Introducción a las Ecuaciones Diferenciales ordinarias I
PRÁCTICA 09 FACTORES INTEGRANTES Y SUSTITUCIONES Alberto Gutiérrez Borda ======================== ====================================== ========================== ======================== ========================== ================ ==
En los problemas de 1 a 9 obtener un factor integrante de la forma indicada para resolver la ecuación diferencial. 1. ; 2. ; 3. ; 4. 5. 6. 7. 8. 9.
, ; ; ,
En los problemas de 10 a 32, buscando un factor integrante adecuado, resuelva la ecuación diferencial.
11. ; R. 12. ; 13. R. 14. ; R. 15. ; R. 16. 17. ; R. 18. ; 19. R. 20. ( ) 21. ; R. 22. 23. , R. 24. 25. ; R. 26. 27. ; 10.
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R. 28. ; 29. ;
30. ; R. 31. 32. ; R. En los problemas de 33 a 55, resuelva la ED realizando sustituciones apropiadas. 33. ; R. 34. 35. 36. R. ; 37. 38. ; R. 39. 40. ; R. 41. 42. ; R. | | 43. 44. ; R. 45. ; 46. 47. ; R. 48. 49. ; R. 50. 51. 52. ; R. | | 53. 54. ; R. 55. ; R. 56. La curvatura de una curva cuya ecuación es se define como el número . Determinar la función para el cual k = 1. Sug. Considerar la una [ ] sustitución trigonométrica. R. √ Alberto Gutiérrez Borda
R.
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. Demuestre que la expresión . ∫ es una función solamente de x, si 58. Demuestre que si , entonces la ecuación tiene un factor integrante ∫ . 59. Suponga que la ecuación diferencial , tiene un factor integrante . Encuentre todas las posibles función f(x). función f(x). 60. Dada la ecuación diferencial , donde M y N son funciones es un factor integrante de homogéneas del mismo grado. i) Demuestre que esta ecuación, ii) Estudia el caso . Aplica este resultado para resolver las ecuaciones a) b) . tiene un factor integrante 61. Considere la ecuación diferencial de la forma para m constante. Determine m y resuelva la ecuación diferencial. 62. Dada la ecuación , con es un factor integrante en el conjunto . Pruebe que apropiado. Aplica este resultado para resolver i) ii) . 63. Consideremos una ecuación diferencial de la forma [ ] [ ]. (a) Demostrar que una ED de esta forma no es exacta. (b) Demostrar que es un factor integrante de una ecuación de esta forma. 57. Sea
64. Utilizar el resultado del ejercicio 63, para pa ra resolver la ecuación diferencial .
[ ] [ ] 65. Considerar la ED (a) Demostrar que no es exacta. (b) Hallar un factor integrante de la forma . (c) Resuelva la ecuación diferencial. 66. Pruebe que son dos factores integrantes independientes de entonces su solución general es . Ilustre el resultado calculando dos factores integrante de . 67. Prueba que si la ecuación es exacta y homogénea sus . Aplica el resultado a la ecuación solución general es . 68. ¿En qué condiciones tendrá la ecuación diferencial un factor integrante que sea una función de la suma ? Alberto Gutiérrez Borda
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. (a) Demostrar que esta ecuación no es exacta. (b) Halle un factor integrante de la forma .
69. Sea la ecuación diferencial
(c) Resolver la ED. (d) Demostrar que y = 0 es una solución de la ecuación original, no exacta, pero no es solución de la ecuación, esencialmente equivalente, hallada en (c). (e) Dibujar varias curvas integrales de la ecuación original. APUNTES: Algunas condiciones sobre la ecuación diferencial obtener un factor integrante:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
para
, factor integrante ∫ , factor integrante ∫ , factor integrante ∫ , factor integrante ∫ , factor integrante ∫ ∫ , ; Si la ecuación diferencial tiene la forma , se sustituye
por
.
9. Cuando se hace
entonces
Dr. Alberto Gutiérrez Borda Docente Principal Universidad Nacional San Luis Gonzaga Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Ica – Perú Perú
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