Praktikum

UNIVERZITET U BEOGRADU

Snežana M. Šerbula Velizar D. Stanković

PRAKTIKUM ZA TEHNOLOŠKE OPERACIJE

Tehnički fakultet Bor

Predgovor Na Tehničkom fakultetu u Boru dugi niz godina se odvijaju vežbe iz fenomena prenosa i operacija u tehnologiji i metalurgiji za studente tehnološkog i metalurškog odseka. U ovom praktikumu, pored eksperimentalnog dela gde su detaljno opisane procedure eksperimenata, date su i teorijske osnove koje su potrebne za bolje razumevanje nastavnog gradiva koje praktikum obrađuje. Sadržaj praktikuma će omogućiti da studenti uspešno savladaju nastavno gradivo iz tehnoloških i metalurških operacija. Praktikum obuhvata dva dela: - Mehanika fluida - Mehanika heterogenih sistema Mehanika fluida sadrži četiri vežbe sa teorijskim uvodom i to: 1. Dinamika realnih fluida 2. Strujanje realnih fluida 3. Otpor pri strujanju fluida u cevi 4. Energetski gubici pri strujanju fluida Mehanika heterogenih sistema sadrži četiri vežbe sa teorijskim uvodom i to: 1. Dinamika realnih fluida 2. Taloženje 3. Filtracija 4. Fluidizacija Tokom pripreme ovog praktikuma mnogo su nam pomogle kolege Dr Milan Sovilj, Dr Nevenka Bošković - Vragolović i Dr Milan Antonijević koji su korismim sugestijama doprineli da ovaj praktikum dobije konačni oblik na čemu im se zahvaljujemo. Takođe se zahvaljujemo Javorki Stošić na pomoći pri izradi ilustracija za ovaj praktikum. Zahvalnost dugujemo rukovodstvu Tehničkog fakulteta na materijalnoj i organizacionoj pomoći oko izdavanja ovog praktikuma. Nadamo se da će praktikum, pored studenata Tehničkog fakulteta u Boru, koristiti i studenti sa drugih srodnih fakulteta na kojima se izučavaju fenomeni prenosa.

Bor, 2005. godine

AUTORI

SADRŽAJ I DEO MEHANIKA FLUIDA Strana PREDGOVOR I.1.

DINAMIKA REALNIH FLUIDA I.1.1. Osnovne hidrodinamičke veličine I.1.2. Hidrodinamika I.1.2.1. Stacionarni i nestacionarni uslovi strujanja I.1.2.2. Jednačina kontinuiteta I.1.2.3. Bernulijeva jednačina I.1.2.4. Režim strujanja fluida I.1.2.5. Raspored brzina pri strujanju I.1.3. Eksperimentalno određivanje Rejnoldsovog broja

2 2 5 5 6 6 8 12 14

I.2.

STRUJANJE REALNIH FLUIDA I.2.1. Direktna merenja I.2.2. Dinamička merenja I.2.2.1. Diferencijalni manometar I.2.2.2. Prigušna ploča I.2.2.3. Venturi cev I.2.2.4. Pito-Prandtlova cev I.2.3. Površinska merenja I.2.4. Protočna merenja I.2.5. Eksperimentalno određivanje konstante Venturi cevi

16 16 17 17 18 20 21 22 26 26

I.3.

OTPOR PRI STRUJANJU FLUIDA U CEVI I.3.1. Hidrodinamički otpor I.3.2. Eksperimentalno određivanje koeficijenata podužnog trenja

31 31 34

I.4.

ENERGETSKI GUBICI PRI STRUJANJU FLUIDA I.4.1. Gubici energije pri proširenju cevi I.4.2. Gubici energije pri suženju cevi I.4.3. Gubici energije u kolenu I.4.4. Ukupna visina energetskih gubitaka I.4.5. Eksperimentalno određivanje mesnog otpora

38 39 41 42 44 44

II DEO MEHANIKA HETEROGENIH SISTEMA II.1.

DINAMIKA HETEROGENIH SISTEMA II.1.1. Otpori na potopljenom telu II.1.2. Koeficijent otpora usled oblika II.1.2.1. Ekvivalentni prečnik nesfernih tela i faktori oblika II.1.3. Slobodno kretanje tela kroz fluid II.1.4. Eksperimentalno određivanje koeficijenta otpora usled oblika

47 47 48 50 52 54

II.2.

TALOŽENJE II.2.1. Brzina taloženja II.2.2. Eksperimentalno određivanje brzine taloženja

57 57 65

II.3.

FILTRACIJA II.3.1. Osnovna jednačina filtracije II.3.2. Ukupni otpor filtracije II.3.3. Integracija jednačine filtracije pri konstantnoj razlici pritisaka II.3.4. Filtracija pri konstantnoj brzini filtracije II.3.5. Eksperimentalno određivanje parametara filtracije

71 72 74 74 77 78

II.4.

FLUIDIZACIJA II.4.1. Mehanizam fluidizacije i pad pritiska u sloju II.4.2. Poroznost fluidizovanog sloja II.4.3. Tipovi fluidizacije II.4.4. Eksperimentalno određivanje parametara fluidizacije II.4.4.1. Određivanje pada pritiska u raspodeljivaču fluida II.4.4.2. Određivanje pada pritiska u sloju

82 82 85 86 86 87 90

OPŠTA LITERATURA

96

LISTA SIMBOLA Simbol A, Ap, As Ard Aru ap as a, b a, b C c CD Cpp D, d, de, dp, ds E F, F, FG FD, Fp Fs , F t Fr f1,2 G g gč.f. H, Hrot h K L, L, Le l, l M M, Mi, Msm m No n, n, n O P Q R Rm Re, Rep rh T u, uo, um.f. usr, umax V, Ve Vp, Vs Xi x; y; z z

Opis Površina, površina čestice, površina sfere Arhimedov kriterijum za nepoznati prečnik čestice Arhimedov kriterijum za nepoznatu brzinu taloženja čestice Specifična površina čestice Ubrzanje tela Dimenzije kanala Koeficijent pravca, odsečak na ordinati Koncentracija suspenzije Konstanta filtracije Koeficijent otpora usled oblika Koeficijent prigušne ploče Prečnik cevovoda, ekvivalentni prečnik, prečnik čestice, prečnik sfere Visina energije saopštene fluidu između preseka 1 i 2 Dimenzija sile, sila, sila gravitacije Ukupna sila otpora usled oblika, sila pritiska Spoljna sila koja deluje na telo pri kretanju kroz fluid, sila trenja Frudov kriterijum (Froude) Visina gubitaka energije koji se javljaju između preseka 1-1 i 2-2 Maseni protok Gravitaciono ubrzanje Maseni udeo čvrste faze u suspenziji Hidrodinamička visina, visina čigre u rotametru Visina stuba tečnosti Konstanta filtracije Dimenzija dužine; dužina cevovoda; Ekvivalentna dužina Linearna dimenzija, dužina Dimenzija mase Molekulska masa, molekulska masa komponente i, molek. masa smeše Masa Broj eksperimenta Bezdimenzioni faktor za određivanje ekvivalentne dužine, relativna hrapavost, bezdimenzioni faktor u jednačini Ričardson-Zaki Okvašeni obim Pritisak fluida Zapreminski protok Univerzalna gasna konstanta Otpor filtracionog medijuma i uređaja za filtraciju Rejnoldsov broj, Modifikovani Rejnoldsov broj (Reynolds) Hidraulički radijus Temperatura Brzina fluida, brzina slobodnog taloženja, brzina minimalne fluidizacije Srednja brzina fluida, maksimalna brzina fluida Zapremina, ekvivalentna zapremina filtrata Zapremina čestice, zapremina sfere Molski udeo komponente i u smeši Koordinate Geodetska visina

Grčki simboli: α γ ∆ δ ε, εm.f. ϕi λ µ, µsm, µi ν, νsm, νi ρ, ρp, ρč.f. τ; τ τxy ξ ψ

Specifični otpor kolača pri filtraciji Masa čvrste faze u suspenziji Razlika Odstupanje Poroznost sloja, poroznost minimalne fluidizacije Zapreminski udeo komponente i u smeši Koeficijent podužnog trenja Koeficijent dinamičkog viskoziteta, koef. din. vis. smeše i komponente i Koeficijent kinematskog viskoziteta, k. kin. vis. smeše , k.k. v. komp. i Gustina fluida, gustina čestice, gustina čvrste faze u suspenziji Dimenzija vremena, vreme Napon smicanja između slojeva fluida koji deluje u ravni xz Koeficijent mesnog otpora Sferičnost

I DEO MEHANIKA FLUIDA

2

S. Šerbula, V. Stanković Praktikum…

I.1. DINAMIKA REALNIH FLUIDA I.1.1. Osnovne hidrodinamičke veličine Mehanika fluida predstavlja deo primenjene mehanike koja proučava ponašanje fluida u mirovanju (hidrostatika) ili kretanju (hidrodinamika). Pri tome se pod pojmom fluid, podrazumeva tečno i gasovito stanje materije. Karakteristične veličine realnih fluida koje se koriste u mehanici fluida su: gustina, pritisak, stišljivost, temperaturno širenje kao i viskoznost fluida. Gustina (ρ) predstavlja masu jedinice zapremine i ima dimenziju: ρ ( =)

M L3

(I.1.1)

Za većinu proračuna, gustina tečnosti je konstantna, odnosno može se zanemariti uticaj temperature i pritiska na gustinu tečnosti. Gustina gasova(ρ) može se odrediti iz jednačine stanja: ρ=

P⋅M R ⋅T

(I.1.2)

Pritisak (P) predstavlja silu (F) po jedinici površine (A) i ima dimenziju:

F P ( =) 2 = L

L τ2 = M 2 L L ⋅ τ2

M⋅

(I.1.3)

Pritisak fluida prenosi se istim intenzitetom u svim pravcima i deluje normalno na bilo koju ravan. Pritisak se može izraziti i meriti visinom stuba fluida (h), pri čemu se uvek odnosi na određenu gustinu fluida:

h=

P ρ⋅g

(I.1.4)

Atmosferski pritisak zavisi od nadmorske visine i vremenskih okolnosti, i približno je 1bar=105Pa.

jednak

Jedinice

za

pritisak

van

SI

sistema

su

fizička

atmosfera

(1atm=1,01325.105Pa=1,01325bar) i tehnička atmosfera (1at=1kp/m2=0,981.105Pa). Pored ovih jedinica

negde

su

još

u .

upotrebi

visina

živinog

stuba

i

visina

vodenog

stuba

5

(1bar=750mmHg=0,101972 10 mmH20). Stišljivost fluida je karakteristika gasova. Sa povećanjem pritiska koji deluju na gasove

smanjuje se zapremina gasova. Sa povećavanjem pritiska, tečnosti veoma malo menjaju zapreminu, pa se tečnosti smatraju za nestišljive fluide.

3

1.Dinamika realnih fluida

Temperaturno širenje predstavlja promenu zapremine fluida pod dejstvom temperature.

Tečnosti neznatno menjaju zapreminu sa promenom temperature, dok se gasovi ponašaju saglasno Gej-Lisakovom zakonu. Viskoznost fluida je osobina koja se manifestuje samo pri kretanju fluida, a javlja se kao

posledica unutrašnjeg trenja između slojeva fluida. Sila unutrašnjeg trenja (F) proporcionalna je relativnoj brzini kretanja (u) i dodirnoj površini slojeva (A), a obrnuto proporcionalna rastojanju između slojeva (L): F = µ⋅

u⋅A L

(I.1.5)

Sila koja savlađuje unutrašnje trenje deluje u pravcu kretanja slojeva. Napon smicanja (τxy) između slojeva je: τ xy =

F du = -µ ⋅ x A dL

(I.1.6)

Dimenzija i jedinica koeficijenta dinamičke viskoznosti (µ) dobija se iz jednačine (I.1.5) L  M ⋅ 2  ⋅ [L]  F⋅L (= )  τ  =  M (= ) kg = Pa ⋅ s µ= u⋅A L 2 L ⋅ τ m ⋅s  τ⋅ L  

[ ]

(I.1.7)

Kinematska viskoznost (ν) objedinjuje viskoznost i gustinu fluida i određuje se iz izraza: ν=

µ ρ

(I.1.8)

Kinematska viskoznost sreće se u literaturi pod nazivom difuzivnost količine kretanja, saglasno analogiji prenosa količine kretanja, toplote i mase. Dimenzija kinematske viskoznosti je

 L2 ⋅ τ−1  . Na viskoznost fluida utiče pritisak, temperatura i priroda fluida. Uticaj pritiska na viskoznost fluida zanemarljiv je kako za nestišljive fluide, tako i za gasove. Ukoliko se radi o užim granicama promene pritiska može se smatrati da je uticaj pritiska na promenu viskoznosti zanemarljiv. Viskoznost fluida se znatno menja sa promenom temperature. Viskoznost tečnosti opada sa porastom temperature, dok viskoznost gasova raste sa temperaturom. Izračunavanje viskoznosti preko obrazaca i formula u koje su uključeni pritisak, temperatura i konstante za svaku vrstu fluida je jako složen proces. Samo određivanje viskoznosti fluida jednostavnije je preko tabela i nomograma. Jasno je da moraju postojati dva tipa nomograma: jedan za tečnosti, a drugi za gasove. Na slikama I.1.1 i I.1.2 prikazani su nomogrami, za gasove (sl.I.1.1) i tečnosti (sl.I.1.2). U sredini nomograma nalazi se mreža pravouglog kordinatnog sistema koja određuje tačke u tom polju.

4


Svakoj tački sa kordinatama (X; Y) odgovara određeni fluid i to onaj čiji viskoznosti određujemo. Koordinate X,Y, određenih fluida date su u prilogu uz nomograme. Na ordinatnu osu s desne strane nomograma nanesene su vrednosti viskoznosti u Pa.s, za gasove u opsegu od 0,005.10-3 do 0,1.10-3, a za tečnosti od 0,1.10-3 do 100.10-3. Ordinatna osa sa leve strane nomograma ima temperaturnu podelu gde se vidi da za gasove temperature opada, a za tečnosti raste. Viskoznost određenog fluida, na datoj temperaturi, određuje se sledećim postupkom: -

prvo se u tabelama, koje su date u prilogu uz nomogram, odrede koordinate X i Y za dati fluid,

-

onda se u odgovarajućem nomogramu (ili za gas, ili za tečnost) odredi tačka u mreži pravougaonog kordinatnog sistema sa koordinatama X i Y. Tada se spoji pravom linijom tačka zadate temperature i upravo određena tačka datog fluida,

-

prava linija koja je nacrtana, produži se do preseka sa ordinatnom osom viskoznosti, i tako se odredi vrednost viskoznosti zadatog fluida na datoj temperaturi. Kao što se vidi rad sa ovakvim nomogramima je vrlo jednostavan, a do rezultata se dolazi

brzo.

Slika I.1.1. Nomogram viskoznosti gasova

Slika I.1.2. Nomogram viskoziteta tečnosti

U inženjerskoj praksi se češće radi sa smešama fluida, nego sa čistim sistemima, te se za izračunavanje viskoziteta smeše gasova može koristiti sledeći izraz: n

µsm =

∑ X ⋅µ ⋅ i

i =1

i

n

∑X ⋅ i =1

i

Mi (I.1.9) Mi

gde je: Xi - molski udeo komponente u smeši Mi – molska masa komponente i Slika I.1.2. Nomogram viskoznosti tečnosti

5


Ako je koncentracija komponenti izražena u zapreminskim udelima onda se viskoznost smeše određuje: n M sm ϕ ⋅Mi =∑ i µ sm µi i =1

(I.1.10)

n

gde je: M sm = ∑ ϕi ⋅ M i - molska masa smeše i =1

ϕi - zapreminski udeo komponente u smeši Kinematska viskoznost smeše gasova izračunava se pomoću jednačine: n 1 ϕ =∑ i ν sm i=1 νi

(I.1.11)

gde je: νi - kinematska viskoznost i – te komonente u smeši ϕi - zapreminski udeo i – te komponente u smeši Viskoznost smeše tečnosti koje se mešaju i u kojoj nema asocijacije molekula može se proceniti korišćenjem izraza:

µ sm = µ 1X1 ⋅ µ X2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ Xn n

(I.1.12)

Viskoznost suspenzija izračunava se na osnovu zapreminskog udela čvrste faze:

µ s = µ ⋅ (1 + 2,5ϕ)

za ϕ ≤ 0,1

(Ι.1.13)

odnosno: µ s = µ ⋅ (1 + 4,5ϕ)

za

0,1 < ϕ ≤ 0,4

(Ι.1.14)

Za suspenzije sa većim učešćem čvrste faze koristi se izraz: µs = µ ⋅

1 1 − ϕ 0,33

za

0,5 < ϕ < 0,9

(I.1.15)

I.1.2. Hidrodinamika I.1.2.1. Stacionarni i nestacionarni uslovi strujanja Mirovanje i kretanje fluida prouzrokuju sile koje deluju na fluid. Ako silu koja deluje na fluid obeležimo sa F, i ako nema promena intenziteta sile sa vremenom onda je:

dF =0 dτ

(I.1.16)

Ovo znači da su sve sile koje deluju na fluid konstante i ne menjaju se sa vremenom, pa je onda i brzina fluida funkcija samo koordinata posmatrane tačke. Takvo strujanje je stacionarno:

6


u = f (x, y, z)

(I.1.17)

Kod nestacionarnog strujanja, brzina pored ovoga, zavisi još od vremena: u = f (x, y, z, τ)

(I.1.18)

I.1.2.2. Jednačina kontinuiteta Jednačina kontinuiteta predstavlja jedan od oblika zakona o održanju mase. Dobija se razvijanjem diferencijalne jednačine bilansa materije za stacionarne uslove. Pri proticanju fluida kroz neki cevovod, kroz svaki poprečni presek ovoga voda, u jedinici vremena, mora da protekne ista masa fluida: G A1 = G A2 = .... = G An = const

(I.1.19)

M pri čemu je G Ai ( = )   - maseni protok fluida kroz bilo koji presek A cevovoda τ Jednačina kontinuiteta može se razviti u obliku: G A = Q ⋅ρ = u ⋅ A ⋅ρ gde je: A ( = )  L2 

(I.1.20)

- površina poprečnog preseka cevovoda

Q ( = )  L3 ⋅ τ−1  - zapreminski protok fluida

Za bilo koja dva preseka na cevovodu dobijamo: u1 ⋅ A1 ⋅ρ1 = u 2 ⋅ A 2 ⋅ρ2

(I.1.21)

odnosno za nestišljive fluide, kada je ρ1 = ρ2 u1 ⋅ A1 = u 2 ⋅ A 2

gde je: A ( = )  L2 

(I.1.22)

- površina poprečnog preseka cevovoda u preseku 1 i 2 respektivno

u ( = )  L ⋅ τ−1  - srednja brzina strujanja fluida u preseku 1 i 2 respektivno.

ρ ( = )  M ⋅ L−3  - gustina fluida

I.1.2.3. Bernulijeva jednačina Bernulijeva jednačina predstavlja jedan oblik zakona o održanju energije. Za idealne fluide ona glasi: U bilo kom preseku cevi, pri stacionarnom kretanju fluida, hidrodinamička visina pritiska H je konstantna. Do Bernulijeve jednačine dolazi se rešavanjem Ojlerovih diferencijalnih jednačina strujanja idealnog fluida1, pri stacionarnom kretanju:

1

Detaljnije o Ojlerovim jednačinama videti u knjizi: Velizar D. Stanković, Fenomeni prenosa i operacije u metalurgiji, TF Bor, str. 50, tom 1

7


dz +

 u2  dP + d  = 0 ρ⋅g  2g 

(I.1.23)

odnosno posle integrisanja: P u2 z+ + =H ρ ⋅ g 2g

gde su: z ( = ) [ L ] -

(I.1.24)

geodetska visina, ili visina položaja, koja je merilo potencijalne energije

fluida u odnosu na proizvoljno izabranu horizontalnu ravan; P ( = ) [ L] - statička ili piezometrijska visina, ili visina pritiska koja je merilo energije ρ⋅g pritiska fluida; 2 u ( = ) [ L] - visina brzine koja je merilo kinetičke energije fluida; 2g - hidrodinamička visina koja je konstantna. H ( = ) [ L] Ako je hidrodinamička visina pritiska u cevovodu konstantana, onda zbir svih njegovih sabiraka u jednom poprečnom preseku toga voda mora biti jednak zbiru u nekom drugom poprečnom preseku tog voda, pod uslovom da između ova dva mesta nema izvora i ponora mase i energije. U tom slučaju može se napisati: z1 +

P1 u 12 P u2 + = z2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

(I.1.25)

Jednačina (I.1.25) naziva se Bernulijeva jednačina. Unutar zbira, pojedine vrednosti mogu se transformisati jedna na račun drugih, ali samo tako da njihov zbir ostane konstantan. Sve ovo važi za idealne fluide. Kod realnih fluida, pri kretanju dolazi do viskoznog trenja između pojedinih slojeva fluida, između fluida i zida cevi, i usled promene pravca strujanja. Za savlađivanje otpora pri strujanju realnih fluida troši se izvesna količina energije. Ovi energetski gubici se ne mogu zanemariti, tako da se jednačina (I.1.25) dobija još jedan član i tako se dobija proširena Bernulijeva jednačina za realne fluide:

z1 +

P1 u 12 P u2 + − f 1− 2 = z 2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

(I.1.26)

gde je: f1,2 - visina gubitaka energije koji se javljaju između preseka 1-1 i 2-2 razmatranog cevovoda usled mesnih otpora i podužnog trenja. Ukoliko u razmatranom sistemu, između poprečnih preseka 1-1 i 2-2, u cevnom vodu postoji neki uređaj koji saopštava energiju fluidu (pumpa, ventilator i dr.), visina ove energije se takođe mora uzeti u obzir, i u tom slučaju dobijamo prošireni oblik Bernulijeve jednačine: z1 +

P1 u 12 P u2 + − f 1, 2 + E = z 2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

(I.1.27)

gde član E ( = ) [ L ] predstavlja visinu energije saopštene fluidu između razmatranih preseka 1-1, 2-2.

8


U dosadašnjoj analizi Bernulijeve jednačine svi njeni članovi imali su dimenziju dužine. Otuda i nazivi “visina” za pojedine njene članove: visina pritiska, visina gubitka energije, i td. Vrednosti članova Bernulijeve jednačine mogu se izraziti i dimenzijom pritiska. Ova transformacija se postiže ako se jednačina (I.1.27) pomnoži proizvodom ρ ⋅ g : z1 ⋅ρ ⋅ g + P1 +

u12 ⋅ρ u 2 ⋅ρ − f1,2 ⋅ρ ⋅ g + E ⋅ρ ⋅ g = z 2 ⋅ρ ⋅ g + P2 + 2 2 2

(I.1.28)

Ovaj oblik Bernulijeve jednačine obično se koristi za proračun ventilacionih uređaja. Grupisanjem srodnih članova jednačine (I.1.28) dobija se: (z1 − z 2 ) ⋅ρ ⋅ g + ( P1 − P2 )

(u +

2 1

− u 22 ) ⋅ρ 2

− f1,2 ⋅ρ ⋅ g + E ⋅ρ ⋅ g = 0

(I.1.29)

Kako obe prethodne jednačine imaju dimenziju pritiska, tako se jednačina (I.1.29) može izraziti i odgovarajućim razlikama pritisaka: ∆Pg + ∆Ps + ∆Pd − ∆Pf + ∆PE = 0

(I.1.30)

gde je: ∆Pg - promena potencijalnog pritiska; ∆Ps - promena statičkog pritiska; ∆Pd - promena dinamičkog pritiska; ∆Pf - pad pritiska usled podužnog trenja i mesnih otpora; ∆PE - porast pritiska usled uvođenja energije u sistem.

I.1.2.4. Režim strujanja fluida Režim strujanja fluida ispitivao je Osborn Reynolds, koji je svoja merenja vršio na uređaju sličnom našoj aparaturi (Slika I.1.3). Za određivanje režima strujanja realnog fluida, izračunava se vrednost bezdimenzione grupe poznate kao Rejnoldsov broj (Re): Re =

ρ⋅u ⋅l µ

(I.1.31)

u - srednja brzina fluida ρ - gustina fluida µ - dinamička viskoznost fluida

l - linearna dimenzija koja može biti: • prečnik cevi kroz koju struji fluid • ekvivalentni prečnik kada fluid struji kroz prostor koji nije kružnog poprečnog

preseka.


9

Ukoliko je brojna vrednost Rejnoldsovog kriterijuma manja od 2320, onda je strujanje fluida laminarno. Ukoliko je Re>104 strujanje je turbulentno (vrtložno). Za vrednost 2320
Slika I.1.3. Aparatura za Rejnoldsov ogled: (1) – rezervoar; (2) – staklena horizontalna cev prečnika 25,5 mm; (3) – kapilara; (4) – obojena tečnost; (5) – slavina

Otvaranjem slavine na rezervoaru obojene tečnosti i slavine (5) postiže se proticanje vode i obojene tečnosti koja u obliku tanke niti ističe iz kapilare u cev. Pri manjim brzinama nit obojene tečnosti, kreće se u osi cevi, ne mešajući se sa vodom oko nje. Strujnice se kreću paralelno bez međusobnog mešanja i to je osnovna karakteristika laminarnog strujanja (slika I.1.4.). Pri postepenom otvaranju slavine (5) dolazi do povećanja brzine strujanja vode kroz cev i lelujanja niti obojene tečnosti. Jednog momenta nit počinje da se kida stvarajući uzastopne vrtloge, koji se usled daljeg povećanja brzine razbijaju bojeći vodu u cevi, kao na slici I.1.5. Brzina pri kojoj dolazi do kidanja niti naziva se kritična brzina i ona je karakteristična za prelaz iz laminarnog režima strujanja u preobražajnu oblast (Re=2320). Zbog stvaranja vrtloga tokom strujanja, preobražajna oblast više podseća na turbulentni režim strujanja fluida.

10


Slika I.1.4. Prikaz laminarnog strujanja

Slika I.1.5. Prikaz turbulentnog strujanja

tečnosti tečnosti u osi cevi Ekvivalentni prečnik (de) je neophodan za definisanje režima strujanja fluida kroz vodove

čiji je poprečni presek različit od kružnog. Ekvivalentni prečnik je jednak četvorostrukoj vrednosti hidrauličkog radijusa: d e = 4 ⋅ rh Hidraulički radijus (rh) predstavlja odnos živog preseka

(I.1.32) fluida u cevi ili kanalu i

okvašenog obima. Pod živim presekom podrazumeva se površina preseka onog dela voda koji je napunjen fluidom. rh =

de A živi presek = = 4 O okvašeni obim

(I.1.33)

Za vod kružnog preseka u kome fluid struji kroz ceo prostor, hidraulički radijus je: d2π A d rh = = 4 = O d⋅π 4

(I.1.34)

Za otvoreni kanal širine a i visine tečnosti u kanalu b (slika I.1.6.) ekvivalentni prečnik je dat izrazom:

de =

4A 4(a ⋅ b) = O a + 2b

Slika I.1.6. Poprečni presek otvorenog kanala kvadratnog preseka

(I.1.35)

11


Pri proticanju fluida kroz anularni prostor između dve cevi tipa “cev u cev”, kao što se vidi na slici I.1.7., ekvivalentni prečnik je definisan razlikom većeg i manjeg prečnika:  D2π d2π   − 4 4  π(D + d ) ⋅ (D − d ) 4A  4 = = de = = D−d πD + πd O π(D + d)

(I.1.36)

Slika I.1.7. Poprečni presek strujanja fluida u anularnom prostoru

I.1.2.5. Raspored brzina pri strujanju Raspored brzina fluida pri kretanju kroz cev može se eksperimentalno prikazati pomoću sledećeg ogleda. Na uređaju za Rejnoldsov ogled, sa slike I.1.3., može se otvoriti samo slavina za obojenu tečnost, a pri tom slavina (5) ostaje zatvorena, što znači da tečnost u toj cevi miruje (u=0). U tom slučaju doći će do nagomilavanja obojene tečnosti oko kapilare, čime se stvara “čep” obojene tečnosti u staklenoj cevi, kako je to prikazano na slici I.1.8. Ako se tada otvori slavina (5), sa masom vode krenuće i “čep” obojene tečnosti. Može se uočiti da brzine kretanja svih tačaka u “čepu” obojene tečnosti nisu iste, već se menjaju od u=0 uz zidove cevi, do u=umax u osi cevi, kako je to prikazano na slici I.1.9.

Slika I.1.8. Stvaranje “čepa” na početku cevi

Slika I.1.9. Parabolična raspodela čepa

Raspored brzina u “čepu”, od nule do maksimalne, odgovara paraboloidu sastavljenom iz niza koaksijalnih cilindara, pri čemu se svaki cilindar kreće određenom konstantnom brzinom različitom

12


od brzine kretanja susednih cilindara. Prvi sloj usled dejstva spoljnjeg trenja o zid cevi ima najmanju brzinu. Usled viskoznih sila unutrašnjeg trenja, tangencijalni naponi se uspostavljaju između slojeva, time što oni opadaju idući ka osi cevi, a gradijent brzine raste. Raspored brzina pojedinih slojeva zavisi i od režima strujanja, tj. od Rejnoldsovog broja. Raspored brzina pri laminarnomi turbulentnom strujanju mogu se videti na slici I.1.10.

Slika I.1.10. Raspored brzina fluida u cevi Karakteristična veličina za svaki režim strujanja fluida je srednja brzina fluida koja se može definisati izrazom: u sr =

Q L ( =) A τ

(I.1.37)

Pored srednje brzine fluida postoji i maksimalna brzina fluida koja se može izmeriti u osi cevi. Teorijski, i eksperimentalno se može dokazati da je odnos srednje i maksimalne brzine kod laminarnog strujanja jednak: u sr = 0,5 u max

(I.1.38)

Kod turbulentnog strujanja odnos srednje i maksimalne brzine zavisi, od vrednosti Rejnoldsovog broja, kako je to prikazano na slici I.1.11. Sa dijagrama se vidi da postoje dve apscise pri čemu je na jednoj Rejnoldsov broj izražen preko maksimalne brzine fluida (donja apcisa), a na drugoj Re je izraženo preko srednje vrednosti brzine (gornja apcisa).


13

Slika I.1.11. Odnos srednje i maksimalne brzine u zavisnosti od Rejnoldsovog broja

I.1.3. Eksperimentalno određivanje Rejnoldsovog broja Cilj izvođenja ove vežbe je vizuelno uočavanje prelaza iz laminarnog u preobražajno kretanje uz korišćenju niti obojene tečnosti kao trasera. Pored ovoga, potrebno je odrediti pri kojoj vrednosti Rejnoldsovog kriterijuma dolazi do prelaza iz laminarnog u preobražajno kretanje na osnovu izmerenog protoka.

Procedura izvođenja eksperimenta Rezervoar (1) se napuni vodom do vrha i ostavi izvesno vreme (2 – 3 min.) da se voda umiri, da nestanu vrtlozi i da iz vode izađu mehurići vazduha. Otvaranjem slavine (5) pusti se da voda ističe iz rezervoara. Istovremeno se otvori slavina na rezervoaru obojene tečnosti koja će u vidu tanke niti izlaziti iz kapilare. Nit obojene tečnosti biće nošena strujom vode i kretaće se ka izlazu cevi lelujajući se u osi cevi. Pri manjim brzinama vode, obojena tečnost kretaće se u osi cevi, ne mešajući se sa vodom oko nje. Menzurom se na izlazu iz cevi određuje zapremina protekle vode (V), a hronometrom vreme (τ) potrebno da se menzura napuni do određene zapremine. Na osnovu tih podataka izračunavaće se protok (Q) i srednja brzina vode (u). Sledeće merenje se izvodi tako što se malo povećava brzina vode otvaranjem slavine (5). Lelujanje obojene tečnosti u cevi će se povećavati, kako je to prikazano na slici I.1.4. Ponavljanjem eksperimenata uz povećanje protoka

14


vode, doći će do mestimičnog kidanja niti obojene tečnosti pri nekoj brzini uc (kritična brzina). Iskidana nit će pri manjim brzinama, bliskim uc formirati manje ili više pravilne paraboloide, ukazujući na paraboličan raspored brzina koji postoji u cevi pri takvom strujanju fluida. Pri većim brzinama tečnosti, strujanje u cevi postaje turbulentno, pa u cevi dolazi do stvaranja uzastopnih vrtloga (slika I.1.5.) Sa daljim povećanjem brzine, nit obojene tečnosti kidaće se sve češće i sve bliže izlazu tečnosti iz kapilare, pri čemu će se uočavati vrtlozi u cevi. Pri izlazu iz cevi obojenje će se proširivati na celu zapreminu. Formiranje vrtloga ukazivaće na postojanje turbulentnog režima strujanja u cevi (sl.I.1.5.). Ogled uraditi za najmanje pet vrednosti protoka vode. Nakon toga, zatvoriti slavinu (5), i dopuniti rezervoar vodom.

Obrada eksperimentalnih rezultata Protok vode može se izračunati iz izmerene zapremine vode i vremena: Q=

V τ

(I.1.39)

a srednja brzina vode određuje se na osnovu protoka: Q 4Q = 2 A d ⋅π

u=

(I.1.40)

Unutrašnji prečnik staklene cevi je 25,5mm. Gustina vode je 1000kg/m3, a viskoznost vode se određuje iz nomograma za izmerenu temperaturu vode. Iz podataka o geometrijskim karakteristikama aparature i fizičkim karakteristikama vode i izmerenih vrednosti zapreminskog protoka vode, može se odrediti: -

protok vode

-

srednju brzinu vode

-

Rejnoldsov broj

-

odstupanje od Re=2320.

Primer: Neka je izmerena zapremina vode 1,8dm3 za vreme od 38 s. Protok je: Q=

V 1,8 ⋅10-3 m3 = = 4, 737 ⋅10-5 τ 38 s

Odgovarajuća srednja brzina: u=

Q 4 ⋅ 4, 737 ⋅10-5 m = = 0, 0935 2 A s ( 0, 025) ⋅ π

15

1.Dinamika realnih fluida Gustina vode: 1000

kg m3

Viskoznost vode: 1⋅10-3 Pa ⋅ s za 20o C Rejnoldsov broj: Re =

u ⋅ d ⋅ ρ 0, 0935 ⋅ 2,55 ⋅10-2 ⋅1 ⋅103 = = 2375 µ 1 ⋅10-3

Odstupanje od laminarnog toka je: δ=

2375 - 2320 ⋅100 = 2,3% 2375

Tabela I.1.1 Vrednosti dobijene pri eksperimentalnom određivanju Rejnoldsovog broja: No

1. 2. 3. . .

τ [s ]

V  m3 

 m3  Q    s 

m u   s

Re

δ [%]

16


I.2. STRUJANJE REALNIH FLUIDA Materijalni i energetski bilans postrojenja moguće je postaviti samo pod uslovom da je pored ostalih veličina poznata i količina fluida koja struji kroz posmatrani uređaj. Zato je bitno poznavanje instrumenata za merenje protoka. Za merenje protoka koriste se različiti uređaji i različite metode koje se mogu grupisati kao: 1. direktna merenja 2. dinamička merenja - prigušna ploča - Venturi cev - Pito-Prandtlova cev 3. površinska merenja 4. protočna merenja

I.2.1. Direktna merenja Direktna merenja su najelementarniji način merenja, ali i danas se ovim načinom često vrše merenja u cilju baždarenja drugih instrumenata. Princip merenja sastoji se u merenju vremena (τ) za koje protekne određena masa (m) ili zapremina (V) fluida. U zavisnosti da li se meri masa ili zapremina fluida dobija se maseni (G) ili zapreminski (Q) protok fluida. Zapreminski protok:

Q=

V L3 m3 = = ( ) ( ) τ τ s

( I.2.1)

Maseni protok:

G=

m M kg ( =) ( =) τ τ s

( I.2.2)

Međusobna zavisnost ovih protoka data je preko jednačine kontinuiteta (I.1.19) i (I.1.20)

G = Q ⋅ρ

( I.2.3)

2. Strujanje realnih fluida

17

I.2.2. Dinamička merenja Instrumenti iz ove grupe uglavnom su konstruisani su na osnovu zakona o održanju materije, jednačine kontinuiteta i proširene Bernulijeve jednačine. Pad pritiska može biti izazvan promenom oblika cevovoda, čime se menja brzina fluida u cevovodu, tj. menja se kinetička energija koja može biti određena na osnovu visinske razlike nivoa u diferencijalnom U-manometru. Pitoova cev i Pito-Prandtlova cev mere maksimalnu brzinu fluida, dok prigušna ploča i Venturi cev mere srednju brzinu fluida.

I.2.2.1. Diferencijalni manometar Diferencijalni ili U-manometar predstavlja jedan od najjednostavnijih instrumenata za

merenje razlike pritisaka fluida u dva poprečna preseka cevovoda. Sastoji se od staklene cevi savijene u obliku slova U (Sl. I.2.1.). Staklena cev je napunjena manometarskom tečnošću do polovine svojih krakova. Manometarska tečnost bira se tako, da se ne meša sa fluidom čiji se pritisak meri, kao i da ne dolazi do hemijske reakcije između fluida i manometarske tečnosti. Fluid čiji se pritisak meri treba da ima manju gustinu od manometarske tečnosti (ρm).

Slika I.2.1. Diferencijalni ili U-manometar

Pretpostavimo da između preseka 1-1 i 2-2, na slici I.2.1., dolazi do izvesnog pada pritiska ∆P, zbog nekog energetskog gubitka. Kada se sistem uravnoteži razlika pritisaka manifestuje se

18


razlikom nivoa ∆h manometarske tečnosti. Postojanje ravnoteže znači da je suma svih sila, koje deluju sa jedne i druge strane preseka C-C jednaka. Pošto je poprečni presek cevi manometra konstantan i jednak A, onda je bilans sila: P1 + h1 ⋅ρ ⋅ g + h 2 ⋅ρm ⋅ g = P2 + (h1 − ∆h) ⋅ρ ⋅ g + ∆h ⋅ρ m ⋅ g + h 2 ⋅ρ m ⋅ g

( I.2.4)

Posle sređivanja izraza (I.2.4), dobija se pad pritiska između preseka 1 i 2: ∆P = P1 − P2 = ∆h ⋅ (ρm − ρ) ⋅ g ( = ) Pa

( I.2.5)

Ovakvi manometri nazivaju se diferencijalnim, jer veličina razlike pritisaka osim od razlike nivoa, ∆h, zavise i od razlike gustina ∆ρ. Ako je gustina lakšeg fluida mala u odnosu na gustinu težeg fluida (voda-vazduh, ili bilo koji gas-tečnost) onda se u jednačini (I.2.5) može zanemariti gustina lakšeg fluida (ρ): ∆P = P1 − P2 = ∆h ⋅ρm ⋅ g ( = ) Pa

( I.2.6)

I.2.2.2. Prigušna ploča Prigušna ploča je najjednostavniji instrument za merenje protoka dinamičkom metodom.

Sastoji se iz ravne ploče sa kružnim otvorom u sredini, prečnika do. Ploča je postavljena normalno na pravac strujanja fluida. Šematski prikaz prigušne ploče prikazan je na slici I.2.2.

Slika I.2.2. Prigušna ploča

Merenjem pada pritiska pre i iza prigušne ploče određuje se brzina fluida u cevovodu. Mlaz fluida dostiže maksimalno suženje na odstojanju koje je dva do tri puta veće od prečnika otvora prigušne ploče. Da bi se osigurala maksimalna razlika nivoa u manometru, merno mesto 2-2 treba postaviti na mestu maksimalnog suženja strujnica.

19


Za poprečne preseke 1 i 2, gde su priključeni krajevi diferencijalnog manometra, postavlja se proširena Bernulijeva jednačina: z1 +

P1 u2 P u2 + 1 − f 1, 2 = z 2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

( I.2.7)

Kako se prigušna ploča postavlja na horizontalni deo cevovoda, onda je z1=z2, pa se dobija: P1 u 12 P u2 + − f 1, 2 = 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g Ako su poprečni preseci A1 i A2 kružnog oblika, onda se zamenama A1 =

( I.2.8) d12 π d2π i A2 = 2 4 4

u jednačinu kontinuiteta (I.1.21) ili (I.1.22) dobija: u 2 = u1 ⋅

A1 d2 = u1 ⋅ 12 A2 d2

( I.2.9)

kada se jednačina (I.2.9) zameni u (I.2.8) dobija:

 d4  P −P  u12  14 − 1 = 2 ⋅ g  1 2 − f1,2   ρ⋅g   d2  odnosno, ako je

( I.2.10)

∆P P1 − P2 = , onda je brzina fluida u preseku 1 data izrazom: ρ⋅g ρ⋅g

 ∆P  2⋅g − f1,2   ρ⋅g  u 1= 4  d1   4 − 1  d2 

( I.2.11)

Gubici energije između preseka 1 i 2 izazvani su promenom kinetičke energije usled promene poprečnog preseka i mesnog otpora prigušne ploče. Pošto jednačina treba da pokaže brzinu u funkciji promene kinetičke energije, vrši se zamena izraza koji se odnosi na promenu pritiska i gubitake između preseka 1 i 2: ∆P ∆P − f1,2 = C2pp ⋅ ρ⋅g ρ⋅g

( I.2.12)

gde je Cpp - koeficijent prigušne ploče koji u sebi uključuje mesne otpore prigušne ploče. Ovaj koeficijent određuje se eksperimentalno. Nakon toga, brzina u cevovodu, izmerena pomoću prigušne ploče izračunava se po izrazu:

u = u1 = Cpp

2 ⋅ ∆P  d  4  ρ ⋅  1  − 1  d 2  

Ovako izmerena brzina je srednja brzina proticanja fluida u cevovodu.

( I.2.13)

20


Koeficijent prigušne ploče (Cpp) nije konstantan, i zavisi od brzine strujanja fluida kroz vod i od odnosa prečnika voda i prečnika prigušne ploče. U literaturi postoje grafici po kojima je moguće odrediti Cpp od Re-broja i od odnosa manjeg i većeg prečnika. Obično se veći prečnik cevovoda obeležava sa D koji je jednak d1, a manji prečnik prigušne ploče sa d (d=d2). Takođe, za poznate prečnike D i d, jednačina (I.2.13) se redukuje do oblika: u1 = K p

2 ⋅ ∆P ρ

( I.2.14)

gde je: Kp- konstanta prigušne ploče i ona je:

Kp =

C pp 4

( I.2.15)

D   −1 d

Ako se pad pritiska po definiciji za diferencijalni U-manometar napiše: P1 − P2 = ∆P = ∆h ⋅ ( ρm − ρ ) ⋅ g

( I.2.16)

onda se smenom jednačine (I.2.16) u jednačinu (I.2.13) dobija se: u = Cpp

2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ ( ρ m - ρ )  D  4  ρ ⋅   -1  d  

( I.2.17)

Na osnovu toga, protok fluida se izračunava: Q=

2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ ( ρ m - ρ ) D2 ⋅ π ⋅ Cpp 4  D  4  ρ ⋅   -1  d  

( I.2.18)

Pored prigušne ploče postoji i mlaznica čiji je princip rada isti kao i kod prigušne ploče. Razlika je samo u konstrukcionim karakteristikama pri čemu je cilj smanjenje mesnog otpora prigušne ploče2.

I.2.2.3. Venturi cev Princip rada Venturi cevi sličan je principu rada prigušne ploče, ali ova cev je konstruisana tako da svodi otpore pri strujanju fluida na minimum (slika I.2.3.).

2

Detaljnije o mlaznici videti u knjizi: Velizar D. Stanković, Fenomeni prenosa i operacije u metalurgiji, TF Bor, str. 137, tom 1

21


Ova cev je tako profilisana da pri proticanju fluida kroz nju ne dolazi do odvajanja graničnog sloja - cev “prati” pravac strujnica. Brzina fluida za Venturi cev izračunava se takođe, preko jednačine (I.2.13) samo što se umesto koeficijenta Cpp koristi Cv. Koeficijent Venturi cevi je znatno veći od koeficijnta prigušne ploče i za tehnička merenja je najčešće Cv=0,98. Venturi cev meri takođe srednju brzinu fluida u cevi.

Slika I.2.3. Venturi cev

I.2.2.4. Pito-Prandtlova cev Pito-Prandtlova cev je uređaj koji meri brzinu u jednoj tački, a najčešće se postavlja u osu cevovoda i tako meri maksimalnu brzinu u cevovodu. Pito-Prandtlova cev je konstruisana od dve koaksijalne cevi, kako je to na slici I.2.4. prikazano. Na spoljnjoj cevi nalaze se bočni otvori, veoma malog prečnika, manjeg od 1mm. Spoljna cev je vezana na jedan krak diferencijalnog manometra, a drugi krak manometra vezan je za unutrašnju cev. Unutar Pito-Prandtlove cevi nema kretanja fluida. Za preseke 1-1, ispred Pito-Prandtlove cevi, i 2-2 na samom ulazu u cev, postavlja se proširena Bernulijeva jednačina:

z1 +

P1 u2 P u2 + 1 − f 1, 2 = z 2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

( I.2.19)

Na samom ulazu u Pito-Prandtlovu cev brzina fluida je u2=0, pa se sva kinetička energija pretvara u energiju pritiska. Kako su preseci 1 i 2 na istoj visini to je z1=z2, pa jednačina (I.2.19) ima oblik: u 12 P2 − P1 = + f 1, 2 2g ρ⋅g

( I.2.20)

Kombinacijom jednačina (I.2.12) i (I.2.20) dobija se izraz za brzinu u osi cevovoda:

u = u max = C pc

2∆P ρ

Cpc - predstavlja koeficijent Pito-Prandtlove cevi i ima vrednost Cpc=0,98-1,0.

( I.2.21)

22


Slika I.2.4. Pito-Prandtlova cev

Kao što je rečeno, Pito-Prandtlova cev meri brzinu u jednoj tački. Da bi merenje dalo tačne podatke cev mora biti precizno izgrađena i postavljena paralelno sa strujnicama u osi cevi. Takođe, cev mora biti dovoljno udaljena od bilo kakvih prepreka koje mogu prouzrokovati promene strujnica. U poglavlju I.1.2.5 prikazan je odnos srednje i maksimalne brzine u zavisnosti od Rejnoldsovog broja, kao i grafičko određivanje odnosa brzina usr/umax u funkciji Remax i Resr. Na osnovu izmerenene umax i pomoću dijagrama koji je dat na slici 1.11, izračunava se usr.

I.2.3. Površinska merenja Instrumenti za merenje protoka površinskim merenjem, zasnivaju se na konstantnom padu pritiska kroz njih. Fluid pri proticanju kroz ovakav instrument, u zavisnosti od protoka, struji kroz manju ili veću površinu poprečnog preseka. Najpoznatiji instrument ovog tipa je rotametar. Rotametar se sastoji iz konusne staklene cevi i čigre. Čigra može slobodno vertikalno da se kreće u zavisnosti od protoka fluida. Fluid struji kroz staklenu cev odozdo naviše kada se meri protok tečnosti. Gasni rotametri su konstruisani tako da fluid ne protiče kroz staklenu cev u kojoj je

23


čigra, već čigru pomera promena pritiska u cevi. Rotametar za tečnosti se ugrađuje u cevni vod, na vertikalnom delu cevovoda. Rotametri su graduisani tako da se vrednost zapreminskog protoka, najčešće očitava direktno na staklenoj cevi. Na donjem delu rotametra nalazi se ležište čigre, a na gornjem delu je graničnik koji ne dozvoljava da čigra ode iz rotametra nošena tokom tečnosti. Čigra je konusno-cilindričnog oblika, tačno definisanih dimenzija. Izrađuje se od hemijski postojanih materijala, najčešće su to nerđajući čelik, keramika, plastika i td. Na gornjem, cilindričnom delu čigre, nalaze se zarezi koji omogućavaju da se čigra okreće oko svoje ose (odakle potiče i naziv). Okretanjem čigre oko svoje ose, smanjuju se gubici i variranja čigre u struji fluida. Princip merenja rotametrom zasniva se na postizanju ravnoteže između sile gravitacije (Fg), sile potiska fluida koji podiže čigru naviše (Fp), i sile trenja (Ft), uzrokovane protokom fluida kroz anularni prostor između zida cevi i čigre. Bilans sila koje deluju na čigru, koja je prikazana na slici I.2.5., je: Ft = Fg − Fp = g ⋅ Vč ⋅ (ρč − ρ)

( I.2.22)

Sila gravitacije i sila potiska su konstantne i zavise od zapremine čigre (V), tj. njene veličine i gustine kao i gustine fluida. Sila trenja se menja sa promenom položaja čigre, i funkcija je brzine fluida. Sila trenja se može izvesti postavljanjem Bernulijeve jednačine za preseke neposredno ispod i iznad čige, uz zanemarivanje male promene geodetske visine: P1 u2 P u2 + 1 − f1,2 = 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

Slika I.2.5. Šema rotametra

Kombinacijom jednačine kontinuiteta (I.1.22) i jednačine (I.2.13), dobija se:

( I.2.23)

24


u1 = C l

2 ⋅ ∆P  A  2  ρ ⋅  1  − 1  A 2  

( I.2.24)

Razlika pritisaka ∆P nije jednaka stvarnoj razlici pritisaka koja se javlja na mestu najvećeg preseka čigre, jer se merna cev i dalje proporcionalno širi, pa je potrebno uvesti relaciju između sile trenja i pada pritiska: Ft = ∆Pt ⋅ A č = ∆P ⋅ C 2p ⋅ A č

( I.2.25)

Kombinovanjem jednačina (I.2.22), (I.2.24) i (I.2.25) dolazi se do izraza za brzinu fluida: u1 = C r

gde je: Cr =

2 ⋅ g ⋅ Vč ⋅ (ρč − ρ)  A  2  A č ⋅ρ ⋅  1  − 1  A 2  

( I.2.26)

Cl - koeficijent rotametra. Cp

Kod rotametra konus merne cevi je jako blag pa se može smatrati da je Ač=A1=A2. Zbog toga se prethodna jednačina može pisati u obliku:

u1 = C r ⋅

gde su:

A1, A2, Ač -

A2 Ač

2 ⋅ g ⋅ Vč ⋅ (ρč − ρ) ρ ⋅ ( A1 + A 2 )

( I.2.27)

površine preseka merne cevi na mestima 1 i 2, i maksimalna površina poprečnog preseka čigre

Vč

-

zapremina čigre

ρč, ρ

-

gustine čigre i fluida

Za fluid konstantne gustine, za svaki određeni rotametar, vrednost kvadratnog korena može se smatrati konstantnom, te jednačina (I.2.27) dobija vrlo jednostavan oblik: u1 = C,r ⋅ A 2

( I.2.28)

U konstantu C,r , pored vrednosti kvadratnog korena uvrštava se Cr i Ač. Površina preseka A2

je direktna funkcija visine položaja čigre u cevi. Kod nekih rotametara merna cev izbaždarena je tako, da visina čigre odnosno njen gornji - horizontalni deo, direktno pokazuju protok fluida (iz protoka se može izračunati brzina fluida – u1). Negde se pak očitava visina čigre, a sa dijagrama, koji isporučuje proizvođač, očitava se protok fluida, kao što je to prikazano na slikama I.2.6. i I.2.7.


Slika I.2.6. Dijagram za rotametar KS18

Slika I.2.7. Dijagram za rotametar KS24

25

26


I.2.4. Protočna merenja U ovu grupu spadaju merači koji pokazuju protok koristeći mehaničke pokretne sisteme. Pokretni delovi u kontaktu su sa fluidom i mernim mehanizmima koji registruju tok fluida. Ova registracija može biti podešena za neki određeni vremenski interval, tako da se dobija vrednost protoka ili brzine fluida. U ovu grupu merača spadaju anemometri, različiti tipovi gasnih satova, rotacioni diskovi, vodomeri i dr. Kod anemometara koji se koristi za merenje brzine suvih gasova, struja gasa pokreće sistem propelera, čije se okretanje registruje satnim mehanizmom. Jedan tip anemometra, dat je na slici I.2.8.

Slika I.2.8. Anemometar

I.2.5. Eksperimentalno određivanje konstante Venturi cevi Cilj izvođenja ove eksperimentalne vežbe je baždarenje Venturi cevi i određivanje vrednosti konstanti Kv i Cv. Često se pri baždarenju protok određuje direktnim merenjem preko izmerene zapremine transportovane tečnosti (V) i izmerenog vremena (τ), a zatim se preko jednačine (I.2.1) izračunava protok fluida (Q). Takođe, protok se izračunava kombinovanjem jednačina (I.2.15) i (I.2.18), pri čemu se dobija konačan oblik jednačine Venturi cevi:

Q = Kv ⋅

2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ ( ρm − ρ ) ρ

gde je Kv konstatna Venturi cevi koja je definisana jednačinom:

( I.2.29)

27


Kv =

Cv D2 ⋅ π ⋅ 4 4 D   −1 d

(I.2.30)

Vežba se izvodi na delu aparature prikazane na slici I.2.9. Ova aparatura služi za izvođenje i drugih vežbi kao: •

određivanje koeficijenta podužnog trenja,

•

određivanje mesnog otpora kolena,

•

određivanje mesnog otpora proširenja cevi,

•

određivanje mesnog otpora suženja cevi.

Aparatura se sastoji iz rezervoara, centrifugalne pumpe, ventila, Venturi cevi sa diferencijalnim manometrom, kao i cevovoda sa piezometarskim cevima za određivanje statičkog pritiska na tačno definisanim mestima. Kao radni fluid koristi se voda na sobnoj temperaturi. Za izvođenje vežbe potrebni su još menzura, štoperica i laboratorijska čaša od 2dm3.

Slika I.2.9. Aparatura za baždarenje Venturi cevi i određivanje podužnog trenja i mesnih otpora

28


Prvo se uključi centrifugalna pumpa pri otvorenom ventilu (1) i zatvorenom ventilu (2). Laganim otvaranjem ventila (2), voda struji kroz cevovod, a na diferencijalnom manometru pojavljuje se razlika nivoa manometarske tečnosti (∆h). Pri zadatom konstantnom protoku i ustaljenoj razlici nivoa manometarske tečnosti, izmeri se vreme (τ) štopericom koje je potrebno da se napuni labaratorijska čaša vodom. Menzurom se preciznije odredi zapremina vode (V) koja je izdvojena u čaši. Protok vode dobija se po jednačini (I.2.1). Izmerena količina vode vrati se nazad u rezervoar. Dodatnim odvrtanjem ventila (2) povećava se protok, pa se tako povećava i razlika nivoa manometarske tečnosti. Pri svakom uvećanju protoka meri se zapremina izdvojene vode i odgovarajuće vreme i izračunava se protok. Procedura se ponavlja dok se ne dobije dovoljan broj parova vrednosti za Q i ∆h (10 – 15 merenja), i pri tom je poslednje merenje pri potpuno otvorenom ventilu (2). Obrada eksperimentalnih rezultata

Dobijene eksperimentalne vrednosti prezentirati u obliku tabele (Tabela I.2.1). Grafički 2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ (ρm − ρ) kao prikazati funkcionalnu vezu između protka (Q) i ∆h, kao i zavisnost Q od ρ što je prikazano na slici I.2.10. Konstanta Kv određuje se na osnovu jednačine (I.2.29) smenjujući u njoj eksperimentalno dobijene vrednosti za Q i ∆h. Srednja vrednost konstante Kv je nagib prave, i može se odrediti grafičkom metodom kako je prikazano na slici I.2.10. Konstanta Venturi cevi Cv, određuje se iz jednačine (I.2.30), na osnovu srednje vrednosti za konstantu Kv i poznatih geometrijskih karakteristika Venturi cevi. Iz dobijenih podataka za No merenja, odrediti srednji protok (Qsr), Kv(sr) i Cv(sr).

Slika I.2.10. Zavisnost Q od ∆h i

2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ (ρm − ρ) ρ

29

2. Strujanje realnih fluida Tabela I.2.1. Izmerene i izračunate vrednosti pojedinih veličina

No

Q

∆h

V

[mmHg]

[m3]

τ [s]

2 ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ (ρm − ρ) ρ

m   s    3

Kv

Cv

1 2 3 . .

Srednja vrednost:

Qsr =

∑Q = No

Slika I.2.11. Obrada eksperimentalnih podataka

K v(sr ) =

∑K No

v

= C v(sr) =

∑C No

v

=

30



3. Otpor pri strujanju fluida u cevi

31

I.3. OTPOR PRI STRUJANJU FLUIDA U CEVI I.3.1. Hidrodinamički otpor Pri svakom kretanju realnog fluida dolazi do pojave trenja (unutrašnjeg i spoljašnjeg), za čije savladavanje se mora utrošiti određeni deo energije koji fluid u kretanju poseduje. Do gubitka energije prilikom strujanja fluida u cevovodima dolazi zbog: -

podužnog trenja, koje se javlja na graničnoj površini cev-fluid

-

zbog mesnih otpora koji se javljaju na svim mestima gde strujnice menjaju svoj pravac.

Na slici I.3.1. prikazana je horizontalna prava cev kroz koju se transportuje fluid, sa piezometarskim cevima u preseku 1 i 2. Prilikom transporta fluida iz preseka 1 u presek 2 moraju se savladati otpori trenja o zidove cevovoda i trenje između slojeva fluida. Ove otpore nazivamo podužnim otporima.

Slika I.3.1. Pad pritiska u horizontalnoj pravoj cevi Na osnovu jednačine kontinuiteta brzina fluida na celom putu između preseka 1 i 2 je konstantna, a pošto je vod horizontalan, savladavanje otpora trenja može se izvršiti samo na račun energije pritiska fluida, odnosno statičkog pritiska. To se isto dobija i primenom proširene Bernulijeve jednačine na posmatrane preseke, uz zanemarivanje kinetičkog člana (u1=u2): P1 − P2 = f1,2 = h tr ρ⋅g

(I.3.1)

gde je: htr – visina gubitaka energije usled podužnog trenja. Razlika pritisaka ∆P u piezometarskim cevima jednaka je razlici nivoa tečnosti h1 i h2: ∆P = P1 - P2 = ρ ⋅ g ⋅ ( h1 - h 2 )

(I.3.2)

32


Visina gubitka energije usled podužnog trenja definisana je izrazom:

h tr =

u2 L λ 2⋅g d

(I.3.3)

gde je: λ koeficijent podužnog trenja u cevi. Ovaj koeficijent zavisi od Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti zida cevi: λ = f ( Re, n )

(I.3.4)

Relativna hrapavost zida cevi n zavisi od apsolutne hrapavosti ε i prečnika cevi:

n=

ε d

(I.3.5)

Vrednosti apsolutne hrapavosti za neke materijale dati su u tabeli I.3.1.

Vrsta cevi

ε [mm]

Bešavne cevi od bakra, mesinga ili olova

0,01 – 0,05

Nove čelične bešavne cevi ili pocinkovane cevi

0,1 – 0,2

Nove cevi od livenog gvožđa

0,3

Bešavne čelične cevi sa neznatnom korozijom

0,2 – 0,3

Bešavne čelične cevi sa znatnom korozijom

> 0,5

Stare cevi od livenog gvožđa

> 0,86

Tabela I.3.1. Apsolutne hrapavosti za neke tehničke materijale

Izraz (I.3.3) u literaturi je poznat kao jednačina Darsi-Vajsbaha (Dorcy-Weisbah). Ako se jednačina (I.3.3) pomnoži sa ρg, dobija se pad pritiska usled podužnog tenja: ∆P =

u2 ⋅ρ L λ 2 d

(I.3.6)

Koeficijent podužnog trenja za laminarni tok dobija se iz Hagen-Poazeovog zakona kao: λ=

64 Re

za Re ≤ 2320

(I.3.7)

Za izračunavanje koeficijenta podužnog trenja može se koristiti empirijski izraz Blauzijusa: λ=

0,316 za 3000 ≤ Re ≤ 105 0,25 Re

(I.3.8)

koji važi za glatke cevi u navedenom opsegu Rejnoldsovog broja. Pored još nekih empirijskih izraza za izračunavanje koeficijenta podužnog trenja, najčešće se koriste dijagrami Mudija (Moody)(Slika I.3.2) i Karmanov dijagram (von Karman)(Slika I.3.3).


33

Slika I.3.2. Zavisnost koeficijenta podužnog trenja, λ, od Rejnoldsovog broja, Re, za različite vrednosti relativne hrapavosti cevi, n

Slika I.3.3 Zavisnost veličine 1/ λ od Karmanovog broja, Ka, i relativne hrapavosti cevi, n

34


I.3.2. Eksperimentalno određivanje koeficijenata podužnog trenja Pad pritiska (∆P) određuje se eksperimentalno kao razlika piezometarskih visina u dvema tačkama prave cevi konstantnog prečnika, na rastojanju L, kako je to šematski prikazano na slici I.3.1. Cilj vežbe je određivanje promene pada pritiska sa brzinom tečnosti, tj. izračunavanje koeficijenta podužnog trenja λ. Na osnovu eksperimentalno dobijenih vrednosti za ∆h izračunava se ∆P iz jednačine (I.3.2). Pored ovoga, određuje se zavisnost λ u funkciji Re-kriterijuma. Vežba se izvodi na delu aparature prikazane na slici 2.9. Na cevnoj mreži se nalaze dva merna mesta za izvođenje ove vežbe – donja cev manjeg prečnika d=26mm i dužine L=1500mm i gornja šira cev prečnika d=46mm i dužine L=1000mm. Na krajevima duže cevi (L=1500mm) nalaze se piezometarske cevi 1 i 2, iz čije razlike visina vodenog stuba ∆h1 (h1 – h2) određujemo pad pritiska (∆P1) usled podužnog trenja. Na krajevima cevnog voda dužine L=1000mm nalaze se piezometarske cevi 5 i 6, čije razlike visina (∆h2=h5-h6) daju pad pritiska (∆P2) u cevovodu prečnika d=46mm. Centrifugalna pumpa se uključuje pri otvorenom ventilu (1) i zatvorenom ventilu (2). Pri ovim uslovima kroz cevnu mrežu protok je jednak nuli. Postepenim otvaranjem ventila (2), obezbedi se minimalan protok koji se očita sa baždarne krive Venturi cevi (koristiti sliku 2.10.). Pri zadatom protoku (Q) očitaju se visine stubova tečnosti u odgovarajućim piezometarskim cevima ( h1 i h2 , kao i h5 i h6). Pri svakom povećanju protoka očitavaju se korespondentne visine u piezometarskim cevima. Postupak se ponavlja dok se ne postigne maksimalni protok. Izmerene vrednosti unose se u tabelu I.3.2. u koju se unose i vrednosti izračunate na bazi eksperimentalnih podataka.

Slika I.3.4. Zavisnost pada pritiska od brzine tečnosti


35

Obrada eksperimentalnih podataka

Brzine strujanja vode (u1) i (u2) se izračunavaju iz izraza (1.37) i odgovaraju brzinama u cevima prečnika d1=26mm i d2=46mm, respektivno. Iz jednačine (I.3.2) izračunati pad pritiska, pa grafički predstaviti pad pritiska usled podužnog trenja kao funkciju brzine strujanja vode, kako je to na slici I.3.4. predstavljeno. Zavisnost dati za oba prečnika cevi. Na osnovu vrednosti ∆P1 i brzine vode (u1) iz jednačine (I.3.6) izračunati koeficijent podužnog trenja (λ1):

λ1 =

2∆P1 ⋅ d1 u12 ⋅ ρ ⋅ L1

Na isti način izračunati (λ2) iz ∆P2, u2, L2 i d2. Na osnovu jednačine: Re =

u ⋅ d ⋅ρ µ

izračunati kriterijum Rejnoldsa (Re1 i Re2) za odgovarajuće brzine (u1 i u2) i prečnik cevovoda (d1 i d2). Gustina (ρ) i viskozitet (µ) vode određuju se iz tabela za sobnu temperaturu. Kako je koeficijent podužnog trenja funkcija Rejnoldsovog kriterijuma, to dobijene podatke za λ treba grafički predstaviti kao: logλ = f ( logRe )

(I.3.9)

Takođe se u tabelu unose logaritamske vrednosti za λ i Re.

Slika I.3.5. Logaritamska zavisnost podužnog trenja od Re-broja

U preobražajnoj oblasti, i u oblasti razvijene turbulencije, postoji krivolinijska zavisnost λ od Re-broja. Za visoke vrednosti Re-kriterijuma koeficijent podužnog trenja λ je konstantan i ne zavisi od Re-kriterijuma.

36


Tabela I.3.2. Eksperimentalne i računske vrednosti za određivanje koeficijenta podužnog trenja

No

1. 2. 3. . .

h1 h5 Q h2 h6 u2 u1 ∆h1 ∆P1 ∆h2 ∆ P2 Re1 Re2 λ1 3 [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [m /s] [m/s] [m/s]

λ2

logRe1 logRe2 logλ1 logλ2




37

38


I.4. ENERGETSKI GUBICI PRI STRUJANJU FLUIDA Na svakom mestu gde, pri strujanju fluida, dolazi do promene brzine (intenziteta ili pravca u vektorskom obliku) dolazi do stvaranja novog otpora. Ovi energetski gubici se nazivaju mesni otpori i oni su vezani samo za lokalne promene. Pad pritiska na ovim mestima izražava se kao dinamički pritisak: ∆Pm = ξ m

ρ ⋅ u2 2

(I.4.1)

gde ξm predstavlja koeficijent mesnog otpora i on je merilo pada pritiska, a određuje se eksperimentalno. Koeficijent mesnog otpora ξm može se izraziti i preko ekvivalentne dužine Le:

∆Pm = λ

Le ρ ⋅ u 2 ⋅ d 2

(I.4.2)

gde je:

ξm = λ

Le d

(I.4.3)

Ekvivalentna dužina je ona dužina pravog voda istog prečnika, koja bi svojim podužnim otporom izazvala isti pad pritiska kao i određeni mesni otpor. (slika I.4.1.)

Slika I.4.1. Šematski prikaz ekvivalentne dužine mesnog otpora

39

4. Energetski gubici pri strujanju fluida

Ekvivalentna dužina izražena je kao proizvod bezdimenzionog faktora n i prečnika cevi: Le = n ⋅ d

(I.4.4)

Vrednosti faktora n za različite mesne otpore date su u tabeli I.4.1.

Tabela I.4.1. Vrednosti faktora n za određivanje ekvivalentne dužine mesnih otpora Vrsta mesnog otpora

Koleno od 90o prečnika 10 do 64mm

n=

Le d

30

o

40

o

50

Koleno od 90 prečnika 176 do 152mm Koleno od 90 prečnika 178 do 254mm Obrtni merač protoka Povratni ventil

200 - 300 75

Račva prečnika 25 do 100mm

60 – 90

Ukrštanje (presek dva cilindra)

50

Ulaz iz rezervoara u cev

20

Usisni ventil

70

Ventil normalni

100-120

Ventil prolazni

10-20

Venturi cev

12

Zasun

10 - 15

I.4.1. Mesni otpor proširenja cevi Na slici I.4.2. prikazan je deo cevovoda na kome se nalazi proširenje. Vod se proširuje sa poprečnog preseka A1 na presek A2. Kada se postavi prošireni oblik Bernulijeve jednačine za preseke 1 i 2: z1 +

P1 u2 P u2 + 1 − f1,2 = z 2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

(I.4.5)

pošto je u pitanju horizontalna cev ( z1 = z 2 , A1 < A 2 ), a brzina u1 veća je od brzine u2, dobija se: f1,2 =

u12 − u 22 P1 − P2 + 2g ρ⋅g

(I.4.6)

40


Slika I.4.2. Pad pritiska pri proširenju cevovoda

Iz integralnog oblika jednačine bilansa količine kretanja i jednačine kontinuiteta* dobija se: P2 − P1 = ρ ⋅ u 2 (u1 − u 2 )

(I.4.7)

Ako se leva i desna strana jednačine podele sa ρ ⋅ g i tako dobijen izraz zameni u jednačinu (I.4.6), dobija se: f1,2 =

u12 − u 22 u 2 (u1 − u 2 ) − 2g g

(I.4.8)

Izraz (I.4.8) može se transformisati do jednačine: f1,2 =

(u1 − u 2 ) 2 2g

(I.4.9)

Kako je naglo proširenje u cevovodu vrsta mesnog otpora, to se jednačina (I.4.9) može dovesti uz primenu jednačine kontinuiteta i izražavajući u2 kao funkciju od u1 i odnosa A1 i A2, do oblika: f1,2

u2  A  = h m = 1 1 − 1  2g  A 2 

2

(I.4.10)

2

 A  Izraz označen kao 1 − 1  je koeficijent mesnog otpora naglog proširenja cevovoda, ξ p ,  A2  pa se jednačina (I.4.10) može napisati u opštem obliku: h p = ξp

u12 2g

(I.4.11)

Tako dobijena jednačina (I.4.11) predstavlja visinu gubitka energije usled mesnog otpora proširenja cevovoda. * Detaljnije o integralnom obliku jednačine bilansa količine kretanja i primeni u određivanju gubitaka energije videti u knjizi: Velizar D. Stanković, Fenomeni prenosa i operacije u metalurgiji, TF Bor, str. 123, tom 1

41


Visina gubitaka na delu gde nastaje proširenje može se eksperimentalno odrediti kao razlika nivoa (∆h) u piezometarskim cevima 1 i 2, kako je to na slici I.4.2. prikazano. Rastojanje između mernih mesta 1 i 2 je malo, tako da se eventualni gubici usled podužnog trenja zanemaruju, pa se svi gubici energije usled mesnog otpora proširenja cevovoda dobijaju preko Bernulijeve jednačine: P1 u2 P u2 + 1 - hp = 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

Rešavajući jednačinu (I.4.12) po h p , uz jednačinu kontinuiteta, u 2 = u1 ⋅ 2 P1 - P2 u12   A1   hp = + 1-    ρ ⋅ g 2g   A 2    

(I.4.12) A1 dobija se: A2

(I.4.13)

U uslovima postojanja ravnoteže u piezometarskim cevima biće: P1 P P1 P = ∆h + 2 , odnosno - 2 = ∆h ρ⋅g ρ⋅g ρ⋅g ρ⋅g

(I.4.14)

pa se smenom u jednačinu (I.4.13) dobija: u2   A  h p = ∆h + 1 1-  1  2g   A 2  

2

  

(I.4.15)

Izjednačavanjem jednačina (I.4.11) u (I.4.15), i rešavanjem po koeficijentu mesnog otpora ξp dobija se: 2 2g∆h   A1   ξp = + 1-    u12   A 2  

(I.4.16)

I.4.2. Mesni otpor suženja cevi Suženje na cevovodu prouzrokuje takođe određeni gubitak energije. Da bi se dobila veza

eksperimentalno određenih razlika nivoa tečnosti u piezometarskim cevima i koeficijenta mesnog otpora suženja, postavlja se Bernulijeva jednačina za preseke 1 i 2, kako je to na slici I.4.3. i prikazano. I u ovom slučaju zbog malog odstojanja između preseka zanemaruju se gubici energije usled podužnog trenja, tako da su svi gubici energije vezani za mesni otpor suženja hs: P1 u2 P u2 + 1 - hs = 2 + 2 ρ ⋅ g 2g ρ ⋅ g 2g

(I.4.17)

42


Slika I.4.3. Pad pritiska pri suženju cevovoda

Rešavajući jednačinu (I.4.17) po hs i uvodeći Bernulijevu jednačinu, dobija se: 2 P1 - P2 u 22   A 2   hs = - 1-    ρ ⋅ g 2g   A1    

(I.4.18)

S druge strane, u uslovima postojanja ravnoteže u piezometarskim cevima 1 i 2 biće:

P1 P = ∆h + 2 ρ⋅g ρ⋅g

(I.4.19)

U jednačini (I.4.11) umesto hp treba da piše hs, pa smenom jednačine (I.4.19) i (I.4.11) u jednačinu (I.4.18), dobija se: 2 u 22 u 22   A 2    ξs ⋅ = ∆h − 1−    2⋅g 2 ⋅ g   A1    

(I.4.20)

Rešavanjem jednačine (I.4.20) po ξ s dobija se: 2  2 ⋅ g ⋅ ∆h  A 2  ξs = +   − 1 2 u2  A1  

(I.4.21)

Merenjem razlike nivoa piezometarskih cevi ∆h, za različite protoke, uz poznate poprečne preseke A1 i A 2 , izračunava se vrednost za ξ s .

I.4.3. Mesni otpor kolena Identičnom metodom, kao i kod prethodnih određivanja mesnih otpora, može se odrediti koeficijent mesnog otpora kolena ξ k u fukciji brzine strujanja fluida i razlike nivoa tečnosti u

43


piezometarskim cevima. Na slici I.4.4. dat je šematski prikaz kolena sa mernim mestima 1 i 2. Za ova merna mesta primenjuje se redukovana jednačinu Bernulija: z1 +

P1 P - h k = z2 + 2 ρ⋅g ρ⋅g

za

u1 = u 2

(I.4.22)

Za razliku od prethodna dva slučaja, gde se radilo o mesnim otporima koji se nalaze na horizontalnom delu cevovoda, kod kolena se mora uzeti u obzir geodetska visina. Brzina fluida je izostavljena jer je ista na presecima 1 i 2.

Slika I.4.4. Pad pritiska u kolenu cevovoda

Rešavanjem jednačine (I.4.22) po h k dobija se:

hk =

P1 - P2 + z1 - z 2 ρ⋅g

(I.4.23)

Na osnovu postojanja ravnoteže u piezometarskim cevima može se pisati: P1 P = 2 + z 2 - z1 + ∆h ρ⋅g ρ⋅g

(I.4.24)

Smenom jednačine (I.4.22) u (I.4.24) dobija se: h k = ∆h

(I.4.25)

Odnosno:

ξk =

2g ⋅ ∆h u2

(I.4.26)

44


I.4.4. Ukupna visina energetskih gubitaka Ukupna visina energetskih gubitaka u nekom razmatranom sistemu u kome struji realni fluid, predstavlja sumu gubitaka usled podužnog trenja (hpt) i mesnih otpora (hm), tj: f1,2 = h pt + h m =

u2  L n  λ + ∑ ξi 2g  d i =1 

(I.4.27)

U slučaju da je nestišljiv fluid, brzina (ui) u bilo kom preseku (i) može izraziti kao: u i = u1

A1 Ai

(I.4.28)

Jednačina (I.4.27) ukazuje da se mesni otpori i podužno trenje mogu posmatrati kao otpori vezani na red. Serijska veza otpora ima primenu i pri prenosu toplote, kao i pri prenosu električne energije. Ukoliko se zbir mesnih otpora (ξi ) iskaže preko ekvivalentnih dužina mesnih otpora, (Le), i zameni u jednačinu (I.4.27), onda se gubici energije između dva preseka mogu izraziti kao: f1,2 =

u 2 L + ∑ Le λ 2g d

(I.4.29)

Koeficijenti nekih mesnih otpora dati su u tabeli I.4.2.

I.4.5. Eksperimentalno određivanje mesnog otpora Eksperimenti se izvode na aparaturi koja je prikazana na slici 2.9. Centrifugalna pumpa se uključi pri zatvorenom ventilu (2), a otvorenom ventilu (1). Postepenim otvaranjem ventila (2), zadaje se neki proizvoljani mali protok (Q), tako da je razlika nivo ∆h na manometru koji se nalazi na Venturi cevi mala. Zatim se očitavaju visine nivoa tečnosti u piezometarskim cevima i odrede odgovarajuće razlike koje se odnose na mesne otpore kolena (∆hk=h2–h3), proširenja (∆hp=h4–h5) i suženja (∆hs=h6–h7). Nakon toga, poveća se protok i ponovo očitavaju razlike u piezometarskim cevima. Postupak se ponovi 5-6 puta i dobijene vrednosti se unesu u tabelu (I.4.3.). Obrada eksperimentalnih rezultata

Na osnovu izmerenih razlika nivoa ∆h na manometru koji se nalazi na Venturi cevi odredi se protok Q (slika2.11). Zatim se za No merenja, odredi srednji protok Qsr (podatak iz Tabele 2.1.), i tada se odredi srednja brzina kretanja vode kroz cev manjeg poprečnog preseka (d=26mm):

45


u sr =

4Qsr πd 2

(I.4.30)

Iz dobijenih vrednosti brzina i ∆h, odrede se sve vrste mesnih otpora koristeći jednačine za ξ (proširenje cevovoda – jednačina (I.4.16), suženje – jednačina (I.4.21) i koleno-jednačina (I.4.26.)). Srednje vrednost za ξ određuje se kao aritmetičke sredine svih određenih vrednost. Dobijene srednje vrednosti za ξ, uporediti sa odgovarajućim vrednostima datim u tabeli (I.4.2.). Tabela I.4.2. Koeficijenti mesnih otpora Otpor

Vrednost koeficijenta mesnog otpora

Koleno

Krivina

za α=90o

ξ=1,1

za α=120o

ξ=0,55

za α=135o ξ=0,35

R /α D

30o

45o

60o

75o

90o

105o

120o

1,5

0,08

0,11

0,14

0,16

0,18

0,19

0,25

2,0

0,07

0,1

0,12

0,14

0,15

0,16

0,17

ξ=0,5

Sa oštrim ivicama Ulaz u cev Izlaz cevi

Za α=150o ξ=0,2

Sa profilisanim ivicama ξ=0,2

iz

ξ=1

 A  ξ = 1 − 1   A2 

2

A1 / A 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Naglo proširenje ξ Naglo suženje ξ Nazivni prečnik D, mm Mesni otpor

1,0

0,81

0,64

0,49

0,36

0,25

0,16

0,09

0,04

0,01

0,0

0,5

0,47

0,43

0,38

0,33

0,30

0,25

0,20

0,15

0,09

0,0

13

19

25

32

38

50 i veći

ξ

Slavina

4

2

2

2

2

2

Ventil normalni Ventil sa kosim vretenom

11

7

6

6

6

5

3

3

3

2,5

2,5

2

Uslovni otpor, mm

Zasun

15-100

175-200

300 i više

ξ=0,5

0,25

0,15

46


Tabela I.4.3. Eksperimentalne vrednosti mesnih otpora

No

h2 [mm]

h3 [mm]

∆hk [mm]

ξk

h4 [mm]

h5 [mm]

∆hp [mm]

ξp

h6 [mm]

h7 [mm]

∆hs [mm]

ξs

1 2 3 . .

Srednja vrednost konstante:

ξ ksr =

ξpsr =

ξssr =

II DEO MEHANIKA HETEROGENIH SISTEMA

48


II.1. DINAMIKA HETEROGENIH SISTEMA

II.1.1. Otpori na potopljenom telu Pri proticanju fluida preko ravnih površina dolazi do trenja usled prenošenja količine kretanja u graničnom sloju. Sila otpora koja potiče od trenja fluida o čvrstu površinu, koja je orjentisana u pravcu strujanja, naziva se podužno trenje. Ukoliko u fluidu postoji uronjeni objekat, pored gubitka do kojih dolazi usled pojave podužnog trenja značajan deo energije fluida se gubi i na savladavanje otpora usled oblika. Na slici II.1.1. prikazano je telo koje se nalazi u struji fluida. Nailazeći na telo fluid se deli pri čemu se javlja opticanje tela. Na prednjem najistaknutijem delu tela nalazi se tzv. zaustavna tačka A. U tački A brzina fluida jednaka je nuli. Krivolinijski oblik strujnica (slika II.1.1.), pokazuje da elementi fluida, koji opstrujavaju telo, prelaze duži put nego pri strujanju ako nema tela. Imajući u vidu jednačinu kontinuiteta, pri opticanju mora doći do efekta ubrzavanja fluida. Pri opticanju prednjeg dela tela (od prednjeg dela tela do njegovog najšireg preseka) dolazi do ubrzavanja fluida, a pri opticanju zadnjeg dela (od najšireg preseka tela do njegovog zadnjeg dela) do efekta usporavanja. Kada se povećava relativna brzina fluida u odnosu na telo, dolazi do povećavanja intenziteta ovih efekata, što na kraju dovodi do odvajanja graničnog sloja od površine tela (slika II.1.1.). Zbir svih sila koje deluju na telo, a koje se javljaju usled pojave ubrzavanja i usporavanja toka fluida, čini otpor usled oblika za dato telo.

Slika II.1.1. Šematski prikaz strujanja oko potopljenog tela

49

5. Dinamika heterogenih sistema

II.1.2. Koeficijent otpora usled oblika Uzajamnim povezivanjem veličina koje karakterišu strujanje i geometriju čvrstog tela, moguće je dimenzionom analizom pokazati da postoji sledeća funkcionalna zavisnost:

 l⋅ u ⋅ρ  FD =f  2 l ⋅u ⋅ρ  µ  2

(II.1.1)

FD – ukupna sila koja deluje na telo (potiče od otpora usled oblika); l – dužina (karakteristika geometrije tela, ako je telo sfera l=d); ρ – gustina fluida; µ – viskozitet fluida.

Veličina (l2), koja se javlja u jednačini (II.1.1), predstavlja maksimalnu površinu poprečnog preseka tela koja je projektovana na ravan normalnu na pravac kretanja. To je površina A na slici II.1.2. pa se jednačina (II.1.1) može napisati u obliku: FD = f ( Re p ) A ⋅ u2 ⋅ρ

(II.1.2)

gde je: Rep – modifikovani Rejnoldsov kriterijum koji važi za heterogene sisteme čvrsto-fluid, ili Re broj obstrujavanja kako je nazvan u nekoj literaturi. Ovaj rezultat dimenzione analize iskorišćen je za definisanje koeficijenta otpora usled oblika (CD) preko modifikovanog Rejnoldsovog kriterijuma za čestice (Re - particles). Ako se FD/A definiše kao ”pritisak usled oblika” onda se relacija (II.1.2) može pisati:

∆P = f ( Re p ) u2 ⋅ ρ

(II.1.3)

Slika II.1.2. Šematski prikaz sila, koje deluju na telo pri kretanju

Analogno izrazu za visinu gubitaka usled podužnog trenja pri strujanju fluida kroz pravu cev: h tr =

∆P u2 = ξt ⋅ ρ⋅g 2g

(II.1.4)

50


gde je koeficijent trenja ξ t odgovara koeficijentu mesnog otpora ξm . Umesto koegicijenta trenja uvodi se koeficijent otpora usled oblika CD, i može se napisati odgovarajući izraz za visinu gubitaka pri strujanju fluida oko potopljenog tela: hD =

FD u2 = CD ⋅ A ⋅ρ ⋅g 2g

(II.1.5)

Ako se jednačina (II.1.5) reši po CD, dobija se: CD FD = 2 A ⋅ u2 ⋅ ρ

(II.1.6)

2FD A ⋅ u 2 ⋅ρ

(II.1.7)

odnosno: CD =

Za sferno telo se zavisnost između veličina Rep i CD može prikazati grafički u logaritamskom koordinatnom sistemu, slika II.1.3.

Slika II.1.3. Zavisnost koeficijeta otpora usled oblika CD od modifikovanog Rep kriterijuma

Na ovom dijagramu razlikuju se četiri oblasti krive linije, u zavisnosti od režima strujanja, tj. kriterijuma Rep: a) U oblasti1:

10−4 < Re p < 1 postoji zavisnost čija je jednačina:

FD = 12 ⋅ Re −p1 A ⋅ u2 ⋅ρ 1

(II.1.8)

Gornja granica intervala laminarne oblasti u literaturi iz ove oblasti je različita, negde je 0,2, negde 1, a najveća je 2 (što zavisi od određivanje granice do koje je je pravolinijska zavisnost CD od Rep na slici 1.3.)

51


odnosno: CD =

2 ⋅ FD 24 = 2 A ⋅ u ⋅ ρ Re p

(II.1.9)

U ovoj oblasti strujanja formira se laminarni sloj oko tela i pojave ubrzavajućih i usporavajućih efekata su zanemarljive. b) U oblasti 1 < Re p < 500-1000 postoji krivolinijska zavisnost CD od Rep za koju važi sledeća empirijska relacija: CD =

18,5 Re0,6 p

(II.1.10)

U ovoj oblasti se mešaju uticaji podužnog trenja i otpora usled oblika. To je tzv. preobražajna oblast strujanja.

c) Pri daljem povećanju relativne brzine kretanja fluida u odnosu na telo, u oblasti

500-1000 < Rep < 2 ⋅105 veličina

FD ima približno konstantnu vrednost: A ⋅ u2 ⋅ ρ

FD = 0, 44 A ⋅ u2 ⋅ρ

(II.1.11)

Za ovaj interval se može reći da predstavlja oblast razvijene turbulencije. d) Pri vrednostima Rep > 2 ⋅105 dolazi do odvajanja graničnog sloja od zadnjeg dela sfernog tela usled dominirajućih efekata ubrzavanja i usporavanja, što se manifestuje naglim opadanjem vrednosti koeficijenta trenja CD na konstantnu vrednost: FD = 0, 05 A ⋅ u2 ⋅ ρ

(II.1.12)

II.1.2.1.Ekvivalentni prečnik nesfernih tela i faktori oblika Dijagram sa slike II.1.3. može se koristiti i za tela čiji se oblik razlikuje od sfernog, što će biti kasnije detaljnije obrađeno. Za određivanje veličine tela potrebno je definisati pojam ekvivalentnog prečnika i faktor oblika - za karakterizaciju oblika tela. Ekvivalentni prečnik tela dp kod nesfernog oblika definiše se preko prečnika ekvivalentne

sfere, tj. one sfere koja ima isti odnos površine As prema zapremini Vs kao i posmatrano telo (Ap/Vp): Ap Vp

=

A s d s2 ⋅ π = Vs d 3s ⋅ π 6

gde je ds – prečnik sfernog tela.

(II.1.13)

52

S. Šerbula, V. Stanković Praktikum… Iz jednačine (II.1.13) dobija se:

Ap Vp

=

6 ds

(II.1.14)

Za telo nesfernog oblika čiji je odnos (Ap/Vp) poznat, postoji samo jedna sfera sa istom vrednošću ovog odnosa (As/Vs). Na osnovu prečnika ekvivalentne sfere ds određuje se ekvivalentni prečnik nesfernog tela: d p = ds =

6Vp

(II.1.15)

Ap

Faktor oblika definiše se kao odnos neke veličine nesfernog tela sa odgovarajućom

veličinom ekvivalentne sfere.

Najčešće korišćen faktor oblika je sferičnost, koja se definiše

odnosom površine sfere i površine posmatranog tela, kada su zapremine međusobno jednake (Vs=Vp): ψ=

površina ekvivalentne sfere ; površina tela

ψ=

A s d s2 ⋅ π = Ap Ap

(II.1.16)

Pošto je za ekvivalentnu sferu: Vs =

d 3s ⋅ π = Vp 6

(II.1.17)

to je iz jednačine (II.1.17) dobija: 1/ 3

 6V  ds =  p   π 

(II.1.18)

Ako se ds iz jednačine (II.1.18) smeni u jednačinu (II.1.16) onda se može pisati: 2/3

 6Vp    ⋅π π   ψ= Ap

(II.1.19)

II.1.3. Slobodno kretanje tela kroz fluid – Taloženje Pod slobodnim kretanjem tela podrazumeva se nepostojanje međusobnog uticaja tela koja se kreću kroz fluid. To znači da je rastojanje između tela toliko, da se ne oseća dejstvo polja brzina koja tela stvaraju oko sebe pri svom kretanju kroz fluid. Telo proizvoljnog oblika kreće se kroz fluid pod dejstvom sila koje na njega deluju, saglasno šematskom prikazu datom na slici II.1.2. Na telo u kretanju deluju: spoljna sila Fs (koja je obično sila zemljine teže), sila potiska Fp, i sila trenja Ft. Rezultujuća je inerciona sila, koja telu mase mp daje ubrzanje du/dτ. Bilans sila koje deluju na telo je:

53


mp

du = Fs − Fp − Ft dτ

(II.1.20)

Spoljna sila se može definisati opštim izrazom:

Fs = m p ⋅ as

(II.1.21)

Sila potiska definiše se proizvodom mase istisnutog fluida mf i ubrzanja as : Fp = mf ⋅ as

(II.1.22)

a sila trenja jednačinom: Ft = CD A

ρ ⋅ u2 2

(II.1.23)

Kako se masa tela mp i masa fluida mf mogu izraziti kao proizvodi iz odgovarajućih gustina i zapremina tela: m p = ρp ⋅ Vp

(II.1.24)

m f = ρf ⋅ Vp

(II.1.25)

onda se smenom jednačina (II.1.21) - (II.1.25) u jednačinu (II.1.20) dobija: CD ⋅ A ⋅ρ f ⋅ u 2 du ( ρ p − ρ f ) = as − dτ ρp 2V p ⋅ρ p

(II.1.26)

Telo koje se nalazi u polju sila u početku svog kretanja biće ubrzavano dok ne dostigne uniformno kretanje, kada nastavlja da se kreće konstantnom brzinom (du/dτ=0). U tom slučaju jednačina (II.1.26) može se izraziti kao:

CD

A ⋅ρ f ⋅ uo2 2V p ⋅ρ p

=

(ρ

−ρf

p

)a

s

ρp

(II.1.27)

gde je: uo – brzina slobodnog taloženja. Ako se, za sferna tela, zameni projektovana površina A i zapremina sfere V izrazima u jednačinu (II.1.27) :

A=

d 2p π 4

a

V=

d 3p π 6

(II.1.28)

dobija se izraz za izračunavanje koeficijenta otpora usled oblika: CD =

4 ( ρ p − ρ f ) d p ⋅ as 3ρ f

uo2

(II.1.29)

Iz jednačine (II.1.29) može se odrediti brzina taloženja: uo =

4 ( ρ p − ρ f ) d p ⋅ as 3ρ f ⋅ CD

Za taloženje tela u gravitacionom polju sila umesto as, uvodi se gravitaciono ubrzanje g:

54


uo =

4 ( ρp − ρf ) d p ⋅ g 3ρf ⋅ CD

(II.1.30)

gde je dp prečnik sfere ili ekvivalentne sfere ako telo nije sfernog oblika. Jednačina (II.1.30) koristi se za određivanje brzine taloženja tela kako za laminarni tako i za preobražajni i turbulentni režim taloženja. Na slici II.1.4. prikazan je dijagram zavisnosti koeficijenta otpora usled oblika CD u funkciji Rep kriterijuma i sferičnosti ψ. Ukoliko izračunata sferičnost za telo ne pripada ni jednoj krivoj (ψ=const.) na prikazanom dijagramu, onda se primenjuje interpolacija.

Slika II.1.4. Zavisnost koeficijenta otpora usled oblika CD od modifikovanog Rep kriterijuma i sferičnosti

II.1.4. Eksperimentalno određivanje koeficijenta otpora usled oblika Aparatura za izvođenje vežbe šematski je prikazana na slici II.1.5. Sastoji se od staklenog cilindra ili menzure, na primer od 1dm3, definisane visine i unutrašnjeg prečnika. Meri se vreme (τ) koje je potrebno da telo (3) pređe put (L) od trenutka kada se spušta u tečnost (2) do dna suda (1). Bira se takvo telo čiji je prečnik dovoljno mali u odnosu na prečnik cilindra, tako da se uticaj zidova cilindra može zanemariti. Za ovu vežbu potrebni su analitička vaga da se izmeri masa tela (mp), kljunasto merilo za određivanje dimenzija tela i hronometar.


55

Slika II.1.5. Aparutura za određivanje koeficijenta otpora usled oblika

Procedura izvođenja eksperimenta Cilindar se napuni tečnošću do gornje oznake. Ako gustina tečnosti (ρf) nije poznata, onda se ona odredi areometrom. Nakon toga se na analitičkoj vagi izmeri masa tela (mp) čiji se koeficijent otpora usled oblika određuje. Kljunastim merilom odrede se dimenzije tela u zavisnosti od geometrije tela (prečnik (d), visina, širina...). Aktivira se hronometar u momentu kada se telo pusti da pada u tečnost. Vizuelno se prati kretanje tela kroz tečnost i kada padne na dno suda hronometar se isključi. Vežba se ponovi još dva puta, za istu tečnost, ali drugi za drugu geometriju tela.

Obrada eksperimentalnih rezultata Na osnovu izmerenih dimenzija izračuna se zapremina tela. Iz izmerene mase (mp) i zapremine tela(Vp) može se odrediti gustina tela: ρp =

mp Vp

 kg   m3 

Vreme koje telo pređe od trenutka uranjanja u tečnost do trenutka kada padne na dno cilindra meri se hronometrom, a pređeni put meri se lenjirom, ili mernom trakom koja je zalepljena na spoljnoj površini mernog cilindra. Ako se put podeli sa vremenom dobija se brzina taloženja:

56


uo =

L τ

Ukoliko telo nije sfernog oblika (ds), onda se izračuna ekvivalentni prečnik (dp) korišćenjem jednačine (II.1.15), i sferičnost uz pomoć jednačine (II.1.19). Smenom svih izračunatih vrednosti u jednačinu (II.1.29), pri čemu je ubrzanje (as) jednako ubrzanju zemljine teže (g), određuje se vrednost CD. Dobijena vrednost poredi se sa onom dobijenom korišćenjem grafika CD-Rep, za odgovarajuću sferičnost (ψ) (slika II.1.4.). Za određivanje CD sa grafika neophodno je odrediti vrednost Rejnoldsovog kriterijuma: Re p =

u o ⋅ d p ⋅ ρf µf

Vrednost viskoziteta tečnosti (µf) data je na boci u kojoj se tečnost nalazila. Za izračunatu vrednost koeficijenta otpora usled oblika CD odredi se sa slike II.1.4. grafička vrednost i uporedi sa eksperimentalno dobijenom vrednošću. Relativna greška merenja izračunava se kao: δ=

C Dexp − C Dteor C Dexp

⋅100

Dobijene vrednosti se upišu u tabelu II.1.1. Eksperiment bi trebalo ponoviti nekoliko puta da bi se odredila najmanja relativna greška merenja.

Tabela II.1.1. Izračunate eksperimentalne vrednosti N0

1. 2. 3.

L [m]

τ [s]

m uo   s

dp [m]

ψ

CD

Rep

δ [%]

57

6. Taloženje

II.2. TALOŽENJE II.2.1. Brzina taloženja Pod taloženjem se podrazumeva kretanje čvrstih čestica kroz fluid u gravitacionom ili centrifugalnom polju sila. Ovde će biti razmatrano taloženje u gravitacionom polju. Ukoliko se taloži veći broj čestica, tako da kretanje jedne čestice ne utiče na kretanje ostalih, onda se radi o slobodnom taloženju. Ukoliko pri taloženju postoji međusobni uticaj čestica u pitanju je stešnjeno taloženje. Ako se sferna čestica taloži u nekom fluidu, onda na nju deluju tri sile: gravitaciona sila Fg, koja deluje usled prisustva zemljine teže, sila potiska Fp i ukupna sila otpora pri čemu je najveće učešće sile otpora usled oblika FD.

Slika II.2.1. Sile koje deluju na taloženje sfernih čestica Prilikom taloženja brzina čestica se povećava sve do trenutka kada se ubrzavajuće sile izjednačavaju sa silama usporavanja tj. silama otpora. Od tog trenutka čestica počinje da se taloži konstantnom brzinom koja se naziva brzina taloženja uo. Za laminarno taloženje čestica važi Štoksov zakon:

FD = 3π ⋅ d s ⋅µ f ⋅ u o

(II.2.1)

gde je: µf – viskozitet fluida;

ds – prečnik sferne čestice; uo – brzina taloženja čestice kroz fluid; FD – ukupna sila otpora koja deluje na česticu; Bilans sila koje deluju na sfernu česticu, dat je jednačinom:

F = FG − Fp − FD

(II.2.2)

58


gde je: F – rezultujuća sila koja deluje na sfernu česticu. Ako se u jednačinu (II.2.2) uvrste sila gravitacije, sila potiska i sila otpora, dobija se: F = ms

du = ms ⋅ g − m f ⋅ g − 3π ⋅ d s ⋅µ f ⋅ u o dτ

(II.2.3)

gde je: ms – masa sferne čestice; mf – masa fluida koji sferna čestica istisne svojim prisustvom. Kod sfernih čestica masa se dobija kao proizvod zapremine i gustine čestice: ms = Vs ⋅ρs =

d 3s ⋅ π ⋅ρs 6

(II.2.4)

a masa fluida kao proizvod gustine fluida i zapremine tečnosti istisnute sferom, tj.: m f = Vs ⋅ρf =

d 3s ⋅ π ⋅ρf 6

(II.2.5)

gde su: ρs - gustina sferne čestice; ρf - gustina fluida.

Zamenom jednačine (II.2.4) i (II.2.5) u jednačinu (II.2.3) dobija se: d 3s ⋅ π d3 ⋅ π du d s3 ⋅ π ⋅ρs = ⋅ρs ⋅ g − s ⋅ρf ⋅ g − 3π ⋅ d s ⋅µ f ⋅ u o 6 dτ 6 6 a deljenjem jednačine (II.2.6) sa

(II.2.6)

d 3s ⋅ π ρs dobija se: 6

du (ρs − ρf )g 18µ f ⋅ u o = − 2 dτ ρs d s ⋅ρs

(II.2.7)

Pošto u trenutku dostizanja brzine taloženja uo nema promene brzine sa vremenom, onda je: du =0 dτ

(II.2.8)

pa se jednačina (II.2.7) može pisati: uo =

d s2 (ρs − ρf )g 18µ f

(II.2.9)

Brzina taloženja sfernih čestica uo, računa se po jednačini (II.2.9) kada je taloženje laminarno1, tj. Rep<1. Do izraza za brzinu taloženja može se doći i preko koeficijenta otpora usled oblika CD. Ako se pođe od jednačine:

F = FG − Fp − FD

1

(II.2.10)

Laminarna oblast je po nekoj literaturi do Rep<0,2 a negde do Rep<2, što sve zavisi od preciznosti određivanja linearne oblasti na dijagramu logCD - log Rep.

59

6. Taloženje

koja predstavlja bilans sila koje deluju na česticu u toku njenog taloženja, i ako se u nju uvede sila FD, izražena iz jednačine (1.7), dobija se: ms

du A ⋅ u 2 ⋅ ρf ⋅ CD = ms ⋅ g - m f ⋅ g dτ 2

(II.2.11)

Pošto se radi o sfernoj čestici, važe jednačine (II.2.4) i (II.2.5), pa jednačina (II.2.11) dobija oblik: d 3s π du d s3 π d3π A ⋅ u 2 ⋅ ρf ⋅ CD ρs = ρs ⋅ g - s ρ f ⋅ g 6 dτ 6 6 2 Deljenjem jednačine (II.2.12) sa du  ρf = 1 − dτ  ρs

(II.2.12)

d 3s ⋅ π ρs , dobija se: 6

 3A ⋅ u 2 ⋅ρf ⋅ CD g ⋅ −  d s3 ⋅ π ⋅ρs 

(II.2.13)

Kada se dostigne brzina taloženja uo ubrzanje je ravno nuli, pa je:

3 ⋅ CD ⋅ A ⋅ u o2 ⋅ρf ( ρs − ρf ) ⋅ g = d 3s ⋅ π ⋅ρs ρs

(II.2.14)

Rešavanjem po uo dobija se: uo =

( ρs − ρf ) ds3 ⋅ π ⋅ g 3 ⋅ CD ⋅ A ⋅ρf

(II.2.15)

Pošto se taloži sferna čestica površina njene projekcije na ravan upravnu na pravac taloženja predstavlja krug: d s2 ⋅ π 4

A=

(II.2.16)

Zamenom jednačine (II.2.16) u jednačinu (II.2.15) dobija se: uo =

4g ( ρs − ρf ) d s 3 ⋅ CD ⋅ρf

(II.2.17)

Jednačina (II.2.17) je opšta relacija za brzinu taloženja sfernih čestica. Ako se u nju zameni izraz (1.9) za CD =

24 , koji važi za laminarnu oblast taloženja, dobija se: Re p

uo =

4g ( ρs − ρf ) d s ⋅ Re p 3 ⋅ 24 ⋅ρf

(II.2.18)

ili:

d s ⋅ u o ⋅ρf µf 3 ⋅ 24 ⋅ρf

4g ( ρs − ρf ) d s ⋅ uo =

Posle sređivanja brzina laminarnog taloženja je identična sa jednačinom (II.2.9).

(II.2.19)

60


Ako se želi izračunati brzina taloženja sferne čestice pri turbulentnom režimu strujanja, koristi se jednačina (II.2.17) s tim što se mora znati vrednost koeficijenta otpora CD. Međutim, najčešće nije jednostavno odrediti koeficijent CD u funkciji Rejnoldsovog broja preko dijagrama (slika II.1.4.), pošto se u izrazu za Rep pojavljuje pored ostalog i brzina taloženja uo, čije je određivanje inače krajnji cilj. Stoga se, kada su u pitanju sferne čestice, najčešće koristi postupak izračunavanja brzine taloženja preko Arhimedovog kriterijuma. Ovim načinom je omogućeno određivanje režima taloženja (a time i brzine taloženja) za slučaj da je poznat prečnik sferne čestice. Takođe, moguće je odrediti prečnik sferne čestice ako je poznata brzina njenog taloženja. Arhimedov kriterijum po brzini – Aru dobija se množenjem desne strane jednačine (1.6)

sa Re2p :

Aru =

FD ⋅ g Re2p 2 A ⋅ρf ⋅ u

(II.2.20)

Dalje razvijanje jednačine (II.2.20) daje: Aru =

FD ⋅ g d s2 ⋅ u 2 ⋅ρf2 FD ⋅ d s2 ⋅ρf = µ f2 A ⋅ρf ⋅ u 2 A ⋅µ f2

(II.2.21)

Ako se postavi jednačina ravnoteže sila pri taloženju sfernih čestica – jednačina (II.2.10): F = FG − Fp − FD onda se može pisati za slučaj kada je dostignuta brzina taloženja du / dτ = 0 :

FD = FG − Fp

(II.2.22)

FD = ms ⋅ g − m f ⋅ g

(II.2.23)

ili:

odnosno: FD =

d 3s ⋅ π d3 ⋅ π d3 ⋅ π ⋅ρs ⋅ g − s ⋅ρf ⋅ g = s ⋅ g ( ρs − ρf ) 6 6 6

(II.2.24)

A=

d s2 ⋅ π 4

(II.2.25)

Pošto je:

to se smenom jednačine (II.2.26) u jednačinu (II.2.25) dobija se: FD 2d s = ( ρs − ρ f ) ⋅ g A 3

(II.2.26)

Zamenom jednačine (II.2.27) u jednačinu (II.2.21) konačno se dobija: Aru =

2d 3s ( ρs − ρf ) ⋅ρf ⋅ g 3µ f2

(II.2.27)

61

6. Taloženje Arhimedov kriterijum po prečniku – Ard dobija se na sličan način:

Ard =

FD ⋅ g Re −p1 2 A ⋅ρf ⋅ u

(II.2.28)

Ard =

FD ⋅µ f A ⋅ d s ⋅ u 3 ⋅ρf2

(II.2.29)

ili:

Kada se dostigne brzina taloženja uo ubrzanje je ravno nuli, pa se FD određuje iz jednačine (II.2.27). Uvođenjem u jednačinu (II.2.30) dobija se: Ard =

2µ f ( ρs − ρf ) ⋅ g 3ρf2 ⋅ u 3o

(II.2.30)

Eksperimentalno je određena zavisnost kriterijuma Aru i Ard od režima taloženja sfernih čestica, tj. od modifikovanog Rep kriterijuma. Ova zavisnost je data na slici II.2.2. Ako je poznat prečnik čestice, vrednost kriterijuma Aru se izračunava, a potom koristeći se dijagramom (slika II.2.2) se odredi Rep kriterijum. Iz ovog podatka se određuje brzina taloženja sfernih čestica: uo =

Rep ⋅µ f d s ⋅ρf

(II.2.31)

Na sličan način se postupa ako je potrebno naći prečnik čestica čija je brzina taloženja poznata: prvo se pomoću jednačine (II.2.31) izračuna vrednost kriterijuma Ard, a potom se korišćenjem dijagrama sa slike II.2.2 odredi vrednost kriterijuma Rep. Iz ove vrednosti Rep određuje se prečnik sfernih čestica: ds =

Re p ⋅µ f u o ⋅ρf

(II.2.32)

Za izračunavanje prečnika čestica, kao i brzine taloženja, kod laminarnog režima kada je Rep<1, može da se koristi jednačina (II.2.9). Za ostale vrednosti Rep, prečnik čestica računa se po jednačini (II.2.33) Sve napred pomenute metode izvedene su na bazi ravnoteže sila koje deluju na sferne čestice pri njenom taloženju. Taloženje nesferih čestica izračunava se preko ravnoteže sila koje deluju na česticu i

ekvivalentne sfere za posmatranu česticu. Na slici II.2.3. prikazane su sile koje deluju na nesfernu česticu: FG – gravitaciona sila, Fp – sila potiska i FD – ukupna sila otpora.

62


Slika II.2.2. Zavisnost kriterijuma Aru i Ard od modifikovanog Rep – kriterijuma

63

6. Taloženje

Slika II.2.3. Sile koje deluju pri taloženju nesferih čestica

Polazi se od jednačine bilansa sila: F = FG − Fp − FD

(II.2.33)

pa se dolazi do izraza: mp

du C ⋅ A ⋅ u 2 ⋅ρf = m p ⋅ g − mf ⋅ g − D dτ 2

(II.2.34)

gde je: mp – masa nesferne čestice Jednačina (II.2.35) je ekvivalentna jednačini (II.2.11), jedino je masa sferne čestice ms zamenjena masom nesferne čestice mp. Sličnim postupkom kao i kod sferne čestice može se doći do brzine taloženja nesferne čestice. Umesto prečnika sferne čestice koristi se ekvivalentni prečnik nesferne čestice dp čija je gustina ρp: uo =

4g ( ρp − ρf ) d p 3 ⋅ CD ⋅ρf

(II.2.35)

Jednačina (II.2.36) koristi se za određivanje brzine taloženja nesferne čestice, kako za laminarni tako i za preobražajni i turbulentni režim taloženja. Ako se jednačina (II.2.36) reši po CD, dobija se: CD =

4g ( ρp − ρf ) d p

(II.2.36)

3 ⋅ u o2 ⋅ρf

Logaritmovanjem ove jednačine dobija se:  4g ( ρp − ρf ) d p  log C D = log   − 2 log u o 3 ⋅ρf  

(II.2.37)

Izraz za Rejnoldsov broj se takođe logaritmuje: log Re p = log

d p ⋅ρf µf

+ log u o

(II.2.38)

64


Rešavanjem jednačine (II.2.39) po log u o i zamenom u jednačinu (II.2.38), čime se eliminiše brzina taloženja iz jednačine (II.2.38), i posle sređivanja dobija se:  4g ( ρp − ρf ) d 3p ⋅ρf  log CD = −2 log Re p + log   3 ⋅µ f2  

(II.2.39)

Jednačina (II.2.40) je jednačina prave linije u dijagramu log CD − log Re p . Nagib ove prave je –2 ( npr. Y=-2x+b ). Za određivanje položaja ove prave linije u dijagramu na slici 1.4., potrebno je znati i jednu tačku kroz koju ona prolazi. Za Re p = 1 je log Re p = 0 , pa jednačina (II.2.40) dobija oblik: CD =

4g ( ρp − ρf ) d 3p ⋅ρf

(II.2.40)

3 ⋅µ f2

Dakle tačka T kroz koju prolazi prava predstavljena jednačinom (II.2.41) i Re p = 1 :  4g ( ρp − ρf ) d 3p ⋅ρf  T Re p = 1; CD =  3 ⋅µ f2 

   

(II.2.41)

Pošto je poznat prečnik dp, moguće je izračunati vrednost CD čime je položaj tačke T u potpunosti definisan. Kroz ovu tačku se može povući tražena prava linija sa nagibom pravca −2 . Presek ove prave sa krivom, odgovarajuće sferičnosti ψ, daje tačku koja odgovara određenoj vrednosti modifikovanog Rep kriterijuma. Iz ovako dobijene vrednosti za Rep moguće je izračunati traženu vrednost za brzinu taloženja nesferne čestice. Grafička interpretacija ovog postupka prikazana je na slici II.2.4. U slučaju da je poznata brzina taloženja, a da je potrebno odrediti ekvivalentni prečnik nesferne čestice dp, onda se sličnom procedurom dolazi do jednačine prave linije:  4g ( ρp − ρf ) µ f  log C D = log Re p + log   3 ⋅ρf2 ⋅ u 3o   

(II.2.42)

Ucrtavanjem ove prave linije na slici II.1.4., dobija se njen presek sa odgovarajućom krivom (ψ=const.). Ovom preseku odgovara određena vrednost apcise tj. Rep – kriterijuma, iz koje se može računski odrediti traženi prečnik čestice dp, kako je to prikazano na slici II.2.4.

65

6. Taloženje

Slika II.2.4. Prikaz grafičkog određivanja brzine taloženja

II.2.2. Eksperimentalno određivanje brzine stešnjenog taloženja Razdvajanje čvrste i tečne faze je problem koji se često javlja na industrijskom nivou. Pri projektovanju zgušnjivača potrebno je odrediti taložne karakteristike suspenzije. Pod ovim se podrazumeva brzina stešnjenog taloženja, sklonost čestica ka slepljivanju, finoća razdvajanja kod poludisperzne suspenzije i druge pojave koje mogu pružiti informacije o ponašanju suspenzije pri njenom razdvajanju. Cilj izvođenja ove vežbe je da se merenjem promene visine sloja izbistrene tečnosti sa vremenom odredi brzina taloženja; da se uoče pojedine faze zgušnjavanja i oblasti u kojima se pojedina zbivanja dešavaju. Brzina stešnjenog taloženja zavisi od veličine, oblika i gustine suspendovanih čestica, zatim, od gustine i viskoziteta fluida, ali i od koncentracije čvrste faze u suspenziji. Za definisanu suspenziju, zadate početne koncentracije čvrste faze, brzina stešnjenog taloženja može se definisati kao odnos promena visine izbistrene tečnosti i vremena: uo =

dH dτ

(II.2.43)

Procedura izvođenja eksperimenta

Na menzuri od 1000ml na spoljnoj strani nalepljena je merna traka od milimetarskog papira. U menzuru se sipa odmerena količina čvrste faze (m) i dodaje voda do nivoa koji odgovara nuli na milimetarskom papiru (Ho), pri čemu se gradi suspenzija koja ima zadatu koncentraciju čvrste faze. Masa čvrste faze je naznačena na menzuri, na primer, 100g. Menzura se zatim snažno promućka, da bi se čestice čvrste faze ravnomerno raspodelile po zapremini, a zatim se stavi na ravnu površinu. Istovremeno se uključi hronometar, a merenje brzine stešnjenog taloženja se sastoji u očitavanju

66


visine granice između izbistrene tečnosti i suspenzije (H) u određenim vremenskim intervalima (τ). Merene vrednosti prikazuju se tabelarno ( Tabela II.2.1.). Posle određenog vremena pojavljuju se u menzuri četri zone, kako je to dato na slici II.2.5. (b).

Slika II.2.5. Procedura određivanja brzine taloženja čestica

Te zone su: zona izbistrene tečnosti, zona koja po sastavu odgovara početnoj suspenziji, prelazna zona i zona ugušćenog taloga. Ukoliko se nalaze krupnije čestice u suspenziji, formiraće se ugušćeni talog veće visine. Ukoliko u suspenziji postoje fine čestice, zona izbistrene tečnosti neće biti transparentna, ili granica između te zone i suspenzije neće biti jasno određena. S toga postojanje oštro definisanih zona treba shvatiti uslovno. Tabela II.2.1. Eksperimentalno dobijene i izračunate vrednosti:

NO 1. 2. 3.

τ min [ ]

H cm [ ]

u0

[ m s]

C  kg m3 

67

6. Taloženje

Posle određenog vremena pojavljuje se prelazna oblast, u kojoj se može uočiti intenzivno protivstrujno kretanje čestica i tečnosti (slika II.2.5 (b) i (c)). Sa vremenom, visina izbistrene tečnosti se povećava, a povećava se i visina ugušćenog taloga, mada mnogo manjom brzinom, dok se zona početne suspenzije smanjuje. Usled kretanja čestica u prelaznoj zoni, gornja zona suspenzije postaje nestabilna, i vremenom se stapa sa prelaznom zonom u jednu nestabilnu zonu (slika II.2.5 (c) i (d)). Nestabilna zona ugušćenog taloga, u kojoj se čestice i tečna faza kreću protivstrujno ostaje približno konstantne debljine, krećući se lagano naviše. Posle dovoljno dugog vremena, zona početne suspenzije se gubi, a ostaju nestabilna zona, zona ugušćenog taloga i zona izbistrene tečnosti (slika II.2.5. (d)). Vreme koje odgovara gubljenju zone početne suspenzije označava se kao neko kritično vreme. Nakon toga počinje smanjivanje nestabilne zone, kao posledica pakovanja čestica i istiskivanja viška tečnosti naviše. Posle dovoljno dugog vremena nestaće i nestabilna zona i nastaće raslojavanje na izbistrenu tečnost i ugušćeni talog (slika II.2.5. (e)). Merenje je završeno kada se visine ovih zona ne menjaju više sa vremenom (τkr). Obrada eksperimentalnih rezultata

Rezultate dobijene u tabeli II.2.1., prikazati grafički na slici II.2.9., kao što je dato na slici II.2.6. Na ovom dijagramu je prikazana zavisnost visine granice između izbistrene tečnosti i suspenzije, a to u suštini odgovara visini suspenzije (H), od vremena (τ). Takođe, može se koristiti i visina izbistrene tečnosti ( Ho – H) u funkciji vremena, jer relativna brzina smanjivanja visine suspenzije i relativna brzina rasta visine izbistrene tečnosti su iste. Jednačina (II.2.44), ukazuje da se brzina stešnjenog taloženja (uo) može odrediti grafički, to jest povlačenjem tangente u bilo kojoj tački na liniji prikazanoj na slici II.2.9. i određivanjem nagiba te tangente (uo=∆H/∆τ), odnosno (uo= (Hi – H)/τ). Za svaki izmereni par (H-τ) koji su dati u Tabeli II.2.1. povući tangente na dobijenom grafiku i naći nagibe tih pravih, a rezultate (uo) napisati u odgovarajućoj koloni u Tabeli II.2.1. Krećući se naniže granica izbistrena tečnost – suspenzija, uzrokuje povećanje koncentracije čvrste faze u donjem delu menzure. Kada se izgubi nestabilna zona i dođe do formiranja samo zona izbistrene tečnosti i ugušćenog taloga, može se srednja brzina taloženja predstaviti izrazom: u osr =

Ho − Hk τkr

(II.2.44)

gde su: Ho i Hk predstavljeni na slici II.2.7. τkr – vreme kada se visine izbistrene tečnosti i ugušćenog taloga više ne menjaju.

68


Slika II.2.6. Grafički prikaz eksperimentalnih rezultata

Ova brzina se dobija kada se razlika visine podeli ukupnim vremenom trajanja eksperimenta, to jest sa vremenom, koje podrazumeva i vreme pakovanja čestica nakon nestajanja zone početne suspenzije i nestabilne zone.

Slika II.2.7. Početna i krajnja visina na menzuri

Kriva prikazana na slici II.2.6. omogućuje da se dobije brzina stešnjenog taloženja, za bilo koju koncentraciju suspenzije (Sl. II.2.8.). Da bi se ovo bolje razumelo, postavja se materijalni bilans za čvrstu fazu, uz pretpostavku da je sadržaj čvrstog u izbistrenoj tečnosti zanemarljivo mali. Masa čvrste faze (m) u početnoj suspenziji je: m = Co ⋅ H o ⋅ A gde su: A – površina poprečnog preseka menzure; Co - početna koncentracija čvrste faze u kg/m3.

(II.2.46)

69

6. Taloženje

Slika II.2.8. Zavisnost brzine taloženja čestica od koncentracije suspenzije C

Proizvod H o ⋅ A predstavlja zapreminu, pa se izraz (II.2.46) može pisati kao Co ⋅ Vo Zbog kretanja čestica čvrste faze naniže brzinom uo i kretanja nestabilne zone naviše konstantnom brzinom, zapremina u kojoj se nalaze čestice čvrste faze se smanjuje u odnosu na (Vo), ali proizvod neke koncentracije čvrste faze (C) i odgovarajuće zapremine(V) mora biti konstantan i biti jednak izrazu CoVo : C ⋅ V = Co ⋅ Vo

(II.2.47)

a znajući da je: Vo = HoA, i V = HA onda se može pisati C ⋅ H ⋅ A = Co ⋅ H o ⋅ A

(II.2.48)

Pošto je poprečni presek menzure A=const. jednačina (II.2.48) se može pisati: C ⋅ H = Co ⋅ H o

(II.2.49)

Pri ovome se koncentracija C može shvatiti, kao koncentracija čvrste faze u suspenziji visine H. C = Co

Ho H

(II.2.50)

Iz izraza (II.2.50) izračunati koncentracije čvrste faze za odgovarajuće merene visine (H). Rezultate (C) uneti u tabelu II.2.1. i nacrtati grafik uo=f(C) ( Slika II.2.10). Do koncentracije čvrste faze u suspenziji može se doći i jednostavnim merenjem zapremine suspenzije, odnosno zapremine ispod granice koja razdvaja izbistrenu tečnost od suspenzije. Nalaženjem te zapremine i korišćenjem izraza II.2.50 lako se može izračunati nepoznata koncentracija C, ako je poznata odgovarajuća zapremina V.

70


Slika II.2.9. Obrada eksperimentalnih podataka


7. Filtracija

71

II.3. FILTRACIJA Filtracija je mehanička operacija pri kojoj dolazi do razdvajanja čvrstih čestica od fluida. Ovo razdvajanje se odvija na filtracionom medijumu na kome se zadržavaju čvrste čestice. Pod filtracijom u užem smislu podrazumeva se razdvajanje čvrstih čestica od tečnosti. Uređaji na kojima se ova operacija izvodi su filteri. Osnovni deo filtera je sud koji je filtracionim medijumom podeljen na dva dela, kako je to prikazano na slici II.3.1. Heterogeni sistem (fluid-čvrste čestice), koji treba razdvojiti, doprema se u deo suda iznad filtracionog medijuma. Pod dejstvom razlike pritisaka koji vladaju u pojedinim delovima suda dolazi do razdvajanja faza, pri čemu fluid prolazi kroz zgušnjenu čvrstu fazu i filtracioni medijum i prelazi u donji deo suda.

Slika II.3.1. Šematski prikaz filtracije suspenzije Čvrsta faza koja sadrži izvesnu količinu zaostale tečne faze naziva se kolač, ili pogača, i predstavlja drugi proizvod operacije filtracije. Ovakav tip filtracije naziva se filtracija kroz kolač i najzastupljeniji je oblik razdvajanja suspenzija. Primenjuje se za suspenzije koje sadrže čvrstu fazu veću od 1% od ukupne zapremine suspenzije. Za suspenzije koje sadrže manje od 0,1% vol. čvrste faze, ne dolazi do formiranja kolača, već se čestice čvrste faze zadržavaju uglavnom u porama filtracionog medijuma. Ovaj tip filtracije naziva se filtracija kroz medijum (npr. filtriranje piva kroz poroznu keramiku, ili filtriranje gasova koji izlaze iz peći za livenje...). Filtracioni medijum potrebno je periodično menjati ili regenerisati (npr. isprati ga suprotnim tokom fluida...). Kombinovani postupak filtracije koristi se u opsegu koncentracije od 0,1% do 1% vol. Filtracija se u principu odvija ili pri konstantnoj razlici pritisaka kao pogonskoj sili, ili pri konstantnoj brzini filtracije. Kada je konstantna razlika pritisaka onda se brzina filtracije menja sa

71

72


vremenom, i obrnuto, kada je konstantna brzina filtracije, sa vremenom se menja razlika pritisaka. Koji princip filtracije treba izabrati zavisi od niza faktora, kao što su: -

fizičke karakteristike čestica (veličina, gustina,...);

-

fizičke i hemijske osobine filtrata (viskozitet, hem. reaktivnost...);

-

sadržaj čvrste faze u suspenziji;

-

zahtev za čistoćom filtrata;

-

zahtev za čistoćom kolača tj. pogače – čvrste faze;

-

značaj čvrste faze i filtrata..

II.3.1. Osnovna jednačina filtracije Suspenzija se najčešće sastoji od finih čestica malih dimenzija koje na filtracionom medijum formiraju kolač određene debljine (L). Tako formirani kolač je u stvari sloj disperzne čvrste faze kroz koji laminarno struji tečna faza – filtrat. Strujanje fluida kroz sloj disperzne čvrste faze opisan je Karman-Kozenijevom jednačinom za sferne čestice: ∆P (1 − ε) 2 µ ⋅ u = 180 ⋅ 2 L ε3 dp

(II.3.1)

∆P – pad pritiska fluida pri strujanju kroz filtracioni kolač L – debljina kolača

ε - poroznost kolača µ - viskozitet filtrata u – brzina fluida dp – prečnik čestice Umesto prečnika čestica(dp) u izrazu za filtraciju, praktičnije je koristiti specifičnu površinu čestica(a) kao odnos površine(Ap) i zapremine čestica(Vp):

a=

Ap Vp

=

6 dp

(II.3.2)

Zamenom jednačine (II.3.2) u jednačinu (II.3.1) dobija se: ∆P (1 − ε) 2 =5 ⋅µ ⋅ u ⋅ a 2 L ε3

(II.3.3)

Brzina filtracije može da se izrazi kao:

u=

Q 1 dV = A A dτ

(II.3.4)

72

73

7. Filtracija

gde je:

1 dV - količina filtrata koja prođe kroz površinu filtracionog medijuma u jedinici vremena. A dτ Kada se jednačina (II.3.3) reši po brzini u, uz smenu vrednosti za u iz jednačine (II.3.4)

dobija se: 1 dV ∆P ε 3 = A dτ 5L(1 − ε) 2 µa 2

(II.3.5)

Jednačina (II.3.5) dovodi u vezu brzinu filtracije sa nezavisno promenljivim veličinama. U jednačini (II.3.5), veličina L je debljina kolača, i ona se sa vremenom povećava, tako da se teško određuje. Zato se postavlja materijalni bilans po čvrstoj fazi: LA(1 − ε)ρp = γ (V + εLA)

(II.3.6)

gde je: A – površina za filtraciju; γ – masa čvrste faze u suspenziji po jedinici zapremine tečnosti u suspenziji; V – zapremina filtrata. Izraz LA(1 − ε)ρp , predstavlja sadržaj čvrste faze u kolaču, dok prouzvod γV , predstavlja sadržaj čvrste faze u suspenziji. Izraz γεLA predstavlja količinu filtrata koji se zadržao u kolaču. Kako je γεLA << γV , to se količina filtrata zaostala u kolaču zanemaruje pa se jednačina (II.3.6) redukuje do oblika:

LA(1 − ε)ρp = γV

(II.3.7)

Ako se jednačina (II.3.7) reši po L dobija se: L=

γV A(1 − ε)ρp

(II.3.8)

Jednačina (II.3.8) zamenom u jednačinu (II.3.5) daje: 1 dV ∆P ∆P = = 2 A dτ 5(1 − ε)a µγV α µγV ⋅ A A ε 3ρ p gde je α =

(II.3.9)

5(1 − ε)a 2 i naziva se specifični otpor kolača. ε3ρp

Jednačina (II.3.9) predstavlja osnovnu jednačinu filtracije. Specifični otpor kolača zavisi od poroznosti sloja i od specifiče površine čestica. Specifični otpor kolača može biti konstantan tokom filtracije, a može i da se menja sa vremenom. Ako se α menja sa vremenom onda se i parametri od kojih zavisi α menjaju tokom filtracije. Najčešće ne dolazi do promene specifičnog otpora kolača tokom filtracije. Filtracija pri konstantnom otporu kolača naziva se filtracija kroz nestišljiv kolač.

73

74


II.3.2. Ukupni otpor filtracije Opisni oblik osnovne jednačine filtracije je: Brzina filtracije=

Pogonska sila Ukupni otpor

(II.3.10)

Pogonska sila je razlika pritisaka ∆P u prostorima razdvojenim kolačem i filtracionim medijumom (slika II.3.1.). Otpor filtracije čine specifični otpor kolača koji je već definisan, kao i otpor filtracionog medijuma i samog uređaja za filtraciju. Otpor samog uređaja za filtraciju je manji od otpora kolača ali se mora uzeti u obzir pri određivanju brzine filtracije. Ovi otpori su vezani na red čineći ukupni otpor filtracije. Jednačina (II.3.9) predstavlja teorijsku brzinu filtracije i mora se za realne uslove dopuniti otporom filtracionog medijuma i samog filtra: 1 dV ∆P = A dτ  γV  µα + Rm   A 

(II.3.11)

gde je: Rm – otpor filtracionog medijuma i uređaja za filtraciju. Ponekad se otpor filtracionog medijuma izražava ekvivalentnom zapreminom filtrata, koji bi prilikom proticanja kroz filter obrazovao zamišljeni sloj kolača, čiji bi otpor bio jednak otporu filtracionog medijuma Rm:

Rm =

αγ Ve A

(II.3.12)

gde je: Ve – ekvivalentna zapremina filtrata. Zbog toga se jednačina (II.3.11) može napisati u obliku:

∆P 1 dV = A dτ µαγ V + V ( e) A

(II.3.13)

II.3.3. Integracija jednačine filtracije pri konstantnoj razlici pritisaka Pri filtraciji suspenzije, uz konstantnu pogonsku silu ∆P, brzina filtracije se menja sa vremenom jer raste debljina kolača. Jednačina (II.3.13) se integrali posle razdvajanja promenljivih: V

τ

A 2 ∆P dτ µαγ 0

∫ ( V + Ve )dV = ∫ 0

(II.3.14)

74

75

7. Filtracija

Desnu stranu jednačine moguće je integraliti ako se pretpostavi da je specifični otpor kolača konstantan, tj. da se filtracija izvodi kroz nestišljiv kolač. Sledeća pretpostavka se odnosi na izotermnost sistema, što znači da je viskozitet filtrata konstantna veličina. Ova pretpostavka je veoma realna jer se temperatura filtrata malo menja tokom filtracije. Uz navedene pretpostavke jednačina (II.3.14), nakon integracije ima oblik: V2 A 2 ∆P + VVe = τ 2 µαγ

(II.3.15)

Ako se i leva i desna strana pomnože sa 2 dobija se jednačina koja se često sreće u literaturi: V 2 + CV = Kτ

(II.3.16)

gde su C i K konstante filtracije definisane izrazima: C = 2Ve ,

a

K=

2A 2 ∆P µαγ

Jednačina (II.3.15) dovodi u vezu vreme trajanja filtracije sa zapreminom filtrata, što su bitni podaci pri proračunu i određivanju kapaciteta filtera. Za proračun filtera na industrijskom nivou, neophodno je poznavati brojne vrednosti specifičnog otpora kolača α, ekvivalentnu zapreminu filtrata Ve i otpor filtracionog medijuma Rm. Filtracioni medijum može biti filter platno, filter papir, porozna keramika, metalna mrežica i dr. Proizvođač filtracionog medijuma obično dostavlja podatke o otporu filtracionog medijuma i ekvivalentnoj zapremini filtrata. Ukoliko takvi podaci ne postoje mogu se odrediti na labaratorijskom filteru. Za svaku suspenziju koja se filtrira na laboratorijskom filteru određuje se i specifični otpor kolača. Šematski prikaz laboratorijskog filtera za određivanje karakteristika filtracije dat je na slici II.3.2. Procedura određivanja specifičnog otpora kolača α i ekvivalentne zapremine filtrata Ve, sastoji se u sledećem: - za male promene zapremine i male promene vremena koristi se metoda konačnih razlika. Kada se izraz

dV ∆V ≅ uvrsti u jednačinu(II.3.13) i tako dobijena jednačina prevede u recipročnu dτ ∆τ

vrednost dobija se jednačina: ∆τ µαγ µαγ µαγ = 2 ( V + Ve ) = 2 V + 2 Ve ∆V A ∆P A ∆P A ∆P

(II.3.17)

75

76


Slika II.3.2. Šema labaratorijskog uređaja za filtraciju

Iz jednačine (II.3.17) vidi se da je

∆τ linearna funkcija od zapremine filtrata V. ∆V

∆τ u funkciji podjednakih zapremina filtrata V se dobija ∆V linearni grafik kao što je prikazano na slici II.3.3.

Grafičkim prikazivanjem podataka

Slika II.3.3. Određivanje specifičnog otpora kolača α i ekvivalentne zapremine Ve pri

∆P=const.

76

77

7. Filtracija

Zapremine filtrata se linearno povezuju sa izračunatom odgovarajućom vrednošću

∆τ tako da se ∆V

obrazuju pravougaonici. Prava se ucrtava tako da površine iznad prave (trouglovi) budu jednake površinama trouglova nastalih ispod prave. Ali, u realnim uslovima postoje odstupanja tako da se prava konstruiše da najpribližnije zadovoljava prethodni uslov. Pošto ovako dobijena prava upravo odgovara jednačini (II.3.17), vidi se da je nagib prave tj. koeficijent pravca jednak: a = tgβ =

µαγ A 2 ∆P

(II.3.18)

a da je odsečak na ordinati: b=

µαγ Ve A 2 ∆P

(II.3.19)

Na osnovu eksperimentalno dobijenih vrednosti i poznatih veličina iz jednačine (II.3.17) moguće je odrediti brojnu vrednost α, a iz odsečka na ordinati može se odrediti Ve. Do podataka za vrednost α i Ve može se doći ako se podaci

∆τ i V prikažu nekim softverom na računaru u obliku linearnog ∆V

grafika i fitovanjem odrede nagib i odsečak.

II.3.4. Filtracija pri konstantnoj brzini filtracije Drugi način je filtracija koja se izvodi pri konstantnoj brzini, odnosno protoku, dV = const. To dτ

podrazumeva da se pogonska sila filtracije ∆P mora menjati sa vremenom, jer se povećava debljina kolača i povećava otpor proticanju filtrata kroz kolač. I ovde se pretpostavlja da se radi o filtraciji kroz nestišljivi kolač ( α=const). Jednačina filtracije (II.3.13), i u ovom slučaju, se transformiše tako da se dobije linearna funkcija u kojoj je ∆P zavisno od zapremine filtrata V: ∆P 1 dV = µαγ A dτ ( V + Ve ) A odnosno: ∆P =

µαγ dV µαγ dV V+ 2 Ve 2 A dτ A dτ

(II.3.20)

Jednačina (II.3.20) je linearna funkcija u koordinatnom sistemu ∆P – V. Filtracija se izvodi tako što se povećava pritisak sa vremenom sa ciljem da se u jednakim vremenskim intervalima ∆τ dobiju jednake količine filtrata ∆V. 77

78


Eksperimentalne vrednosti porasta ∆P u zavisnosti od zapremine filtrata unose se u dijagram, kao na slici II.3.4., pri čemu se dobija prava sa nagibom: a = tgβ =

µαγ dV A 2 dτ

(II.3.21)

Iz jednačine (II.3.21) moguće je dobiti brojnu vrednost specifičnog otpora kolača α. Ekvivalentna zapremina filtrata se određuje iz odsečka na ordinati: b=

µαγ dV Ve A 2 dτ

(II.3.22)

Slika II.3.4. Određivanje specifičnog otpora kolača α i ekvivalentne zapremine Ve pri dV

dτ

= const.

II.3.5. Eksperimentalno određivanje parametara filtracije Aparatura se sastoji od rezervoara sa mehaničkom mešalicom, laboratorijske filter-prese, menzure i štoperice. Šematski prikaz ove aparature dat je na slici II.3.5.

Slika II.3.5. Šema laboratorijske aparature: 1 - filter presa, 2 – sud za pripremu suspenzije, 3 – mehanička mešalica, 4 – graduisani prijemnik filtrata

78

79

7. Filtracija

Laboratorijska filter-presa ima devet ramova od pleksi stakla koji su obeleženi brojevima. Prilikom formiranja aparature ramovi se ređaju po brojevima a između svakog rama postavlja se filter platno. Ram sa brojem jedan stavlja se sa bočne strane od ulaza suspenzije, pa filter platno, pa ram broj dva, pa opet filter platno, i tako do kraja. Presa je dobro pripremljena kada se otvori na filter platnima i ramovima poklapaju. Za eksperimente se koristi suspenzija odgovarajuće zapremine (Vu=5dm3) sa zadatim masenim udelom čvrste faze (ačf, na primer 2%, 3% ili 4%). Na osnovu ovih podataka izračunava se potrebna masa čvrste faze (mčf): m čf = a čf ⋅ Vu ⋅ρs

(II.3.23)

Gustina suspenzije (ρs) izračunava se koristeći gustine čvrste faze i vode iz izraza: 100 a čf 100 − a čf = + ρs ρčf ρH 2O

(II.3.24)

Suspenzija za filtraciju se priprema tako što se prvo izmeri masa čvrste faze (mčf) i prenese u sud sa mehaničkom mešalicom. Zatim se doda voda do potrebne zapremine i onda se uključi mešalica. Kada se suspenzija ujednači, uključi se hronometar i istovremeno se otvare svi ventili na filter presi. Meri se zapremina filtrata (V) u menzuri i prati se vreme (τ) za koje se dobije odredjena zapremina (naprimer, meri se vreme koje protekne pri dobijanju svakih 100 ml filtrata). Obrada eksperimentalnih rezultata

Rezultati dobijeni iz ovog eksperimenta se unose u drugu i treću kolonu tabele (II.3.1). U četvrtoj koloni su date razlike zapremina između dva uzastopna merenja. ∆V = Vi − Vi −1

(II.3.25)

Peta kolona predstavlja razlike vremena između dva uzastopna merenja : ∆τ = τ i − τ i −1

(II.3.26)

U šestoj koloni su izračunate vrednosti ∆τ/∆V. Ovi rezultati se dalje predstavljaju grafički. Naime opšta jednačina filtracije koja ima oblik hiperbole prevodi se u linearnu funkciju recipročne vrednosti brzine od zapremine filtrata:

∆τ µ⋅α⋅γ µ⋅α⋅γ = 2 ⋅V + 2 ⋅ Ve ∆V A ⋅ ∆PT A ⋅ ∆PT

(II.3.27)

Rezultate prikazati grafički tako što na apscisu se nanose vrednosti zapremine prikupljenog filtrata

[ ]

V dm3 ,

a

na

ordinatu

odgovarajuće

recipročne

vrednosti

brzine

filtracije

∆τ ∆V u s dm3  . Zatim, odrediti nagib prave (videti sliku II.3.3.) Iz nagiba prave (tgβ) odrediti specifični otpor kolača iz izraza:

79

80


α=

tgβ ⋅ A 2 ⋅ ∆P µ ⋅γ

(II.3.28)

Odsečak na ordinati daje konstantu filtracije b (jednačina II.3.19) iz koje se određuje ekvivalentna zapremina filtrata Ve: Ve =

b a

(II.3.29)

Tabela II.3.1.Obrada eksperimentalnih rezultata

V NO

1. 2. 3. . . .

 dm3 

τ

[s ]

∆V

∆τ

 dm  3

/

[s ]

/

∆τ ∆V s dm  3

a = tgβ =

µ ⋅α⋅γ A 2 ⋅ ∆P

b=

µ ⋅α⋅ γ ⋅ Ve A 2 ⋅ ∆PT

Ve =

b a

/

80

7. Filtracija

81


81

82


II.4. FLUIDIZACIJA Fluidizacija podrazumeva prelaz sloja disperznog materijala u pseudohomogenu fazu, pod uticajem agensa za fluidizaciju (gas ili tečna faza). Kada fluid struji kroz kolonu odozdo naviše kroz sloj čvrstih čestica, dolazi do širenja takvog sloja tj. do fluidizacije. Sa povećanjem rastojanja između čestica povećava se poroznost sloja, a pad pritiska u sloju počinje da opada. Ovakav sloj, čije su čestice u haotičnom kretanju, dobija osobine fluida, tj. zauzima oblik suda u kome se nalazi. Takođe, takav sloj ima definisanu gornju površinu i može da teče kao tečnost. Zato se sloj čestica koje se nalaze u ovakvom stanju naziva fluidizovani sloj, a sam fenomen fluidizacija.

II.4.1. Mehanizam fluidizacije i pad pritiska u sloju Na slici II.4.1. prikazana je kolona sa slojem čvrstih čestica i nosačem sloja. Nosač sloja je obično mrežica koja je ujedno i raspodeljivač fluida. Na diferencijalnom U – manometru, koji je prikazan na slici II.4.1., može se pratiti promena pada pritiska u sloju za različite brzine strujanja fluida. Ako se brzina fluida izrazi preko Rejnoldsovog broja, onda se grafički može predstaviti logaritamska promena pada pritiska u funkciji logRep, kao na slici II.4.2.

Slika II.4.1. Kolona sa slojem čvrstih čestica

Slika II.4.2. Zavisnost log(∆P) od logRe

83

8. Fluidizacija

U pravolinijskom intervalu AB (Slika II.4.2.) pad pritiska u sloju ponaša se u skladu sa Ergunovom jednačinom i odgovara padu pritiska kroz sloj nepokretnih čestica. U tački B sloj je još uvek nepokretan, ali brzina fluida odgovara padu pritiska kroz sloj koji je približno jednak sili gravitacije po jedinici površine poprečnog preseka uzimajući u obzir i silu potiska. To znači da za stanje čestica koje odgovara tački B približno postoji ravnoteža sila koje deluju na čestice (Slika II.4.3.).

Slika II.4.3. Sile koje deluju na česticu u fluidizovanom sloju Ukupna sila otpora FD jednaka je razlici između sile gravitacije Fg i sile potiska Fp:

FD = Fg − Fp

(II.4.1)

FD = (ρp − ρf )AHg(1 − ε)

(II.4.2)

ili:

gde su: A – površina poprečnog preseka fluidizovanog sloja; H – visina fluidizovanog sloja. Sa druge strane se sila otpora FD može izraziti preko pada pritiska u sloju (−∆P) : FD = (−∆P) ⋅ A

(II.4.3)

Izjednačavanje desnih strana jednačina (II.4.3) i (II.4.2), daje: (−∆P) ⋅ A = (ρp − ρf )AHg(1 − ε)

(II.4.4)

−∆P = (ρp − ρf )g(1 − ε) H

(II.4.5)

ili:

84

S. Šerbula, V. Stanković Praktikum… Jednačina (II.4.5) predstavlja izraz za izračunavanje pada pritiska po jedinici visine fluidizovanog sloja. Pad pritiska kroz miran sloj disperznog materijala određuje se Ergunovom jednačinom (II.4.6): −∆P (1 − ε) 2 µu (1 − ε)ρu 2 = 150 + 1, 75 ε3d 2p ε 3d p H

(II.4.6)

koja sa jednačinom (II.4.5) daje: 150

ρu 2 (1 − ε)µu + = (ρp − ρf )g 1, 75 ε3d 2p ε 3d p

(II.4.7)

Brzina fluida u pod uslovima ravnoteže predstavlja minimalnu brzinu fluidizacije (umf) - tačka B na slici II.4.2. Iz jednačine (II.4.7) može se izračunati umf, za poznatu poroznost sloja ε= εmf, i za poznate dimenzije čestica. Za interval BC, na slici II.4.2., karakterističan je usporeni porast veličine (−∆P) sa povećanjem Rejnoldsovog kriterijuma. U oblasti BC sloj je nestabilan, pošto sve veći broj čestica osciluje oko svojih ravnotežnih položaja postepeno zauzimajući takav položaj u kome je najmanji otpor strujanju fluida. U tački C sve čestice pružaju najmanji mogući otpor fluidu koji protiče, i ovo stanje naziva se tačkom fluidizacije.

Dalje povećanje brzine dovodi do postepenog međusobnog odvajanja čestica. Ovaj proces međusobnog udaljavanja čestica odvija se tokom celog intervala CD, tako da je u sloju sve veći udeo čestica koje nisu u međusobnom kontaktu. U tački D ovaj proces je završen i sve čestice su u pokretu. Za interval CD je karakteristično opadanje (−∆P) sa porastom brzine fluida. Od tačke D pa nadalje, porast brzine fluida dovodi do neznatnog povećanja veličine (−∆P) , iako visina sloja raste. U intervalu DE čestice se kreću haotično. Kada je lokalna brzina pojedinih čestica veća od brzine fluida onda te čestice odlaze iz fluidizovanog sloja, ali se u sloj ponovo i vraćaju. Počev od stanja D do E sve više raste udeo čestica koje odlaze iz sloja i ponovo se u njega vraćaju. U ovom intervalu, zbog porasta brzine fluida, visina sloja H znatno raste. U tački E sve čestice lebde u fluidu tako da u intervalu DE poroznost teži jedinici. Brzina fluida koja odgovara tački E naziva se brzinom odnošenja (uo). Imajući u vidu da vrednost poroznosti sloja u blizini tačke E teži jedinici, odnosno da su

čestice veoma razmaknute, kretanje čestica se može smatrati slobodnim. Pošto se i ovde radi o relativnom kretanju fluida u odnosu na česticu, slično kao kod slobodnog taloženja ili kod kretanja fluida preko površine potopljenog tela, to se za određivanje brzine odnošenja koriste isti izrazi koji se upotrebljavaju i za određivanje brzine slobodnog taloženja.

85

8. Fluidizacija

II.4.2. Poroznost fluidizovanog sloja Na slici II.4.4 data je logaritmaska zavisnost poroznosti od brzine fluida. Horizontalna pravolinijska zavisnost log ε - log u data linijom MN odnosi se na proticanje fluida kroz miran sloj. U ovoj oblasti poroznost ostaje nepromenjena. Brzina fluida koja odgovara tački N je minimalna brzina fluidizacije umf. Počev od tačke N, logaritam poroznosti sloja pravoliniinijski raste sa porastom logaritma brzine fluida, da bi u tački P dostigla vrednost ε = 1. Brzina fluida u tom trenutku predstavlja brzinu odnošenja tako da pojava fluidizacije prelazi u tzv. pneumatski ili hidraulički transport čestica.

Slika II.4.4. Promena poroznosti sloja od brzine fluida

Često postoji potreba da se odredi poroznost fluidizovanog sloja pri bilo kojoj brzini između umf i uo. Ukoliko se fluidizacija izvodi u koloni konstantnog prečnika i ukoliko je poznata poroznost pri bilo kojim uslovima ( napr. poroznost mirnog sloja εmf) onda se tražena poroznost ε može odretiti preko izraza: ε = 1−

H mf (1 − ε mf ) H

gde su: Hmf - visina mirnog sloja poznate poroznosti εmf; H - visina sloja čija se poroznost traži. Visine Hmf i H se obično određuju direktnim merenjem.

(II.4.8)

86


II.4.3. Tipovi fluidizacije Pri odvijanju fluidizacije uočena su dva osnovna tipa ovog fenomena – partikulativrna i agregativna fluidizacija. Koji će tip fluidizacije biti zastupljen u nekom konkretnom slučaju zavisi od granulometrijskog sastava, dimenzije čestica i od odnosa fizičkih parametara čestica i fluida. Naime, ukoliko se gustine čestica i fluida mnogo ne razlikuju i ako se radi o malim česticama, potrebna brzina fluida za fluidizaciju je relativno mala, pa dolazi do partikulativne fluidizacije, za koju je karakteristično individualno kretanje čestica u sloju. Najčešče dolazi do partikulativne fluidizacije u sistemima čestice - tečnost. Ako se fluidizacija izvodi gasom, odnosno, ako je razlika u gustinama gasa i čvrstih čestica velika i ako su čestice velike, brzina fluida mora da bude relativno velika. U tom slučaju fluid prolazi kroz sloj najvećim delom u obliku mehurova koji prskaju kad stignu do površine sloja. U samom sloju čestice se kreću u obliku agregata koji se potiskuju mehurovima gasa naviše ili ka zidovima kolone propuštajući "mehurove" fluida kroz sloj. Pod ovakvim uslovima se odvija agregativna fluidizacija. Jedan od kriterijuma na osnovu koga se može odrediti da li se radi o partikulativnoj ili agregativnoj fluidizaciji predstavlja vrednost Frudovog kriterijuma (Froude) u tački fluidizacije (tačka C na slici II.4.2.). Uopšte Frudov kriterijum predstavlja odnos kinetičke i gravitacione energije i dat je izrazom: Fr =

u2 dp ⋅ g

(II.4.9)

Ukoliko je ovako izračunati kriterijum Fr > 1 radi se o agregativnoj fluidizaciji, a ako je Fr < 1 u pitanju je partikulativni tip fluidizacije.

II.4.4. Eksperimentalno određivanje parametara fluidizacije Šematski prikaz aparature za izvođenje vežbe dat je na slici II.4.5. Aparatura se sastoji iz rezervoara (1), centrifugalne pumpe (2), rotametra (3), kolone sa slojem čestica (4), diferencijalnog manometra (5) i slavina za regulisanje protoka (6,7). Kolona sa slojem disperznog materijala izrađena je od pleksi-stakla i kvadratnog je poprečnog preseka. U kolonu je ugrađen raspodeljivač tečnosti koji je ujedno i nosač sloja. Raspodeljivač treba da obezbedi ravnomernu distribuciju tečnosti po celom poprečnom preseku. Neposredno ispod raspodeljivača nalazi se merno mesto za koje je spojen jedan krak diferencijalnog U-manometra. Drugi krak manometra

87

8. Fluidizacija

je spojen sa mernim mestom koje se nalazi iznad sloja. Razlika pritisaka izmerena na U-manometru predstavlja pad pritiska usled otpora proticanju fluida. Kao sloj disperznog materijala koriste se staklene čestice sfernog oblika. Prečnik čestica je 1mm. Zapremina čestica u sloju je konstantna. Kao medijum za fluidizaciju koristi se voda. Na vrhu kolone nalazi se preliv preko koga se voda vraća nazad u rezervoar (1).

Slika II.4.5. Šematski prikaz aparature za fluidizaciju

II.4.4.1 Određivanje pada pritiska u raspodeljivaču fluida Pad pritiska registruje se diferencijalnim U-manometrom koji je napunjen manometarskom tečnošću. Ako u koloni struji voda, manometarska tečnost može da bude druga tečnost koja se ne meša sa vodom, a koja ima veću gustinu od vode (ugljen-tetrahlorid ili živa). Ukupni pad pritiska izmeren u koloni predstavlja sumu pada pritiska u raspodeljivaču ( ∆Pr ) fluida i padu pritiska u samom sloju ( ∆Psl ): ∆P=∆Psl + ∆Pr

(II.4.10)

88

S. Šerbula, V. Stanković Praktikum… Raspodeljivač fluida predstavlja svojevrsni mesni otpor koji se može predstaviti izrazom: u 2ρ ∆Pr = ξ r 2

(II.4.11)

Za određivanje pada pritiska u raspodeljivaču koristi se kolona bez sloja čestica. Pri otvorenoj slavini (6), a zatvorenoj (7) uključi se pumpa (2). Nivoi tečnosti u U-manometru treba da budu jednaki nuli. Postepenim otvaranjem slavine (7), čigra u rotametru se podiže na visinu koja odgovara datom protoku (Hrot). Istovremeno se uspostavlja odgovarajuća razlika nivoa u U-manometru (∆h). Daljim otvaranjem slavine (7), povećava se protok fluida, pri čemu se i pad pritiska na U-manometru povećava. Protok tečnosti se povećava koliko dozvoljavaju mogućnosti pumpe, a to znači do one maksimalne vrednosti koja se dobija kada je slavina (6) zatvorena, a slavina (7) potpuno otvorena. Svakoj vrednosti visine čigre rotometra odgovara jedna vrednost razlike nivoa na U-manometru. Očitane vrednosti visine čigre i razlike nivoa manometarske tečnosti predstavljaju se tabelarno, kako što je to prikazano u tabeli II.4.1. Kada se dobije dovoljan broj parova vrednosti za Hrot i ∆h, otvara se potpuno slavina (6) i zatvara slavina (7). Ovim je završen eksperimentalni deo koji se odnosio na određivanje pada pritiska u raspodeljivaču fluida. Tabela II.4.1. Podaci za izračunavanje srednje vrednosti pada pritiska raspodeljivača fluida

No

∆h m

H rot

Q

[mm]

[cm]

[m3/s]

u [m/s]

∆Pr =∆h m ( ρ m -ρ ) g

[ Pa ]

ξr =

2∆Pr u 2ρ

∆Prsr =

∆Pr n

Koriščenjem visine čigre u rotametru (Hrot) određuje se protok vode (Q) sa baždarne krive date na slici II.4.6., za dva tipa rotometara.

89

8. Fluidizacija Iz protoka vode izračunava se brzina vode: u=

Q A

(II.4.12)

gde je: A – površina poprečnog preseka kolone. Izračunati podaci se unose u odgovarajuću kolonu u Tabeli II.4.1. U tabeli II.4.1. ρm - predstavlja gustinu manometarske tečnosti, ρ - gustinu fluida za fluidizaciju (u ovom eksperimentu fluid za fluidizaciju je voda gustine 1000kg/m3), g - gravitaciono ubrzanje, a n - je broj merenja. Na bazi toga izračunati pad pritiska u raspodeljivaču tečnosti (∆Pr), koeficijent mesnog otpora raspodeljivača ( ξ r ) i srednji pad pritiska u raspodeljivaču tečnosti ( ∆Psr ) i podatke uneti u tabelu. Promenu pada pritiska raspodeljivača ∆Pr, za različite brzine fluida prikazati grafički kao na slici II.4.7., kriva (a).

Slika II.4.6. Zavisnost protoka tečnosti od visine čigre u rotametru za dva tipa rotametra

90


Slika II.4.7. Promena pada pritiska sa brzinom fluida u koloni

II.4.4.2 Određivanje pada pritiska u sloju Na osnovu eksperimentalnih rezultata odrediće se promena pada pritiska u sloju i promena poroznosti u funkciji brzine fluida, a takođe, odrediće se minimalna brzina fluidizacije kao i brzina odnošenja čestica. Nakon izračunavanja otpora raspodeljivača fluida određuje se ukupan pad pritiska u koloni. Prvo se izmeri zapremina staklenih čestica u laboratorijskoj čaši. Staklene čestice koje su približno istog prečnika sipaju se u kolonu. Kroz sloj čestica propušta se tečnost postepenim otvaranjem slavine (7)(Slika II.4.5). Vizuelno se prati protok tečnosti kroz miran sloj čestica (čestice su nepokretne). Beleži se visina čigre u rotametru (Hrot) za različite protoke tečnosti (Q) i razlika nivoa tečnosti u diferencijalnom U-manometru (∆h). Kada se primete prve promene u sloju koje se odnose na kretanje čestica u sloju, kažemo da sloj dobija osobine fluida i da prelazi iz mirnog u fluidizovani sloj. Brzina minimalne fluidizacije određuje se iz visine čigre u rotometru. Daljim povećanjem protoka prati se ekspanzija sloja (visina sloja H), pri čemu se registruju kvalitativne promene u sloju i u kretanju čestica. Protok tečnosti se sme toliko povećavati sve dok visina sloja ne dođe do nivoa preliva tečnosti u koloni, ali nikako ne sme da dođe do odnošenja čestica iz kolone. Ako bi staklene čestice dospele u pumpu uništile bi celu aparaturu. Nakon završenog eksperimenta, slavina (6) se otvori, a slavina (7) lagano zatvara dok se sloj ne prevede iz fluidizovanog u mirno stanje. Posle ovoga slavina (7) se

91

8. Fluidizacija

zatvara lagano dok čigra na rotometru ne dođe u svoje ležište, a nivoi tečnosti u diferencijalnom manometru se izjednače. Onda se isključuje pumpa iz električnog napajanja. Eksperimentalni rezultati se unose u tabelu II.4.2., u kojoj se, pored direktno merenih, unose i izračunate vrednosti.

Obrada eksperimentalnih rezultata

Na osnovu eksperimentalnih rezultata za Hrot i ∆hm određuje se vrednost protoka (Q) iz baždarne krive rotametra, kao i brzina fluida(u) (ovo je opisano pri određivanju otpora raspodeljivača fluida). Ukupni pad pritiska (∆P) se određuje iz izraza: ∆P =∆h m ( ρ m -ρ ) g

(II.4.13)

Dobijene vrednosti unose se u tabelu II.4.2. Na slici II.4.7. ucrta se kriva promene ∆P sa brzinom, kriva (b). Iz jednačine (II.4.10.) izračunava pad pritiska u sloju: ∆Psl =∆P-∆Pr

(II.4.14)

Dobijene vrednosti za pad pritiska u sloju unose se u tabelu II.4.2. Nakon toga izračunavaju se logaritmi brzine fluida(logu) i pada pritiska u sloju (log∆Psl) i prikaže se grafički njihova funkcionalna veza, kao što je ro prikazano na slici II.4.8. Sa tog grafika se određuje i minimalna brzina fluidizacije (umf).

Slika II.4.8. Logaritamska zavisnost pada pritiska od logaritma brzine fluida

92


Tabela II.4.2. Eksperimentalni rezultati karakteristika fluidizovanog sloja

No

∆hm

Hrot

Q

u

∆Psl

umf

logu

log∆Psl

H

ε

10ε

log10ε

n

U određenu menzuru se sipa izvesna zapremina staklenih kuglica (Vsl) od kojih će biti formiran miran sloj ( naprimer 100 ml). U drugu menzuru se sipa voda čija zapremina je jednaka zapremini sloja staklenih kuglica ( VH2O ), a zatim se lagano ta voda presipa u menzuru sa staklenim kuglicama. Voda se sipa do vrha sloja staklenih kuglica i zabeleži zapremina zaostale vode ( VH' 2O ) u menzuri. Poroznost mirnog sloja (εmf) se određuje iz izraza: ε mf =

∆V Vsl

pri čemu je ∆V = VH2O − V 'H2O

Na osnovu eksperimentalno dobijenih vrednosti o ekspanziji sloja (H), kao i na osnovu vrednosti poroznosti mirnog sloja(εmf) i visine mirnog sloja (Hmf), saglasno jednačini (II.4.8) određuju se vrednosti poroznosti sa promenom brzine fluida (u). U tabelu II.4.2. uneti računski dobijene vrednosti poroznosti ε iz jednačine (II.4.8.). U sledeću kolonu unose se desetostruke vrednosti poroznosti, a u narednu logaritamske vrednosti prethodne kolone (log10ε). Formirati grafik log10εlogu kao na slici II.4.9. U oblasti mirnog sloja poroznost je konstantna i jednaka poroznosti log10εmf. Od ove vrednosti postoji linearna zavisnost log10ε od logu. Presek ove linearne zavisnosti (log10εlogu) i linije konstantne vrednosti log10εo=1 daje vrednost logaritma brzine odnošenja čestica (loguo). S obzirom da eksperiment ne vodimo do brzine odnošenja uo, to ovu vrednost dobijamo antilogaritmovanjem vrednosti sa grafika (loguo).

93

8. Fluidizacija

Slika II.4.9. Eksperimentalno određena logaritamska zavisnost poroznosti od brzine fluida

Richardson i Zaki su dali funkcionalnu zavisnost brzine fluida, poroznosti i brzine odnošenja čestica u obliku: u = εn uo

(II.4.13)

gde je: n – eksponent koji ima složenu prirodu jer zavisi od simpleksa geometrije čestice i aparata za fluidizaciju ( d D ) kao i Rejnoldsovog kriterijuma za taloženje. Logaritam leve i desne strane jednačine (II.4.14.), daje: log ε =

1 1 log u − log u o n n

(II.4.14)

Ovaj izraz omogućuje da se iz tangensa ugla odredi eksponent n u jednačini (II.4.14) za zadate eksperimentalne uslove.

94




8. Fluidizacija



95

96

Opšta literatura

OPŠTA LITERATURA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Velizar D. Stanković; Fenomeni prenosa i operacije u metalurgiji, Tehnički fakultet Bor, 1998. F. Zdanski, S. Cvijović, G. Popović, O. Vuković, S. Končar-Đurđević, A. Tasić, R. Cvijović i R. Radosavljević; Praktikum za tehnološke operacije, TMF, Beograd, 1976. R. H. Perry, D. W. Green; Perry's Chemical Enginers' Handbook; Mc Graw Hill; 1999. S.D. Cvijović, N.M. Bošković-Vragolović; Fenomeni prenosa, TMF, Beograd, 2001. N. Radošević i saradnici; Hemijsko-tehnološki priručnik; “Rad”, Beograd, 1987. D. Simonović, D. Vuković, S. Cvijović, S. Končar-Đurđević; Tehnološke operacije 1 – Mehaničke operacije; TMF Beograd, 1980. А. Г. Касаткин, Основние процеси и аппарати химическои технологии; “Химија”, Москва 1973. А.Н. Плановскиј, В.М. Рамм, С.З. Каган; Процеси и аппарати химическои технологии; “Химија”, Москва 1968. К.Ф. Павлов, П.Г. Романков, А.А. Носков; Примери и задачи по процессам и аппаратам химическои технологии, ; “Химија”, Москва 1963.

Praktikum

Recommend Documents