Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Química Laboratorio de Física Práctica No.1 !"#!U"$%& #! Alumnos' Sánchez Aguilar Eugenia Monserrat Granados Arceo Jorge Rodrigo
Cid Guzmán Carlos Adrián Tapia Carlos Giovanny
(ru)o' *+ Fec,a de entre-a del inorme ' 1 de Ma/o de *01
Resumen
En la siguiente práctica se estudiará la combinación en serie de un capacitor y un resistor, es decir, se estudiará los denominados circuitos RC. En primer lugar se tomaron cinco juegos de resistencias por cada capacitor, fue necesario medir su resistencia y posteriormente hacer las conexiones establecidas en el protocolo, se resalta el uso del capacitor y las medidas más importantes a tomar en cuenta. El desarrollo experimental es sencillo, ya que se midió el tiempo
en segundos para cada
resistencia conectada al capacitor y la pila; con los resultados obtenidos se prosiguió a realiar el tratamiento de datos por medio de una regresión lineal por el m!todo de m"nimos cuadrados y se presentan las gráficas correspondientes.
Hipótesis
#i la capacitancia es distinta para cada uno de los capacitores, dependiendo de las resistencias y otros parámetros más, la constante de tiempo tambi!n será distinta para cada uno de los circuitos RC.
Objetivo •
Comprobar la relación que existe entre la constante de tiempo $ y los %alores de resistencia
•
y capacitancia en un circuito RC. &eterminar de manera experimental el %alor de la constante de tiempo en un circuito RC durante el proceso de carga.
Introducción
#e llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. &icho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo equi%alente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor. En la siguiente figura se muestra un esquema de un circuito RC. #e supondrá que el capacitor está cargado al principio, y que la bater"a se conecta repentinamente en el momento t ' (. )rimero, la diferencia del potencial a tra%!s del capacitor es cero. Cuando se conecta la bater"a, pasa carga de
sus terminales a las placas del capacitor. * medida que se acumular carga en las placas, la diferencia de potencial entre ellas aumenta de forma gradual. E flujo de carga se detendrá cuando la diferencia de potencial entre las placas sea igual a la fem de la bater"a. Esta descripción cualitati%a del proceso de carga indica que al principio la corriente es grande, pero disminuye gradualmente hasta que al final tiende a cero. )ara conocer el tratamiento matemático de la corriente en el circuito se usa la regla de %oltaje de +irchhoff la suma de todas las fem y las ca"das de %oltaje en torno al circuito debe ser cero. -a fem de la bater"a es ε. #i en algn instante la corriente es /, la ca"da de potencial a tra%!s del resistor es 01R ' 2/R. 3 si las cargas de las placas del capacitor en cierto instante tiene la magnitud 4, la ca"da del potencial a tra%!s de las placas es 01 C ' 245C. )or tanto Q C
− IR − =0
678
En el momento inicial, 4' ( y entonces la ecuación 678 indica que la corriente inicial es / ' ε5R. *l terminar el proceso de carga, /' ( y de acuerdo con la ecuación 678, 4 ' C x ε. Entonces, en el momento inicial, toda la ca"da del potencial esta en el resistor, y al terminar el proceso de carga toda la ca"da del potencial está en el capacitor. En tiempos intermedios, el resistor y el capacitor contribuyen a la ca"da de potencial. )ara calcular la corriente y la carga en momentos intermedios, se formula la ecuación 678 usando / ' d45dt
−dQ dT
R−
Q =0 C
698
Resol%iendo la ecuación 698 a tra%!s de m!todos matemáticos se obtiene la ecuación final del circuito RC a la carga Q=C ( 1− e
− t RC
)
6:8
Este comportamiento de la carga del capacitor en función del tiempo se muestra en la siguiente figura; como es de esperar, comiena en 4' ( 6en t' (, e ( '78 y tiende a 4' C x ε cuando el proceso de carga %a llegando a su terminación 6para t' , e2'( 8. -a corriente en el circuito es la deri%ada de la carga con respecto al tiempo, o simplemente
= ❑ e− /(
I
)
t RC
R
6<8
-a corriente es una función del tiempo exponencialmente decreciente. El producto RC que aparece en la exponencial tiene unidades de tiempo, y se representa por T
T = RC
6=8
Este tiempo se llama tiempo característico del circuito RC; tambi!n se llama constante de tiempo RC. -amayor parte de la carga se efecta dentro del tiempo caracter"stico. En t!rminos del tiempo caracter"stico, la carga 6:8 y la corriente 6<8 se pueden escribir de la siguiente manera −t
Q=C· ( 1− e
T
)
e
= ❑ e− /
I
t T
6>8
R
?na %e terminado el proceso de carga, y que se ha detenido la corriente de carga en el circuito, se puede desconectar la bater"a. Entonces la carga permanecerá en las placas del capacitor 6excepto en una fuga lenta a tra%!s del capacitor o al aire8. #in embargo, se puede suponer que se conectan ahora las terminales del capacitor con las del resistor, como se %e en la siguiente figura. Entonces, el capacitor se descargará a tra%!s del resistor. -a corriente será grande en el momento inicial, y en forma gradual se ni%elará y tenderá a cero a medida que decreca la diferencia de potencial a tra%!s del capacitor. En este circuito ahora la carga disminuye hasta cero en función del tiempo Q=C··e
−t /( RC )
6@8
circuito RC de descarga y I =
−dQ ❑ −t /( RC ) = e dT
R
6A8
*hora la corriente es la in%ersa de la raón de cambio, porque durante el proceso de descarga, una disminución de carga, es decir, una d45dt negati%a, da como resultado una corriente positi%a, que se presenta en la siguiente figura.
Material y equipo utilizado
9 Capacitores de %alores desconocidos y resistores B7((( numerados para su identificación Caimanes y conectores tipo banana Circuito electrónico con temporiador === integrado Duente de poder ó pila 7(279 1, Cronómetro y Calculadora
Procedimiento
1. &eleccionar resistores ma/ores a 1 2Ω / * ca)acitores dierentes de valor desconocido3 un ca)acitor )or cada 4ue-o de resistencias.
*. Antes de usar el circuito eléctrico con tem)ori5ador inte-rado3 identi67ue las )artes 7ue lo com)onen.
. !onectar 1 ca)acitor / 1 resistor al circuito #!. Antes de conectar el circuito a la uente veri67ue 7ue el ca)acitor / el resistor estén conectados al circuito.
>. Anotar el valor nominal de la resistencia en la tabla 1.
. !on el ca)acitor / la resistencia conectados al circuito #!3 conectar a la uente. :9#"F"QU9 LA P%LA#"=A= =9 L%& !%N9!$%#9&.
8. 9ncender la uente / re-ular el volta4e a 1* : o usar una )ila de ; < 1* :.
?. Presionar el micro s@itc, / tomar el tiem)o 7ue tarda en a)a-ar el Led indicadorB. 9ste tiem)o corres)onde al tiem)o característico CDE de car-a en el ca)acitor corres)ondiente.
+. #e)etir la medida de tiem)o veces / obtener un )romedio de este valor. Anotar los valores ex)erimentales / el valor )romedio en la tabla 1.
;. A)a-ar la uente / desconectar el circuito.
1*. !onectar el circuito #! a la uente / re)etir del )aso > al 10 )ara cada resistor.
11. 9ncender la uente de )oder / veri6car 7ue el volta4e es de 1* :.
10. !ambiar el resistor del circuito #!.
1. #e)etir el ex)erimento3 del )aso al 1*3 )ara el se-undo 4ue-o de resistores / ca)acitor.
ratamiento de datos. 1. !on los datos de la tabla 1 -ra6car $)rom como unción de # )ara cada 4ue-o de resistores / reali5ar un a4uste )or mínimos cuadrados usando la relación entre #! / $ como modelo matemático. =etermine el valor de los ca)acitores desconocidos a través del cálculo de las )endientes. &e obtendrán * -ra6cas 7ue se anexarán al re)orte.
*. 9n la tabla * re)ortar la ex)resión de las rectas a4ustadas / sus res)ectivas incertidumbres.
. Para cada ca)acitor -ra6car la car-a con * de los circuitos #! corres)ondientes. Usar el valor de $)rom de uno de esos circuitos )ara determinar * tiem)os de car-a menores a ese valor / * tiem)os de car-a ma/ores. Los tiem)os estarán se)arados el mismo Ft. &ustituir esos valores / el $)rom corres)ondiente en la ecuación * )ara -ra6car la c ar-a en unción del tiem)o. #e)etir esto )ara el se-undo circuito ele-ido. &e tendrán 8 -ra6cas de car-a eléctrica3 * )or cada ca)acitor3 7ue se anexarán al re)orte. !on esos datos llenar la tabla .
Datos y resultados Tabla !
!ircuitos #! del )rimer 4ue-o de resistores #CGE $ex) CsE $)rom CsE 83;; #1 83+* 83+; 83+? 8381 #* 3 3? *3;> *3;8 # *3;> *3;> *3;; 13;* #8 13+1 13+8 13+1 +30? # +30+ +30 ?3;8
!ircuitos #! del se-undo 4ue-o de resistores # CGE $ex) CsE $)rom CsE 83+; #> 83+ 83+8 83?+ 03;; #? 03;? 03;; 130* 038 #+ 031 038 0381 3* #; 31? 30 31 +3+* #10 +3>8 +3?* +3?1
$abla 1.1 Capacito r
7
9
Resistenci a 7 9 : < = > @ A J 7(
Colores
1alor teórico 68
1alor exp.
F21e2R2& F2H2Ia2& F2I2R2& *m21i2R2& R21i2R2& F2H2Ia2& Ia2Ia2R2& F21e2R2& F2R2Ia2& Ia2Ia2Ia2&
7=(( G52 @= 7A((( G52 J(( 7((( G52 =( <@(( G52 9:= 9@(( G52 7:= 7A((( G52 J(( ::(( G52 7>= 7=(( G52 @= 79((( G52 >(( ::((( G52 7>=(
7,<+ G52 @( 7@,@+ G52 AA= (,JJ+ G52 @+ G52 9::,= 9,>J+ G52 7:<,= 7@,J+ G52 AJ= :,9A+ G52 7>< 7,
$abla 1.* =atos re)resentativos
!1
/ 83+; 3? *3;> 13+8 +30
x 8;0 >;0 *;?0 1+?0 +010
!*
x 83+8 03;; 038 30 +3?*
/ 1?;00 *+0 18;0 11;80 *00
Capacitancia 7 6D8 >0 0
CxE H 0x I 0.11 #J H 1
80 iempo 6s8
0 *0 10 0 0
000
10000 Resistencia 68
1000
*0000
Capacitancia 9 6D8 10 ; + ? > iempo 6s8 8 * 1 0
CxE H 0x I 0.0+ #J H 1
0
000
10000 1000 *0000 *000 0000 000 Resistencia 68
$abla 1. =atos )ara el a4uste )or cuadrados mínimos )ara !1
!1
K
x/
x
/
xJ
*810?3? *+?>1?3 +?;13* 1;1;>03+ >8*03 ++8*+
8;0
83+;
*808;00
>;0
3?
*++*>1>100
*;?0 1+?0 +010 1*;80
*3;> 13+8 +30 1*3;*
++*0;00 1;*?>;00 >81>0100 ++8>000
030*?8;1
$abla 1.8 =atos )ara el a4uste )or cuadrados mínimos )ara !*
!*
K
x/
x
/
+>>>
1?;00
83+8
*8?
*+0
03;;
>?1
18;0
038
;80*
11;80
3
*+1>>
*00
+3?*
>+*;*
0*00
13>
0300?*0
xJ *08100 00 10?+80 0 ***0100 18*>> 00 108*;0 000 1>?00 000
$abla *. !H m
!Hm
b
b
13000*x10
3?1>x10O
<83>;8+x10
0.01>
Expresión de la recta 6con unidades8
Primer a4uste
' R67,((x7(K L :,@7x7( O 2<,>Jx7( KL(.(78 D
&e-undo a4uste
!Hm
!Hm
b
b
*3?00x10
13*>+;x10
+31?80x10R
*30;x10R
Expresión de la recta 6con unidades8
$H#C*3?0x10S13*>x10I+31?x10RS*30;x10REF
$abla ! CFE
t CsE
QCAE
t1 T
Q1
t* T !1
tH t1 V t* V
1.8 *.+ 8.* .> ?
t* T tH t1 V t* V
Q Q8 Q Qmax
t1 T
!1
Q*
0.;; 1.;+ *.;? .;> 8.;
Q1 Q* Q Q8 Q Qmax
0.010*0 8+? 0.01?1 >;+ 0.0**? >8 0.0*>1 0 0.0*;*0 08+ 0.0*;*0 08+ 0.010*0 8+? 0.01?1 >;+ 0.0**? >8 0.0*>1 0 0.0*;*0 08+ 0.0*;*0 08+
t CsE
Q CAE
t1 T
Q1
t* T tH t1 V t* V
1?.? .8 .1 ?0.+ ++.
t1 T t* T tH t1 V t* V
Q* Q Q8 Q Qmax
8.>? ;.8 18.01 1+.>+ *.
Q1 Q* Q Q8 Q Qmax
0.010*0 8+? 0.01?1 >;+ 0.0**? >8 0.0*>1 0 0.0*;*0 08+ 0.0*;*0 08+ 0.010*0 8+? 0.01?1 >;+ 0.0**? >8 0.0*>1 0 0.0*;*0 08+ 0.0*;*0 08+
0.001> 1 0.00* * 0.008+ 0.00>8 8 0.00+0
t1 T t* T !*
tH t1 V t* V
0.000;1 +88 0.001? > 0.00*08 +0? 0.00*+ ; 0.00*>* +08 0.00*>* +08 0.000;1 +88 0.001? > 0.00*08 +0? 0.00*+ ; 0.00*>* +08 0.00*>* +08
Q1 Q* Q Q8 Q Qmax
t1 T !*
0.181
t* T
0.*>+*
tH
0.80*
t1 V
0.>8
t* V
0.>?0
Q1 Q* Q Q8 Q Qmax
t1 T t* T tH t1 V t* V
*
8
>
?
t1 T t* T tH t1 V t* V
0.08 0.0 #J H 1
0.0 0.0* 0.0* 0.01 0.01 0 0.
1
1.
*
*.
.
8
8.
.
1.1+0+ 1.8?>
Q Q8 Q
1.0?8> *.18;* .**+ 8.*;+8 .?
Q1 Q* Q Q8 Q Qmax
+
Qvst C!1<#E
0.++>
Q*
Qmax
#J H 1
1
0.;08
Qvst C!1<#1E 0.08 0.0 0.0 0.0* 0.0* 0.01 0.01 0
0.*;*
Q1
0.000;1 +88 0.001? > 0.00*08 +0? 0.00*+ ; 0.00*>* +08 0.00*>* +08 0.000;1 +88 0.001? > 0.00*08 +0? 0.00*+ ; 0.00*>* +08 0.00*>* +08
Qvst C!*<#>E 0 0
#J H 1
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
Q vs t C!*<#+E 0 0
#J H 1
0 0 0 0 0 0.1
0.*
0.
0.8
0.
0.>
0.?
"n#lisis de los resultados
&e acuerdo al modelo matemático utiliado, se puede obser%ar una relación exponencial y no lineal de la carga con RC. #egn esto, se puede saber de qu! manera se carga un capacitor a tra%!s de un cierto tiempo. Como se puede obser%ar, este %alor %ar"a en función de la resistencia y la capacitancia de cada caso. odo esto se comprueba experimentalmente con las gráficas obtenidas y las cargas que se reportan. $onclusiones
El objeti%o en la práctica era conocer como influ"a RC en el tiempo de carga necesario para un capacitor. #e pudo entonces saber la forma que toma una gráfica cuando se grafica 4 %s t en un circuito RC que, como ya se mencionó, no es una relación lineal. Entonces se comprueba experimentalmente que para distintos circuitos RC, será diferente y %ar"a de forma exponencial. %iblio&ra'ía
Mans C. Nhanian y Oohn . FarPert, D"sica para ingenier"a y ciencias, Fc HraQ Mill, tercera edición, F!xico, &.D 69((J8, pp. J(@2J79. $uestionario
1. Para un mismo valor de τ en dos combinaciones RC, una con capacitancia de 5000 μF y otra con capacitancia de 10 μF, ¿cmo es la relacin entre las resistencias de ambas combinaciones! "#pli$ue. Como τ es igual podemos igualar R 7C7'R 9C9 y de ah" obser%aremos que R 9 será igual a =(( %eces la R 7, es decir, son proporcionales. %. ¿&as 'r()icas de τprom vs R parten del ori'en! *usti)i$ue su respuesta. Io, ya que la corriente será grande en el momento inicial, y en forma gradual se ni%elará y tenderá a cero a medida que decreca la diferencia de potencial a tra%!s del capacitor. -a corriente es una función del tiempo exponencialmente decreciente. +. ¿"n esas 'r()icas el valor de la pendiente calculada coinciden con el valor de la capacitancia empleada en el circuito RC correspondiente! Con base en s u respuesta, e#pli$ue por $u. -. "n un circuito RC, ¿de $u depende el valor de ma#! *usti)i$ue su respuesta. &el capacitor con el que se trabaje, debido a que es el punto en el que está totalmente cargado. 5. Considerando la relacin T / RC, el valor de los capacitores desconocidos tambin se puede obtener como medidas indirectas, ¿$u tipo de incer tidumbre se debe asociar a esas medidas! y ¿cu(l es el valor de esas incertidumbres! *usti)i$ue su respuesta. . Compare las incertidumbres calculadas en la pre'unta anterior con las obtenidas en e l auste por m2nimos cuadrados y e#pli$ue la discrepancia entre esos valores.
