A. Magnetic Vector Potential Pada medan listrik, fungsi potensial skalar ditulis sebagai Tidak ada fungsi potensial skalar untuk medan magnet, namun dalam magnetostatis terdapat besaran potensial vektor, A, seperti ditunjukkan dalam Terdapat analogi antara potensial skalar listrik dan potensial vektor magnetisic. Makna fisis dari potensial skalar listrik adalah potensial energi per satuan muatan. Makna fisis dari potensial vektor magnetis sangat mirip dengan potensial skalar listrik; yakni potensial energi per unit elemen arus listrik. Yang dimaksud dengan 'elemen arus listrik' adalah kuantitas dengan satuan arus dikali panjang; arus yang melewati sebuah kawat dikali dengan panjang kawat, dengan arah dari arus konvensional. Satuan dari potensial vektor magnetis dalam SI adalah joule per ampere meter. Potensial vektor didefinisikan konsisten dengan hukum Ampere dan dapat diperoleh dari baik arus i ataupun densitas arus j (yang menjadi sumber medan magnet). Untuk arus yang mengalir pada permukaan:
Lebih mudah untuk menghitung potensial vektor dibanding menghitung langsung medan magnet dari geometri sumber arus. Apilkasi paling umumnya adalah deskripsi dari gelombang elektromagnetik. Karena medan magnetik B didefinisikan sebagai curl dari A, dan secara definisi curl dari sebuah gradien adalah nol, maka fungsi apapun yangd apat ditulis sebagai gradien dari fungsi skalar dapat ditambahkan ke dalam A tanpa mengubah nilai B yang diperoleh darinya. Dengan demikian A dapat digantikan dengan
Transformasi semacam ini disebut sebagai transformasi gauge. Jika kita memiliki sistem dari muatan stasioner dan arus yang stabil mengalir melalui kabel stasioner, kita dapat mencari berapa energi potensial total dalam sistem ini. Energi potensial listrik diketahui dari formula Ue=12∫ρϕdV
Formula ini diasumsikan pada kondisi dimana potensial skalar listrik adalah energi per satuan muatan di dalam sistem. ρdV adalah bagian sangat kecil dari elemen muatan, dikalikan dengan ϕ agar diperoleh energi, kemudian dijumlahkan untuk seluruh muatan di dalam sistem. Ini juga menunjukkan bahwa energi yang dibutuhkan untuk mengumpulkan distribusi muatan tidak ditentukan dari bagaimana muatan itu sampai disana (diandaikan tidak terdapat gaya gesek). Pernyataan ini benar karena energi adalah kekal, tapi formula ini menggambarkannya secara eksplisit. Ada juga energi potensial magnetis. Dibutuhkan energi untuk menggerakkan arus dalam kawat dikarenakan induktansi kawat itu sendiri.
Formula untuk menghitung energi potensial magnetis seperti U e di atas, tidak bergantung dari bagaimana muatan sampai disana, melainkan bergantung pada konfigurasi akhir. Ingat bahwa energi potensial megnetis pada konfigurasi final bergantung pada tidak hanya jumlah arus tapi juga arah alirannya. Sebagai contoh, jika diambil dua loop kabel dengan ukuran yang sama persis, kemudian diatur agar parallel dan koaksial, sehingga:
Diketahui bahwa terdapat gaya tarik di antaranya, jadi jika loop yang di atas digeser dari tak terhingga, ketika mencapai loop bawah, akan kehilangan energi potensial. Di sisi lain, jika loop atas memiliki arus dengan arah yang berlawanan, gaya akan menjadi tolak menolak, dan energi potensial akan meningkat jika dibawa dari tak terhingga. Jadi , kedua konfigurasi dibedakan hanya oleh arah arus, akan memiliki energi yang berbeda. Sekarang kita memiliki elemen arus yang sangat kecil, yang dapat ditulis sebagai I dl atau JdV, secara elektrodinamis sama dengan superposisi dari tiga elemen sejajar : J dV=Jx x dV+Jy y dV+Jz z dV
dan jumlah dari energi yang dibutuhkan untuk membawa elemen arus sejajar dari tak hingga dapat bervariasi bergantung pada arahnya, jadi pada setiap titik, daripada konstanta tunggal seperti potensial skalar listrik, kita membutuhkan tiga konstanta, satu untuk setiap arah, sehingga dUm=a Jx dV + b Jy dV + c Jz dV
Kita dapat menggabungkan tiga konstanta dalam satu vektor dan menggambarkan hasilnya menggunakan produk dot. Karena vektor ini merupakan analogi pada medan magnet dari potensial skalar listrik, yang memberikan energi potensial per elemen arus, vektor ini dapat dianggap sebagai awal dari potensial vektor magnetis. Hasil akhirnya adalah
dan energi total dari konfigurasi tersebut adalah
Seperti disebutkan sebelumnya, sama halnya dengan potensial skalar listrik adalah energi potensial per unit muatan, potensial vektor magnetisis merupakan energi potensial per satuan muatan. Namun
arus memiliki arah, sehingga potensial vektor magnetisis harus memiliki tiga komponen. Itulah mengapa fungsi ini adalah vektor juga. B. Magnetostatic Boundary Condition Jika perilaku dari medan listrik dan potensial pada permukaan muatan dapat ditelaah, maka demikian juga medan magnet yang melewati permukaan arus. Jika kita memiliki permukaan arus K, pada titik tertentu arus mengalir dalam arah +x. Bayangkan suatu luasan kecil dan buat sebuah kotak di atas permukaan ini. Jika kita membuat ketebalan kotak ini menjadi sangat kecil, maka integral permukaan pada dasarnya di atas dari dua sisi kotak pada kedua sisi dari permukaan arus. Karena , maka Hukum Gauss menyatakan bahwa
Kini
, maka integral kedua menyatakan bahwa
Oleh karena itu, komponen normal dari adalah kontinu melewati permukaan arus. Untuk komponen paralel, anggaplah komponen pertama dari B sejajar dengan permukaan tapi tegak lurus dengan arus. Kita dapat mendefinisikan loop kecil yang menutupi permukaan, dimana wilayah yang dikelilingi dari loop ini tegak lurus dengan arus. Jika kita membuat sisi vertikal dari loop menjadi sangat kecil dan sisi horizontal dengan panjang 1, maka kita dapat menggunakan teorema stokes untuk menyatakan
Akhirnya, jika kita mengambil loop yang tegak lurus dengan permukaan namun sejajar dengan arus, loop tersebut kemudian melingkupi arus nol, jadi dan komponen dari bidang ini adalah kontinu. Maka komponen satu satunya dari yang memiliki diskontinuitas adalah satu satunya yang sejajar dengan permukaan, namun tegak lurus dengan arus, Ini merupakan diskontinuitas yang tegak lurus dengan normal dari permukaan dan arus , maka perbedaan dapat digambarkan sebagai produk cross dari kedua vektor:
Untuk memperoleh arah dari dikontinuitas, dimisalkan kita melihat pada arah (yang mana merupakan arah dari arus). Maka bidang di atas arus mengarah ke kanan (yang mana merupakan arah ) dan di bawahnya mengarah ke kiri (arah ). Dengan demikian selisih dari mengarah ke kiri. Ini berlaku jika K mengarah pada arah , dan mengarah pada arah .
Untuk potensial vektor, dengan asumsi berarti bahwa adalah kontinu (menggunakan penjelasan yang sama dengan di atas). Karna , kita dapat menggunakan kembali teorema Stokes untuk mengintegrasikan di sekitar permukaan di atas loop:
Dimana integral kedua adalah di atas wilayah yang dilingkupi loop. Tidak seperti integral di atas, meskipun, fluks dari yang dikelilingi loop berkurang hingga nol ketika kita membuat loop semakin tipis. Tidak ada lapisan medan magnet yang sangat tipis yang selalu dikelilingi oleh loop sebagaimana pada kejadian arus tertutup. Dengan demikian pada limit pada orientasi apapun dari loop tersebut melewati permukaan, dan semua komponen dari adalah kontinu melewati permukaan muatan. Turunan dari juga memiliki diskontinuitas. Untuk melihat ini, dimisalkan kita menyiapkan sistem dengan normal pada area potongan dan arah untuk arus . Kemudian Dengan menulis diperoleh
Karena adalah kontinu melewati permukaan, turunan pada arah sejajar dengan permukaan (yaitu dan ) akan sama pada kedua sisi, jadi dan yang merupakan turunan dari akan sama dengan nol. Ini memberi kita
Untuk menghilangkan turunan ketiga, digunakan
Dengan demikian, komponen
dari turunan normal
, yang memberikan
memiliki diskontinuitas
C. Multipole Expansion Of Vector Potential Dalam banyak cara yang sama sebagai potensi listrik, kita dapat menulis potensi magnetik sebagai ekspansi multipole. Karena potensi magnetik adalah vektor, ekspansi adalah serangkaian integral vektor daripada integral volume. Bentuk yang paling umum dari potensi vektor
Untuk saat ini jalur stabil {} Aku, ini menjadi terpisahkan garis di sekitar loop arus:
Kami dapat memperluas integran dalam hal Legendre polinomial dengan cara yang sama seperti untuk potensial listrik:
Pertama tiga istilah dalam jumlah ini disebut monopole, dipole dan quadrupole hal. Istilah monopole adalah
karena integrasi elemen garis vektor sekitar setiap loop tertutup adalah nol. Untuk dipol:
adalah sudut di antara
dan , maka dapat ditulis sebagai
Karna adalah konstan selama bentuk integral ini tetap, integral dapat ditulis dalam konteks sebagai vektor luas yang dikelilingi oleh loop.
Kuantitas
didefinisikan sebagai momen dipol magnetik dari loop arus, sehingga potensi dipol
Medan magnet mengacu pada kutub adalah
Kita dapat menggunakan vektor identitas untuk mengembangkan curl, dan menggunakan fakta bahwa adalah konstan pada loop arus yang diberikan, maka seluruh turunannya adalah nol. Didapat Dan dapat digunakan
Selanjutnya
Digabungkan menjadi
