practica resuelta

Universidad Autónoma San Francisco Carrera Profesional: Ingeniería Comercial y Financiera Asignatura: Métodos Cuantitativos Guía de Prácticas Nº 1 Plantee sin resolver los modelos !ue re"resentan los siguientes "ro#lemas: 1$ Fay Klein ha desarrollado dos tipos de juegos de salón para adultos, hechos a mano, que vende a tiendas en todo el país. unque la demanda de estos juegos e!cede su capacidad de producción, la se"ora Klein contin#a tra$ajando sola y limita su tra$ajo semanal a %& h. 'l juego tipo I se produce en (.% horas y arroja una ganancia de )*+, mientras que el juego II toma  horas para su producción y da una ganancia de )(-. Cu/ntos juegos de cada tipo de$er/ producir semanalmente la se"ora Klein, si su o$jetivo es ma!imi0ar la ganancia total1

%ugo ti"o

:

&

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Se Produce en:

'$()

*)

Arro+a ganancia de:

,-.

,'1

S& //A0A0S: 2 3 UN&4A45S 45 %U5G 1 6 3 UN&4A45S 45/ %U5G 7 3 GANANC&A 5/ P89/50A U54A8;A P/AN<5A4 0A2 73-.2='16 SU%5< A '$(2=*6>3(? /A S/UC&@N S58;A: 231*$-. UN&4A45S 45/ %U5G 1 63 ? UN&4A45S 45/ %U5G %U5G 7 3 ,*?? 02&0A 0 2&0A GANANC&A$ GANANC&A$

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tienda nda de ani animal males es ha det determ ermina inado do que cada h/m h/mste sterr de$ de$erí ería a reci reci$ir $ir -$ 2na tie diariamente al menos 3& unidades de proteína, -&& unidades de car$ohidratos y *& unidades de grasa. 4i la tienda vende los 5 tipos de alimento mostrados en la ta$la siguiente, qué me0cla de alimento satis6ace las necesidades a un costo mínimo para la tienda1 limento

 : C ; ' F

7roteínas, unidades8on0 a *& (& & & % (&

Car$ohidratos , unidades8on0a %& (& *& *% %& *&

9rasa, unidades8on0 a  < --& < -&

Costo, )8on0a * ( % 5 + +

/ U5 0A2&0&7A8B0S: 21 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 A 2- 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 9 2' 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 C 2* 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 4 2( 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 5 2 3 /A / A CAN<&4A4 CAN<&4A4 A 057C/A8 45 F /A FUNC&@N U5 P450S AP/&CA8: 0&N D 3 -21 = '2- = (2' = 2* = .2( = .2 -?21 = '?2- = *?2' = *?2- = *(2( = '?2 > E? P8<5;NA (?21 = '?2'?2- = -?2' = -(2* = (?2( = -?2 > 1?? CA89&48A< CA89&48A<S S *21 = 2- = 112' = 1?2* = 2( = 1?2 > -? G8ASA 21 2- 2' 2* H ? 2na a co comp mpa" a"ía ía ma manu nu6a 6act cture urera ra lo loca call pro produ duce ce cu cuat atro ro di di6e 6ere rent ntes es pro produc ducto tos s '$ 2n met/licos met/li cos que de$e de$en n maq maquin uinarse arse,, pul pulirs irse e y ens ensam$l am$larse arse.. =as nec necesi esidade dades s especí6icas de tiempo >horas? para cada producto son las siguientes@ 7roducto I

Maquinado, h (

7ulido, h -

'nsam$le, h *





producto son )5, ), )5 y )+, respectivamente. =a compa"ía tiene un contrato con un distri$uidor, en el que se compromete a entregar semanalmente %& unid un idade ades s de dell pr prod oduct ucto o I y -& -&& & un unid idad ades es de cua cualq lqui uier er co com$ m$in inaci ación ón de lo los s productos I, II y III, seg#n sea la producción, pero sólo un m/!imo de *% unidades del producto IA. Cu/ntas unidades de cada producto de$ería 6a$ricar semanalmente la compa"ía, a 6in de cumplir con todas las condiciones del contrato y ma!imi0ar la ganancia total1 Considérese que las pie0as incompletas pueden terminarse la siguiente semana.

213 P84UC< 1 2-3 P84UC< 2'3 P84UC< ' 2*3P84UC< *

0AU&NA4 PU/&4 5NSA09/5 5I P84UC< 1 5IP84UC< - 6 ' 5I P84UC< * U<&/&4A45S

21 ' 1 1 1?

Ma! 2B -&- D 5* D +( D -* 4ujeto a B (- D ** D *( D  E +& - D * D *( D ( E && *- D * D *( D  E &&  %& * D (  -&&  E *%

21 2- 2' 2* J ?

21 1

2' -

1

1

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2* * ' 1 1 1-

9i *.? *?? *?? (? 1?? -(





jugo de toronja y %G de jugo de ar/ndano. 4i los datos del inventario son los que se presentan a continuación, qué cantidad de cada $e$ida de 6ruta de$er/ emplear el proveedor a 6in de o$tener la composición requerida a un costo total mínimo1 :e$ida

Hugo de naranja, G

Hugo de toronja, G

 : C ; '

& % -&& & &

& -& & -&& &

Hugo de ar/ndano, G & *& & & &

'!istencias, gal

Costo, )8gal

*&& && -&& %& +&&

-.%& &.3% *.&& -.3% &.*%

5ntonces la función a minimiKar sería: 1$(A = ?$E(9 = -$?C = 1$E(4 = ?$-(5 Para tener (?? litros se de#e cum"lir A = 9 = C = 4 = 5 3 (?? Para tener al menos -?L de naran+a sería: ?$*A = ?$?( 9 = C H3 1??$ 6 así "ara el 1?L de toron+a toron+a M(? galones así como ( L de arándano M-( galones /as eOistencias actuales te dan otras restricciones: A > -?? 9 > *?? etc$





4itio Capac Ca pacida idad, d, to ton8 n8se sema mana na Costo, )-&&&

 *& -%

: -3 <*

C -% 3&

; -% 3&

' -& +

F + -

9 % 3

4e#erá desarrollar los sitios A  9 "or!ue son los !ue tienen maor ca"acidad de eliminación en toneladas "or semana$ 5s necesario sa#er la "roducción de desec)os de la comunidad "ara elegir el sitio con la ca"acidad adecuada sin este dato la elección es solo teórica  el sitio F es el !ue tiene un menor costo "or tonIsemana el cual es de ,1EEE$EE sin em#argo su ca"acidad es #a+a$ Por el monto reunido este sitio "odría almacenar 1 tonelada "or semestre durante un "oco más de 1*? semestres es decir E? aQos$ 4e acuerdo al aumento de la dis"osición de desec)os M1 tonIsemana es #a+ísimo se de#e disminuir en "ro"orción inversa el tiem"o de utilidad del área$ Con esto "odríamos evaluar como facti#le la o"ción 9 !ue es la !ue tiene una mu #uena ca"acidad M- tonIsemana con un costo de ,(*1?$RIton el cual es #astante raKona#le con relación al resto a !ue solo están "or de#a+o las o"ciones F M,1EEE$EE  C4 M,*$ semiconduct onductores ores produce un módulo especí6ico especí6ico de estad estado o $ 2na corporación de semic sólido, el cual se suministra a cuatro di6erentes 6a$ricantes de televisores. 'l módulo puede producirse en cualquiera de las tres plantas de la corporación, aunque los costos varían de$ido a la di6erente e6iciencia de producción de cada una. 'specí6icamente, cuesta )-.-& producir un módulo en la planta , )&.<% en la planta plant a : y )-.&( en la planta C. =as capacidades mensuales mensuales de producc producción ión de las pla lant ntas as so son n 3%& %&&, &, -& -&&& &&& & y +-& -&& & mó módu dulo los, s, re resp spec ecttiv ivam amen entte. =as estimaciones de venta predicen una demanda mensual de *&&, + (&&, 5 (&& y * 3&& módulos, para los 6a$ricantes de televisores I, II, III y IA, respectivamente. 4i los costos de envío >en dólares? para em$arcar un módulo de una de las 6/$ricas a un 6a$ricante se muestran a continuación, encuéntrese una cédula de producción que cu$ra todas las necesidades a un costo mínimo total. 7lanta 

elevisores I &.--

II &.-(

III &.&<

IA &.-<





E$ 2n $u6ete de a$ogados ha aceptado cinco nuevos casos, cada uno de los cuales puede ser llevado adecuadamente por cualquiera de los cinco asociados m/s recientes. ;e$ido a la di6erencia en e!periencia y pr/ctica, los a$ogados empl em plea ear/ r/n n di dist stin into tos s ti tiem empo pos s en lo los s ca caso sos. s. 2n 2no o de lo los s as asoc ocia iado dos s m/ m/s s e!perimentados ha estimado las necesidades de tiempo >en horas? como sigue@ $ogado * (  %

Caso -% +& -*--+ -+ <3

Caso * -** 5( -&3 +( 3%

Caso ( -(& +% <( --5 -5 -*&

Caso  <% + 5< +& +&

Caso % --% -% 3+ <% -&% ----

;etermínese la 6orma óptima de asignar los casos a los a$ogados, de manera que cada uno de ellos se dedique a un caso di6erente y que el tiempo total de horas empleadas sea mínimo.

Para modeliKar el "ro#lema em"learemos -( varia#les #inarias Oi+ !ue tomarán el valor 1T si el a#ogado iT lleva el caso +T  el valor ?T en caso contrario$ Así el tiem"o !ue tardará en resolverse el caso 1 será de: 1*(O11 =.?O-1 =1-1O'1 =11.O*1 =EO(1 )oras Pues el nico sumando no nulo en esta suma será el corres"ondiente al a#ogado !ue lleve el caso$ 5s claro entonces !ue la función o#+etivo será: 1*(O11 =.?O-1 =1-1O'1 =11.O*1 = EO(1 =1--O1- ='O-- =1?EO'- = .'O*- = E(O(=1'?O1' =.(O-' = 'O'' =11O*' =1-?O(' = (O1* =*.O-* = O'* = .?O** = .?O(* =11(O1( =11 (O1( =E.O-( = (O'( =1?(O*( =111O(($ =111O(($

6a$ricante cante de mue$les produce produce los siguientes siguientes productos@ mesas, mesas, armarios .$ 2n 6a$ri sillas. =a 6a$ricación de cada tipo de producto requiere chapas de magno y dos tipos de mano de o$ra, una para aca$ado y otra para carpintería. =a cantidad de recursos para cada tipo de producto es dada en la ta$la a$ajo.







aca$ado oras

de

*

-,%

&,%

-&

carpintería 4iendo que cada mesa, armario y silla dan una ganancia de (,  e % u.m. Formular el modelo matem/tico para ma!imi0ar su ganancia semanal. e!cursionista planea salir de campa campamento. mento. ay cinco artículos artículos que desea $ 2na e!cursionista llevar consig llevar consigo, o, pero entre todos so$repasan las 5& l$ que consid considera era que puede cargar. 7ara au!iliarse en la selección, ha signado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia@ rtículo 7eso, l$ Aalor

%* -&&

* *( 5&

( (% 3&

 -% -%

Jué artículos de$er/ llevar para ma!imi0ar el valor total, sin so$repasar la restricción de peso1

aciendo !ue 2i Mi 3 1 - ' * ( indi!ue la cantidad a llevar del artículo & se "uede "lantear: 0aOimícese: K 3 1 21 = ? 2- = E? 2' = 1( 2* = 1( 2(

M1

/a restricción de "eso sería: s ería: (-21 = -'2- = '(2' = 1(2* = E2( >3 ?

M-

6a !ue !ue cada artículo se llevará o no se llevará llevará cada varia#le de#e ser 1 o ?$

% 3 -%





con: todas las varia#les enteras no negativas$ 5l sistema M' es un "rograma entero 1?$ 2n 6a$ricante de pl/sticos tiene en e!istencia, en una de sus 6/$ricas, -*&& cajas de envoltura transparente y otras -&&& cajas en su segunda 6/$rica. 'l 6a$r 6a $ric ican ante te ti tien ene e ór órde denes nes pa para ra es este te pr prod oduct ucto o po porr pa part rte e de tr tres es di di6e 6ere rent ntes es detallistas, en cantidades -&&&, 3&& y %&& cajas, respectivamente. =os costos unitarios de envío >en centavos por caja? de las 6/$ricas a los detallistas son los siguientes@ Cons Co nstr truy uya a un mo mode delo lo de pr prog ogra ramac mació ión n liline neal al qu que e per permi mita ta det deter ermi mina narr la cantidad de cajas que de$e enviar cada 6/$rica a cada detallista con un costo mínimo, para satis6acer toda la demanda con el inventario actual. F/$rica *

;etallista - -(

;etallista * -( -(

Posi#le Solución: V V4etallista 1 V4etallista - V4etallista ' VCant$ 4e ca+as "or V V V V V Vfa#ricas V VFá#rica 1 V1* V1' V11 V1-?? V VFá#rica - V1' V1' V1- V1??? V V
;etallista ( --*





7321$1 X1* = 21$- X1' = 21$' X11 = 2-$1 X1' = 2-$- X1' = 2-$' X18estricciones: 21$1 X1* = 21$- X1' = 21$' X11 Y 1-?? 2-$1 X1' = 2-$- X1' = 2-$' X1- Y 1??? 21$1 X1* = 2-$1 X1' J 1??? 21$- X1' = 2-$- X1' J E?? 21$' X11 = 2-$' X1- J (?? No negatividad 21$1 21$-21$' 2-$12-$- 2-$' 0odelo de Programación /ineal: 0inimiKar 7321$1 X1* = 21$- X1' = 21$' X11 = 2-$1 X1' = 2-$- X1' = 2-$' X1Su+eto a: 21$1 X1* = 21$- X1' = 21$' X11 Y 1-?? 2-$1 X1' = 2-$- X1' = 2-$' X1- Y 1??? 21$1 X1* = 2-$1 X1' J 1??? 21$- X1' = 2-$- X1' J E?? 21$' X11 = 2-$' X1- J (?? 21$1 21$- 21$' 2-$1 2-$- 2-$' J ?

A/U0NA: W58@N&CA 2&05NA 45 /S 8565S W&//5GAS CA8858A: &NG5N&58;A C058C&A/ 6 F&NANC&58A &W S505S<85

practica resuelta

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