Introdução
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em-vindos ao Pré-Cálculo para Leigos. Este é um livro não discriminatório, de oportunidades iguais. Você é convidado a participar se or um gênio ou se (como nós) precisa de receita até para azer gelo. Não deixe o título aastar a astar você. Se chegou tão longe em matemática, de maneira alguma você é um leigo! Você Você pode estar lendo este livro por algumas razões ra zões pereitamente boas. Talvez você precise de um livro de reerência que possa realmente entender (nunca encontramos um livro de pré-cálculo de que gostássemos). Talvez Talvez seu tutor escolar tenha lhe dito que tomar aulas de pré-cálculo pré-cá lculo seria bom para seu aproveitamento na aculdade, mas você não se importa com a matéria e apenas quer ter uma boa nota. Ou, talvez você esteja apenas contemplando comprar este livro para checar se ormamos uma boa equipe (assim como você espia seu encontro às cegas antes de entrar no restaurante). Independente do motivo por você ter aberto este livro, ele vai te ajudar a navegar pelo diícil caminho que é o pré-cálculo. Você também pode estar pensando, “Quando eu vou usar précálculo?” Você Você não está sozinho. Alguns dos nossos alunos também se reerem a ele como algo inútil. Bem, rapidamente eles descobriram como estavam enganados. Os conceitos deste livro são usados em muitas aplicações do mundo real. Este livro tem somente um e único objetivo – te ensinar pré-cálculo da maneira menos dolorosa possível. Se você pensava que nunca conseguiria entender este assunto e acabaria com uma nota apenas decente na sua aula, você se importaria em nos enviar uma carta? E-mail também é bom. Adoramos ouvir as histórias de sucesso dos nossos alunos!
Sobre Este Livro Este livro não é necessariamente destinado a ser lido a partir par tir do início. Está estruturado de uma orma que você pode pular para um capítulo em particular e encontrar o que precisa (aquelas coisas que sempre queremos saber). Às vezes, podemos te dizer para olhar em outro capítulo para obter uma explicação mais aproundada, mas tentamos deixar cada capítulo independente dos outros.
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Pré-Cálculo para Leigos Todo vocabulário é matematicamente correto e claro. Tomamos Tomamos liberdades em alguns pontos deste livro para tornar a linguagem mais abordável e provável. É mais divertido assim. Pré-cálculo é seu próprio tópico especial de matemática. Veja só, alguns estados, como a Caliórnia, não possuem nenhum padrão de conjunto que os alunos precisam aprender para ocialmente dominar o pré-cálculo Como um resultado, o assunto de pré-cálculo varia entre as cidades, escolas e proessor proessores es individuais. Como não sabemos o que seu proessor quer que você absorva deste curso, abordamos quase todos os conceitos de pré-cálculo. Abordamos áreas que talvez você nunca vai usar. usar. Mas tudo bem. Apenas use este livro de acordo com suas necessidades individuais. Se você usar este livro apenas para apropriadamente abrir uma porta ou como um destruidor de bugs, você não vai ter o que precisa. Sugerimos duas alternativas: 5
Procure apenas o que você precisa saber quando você precisar saber.. Este livro é útil para isto. Use o Índice Remissivo, a Tabela saber de Conteúdos, ou, melhor ainda, o rápido Índice encontrado na rente deste livro para encontrar o que precisa.
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Comece pelo início e leia todo o livro, capítulo por capítulo. Esta é uma boa maneira de lidar com este e ste assunto porque os tópicos, às vezes, são baseados nos anteriores. Mesmo se você or um gênio da matemática e quiser detalhar uma seção que pensa que conhece, pode acabar lembrando de algo que esqueceu. Recomendamos começar pelo início, e, lentamente, passar por todo o material. Quanto mais prática você tiver, melhor. melhor.
Convenções Usadas neste Livro Para que a leitura deste livro seja consistente e hábil, ele e le usa as seguintes convenções: 5
Termos matemáticos são escritos em itálico para indicar sua introdução e para te ajudar a encontrar suas denições.
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Variáveis também são escritas em itálico para distingui-las das letras comuns.
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O passo a passo dos problemas está sempre em negrito para te ajudar a identicá-los mais acilmente.
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O símbolo para números imaginários é um i minúsculo.
Introdução
Suposições Tolas Não podemos supor que, apenas, porque absolutamente amamos matemática, você compartilha o mesmo entusiasmo pelo assunto. Podemos supor, porém, que você abriu este livro por alguma razão: Você precisa de uma lembrança sobre o assunto, precisa aprender pela primeira vez, está tentando reaprender para a aculdade, ou precisa ajudar seu flho em casa a entender. Também podemos supor que você já oi exposto, pelo menos em parte, a muitos dos conceitos encontrados neste tópico porque pré-cálculo realmente leva geometria e conceitos de Álgebra II para o próximo nível. Também supomos que você está disposto a trabalhar. Embora pré-cálculo não seja o único objetivo dos cursos de matemática por aí, é ainda um curso de matemática de nível mais alto. Você vai ter de trabalhar um pouco, mas você sabia disto, não sabia? Também temos muita certeza de que você é uma alma aventureira e escolheu esta aula porque pré-cálculo não é necessariamente uma matéria exigida no ensino médio. Talvez porque você ama matemática como nós, ou porque não tem nada melhor para azer da vida, novamente como nós, ou porque o curso vai melhorar sua perormance na aculdade. Obviamente, você conseguiu passar por alguns conceitos bem complexos em Geometria e Álgebra II. Podemos supor que, se você chegou tão longe, vai chegar ainda mais. Nós vamos ajudar!
Como este Livro Está Organizado Este livro está dividido em quatro seções lidando com os conceitos mais requentemente ensinados e estudados em pré-cálculo.
Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco Os capítulos na Parte I começam com uma revisão do material que você já sabe de Álgebra II. Então, revisamos números reais e como operá-los. A partir daí abordamos unções, incluindo polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas, e azemos grácos delas, resolvemos e executamos operações nelas.
Parte II: Os Fundamentos da Trigonometria Os capítulos na Parte I começam com uma revisão de ângulos, triângulos retos e proporções trigonométricas. Então, criamos o glorioso círculo unitário. Gráco de unções trigonométricas pode ou não ser uma revisão, dependendo do curso de Álgebra II que você teve, então, mostramos a você como azer o gráco pai das seis unções trigonométricas básicas e explicamos como transormar estes grácos para chegar aos mais complicados.
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Pré-Cálculo para Leigos Esta parte também resolve as órmulas e identidades mais diíceis para unções trigonométricas, dividindo-as metodicamente para que você possa internalizar cada identidade e realmente entendê-las. Seguimos então para a simplicação de expressões trigonométricas e solução de uma variável desconhecida usando estas órmulas e identidades. E, nalmente, esta parte aborda como resolver triângulos que não são triângulos retos usando a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.
Parte III: Geometria Analítica e Solução de Sistema A Parte III aborda uma variedade de tópicos de pré-cálculo. Começa com o entendimento de complexos números e como realizar operações com eles. A seguir, vêm grácos de coordenadas polares e nalmente cônicas. Sistemas de equações estão nesta parte, assim como sequências e séries, e expansão binomial. Finalmente, esta par te conclui com cálculo e o estudo de limites e continuidade de unções.
Parte IV: A Parte dos Dez Depois de passar por tudo e chegar neste ponto do livro, você deve estar observando o próximo grande desao matemático: cálculo. (E se você decidir parar com o pré-cálculo, tudo bem também.) Mas antes de avançar para conceitos ainda mais complexos, você precisa azer duas coisas: pegar alguns bons hábitos matemáticos para levar para o cálculo, e destruir qualquer habito ruim que você tenha desenvolvido ao longo do caminho. Esta parte te ajuda com estas tareas. Ambas as pontas deste espectro são cruciais para o sucesso porque os problemas cam maiores, e a paciência dos proessores para erros de álgebra ca menor.
Ícones Usados neste Livro Ao longo deste livro você vai encontrar pequenos desenhos (que chamamos de ícones ) que são destinados a chamar sua atenção para algo importante ou interessante a saber. É R
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Este ícone indica as regras básicas do pré-cálculo. Elas devem ser observadas sempre para que os problemas sejam resolvidos corretamente.
Introdução TEM ÁT
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Este ícone alerta você para inormações que são úteis, mas não exigidas para obter conhecimento total do conceito nesta seção.
Amamos Dicas! Quando você vir este ícone, sabe que ele direciona para uma maneira de tornar sua vida muito mais ácil. Mais ácil é bom. Você verá este ícone quando mencionarmos uma ideia antiga que você nunca deve esquecer. Ele é usado quando queremos que você se recorde de um conceito previamente aprendido ou de um conceito de um curso de matemática inerior. Pense em Avisos como um grande sinal de pare. Sua presença alerta sobre erros comuns, ou aponta algo que pode ser uma armadilha.
Para Onde Ir Daqui Se você tem um histórico realmente rme em álgebra básica, sinta-se à vontade para pular o Capítulo 1 e ir direto para o Capítulo 2. Se você quiser relembrar, sugerimos ler o Capítulo 1. De ato, tudo no Capítulo 2 também é uma revisão, exceto notação de intervalo. Então, se você or realmente impaciente ou se or um gênio da matemática, ignore tudo até chegar à notação de intervalo no Capítulo 2. Conorme or seguindo o livro, tenha em mente que muitos conceitos em pré-cálculo são retirados de Álgebra II, então, não cometa o erro de pular completamente os capítulos, apenas porque parecem amiliares. Eles podem soar amiliares, mas, provavelmente, incluem algum material novo. Também não sentamos ao seu lado quando você aprendeu Álgebra II, logo, não podemos ter certeza do que o seu proessor abordou. Então, aqui está uma breve lista das seções que podem parecer amiliares, mas inclui conceitos novos nos quais você deve prestar atenção: 5
Tradução de unções comuns
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Solução de polinomiais
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Toda inormação trigonométrica
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Números complexos
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Matrizes
Então, para onde ir a partir daqui? Vamos direto para o pré-cálculo! Boa sorte.
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Pré-Cálculo para Leigos
Parte I
Confgure, Resolva e Faça o Gráfco A 5a Onda
Por Rich Tennant
David está usando álgebra para calcular a gorgeta. Bárbara, você se importa em ser um expoente fracional?
Nesta parte...
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m objetivo principal do pré-cálculo é trazer à tona as grandes ideias da álgebra e enatizar as habilidades mais necessárias para o cálculo. Esta parte une e expande estes conceitos de álgebra. E, talvez o mais importante, ela identifca os erros mais comuns que os alunos cometem em álgebra para que você possa resolvê-los antes de seguir adiante em conceitos de nível mais alto. Os capítulos na Parte I trazem uma revisão do trabalho com números reais, incluindo os sempre evasivos radicais. A partir daí revisamos unções – desde como azer gráco delas, até transormar seus grácos pais, e como executar operações nelas. Então seguimos para polinomiais e revisamos como resolver polinomiais usando técnicas comuns, incluindo atoração, completar o quadrado e a órmula quadrática. Também explicamos como azer gráco de complexas unções polinomiais e racionais. E, nalmente, mostramos a você como lidar com unções exponenciais e logarítmicas.
Capítulo 1
Pré-Pré-Cálculo Neste Capítulo Rerescando sua memória sobre números e variáveis X Aceitando a importância dos grácos X Preparando para pré-cálculo pegando uma calculadora gráca X
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ré-cálculo é a ponte (ou purgatório?) entre Álgebra II e cálculo. No seu escopo, você vai revisar conceitos que viu anteriormente em matemática, mas rapidamente trabalhou neles. Você verá algumas ideias novas, mas também aquelas baseadas no material visto anteriormente; a principal dierença é que os problemas cam muito mais diíceis (por exemplo, ir de sistemas para sistemas não lineares). Você continua construindo até chegar ao nal do curso, e o trabalho dobra no início do cálculo. Mas não tema! Estamos aqui para te ajudar a cruzar a ponte (sem pedágio!) Como provavelmente você já estudou álgebra, Álgebra II e geometria, supomos ao longo deste livro que há certas coisas que você já sabe como azer. (Falamos sobre elas brevemente na Introdução deste livro). Porém, apenas para garantir, revisamos cada uma delas neste capítulo com um pouco mais de detalhes antes de seguir para o pré-cálculo. A
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Se abordarmos algum tópico neste capítulo com o qual você não é amiliar, não lembra como az ou não se sente conortável em azer, sugerimos que pegue outro livro de matemática Para Leigos e comece daí. Não se sinta um racasso em matemática se precisar azer isto. Mesmo os prossionais precisam pesquisar estas coisas de vez em quando. Estes livros podem ser como enciclopédias ou a Internet – se você não conhece o material, pesquise e comece daí.
Pré-Cálculo: Uma Descrição Geral Você não adora prévias de lmes e trailers? Algumas pessoas chegam cedo ao cinema apenas para ver o que está por vir no uturo. Bem, considere esta seção um trailer que você vê meses antes de o lme Pré-Cálculo para Leigos sair! (Quem será que vai azer nosso papel no cinema?) Na lista a seguir, apresentamos algum material que
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco você aprendeu anteriormente em matemática, e então damos alguns exemplos de para onde o pré-cálculo vai te levar a seguir: 5
Álgebra I e II: Lidar com números reais e resolver equações e desigualdades. Pré-cálculo: Expressar desigualdades de uma nova maneira chamada notação de intervalo. Antes, suas soluções para desigualdades eram dadas como notação de conjunto. Por exemplo, uma solução pode ser x > 4. Em pré-cálculo, você expressa esta solução como um intervalo: (4, ). (Veja mais no Capítulo 2). ∞
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Geometria : Resolver triângulos retos, onde todos os lados são positivos. Pré-cálculo: Resolver triângulos não-retos, onde os lados não são necessariamente sempre positivos. Você aprendeu que um comprimento nunca pode ser negativo. Bem, em pré-cálculo você usa números negativos para lados de triângulos para mostrar onde estes triângulos cam no plano coordenado (podem estar em qualquer lugar dos quatro quadrantes).
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Geometria/trigonometria: Usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo. Pré-cálculo: Organizar as inormações em um pacote correto conhecido como círculo unitário (veja a Parte II). Neste livro, damos a você um atalho para encontrar os lados dos triângulos, que é um atalho ainda mais curto para encontrar os valores trigonométricos para os ângulos nestes triângulos.
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Álgebra I e II: Fazer gráco de equações em um plano coordenado. Pré-cálculo: Fazer gráco de uma maneira totalmente nova, com o sistema de coordenada polar (veja o Capítulo 11). Diga adeus aos bons e velhos tempos de gráco no plano Cartesiano. Você tem uma nova maneira de azer gráco, e ela envolve andar em círculos. Não estamos tentando te enlouquecer; na verdade, coordenadas polares podem te trazer ótimas guras.
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Álgebra II: Lidar com números imaginários. Pré-cálculo: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos ca chato quando os números complexos estão em ormato retangular (A + Bi ). Em pré-cálculo, você vai se amiliarizar com algo novo chamado de forma polar e vai usar isto para encontrar soluções de equações que você nem sabia que existiam.
Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo
Todos os Fundamentos dos Números (Não, não é como contá-los!) Ao entrar em pré-cálculo, você deve estar conortável com conjuntos de números (naturais, inteiros, racionais, e assim por diante). Neste ponto da sua carreira matemática, você também deve saber como realizar operações com números. Revisamos rapidamente estes conceitos nesta seção. Também, certas propriedades são verdadeiras para todos os conjuntos de números; alguns proessores de matemática podem querer que você as conheça por nome, então revisamos nesta seção também:
A variedade de tipos de números: Termos para conhecer Matemáticos estúpidos adoram dar nomes às coisas; az com que eles se sintam especiais. Neste espírito, matemáticos anexaram nomes a muitos conjuntos de números para separá-los e orticar seus lugares nas cabeças dos alunos para sempre: 5
O conjunto de números naturais ou contáveis: {1, 2, 3...}. Note que o conjunto de números naturais não inclui 0.
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O conjunto de números inteiros: {0, 1, 2, 3...}. O conjunto de números inteiros, porém, inclui o número 0.
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O conjunto de integrais: {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. O conjunto de integrais inclui positivos, negativos e 0. Lidar com integrais é como lidar com dinheiro: Pense nos positivos como tendo dinheiro e nos negativos como não tendo. Isto é importante quando operamos em números (veja a próxima seção).
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O conjunto de números racionais, que são os números que podem ser expressos como uma ração onde o numerador e o denominador são ambos integrais. A palavra racional vem da ideia de uma proporção (ração ou divisão) de dois integrais. Exemplos de números racionais incluem (mas de orma alguma são limitados a) ⅕, ⁄ e 0.23. Se você analisar qualquer número racional em ormato decimal, vai perceber que o decimal para ou se repete. –7
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Somar ou subtrair rações se trata de encontrar um denominador comum, e raízes devem ser como termos para ser possível somá-las e subtraí-las.
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco
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O conjunto de números irracionais, que são todos os números que não podem ser expressos como rações. Exemplos de números irracionais incluem 2, 21 e π.
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O conjunto de todos os números reais, que engloba todos os conjuntos de números previamente discutidos. Para exemplos de um número real, pense em um número... qualquer número. Seja qual or, é real. Qualquer número das listas anteriores serve como um exemplo. Os números que não são reais são imaginários. Como atendentes de telemarketing e anúncios pop-up da Internet, números reais estão em todo lugar; você não pode ugir deles – nem mesmo no pré-cálculo. Por quê? Porque eles incluem todos os números, exceto os seguintes: • Uma ração com um zero como denominador: Tais números não existem. • A raiz quadrada de um número negativo: Estes números são chamados de números complexos (veja o Capítulo 11). • Innito: Innito é um conceito, não um número real.
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O conjunto de números imaginários, que são raízes quadradas de números negativos. Números imaginários possuem uma unidade imaginária, como i, 4i, e –2i. Números imaginários antigamente eram números ctícios, mas matemáticos logo perceberam que estes números surgiam no mundo real. Ainda os chamamos de imaginários porque eles são raízes quadradas de números negativos, mas eles realmente existem. A unidade imaginária é denida como i = −1. (Para mais inormações sobre estes números, vá para o Capítulo 11).
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O conjunto de números complexos, que são a soma e dierença de um número real e um número imaginário. Números complexos aparecem como estes exemplos: 3 +2i, , e 4 – 2 ⁄ 3i. Porém, eles também cobrem todas as listas anteriores, incluindo os números reais (3 é a mesma coisa que 3 + 0i ) e os números imaginários (2 i é a mesma coisa que 0 + 2i ). O conjunto de números complexos é o conjunto mais completo de números no vocabulário matemático, porque ele inclui números reais (qualquer número que você puder imaginar), números imaginários ( i ), ou qualquer combinação dos dois.
As operações undamentais que você pode realizar em números De positivos a negativos até rações, decimais e raízes quadradas, você deve saber como realizar todas as operações básicas em todos os números reais. Isto signica somar, subtrair, multiplicar, dividir, extrair o expoente e a raiz quadrada de números. A ordem de operações é a orma como você executa estas operações.
Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo A
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O artiício mnemônico mais requentemente usado para lembrar a ordem é PEMDAS, que signica:
1. Parênteses (e outros símbolos de agrupamento) 2. Expoentes 3. Multiplicação e Divisão, qual or o primeiro, da esquerda para a direita 4. Adição e Subtração, qual or o primeiro, da esquerda para a direita E-S E B R
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Um tipo de operação que a maioria dos seus alunos negligencia ou esquece de incluir na lista anterior: o valor absoluto. Valor absoluto é a distância de 0 na linha de número. Valor absoluto deveria ser incluído com o passo dos parênteses, porque você tem de considerar primeiro o que está dentro das barras de valor absoluto (porque as barras são um símbolo de agrupamento). Não esqueça que valor absoluto é sempre positivo. Ei, mesmo se você estiver andando para trás, ainda assim está andando!
As propriedades dos números: Verdades a serem lembradas É importante lembrar as propriedades dos números porque você vai usá-las consistentemente em pré-cálculo. Porém, requentemente você não as verá usadas pelo nome em pré-cálculo, mas é assumido que você saiba quando precisa utilizá-las. A lista a seguir mostra as propriedades dos números: 5
Propriedade refexiva : a = a. Por exemplo, 10=10.
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Propriedade simétrica : Se a = b, então b = a. Por exemplo, se 5 + 3 = 8, então 8 = 5 + 3.
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Propriedade transitiva : Se a = b e b = c, então a = c. Por exemplo, se 5 + 3 = 8 e 8 = 4 · 2, então 5 + 3 = 4 · 2.
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Propriedade comutativa de adição: a + b = b + a. Por exemplo, 2 + 3 = 3 + 2.
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Propriedade comutativa de multiplicação: a · b = b . a. Por exemplo, 2 · 3 = 3 · 2.
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Propriedade associativa de adição: (a + b) + c = a + (b + c). Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
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Propriedade associativa de multiplicação: (a · b) · c = a · (b · c). Por exemplo, (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4).
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco
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Identidade Aditiva: a + 0 = a. Por exemplo, 0 + –3 = –3.
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Identidade Multiplicativa: a · 1 = a. Por exemplo, 4 ·1 = 4.
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Propriedade Inversa Aditiva: a + ( –a ) = 0. Por exemplo, 2 + –2 = 0.
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Propriedade inversa multiplicativa: a · ( 1 ⁄ a ) = 1. Por exemplo, 2 . ½ = 1.
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Propriedade distributiva: a(b + c) = a · b + a · c . Por exemplo, 10(2 + 3) = 10 · 2 + 10 · 3 = 50.
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Propriedade multiplicativa de zero: a · 0 = 0. Por exemplo,
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Propriedade de produto zero: Se a . b = 0 , a = 0 ou b = 0. Por exemplo, se x ( x + 2) = 0, então x = 0 ou x + 2 = 0.
5 . 0 = 0.
Se você estiver tentando executar uma operação que não está na lista anterior, então a operação provavelmente não está correta. Afnal, álgebra existe desde 1600 a.C., e se uma propriedade existe, alguém, provavelmente, já a descobriu. Por exemplo, pode parecer convidativo dizer que 10(2 + 3) = 10 · 2 + 3 = 23, mas está incorreto. A resposta correta é 10 · 2 + 10 · 3 =20 + 30 = 50. Saber o que você não pode azer é tão importante quanto saber o que você pode fazer.
Colocando Expressões Matemáticas em Formato Visual: Diversão com Gráfcos Grácos são ótimas erramentas visuais. Elas são usadas para exibir o que está acontecendo em problemas matemáticos, em empresas e em experimentos cientícos. Por exemplo, grácos podem ser usados para mostrar como algo (como preços do mercado imobiliário) muda com o tempo. Pesquisas podem ser eitas para obter atos ou opiniões, e os resultados delas podem ser exibidos em um gráco. Abra o jornal em qualquer dia e você pode encontrar um gráco em algum lugar.
Felizmente isto responde a pergunta de por que você precisa entender como se constroem gráfcos. Mesmo que na vida real você não ande por aí com gráfcos e papel para anotar as decisões que encontra, azer gráfco é vital em matemática e em outras partes da vida. Independente da ausência de papel para gráfco, gráfcos estão realmente em todo lugar. Por exemplo, quando um cientista sai e coleta dados ou mede coisas, ele organiza os dados como valores x e y . Tipicamente, o cientista está procurando por algum tipo de relação geral entre estes dois valores para suportar sua hipótese. Estes valores podem ser então graados em um plano de coordenada para mostrar direções em dados. Um bom cientista pode mostrar que, quanto mais você ler este livro, mais você vai entender pré-cálculo! (Outro cientista pode mostrar que pessoas com braços mais longos possuem pés maiores. Chato!).
Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo
Digerindo termos básicos e conceitos Grácos de equações são uma grande parte de pré-cálculo, e eventualmente cálculo, então queremos revisar os undamentos de gráco antes de entrarmos em grácos mais complicados e não amiliares que você verá adiante neste livro. Embora alguns dos grácos em pré-cálculo pareçam muito amiliares, alguns serão novos — e possivelmente intimidantes. Estamos aqui para amiliarizá-lo com estes grácos para que você possa estudá-los em detalhes em cálculo. Porém, as inormações neste capítulo são principalmente inormações que seu proessor de pré-cálculo ou o livro irão supor que você lembra-se de Álgebra II. Então você prestou atenção, certo? Cada ponto no plano de coordenadas no qual você constrói grácos — composto pelo eixo horizontal ou x , e vertical, ou y , criando um plano de quatro quadrantes — é chamado de par coordenado (x, y), que é requentemente reerenciado como um par de coordenadas Cartesianas. TEM ÁT
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O nome coordenadas Cartesianas vem do lósoo e matemático rancês que inventou toda esta coisa de grácos, René Descartes. Descartes trabalhou para unir álgebra e geometria Euclidiana (geometria plana), e seu trabalho infuenciou no desenvolvimento da geometria analítica, cálculo e cartograa. Uma relação é um conjunto (que signica um ou mais) de pares ordenados que podem ser graados em um plano coordenado. Cada relação é como um computador que expressa x como entrada e y como saída. Você sabe que está lidando com uma relação quando está entre chaves (como estas: { }) e tem um ou mais pontos dentro. Por exemplo, R= {(2, –1), (3, 0), (–4, 5)} é uma relação com três pares ordenados. Pense em cada ponto como (entrada, saída) assim como no computador. O domínio de uma relação é o conjunto de todos os valores de entrada do menor para o maior. O domínio do conjunto R é {–4, 2, 3}. O intervalo é o conjunto de todos os valores de saída, também do menor para o maior. O intervalo de R é {–1, 0, 5}. Se algum valor no domínio ou intervalo or repetido, você não precisa listá-lo duas vezes. Na verdade, o domínio é a variável x e o intervalo é y.
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Se variáveis dierentes aparecerem, como m e n, entrada (domínio) e saída (intervalo) geralmente vão alabeticamente, a menos que lhe digam outra coisa. Neste caso, m seria sua entrada/domínio e n seria sua saída/intervalo. Mas quando escrita como um ponto, uma relação é sempre (entrada, saída).
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco
Gráfcos de igualdades versus desigualdades Quando você entendeu como azer gráco de uma linha em um plano coordenado, você aprendeu a pegar valores domínio ( x ) e plugá-los y na equação para resolver para o intervalo ( ). E então você passou pelo processo múltiplas vezes, expressou cada par como um ponto coordenado, e conectou os pontos para ormar uma linha. Alguns matemáticos chamam isso de método plug and chug. Depois de um tempo neste trabalho tedioso, alguém disse, “Espera um pouco! Existe um atalho”. Este atalho é chamado de formato inclinação- interseção — y = mx + b. A variável m signifca a inclinação (slope) da linha (veja a próxima seção), e b signifca a interseção y (intercept – ou onde a linha cruza o eixo y ). Você pode mudar equações que não estão escritas no ormato inclinação-interseção resolvendo por y . Por exemplo, azer gráfco de 2 x – 3 y = 12 exige que você subtraia 2 x de ambos os lados primeiro para obter –3 y = –2 x + 12. Então você divide todos os termos por –3 para obter . Este gráfco inicia em –4 no eixo y ; para encontrar o próximo ponto, você move para cima dois e para a direita três (usando a inclinação). Inclinação é sempre a ração porque é inclinada — neste caso ⅔. Desigualdades são usadas para comparações, que são uma grande parte do
pré-cálculo. Elas mostram uma relação entre duas expressões (estamos alando de maior do que, menor do que ou igual a). Fazer gráfco de desigualdades começa exatamente da mesma maneira que azer gráfco de igualdades, mas, no fnal do processo de gráfco (você ainda coloca a equação no ormato inclinação-interseção e gráfco), você tem duas decisões a tomar: 5
A linha está sombreada – y – ou a linha está sólida – y ≤ ou y ≥?
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Você sombreia abaixo da linha — y < ou y ≤ — ou você sombreia acima da linha — y > ou y ≥? Simples desigualdades (como x < 3) expressam todas as respostas. Para desigualdades, você mostra todas as respostas possíveis sombreando o lado da linha que unciona na equação original.
Por exemplo, ao azer gráco de y < 2 x – 5, você segue estes passos: 1. Inicie em –5 no eixo y e marque um ponto. 2. Mova para cima dois e para a direita um para encontrar um segundo ponto. 3. Ao conectar os pontos, você produz uma linha reta que será sombreada. 4. Sombreie a metade inerior do gráco para mostrar todos os pontos possíveis na solução.
Obtendo inormações de gráfcos Depois de se acostumar com pontos de coordenada e grácos de equação de linhas no plano coordenado, típicos livros de matemática e
Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo proessores vão começar a te azer perguntas sobre os pontos e linhas que você está graando. As três coisas que serão solicitadas que você encontre são: a distância entre dois pontos, o centro do segmento conectando dois pontos e a inclinação exata de uma linha que passa entre dois pontos. Falaremos mais sobre isto nas próximas seções!
Calculando distância CÁL C U L
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Saber como calcular distância usando as inormações de um gráco é muito útil para pré-cálculo, pois nos permite revisar algumas coisas primeiro. Distância é o espaço entre dois objetos, ou dois pontos. Para encontrar a distância, d , entre dois pontos ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ) em um plano coordenado, por exemplo, use a órmula seguinte: d=
( x 2 – x 1 )2 + ( y 2 – y 1 )
Você pode usar esta equação para encontrar o comprimento do segmento entre dois pontos em um plano coordenado sempre que surgir a necessidade. Por exemplo, para encontrar a distância entre A(–6, 4) e B(2, 1), primeiro identique as partes: x 1 = –6 e y 1 = 4; x 2 = 2 e y 2 = 1. Coloque estes valores na órmula de distância: d = (2 – 6)2 + (1 – 4)2 . Isto é simplicado em 73.
Encontrando o ponto do meio CÁL C U L
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R G E R
Encontrar o ponto do meio de um segmento vai trazer à tona alguns tópicos de pré-cálculo como cônicos (Capítulo 12). Para encontrar o ponto do meio do segmento conectando dois pontos, você apenas calcula a média dos seus valores x e y e expressa a resposta como um par ordenado: M =
x 1 + x 2 y 1 + y 2 , 2 2
Você pode usar esta órmula para encontrar o centro de vários grácos em um plano coordenado, mas por enquanto você está apenas encontrando o ponto central. Você encontra o ponto do meio do segmento conectando os dois pontos AB (veja a seção anterior) usando a órmula anterior. Isto deverá te dar , ou .
Desenhando a inclinação de uma linha É R
CÁL C U L
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Quando você az o gráco de uma equação linear, a inclinação tem o seu papel. A inclinação de uma linha diz quão íngreme a linha está no plano coordenado. Quando você tem dois pontos ( x 1, y 1 ) e ( x 2, y 2 ) e precisa encontrar a inclinação da linha entre eles, usa a seguinte órmula: y 2 – y 1 m = x – x 2 1
Se você usar os mesmos dois pontos A e B das seções anteriores e anexar os valores na órmula, a inclinação é de -⅜.
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco Inclinações positivas sempre movem para cima e para a direita no plano. Inclinações negativas movem para baixo ou para a esquerda. (Note que se você moveu a inclinação para cima e para a esquerda, ela será -/- , que é na verdade positivo). Linhas horizontais possuem inclinação zero, e linhas verticais possuem inclinação indenida. CA
I D
Se algum dia se conundir com os dierentes tipos de inclinação, lembre-se do esquiador na pista de patinação: 5
5
5
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Quando está subindo o morro, está azendo muito trabalho (+ inclinação). Quando está descendo o morro, o morro está azendo o trabalho por ele (– inclinação). Quando está parado no plano, não está azendo trabalho nenhum (inclinação 0). Quando chega ao topo (a linha vertical), está morto e não pode esquiar mais (inclinação indenida)!
Obtendo um Grip em uma Calculadora Gráfca É altamente recomendado que você compre uma calculadora de gráfco para o trabalho de pré-cálculo. Desde a invenção da calculadora de gráfco, as aulas de matemática começaram a mudar seu escopo. Alguns proessores sentem que a maior parte do trabalho deveria ser eita usando a calculadora. Proessores de matemática mais conservadores, porém, não permitem nem que você use. Seu instrutor deve esclarecer suas ideias desde o primeiro dia de aula. Uma calculadora de gráfco az tantas coisas para você, e mesmo se um proessor não permitir que você use uma em um teste, você sempre pode usar uma para checar seu trabalho nas tareas de casa.
Há muitos tipos dierentes de calculadora de gráco, e seus uncionamentos internos são todos dierentes. Em relação a qual comprar, peça conselhos para alguém que já teve aulas de pré-cálculo, e então busque na Internet pelo melhor negócio.1 A
C I
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Apenas uma dica: se você encontrar alguma do modelo exato/ aproximado, vai nos agradecer mais tarde porque ela lhe dará os valores exatos (ao invés de aproximações decimais), que é o que geralmente os proessores esperam. Recomendamos que se, por acaso, você tiver permissão de usar calculadora de gráfco, ainda assim aça o trabalho à mão. E depois use a calculadora para checar seu trabalho. Desta orma, você não vai fcar dependente da tecnologia azer o trabalho por você; algum dia, você pode não ter permissão de usar uma (um teste de colocação em uma aculdade de matemática, por exemplo).
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Na nossa opinião, a TI-89 ou TI-89 Titanium é a melhor calculadora de todas, mas claro, se você souber como usá-la (nós ainda estamos aprendendo!).
Capítulo 1: Pré-Pré-Cálculo Muitos dos conceitos mais teóricos neste livro, e em pré-cálculo em geral, são perdidos quando você usa sua calculadora de gráco. Tudo o que lhe é dito é “coloque os números e obtenha a resposta”. Claro, você obtém a resposta, mas realmente sabe o que a calculadora ez para obter a resposta? Não. Para este objetivo, este livro passeia entre o uso da calculadora e azer à mão complicados e longos problemas. Mas mesmo que você esteja autorizado a usar a calculadora de gráco, use com inteligência. Se planeja seguir para cálculo depois deste curso, você precisa saber a teoria e os conceitos por trás de cada tópico.
E-S E B R
M
E
L
Não podemos nem começar a ensiná-lo como usar sua exclusiva calculadora de gráfco, mas os caras legais de Para Leigos da Wiley ornecem a você livros inteiros sobre o uso delas, dependendo do tipo que você possui. Podemos, no entanto, dar a você algumas “dicas” gerais de como usá-las. Aqui está uma lista de dicas que devem ajudar com sua calculadora de gráfco. 5
Sempre certique-se de que o modo na sua calculadora está congurado de acordo com o problema em que você está trabalhando. Procure por um botão em algum lugar na calculadora que diz “mode”. Dependendo da marca da calculadora, ela vai permitir que você altere coisas como graus ou raios, ou f(x) ou r( θ ), que discutiremos no Capítulo 11. Por exemplo, se você estiver trabalhando em graus, deve ter certeza de que a calculadora sabe disso antes de pedir a ela para resolver um problema. O mesmo unciona ao trabalhar com raios. Algumas calculadoras possuem mais de 10 tipos dierentes de modos para escolher. Cuidado!
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Tenha certeza de que pode resolver por y antes de tentar construir um gráfco. Você pode azer gráfco de qualquer coisa na sua calculadora, desde que consiga resolver por y . As calculadoras são confguradas para aceitar somente equações que oram resolvidas por y .
Equações que você tem de resolver por x geralmente não são unções verdadeiras e não são estudadas em pré-cálculo — exceto seções cônicas, e os alunos normalmente não possuem permissão de usar calculadoras de gráco para este material porque está inteiramente baseado em grácos (veja o Capítulo 12).
TEM ÁT
M A
S E
U
I C
O
S
Q U
R T
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Conheça todos os menus de atalho disponíveis para você e use quantas unções da calculadora conseguir. Tipicamente, abaixo do menu de gráfco
da sua calculadora você pode encontrar atalhos para outros conceitos matemáticos (como alterar um decimal para uma ração, encontrar raízes de números, ou inserir matrizes, e então realizar operações com elas). Cada marca de calculadora de gráfco é exclusiva, então leia o manual. Atalhos oerecem caminhos para checar suas respostas! 5
Digite uma expressão exatamente da maneira como ela aparece e a calculadora vai azer o trabalho e simplifcar a expressão. Todas as
calculadoras de gráfco azem ordem de operações para você, então você não vai precisar se preocupar com a ordem. Apenas saiba que alguns atalhos matemáticos embutidos automaticamente iniciam com parênteses.
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Parte I: Confgure, Resolva e Faça o Gráfco Por exemplo, a calculadora que usamos inicia uma raiz quadrada como (então todas as inormações que digitarmos depois disto estão automaticamente dentro do sinal de raiz quadrada até echarmos os parênteses. Por exemplo, (4 + 5) e (4) + 5 representam dois cálculos dierentes e, logo, dois valores dierentes (3 e 7, respectivamente). Algumas calculadoras inteligentes até resolvem a equação para você. Num uturo próximo, você provavelmente nem terá de assistir aulas de pré-cálculo; a calculadora vai assistir no seu lugar! Ok, agora você está pronto para pegar o voo do pré-cálculo. Boa sorte para você e curta a viagem!
