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
(Multiplicamos cruzado)
40 ⋅ x
= 30 ⋅100
(Despejando x)
30 · 100 40
x=
x = 75%
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
(Simplificando) El 75% de 40 es 30
∴
c) ¿De qué número,12 es el 40%? En este caso lo que va después de la palabra “de” es “qué número”, por lo tanto, x corresponde correspo nde al a l 100% , 12 es cantidad y 40 es porcentaje. Aplicando proporción directa, donde nuestras variables son: cantidad y porcentaje. Cantidad
%
x
100
12
40
40 ⋅ x
=
x=
(Multiplicamos cruzado)
12 ⋅ 100
(Despejando x)
12 · 100 40
(Simplificando)
x = 30
∴
30
es el número en que
12
2. Porcentajes sucesivos: corresponden a:
es el 40%
p% del q%
de a
Se resuelve transformando los porcentajes a fracción y la palabra “de” por multiplicación. Ejemplo: Calcular el 20% del 60% del 75% de 25
⇒
20 100
⋅
1 5
3 5
∴
⋅
60 100 ⋅
⋅
3 4
75 100 ⋅
⋅
25
25 =
9 4
El 20% del 60% del 75% de 25 es
(Simplificando y multiplicando fracciones)
9 4
3. Proporción compuesta: es aquella en que intervienen más de dos variables. Ejemplo: 5 operarios producen en 7 días 400 unidades de un producto. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 14 operarios en 9 días? 3 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
Tutorial Nuestras variables son: operarios, días y unidades. Explicaremos un método muy útil para resolverlo. Siempre es conveniente dejar la incógnita al medio, que en este caso es unidades. Operarios
Unidades
5 14
Días
400
7 9
x
5⋅x⋅7
= 14 ⋅ 400 ⋅ 9
x=
(Despejando x)
14 · 400 · 9 5·7
x = 1440
(Analizamos el tipo de propo proporcionalidad rcionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es unidades) (Operarios y unidades son directamente proporcionales, unidades y días son también directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)
(Simplificando)
1440
∴
unidades pueden producir 14 operarios en 9 días
4. Modelo de ejercicio: explicaremos cómo enfrentar ejercicios del tipo: Pedro trabajando solo demora 4 horas en pintar una pieza, Juan trabajando solo demora 6 horas en pintar la misma pieza. ¿Cuánto demorarán si lo hacen juntos? Haremos el análisis en base a 1 hora: Pedro demora 4 horas, en 1 hora hará Juan demora 6 horas, en 1 hora hará
1 4 1 6
del trabajo. del trabajo.
Si trabajan juntos demoran x horas, en 1 hora harán ∴
1 4
1 6
+
12x
⋅
1 4
=
1
x
/ ⋅ 12x
6
+ 2x = 12 5x
= 12
x=
x
del trabajo.
(Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 12x)
+ 12x ⋅ 1 = 12x ⋅ 3x
1
12 5
x = 2,4
4 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
1
x
(Simplificando y multiplicando) (Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo) ∴
Juntos demorarán 2,4 horas
6 0 0 2
Ejercicios 1.
a c i t á m e t a M
Calcular el 33,3 % del 75% de 60 A) 9 B) 10 C) 15 D) 45 E) Ninguno de los valores anteriores
2.
En un curso de 35 alumnos, faltaron a clases 14 de ellos. ¿ Qué porcentaje asistió? A) 0,40% B) 0,60% C) 40% D) 60% E) 75%
3.
Marcela compró un pantalón con un 20% de descuento descuento y pagó por él $12.000. ¿Cuál era el precio del pantalón antes del descuento? A) B) C) D) E)
4.
Un agente de seguros recibe $ 350.000 de sueldo, más un 15% de comisión por las ventas. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 800.000? A) B) C) D) E)
5.
$ 9.600 $ 15.000 $ 18.000 $ 20.000 $ 20.200
$ 120.000 $ 402.500 $ 1.150.000 $ 2.750.000 $ 3.000.000
Se tiene un triáng triángulo ulo rectángul rectánguloo cuyos catetos miden varía su área si los catetos aumentan aumentan en un 20%?
10cm
y
30cm.
¿En qué porcentaje
A) Aumenta en un 20% B) Aumenta en un 30% C) Aumenta en un 44% D) Aumenta en un 60% E) Ninguno de ellos 5 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
Tutorial 6.
Si el precio precio de un art artículo ículo con IV IVA A incluido es $ IVA, considerando que el IVA es el 19%?
35.700.
¿Cuál es el precio del artículo sin
A) $ 24.917 B) $ 25.783 C) $ 28.917 D) $ 30.000 E) $ 32.783 7.
“x” es 40% más grande que “z” y “z” es entre “x” e “ y”?
60%
más pequeño que “ y”. ¿Cuál es la relación
A) x = 7 y B) x = 25 y C) 23x = 14 y D) 24x = 25 y E) 25x = 14 y 8.
Un artí artículo culo cuesta $ 3.000 y se quiere vender con un que venderlo?
25%
de ganancia. ¿En cuánto habría
A) $ 3.500 B) $ 3.600 C) $ 3.750 D) $ 3.800 E) $ 4.000 9.
Una constructora estima que son necesarios 20 obrer obreros os para terminar una obra en 6 meses, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos ¿Cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 4 meses, trabajando 6 horas diarias? A) 8 obreros B) 18 obreros C) 22 obreros D) 50 obreros E) 55 obreros
10. Si 5 máquinas logran envasar 70 yoghurts en 24 minutos. ¿En cuánto tiempo serán ser án envasados 140 yoghurts por 6 máquinas?
A) 40 minutos B) 48 minutos C) 50 minutos D) 58 minutos E) Ninguno de ellos 6 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2
5
11. 7
personas trabajando 8 horas diarias durante 10 días, repararon del total de una casa. 8 ¿Cuántos días, en las mismas condiciones, faltan para terminar de reparar la casa?
a c i t á m e t a M
A) 5 días B) 6 días C) 7 días D) 8 días E) 16 días 12.
Con los datos dat os del ejercicio anterior, ant erior, si se duplica duplic a el número de personas y se disminuye dis minuye a la mitad las horas diarias, ¿cuánto ¿cuánto tiempo demoran en reparar la casa? A) 3 días B) 10 días C) 12 días D) 14 días E) 16 días
13.
En una casa hay comida para alimentar 1 adulto durante 8 semanas. Esta misma comida, alcanzaría para alimentar 1 niño durante 24 semanas. Si se quiere alimentar al niño y al adulto al mismo tiempo t iempo,, ¿para cuántas semanas alcanza esta comida? A) 6 semanas B) 8 semanas C) 10 semanas D) 14 semanas E) 15 semanas
14.
Un hombre puede hacer un jardín en A días y otro hombre en B días. Si juntos lo pueden hacer en C días, la ecuación que expresa la cantidad de trabajo realizado por los 2 hombres en 1 día es: 1
A) C =
A
D)
A + B A + B AB
=
AB A + B
C C
B
=
1 1
1
1
B) C = C)
+
E) C =
1
AB 7 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
Tutorial 15.
Un estanque de agua tiene 3 llaves, la primera lo llena en 6 horas, la segunda lo llena en 4 horas y la tercera lo vacía en 12 horas. ¿Cuántas horas demora en llenarse el estanque si se abren las 3 llaves al mismo tiempo? A) 2 horas B) 3 horas C) 5 horas D) 8 horas E) 10 horas
Respuestas
8 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
Preg.
Alter nativa
1
C
2
D
3
B
4
E
5
C
6
D
7
E
8
C
9
D
10
A
11
B
12
E
13
A
14
C
15
B
6 0 0 2
Solucionario
Solucionario 1.
a c i t á m e t a M
La alterna alternativa tiva correcta es la letra C) 33,3
% del 75% de 60
Transformando cada porcentaje a fracción y la palabra “de” por multiplicación: 33,3
%=
1 3
3 4
⋅
1 3 ⋅
75%
60
=
3 4
⇒
=
(Simplificando)
15 ∴
2.
El
33,3
% del 75% de 60 es 15
La alterna alternativa tiva correcta es la letra D) El total de alumnos que es 35 corresponde al 100%, si faltaron fal taron 14 alumnos, entonces asistieron asist ieron 21 alumnos. Aplicando proporción directa: Cantidad
%
35 21 35 ⋅ x
100
(Multiplicamos cruzado)
x
= 21 ⋅ 100
x=
(Despejando x)
21 · 100 35
(Simplificando)
x = 60 ∴
3.
El porcentaje de alumnos que asistió es el 60%
La alterna alternativa tiva correcta es la letra B) El precio sin descuento corresponde al 100% y el precio con descuento corresponde al ( 100% - 20%).
80%
Aplicando proporción directa: Cantidad x 12000
% 100 80
(Multiplicamos cruzado)
9 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2 a c i t á m e t a M
Solucionario 80 ⋅ x
= 12000 ⋅ 100
x=
(Despejando x)
12000 · 100 80
(Simplificando)
x = 15000 ∴
4.
El precio precio del pantalón sin descuento descuento es $ 15.000
La alterna alternativa tiva correcta es la letra E) Sea x: ventas Al sueldo se le suma la comisión que es el 15% de las ventas y se obtiene $ 800.000 15%
de x =
350000
⇒
350000
+
15 100
+
15 100
3 20
20 ⋅ 350000
∙x ∙ x = 800000
(Simplificando)
∙ x = 800000 / ⋅ 20
+ 20 ⋅
3 20
7000000 3x 3x
(Transformando 15% a fracción fr acción y la palabra “de” cambiándola por multiplicación)
(Multiplicando por el mínimo común múltiplo, múltiplo, 20)
∙ x = 20 ⋅ 800000
+ 3x = 16000000
(Simplificando y multiplicando) (Despejando x)
= 16000000 – 7000000 = 9000000
x=
9000000 3
(Dividiendo)
x = 3000000 ∴
5.
Debe vender $ 3.000.000 para ganar $ 800.000
La alterna alternativa tiva correcta es la letra C)
10
Área = 30
10 · 30 2
(Simplificando)
Area = 150
Aumentando 10 en un 20% :
10 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
10
+ 20% de 10
(Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación)
1 5
10
+
10
+2
∙ 10
6 0 0 2
(Simplificando)
a c i t á m e t a M
12 ∴
El cateto 10 aumentado en un 20% es 12
Aumentando 30 en un 20% : 30 + 20% de 30 (Transformando 20% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación multiplicación)) 1 5
30
+
30
+6
∙ 30
(Simplificando)
36 ∴
El cateto 30 aumentado en un 20% es 36
Entonces obtenemos un nuevo triángulo de catetos
12
Área =
12 · 36 2
12
y
36
(Simplificando)
Área = 216
36
Entonces el área inicial ( 150) es el 100% y el área resultante resultante al aumentar aumentar los catetos en un 20% (216) es el x% Aplicando proporción directa: Cantidad
%
150
100
216
x
150 ⋅ x
= 216 ⋅ 100
x=
216 · 100 150
(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)
x = 144 ∴
La nueva área es el 144%, como el área inicial es el 100%, aumenta en un 44% (144-100)
11 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2
Solucionario 6.
a c i t á m e t a M
La alternativa alternativa correcta correcta es la letra D) D) El precio sin IVA corresponde al 100%, entonces, el precio con IVA corresponde al (100% + 19% ), ya que: Preci Precioo con IVA = Preci Precioo sin IVA + IVA 119%
=
100%
+
119%
19%
Aplicando proporción directa: Cantidad
%
x
100 119
35700 119 ⋅ x
= 35700 ⋅ 100
x=
35700 · 100 119
(Multiplicamos cruzado) (Despejando x) (Simplificando)
x = 30000 ∴
7.
El precio sin IVA IVA es $ 30.000
La alternativa alternativa correcta correcta es la letra E) E) x es 40% más grande que z : x = z + 40%
de z
2 ⋅ z 5 5·z+2·z 5
(Transformando 40% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación multiplicación))
x=z+
(Sumando fracciones)
x=
(Reduciendo términos semejantes)
x=
7z 5
z es 60%
más pequeño que y :
z = y - 60% z = y z= z=
de y
3 ⋅ y 5
5 · y - 3 · y 5 2 y 5
12 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
(Transformando 60% a fracción y cambiando la palabra “de” por multiplicación multiplicación)) (Sumando fracciones) (Reduciendo términos semejantes)
Entonces
1) x
x= 8.
7 = z
5 7 ∙ 2 y 5 5
y ⇒
2)
x=
z=
2 y 5
14 y 25
6 0 0 2
(Reemplazando “z” en 1) ) ∴
25x
a c i t á m e t a M
= 14 y
La alterna alternativa tiva correcta es la letra C) El precio del artículo corresponde al (100% + 25% )
100%
y el precio con un
25%
de ganancia al
125%
Aplicando proporción directa: Cantidad
%
3000
x 100 ⋅ x
(Multiplicamos cruzado)
100 125
= 3000 ⋅ 125
x=
(Despejando x)
3000 · 125 100
(Simplificando)
x = 3750 ∴
9.
El precio precio con con ganancia ganancia es $ 3.750
La alterna alternativa tiva correcta es la letra D) Nuestras variables son: obreros, meses y horas. La incógnita es obreros, entonces, la ubicamos al centro. Meses
Obreros Obrer os
6
20
4
x
4⋅x⋅6
x=
= 6 ⋅ 20 ⋅ 10
6 · 20 · 10 4⋅6
Horas (Analizamos el tipo de propo proporcionalidad rcionalidad de cada variable 10 con la incógnita, que en este caso es obreros) 6 (Meses y obreros son inversamente proporcionales, obreros y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) (Despejando x) (Simplificando)
x = 50 ∴
Se necesitan 50 obrer obreros os para terminar la obra en 4 meses trabajando 6 horas diarias.
13 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2
Solucionario 10. La alternativa correcta es la
a c i t á m e t a M
letra A)
Nuestras variables son: máquinas, minutos y yoghurts. La incógnita es minutos, entonces, la ubicamos al centro. Máquinas
Minutos
5 6
24
x
6 ⋅ x ⋅ 70
Yoghurt oghurtss (Analizamos (Analiza mos el tipo de proporcionalidad de cada variabl variablee 70 con la incógnita, que en este caso es minutos) 140 (Máquinas y minutos son inversamente proporcionales, minutos y yoghurts son directamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas)
= 5⋅ 24 ⋅ 140
(Despejando x)
5 · 24 · 140 6 ⋅ 70
x=
(Simplificando)
x = 40 ∴
11.
En 40 minutos serán envasados 140 yoghurts por 6 máquinas.
La alternativa correcta es la letra B) Nuestras variables son: personas, días, horas y casa. Personas Días Horas Casa 7
10
8
5 8
7
x
8
3 8
(Como se reparó
5 8
de la casa, entonces falta reparar 3 )
(No se consideran las variables: personas y horas, ya que son constantes)
Entonces nuestras variables son: días y casa. Días
Casa 5 8 3 8
10
x 5 8
⋅
x = 10
x = 10 ⋅
3 8
⋅
⋅
(Corresponde (Corresp onde a una propor proporcionalidad cionalidad directa) (Multiplicamos cruzado)
3 8
(Despejando x)
8 5
(Simplificando)
x=6 ∴
Faltan 6 días para terminar de reparar la casa.
14 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
8
12.
6 0 0 2
La alternativa correcta es la letra E)
a c i t á m e t a M
Por el ejercicio anterior sabemos que se demoraron d emoraron 16 días en reparar repara r la casa, casa , ya que, se habían 5 demorado 10 días en reparar de la casa y faltaban 6 días para terminar de repararla. 8
Nuestras variables son: personas, días y horas. Las personas se duplican, entonces son 14 y las horas se disminuyen a la mitad, por lo tanto son 4. La incógnita es días, entonces, la ubicamos al centro. Personas Días Horas 7 14
16
8 4
x
14 ⋅ x ⋅ 4
= 7 ⋅ 16 ⋅ 8
7 · 16 · 8 14 ⋅ 4
x=
(Analizamos el tipo de propor proporcionalidad cionalidad de cada variable con la incógnita, que en este caso es días) (Personas y días son inversamente proporcionales, días y horas son también inversamente proporcionales) (Siguiendo el orden de las flechas) (Despejando x) (Simplificando)
x = 16 ∴
13.
Se demoran 16 días en reparar la casa, 14 personas trabajando 4 horas diarias.
La alternativa correcta es la letra A) Haremos el análisis en base a 1 semana: Para un adulto hay 8 semanas de comida, en 1 semana se comerá 1 Para un niño hay 24 semanas de comida, en 1 semana se comerá
8 1 24
Si comen juntos hay x semanas de comida, en 1 semana se comerán ∴
1 8
24x
+ ⋅
1 8
1 24
=
1
x
+ 24x ⋅ 3x
/ ⋅ 24x 1 24
x=
x
24 4
x
(Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 24x)
= 24x ⋅ 1
+ x = 24 4x = 24
1
(Simplificando y multiplicando)
(Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo)
x= 6 ∴
Alcanza para 6 semanas, si se quiere alimentar al niño y al adulto, al mismo tiempo. 15 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
6 0 0 2
Solucionario 14.
a c i t á m e t a M
La alternativa correcta es la letra C) Haremos el análisis en base a 1 día: Un hombre hace un jardín en A días, en 1 día hará Otro hombre lo hace en B días, en 1 día hará
1
B
Si trabajan juntos demoran C días, en 1 día harán 1
∴
A
+
1
B
1
=
1
A
del jardín.
del jardín. 1
C
del jardín.
(No aparece así la respuesta)
C
(Sumando las fracciones) B+A AB ∴
15.
=
1
C
La ecuación que representa representa la cantidad de trabajo realizado en 1 día es
1
C
= A + B AB
La alternativa correcta es la letra B) Haremos el análisis en base a 1 hora: La primera llave llena el estanque en 6 horas, en 1 hora llenará La segunda llave llena el estanque en 4 horas, en 1 hora llenará La tercera llave vacía el estanque en Si se abren las estanque. ∴
1 6
12x
+ ⋅
1 6
2x
12
horas, en 1 hora vaciará
1 6 1 4
llaves al mismo tiempo lo llenan en x horas, en
1 12
=
+ 12x ⋅
1 4
-
1
x
/ ⋅ 12x
- 12x ⋅
+ 3x - x = 12 4x
= 12
x=
12 4
del estanque.
1 12
3
1 4
del estanque.
del estanque. 1
hora llenarán
1 12
= 12x ⋅
1
x
(Simplificando y multiplicando)
(Reduciendo términos semejantes) (Despejando x) (Dividiendo)
Se demorarán 3 horas en llenar el estanque, las 3 llaves abiertas al mismo tiempo.
16 CEPECH Preuniversitario, Edición 2006
x
del
(Multiplicando por el mínimo común múltiplo entre los denominadores, 12x)
x=3 ∴
1
