13.- A un conmutador de la oficina principal de la compañía llegan llamadas a un promedio de dos por minuto y se sabe que regularmente se observa ese comportamiento. Si el operador está distraído por un minuto, ¿cuál es la probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea: a. ¿Cero? P(x=0) =
= 0.1353 !
b. ¿por lo menos una? P(x≥1) = 1 – P(X=0) = 0,8647 c. ¿entre 3 y 5, inclusive?
− ∑ 3 ≤ x ≤ 1 1 = ∑ = ∑ ! ! 3 ≤ x ≤ 1 1 = 0.3068 14.- ¿Cuáles serían las probabilidades en el ejercicio 13 si el operador se distrae por 4 minutos? 15.- Un proceso de fabricación utilizado para hacer artefactos plásticos Incas presenta una tasa de defectos de 5 por cada 100 unidades. Las unidades se envían a los distribuidores en lotes de 200. Si la probabilidad de que más de 3 salgan defectuosos supera el 30%, usted planea vender en su lugar, camisetas Grateful Dead. ¿Cuál articulo agregara usted al inventario? p = 5/100 = 0.05
y
n = 200
Como n es grande y p es cercano a cero, entonces su forma limitante es la de Poisson, utilizando µ = n*p = (200)(0.05) = 10 De donde si X representa el número de artículos defectuosos
" X > 3 = 1 − − X ≤ 3 = 1 − ∑ − =1 - [P(X=0)+P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)] =1 - [0+0.0005+0.0023+0.0076] =0.9896
Rpta: Agregaría las camisetas Grateful Dead al inventario, ya que la proporción de defectos para artefactos plásticos presentan un incremento del 98.97% cuando son más de 3 defectos. 16.- Usted compra partes para bicicleta de un proveedor en Toledo que tiene 3 defectos por cada 100 partes. Usted está en el mercado para comprar 150 partes pero no aceptara una probabilidad de más del 50% de que más de dos partes sean defectuosas ¿Usted le compraría a dicho proveedor? P(X>2) > 0.050 P(X≥3) > 0.050
= 1 − ∑ ! > 0.50 0.9389 > 0.50 Rpta: Claramente no compraría a dicho proveedor ya que supera el 50% respecto a si salen más de dos partes defectuosas 17.- Como ingeniero constructor usted compra bolsa de cemento de un promedio de 50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Desde que usted tuvo el accidente escalando una montaña, el médico le dijo que no levantara nada que pesara más de 60 libras. ¿Debería usted carga una bolsa? P(X>60) = P((Z>(60-50)/5.2)) = P(Z>1.92) = (0.5 – 0.47257) = 0.02743 Rpta: Si podría cargar una bolsa ya que hay una probabilidad de 2.7% que es pequeña de que pueda levantar más de 60 libras. 18.- Se publica que los frenos de los nuevos autos de la marca Lambourginis duran un promedio de 35.000 millas con una desviación estándar de 1,114 millas. Cuál es la probabilidad de que los frenos del auto que usted acaba de comprar le duren: a) ¿Más de 35,000 millas? P(X>35,000) = P((Z>(35,000-35,000)/1,114)) = P(Z>0) = (0.5 +0) = 0.5 b) ¿Menos de 33,900 millas? P(X<33,900) = P((Z<(33,900-35,000)/1,114)) = P(Z<-0.99) = 0.16109 c) ¿Menos de 37,500 millas? P(X<37,500) = P((Z<(37,500-35,000)/1,114)) = P(Z<2.04) = 0.98745
d) ¿Entre 35,200 y 36,900 millas? P(35,200≤x<36,900) = P((35,200-35,000)/1,114≤Z<(36,900-35,000)/1,114) = P(0.18≤Z<1.71) = (0.45637 – 0.07142) = 0.38495 19.- Los sobrecostos por actualización de computadores en su empresa tiene un promedio de US$23,500, con una desviación estándar de US$9,400, Como director ejecutivo de la División de Investigación, usted no desea arriesgarse a mas de 34% de probabilidad que el sobrecosto en una actualización propuesta recientemente exceda de US$25,000 ¿Debería ejecutar la actualización ? P(X>25,000) = P((Z<(25,500-23,500)/9,400)) = P(Z>0.16) = (0.5 – 0.06356) = 0.98745 Rpta: No la ejecutaría ya que hay un 43.6% de sobrecostos. 20.- El promedio de los salarios en los bancos comerciales en Hilinois es de US$22,87 por hora, con una desviación estándar de US$5,87, Cual debe ser su salario por hora si desea ganar: Z = (X - µ)/
σ
a. ¿Más que el 80% de todos los emleados? 0.8! " #$ 22.8&)'5.8& " 2&.80 " (* 2&.80 +. ¿Más que el 30% de todos los emleados? 0.52 " #$ 22.8&)'5.8& " -9.82 " (* -9.82 .
¿Menos que el 20% de todos los emleados? 0.8! " #$ 22.8&)'5.8& " 2&.80 " (* 2&.80
d. ¿Más que el 50% de todos los emleados? 0 " #$ 22.8&)'5.8& " 22.8& " (* 22.8&
21.- Los empleados en Coopers-Price and Lybrand trabajan un promedio de 55.8 horas por semana, con una desviación estándar de 9.8 horas. Los ascensos son más probables para
los empleados que están dentro del 10% de los que pasan más tiempo trabajando. ¿Cuánto debe trabajar usted para mejorar sus oportunidades de ascenso? 1.28 = (X – 55.8)/9.8 = 40.344 Rpta: Debería trabajar 40.344 horas o más por semana para que mejoren las oportunidades de ascenso. 22.- Los registros muestran que 45% de todos los automóviles producidos por Ford Motor Company contiene partes de Japón ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos 200 carros, 115 contengan partes japonesas? P(X = x) =
#$%&% 1−$'%
n = 200 x = 115 p = 0.45 P(X = 115) =
(( '(( =* # ((&0.)5 0.55
Aproximación a la distribución normal µ = n*p µ = (200)(0.45) = 90
+ ,-1−- = + 000.)50.55 = /.036
σ = σ
P(114.5≤X<115.5) Z = (X - µ)/ σ Z = (115.5 – 90)/7.036 = 3.62 Z = (114.5 – 90)/7.036 = 3.48 P(114.5≤X<115.5) = (0.49985 – 0.49975) = 0.0001
23.- Una empresa de transportes por carretera encuentra que el 30% de sus envíos llega tarde. Si se programan ocho envíos, cuál es la probabilidad de que: a. ¿Tres lleguen tarde?
= 0.30 n = 8 x=3 π
Usando la tabla de distribución binomial
3 = 0.5)1 Rpta: a). En conclusión, la probabilidad de que 3 envíos lleguen tarde es de 25.41%. b. ¿Tres o más lleguen tarde? = 0.30 n = 8 x=3 π
Usando la fórmula:
= ! ,,!− ! % 1 − $'% 3 = 3!88!− 3! 0.30"1−0.30 = 0.5)1 ) = )!88!− )! 0.3021−0.30 2 = 0.1361 5 = 5!88!− 5! 0.301−0.30 " = 0.0)6/ 6 = 6!88!− 6! 0.301−0.30 = 0.0100 / = /!88!− /! 0.3041−0.30( = 0.001 8 = 8!88!− 8! 0.301−0.30 = 0.00006561 7 9 = :.;;< Rpta: b). En conclusión, la probabilidad de que 3 envíos o más lleguen tarde es de 44.81%. c. ¿Tres o menos lleguen tarde? = 0.30 n = 8 x=3 π
Usando la fórmula:
= ! ,,!− ! % 1 − $'% 3 = 3!88!− 3! 0.30"1−0.30 = 0.5)1 = !88!− ! 0.301−0.30 = 0.65 1 = 1!88!− 1! 0.30(1−0.304 = 0.1// 0 = 0!88!− 0! 0.301−0.30 = 0.05/6 7 ≤ 9 = :.?;<9 Rpta: En conclusión, la probabilidad de que 3 envíos o menos lleguen tarde es de 74.83%. d. ¿Entre tres y cinco inclusive lleguen tarde? Usando la fórmula:
= ! ,,!− ! % 1 − $'% 3 = 3!88!− 3! 0.30"1−0.30 = 0.5)1 ) = )!88!− )! 0.3021−0.30 2 = 0.1361 5 = 5!88!− 5! 0.301−0.30 " = 0.0)6/ 9 ≤ 7 ≤ @ = :.;9AB Rpta: d). En conclusión, la probabilidad de que 3 a 5 envíos lleguen tarde es de 43.69%. 24.- Una encuesta revela que el 60% de los hogares prefiere cierta marca de ropa deportiva. Si se hizo la encuesta en 12 hogares, cual es la probabilidad de que esta ropa deportiva sea escogida por: a. ¿Siete hogares? = 0.60 n = 12 x=7 π
Usando la fórmula:
x = ,C% % 1−$'% 1! E0.6041−0.60 / = D/!1−/! / = 0./0 Rpta: a). En conclusión, la probabilidad de que 7 hogares escoja la ropa deportiva es de 22.70%. b. ¿Menos de 6 hogares? = 0.60 n = 12 x=7 π
Usando la fórmula:
x = ,C% % 1−$'% 5 = 0.100 3 = 0.01) 1 = 0.0003 F 6 = 0.158
) = 0.0)0 = 0.00) 0 = 0.000016
0
Rpta: b). En conclusión, la probabilidad de que menos de 6 hogares escoja la ropa deportiva es de 15.80%. c. ¿Diez o más hogares? = 0.60 n = 12 x=7 π
Usando la fórmula:
x = ,C% % 1−$'% 10 = 0.0638 1 = 0.001 10 = 0.0833
11 = 0.01/)
Rpta: c). En conclusión, la probabilidad de que 10 o más hogares escoja la ropa deportiva es de 8.33%. d. ¿Más de 2 hogares?
= 0.60 n = 12 x=7 π
Usando la fórmula:
x = ,C% % 1−$'% = 0.00) ) = 0.0)0 6 = 0.1/65 8 = 0.18 10 = 0.0638 1 = 0.001 = 0.
3 = 0.01) 5 = 0.100 / = 0./0 = 0.1)1 11 = 0.01/)
Rpta: d). En conclusión, la probabilidad de que más de 2 hogares escoja la ropa deportiva es de 99.92%. 25.- Los aviones llegan al aeropuerto O¨Hare de Chicago a una razón promedio de 5.2 por minuto. Los controladores de tráfico pueden manejar de forma segura un máximo de 7 aviones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que se arriesgue la seguridad del aeropuerto? Se cree que las llegadas tienen una distribución de Poison. X=8 λ = 5.2 e = 2.71828
5../188'.G5! = 2,948.094263/40,320 = 0.073314 = 7.31%
P(x = 8) =
Rpta: La probabilidad de que se arriesgue la seguridad del aeropuerto es de 7.31%. 26.- Business Week reportó que el 80% de la población piensa que los salarios de los miembros del congreso son demasiado altos. Si 15 personas se seleccionan para conformar un comité para que decida por mayoría de votos si tales salarios deben aumentarse o no, ¿Cuál es la probabilidad de que el voto sea no aumentar tales salarios? 15C8 (0.8)
0.80.4= 0.138 = 1.38%
Rpta: La probabilidad de que el voto sea no aumentar tales salarios es de 1.38%. 27.- Los reportes muestran que se cometen 5 homicidios cada hora en las ciudades más grandes de un país, y que la distribución se ajusta a una distribución de Poisson. Si esto es cierto, ¿cuál es la probabilidad de que en los próximos 30 minutos, asesinen a tres personas?
9: = :.@ A:
H : 5(0.5) = 2.5 Usando la fórmula:
% J 'K I = ! " J '. .5 3 = 3! 3 = 0.13/ Rpta: En conclusión, la probabilidad de en los próximos 30 minutos asesinen a 3 personas es del 21.37% 28.- Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas, ¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos? X=3 λ = 1.2 e = 2.71828
1."./188'(.G3! = 0.520464018/6 = 0.08674 = 8.67%
P(x = 3) =
Rpta: La probabilidad es de 8.67%. 29.- En un esfuerzo por reducir costos, Wendys International Inc., un popular restaurante de comida rápida, analizó la tendencia para que sus procesadores automáticos determinaran los pesos de la hamburguesa, en las hamburguesas de cuarto de libra. Se encontró que los pesos oscilaban entre 3,2 onzas y 4,9 onzas. Se asumió una distribución uniforme. Qué porcentaje de hamburguesas tiene más de un cuarto de libra? A = 3.2 B = 4.9 Rango : 4.9 – 3.2 = 1.7 Si los límites son 3.2 y 4.9 de onzas y ¼ de libra equivale a 4 onzas se tiene que el nuevo rango para encontrar más de ¼ de libra esta entre A=4 B = 4.9 Rango : 1.7 Usando la fórmula:
− x( x( ≤ x ≤ x = xLMNOP
) ≤ x ≤ ). = ).1./− ) ) ≤ x ≤ ). = 0.50 Rpta: En conclusión, el porcentaje de hamburguesas tiene más de un cuarto de libra es de 52.90%. 30.- ¿La distribución normal es una distribución discreta o continua? justifique su respuesta. Si 2 conjuntos de datos que están distribuidos normalmente tienen la misma media pero diferentes desviaciones estándar, ¿Cómo se compararía el rango que comprende el 68.3% de todas las observaciones de un conjunto a otro? haga las figuras necesarias para ilustrar como puede aplicarse esta regla empírica en ambas distribuciones. Respuesta a): La distribución normal es continua, porque la variable puede tomar cualquier valor dentro de los intervalos. Respuesta b): El conjunto que tenga una S mayor deberá abarcar un espacio mayor del grafico para obtener un 68.3%de las variables. Si A tiene una S el doble de B entonces a tendrá que cubrir un área del doble de B para obtener el 68.3% de las observaciones. 30.- Los costos de producción mensual en una imprenta de Toledo son de 410 dólares en promedio. Con una desviación estándar de 87 dólares el gerente promete al propietario de la tienda mantener los costos por de debajo de 300 dólares este mes. ¿Si los costos están distribuidos normalmente el propietario puede creerle al gerente? Xm = 410 σ =
87 x = 300 z = (x - Xm) / σ z = (300 - 410) / 87 z = -110 / 87 z = -1,26 Ahora, según la tabla de distribución normal, este z tiene una probabilidad de ocurrencia de 0,3962: P(0 ≤ z ≤ 1,26) = 0,3962 Como estamos tratando con una distribución normal, P(0 ≤ z ≤ 1,26) = P(-1,26 ≤ z ≤ 0) Como el gerente promete mantener los costos "por debajo" de 300 dólares, lo que necesitamos es el complemento del valor que acabamos de hallar, así: P(z ≤ -1,26) = P(-∞ ≤ z ≤ -1,26) = 0,5 - P(-1,26 ≤ z ≤ 0) = 0,5 - 0,3962 = 0,1038 Rpta: Así, la probabilidad de que el gerente pueda mantener su promesa es del 10,38%. Creo que el propietario no podría creerle al gerente, pero allá él...
31.- Una empresa de contabilidad de Dooit and Quick descubre que el tiempo que se toma para realizar un proceso de auditoria está distribuido normalmente, con un tiempo promedio de 17.2 días y una desviación estándar de 3.7 días. El Sr. Dooit promete iniciar un trabajo de auditoria para su firma dentro de 20 días, pero debe terminar una que ya ha comenzado. ¿Qué tan probable es que cumpla su promesa? Sea X la variable aleatoria, que mide el tiempo para un trabajo de auditoria µ = 17.2 días σ = 3.7 días P(x<20) = p((x–17.2)/3.2 < (20-17.2)/3.2) = p(Z<0.75) = 0.77337 Rpta: La probabilidad de que cumpla su promesa es de 77.337% 32.- Los corredores de un maratón local terminaron el trayecto en un tiempo promedio de 180.3 minutos; s+=25.7. ¿Qué tan rápido deben correr para terminar dentro del primer 10%?? DESARROLLO: Suponemos que la distribución es normal. Tipificamos la variable: z = (x-180.3)/25.7 Se pide hallar k tal que P(z>k)=0.9. En la tabla k = -1.28 pues P(z>-1.28) = P(z<1.28) = 0.9 (0.8997 en la tabla) Luego P(x-180.3)/25.7 > -1.28) = 0.9 P(x > - 25.7 • 1.28 + 180.3) = 0.9 P(x > 147.4) = 0.9 Rpta: Luego deben correr en menos de 147.4 segundos 33.- Los conectores eléctricos duran un promedio de 18.2 meses, y s+=1.7. El vendedor acepta remplazar uno si este falla dentro de los primeros 19 meses. De las 500 unidades, ¿cuantas debe reemplazar en promedio? DESARROLLO: Se entiende que la distribución es normal. Entonces, tipificando: Z=(19-18.2)/1.7 = 0.47 Y buscando en la tabla
P(Z<0.47) = 0.6808 Y como son 500 es: 0.6808*500 = 340.4 Rpta: En promedio debe reemplazar 340 conectores eléctricos. 34.- Las ventas promedio de Barry son de US$500 con s=15.2. Gana una comisión de US$100 sólo si sus ventas exceden de US$530. En promedio ¿cuál es la comisión por cada 25 ventas? p=P(X>530) = P(X-Media<530-500) = P((X-media)/s>(530-500)/15.2) =P(Z>1.9736842105263157894736842105263... de la tablas de la distribución normal estándar p=1-P(Z<_1.973684210526315789473684210... p=1-0.9756 p=0.0244 El valor promedio para 25 muestras es nxp con n=25 Promedio=25*0.0244 = 0.61 Multiplicamos el promedio por los US$ 100 = US$ 100 *0.61 = US$ 61.00 Rpta: En promedio la comisión por cada 25 ventas es de US$ 61.00 35.- La producción diaria en una planta local tiene un promedio de 7,300 toneladas, son s=125 toneladas. En promedio, de 100 días ¿cuantas veces la producción excederá de 7,000 toneladas? (7000-7300)/125 = -2.4 = 49.8% 36.- Las boletas diarias en una de las atracciones de Dollywood en Tenessee promedian US$ 1,012 con una desviación estándar de US$ 312. ¿Cuál es la probabilidad de que la atracción de hoy reciba más de US$ 1,000? Sea x la variable aleatoria, que mide los dólares en una de las atracciones µ = US$ 1,012 σ = US$ 312 p(x>1000) = 1-p(x<1000) = 1-p((x–1012)/312 < (1000-1012)/312) = 1-p(Z<-0.04) = 1-0.4840 = 0.5160 Rpta: La probabilidad de que la atracción de hoy reciba más de US$ 1,000, es de 51.60% 37.- Los estudiantes inscritos en la prueba de aptitud gerencial para Graduados obtienen 812 en promedio, con una desviación estándar de 145. Solo quienes están entre el 20% de
los mejores pueden aplicar a una beca especifica. Gus Genius recibió un puntaje de 900 en la prueba. ¿Puede aplicar? µ =
812
Q
145
X=
Puntaje de los que reciben beca
Usando la ecuación de la distribución normal:
100R − 0R = 80R S F 0.8 = 0.8) S = 0.8) S = T'UV Por lo tanto: x = SW Y x = 0.8)1)5 81 x = 33.8 Rpta: En conclusión Gun Genius no aplica a la beca porque su puntaje es insuficiente, ya que el puntaje mínimo para adquirirlo es de 933 y como vemos rebasa los 933.