Universidad Autónoma Tomas Frías Materia Facultad Técnica Sistemas de control II - Laboratorio Carrera Ingeniería Electrónica ETN - 807 GUIA DE LABORATORIO ETN-807 Practica No 3 Modelación Posición de un Motor de CC
OBJETIVO Manejar Manejar los comandos comandos necesarios que nos permitirá permitirán n modelar u obtener obtener de manera simulada simulada el posicionamiento de un motor de CC. Para Para lo cual se procede a obtener su Función de transferencia y ecuaciones en el espacio de Estados que representa a nuestro sistema dinámico. Además de que realizaremos utilizando MATLAB su respuesta en lazo abierto. INTRODUCCIÓN El motor de CC es un actuador común en control sistemas. Provee movimiento rotatorio directamente y, acoplado con ruedas dentadas o poleas y cables, puede proveer movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:
Para esto, asumimos los valores siguientes para los parámetros físicos. Estos valores se derivaron experimentalmente de un motor real de laboratorio de control • • • • • • • •
momento de inercia del rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2 coeficiente de amortiguamiento del sistema mecánico (b) = 0.1 Nms constante de fuerza electromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp resistencia eléctrica (R) = 1 ohm inductancia eléctrica (L) = 0.5 H entrada (V): Fuente de Tensión salida (theta): posición del eje el rotor y eje se consideran rígidos
Ecuaciones del Sistema
El torque del motor, T, se relaciona con la corriente de armadura, i, por un factor constante Kt. La fuerza contraelectromotriz (emf), e, se relaciona con la velocidad de rotación mediante las siguientes ecuaciones Ing jorge Alberto Herrera Caballero
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En unidades del sistema internacional SI (las que usaremos), Kt (constante de armadura) es igual a Ke (constante del motor). De la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de Newton combinado con la ley de Kirchhoff:
1. Función de Transferencia Usando Transformadas de Laplace las ecuaciones del modelo de arriba pueden expresarse en términos de s.
Eliminando I(s) podemos obtener la siguiente función de transferencia, donde la velocidad de rotación es la salida y la tensión es una entrada.
Sin embargo como durante este ejemplo estamos mirando a la posición, como que es la salida. Podemos obtener la posición integrando Theta Punto, por lo tanto solo necesitamos dividir la función de transferencia por s.
2. Espacio de Estado Estas ecuaciones pueden también representarse en la forma espacio de estado. Si elegimos posición del motor, velocidad del motor, y corriente de armadura como las variables de estado, podemos escribir las ecuaciones como sigue:
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PROCEDIMIENTO Requerimientos de diseño
Quisiéramos poder posicionar muy precisamente al motor, entonces el error de estado estacionario de la posición del motor debería ser cero. Además quisiéramos que el error de estado estacionario debido a una perturbación también sea nulo. El otro requerimiento a la performance es que el motor alcance muy rápidamente su posición final. En este caso, queremos tener un tiempo de establecimiento de 40ms. y un sobrepico menor que 16%. Si simulamos la entrada de referencia (R) por una entrada escalón unitario, entonces la salida velocidad del motor debería tener: • • • •
Tiempo de establecimiento menor que 40 milisegundos Sobrepico menor que 16% Error de estado estacionario nulo Sin error de estado estacionario debido a una perturbación
Representación en Matlab y respuesta a lazo abierto 1. Función de Transferencia
Podemos poner la función de transferencia en Matlab definiendo el numerador y el denominador como vectores: Cree un nuevo archivo-m e ingrese los siguientes comandos: J=3.2284E-6; b=3.5077E-6; K=0.0274; R=4; L=2.75E-6; num=K; den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2) 0];
Ahora veamos qué hace el sistema original a lazo abierto. Copie el siguiente comando al final del archivo-m y ejecútelo en la ventana de comandos del Matlab: step(num,den,0:0.001:0.2)
Debería obtenerse la figura siguiente: comprobar????? Ing jorge Alberto Herrera Caballero
Universidad Autónoma Tomas Frías Materia Facultad Técnica Sistemas de control II - Laboratorio Carrera Ingeniería Electrónica ETN - 807 De la figura vemos que cuando se aplica 1 volt al sistema, la posición del motor cambia en 6 radianes, seis veces mayor que la posición deseada. Para una entrada escalón de 1 volt, el motor debe girar alrededor de 1 radian. Además, el motor alcanza un estado estacionario que no satisface los criterios de diseño
2. Espacio de Estado Podemos poner las ecuaciones de espacio de estado en el Matlab definiendo las matrices del sistema como sigue: J=3.2284E-6; b=3.5077E-6; K=0.0274; R=4; L=2.75E-6; A=[0 1 0 0 -b/J K/J 0 -K/L -R/L]; B=[0 ; 0 ; 1/L]; C=[1 0 0]; D=[0];
La respuesta al escalón se obtiene mediante el comando step(A,B,C,D)
Desgraciadamente, Matlab responde con Warning: Divide by zero ??? Index exceeds matriz dimensions.
(división por cero) (índice excede dim de matriz)
Error in ==> /usr/local/lib/matlab/toolbox/control/step.m On line 84 ==> dt = t(2)-t(1);
Con esta representación de las ecuaciones dinámicas están habiendo problemas numéricos de escalamiento . Para solucionar el problema, escalamos el tiempo mediante tscale = 1000. Ahora la salida tiempo estará en milisegundos en lugar de en segundos. Las ecuaciones están dadas por tscale = 1000; J=3.2284E-6*tscale^2; b=3.5077E-6*tscale; K=0.0274*tscale; R=4*tscale; L=2.75E-6*tscale^2; A=[0 1 0 0 -b/J K/J 0 -K/L -R/L]; B=[0 ; 0 ; 1/L]; C=[1 0 0]; D=[0];
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Universidad Autónoma Tomas Frías Materia Facultad Técnica Sistemas de control II - Laboratorio Carrera Ingeniería Electrónica ETN - 807 La salida parece la misma que cuando se obtuvo através de la función de transferencia, pero el vector tiempo debe ser dividido por tscale. [y,x,t]=step(A,B,C,D); plot(t/tscale,y) ylabel('Amplitud') xlabel('Tiempo (seg)')
INFORME Presente el informe, debe mostrar todas las graficas obtenidas. El informe debe de contener resumen, introducción, procedimiento, análisis de resultados, conclusiones y bibliografía consultada.
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