Probabilidades
1. Sean A y B dos eventos eventos de tales que: P ( A) 0,2 las siguientes probabilidades: a. P ( A B ) c b. P ( A B ) c.
P ( A B )
d.
P ( B A)
2. Si P ( A) 0,4 P ( B) 0,5 P (C ) 0,7 hallar: a. P ( A B C ) C
b.
P ( A B C
c.
P ( A B C
d.
P ( A B C )
C
P ( A B )
0, 2
P ( B
P ( A C )
C
0,2
)
0,4 y P ( AC
P ( B C )
0,4
y
B
C
) 0,3 . Calcular
P ( A B C )
0,1 ,
)
)
3. Luego de dos años de puesta en marcha del TransModa una flota con 10 buses, tiene 4 con defectos graves y 2 con defectos pequeños. Si se elige un bus al azar, calcular la probabilidad de que: a. No tenga defectos. b. No tenga defectos graves. Si eligen dos buses al azar (sin reemplazo), calcular la probabilidad de que: c. d. e. f. g. h.
Ambos estén en buenas condiciones. A lo menos uno esté en buenas condiciones. Exactamente uno esté en buenas condiciones. Ambos tengan defectos graves. Ninguno tenga defectos graves. Ninguno esté bueno.
4. De los 250 empleados de una empresa, 130 fuman cigarrillos, cigarrillos, hay 150 hombres que trabajan trabajan en esta compañía, de los cuales 85 fuman cigarrillos, ¿cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar, a. no fume cigarrillos? b. sea mujer y fume cigarrillos? cigarrillos? c. Sabiendo que fuma. ¿Cuál es la la probabilidad que sea hombre? hombre? 5. En una cadena de televisión televisión se hizo hizo una encuesta a 2.500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2.100 vieron la película estelar, mientras que 1.500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que viera la la película y el debate? b. ¿Cuál es la la probabilidad de que viera la la película, sabiendo que vio el debate? 6. Una fábrica tiene tiene tres máquinas para producir ampolletas. La máquina A produce el 35 % del total de ampolletas, la maquina B produce el 50 % y la maquina C produce el 15 % de las ampolletas. Sin embargo, las maquinas no son perfectas, la máquina A daña el 10 % de las ampolletas que produce. La máquina B daña el 5 % y la maquina C daña el 20 %. a. La fábrica produce 10000 ampolletas sin sin defectos en un día. ¿Cuántas de estas corresponden a la máquina A? ¿Cuantas daña en un día?
b. Si seleccionamos una ampolleta de la máquina C, ¿cuál es la probabilidad de que este defectuosa? c. Luego de fabricadas, pero antes de probarlas, las ampolletas se colocan juntas en un salón. Si se selecciona una ampolleta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este defectuosa? d. Si se comprueba que una ampolleta esta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la maquina B? 7. El 30 % de los estudiantes de un Instituto practica futbol, el 40% practica baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Se elige un estudiante al azar. Calcula: a. La probabilidad de que no juegue futbol ni baloncesto. b. Si juego al futbol, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al baloncesto? c. ¿Son independientes jugar futbol y al baloncesto? 8. Se tienen dos dados, uno (A) con dos caras rojas y cuatro verdes, y otro (B) con dos caras verdes y cuatro rojas. Se lanza una moneda; si sale cara se arroja el dado A y si sale cruz el dado B. a. Halle la probabilidad de obtener una cara de color rojo. b. Si sabemos que ha salido una cara de color verde en el dado, ¿cuál es la probabilidad de que en la moneda haya salido cara? 9. A una reunión asisten 60 hombres y 80 mujeres. La mitad de los hombres y la cuarta parte de las mujeres tienen 40 años o más. Elegida una persona al azar calcula la probabilidad de que sea: a. Menor a 40 años b. Sabiendo que es hombre. ¿Calcular la probabilidad que tenga 40 años o más? c. Sabiendo que no es hombres. ¿Calcular la probabilidad que tenga menos de 40 años? 10. En una reunión de profesionales 65% son industriales el resto son de sistemas, los hombres son 80% y 60% respectivamente en cada carrera. a. Calcular la probabilidad de que sea de sistemas, dado que es hombre. b. Sabiendo que es una mujer, calcular la probabilidad de que sea industrial. 11. Tres máquinas A1, A2, A3 producen el 30%, 45%, y 25% respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 1%, 3% y 7%. a. Tomamos al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina A1. b. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? c. Según su opinión y con la ayuda de las probabilidades que maquina deberá entrar en mantenimiento. 12. Un software detecta que el 1% de los usuarios legítimos hace al día llamadas que se originan en dos o más áreas metropolitanas. sin embargo 30% de los usuarios fraudulentos hacen llamadas de dos o más áreas metropolitanas. La proporción de usuarios fraudulentos es de 0.01%. Si el mismo usuario hace en un día llamadas desde dos o más áreas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fraudulento? 13. Un saltador de altura sabe que la probabilidad que tiene de superar cierta marca varía dependiendo del intento, pues influyen factores psicológicos y de cansancio. Ha estimado que la probabilidad de superarla en el primer intento es 0.9; si falla en el primero, la probabilidad de superarla en el segundo es de 0.85 y la de superarla en el tercero, condicionado a que ha fallado en los dos anteriores es 0.75. Calcula la probabilidad de que falle en los tres intentos 14. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25% de las mujeres y el 10% de los hombres son rubios. a. Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre y no sea rubia?
15. Se tiene tres urnas con bolas blancas y negras. La primera tiene 1 bola blanca y 2 negras, la segunda tiene 1 bola blanca y 3 negras y la tercera tiene 3 bolas blancas y 1 negra. Hallar: a. La probabilidad de obtener una bola negra. b. La probabilidad de obtener bola blanca si la hemos extraído de la segunda urna. c. La probabilidad de haber extraído la bola de la 3ra urna si es blanca. 16. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial lo superó el 60% y el segundo e l 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados, si se hubiese exigido superar ambos parciales? 17. Una empresa manufacturera tiene tres operativos para una máquina que produce ciertos componentes, el operario A tiene una tasa de defectuosos del 9%, el operario B del 7% y el operario C del 5%, suponga que un componente seleccionado al azar resuelta ser defectuoso calcular: a. Se sabe que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad del que el componente seleccionado haya sido por el operario A? b. Si fueras el gerente de esta empresa, y tuviera que dar un premio a uno de los operarios a quien le daría su premio y por qué. c. Si fueras el gerente de esta empresa, y tuviera que dar un memorándum de llamada de atención a uno de los operarios a quien el memorándum y por qué. 18. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación, otra persona B elige otro libro al azar ¿calcular la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? Sabiendo que la persona B eligió novela, ¿Cuál es la probabilidad que A haya elegido poesía? 19. De los registros de mantenimiento de una planta, se conoce que cierta máquina que produce tornillos trabaja correctamente el 90% del tiempo, si la maquina no está trabajan do correctamente el 5% de los tornillos producidos son defectuosos. Cuando está trabajando bien solamente el 0.5% de los tornillos son defectuosos. Si se recoge un tornillo aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad que sea defectuoso? ¿Cuál es la probabilidad que esté trabajando correctamente sabiendo que el tornillo es defectuoso? 20. Un restaurante popular solamente presenta dos tipos de comidas: sopa de cardan o pollo dorado. 20% de los clientes del sexo masculino prefieren sopa de cardan; 30% de las mujeres escogen pollo dorado, 75% de los clientes son hombres. a. Sabiendo que es hombre. Calcular la probabilidad que prefiera sopa de cardan. b. Sabiendo que es mujer. Calcular la probabilidad que prefiera pollo dorado. c. Calcular la probabilidad que prefiera sopa de cardan y sea hombre. 21. En un grupo de amigos el 80 % están casados. Entre los casados, el 75 % tiene trabajo. Finalmente, un 5 % no están casados y tampoco tiene trabajo. a. ¿Qué porcentaje no tienen trabajo? b. Si uno tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado? c. ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo?
Variables Aleatorias
1. Una organización de consumidores que evalúa automóviles nuevos reporta regu larmente el número de defectos importantes en cada automóvil examinado. Detonemos por X el número de defectos importantes en un automóvil seleccionado al azar de un cierto tipo. La función de probabilidad de X es como sigue: 0 .06 .19
x<0 0 x < l 1 x < 2
F(x) =
.39 .67 .92 .97 1
2 x < 3 3 x < 4 4 x < 5 5 x < 6
6
Calcule las siguientes probabilidades. a. p(2), esto es, P(X = 2) 2.- Sea f(x)
=
c(1/3)X
b. P(X>3)
c. P( 2 X 5 ) d. P( 2 < X < 5 )
x=0, 1,2,…
a. Determinar la función de probabilidades ó cuantía hallando el valor de c. b. Determinar la función acumulada F. c. Calcular P (0 x 1.5) 3.- Una agencia de Lotería vende 100.000 boletos a 200 Bs. cada boleto, se dará un premio de 5.000.000 Bs. al favorecido. Suponiendo que hemos comprado un boleto ¿Cuánto debemos esperar ganar?
3 4 X (2 X ) ; 0 x 2 f ( x) 0 ; en otro casoi a. Calcular la esperanza de X e interpretar. b. Calcular la varianza y desviación típica de X e interpretar. 4. Se realiza una encuesta entre 100 empresas independientes par determinar si están de acuerdo o no a favor de aumentar los aranceles sobre mercaderías importadas. Sea X la variable aleatoria definida como numero de empresas a favor del incremento arancelario. Hallar a) el espacio muestral. b) El recorrido c) Indica que tipo de variable aleatoria 5. De un cajón de escritorio que contiene 12 lápices, se sabe que la mitad son rojos, por muestreo se elige 3 lápices al azar. Sea x el numero de lápices rojos. a. Si se selecciona un lápiz con reposición, cual es el número esperado de lápices rojos y la desviación típica. b. calcular la probabilidad de seleccionar a lo sumo 2 lápices rojos. Si se selecciona 2 lápices al azar sin reposición y al mismo tiempo, también encontrar e interpretar la esperanza y desviación típica. 6. Para estudiar si las ratas tienen visión cromática, en una caja que cuenta con tres palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En cada prueba la posición de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se somete una rata a cuatro p ruebas. ¿Cuál sería la distribución de la variable aleatoria número de pulsaciones que consiguen alimento, si la rata no distinguiera el rojo y pulsase al azar? a. Calcular e interpretar la esperanza matemática y la desviación típica. b. Sabiendo que las pulsaciones son menores a la esperanza matemática. ¿Calcular la probabilidad de que haya dos o más pulsaciones? 7. El gerente de una pastelería sabe que el número de pasteles de chocolate que puede vender cualquier día de la semana es una variable aleatoria con distribución de probabilidad dada por: x 0 1 2 3 4 5
p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 También sabe que se obtiene una utilidad de 1$ por cada pastel vendido y una pérdida de 0.4$ por cada pastel no vendido. Se supone que cada pastel sólo puede ser vendido el día de su elaboración. Determine la utilidad esperada del gerente de la pastelería si en un día cualquiera hornea: a. 3 pasteles b. 5 pasteles 8. Un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener un seis que un siete, ya que hay el mismo número de resultados a favor de un resultado que de otro. ¿Es cierta esta afirmación? Razone la respuesta. Un jugador de Rol, en una partida de Dungeons and Dragons, para salvarse de un conjuro de Raistlin, necesita sacar un 18 en el lanzamiento de los dados. El Dungeon Master le ofrece lanzar tres dados de seis caras o uno de diez junto con uno de ocho. ¿En cuál de estas dos alternativas es más probable obtener un 18 y salvarse del conjuro? Explique su respuesta ¿Sería la respuesta la misma si hubiese que sacar 17 o más para evitar el conjuro? 10. Tenemos una urna con dos bolas blancas, tres verdes y cinco rojas. Extraemos al azar dos bolas simultáneamente. Recibimos 200 bolivianos si las dos bolas son blancas, 100 si las dos son verdes y 10 si una es roja y la otra verde, en los demás casos no recibimos nada. a. ¿Cuál es el valor esperado de los premios e interprete? b. ¿Cuál es la desviación típica de los premios e interprete? 11. En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Si la rata elige A vuelve al punto de partida después de recorrer dos metros. Si elige B recorre cinco metros y vuelve al mismo punto. Si elige C sale al exterior recorriendo un metro. ¿Por término medio que distancia recorre una rata antes de salir, si siempre elige un orificio distinto de los seleccionados en veces anteriores? 12. Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad de probabilidad f(x) = a(1 + x2) si x ϵ (0; 3) y f(x) = 0 en los demás casos. Se pide: a. Calcular a y la función de distribución de X. b. Calcular la probabilidad de que X este comprendido entre 1 y 2. c. P (X < 1) d. P (X < 2 / X > 1) e. Calcular P ( |X- μ| ≥ kσ ), con k = 2. 13. El número de atrasos por semana es una variable aleatoria con función de probabilidad: f ( x) k (6 5 x x 2 ) para x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a. Calcular la constante k y graficar la función, Calcular la función de probabilidad acumulada b. Calcular la probabilidad de un empleado elegido al azar haya llegado al menos 4 veces tarde. c. Sabiendo que por lo menos tiene 3 atrasos. ¿Calcular la probabilidad que el número de atrasos sea a lo sumo 2 atrasos? 14. De un lote de 15 artículos hay tres defectuosos. Del lote se toma al azar una muestra (sin restitución) de cuatro artículos. Sea X el número de artículos defectuosos en la muestra. a. determine la función o distribución de probabilidad de X b. Sabiendo que hay por lo menos 2 artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de tomar a los más 6 artículos no defectuosos? 15. El gerente de una constructora guarda aleatoriamente , en una gaveta, 4 solicitudes de construcción de viviendas familiares y 5 solicitudes de construcción de multifamiliares. Al día siguiente saca una tras otra estas solicitudes. Sea X el número de extracciones hasta encontrar las 4 solicitudes de viviendas familiares. ¿Cuál es el número esperado de extracciones?
Modelos discretos
1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación cardiaca es 0.9, ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan a lo sumo cuatro de los siguientes siete pacientes sometidos a esta operación? 2. Supóngase que x tiene una distribución de Poisson. Calcular P(x>1) sabiendo que: P(x=2) = 2/3 P(x=1) 3. Una ciudad tiene por término medio, cinco muertes por accidente de tráfico cada tres semanas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que este promedio sea duplicado en un mes determinado? b. ¿Cuál es la probabilidad que haya más de 6 muertos dado que ya hay tres muertes en el mes? 4. Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: a. Los cinco individuos. b. Al menos tres. c. Sólo dos. d. Al menos uno. 5. Cada muestra de agua tiene una probabilidad de 10% de contener un contaminante orgánico particular. Se supone que las muestras son independientes en el sentido de presentar o no el contaminante. Encontrar la probabilidad de que: a. En las próximas 18 muestras examinadas, exactamente 2 presenten contaminación. b. Determinar la probabilidad de que por lo menos 4 muestras presenten contaminación 6. Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se compran en lotes grandes y se prueban secuencialmente hasta que se observa el primer fusible defectuoso. Suponga que el lote contiene 10% de fusibles defectuosos: a. ¿Qué probabilidad hay de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros cinco fusibles probados? b. ¿Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de fusibles probados hasta observarse el primer fusible defectuoso? 7. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una p roporción de 3 de cada 100 pacientes. Si se eligen 5 pacientes al azar a los que se les aplica la droga, calcula la probabilidad de que: a. Ningún paciente tenga efectos secundarios. b. Al menos dos tengan efectos secundarios. c. ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera el laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? 6. Cada vez que un usuario cualquiera de una compañía de telefonía móvil llama a atención al cliente para intentar hablar con un agente, la probabilidad de que su llamada sea atendida en el acto es de 0.05, en caso contrario debe esperar hasta que haya un agente libre. Si una persona decide llamar sucesivas veces hasta que encuentre un agente libre: a. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que llamar por lo menos 5 veces hasta que su llamada sea atendida en el acto? b. ¿Cuál es el número medio de llamadas que debe realizar hasta conseguir un agente libre? c. Si un agente atiende un día determinado a 50 usuarios, ¿cuál es el número medio de llamadas que habrán realizado entre todos ellos? 7. En una cierta cadena de producción, se sabe que en promedio uno de cada 20 productos manufacturados es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que la hacer un control el cuarto producto manufacturado seleccionado sea el primero defectuoso?
8. Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y el rechazo del lote se realizará si se encuentra más de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote? b. Si se sabe que el número de defectuosos es menor a la esperanza matemática. ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote? 9. En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules? 10. El número de clientes x que llegan a la caja de un supermercado en un cuarto de hora sigue una distribución de Poisson con media 5. a. Hallar la probabilidad de que lleguen al menos 4 personas en un cuarto de hora. b. Obtener la probabilidad de que no llegue nadie a la caja en un cuarto de hora. c. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen entre 2 y 4 clientes a la caja en un cuarto de hora? 11. El número de accidente por semana en una fábrica sigue una d istribución Poisson con media igual a 2. Calcular: a. La probabilidad de que en una semana haya algún accidente. b. La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas. c. La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente. d. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad de que en esa semana no haya más de tres accidentes. 12. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución de Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora? b) Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8. 13. En un libro de 500 páginas se distribuyen aleatoriamente 300 erratas de imprenta. Hallar la probabilidad de que en una página haya: a. Exactamente 2 erratas. b. Dos o más erratas. 14. Un club tiene 100 socios. Entre ellos hay 70 ingenieros, 10 extranjeros y 20 nacionales no ingenieros. Si se elige al azar el comité directivo de 5 socios. ¿Cuál es la probabilidad de que este contenga: a. exactamente no ingenieros? b. ¿Exactamente tres extranjeros? c. ¿Exactamente tres no ingenieros extranjeros? d. ¿Por lo menos 3 ingenieros?
Modelos continuos
1. Se sabe que un cierto tipo de parte electrónica, tiene una distribución exponencial con una vida media de una semana. Calcular la probabilidad de que dure otras dos semanas adicionales, dado que ya ha transcurrido una semana de duración. 2. Las vidas útiles de las pilas de una cierta marca están distribuidas normalmente. Si el 6.681% de las pilas duran más de 56 horas y 30.854% duran menos de 52 horas, calcular la probabilidad de que una pila dure más de 54 horas. 3. Se está construyendo un lote de 100 viviendas en la localidad de Viacha. El material empleado en las redes de desagüe es tal que el 9,512% de las tuberías de desagüe tienen periodos de duración que exceden los 15 años y que el 62, 556% tienen periodos de duración que exceden los 9 años.
Considerando que la distribución de probabilidad de los periodos de duración es estas tuberías es normal, hallar la probabilidad que en una de las viviendas, las tuberías duren menos de 12 años. 4. La longitud de vida de una especie de planta en cierto medio ambiente es una variable aleatoria continua X que tiene una distribución exponencial con una longitud media de vida de 1000 días a. Qué proporción de plantas de esta especie mueren antes de los 1000 días b. Si una planta individual vive durante 800 días Cual es la probabilidad viva otros 400 días 5. En una aerolínea el tiempo para atender a los pasajeros sin billete en el mostrador del aeropuerto sigue una distribución exponencial con una media de 5 minutos a. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención menor que 2.5 minutos b. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención mayor que 10 minutos c. Cuál es el numero esperado de pasajeros atendidos por minuto 6. El Gobierno Municipal de Achacachi ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado de COU y ha observado que se distribuyen normalmente con una med ia de 44 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores de COU, hallar: a. ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años? b. ¿Cuántos de 55 años o más? 7. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 180 gr y deviación típica 20 gr. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcula: a. ¿Cuántos kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 kg? b. ¿Cuántos kilos de naranjas cuyo peso se espera que esté entre 160 y 200 kg? 8. Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0.5 años. Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal: a. ¿Qué porcentaje de baterías se espera que duren entre 2 y 4 años? b. Si una batería lleva funcionando 3 años, ¿cuál es la probabilidad de que dure menos de 4.5 años? 9. La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez es de 26 años. Suponga que las edades en el primer casamiento tienen una distribución normal, con desviación estándar de 4 año s. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga menos de 23 años de edad? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga entre 20 y 30 años de edad? c. El 90% de las personas que se casan por primera vez, ¿a qué edad lo hacen? 10. La nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que querían ingresar en una facultad era 5.8 y la desviación típica 1.75. Fueron admitidos los de nota superior a 6. a. ¿Cuál fue el porcentaje de admitidos si la distribución es normal? b. ¿Con que probabilidad exactamente 4 de 10 estudiantes son admitidos? 11. Una normativa europea obliga a que en los envases de yogur no debe haber menos de 120 gr. La máquina dosificadora de una empresa láctea hace los envases de yogur según una ley normal de desviación típica de 2 gr y media 122 gr. a. ¿Qué tanto por ciento de los envases de yogur de esa empresa cumplirá la normativa? b. ¿Cuál debería ser la media de la ley normal con la cual la máquina dosificadora debe hacer los envases para que el 98% de la producción de yogures de la empresa cumpla la normativa? (La desviación típica sigue siendo de 2 gr.) 12. La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo (-2,8). a. Determinar la función de probabilidad y el valor de P(0
13. La variable aleatoria X denota la corriente, medida en miliamperios, en un alambre delgado de cobre. Supóngase que la función densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es una función uniforme en el intervalo (0,20). a. Determinar la esperanza y la varianza de X b. ¿Cuál será la probabilidad de que por el alambre circule una corriente de más de 10 miliamperios?, ¿Y entre 5 y 8 miliamperios?
e x x 0 f ( x) en otro caso 0 14. Para la distribución exponencial:
Hallar: a. La función de distribución b. La media c. La varianza
