Precalculo

´ INICIACI ON ´ MATEMATICA ATICA. .

2007 Bracamonte Mirey Mireyaa Ereú Jurancy Mendoza Malón on Monsalve Abelardo Vivas Miguel

Notas del curso de Iniciaci´ on Matem´ atica Dise˜ nado para Estudiantes de Nuevo Ingreso nado del Decanato de Ciencias y Tecnolog ecnolog´ ´ıa Departamento de Matemáticas, aticas, Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. 2007

Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

2

UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7

´ INTRODUCCION

No podemos pasar por alto las deficiencias que presentan nuestros estudiantes, cuando llegan a la Universidad, tanto en conceptos elementales como en el manejo de elementos de álgebra algebra elemental. Para todos aquellos que de una u otra forma nos preocupamos por tales deficiencias, debemos debe mos ten tener er pre presen sente te que los fac factor tores es res respons ponsabl ables es de ell elloo son div divers ersos, os, sin em embar bar-on go, en miras de lograr una “uniformidad”, se ha desarrollado un curso Introducción al C´ alculo alcu lo que pretende ayudar al estudiante que va a ingresar al Decanato de Ciencias y Tecnolog ecnolog´´ıa de la Univer Universidad sidad “Centroccide “Centroccidental ntal Lisandro Alv Alvarado”, arado”, a que su desenvolvimiento senv olvimiento académico emico en su primer semestre, sea lo mejor posible, haciéndoles endoles un “recuento” de aquellas definiciones que fueron tratadas en la educación básica asica y diversificadas, que deber deber´´ıan haber generado las importantes e indispensables destreza que le permitan al estudiante la prosecución on de sus estudios. Es cierto que material de este tipo lo podemos hallar frecuentemente, sin embargo el objetivo principal al escribir estas notas es, además as de darles un material accesible para el desarrollo del curso, se pretende dejar una herramienta que el alumno pueda leer, comprender y valorar estando consciente que le ayudará a un acondicionamiento mental que le ayude a enfrentar nuevos retos. Nadie “aprende matemáticas aticas viendo a otro hacer”, por ello es importante que el estudiante reconozca la importancia que tiene el desarrollo del curso y dedique tiempo a leer, comprender, y practicar. ”Como toda obra humana est´ a al margen de la perfecci´ on “, “, por ello, se agradecen todas las cr cr´´ıtic ıticas as y suger sugerenci encias as que nos ayu ayuden den a mejo mejorar rar este material y con contribu tribuya ya al logro del objetivo inicial del curso.

3

Índice general ´ 1. Algebra . 1.1. El Conju Conjunt ntos os de los los N´ umeros Reales . . 1.2. Pro Propie piedad dades es de los los n´ umeros reales. . . . 1.3. Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Valor Absoluto y Distancia. . . . . . . . 1.5. Propiedades del Valor Absoluto. . . . . . 1.6. Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . 1.7. Leyes de los Exponentes. . . . . . . . . . 1.8. Propiedades de las Ra Ra´´ıces n-ésimas. . . . 1.9. Racion Racionalizac alizaci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . 1.10 1. 10.. Op Opeera raccio ione ness con Exp xpre ressio ion nes Al Alge gebr brai aiccas 1.10 1. 10..1. Ope Operraciones con Polinomios os.. . . . 1.10.2. Prod odu uctos Notables . . . . . . . 1.10.3. Divis Divisi´ i´ on de Polinomios. . . . . . . 1.11. Factorizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 1. 12.. Técni niccas de fac acttor oriz izac aciión on . . . . . . . . . 1.13. Completación de cuadrados . . . . . . . 1.14. Simplificaci´ on de fracciones racionales. .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Ecuaciones 2.1. Cla Clasifi sificac caci´ i´ on de las Ecuaciones. . . . . . . . . . . 2.2. Res Resolu oluci cióń de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Resol Resolvien viendo do una ecua ecuaci´ ci´ on lineal. . . . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2. 4. Ecua uaccio ione ness qu que con ondu duccen a ecuac acio ione ness lin lineeal alees . . 2.5. Ec Ecuac uacion iones es Cu Cuadr adrá´ticas . . . . . . . . . . . . . . 2.6. 2. 6. ¿Q ¿Qu ué sig signi nific ficaa que que el di disc scri rimi mina nan nte se seaa neg negat ativ ivo? o? . 2.7. 2. 7. Prob obllemas que resol olv ver con Ecuacion onees . . . . . .

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 14 20 21 23 24 26 28 37 41 43 45 51 52 56 57

. . . . . . . .

66 68 70 70 73 75 80 85 88

Cap´ıtulo 1 ´ Algebra . Est e cap Este ca p´ıt ıtulo ulo est est´á dise˜ nad o para nado par a ofrecer ofr ecer un u n breve repas r epasoo de algu a lgunos nos términos ermi nos y métodos eto dos necesarios nece sarios en la manip manipulaci ulaci´ón on matemática. atica.

1.1. 1. 1.

El Con Conjjun unto toss de de los los N´ umeros Reales umeros

Aqu´ı present p resentamo amoss una u na visi´ vi sión on acerca del conjunto de los números umeros reales, algunos subconjuntos importantes, las operaciones que en este conjunto se definen y las propiedades que éstas estas poseen. Para Pa ra ell ello, o, com comenc encem emos os rec record ordand andoo alg alguno unoss subc subconj onjun untos tos impo importa rtant ntes es de números umeros reales, quizás as en el orden en que los hemos conocido en nuestra educación formal.

El conjunto de los N´ umeros Naturales o Enteros positivos. Son todos aquellos que umeros inicia ini cialme lment ntee con conocem ocemos os y nos perm permite iten n con contar tar,, con ell ellos os apr aprend endimo imoss a rea realiz lizar ar operaciones aritméticas eticas como sumas y multiplic multiplicaci´ ación. on. Ade Adem´ m´ as de ello pod´ıamos as ıamos restar y dividir, sólo olo que con algunas restricciones. ¿Recuerdas alguna? Y generalmente escribimos:

N := 1, 2, 3, 4, 5,...

{

}

Podemos notar que este conjunto tiene un primer elemento, a saber, el uno, pero no existe un ultimo u ´ ltimo elemento, por ello decimos que que es un conjunto “Infinito”. Adem´ as, de ellos, conocemos un número as, umero que juega un papel muy importante, ¿ Recuerdas cuál al es?, exacto!, el cero, y lo conocemos como elemento neutro de la suma de números umeros naturales. 1

´ Cap´ıtulo 1. Algebra .

´ meros Reales 1.1.. El Conjun 1.1 Conjuntos tos de los los N u

En algunos casos acostumbramos a escribir:

N := 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

{

∗

}

El conjunto de N´ umeros Enteros: Este conjunto es “más umeros as grande” que el anterior, y nos permite hallar un número umero que sumado a cuatro sea igual a uno, por ejemplo. Recordemos que,

Z := ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...

{ − − −

}

Nótese o tese que todos los números umeros naturales están an en este nuevo conjunto, lo cual se expresa simbólicamente olicamente N Z.

⊆

Adem´ a s, El conjunto de los números as, umeros enteros no tiene un primer elemento ni un u ultimo ´ ltimo elemento, por lo que decimos que tambi tambi´én en es infinito.

El conjunto de N´ umeros Racionales: Si consideramos ahora dos n´ umeros umeros enteros a umeros a y b, = a b denota el resultado de dividir a entre b. b

÷

Ac´ a es importante recordar, que la división on por cero no está definida, no tiene sentido matem´ atico. atico. As´´ı, el conjunto de números As umeros racionales se define como:



p Q := : p, q q

En la expresión on

 

∈Zyq=0

p p a p se le llama numerador, q denominador y fracci´ on. on q q

Nótese: otese:

∈ Z, entonces

a = a 1

÷ 1 = a, lo cual nos garantiza que to todo do n´ umero umero ente en tero ro es un n´ umero rac umero raciona ional l , y escribimos: Z ⊆ Q.

1. Si a

2. Al dividir podemos tener los siguientes casos: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

2



´meros Reales 1.1.. El Conjun 1.1 Conjuntos tos de los Numeros u

Entero Expresión Decimal

Números Racionales

finita Número con expresión Decimal.

Infinita Periódica

Expresión

pura

decimal Infinita

Infinita periódica Mixta.

−

10 = 10 5 = 2, en este caso obtenemos un Una divisi´ on exacta: on 5 entero. Un n´ umero con expresi´ umero on decimal: Acá pueden suceder, a su vez: on 1 Una expr expresi esi´ ´ on dec on decim imal al fi finit nita a: = 0, 2 5 Una expr expresi esi´ ´ on deci on decimal mal infi infinit nita a peri peri´ ódi odica ca pura: Como sucede en el caso de 1 = 0, 3333333333 3333333333.... .... = 0, 3 3 y

− ÷

−



2 =2 7

 ÷ 7 = 0, 285714285714285714285714285714 285714285714285714285714285714... ... = 0, 285714

Una expr expresi esi´ ´ on deci on decimal mal infi infinit nita a peri peri´ ódi odica ca mixt mixta a: En este caso te-

nemos

31 = 31 90



÷ 90 = 0,0, 34444444 34444444..... ..... = 0.34

En general, general, todo n´ n umero u ´ mero racional, no entero, se puede representar por una expansión decimal periódica odica finita o por una expansión on decimal infinita.


3



´meros reales. 1.2. Pro Propied piedades ades de los nu

Llamaremos periodo a la cifra o grupo de cifras que se repiten y se denota con un arco, mientras que a la cifra o grupo de cifras (decimales) que no se repiten lo antee-p per´ıodo ıo do . llamaremos ant

0,34444444…. = 0,34 Período Anteperíodo Parte Entera

Ahora bien, hemos visto que dada una fracción on podemos hallar su expresión on decimal. ¿Dada una expresión on decimal, podemos hallar la fracción on que la genera? En educación on básica asica la conocimos como fracci´ on generatriz ¿La recuerdas? on Incluir el cálculo alculo de la fracción on generatriz

El conjunto de N´ umeros Irracionales: Hasta ahora, tenemos que todo número umeros umero que se representa por una expansión on decimal periódica odica (finita o infinita) es un número umero racional, pero cabe hacerse dos preguntas: ¿Existen expansiones decimales que no sean periódicas?, odicas?, y si existen, ¿son números umeros racionales? La respuesta de la primera pregunta es afirmativa, como ejemplo, podemos construir Intenta nta con constru struir ir alg alguno uno . el número: umero: 0, 0, 1101001000100001000001000000 1101001000100001000001000000... ..... Inte Los n´ umeros que se pue umeros pueden den rep repre resen sentar tar por ex expan pansio sione ness de decim cimale aless infi infinit nitas as no periódicas odicas reciben el nombre de n´ umeros irracionales. A este conjunto se le denota umeros por I. on de n´ umero racional y la de n´ umero irracional se Observaci´ on 1.1 Por la definici´ on tiene que no existen n´ umeros que sean racionales e irracionales a la vez, simb´ olicamente esto se indica de la siguiente manera: Q I = .

∩

∅

on del conjunto de los números umeros racionales El conjunto de N´ umeros Reales: Luego, la unión umeros con el conjunto de los números umeros irracionales, recibe el nombre de conjunto de los olicamente escribimos: R := n´ umeros reales y se denota con el s´ımbolo R , simbólicamente umeros Q I.

∪

1.2. 1. 2.

Pro ropi pied edad ades es de lo loss n´ umeros reales. umeros

Al combinar los n´ umeros reales utilizando las operaciones de suma y multiplicación, umeros on, utilizamos las siguientes propiedades: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

4



´meros reales. 1.2. Pro Propied piedades ades de los numeros u

En cada uno de los casos, a, b y c son n´ umeros reales. ( a,b,c umeros

∈ R.)

Propiedad Conmutativa a + b = b + a,

a.b = b.a

Esto es, cuando sumamos o multiplicamos, el orden no altera los resultados. Por lo tanto, es igual que sumemos 2 + 5 que 5 + 2, o que multipliquemos 4. 4 .11 que 11. 11.4.

Propiedad Asociativa. (b + c) = (a + b) + c a + (b

a.(b.c a.( b.c)) = (a.b a.b)).c

Es decir, al realizar la adición, on, o multiplicación, on, de tres números umeros reales, se pueden agrupar en cualquier orden para obtener el resultado.

Inverso Aditivo Para cada n´ umero real a, existe un número umero umero real único, unico, denot denotado ado por a, tal que a+(-a) = 0.

−

−a recibe el nombre de Inverso Aditivo. Puesto que 6 + ( −6) = 0, el inverso aditivo de 6 es −6; pero ello también en implica que el inverso aditivo de −6 es 6. El n´ umero umero

Recordar 1.1 a es una notaci´ on par paraa repr representar esentar el re recc´ıpro ıproco, co, o inverso aditivo de a, esto no significa que a tiene que ser un n´ umero negativo, como podemos observar en el ejemplo anterior.

−

−

Inverso multiplicativo. Para todo número umero real a = 0, existe un único unico n´ umero real , umero 1 1 denotado por a , tal que a.a = 1 −

Al n´ umero a umero

1

−



−

se le llama Inv Inverso erso Multiplicativ Multiplicativo o de a.

As´´ı, to As todos dos los números, umeros, excepto el 0, tienen un inverso multiplicativo. 1 en se le denomina re rec´ c´ ıpro roco co de a. a 1 se puede representar como , y también a 1 1 Como ejemplo, el inv inverso erso multiplicativo de 3 es , dado que 3. = 1. Además, as, 3 3 1 es el inverso multiplicativo de 3. 3 −

−


−

−

− −

−

5




rec´´ıp ıproco roco de 0 no est´ a definido Recordar 1.2 El rec

Propiedades Distributivas. a.(b + c) = a.b + a.c a.(

(b + c).a = b.a + c.a

Por ejemplo,

2(3 + 4) = 2(3) + 2(4) = 6 + 8 = 14, 14,

4x. x(z + 4) = x(z ) + x(4) = xz + 4x.

(2 + 3)(4) = 2(4) + 3(4) = 8 + 12 = 20 ,

4(a 4( 4b a + b) = 4a + 4b

La propiedad distributiva se puede extender a la forma a.(b + c + d) = a.b + a.c + a.d a.( De hecho, puede ampliarse a sumas que implican cualquier número umero fini finito to de términos. ermi nos. on o Resta se define formalmente mediante la propiedad Definici´ on 1.1 La Sustracci´ on del inverso aditivo

a-b = a + (-b) As´ı 6

− 8 = 6 + (−8).

Definici´ on 1.2 De manera similar, se define la Divisi´ on ermi nos de d e la mult multipl iplicaci´ icaci´ on. on en términos Si b = 0, entonces



a

÷

Observaci´ on 1.2 En ocasiones a on

b=

÷

a = a.b b

b o

1

−

= a.

1 b

a se le llama raz´ on de a a b. b

Tene Te nemo mos s qu que e la su suma ma y pr prod oduc ucto to n´ umeros rea umeros reales les obe obedece decen n las si siguie guiente ntes s regl reglas as :


6



1.

·


·

a c a d+b c + = b d b d

·

5.

− · −(a · b) = a · (−b) 3. (−a) · (−b) = a · b −a = a = − a 4. −b b b 2. ( a) b =

−a = a −b b

a a d 6. bc = b c d

· ·

Los siguientes ejemplos muestran algunas operaciones que implican las propiedades anteriores: Calculemos en cada caso la suma que se indica:

− 123 + 5 = − 123 + 51 = −123+ 15 = 33 = 1 −4 = −7 + −4 = −35 + (−4) = −39 = − 39 2. −7 + 1.

3.

−2 −

5 1 11 4 + = 3 7

5

5 5 5 7 11 + 3 4 42 77 + 12 109 = = = 21 21 21

−2 · 21 − ·

Ejemplo 1.1 1. x(y multiplicaci´ on.

·

− −

−

− 109 21

− 3z + 2w) = (y − 3z + 2w)x, por la propiedad conmutativa de la ·

·

2. Por la propiedad propiedad asociativa de la multiplicaci´ multiplicaci´ on, 3(4 5) = (3 4)5 4)5.. As´ı, ı, el resul resulta tado do de multiplicar 3 por el producto de 4 y 5 es igual al resultado de multiplicar el producto de 3 y 4 por 5. En uno u otro caso el resultado es 60.

−√ √ −

−√√2)2).. Sin embargo, mediante la propiedad − 2 + 2.2. As As´´ı, por la l a propiedad p ropiedad transit transitiva, iva,

3. Por la definici´ on de resta, 2 2 = 2+ ( conmutativa de la adici´ on, 2 + ( 2) = 2 2= 2 + 2. 2.

−√

−√

4. (8 + x)

−

− −

on de sustracci´ on) y = (8 + x) + ( y ) (por la definici´ = 8 + [x [x + ( y )] (por la propiedad asociativa) = 8 + (x (x y ) (por la definici´ on de sustracci´ on).. on)

−

As´´ı, mediante la propiedad transitiva, As (8 + x)

− y = 8 + (x (x − y ).

5. Me Mediant diantee la defini definici´ ci´ on de divisi´ on, 1 ab = (ab ab)) para c = 0. c c

·


7






Pero, por la propiedad asociativa,

· 

1 1 (ab =a b ab)) . c c

·

Sin embargo, mediante la definici´ on de divisi´ on, b

 

· 1c = bc . En conse consecuencia, cuencia,

ab b =a . c c También en se s e puede dem demostrar ostrar que

Ejemplo 1.2

ab a = b. c c

Note que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24.

Mediante la propiedad distributiva, 3(4x 3(4 2y + 8) = 3(4x 3(4x) + 3(2y 3(2y ) + 3(8). 3(8). x + 2y luego, por la propiedad asociativa de la multiplicaci´ on,

·

3(4x 3(4 4)x 12x 3(2yy) = 6y. x) = (3 4) x = 12 x de manera similar , 3(2 Por tanto 3(4x 3(4 2y + 8) = 12x 12x + 6y 6y + 24. 24. x + 2y Note que x(y

− z) = xy − xz.

Mediante la definici´ on de sustracci´ on y de la propiedad distributiva, x(y

Como

− z)

− −

= x[y + ( z)] = xy + x( z).

−z = (−1)1)zz, se tiene que x(−z) = x[(−1)1)zz].

Ahora, por las propiedades asociativa y conmutativa,

−

−

−

−

1)zz] = [x( 1)] 1)]zz = [( 1) 1)x 1)(xz x[( 1) x]z = ( 1)( xz)). Por consiguiente, Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

8




x(y

− z)

= xy + x( z ) = xy + ( 1)( 1)(xz xz)) = xy + [ (xz )].. xz)]

− − −

Nuevamente, por definici´ on de sustracci´ on, tendremos el resultado deseado, a saber, x(y z) = xy xz.

−

−



Si c = 0, entonces

a+b a b = + . c c c

En efecto, por la definici´ on de divisi´ on y la propiedad distributiva, 1 1 1 a+b a b = (a + b) = a +b = + c c c c c c

·

Es importante observar que siguiente ejemplo

a a a = + . Como en efecto podemos observar en el b+c b c



3 3 3 = + . 2+1 2 1



Enseguida se listan otras importantes propiedades de los números umeros reales que deben estudiarse con cuidado. La capacidad de manipular números umeros reales es esencial esenci al para tener t ener éxito exito en matem´ mat emáticas. aticas. A cada propiedad le sigue un ejemplo numérico. erico. Todos los denominadores son diferentes de cero. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

9




Propiedad

Ejemplo

− b = a + (−b). 2. a − (−b) = a + b. 3. − a = (−1)( 1)(a a).

2

1. a

4. a(b + c) = ab + ac. 5. a(b

− c) = ab − ac. 6. − (a + b) = −a − b. 7. − (a − b) = −a + b. 8. − (−a) = a. 9. a(0) = (−a)0 = 0. 0. 10. (−a)( )(bb) = −(ab ab)) = a(−b). 11. (−a)(−b) = ab. 12. 13. 14.

a = a. 1 a =a b a = b a = b 0 =0 a a =1 a

− − 15. − 16. 17.


 −

− 7 = 2 + (−7) = −5. 2 − (−7) = 2 + 7 = 9. 9. −7 = (−1)(7) 1)(7).. 6(7 + 2) = 6 · 7 + 6 · 2 = 54. 54. 6(7 − 2) = 6 · 7 − 6 · 2 = 30. 30. −(7 + 2) = −7 − 2 = −9. −(2 − 7) = −2 + 7 = 5.5. −(−2) = 2.2. 2(0) = (−2)0 = 0. 0. (−2)(7) = −(2 · 7) = 2(−7) 7).. (−2)(−7) = 2 · 7 = 14. 14. −2 = −2. 7 = 7, 1

1 . b a a = . b b

1



2 1 =2 . 7 7 2 2 2 = = . 7 7 7 2 2 = . 7 7 0 = 0. 7 2 5 = 1, = 1. 2 5

−

− − −

a . b

−

−

− −

10




Para finalizar la sección on sólo olo queda por recordar que, no sólo olo debemos estar consciente de los aspectos “manipulativos” de las propiedades de los números umer os reale r eales, s, tambi´ t ambién en se s e debe deb e conocer y estar familiarizado con la terminolog terminolog´´ıa aplicada. Aún un cuando todo esto lo sabemos de una forma u otra, la idea es que las tengamos presentes e interpretemos de forma correcta para usarlas como herramientas al abordar un problema posteriormente.

Ejercicios. 1.1 1. Rea ealiza liza cada una de la op oper eracion aciones es que se indican. indican. 8 2 g) + 3 7

÷ 3.2 3 b) (−0, 7) 7) ÷ 5 7 c) ÷ 0, 4 2 a) 0, 86

 

h)

8 2 + 3 7

i) 0.243

5 24 d) + 4 5 8 21 e) 7 4 23 5 4 f ) + + 5 3 30

− −  − −  ·

3 4

4 +6

3 4

4 +6

3 7

  − −   − − 1 3

9+

5 7

1 3

9+

5 7

3 0.742 3.57 8 k) ( 0.485) ( 4587)

· · − ·− √ l) 3 · 3.8

j j))

·

2. Expr Exprese ese cada una de las siguientes expresiones sin par par´éntesis. entesis. a) 2( 2(a a + b) b) 5(3x 5(3x)

2 ( 4x) 3 3 d) (3x (3 x + 5) 5

−

c)

−

e) 3a(b + c + 3) f )

−6 (10 (10x x) 5



3. Una hoja de una libro mide 0.015 15 cm. de espesor. ¿ Cu´ al ser´ a el grosor de un libro de 524 p´ aginas? 4. Un libro de 254 p´ aginas tiene un grosor de 1,9 cm. ¿ Cu´ al es el espesor de una hoja? 5. En cada uno de los siguientes casos determine, justitic justiticadamente, adamente, si las prop proposiciones osiciones dadas son verdaderas o falsas. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

12



1.3. Intervalos.

a) 5a(x + 3) = 5ax 5ax + 15a. 15a.

d) 2[27 + (x (x + y )] = 2[(y 2[(y + 27) + x].

− x) + y = 2 + (y (y − x). c) (x − y )(2) = 2x 2x − 2y.

e) x[(2 [(2yy + 1) + 3] = 2xy 2xy + 4x. 4x.

b) (2

1.3. 1. 3.

f ) (x + 1)(y 1)(y + 1) = xy + x + y + 1. 1.

Inte In terv rval alos os..

Ya hemos utilizado alguna notación on de conjuntos, sin embargo en el análisis alisis que sigue, es necesario que utilicemos una notación on adicional de conjuntos, la cual recordamos a continuación. on. Un conjunto, lo entenderemos como, una colección on de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación on significa que a es un elemento de S y / significa que b no es un elemento de S . Por ejemplo, 3 Z pero π / Z. Algunos conjuntos se pueden escribir listando sus elementos en llaves. Por ejemplo, el conjunto A formado por todos los enteros positivos pares menores que 7 se puede escribir como

∈

∈

− ∈

∈

{2, 4, 6}. También en po podemo demoss escri escribir bir A en notación on constructiva de conjunto de la forma

{ ∈ Z : x es par y 0 < x < 7},

A= x

El cual se lee ” A es el conjunto de todas las números umeros enteros x tal que x sea par y 0 < x < 7”. Si S y T son conjuntos, entonces su unión on S T es el conjunto construido por todos los elementos que están an en S o en T (o en ambos). La Intersección on de S y T es el conjunto an tanto en S como en T palabras S T formado por todos los elementos que están T .. En otras palabras un de S y T ac´´ıo denotad denotadoo como es el conjunto que S T es la parte común T .. El conjunto Vac no tiene ningún un elementos.

∪

∩ ∩

∅

Ejemplo 1.3 Si S = 1, 2, 3, 4, 5 , T = 4, 5, 6, 7 y V = 6, 7, 8 , entonces

{

}

{

}

{

}

S T = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

∪ { S ∩ T = {4, 5} S ∩ V = ∅

}

Otros subconjuntos importantes de números umeros reales son los intervalos. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

14



1.3. Inter Intervalos valos..

umeros reales tales que a < b. Tendremos los siguientes Definici´ on 1.3 Sean a y b n´ on intervalos

Intervalos Abiertos. Un intervalo abierto desde a hasta b est´ a formado por todos los n´ umeros reales entre a y b, no incluyendo los puntos extremos a y b y se denota mediante (a, b). Usando la notaci´ on constructiva de conjuntos, podemos escribir

{ ∈ R : a < x < b}

(a, b) = x

a

b

a

b

Intervalos Cerrados. Un intervalo cerrado desde a hasta b est´ a formado por todos los n´ umeros reales entre a y y bb incluyendo los puntos extremos a y y bb y se denota mediante [a, b]. Usando la notaci´ on constructiva de conjuntos, podemos escribir

{ ∈ R : a ≤ x ≤ b}

[a, b] = x

a

b

a

b

Intervalos Semicerrados o Semiabierto. Un intervalo de este tipo, es aquel conjunto de n´ umero reales desde a hasta b incluyendo s´ olo uno de los puntos extremos a o b, que pueden ser:

{ ∈ R : a < x ≤ b} 2. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} 1. (a, b] = x


15



1.3. Intervalos.

a

b

a

b

a

b

a

b

Intervalos infinitos. En este caso consideramos

∞ { ∈ R : x > a}

1. (a, + ) = x

a

a

∞ { ∈ R : x ≥ a}

2. [a, + ) = x

a

a

3. (

−∞, a) = {x ∈ R : x ≤ a} a

a

4. (

−∞, a] = {x ∈ R : x < a} a

a


16




Ejemplo 1.4 Graficando los intervalos

{ ∈ R : −1 < x < 2}

−

1. ( 1, 2) = x (1, 2) 2)

-2

-1

0

1

2

2. [ 12 , 4] = x

3

4

5

6

7

8

6

7

8

1 2

{ ∈ R : ≤ x ≤ 4} 1   2 , 4   0.5, 4  

-2

-1

0

1

1

2

3

4

5

2

− ∞ { ∈ R : x > −2}

3. ( 2, + ) = x ( 2, 2, )

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Ejemplo 1.5 Grafique el resultado de cada una de las siguientes operaciones.

−

1. ( 1, 3)

∩ [2[2,, 7]

−∞, 2) ∩ [−1, 5]

4. (

( 1, 3) 3)

(, 2)

 2,7 

 1,5

 2,3) -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8 -2

− − ∪ (1(1,, 2)

2. ( 2, 1)

-1

0

1

 1,2)

−

5. ( 2, 1)

(2, 1)

2

3

4

5

6

7

8

5

6

7

8

5

6

7

8

∩ [−2, 1]

(2 ,1)

1,2  2,1

-2

0 (-1 2, 1)  (1, 2) 2)1

3. ( 1, 2)

−

2

3

4

5

6

7

8 -2

∪ [2[2,, 7]

-1

(2 ,1 ,1)

0

−

6. ( 2, 1)

(1, 2) 2)

1

2

3

4

∪ [−2, 1]

( 2 ,1 ,1)

 2,1

 2,7 

-2

-1

0

1

2

3

(1, 7

4

5

6

7

-2

8

-1

0

 2,1

1

2

3

4

Definici´ on 1.4 Una desigualdad entre dos expresiones algebraica donde al menos una de on ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuaci´ on. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

17



1.3. Intervalos.

As´´ı, por ejemplos, tenemos: As x+2

≥5 x+y >1 x y

xy + z < 4 + x

√5z − 3 ≤ 4

−

on las variables involucradas Observaci´ on 1.3 Al igual que en las ecuaciones, en una inecuaci´ on reciben el nombre de inc´ ognitas. En una inecuación on con una incógnita, ognita, cualquier número umero real que esté contenido co ntenido en el dominio de las incógnitas, ognitas, y que al sustituirse por la incógnita ognita en la inecuación on hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es una solución on de la inecuación. on. inecuaci´ cuaci´ on con una inc´ ognita, cualquier n´ umero re real al que esté conten contenido ido Definici´ on 1.5 En una ine on en el dominio de las inc´ ognitas, y que al sustituirse por la inc´ ognita en la inecuaci´ on hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es una soluci´ on de la inecuaci´ on. Como ejemplo tenemos que: En x + 2 > 3 ; si se sustituye x por 5 , se obtiene una desigualdad desi gualdad verda verdadera: dera: 5 + 3 > 3 ; por lo 5 que es una solución on de la inecu inecuaci´ ación on x + 2 > 3.

√

Adem´ as, par as, paraa la ine inecua cuaci´ ci´ on x + 2 < 2; si se sustituye x por 7, se obtiene una on desigualdad falsa: 7 + 2 < 2; por p or lo que q ue 7 no es una solución on de la inecuaci´ inecua ción on x + 2 < 2.

√

√

Propiedades. Sean a, b, c y d números umeros reales, tendremos: A1 Si a

≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.

umero real cualquiera y a A2 Si c es un número

≤ b entonces:

y a+c

≤ b+c

a

−c≤b−c

A3 Si a A4

≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d  0 entonces: Si a ≤ b y c =


18



ac


≤ bc

si c > 0

ac

As´ı por ejemplo, si tenemos la desigualdad 6x As´ desigualdades equiv equivalentes alentes::

6x

≤ 9x + 4

3x

− 1 ≤ 92 x + 1

≥ bc

si c < 0

− 2 ≤ 9x + 2 obtenemos las siguientes

−2x + 23 ≥ −3x − 23

1 En el primer caso sumando a ambos lados 2, en el segundo multiplicando por y 2 1 finalmente multiplicando por . 3 Estas reglas básicas asicas nos van a permitir despu´ es resolve es resolverr inecuaciones.

−

Si tenemos la desigualdad de la siguiente forma:

−4 + 6x ≤ 8x − 10, podemos aplicar las reglas anteriores

−4 + 6x 6x ≤ sumamos a ambo boss lados 4 6x ≤ − 6x + 6x sumamos a ambos lados − 6x 6x ≤ 0 ≤ sumamos a ambos lados 6 6 ≤ 1 multiplicamos a ambos lados por 3 ≤ 2 Como a esta ulti u ´ ltima ma de desi sigu guald aldad ad la satisfacen todos los números umeros reales mayores o iguales a tres, y es equivalente a la dada inicialmente, ambas deben tener la misma soluci´ on, as on, as´´ı, la sol soluci´ ución on es

8x 8x 8x 2x 2x

− 10 −6 − 6 − 6x −6

x

graficamente tenemos -1

0

1

2

3

4

5

6

7

∞ { ∈ R : x ≥ 3},

[3,, + ) = x Sol : [3 Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

19



1.4. Valor Absoluto y Distancia.

Ejemplo 1.6

−2 − x−8 3 4 5x − 2 x − 8 − 5x

Multiplicamos por 12

12



−

  >

3 4 4(5x 4(5 3(x 8) x 2) 3(x 20x 20 x 8 3x + 24 17x 17 x + 16 sumamos a ambos lados 16 6x 11x 11 x 1 11x 11 x multiplicamos a ambos lados por 11 11 x

− − − − −

x + 14 2 2 x + 14 12 2 2 6(x 6( x + 14) 24 6x + 84 24 6x + 60 44 44 11 4

>

> > > >

− −

> >

 −

− −

As´´ı el conjunt As conjuntoo solu soluci´ ci´ on es; -1

{x ∈ R : x > 4} = (4(4,, +∞),

0

1

2

3

4

5

6

7

gr´ aficamente tenemos:

1.4.. 1.4

Val alor or Abso Absolu luto to y Dist Distanc ancia ia..

El valor absoluto es un concepto muy importante, por su utilidad, en cálculo y es necesario adquirir habilidad en su uso.

||

umero real x, denotado por x , est´ a definido Definici´ on 1.6 El valor Absoluto de un n´ on por x si x 0 x = x si x < 0

||



≥

−

||

Geom´ Geo métrica etr icament mente, e, x , es la distancia desde x hasta 0 en la recta de los números umeros reales. Interpretación geométrica del Valor Absoluto


20



1.5.. 1.5

1.5. Propied Propiedades ades del Valor Valor Absoluto.

Propi Pr opieda edades des del Val alor or Abso Absolu luto. to.

| | | − a| 2. |a| = |b| si y sólo olo si a = b o a = −b 3. |ab| = |a||b| |a| a 4. = |b| b |a| ≤ b donde b > 0 si y sólo 5. olo si −b ≤ a ≤ b |a| < b donde b > 0 si y sólo olo si −b < a < b 1. a =

 

b

b

a

Debe estar en este intervalo

|a| ≥ b donde b > 0 si y sólo olo si a ≥ b o a ≤ −b olo si a > b o a < −b |a| > b donde b > 0 si y sólo

6.

b

b

a Debe encontrarse en uno de estos estos intervalos

7. an = a n

| | || 8. |a + b| ≤ |a| + |b| 9. |a − b| ≥ || a| − |b|| Ejemplo 1.7 Simplificaci´ on del valor absoluto en una expresi´ on. 2

2

2

2

| − 4 − x | = | − (4 + x )| = |4 + x | = 4 + x |2x − 6| = |2(2(xx − 3)| = 2|x − 3|. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

21

(Justifica)



1.5. Propiedades del Valor Absoluto.

−2 y 5 en la recta real? A partir

al es la distancia entre los n´ umeros Recordar 1.3 ¿ Cu´ de la figura podemos ver que es 7.

|−− | |

| ||

|− − | | − 7| = 7.

Obte ndr´ıamos Obtendr´ ıamo s eso es o calcula cal culando ndo 5 ( 2) = 5 + 2 = 7 = 7, o bien 2 5 = Partiendo de esta observaci´ on, podemos hacer la siguiente definici´ on.

umero reales, entonces la distancia entre los puntos a y b Definici´ on 1.7 Si a y b son n´ on en la recta real es b a .

|− |

| − a| = |a − b|.

De las propiedades anteriores tenemos que b

Ejercicios. 1.2 1. Expr Exprese ese cada uno de los intervalos en términos erminos de d e desigualdades y gr graf af´´ıquelos.

− ∞ −

a)( 3, + ) 1 d) 6, 2

 

)(2,, 8] b)(2

∞

)[2,, + ) e)[2

)[2,, 8)1 c)[2 f )( f )(

−∞, 1)

2. Gr Grafique afique el co conjun njunto to

−

∪− − ∪

a)( 2, 0) ( 1, 1) [0,, 8) d)[ 4, 6) [0

− ∩− −∞ − ∪ ∞

− ∩ −∞ ∩

b)( 2, 0) ( 1, 1) e)( , 4) (4 + )

[0, 8) c)[ 4, 6] [0, )( (2, 10) f )( f , 6] (2,

3. En cada uno de los siguientes siguientes casos escriba escriba tr tres es soluc soluciones iones de las inecuacion inecuaciones es que se indican: c) (x + 3)2

a) x + 3 1 b) >7 x

≤6

d) 7

2

−x

≥x

>0

4. Res Resuelva uelva las siguientes inecuaciones: inecuaciones: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

22



1.6. Expo Exponentes nentes y Radicale Radicaless

− − − − − ≤

2x + 1 x 3
2x

c)

−1 − x−3 > 1

9 4 4 x x d) 5 +2 +4 + 3 < 20 + x 5 4

   

5. Eval´ ue cada una de las expresiones

| | d)|π − 10| g )|2 − | − 12|| a) 100

| − 73| e)|| − 6| − | − 4|| h) − 1 − |1 − | − 1||

| − 8 − (−2)| −1 f )) f | − 1|

b)

c)

6. Utilice Utilice las propie propiedades dades del Valora absoluto (como en el ejemplo 1.7)para 1.7)para simplificar las expresiones dadas.

|

a) 3x + 9

|

| − 16|

b) 4x

d)

| − 2x − 10|

e)

2

| − x − 9|

1 5 x 2 2 x 1 f ) f ) 1 x c)

7. Dete Determin rminee la dist distancia ancia entre entre los n´ umeros dados. a)2 y 17 d)

1.6. 1. 6.

− 38 y − 57

7 1 y 15 21 11 3 y e) 8 10

−

b)

 −   −  −

− 3 y 21 f )) − 2.6 y − 1.8 f c)

−

Expon Ex ponen ente tess y Rad Radic ical ales es

El producto x x x se abrevia como x3 . En general, para un entero positivo n, xn es la abreviatura del producto de n veces x. Al s´ımb ımbol oloo n de xn se le denomina exponente y a x se le denomina base. En términos ermi nos más as esp espec ec´´ıfico ıficos, s, si n es un entero positivo se tiene que:

· ·

1. xn = x x x . . . x.

· · ·  ·    · · · · 

3.

1 x−

n

= xn .

nfactores

2. Si x = 0, x

n

−

=

1 1 = xn x x x . . . x.

4. x0 = 1 si x está definido.

=

0.

00

no

nfactores


23



1.7. Leyes de los Exponentes.

       4

1 1 1 = Ejemplo 1.8 a. 2 2 2 1 1 1 = b. 3 5 = 5 = . 3 3 3 3 3 3 243 1 = 35 = 243. 243. c. 5 3

1 2

1 2

1 . 16

=

−

· · · ·

−

d. 20 = 1,

π 0 = 1,

( 5)0 = 1.

−

e. x1 = x.

1.7. 1. 7.

Ley Le yes de lo loss Expo Expone nen nte tes. s.

1. Multiplicaci´ on de Potencias. am .an = am+n on x4 .x7 = x4+7 = x11 , y 4 .y

7

−

= y4

7

−

=y

3

−

am 2. Divisi´ on de Potencias. n = am n on a 4 3 y c = y 4 3 = y 1 = y , 9 = c3 9 = c 6 3 y c −

−

−

−

3. Potencia de una Potencia. (am )n = am.n (b4 )5 = b20 4. Potencia de un Producto. (a.b a.b))n = an .bn (3x (3 27.x x)3 = 33 .x3 = 27 .x3 5. Potencia de un Cociente.

   x 2

6.

a b

a b

5

n

−

n

−

7.

m

−

=

=

=

b a



b=0

a b

n

an = n b



b=0

n



b=0

bm an


x5 x5 = 25 32



24



1.7. Leyes de de los Exponentes. Exponentes.

on de fracciones con exponentes. Ejemplo 1.9 Simplificaci´ 1.

(2a3 b2 )(3 (2a )(3ab ab4 )3 = = = =

2.

   x y

3

y 2 x4 z

(2a3 b2 )[33 a3 (b4 )3 ] (2a (2a (2 )(27a a3 b2 )(27 a3 b12 ) 2 27 27.a .a3 a3 b2 b12 54a 54 a6 b14

·

x3 (y 2 )4 x4 . y3 z4 3 8 4 x y x = 3. 4 y z y8 3 4 = (x x ) 3 y 7 5 xy = z4 =



3.

    y 3z2

2

−

3z 2 = y 32 (x2 )2 = y2 9x4 = y2

1 z

2

Sabemos los que significa 2n , siempre que n sea un n´ umero entero. Para darle significado umero 4 a una potencia como 2 5 , es necesario que analicemos los radicales. ım boloo Definici´ on 1.8 a El s´ımbol on

√ sign significa ifica ”ra ”ra´´ız cuad cuadrada rada positi positiva va de” de”.. As As´´ı,

√a = b

significa b2 = a y b

√

≥0

Dado que a = b2 0, el s´ımb ımbol oloo a tienen sentido sólo olo cuando a 2 9 = 3 porque 3 = 9 y 3 0. La ra ra´´ız cuadrad cuadradaa son casos particul particulares ares de las ra ra´´ıces n-ési es ima mas. s.

√

≥

≥

≥ 0. Por ejemplo,

Definici´ on 1.9 Si n es cualquier entero positivo, entonces la ra on ra´´ız n-ésima esim a prin principal cipal de a se define como:

√a = b n


signitica bn = a 25



1.8. Pro Propied piedades ades de las Ra´ıces n-´ esimas.

Si n es par, tenemos que a

≥ 0 y b ≥ 0.

As´ı,

√81 = 3 po √ porrque 3 = 81 y 3 ≥ 0. −8 = −2 p orque (−2) = −8 √ √ √ Pero −8, −8 y −8 no están an definidas, ya que el cuadrado (o potencia par) de cualquier cualq uier número umero real es no negativo. √ La ecuación on x = 31 sólo olo tiene una solución on real 31. √31 y −√31. La ecuación on x√ = 31√ tiene dos soluciones reales = x √ Observe que 4 = 16 = 4 pero (−4) = 16 = 4. 4

4

4

3

8

6

5

5

4

4



2

1.8.

2

Propiedades Propied ades de las las Ra´ Ra´ıces n-´ esimas.

P r opiedad

√√

E j emplo

1. x y =

√xy.

√x 2. √ = y

x . y

n

n

n

n

3.

4

 √ m

n

n

x=

3

√x.

mn

√ n

√ n

||

3

3

4. xn = x si n es impar. impar.

5. xn = x

3

√90 √10 =

 n

√9√2 = √18 18..

si n es par

 √  −  − 3

4

3



2=

3

90 = 10

√9. 3

√2.

12

3

( 5)3 =

−5, √2

4

( 3)4 =

| − 3| = 3

5

5

=2

√

Observaci´ on 1.4 Una observaci´ on on importante que debemos hacer es: Si tenemos x donde x es una variable, debemos tener presente para los valores de x que esta expresi´ on tenga sentido, es decir, ¿Qu´ ¿ Qué valores de x me generan x como un n´ umero real? Es claro que x debe ser positivo o cero, para que eso suceda.

√


26



ń 1.9. Raci Racionaliz onalizaci acio

expresado en su forma m´ as simplificada, Definici´ on 1.10 Para cualquier exponente racional m on n donde m y n son enteros y n > 0, definimos a

√

= ( a)m

m

n

n

0, de manera equivalente a

m

Si n es par, entonces es necesario que a 1

Ejemplo 1.13

√64 = 4 √ = ( 4) = 2

1

2. 64 3 = 3

3. 4 2

1. 4 2 =

−

1 3

=

3

1 1

(125) 3 −

3

4

4 3

≥ 0.

=

1 1 √125 = 5 3

4 3

1 2

3



1.9.

m.

n

=8

√1x = 1 = x x √ √ (2x )(3 6. (2 x)(3 x) = (2x )(3x x ) = 6x √ 7. x x = (x.x ) = (x ) 5.

√a

3

3

4. (125)

√4 = 2

=

n

1 2

1 3

1 2

3 2

1 + 13 2

5

= 6x 6

3 4

Racionalizaci´ Racion alizaci´ on on

Racionalizar el denominador de una fracci´ on es el procedimiento en el que una on fracci´ on que tiene un radical en su denominador se expresa como una fracción on on equivalente sin el radical en su denominador. Se utiliza el principio fundamental de las fracciones. En general, si el denominador es de la forma am con m < n, entonces al multiplicar el numerador y el denominador por z n m se racionalizará el denominador, ya que (para a > 0) am . an m = am+n m = an = a.

√ n

√ n

√ √ n

n

−

−

√ n

√ n

−

Lo cual es equivalente a m

a .a n

n

−m n

=a

+n−m

m

n

= a = a1 = a. n n

Ejemplo 1.14 Racionalizar los denominadores. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

28



ń 1.9. Raci Racionaliz onalizaci acio

5. Simplific Simplificando, ando, (x5 y 8 )5 . (x5 y 8 )5 = (x5 )5 (y 8)5 = x25 y 40. 6. Par Paraa simplificar simplificar (x5/9 y 4/3 )18, (x5/9 y 4/3 )18 = (x5/9 )18 (y 4/3 )18 = x10 y 24.

    5

x1/5 y 6/5 7. Par Paraa simplificar simplificar z 2/5

.,

5

x1/5 y6/5 z2/5

(x1/5 y 6/5 )5 xy6 = = 2 . (z 2/5 )5 z

8. Par Paraa elimi eliminar nar los exp exponent onentes es negativos negativos en 7x

2

+ (7x (7x) 2 ,

−

7x

2

−

+ (7x (7x)

2

−

=

−

7 1 7 1 + = + . (7x)2 49x2 x2 (7x x2 49x

9. Ahor Ahoraa para, para, eliminar los exponen exponentes tes negativos en (x

1

−

(x

1

−

−y

1

−

)

2

=

−

=

1

−y ) y−x −

−     1 x

1 y

xy

y

2

−

=

2

−

, procedemos 2

−

xy x2 y 2 = . (y x)2

2

−x

−

10. Aplic Aplicando ando la ley dist distribu ributiva tiva a x2/5 (y 1/2 + 2x 2x6/5 ), obtenemos 2x6/5 ) = x2/5 y 1/2 + 2x 2x8/5 . x2/5 (y 1/2 + 2x x3 11. Si deseamos deseamos simplificar simplificar 2 y

÷

x6 , tendremos y5 x3 y2

Ejemplo 1.17

Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

·

√ 1. Si dese deseamos amos simplific simplificar ar 48 48,, procedemos √ √ √ √ √ 48 = 16 · 3 = 16 3 = 2 3. 4

4

Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a

÷

x6 x3 y 5 y3 = 2 = 3. y5 y x6 x

4

4

30

4

4



ń 1.9. Raci Racionaliz onalizaci acion o

3.

− √ · − 3√√y −3 y √ (9yy − 4x )(2 (9 )(2x x − 3 y) √ )(2xx − 3√y) (2x (2 x + 3 y)(2 √ (9yy − 4x )(2 (9 )(2x x − 3 y) √ (2x (2 x) − (3 y) √ (9yy − 4x )(2 (9 )(2x x − 3 y) 4x − 9y √ −(4(4xx − 9y)(2 )(2x x − 3 y) 4x − 9y −(2(2xx − 3√y) √ 3 y − 2x.

9y 4x2 9y 4x2 2x = 2x + 3 y 2x + 3 y 2x

−√

2

=

2

=

2

2

2

=

2

2

= = =

2

4. 2

−x √ 2− x+3 25

3

=

=

= =

2

√ √

2

3

√ √ −√ √ √ (25 − x )[2 + 2 x + 3 + ( x + 3) ] 8 − (x + 3) √ √ (25 − x )[2 + 2 x + 3 + ( x + 3) ] 8−x−3 √ √ (5 − x)(5 + x)[2 + 2 x + 3 + ( x + 3) ] 5−x √ √ (5 + x)[2 + 2 x + 3 + ( x + 3) ] (25

− x )[2

2

2

+ 2 3 x + 3 + ( 3 x + 3)2 ] 23 ( 3 x + 3)3

2

2

3

3

2

2

2

3

3

2

2

= = Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

√ √

+ 2 3 x + 3 + ( 3 x + 3)2 2 + 2 3 x + 3 + ( 3 x + 3)2

−x · 2 √ 2− x+3 2 25

2

33

3

3

3

3

2

2



1.10.. Opera 1.10 Operacion ciones es con Expresiones Expresiones Algebraicas Algebraicas

9. simplificar. Expresar todas las respuestas respuesta s en términos erminos de exponentes e xponentes positivos. Racionalizar Racionali zar el denomi denominador nador cuand cuandoo se seaa ne neccesari esarioo pa parra evit evitar ar exp exponent onentes es fr frac acciona cionarios rios en el mismo.

√

a) 2x2 y 3 x4 . 2 b) 3/2 1/3 . x y

h) ( 5 2)10 .

−

c)

 √ 3

i) 32 (27)

−

}

−

√√ √ m) x x y √75kk . n) 75

2 3

g)

1.10. 1.1 0.

2

2

  3

q) xy 2 .

4

n ˜)

xy 2 .

1

2

(x y z ) . (xy2 ) 4 −

−

−

÷  x3 (x3 )2

2

−

.

8s 2 . 2s3 −

 

−

5

x2 yz 3

6(6). 6(6).

(x2 )3 p) x4

k) (2 (2x x 1 y 2 )2 . 3 l) 3 4 . y x

√s √s . 3



−

−

3

.

j j)) ( 5 xy 2 )2/5 .

d) [(2 [(2x x2 )3 ] 4 1 . 20 e) . (2 2 x1/2 y 2 )3 f )

4/3

−



t4 .

{

o)

r)

−

 −

− √z ) . √z ) .

( 6)( 6) 6)..

s) (x 1 y −

t) (x 1 y −

2

−

2

−

u) (2 (2x x2 y

4 4

3

÷ 3y z

2 2

−

).

Operac Oper acio iones nes con con Expre Expresio siones nes Alg Algebr ebrai aica cass

Si se combinan números, umeros, representados rep resentados con s´ s´ımbolo ımbolos, s, mediante media nte operaciones op eraciones de adici´ adici ón, on, sustracci´ on, multiplicac on, multiplicaci´ ión, on, división on o extracción on de ra ra´´ıces, entonces enton ces se denomina al resultado res ultado on algebraica. on una expresi´

Ejemplo 1.19 a.

 −

− 3√y + 7 +5 y

b.

10

c.

(x + y )3 y

3x3 5x 2 es una expresi´ on algebraica en la variable x. 10 x

3

2

−

−

es una expresi´ on algebraica en la variable y .

− xy + 2 es una expresi´ on algebraica en las variables x y y.

erico de una expres expresi´ i´ on algebraica al n´ umero que se Definici´ on 1.11 Se llama valor numérico on obtienes al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar la operaci´ on indicada. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

37



1.10. Operaciones con Expresiones Algebraicas

2

−x

valor or numérico erico de Ejemplo 1.20 El val 4 6 4 = 14 14..

− − −

−

+ 3x 3x

− 4 si x = −2, es −(−2)

2

− −4 =

+ 3( 2)

Definici´ on 1.12 Se llama monomio a toda constante o bien, a toda expresi´ on on algebraic algebraica, a, en la cua cuall las pote otenci ncias as de las var variab iables les son de exp expone onente ntess ent enter eros os posi ositi tivos vos y est est´ ´ an relacionados relaci onados unicamente ´ por la multiplicaci´ on y adem´ as no contiene letras en el denominador. Ejemplo 1.21 As As´´ı como ejemplo e jemplo de monomio monomioss tenemos te nemos

√2 − 7

7 2

−6x y z

2

5

abc

Mientras que las expresiones x+4 y3

1

6+x

z2

no son monomios. La suma de monomios semejan semejantes tes entre s´ s´ı, es igual a un monomio cuyo coeficiente es igual a la suma de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el factor literal de los monomios dados.

Ejemplo 1.22

2x2 + 4x 4x2

2

− 3x

= (2 + 4

2

− 3)3)xx

= 3x2

2 −2ax + 35 ax + ax = (−2 + 35 + 5)ax 5)ax = − ax 5

Observaci´ on 1.5 En general la suma de monomios no semejantes entre s´ on s´ı no es igual a un monomio. Ejemplo 1.23 12a2 y 2 + 10ax 12a 10ax + 3a 3a2 y 2

4x2 y


− 5ax

− 5ay + 2ya 2ya − yx

2

= 12a 12a2 y 2 + 3a 3a2 y 2 + 10ax 10ax 5ax 2 2 = (1 (122 + 3) 3)a 5)ax a y + (10 5) ax = 15 15a 5ax a2 y 2 + 5ax

−

= 4x2 y yx 2 5ay + 2ya 2ya 2 = (4 1) 1)x 2)ay x y + ( 5 + 2)ay = 3x2 y 3ay

−

38

−

− −

−

−




Ejemplo 1.24 (3x2 y (3x

2

− 2x + 1) + (4x (4x y + 6x 6 x − 3)

= = = =

3x2 y 2x + 1 + 4x 4x2 y 2x + 1 3x2 y + 4x 4x2 y 2x + 6x 6x + 1 3 (3 + 4)x2 y + ( 2 + 6)x 6)x + (1 3) 7x2 y + 4x 4x 2

−

−

−

− −

− −

Ejemplo 1.25 (3x (3 x2 y

2

− 2x + 1) − (4(4xx y + 6x 6 x − 3)

(3x2 y 2x + 1) + ( 1)(4 1)(4x 6x 3) x2 y + 6x 2 2 (3x (3 x y 2x + 1) + ( 4x y 6x + 3) 3x2 y 2x + 1 4x2 y 6x + 3 3x2 y 4x2 y 2x 6x + 1 + 3 (3 4) 4)x 6)x x2 y + ( 2 6) x+1+3 4. x2 y 8x + 4.

= = = = = =

− − − −

−

−

− −

− − − −

− −

−

−

−

Ejemplo 1.26 3 2x[2 [2x 5[4x2 x + 3] + 5[4x

{

− (3 − 4x)]}

= = = =

3 2x[2 [2x 5[4x2 3 + 4x 4 x] x + 3] + 5[4x 2 2 3 4x + 6x 6x + 20x 20x 15 + 20x 20x 3 24 24x 26x 15 x2 + 26x 72x 72 78x 45 45.. x2 + 78x

{ { {

−

− − }

−

} }

Definici´ on 1.13 El producto de dos o m´ on as mo mono nomi mios os es ig igua uall a un mo mono nomi mioo cu cuyo yo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios dados y cuyo factor literal es el producto de los factores literales de los monomios dados. Ejemplo 1.27

1.

  −  √   (4x (4 x2 y 3 )

2.

2xy 3

2 3 3 xy z 3

( 3xy 2 )

8 = x5 y 6 z 3

3 3 ax y 2

=

√ − 3ax y

5 4

on con monomio (o cociente de monomio) est´ a simplificada Definici´ on 1.14 Una fracci´ on si se cumplen las tres condiciones siguientes: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

39




fracciones formadas por los co coeficientes eficientes de los monomios involucrados est´ a expre expresada sada (i) Las fracciones en su forma m´ as simple.

(ii) Las variables que aparecen en el numerador son diferentes de las que aparecen en el denominador y no se repiten. (iii) Las potencias de las variables involucradas tienen exponente positivo. Ejemplo 1.28

1. 72x4 y 3 72x 23 32 x4 y 3 = = 2 1 3x2 y 2 5 4 2 5 48x 48 2 3x y xy −

2.

2

−

3x2 = 2 2y

√3x y z √3x y z √3x y z √ √81 =√ = √ = 3 3 81x 3 3x y z xy z 3xy z 3

3

4 5

3

3

4 7

4 5

3

3

4 4 7

4 5

0

3

1 0

−

4 7

xy

2

−

=

1 3y 2

Definici´ on 1.15 Se llam on l lama a polinomio a toda expresi´ on algebraica que es monomio o una suma de monomios. As´´ı, como ejemplos de polinom As p olinomios ios tenemos

√5x y z + 6

3xy2

5

2 3

2x2 y + y +

x 7

A las expr expresio esiones nes algeb algebraica raicass que tiene tienen n exac exactamen tamente te dos t´ erminos se les denom erminos denomina ina binomios y a las que constan exactamen exactamente te de tres términos erminos se les llama trinomios. As´ı 2x 5 es un binomio; el polinomio 3 + 2y 2y 4y 2 es un trinomio.

−

−

Un polinomio de variable x es una expresión on algebraica que tiene la siguiente forma 1

cn xn + cn 1 xn −

1

−

+

··· + c x + c , 1

0

en donde n es un entero no negativo y los coeficientes c0 , c1 , tiene que cn = 0. A n se le denomina grado del polinomi polinomio. o.



1

··· ,c

n

son constantes; se

Los tres puntos significan que se supone que los términos erminos intermedios est´ an incluidos en la suma. an


40




Coeficiente

cn x n



cn 1 x n

1







cn 2 x n



2





...  c1 x  c0

Términos Grado del Polinomio

Por ello, 4x 4x3 5x2 + x 2 es un polinomio en x de grado 3 y y 5 2 es un polinomio en y de grado 5. Una constante diferente de 0 es un polinomio de grado 0; de modo que 5 es un polinomio de grado 0. Se considera que la constante 0 es un polinomio; sin embargo no se le asigna ning´ un grado. un

−

1.10.1 1.1 0.1..

−

−

Operaci Oper acion ones es con Poli olinom nomios ios..

Definici´ on 1.16 Puesto que los polinomios son monomios o sumas de monomios no on semejantess entre s´ı, semejante ı, para efectuar oper operaciones aciones con polinomios polinomio s haremos uso us o de d e las mismas reglas utilizadas para realizar operaciones con monomios.

La propiedad distributiva es la herramienta clave para multiplicar expresiones. Por ejemplo, para multiplicar ax + c por bx + d, se puede considerar que ax + c es un sólo olo n´ umero y después umero es utilizar la propiedad pr opiedad distribu distributiva. tiva.

(ax + c)( )(bx (ax + c)d. bx + d) = (ax + c)bx + (ax Utilizando la propiedad distributiva, (ax + c)bx + (ax (ax + c)d = abx2 + cbx + adx + cd = abx2 + (ad (ad + cb cb))x + cd. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

41




(ax



c)(bx



d)



abx

2

ad x





cbx



cd

As´ı (ax + c)( )(bx (ad + cb bx + d) = abx2 + (ad cb))x + cd cd.. En particular, si a = 2, b = 1, c = 3 y d = 2, entonces

−

(2x (2 3)(x x + 3)(x

− 2)

= 2( 2(1) 1)x 3(1)]x + 3( 2) x2 + [2( 2) + 3(1)]x 2 = 2x x 6.

−

− −

−

Enseguida se presenta una lista de productos especiales que pueden obtenerse mediante la propiedad distributiva, y que sirven para multiplicar expresiones algebraicas. Si P Ejemplo 1.29 Si P ((x, y ) = 3x2 y 2xy 2 +xy xy,, R(x, y ) = x2 y 2 , A(x, y ) = y B (x, y ) = xy + x Realicemos las siguientes operaciones:

−

P (x, y ) + A(x, y ) P (

A(x, y )

− P P ((x, y)

R(x, y ).A .A((x, y )

2

2

+5xy xy −2x y+xy +5 P (x, y ).A P ( .A((x, y )

Comencemos: P (x, y ) + A(x, y ) = P ( = = = =

A(x, y )


− P P ((x, y)

(3x2 y 2xy 2 + xy 5xy)) xy)) + ( 2x2 y + xy2 + 5xy 3x2 y 2xy 2 + xy 2x2 y + xy2 + 5xy 5xy (3x (3 ( xy + 5xy 5xy)) x2 y 2x2 y ) + ( 2xy2 + xy 2 ) + (xy 2 2 (3 2) 2)x 1)xy + (1 + 5)xy 5)xy x y + ( 2 + 1)xy 6xy x2 y xy2 + 6xy

− − −

− −

−

− −

−

= ( 2x2 y + xy2 + 5xy 5xy)) (3 (3x x2 y 2xy2 + xy xy)) = 2x2 y + xy 2 + 5xy 5xy 3x2 y + 2xy 2xy 2 xy = ( 2x2 y 3x2 y ) + (xy ( xy 2 + 2xy 2xy2 ) + (5xy (5xy xy = ( 2 3)x 3)x2 y + (1 + 2)xy 2)xy 2 + (5 1) 1)xy xy = 5x2 y + 33xy 4xy xy 2 + 4xy

− − − − − − −

42

− −

−

−

−

−




5xy)) R(x, y ).A .A((x, y ) = (x2 y 2 )( 2x2 y + xy2 + 5xy = (x2 y 2 )2 )2x (x2 y 2 )xy2 + (x (x2 y 2)5 )5xy x2 y + (x xy = 2x4 y 3 + x3 y 4 + 5x 5x3 y 3

−

− −

∗

(3x2 y 2xy2 + xy )( 2x2 y + xy 2 + 5xy 5xy)) xy)( 3x2 y ( 2x2 y + xy 2 + 5xy 5xy)) + ( 2xy 2 )( 2x2 y + xy2 + 5xy 5xy)) 2 2 5xy)) xy(( 2x y + xy + 5xy xy (3x (3 )2x (3x2 y )xy 2 + (3x (3x2 y )5 )5xy x2 y )2 x2y + (3x xy ( ( 2xy 2 )2 )2x )5xy x2 y ) + ( 2xy 2 )xy2 + ( 2xy2 )5 xy 2 2 ( 2( 2(xy (xy))xy + 5(xy 5(xy))xy xy))x y + (xy xy)) 6x4 y 2 + 3x 3x3 y 3 + 15x 15x3 y 2 4x3 y 3 2x2 y 4 10 10x x2 y 3 2x3 y 2 + x2 y 3 + 5x 5x2 y 2 = 6x4 y 2 + (3x (3x3 y 3 + 4x 4x3 y 3 ) + (15x (15x3 y 2 2x3 y 2 ) 2x2 y 4 + ( 10 10x 5 x2 y x2 y 3 + x2 y 3 ) + 5x = 6x4 y 2 + (3 + 4)x 4)x3 y 3 + (15 2) 2)x x3 y 2 2x2 y 4 + ( 10 + 1)x 1)x2 y 3 + 5x 5x2 y = 6x4 y 2 + 7x 7x3 y 3 + 13x 13x3 y 2 2x2 y 4 9x2 y 3 + 5x 5x2 y

P (x, y ).A P ( .A((x, y ) = = + = + + = +

−

− −− − −

−

−

−

1.10.2 1.1 0.2..

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− −

−

−

Product Prod uctos os Not Notab ables les

1. x(y + z ) = xy + xz

(Propiedad distributiva )

2. (x + a)( )(x (a + b)x + ab. x + b) = x2 + (a 3. (ax + c)( )(bx (ad + cb bx + d) = abx2 + (ad cb))x + cd. 4. (x + a)2 = x2 + 2ax 2ax + a2

− a)

2

= x2

2

(Cuadrado de un binomio)

2

(Producto de una suma y una diferencia)

− 2ax + a 6. (x + a)( )(x x − a) = x − a 5. (x

2


(Cuadrado de un binomio)

43




7. (x + a)3 = x3 + 3ax 3ax2 + 3a 3a2 x + a3 8. (x

− a)

3

= x3

Ejemplo 1.30

2

− 3ax

+ 3a 3a2 x

(Cubo de un binomio)

3

−a

(Cubo de un binomio)

1. (x + 2)(x 2)(x

− 5)

− −

2.

·

(x

4.



5.

− 4)

2

= x2 = x2



Se considera a 2t (2tt (2

Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

·

− 2(4) 2(4)x x+4 − 8x + 16. 16.

− 3)

·

2



= ( y 2 + 1)2 32 = (y 2 + 1) 9 = y 2 8.

−

−

−

(3x (3 (3x 3(2)(3x)2 + 3(2)(3x 3(2)(3x) + (2)3 x + 2)3 = (3 x)3 + 3(2)(3x 3 2 = 27 27x 54x + 36x 36x + 8. 8. x + 54x

Ejemplo 1.31 Multiplicar: (2 (2tt

Mendoza Mendoz a Maln

−

·

( y 2 + 1 + 3)( y 2 + 1

Ere Juranc Jurancy y

−

(3zz + 5)(7z (3 5)(7z + 4) = 3 7z2 + (3 4 + 5 7) 7)zz + 5 4 2 = 21 21zz + 47z 47z + 20. 20.

3.


−

= [x + 2][x 2][x + ( 5)] 2 = x + (2 5) 5)x x + 2( 5) 2 3x 10 10.. x

2

− 3)(5 3)(5tt

+ 3t 3t

− 1)1)..

− 3 como un solo n´ umero y se aplica dos veces la propiedad distributiva. 2

− 3)(5 3)(5tt

+ 3t 3t

− 1)

= (2t 3)5t 3)5t2 + (2t (2t 3)3 3)3tt (2 (2tt 3)1 3 2 2 = 10 10tt 15tt + 6t 15 6t 9t 2t + 3 3 2 = 10 10tt 9t 11tt + 3 11

− − − − 44

− − − − −




3x x3 3x x3 + 3x Ejemplo 1.32 a. = + = x2 + 3. 3. x x x 4z3 8z2 + 3z 3z 6 4z3 8z2 3z 6 = + = 2z 2 b. 2z 2z 2z 2z 2z

−

−

−

−

− 4z + 32 − z3 .

Para dividir un polinomio entre otro, se utiliza lo que se denomina “división no abreviada” cuando el grado del divisor es menor que o igual al grado del dividendo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.33 Dividir 2x2

− 14 14x x − 5 entre x − 3. 14x Aqu´ Aq u´ı, 2x − 14 x − 5 es el dividendo y x − 3 es el divisor. Para evitar errores, lo mejor 0 x − 14 14x es escribir el dividendo como 2x + 0x ervese que las potenci potencias as de x se x − 5. Obsérvese 2

2

2

ordenaron en orden decreciente.

(x

1.10 1. 10.3 .3..

−

2x2 + 6x 6x + 4 cociente 3)2x 3)2 0x2 14 14x x3 + 0x x 5 2x3 6x2 6x2 14 14x x 2 6x 18x 18 x 4x 5 4x 12 7 residuo

−

−

←

− −

−

− −

←

Divi Di visi si´ ´ on de Polinomios. on



on) Dados dos polinomios A(x) y y B con B (x) = Teorema 1.1 (Algoritmo de la divisi´ B (x), con B 0, existen ´ unicos unic os polinomios Q(x) y R(x) tales que: A(x) = B (x).Q .Q((x) + R(x) con R(x) el grado de menor que el grado de B (x) o R(x) = 0. con R A(x) recibe el nombre de dividendo, B (x) el de divisor , Q(x) el de cociente y R(x) el de residuo. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

45




Procedimiento para efectuar la divisi´ o n de A(x) por B (x). on a.) Ordenar los polinomios y B (x) , en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable. b.) Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente)por el primer sumand sum andoo del divisor divisor (e (ell de ma may yor ex expone ponent nte) e);; el re resul sultad tadoo es un sum sumand andoo del cociente. c.) Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo “parcial”. d.) Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ah´ı te term rmin inó´ el procedimiento, en caso contrario se repiten los pasos (a), (b), (c) y (d), pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior. on de A(x) por por B y B Ejemplo 1.34 Efectuar la divisi´ B (x) donde A(x) = 2 x5 y B (x) = x2 +x

−

Aqu´ı el cociente Aqu´ cocien te es residuo es x + 2

−

3

−x

+ x2

− x + 1 y el

Sea A Ejemplo 1.35 Sea A(x) = x3 5x2 + x 1 y B (x) = x 1 Efect´ ue la divisi´ on de A(x) por B por B (x) , e indique el cociente y el residuo

−

−

−

Aqu´ı el cocien Aqu´ cociente te es x2 4x 3 y el residuo es 4.

−


46

− −






Definici´ on 1.17 Sean A(x) y B (x) dos polinomios con B (x) = 0 . Si al dividir A(x) por on B (x) se obtiene como residuo cero entonces decimos que A(x) es divisible por B (x) y se cumple que: A(x) = B (x)Q(x) ; donde Q(x) es el cociente que se obtiene al dividir A(x) por B por B (x). Ejemplo 1.36 Sean A(x) y B (x) polinomios tales que: A(x) = x3 4x2 + 2x + 1 y B (x) = x2 3x 1 . Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir A(x) por B (x). ¿ Es divisible A(x) por B (x) ?

−

− −

−

Aqu´ı el cocien Aqu´ cociente te es x 1 y el residuo es 0; as as´´ı como en este caso el residu esiduoo es 0 es divisible A(x) por por B B (x) .

Divisi´ on si on sint´ ntétic et ica a La división on sint sint´ética etica es un procedimien pro cedimiento to ”abreviado“ para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio P P ((x) de grado n , n 1, por un polinomio de la forma x α, con α R, a partir de los coeficiente de P P ((x) y el cero de x α . El procedimiento que usaremos para realizar la división on sint sint´ética etica de un polinomio , por un polinomio p olinomio de la forma , lo ilustraremos a través es de ejemplos. El procedimiento que usaremos para realizar la división on sint sint´ética etica de un polinomio ilustraremos remos a trav´ t ravés es de ejemplos. ejem plos. P ((x), por un polinomio de la forma x α , lo ilustra P

−

≥

∈

−

−

Ejemplo 1.37 Queremos dividir A(x) = x3 4

3

-5

12

45

120

4

15

40

122

+ 2x 2x + 1 por por B B (x) = x

−1

Coeficientes del Polinomio P(x)

2

Cero de x  3 3

2

− 4x

Residuo

Coeficientes del Cociente


47




Donde los n´ umeros 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la divisi´ on. Los n´ umeros representados en la primera fila son los coeficientes de (dividendo). Los n´ umeros representados en la segunda fila son el cero de (divisor) y los dem´ as se obtienen de la siguiente forma: 12 es el producto de 4 y 3, 45 es el producto de 15 y 3, 120 es el producto de 40 y 3 Los n´ umeros representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma: 4 es el coeficiente de x3 en A(x) 15 es la suma de 3 y 12, 40 es la suma de -5 y 45 122 es la suma de 2 y 120

Ejemplo 1.38 Pr Proc ocedemos edemos ahora a dividir dividir P P ((x) = 1

-8

8

8 1

0

0

0 0

2

-16 -16

0

16

2

0

3

−8x

+ x4

− 16+2 16+2x por Q x por Q(x) = x − 8

Donde los n´ umeros 1, 0, 0, 2 son los coeficientes del cociente y 0 el residuo de la divisi´ on. As As´´ı, nos queda que 8x3 + x4 16+ 2x por por x 0x2 + 0x 0x + 2 = x 8 es igual a x3 + 0x 3 x +2

−

Residuo

−

−

Coeficientes del Cociente

Ejercicios. 1.4 1. Re Realizar alizar las operaciones que se indican y simplificar. a) (8 (8x x

(3x + 2y 2y − 5) 5).. − 4y + 2) + (3x b) (6 (6x 10xy (2z − xy + 4). 4). x − 10 xy + 2) + (2z 2


48

c) 2t

2[t − (t + 5)] + 1} − 3{t + 2[t d) 3 + 2(a 2(a + b) − [a − b − 5( 5(a 2b)] a + 2b UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7



− 2{−(b − c) + 2[a 2[a + 3(b 3(b + c)]} f ) 3x(2 (2x 5xy)) x − xy xy)) + x − x(x + 5xy g) (3 (3x x )(−x y )(−a x) 1 3 10 − h) − x y xy xy 2 5 3 i) (2 (2a )(4a a) (−a) (−xa )(4 a) j j)) (−a )(2 )(2ab )(−3a b ) ab)( √ √ √ √ k) ( x + 2 x) + ( x + 3 x). √√ √√ l) ( x 2y) + ( x 3z ) m) (3 (3x 2y − 5) − (8 (8x 2). x + 2y x − 4y + 2). √ n) (6 (6x 10xy (2zz − xy + 4). 4). x − 10 xy + 2) − (2 √ √ √ √ n ˜) ( x + 2 x) − ( x + 3 x). √√ √√ o) ( x 2y) − ( x 3z ). e) a

2

2

3

2

    2

2

5

2

3

3

m

2 n

2

− w) − 3(3(ww − 2z). q) 3(3 3(3x 2y − 5) − 2(8 2(8x 2). x + 2y x − 4y + 2). r) (2 (2ss + t) − 3( 3(ss − 6) + 4(1 − t). s) 3( 3(x x + y ) − x(y + 2x) + 2y (x + 3y ). t) 2 − [3 + 4(s 4(s − 3)] 3)].. u) 2{3[3( 3[3(x 2(x x + 2) − 2( x − 5)]} v) 4{3( 3(tt + 5) − t[1 − (t + 1)]}. w) −3{4x(x + 2) − 2[ 2[x x − (3 − x)]}. x) −{−2[2 2[2a +3bb − 1]+4[ 1]+4[a [2(bb − a +3 a − 2b] − a[2( 3)]}. p) 4(2z 4(2z

2

2

2

2

2

y) (x + 4)(x 4)(x + 5). 5). z) (x + 3)(x 3)(x + 2). 2).

2. Re Realizar alizar las operaciones que se indican y simplificar. a) (z

− 7)( 7)(zz − 3) 3)..

b) (2 (2x 3)(5x + 2). 2). x + 3)(5x c) (y

d) (x + 3)2 .

2

− 1) . f ) (x − 5) . √ √ 5). g) ( x − 1)(2 x + 5). √ h) ( 2y + 3) . i) (y − 3)( 3)(yy + 3). 3). j j)) (2 (2ss − 1)(2 1)(2ss + 1). 1). k) (z − 3w)( )(zz + 3w 3 w ). l) (x − 3)( 3)(x 4). x + 4).

r) (x2 + x + 1)2 .

2

s) (x + 5)3 . 3

v) (x + 2y 2 y )3 .

w)

2

2

x)

2

1)(2x − 1)(2 x

+ 2x 2x

z2

− 4z . z

2x3

− 7x + 4 .

x 6x5 + 4x 4x3 y) 2x2

m) (x + 1)(x 1)(x2 + x + 3). 3). n) (x2

3

− 2) . u) (2 (2x x − 3) . t) (x

2

2

2

2

− 4)(2 4)(2yy + 3). 3).

e) (2 (2x x

3

− 1)(3 1)(3x 7x − 5) 5).. x + 7x o) x{3( 3(x 1)(x 2[x(x + 7)]}. x − 1)( x − 2) + 2[x p) [(2 [(2zz + 1)(2z 1)(2z − 1)](4 1)](4zz + 1). 1). q) (x + y + 2)(3x 2)(3x + 2y 2y − 4) 4).. n ˜) (2 (2x x

− 3)3)..

− 1.

3. Re Realizar alizar las operaciones que se indican y simplificar. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

49




a)

(3x (3 x

− 4) − (x + 8) .

e) (x4 + 2x 2x2 + 1)

4x

f ) t2

2

− 1) ÷ (x + 3). 3). c) (x − 5x + 4) ÷ (x − 4) 4).. d) (3 (3x 2). x − 2x + x − 3) ÷ (x + 2). b) (x + 3x 3x

÷ (t − 8)8)..

g) (4 (4x 6x + 1) x2 + 6x

2

3

÷ (x − 1)1)..

h) (3 (3x x2

2

i) (z 3

÷ (2(2xx − 1)1)..

3)(3x + 2). 2). − 4x + 3)(3x + z + z) ÷ (z − z + 1). 1). 2

2

4. Simpl Simplifiqu ifiquee cada una de las siguientes siguientes expresion expresiones es

−2xx

1

z x3 y 2 z −

a)

1

−

−  2a 2 b 1 4a 4 b2 −

b)

−

−



1

−

−

9a4 x 4 25a 25 a 2 x4

c)

−

−

−

5. Racionali Racionalice ce las operaciones operaciones indicadas.

  √ √ √ −√ − √ √  √  √  1

b) c)

ab2 + 4c2

d)

5ab2

√ e) 8a b

a) ( 75 75xy xy ) 8a2 b2

 

1

x2 y 2 5 3

3 2

23 2m5 n3 3

2c 2 + 10 2a

3

3 16mn 16 mn2 4

6

9ab4 c 2

3 c2

−

−

+

− √a

  100a 100 a4

−

1 3

4

b2 c 3

6. Simpl Simplifiqu ifiquee a)

xy 4x

−

−

3 4

1 2

z

3

−

y2x

−

b)

2 3

  3xy2 z3 x 1 y 2z −

1

−

c)

−

 3

25x 2 y 3 2 25x y 100x 100 x 4 −

−

7. Para Para cada par de po polinom linomios ios A(x) y B (x) que se definen a continuaci´ on, determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir A(x) por por B B (x). ¿ A(x) es divisible por B por B (x)?a) A(x) =

3

−3x

+ 2x 2x2

− 3x + 1

b) A(x) = 5x4 + 10x 10x3 + 4x 4x2 + 7x 7x c) A(x) = 2x

2

− 4x

+ 3x 3x3

d) A(x) = 3x3 + 2x 2x4

−1 −5−x

B (x) = 1 + x2

−2

B (x) = x

−4

2x + x+ 2 B (x) = 1 + 2x B (x) =

3

−5 + 2x 2x

+ 2x 2x

2

−x

8. Rea ealic licee la divis divisi´ i´ on sin sint´ tética eti ca de P por Q P ((x) por Q(x) en cada uno de los siguientes casos. a) P P ((x) = x5 b) P P ((x) = Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

− 32 2

−7x

Q(x) = x

+ 8x 8x + 5x 5x3 + 1

−2

Q(x) = x + 3

50



c) P P ((x) = x3

− 27 d) P P ((x) = x − x e) P 4x P ((x) = 6 − 5x + 4x 4

Q(x) = x + 3 Q(x) = x + 1

2

1.11 1. 11..

ń Facto actoriza rizaci cion o

1.11.

Q(x) = x + 2

Fac acto tori riza zaci ci´ ´ on on

polinom linomio io no consta onstante nte con co coeficie eficientes ntes rea eales. les. Si exis existen ten Definici´ on 1.18 Sea P un po on polinomios A y B no constantes, con coeficientes reales tales que P = A B entonces decimos que P es factorizable en el conjunto de los n´ umeros reales.

·

Definici´ on 1.19 Sean A, B y P polinomios no constantes con coeficientes reales. Si P = on A B entonces decimos que A y B son factores de P .

·

Definici´ on 1.20 Sean A, B y P polinomios no constantes con coeficientes reales. Si P = on on de P . A B entonces decimos que el producto indicado de A y B es una factorizaci´

·

1. As´ı, ı, como Ejemplo 1.39 2 x + 2x = x(x + 2) entonces decimos que on de x2 + 2x. x(x + 2) es una factorizaci´

x  2 x  x( x  2) 2

Factores

2. Adem´ as x4 1 = (x2 1)(x 1)(x2 +1 +1)) entonces 2 2 decimos de cimos que (x 1)(x 1)( una a x + 1) es un 4 factorizaci´ on de x 1.

−

− − −

x  1  ( x  1)( x  1) 4

2

2

Factores

Observaci´ on 1.6 Sea on Sea P P un polinomio no constante con coeficientes reales; si no existen polinomios A y B no constantes con coeficientes reales y tales que P = A B , entonces decimos que P no es factorizable en el conjunto de los n´ umeros reales.

·

Definici´ on 1.21 Sea P un polinomio no constante con coeficientes reales tal que P = on A1 A2 A3 An donde A1 , A2 , A3 , , An son polinomios no constantes con coeficientes reales. Decimos que el producto indicado es una factorizaci´ on completa de si cada uno de lo polinomios no es factorizable en el conjunto de los n´ umeros reales.

· · ····


···

51



´ ń 1.12 1. 12.. Tecnicas ecnicas de factorizacio

1.12.

T´ ecnicas de factorizaci´ ecnicas on on

Factorizaci´ on por factor com´ on un un La factorización on de polinomios por factor común un consiste básicamente asicamente en la aplicación on de la propie propiedad dad distr distributi ibutiv va de la mul multipli tiplicaci caci´ón o n con respecto a la adición, on, para esto recordemos que esta propiedad expresa: Si a R, b R y c R entonces a (b + c) = a b + a c. De forma general, si a, b1 , b2 , b3 , , bn R entonces

∈

∈

∈

·

·

··· ∈ a(b + b + b + · · · + b ) = ab + ab + ab + · · · + ab . En este caso decimos que a(b + b + b + · · · + b ) es una factorización on de ab + ab + · · · + ab y que a es el factor común un de los sumandos ab , ab , ab , · · · , ab . 1

2

3

n

1

ab3

·

2

1

3

2

3

n

n

1

n

Ejemplo 1.40

1

2

3

2

+

n

1. x2 y 3 z + x3 y 2z 2 = x2 y 2 yz + x2 xy 2 zz = x2 y 2 z(y + xy xy))

2. (3a (3 a + 15)

− b(a + 5)

− −

= 3(a + 5) b(a + 5) = (a + 5)(3 b)

3. a(x

− y)

− − − −

= a(x y ) + ( 1)( 1)(x x = (x y )( )(a a 1)

− y)

4. 14x 14 x2

3

− 28 28x x

+ 56x 56x2 y = 14x 14x2 1 14 14x 14x2 4y x2 2x + 14x = 14 14x 4y ) x2 (1 2x + 4y

· − −

·

·

Factorizaci´ on por agrupaci´ on on on Dado un polinomio en el cual no existe un factor común un no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización on de dicho polinomio, realizando una ”agrupación on conveniente” de aquellos sumandos que poseen un factor común. un. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

52



Ejemplo 1.41

´ ń 1.12 1. 12.. Tecnicas ecnicas de factorizacion o

1. 5by

− 5y + 2ba 2ba − 2a

− −

− −

= (5by (5by 5y ) + (2ba (2ba 2a) = 5y (b 1) + 2a 2a(b 1) = (b 1)(5y 1)(5y + 2a 2a)

−

2. 2x2

− 3xy − 3y + 2x 2x

2x2 3xy + ( 3y ) + 2x 2x (2x (2 2x) x2 3xy) xy ) + (( 3y ) + 2x (2x (2x 3y ) x(2 x 3y ) + (2x (2x (2 )(x x 3y )( x + 1)

− − − −

= = = =

−

− −

3. 4a2 x + 3bm 3bm

− 4ab − 3max

= = = = =

(4a2 x 4ab (4a (3bm 3max ab)) + (3bm max)) 4a(ax b) + 3m 3 m(b ax ax)) 4a(ax b) + 3m 3 m( 1)( 1)(ax ax b) (ax b)(4 )(4a 3m( 1)) a + 3m (ax b)(4 )(4a a 3m)

− −

− − −

−

− − −

−

−

Factorizaci´ on por f´ on ormulas notables ormulas En esta sección on recordemos algunos productos notables, ya enunciados antes, en los cualess se estab cuale establec lecen en cie ciertas rtas iden identidad tidades, es, que denom denominare inaremos mos fórmula ormulass not notabl ables es,, y que serán an utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas. 1. Como x2 + (a + b)x + ab = (x + a)( )(x )(x Teorema 1.2 x + b), entonces (x + a)( x + b) es 2 la factorizaci´ on de x + (a (a + b)x + ab 2. Como abx2 + (ad ( ad + cb )(bx )(bx cb))x + cd = (ax + c)( bx + d), entonces (ax + c)( bx + d) es la 2 factorizaci´ on de abx + (ad (ad + cb cb))x + cd 3. Como x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 , entonces (x + a)2 es la factorizaci´ on de x2 + 2ax + a2 4. Como x2

2

2

2

2

2

− 2ax + a = (x − a) , entonces (x − a) es la factorizaci´ on de x − 2ax +a ax+ ax+ 5. Como x − a = (x + a)( )(x )(x on de x − a x − a), entonces (x + a)( x − a) es la factorizaci´ 2


2

2

53

2



´ ń 1.12 1. 12.. Tecnicas ecnicas de factorizacio

6. Como x3 + a3 = (x + a)( )(x + a2 ), entonces (x + a)( )(x + a2 ) es la factorizaci´ on x2 ax ax+ x2 ax ax+ 3 3 de x + a

−

−

7. Como x3 a3 = (x a)( )(x + a2 ), entonces x a)( )(x + a2 ) es la factorizaci´ on x2 + ax ax+ x2 + ax ax+ 3 3 de x a

−

−

−

−

1. x2 + 10x 10x + 25 = (x (x)2 + 2(x 2(x)(5) + 52 = (x + 5)2

Ejemplo 1.42

2. 4x2 + 20x 20x + 25 = (2x (2x)2 + 2(2x 2(2x)(5) + 52 = (2 (2x x + 5)2 3. 9a2 + 6a 6a + 1 = (3a (3a)2 + 2(3a 2(3a)(1) + 12 = (3 (3a a + 1)2 4. 2x2

2

− 8 = 2(x 2(x − 4) = 2(x 2(x + 2)(x 2)(x − 2)

5. x2 + 8x 8x + 16 = (x (x + 4)2 6. 9x2 + 9x 9x + 2 = (3x (3x)2 + 3(3x 3(3x) + 2. 2 .1 = (3x (3x + 1)(3x 1)(3x + 2) 7. 6y 3 + 3y 3y 2

2

− 18 = 3y 3y (2 (2yy + y − 6) = 3y 3y (2 (2yy − 3)( 3)(yy + 2) 1)(x − 1) = (x (x + 1)(x 1)(x + 1)(x 1)(x − 1) 8. x − 1 = (x + 1)(x √3x + 3 = x − 2 x √3 + (√3) = x − √3 x − 9. 4 2 2 2 √ 2b = (√3) − 2√3a√2b + (√2b) = (√3a − √2b) . 10. 3a − 2 6ab + 2b 11. 4x − y = (2 (2x (2x )(2x x) − y = (2 x + y )(2 x − y ). √ √3x + c √3x − c c c 12. 3x − = ( 3x) − = 4

2

2



2

2

2

2

2

2

25

2

  5

− 12 12x x+4−y

Ejemplo 1.43

2

2

= (9 (9x x2

5

− 12 12x x + 4) − y

− 12 12x x+4−y

2


5

2



(9x2 12 (9x 12x x + 4) y 2 [(3x)2 2(3 2(3x x)2 + 22 ] y 2 (3x (3 x 2)2 y 2 (3x (3 )(3x x 2 y )(3 x 2 + y)

− − − − − −

= = = =

2. 27 + p3 = 33 + p3 = (3 + p)(32




1. 9x2

3. x3 + 2 = x3

2

2

2

2

 

2

2

2

13. 9x2

2

2

−

−

−

2

− 3 p + p ) = (3 + p)(9 − 3 p + p ) √ √2)(xx − x√2 + √4) + 2 = (x + 2)( 3

3

3

2

3

54

3



4. x3

´ ń 1.12 1. 12.. Tecnicas ecnicas de factorizacion o

3

3

−8=x −2

= (x

2

− 2)( 2)(x x

+ 2x 2x + 4)

5. 54x 54 x3

6. 3a3 b3

− 125 = (√3ab ab)) 3

3

− 2y

3

2(27x3 y 3 ) 2((3x)3 y 3 ) 2[(3x y )[(3 )[(3x 3xy + y2 ]] x)2 + 3xy 2(3x y )(9 )(9x 3xy + y 2 ) x2 + 3xy

− − − − − 5 = [√3ab − 5][√9a b 3

= = = = 3

3

2 2

√

+ 5 3 3ab + 25]

Ejercicios. 1.5 Factorizar completamente las expresiones. 1. 6x + 4. 4.

14. 4t2

2. 6y 2

15. x2 + 6x 6x + 9

− 4y.

2

− 9s

3. 10 10xy 5xz xy + 5xz

16. y 2

4. 3x2 y

17. 2x2 + 12x 12x + 16

3 3

− 9x y 5. 8a bc − 12 12ab 4b c d ab cd + 4b 6. 6z t + 3zst 3zst − 12 12zz t 7. x − 25 8. x + 3x 3x − 4 3

2 3

3

4

− 15 15yy + 50

18. 2x2 + 7x 7x

4 2 2

19. 3x2

2 3

20. 4y 2

2

− 15

−3 − 8y + 3

21. 6y 2 + 13y 13y + 2

2

22. 4x2

2

9. p + 4 p 4 p + 3

−x−3

23. 12 12ss3 + 10s 10s2

10. s2

− 8s

− 6s + 8 11. 6x − 9 12. x + 5x 5x − 24

24. 9z2 + 24z 24z + 16

13. z2 + 6z 6z + 8

27. x2/3 y

2

25. 12 12ss3 + 10s 10s2

2


− 8s

26. 9z2 + 24z 24z + 16

55

8/3 3

− 4x

y



ń de cuadrados 1.13. Comp Complet letaci acio

28. 9x4/7

29. 2x3 + 2x 2x2 30. 9x4/7

− 12

45. (x + 3)3 (x

− 12

36. (x

− 3)(2 3)(2x (2x 3)(x + 5) x + 3) − (2 x + 3)(x 16.. 49. x − 16 50. 81 81x x −y 51. y − 1. 52. t − 4 53. x + x − 2 54. x − 5x + 4 55. x − 2x + x 56. 4x − 6x − 4x 48. (x

2 2

− 9s )

35. x3 y 2 3

4

2

− 10 10x 25x x y + 25x − 4x) + (8 − 2x )

4

2

37. (3 (3x (6x + 2) x + x) + (6x 2

4

2

− 1) + (x (x − x − 2) 39. (y + 8y 8y + 16y 16y ) − (y 40. x y − xy + z x − z 38. (x

6

3

2

2 2

8

4

+ 8y 8y 4 + 16)

2

41. x3 + 8 42. x3

2

4

2

5

3

3

−1

1.13 1. 13..

4

8

2

10

2

47. P (1 + r) + P (1 + r )r P (1 P (1

33. (4 (4x x + 2)2 34. 3s (3 (3ss

2

− 1) + (x (x + 3) (x − 1)

46. (x + 5)2 (x + 1)3 + (x (x + 5)3 (x + 1)2

− 4xy + 4.4.

2

−1

44. 27 + 8x 8x3

−1

31. 2x3 + 2x 2x2 32. x2 y 2

43. x6

− 1.

2

Comp Co mple leta taci ci´ o on ń de cuadrados

Este procedimiento nos permitirá obtener a partir de una expresión on de la forma x2 + 2 b on de la forma x + +k bx + c, una expresión 2

 

Teorema 1.3 Si b y c son constantes reales y x es una variable real, entonces se cumple la siguiente igualdad:

 −  −

b x + bx + c = x + 2 2

Ejemplo 1.44 Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

6 6x + 5 = x + 1. x + 6x 2 2

56

2

2

b2 +c 4

62 + 5 = (x (x + 3)2 4

−4



2

2. x

−

´ n de fracciones racionales. 1.14. Simpl Simplifica ificaci cion o

 −−−

3 3x + 2 = x2 + ( 3) 3)x x+2 = x+ 2

−

2

− −

( 3)2 +2 = x 4

3 2

2

1 4

Factorizaci´ on por completaci´ on on de cuadrados on Usando la completación on de cuadrados factoric´ e cada una de las siguientes expresiones:

2

5x + 4 = x + 5x

 −  −  −    −   5 x+ 2

2

52 +4 4

2

= = = =

2

4x + 2 = x + 4x = = = =

1.14.

5 9 x+ 2 4 5 3 5 3 x+ x+ + 2 2 2 2 2 8 x x+ 2 2 [x 1] [x + 4]

−

  −  4 x+ 2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2

2

2

4 +2 2 4+2 2 ( 2)2 2)(x 2)( 2). x + 2 + 2).

− −√ −√ −

√

Simplificaci´ Simplifi caci´ on de fracciones on fracciones racionales.

P (x) P ( Q(x) recibe el nombre de fracci´ on racion acional al , Q(x) recibe el nombre de numerador y Q(x) recibe el nombre de denominador de la fracci´ on.

Definici´ on 1.22 Sean P on on P ((x) y Q(x) dos polinomios en una variable. La expresi´


57



´ n de fracciones racionales. 1.14. Simpli Simplificac ficaciio

Ejemplo 1.45

x2 x 6 1. Simpli Simplific ficar ar 2 proce cedemos demos de la siguiente forma: . Para ello pro 7x + 12 x

− − −

(x 3)( 3)(x x2 x 6 x + 2) = (x 3)( 3)(x x2 7x + 12 x 4) (x 3)( 3)(x x + 2) = (x 4)( 4)(x x 3) x+2 = si x x 4

− − −

− − − − −

− −

− 3 = 0

2. 2x2 + 6x 6x 8 = 8 4x 4x2

− −

−

= =

2(x2 + 3x 2(x 3x 4) 4(x 4( x2 + x 2) 2(x 2( 4)(x 1) x + 4)(x 4(x 4( 2)(x 1) x + 2)(x (x + 4) si 2(x 2( x + 2)

− − − −

− − −

x

− 1 = 0

3. 2x2 x x3 + 2x x2 1

− −2 −

= = = = =

(x3 + 2x 2x2 ) (x + 2) (x 1)( 1)(x x + 1) x2 (x + 2) (x + 2) (x 1)( 1)(x x + 1) (x + 2)(x 2)(x2 1) (x 1)( 1)(x x + 1) (x + 2)(x 2)(x 1)( 1)(x x + 1) (x 1)( 1)(x x + 1) si x + 1 = 0 y x x+2

−

−

−

−

−

−

−

−



− 1 = 0

En ocasiones, el denominador de una fracción on tiene dos términos erminos se implica ra ra´´ıces cuadradas, como 2 3 o bien 5+ 2. Se puede racionalizar el denominador multiplicando por una expresión on que haga que el denominador se convierta en la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo,

−√


√ √

58




3.

4.

A(x) C (x) A(x)C (x) = B (x) D(x) B (x)D(x)

·

A(x) B (x)

÷

A(x) C (x) A(x)D(x) B (x) = = C (x) D(x) B (x)C (x) D(x)

Ejemplo 1.48

1. p2 p

2

2

− 5 + 3 p + 2 = ( p − 5) + (3 p (3 p + 2) 3 p − 3 p + 3 p = . − 2 p − 2 p − 2 p − 2

2. x2 5x + 4 2x 3 x2 + 2x

−

− −

2x (x x2 + 2x = 5x + 6 (x x2 + 5x = =

− 1)( 1)(x x − 4) x(x + 2) − 1)(x 2)(x + 3) − 1)( x + 3) (x + 2)(x x−4 − x si x − 1  = 0 y y x =0 x+2  x+3

(x

x+3

− 4) − x = − x+3

4 . x+3

3. x2 + x 5 x 7

2

− − x − 2 + −4x + 8 − x−7 x − 9x + 14 2

x2 + x 5 = x 7 2

= =

2

− − x − 2 + −4(4(xx − 2) − (x − 2)( 2)(x x−7 x − 7) (x + x − 5) − (x − 2) + (−4) si x si =0 x−2  x−7 x−7 = 1. x−7 2

Observaci´ on 1.7 Para sumar (o restar) dos fracciones con denominadores diferentes, se on debe utilizar el principio fundamental de las fracciones para expresarlas como fracciones equivalentes con el mismo m ismo denominad d enominador. or. Despu´ Desp ués, es, se pro proce cede de a la adici´ on (o a la sustracci´ on), mediante el método etodo antes descrito descrito.. Por ejemplo, para evaluar 2 3 + , x3 (x 3) x(x 3)2

−


−

60




se puede convertir la primera fracción on en otra equivalente multiplicando el numerador y el denominador por (x (x 3):

−

2(x 2(x x3 (x

− 3) ; − 3) 2

Se puede transformar la segunda fracción on multiplicando su numerador y su denominador 2 por x : 3x2 . x3 (x 3)2

−

Estas fracciones tienen el mismo denominador.Por tanto, 2 3 2(x 2( 3x2 x 3) + = + x3 (x 3) x(x 3)2 x3 (x 3)2 x3 (x 3)2 3x2 + 2x 2x 6 = 3 . x (x 3)2

−

− − − −

−

−

Se pudieron haber convertido las fracciones originales en fracciones equivalentes con cualquier denominador común. un. Sin embargo, se decidió convertirlas en fracciones con el 3 2 ınim imo o co com mun u ´ n deno denomina minador dor (M.C.D.) de las denominador x (x 3) . Este es el m´ın 2 3 fracciones 3 y . [x (x 3)] [x(x 3)2] En general, para encontrar el M.C.D. de dos o más as fracciones, primero se factoriza cada denominador en forma completa.El completa.El M.C.D es el producto de cada uno de los factores distintos que aparecen en los denominadores, cada uno de ellos elevado a la m´ as alta potencia que ocurra en cualquiera de los denominadores.

−

−

Ejemplo 1.49

−

1. t 3t + 2

− t −4 1

=

t(t 1) (3tt + 2)(t (3 2)(t 1)

=

4(3tt + 2) t(t 1) 4(3 (3tt + 2)(t (3 2)(t 1)

−

4(3tt + 2) 4(3 − − (3(3tt + 2)(t 2)(t − 1)

− −

− 12tt − 8 t − t − 12 (3tt + 2)(t (3 2)(t − 1) 13tt − 8 t − 13 (3tt + 2)(t (3 2)(t − 1) 2

=

2

=


61




2.

4 q

−1

+3 =

4 q

−1

+

− −

3(q 1) 3(q q 1

−

4 + 3(q 3(q 1) q 1 3q + 1 = q 1 =

−

−

3.

−

x 2 6x + 9 x2 + 6x

− 2(2(xxx +−29) 2

= = =

− − x+2 2(x 2( 3)(x − 3) x + 3)(x (x − 2)(2)( 2)(2)(x (x + 2)(x 2)(x + 3) x − 3) − (x + 3) (2)( (2)(x 2(x 3)(x − 3)( 3)(x x − 3) 2( x + 3)(x x + 3) (x − 2)(2)( 2)(2)(x 2)(x + 3) x − 3) − (x + 2)(x 2(x 2( x + 3) (x − 3) 2(x 2( 5x + 6) x − 5x + 6) − (x + 5x 2(x 2( x + 3) (x − 3) 2x − 10 10x x + 12 − x − 5x − 6 2(x 2( x + 3) (x − 3) 15x x − 15 x+6 . 2(x 2( x + 3) (x − 3) x 2 (x + 3)2 2

2

2

=

2

2

2

=

2

2

2

=


2

62




4. 1 x+h h

− x1

=

x x(x + h)

h x

=

− x(xx++hh)

− (x + h)

x(x + h) h h x(x + h) h 1

−

=

=

−h

x(x + h)h

=

− x(x 1+ h)

Ejercicios. 1.6 Ejecutar, en cada uno de los siguientes casos, las operaciones y simplificar cuanto sea posible. 1.

y2 2

2. 3.

x2 6 7. x 3

−1 . · y−3 y +2 z −4 z · . 2z z − 2 z + 2z 2x − 3 2 − x · x − 2 2x + 3 2

2

4x3 8. 9xx . 18

2xy + y 2 x2 y 2 x2 + 2xy 4. . x+y y x

− ·

5.

2

−2 ÷ x −1 5x + 4 x − 2x − 8 x + 5x 2x x + 2x x −x−6 ÷ . 3x − 18 18x x + 24 x − 4x + 4 2x

2

2m 3 9. n . 4m n2

2

2

6.

−

2


2

2

63




x+3 x 44. 9 x x

31. 32. 33. 34. 35. 36.

p2

− p − 1

−

2

4 +s s+4 4

3 45. x x+3

+

−1 x+1 x−1 − x−1 x+1 2x

2

1 x 1 2 5x + 6 x + 2 46. x + 5x x 7 3+ 3 a 47. a

2

38.

2

1

3x

49.

39. (1 + x 1 )2 . −

40. (x

1

+y )

41. (x

1

− y)

−

42. (x

1+ 43.

50.

1 2

−

−y

1

−

)

2

−

Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

1

−

2



−





÷ xxy+ y

2x 6 52. (x + 1)2 x 4 (2 (2x 1)x x + 1)x −

−

3

Ere Juranc Jurancy y

2

−

x y + y 2 x2 51. 1 1 1 + x2 xy y 2

1

−

1 x


−

2

−2

−

2

− (x − 4 y ) xy x− 2x y + 2x 1 − 6x x x −1 − − 3x y − 9 y + 3 xy + 3x 1 1 1 1 − + x−y x+y x−y x+y 2

+

1

−

−

48.

− −

+b 2 b

−

2

2

1

−

2

37.

x . x+ x+2

−

2 − 3y − − 2 3y − 7y + 2 −3x . 4 − 3+ 5 − 4x − x x−1 2x − 3 3x + 1 − 2x + 11x 11x − 6 3x + 16x 16x − 12 y 5y

− 21x

65

−

4

−


Cap´ıtulo 2 Ecuaciones Con el estudio de este capitulo los objetivos que se pretenden lograr son: Obtener ecuaciones equivalentes a una dada mediante suma o producto. Identificar soluciones de ecuaciones. Plantear y resolver problemas de la vida diaria. En los escritos de los antiguos babilónicos onicos y egipcios se han encontrado problemas que dan lugar a ecuaciones. Por ello no es extraño no que estudiantes que se inician en las diversas áreas areas de estudio, se vean enfrentados con la solución de algunas ecuaciones.

Definici´ on 2.1 Una igualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos una de on las expresiones involucran variables recibe el nombre de ecuaci´ on . As´´ı, como ejemplo tenemos Ejemplo 2.1 As 1. 3x2 y + 3y 3y = 5

2.

√x

2

+1 = x+2

3.

5y x +2 = +1 3 2

Las ex expr pres esion iones es qu quee es est´ tán a ambo boss derecha. lado la doss de dell si sign gnoo ig igua uall so son n lo loss miembros 2 2 xy 3 x  8  3 y de la ec ecua uaci ci´ o on ń: pr prim imer er mi miem embr broo el de la iz izqu quie ierd rda, a, se segu gund ndoo mi miem embr broo el de la Segundo Miembro Primer Miembro on a un valor o conjunto on o ra´ız de una ecuaci´ Definici´ on 2.2 Se denomina soluci´ on de valores de la(s) inc´ ognita(s), para para los cuales se verific verificaa la igualdad. As As´´ı, res resolver olver una ecuaci´ on significa encontrar todos los valores de sus variables para los cuales la ecuaci´ on se verifica. 66

Cap´ıtulo 2. Ecuaciones

1. En una ecuac ecuaci´ i´ on las variables reciben el nombre de inc´ ognitas.

Observaci´ on 2.1 on

2. Si se quier quieree compr comprobar obar que el valor de la ra ra´´ız esta corr correct ecto, o, simplemente se sustituye la variable por el n´ umero (val (valor) or) de la ra ra´´ız. ız.

conj njunt unto o so soluc luci´ i´ on de la ecuación. on Al conjunto de todas las soluciones se le denomina co on. 1. En la ecuaci´ on x + 2 = 3, 3 , la variable x es la inc´ ognita. El ´ unico Ejemplo 2.2 valor de x que satisface la ecuaci´ on es 1. Por ello, 1 es una ra ra´´ız y el co conjun njunto to de soluciones es 1 .

{}

−

2. w = 7 z es una ecuaci´ on con dos inc´ ognitas. Una soluci´ on es el par de valores w = 4 y z = 3. Sin embargo, existe una cantidad infinita de soluciones. Puede el lector pensar otras.

3. -2 es ra ra´´ız de x2 + 3x +2 = 0 debido a que al sustituir x por -2 la ecuaci´ on se verifica 2 : ( 2) + 3( 2) + 2 = 0. 0.

−

−

Dos ecuaciones se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de soluc soluci´ ión. on.

As´ı, ı, la ecu ecuaci aci´ón on 3x soluci´ on unica on u ńica x = 4

equivalente te a 2x 2 x − 8 = 0 porque ambas tienen como − 7 = x + 1 es equivalen

Existen Exis ten tre tres s oper operaci aciones ones que gara garanti ntizan zan la equi equival valenci encia a:

Principio de Adici´ on. Sumar (o restar) una misma expresión on. on algebraica a ambos miembros de una ecuación, on, cuando la expresión on tiene la misma variable de la ecuación. on. Principio de Multiplicaci´ on. Multiplicar (o dividir) ambos miembros de una ecuación on. on por la misma constante, exceptuando el cero.

−

Si tenemos la ecuaci´ on 3x = 5 6x, al sumar 6x a ambos lados de Ejemplo 2.3 la igualdad produce la ecuaci´ on equivalente, a saber, 3x + 6x 6x = 5 6x + 6x 6x, o bien 9x = 5. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

67

−


ń de las Ecuaciones. 2.1. Clasi Clasificac ficaciio


En el caso de la ecuaci´ on 10 10x dividi idirr amb ambos os lad lados os ent entrre 10 pr prooduc ducee la x = 5, al div 10x 10 5 1 x ecuaci´ on = , o bien x = . 10 10 2

2.1. 2. 1.

Clas Cl asifi ifica caci ci´ ´ on de las Ecuaciones. on

Podemos clasificar las ecuaciones por:

   

el n´ umero de incógnitas. umero ognitas.

el grado de la incógnita. ognita.

el n´ umer o de términos umero ermi nos..

  

Polinómicas omicas Racionales Exponenciales Trigon Trig onom´ ométri et rica cass .. . Bin´ omicas omicas Polinómicas omicas

Por el n´ umero de Inc´ umero ognitas. ognitas. Las ecuaciones pueden tener una o más as inc inc´ógni og nita tas. s. As´´ı, por As p or ejempl ej emploo la ecua ecuaci´ ción on 5x 5 x+4 = 2, s´ solo o´lo tiene una incógnita, ognita, la ecuación on 4x 4 x+ y = 1, tiene dos y 2yx 2yx 6z = 1 tiene tres incógnitas. ognitas.

−

−

Un dat datoo in inte teres resan ante te es que que,, el con conjun junto to de sol soluci ucione oness de las ec ecuac uacion iones es con una incognita se pueden representar como puntos sobre la recta real. Si la ecuación on es de dos incógnitas ognitas el conjunto de soluciones se pueden ver como curvas en un plano. Y finalmente, al conjunto solución on de las de tres incógnitas ognitas como curvas en un espacio de tres dimensiones. Sin embargo, esto escapa a los alcances de este curso, por lo tanto serán an tratados en los cursos posteriores.

Por el grado de la incógnita. ognita. Las ecuaciones de una incógnita ognita se pueden clasificar por el grado de la incógnita ognita (el grado es el exponente más as alto de la incógnita). ognita). Las ecuaciones polin´ omicas son de la forma P omicas P ((x) = 0, donde P P ((x) es un polinomio en x, que al trasponer términos erminos y simplificar adoptan esa expresi´ on. on. Por ejemplo, 3x 3x3 5x2 + 3x 3x + 2 = 0 es una ecuación on polinómica. omica.

−


68



´ n de las Ecuaciones. 2.1. Clas Clasifica ificaci cion o

Las ecuaciones polinómicas omicas de primer grado, ax + b = 0, usualmen usualmente te es lla llamad madaa ecuaci´ on lineal. on 1 Un ejemplo será la ecuación on 4x + = 2 2 2 Fijese en la ecuación on 7 3( 3(x en es lineal, ya que po podemos demos encontrar x 3) = 3x2 también una ecuación on equiv equivalente, alente, utilizando las operaciones indicadas anteriorme anteriormente, nte, as as´´ı,

− −

7

−

−

−

7 3( 3(x x 3)2 7 3( 3(x x2 6x + 9) 7 3x2 + 18x 18x 27 3x2 + 18x 18x 27 + 3x 3x2 18x 18 x 20

−

− −

−

−

−

− −

= 3x2 = 3x2 = 3x2 = 3x2 + 3x 3x2 = 0

− − − −

Las ecua ecuacione cioness polin´ omicas de segundo grado responden a la estructura: omicas ax2 + bx + c = 0, y se les llama cu cuad adr´ r´ at icas atic as. Como ejemplo de ecuaciones cuadráticas aticas tenemos: x2 5x + 3 = 0 y x2 = 4. Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incóognita gnita está bajo un signo radical, como: 2x 2 = 1.

−

√ −

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por eje ejemplo: mplo: 2 1 3 + = 2 . 1 x x+1 1 x

−

−

En las ecuaciones exponenciales la incógnita ognita está en un exponente: 3 x = 9.

En las ecuaciones lo ognita se encuentra afectada por el logaritmo, en loga garr´ıt ıtmi mica ca la incógnita este caso la solución on debe satisfacer ciertas restricciones: log 10. log((x 1) = 10.

−

trig igon onom om´ ´ et rica etri cass la incógnita En las ecuaciones tr ognita está afectada por alguna funci´ on on π trigonom´ trigon ométrica; etrica; por ejemplo: Sen +x cos(x cos( x) = 1 2

 −


69


´ n de Ecuaciones 2.2. Reso Resoluci lucio

2.2.


Resoluci´ on de Ecuaciones on

Resolver una ecuación, on, como ya se dijo antes, es hallar su solución, o soluciones (si es el caso), o verificar que no tiene solución. Para tal fin, dada una ecuación on se halla una equivalente cuya apariencia sea más as sencilla. Hay fórmulas ormulas generales g enerales para pa ra resolve resolverr las ecuaciones polinómicas o micas de grado 1 a 4, sin embargo las fórmulas ormulas son complicadas y dif dif´´ıciles de recordar para grado mayor que 2. Por lo tanto buscaremos formas más as accesibles para nosotros de resolver las ecuaciones.

2.2.1. 2.2 .1.

Resol Re solvie viendo ndo una ecu ecuaci aci´ ´ on lineal. on

Para resolver una ecuación on lineal, se pasa a otra equivalente en las que dejamos los términos erminos que incluye incluyen n la variable en un solo lado de la ecuaci´ on y pasamo on pasamoss los términos erminos constantes al otro miembro. En general, si ax + b = 0 con a = 0, seg´ un el principio de adición un on podemos sumar b 1 a ambos lados y seguidamente multiplicar por o eqivalentemente, dividir entre a, as´ı, a



−

ax + b (ax + b) + ( b) ax 1 (ax ax)) a

−

= 0 = 0 + ( b) = b 1 = b a b x = a

− − −

−

Como ejemplos tenemos:

Ejemplo 2.4 2x + 4 = 3 2x = 1 1 x = 2

− −

Ejemplo 2.5 Resolver 5x 6 = 3x. Se comienz comienzaa haciendo que los términos erminos que implican a x se encuentren en un lado y las constantes en el otro.

−


70



5x

−

´ n de Ecuaciones 2.2. Reso Resoluci lucion o

5x 6 6 + ( 3x) 2x 6 2x 6 + 6 2x 2x 2 x

−

− − −

= = = = =

3, 3x + ( 3x) (sumando 3x a ambos miembros) miembros), 0 (simplificando simplificando)), 0+6 (sumando 6 a ambos lados) lados), 6 (simplificando simplificando)) 6 = (dividiendo ambos lados entre 2 ), 2 = 3.

−

−

Resulta claro que 3 es la ´ unica ra ra´´ız de la ultima ´ ecuaci´ on. Dado que cada ecuaci´ on es equivalente a la que le antecede, se concluye que 3 debe ser la ´ unica un ica ra´ız ız de 5x 6 = 3. Es decir, el conjunto soluci´ on 3 .

−

{}

Ejemplo 2.6 Resolver 2( p + 4) = 7 p + 2. 2. En primer p rimer lugar se eliminan los par´ entesis. entesis.

2( p + 4) 2 p + 8 2 p 5 p

−

= 7 p + 2, 2, = 7 p + 2 = 7 p 6 = 6 6 p = 5 6 p = . 5

− − −

−

(propie propiedad dad distributiva ), (se resta 8de ambos lados) lados), (se resta 7 resta 7 p de ambos miembros) miembros), (se dividen ambos lados entre

− 5)5),,

− −

7x + 3 9x 8 = 6. 2 4 En primer lugar, se eliminan las fr fracciones acciones multiplicando multiplicando ambos lados por el m´ınimo com´ un denominador denomi nador (es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todos los denominadores. ), que en este caso es 4.

Ejemplo 2.7 Resolver


71


´ n de Ecuaciones 2.2. Reso Resoluci lucio



− − − · − − − −




7x + 3 9x 8 4 2 4 7x + 3 9x 8 4 4 2 4 2(7x 2(7 (9x x + 3) (9 x 8) 14x 14 x + 6 9x + 8 5x + 1 4 5x x

·

= 4(6), = 24

(propie propiedad dad distributiva ),

= = = = =

(se simplifica ), (propie propiedad dad distributiva ), (se simplifica ), (se resta 14en 14en ambos lados) lados), (se dividen ambos miembros entre 5 ).

24 24 24 10 2.

A menudo encontramos ecuaciones que a primera vista no parecen ser lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales aplicando propiedades de los números reales estudiadas en el capitulo anterior. Como nos hacen ver los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.8

1.

  − − −   −  − −    − − · − −

− − − −

5x x 2 9 1 2x 1 = x 3 4 2 2 3 5x x 2 9 1 2x 1 Multiplicamos Multiplic amos por 12 12 = 12 x 3 4 2 2 3 2x 1 4(5x 4(5 3(x x) 3( x 2) = 3 9 6 x 3 2x 1 20x 20 x 3x + 6 = 27 6x + 6 3 17x 17 2(2x 1) x + 6 = 27 6x + 2(2x 17x 17 4x 2 x + 6 = 27 6x + 4x 17x 17 x + 6 = 25 2 x sumamos a ambos lados 2x 6 17x 17 2x 6 = 25 2x + 2x 2x 6 x + 6 + 2x 19x 19 x = 19 1 19x 19 19 x multiplicamos por = 19 19 19 x = 1



−

−

−


−

72

− − − − −

− − − −



2.3. Ejer Ejercici cicios os

2.

−2 − x−8 3 4 5x − 2 x − 8 − 5x

Multiplicamos Multiplic amos por 12

12



− −

x + 14 2 2 x + 14 12 2 2 6(x + 14) 24 6x + 84 24 6x + 60 44 44 11 4

 

3 4 4(5x 4(5 3(x 8) x 2) 3(x 20x 20 x 8 3x + 24 17x 17 x + 16 sumamos a ambos lados 16 6x 11x 11 x 1 11x 11 x multiplicamos a ambos lados por 11 11 x

− − − − −

= =

= = = = = =

−

 −

− −

Cada una de las ecuaciones de los Ejemplos tiene una y sólo una solución on o ra ra´´ız. Esto es caracter caracter´´ıstico de todas las ecuaciones lineales en una variable.

Las ec ecua uaci cion ones es en las qu quee al algu guna nass de la lass co cons nsta tan nte tess se re repr pres esen enta tan n por le letr tras as se denominan ecuaciones literales.

Por ejemplo, en la ecuación on literal x + a = 4b se considera que a y b son constantes no especificadas. Las fórmulas, ormulas, como I = P rt on entre ciertas rt,, que expresan una relación cantidades, pueden considerars con siderarsee ecuaciones literales literales.. Si se desea expresar exp resar una letra espec esp ec´´ıfica de una fórmula ormula en términos erminos de las otras, a dicha letra se le considera incógnita. ognita.

2.3. 2. 3.

Ejer Ej erci cici cios os


73



2.3. Ejercicios

1. En los problemas del determinar cuál a l de los números umeros dados satisface la ecuación on dada, 2

− x = 0; b ) 20 − 9x = −x c ) y + 2( 2(yy − 3) = 4; d ) 2x + x − 8 = 0; a ) 9x

2

2

−

−

−

e ) x(7 + x) 2( 2(x x + 1) 3x = 2; x = 2, x = 3 11 7 2 1 f )) f x x + x3 + = 0; x= 9 3 9 2 5 , x = 1, x = 5. 3

x = 0, x = 1 x = 4, x = 5 10 x= ,x=1 3 x = 2, x = 4

−

−

− − √

−

−

2. Determina Determinarr qu qu´é operaci operaciones ones se aplic aplicaron aron a la prime primera ra ecu ecuaci´ ación o n para obtener la segunda. Especificar si las operaciones garantizan o no que las operaciones son equivalentes.

− 5 = 4x + 10; x = 4x + 15. 15. 1 b ) 8x − 4 = 16; x − = 2. 2

a ) x

c ) x = 4; x2 = 16 16.. 1 d ) x2 + 3 = x 9; x2 + 6 = 2x 2x 18 18.. 2 e ) x2 2x = 0; x 2 = 0. 2 f )) f + x = x2 ; 2 + x(x 2) = x2 (x 2) 2).. x 2 x2 1 g ) = 3; x2 1 = 3(x 3(x 1) 1).. x 1 h ) x(x + 5)(x 5)(x + 9) = x(x + 1); 1); (x + 5)(x 5)(x + 9) = x + 1. 1. x(x + 1) i ) = x(x + 9); x + 1 = (x (x + 9)(x 9)(x 5) 5).. x 5 1 2 9 j )) 2x2 9 = x; x2 j x = . 2 2

−

−

−

−

−

− − −

−

−

−

−

− −

−

3. reso resolve lverr las ecuaciones ecuaciones a ) b) c) d ) e)

Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do

−

f )) f

√


Vivas Miguel

x = 2x 6. 5 5y 6 g ) = 2 4y. 7 7 4x x = . h ) 5 + 9 2

−

5x 3 = 9 0.2x = 5. 2x + 3 = 8. 8. 7x + 7 = 2(x 2(x + 1). 1). 6z + 5z 5z 3 = 41. 41.

−

−

74

−



i ) j )) j k )) k l ) m )

2.4.

x x 4 = .d 3 5 2y 3 6y + 7 = . 4 3 9 p 3 + p = ( p 1) 1).. 3 4 2 x+2 2 x = x 2. 3 6 2(x x 2( x 4) + = 7. 5 10

− −

− − −

Ecuacione Ecua cioness que conducen conducen a ecuacion ecuaciones es lineales lineales

n ) n ˜ )

−

o)

−

9 (3 5 2y

− x) = 34 (x − 3)3)..

− 7 + 8y − 9 = 3y − 5 .

3

3 (4x (4 x 2

p ) (3 (3x x

14

21

− 3) = 2[x 2[x − (4 (4x 3)].. x − 3)] 2

2

2

− 1) − (5(5xx − 3) = −(4(4xx − 2) .

4. Despeje la variable que se indica en cada caso a ) I = P rt rt;; P b ) p = 8q c) p =

f )) 2mn = 3k; m f

− 1; q

g )

−3q + 6; q

2ml ; m. B (n + 1) R[(1 + i)n 1] e) ; R. i

h )

d ) r =

−

2.4.. 2.4

i i ))

−

3k t a+b = ; n bm n m

− m−3 − m = 3am − 1 + 1 ; m 2

1

8

4

− 3nw = 3a − b + 5 ; w. 4 3 w−1

Ecua Ec uaci cione oness que con conduc ducen en a ecu ecuac acion iones es li linea neale less

Algunas ecuaciones que no son lineales carecen de solución. on. En este caso, se dice que el conjunto solución on es el co conj njunt unto o vac´ıo ıo, el cual se denota mediante .

∅

Los siguientes ejemplos ilustran que resolver ecuaciones no lineales puede conducir a ecuaciones lineales.

Ejemplo 2.9 Resuelva las siguientes ecuaciones. 1.

5 x

−4

=

6

x

− 3.

A esta ecuaci´ on se le denomina ecuaci´ ognita se on fraccional debido a que la inc´ encuentra en le denominador. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

75


2.4.


Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales

Para resolverla, primero se le escrib Para escribee en forma que no tengan frac fracciones. ciones. Multiplicando Multiplicando ambos lados por el e l m´ınimo com´ un denominador,( denominador,(x 4)( 4)(x 3),, se tiene x 3)

−

(x

5 − 4)( 4)(x x − 3) x−4 5(x 5( x − 3) 5x − 15

−

6 − 4)( 4)(x x − 3) , x−3 6(x − 4) (siempre y cuando) cuando) (x − 4)( 4)(x =0 x − 3)  6x − 24 24,,

= (x

= = 9 = x.

En el pri primer mer paso, paso, se mul multip tiplic lic´ ´ o cada un unoo de lo loss la lados dos por un unaa ex expr pres esi´ i´ on que implicaba la variable x. Esto significa que no se garantiza que la ´ ultima ecuaci´ on equivale a la ecuaci´ on original. Por consiguiente, debe verificarse si el n´ umero 9 satisfac sati sfacee la ecuaci cuaci´ ´ on ori origin ginal. al. Si se su susti stitu tuye ye x por 9 en es esaa ecu cuac aci´ i´ on, el lado izquierdo se convierte en 5 9

−4

=

5 =1 5

=

6 = 1. 6

y el lado derecho es 6 9

−3

Dado que ambos miembros son iguales, 9 es una ra´ız.

2.

− 3xx−−45 = x −122x − 8 . Como x − 2x − 8 = (x +2)( +2)(x 4),, el m´ıni ınimo mo com´ un denominador. es (x +2)( +2)(x 4).. x − 4) x − 4) Multiplicando ambos lados por (x + 2)(x 2)(x − 4) 4),, se tiene: 3x + 4 x+2

2

2


76



(x

2.4.

− 4)(3 4)(3x 2)(3x − 5) x + 4) − (x + 2)(3x 3x − 8x − 16 − (3 (3x x + x − 10) 3x − 8x − 16 − 3x − x + 10 −9x − 6 −9x 2

= = = = = x =

2

2

2


12, siempre que (x + 2)(x 2)(x 12, 12, 12, 18,, 18 2.

− 4) = 0

−

−

Sin embargo, la ecuaci´ on original no est´ a definida para x = 2 (no se puede dividir entree 0), y por ello, entr el lo, no existen ra´ıce ıces. s. El conj conjunto unto soluci´ on es . 3.

∅

4

x

− 5 = 0.

La unica ´ forma en que una fracci´ on puede ser igual a 0 es cuando el numerador es 0. Dado que el numerador, 4, nunca puede ser cero, el conjunto soluci´ on es .

∅

√

Ejemplo 2.10 Resolver x2 + 33

− x = 3.

Para resolverla, se elevan ambos miembros a la misma potencia para eliminar el radical. Esta operaci´ on no garant garantiza iza equivalencia y, por el lo, se deben verificar verificar cualesquiera “soluci´ on”” on resultante. Se comienza aislando el radical en un lado.

√x

2

+ 33 x + 33 x2 + 33 24 4 2

= x + 3, 3, = (x + 3)2 (elevando al cudrado ambos lados) lados), 2 = x + 6x 6x + 9, 9, = 6x, = x.

Se debe estar en posibilidades de probar, mediante sustituci´ on, que 4 es en realidad unaa ra´ız. un

√ − −√

−

Ejemplo 2.11 Resolver y 3 y = 3. Cuandoo una ecuaci Cuand cuaci´ on ´ tien tienee dos t´ erminos que contie erminos ontienen nen radic adicales, ales, en prim primer er lugar se escribe una ecuaci´ on de manera que, de ser posible, se encuentre un radical en cada uno Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

77


2.4.


Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales

de sus miembros.

√y − 3 y−3 √ 6 y √y

√ − − √

= y 3, = y 6 y+9 (elevando al cuadrado ambos lados) lados), = 12 12,, = 2, (elevando al cuadrado ambos lados) lados). y =4

√ − √4, que

Sustituyendo 4 en el primer miembro de la ecuaci´ on original se obtiene 1 es -1. Puesto que esto no es igual al segundo miembro, -3, no existe soluci´ on. Es decir, el conjunto soluci´ on es .

∅

Ejercicios. 2.1 1. En los Problemas siguientes resolver resolver las ecuaciones. a) b) c) d) e) f ) g) h) i)

5 = 25 25.. x 4 = 2. x 1 3 = 0. 7 x 5x 2 = 0. x+1 4 3 = . 8 x 4 2 x+3 = . 5 x q = 3. 3q 4 4 p = 1. 7 p 1 2 = . p 1 p 2

k)

− − −

l) m) n)

−

− − −


j j))

n ˜) o) p) q)

−

78

− −

2x 3 = 6. 4x 4 1 1 4 + = . 5 x 5 4 3 = . t 3 t 4 3x 2 3x 1 = . 2x + 3 2x + 1 x+2 x+1 + = 0. x 1 2 x y 6 6 y +6 = . y y y 6 y 3 y 3 = . y+3 y+2 4 7 3 = + . 2 x x+1 x 1 1 3 4 = . x 3 x 2 1 2x

− −

−

−

− − − − − − − − − − − − − −



r) s)

9

2.4.


√x + 6 = 3.3. √ u) z − 2 = 3.

3x

t)

− 3 = x − 3. 3x − 4 x x − = . x+3 x−3 x −9 x

2

2. En los Problemas siguientes resolver resolver las ecuaciones.

√5x − 6 − 16 = 0.0. √ b) 6 − 2x + 5 = 0. 0. a)

c)



2 x +1 = . 2 3

d) (x + 6)1/2 = 7.

√4x − 6 = √x. √7 − 2x = √x − 1. g) (x − 3) = 8. h) y − 9 = 9 − y. √ √ i) y + y + 2 = 3. 3. e) f )

3/2



2

√x − √x + 1 = 1.1. √ 2z03 + z. k) z + 2z j j))

2

l)

 −  1 w

2 5w −2

= 0.

3. En cierta reser eserva va ecol´ ecol´ ogica, el n´ umero y de presas que un depredador consume en cierto intervalo de tiempo est´ a dado por y=

10x 10x , 1 + 0. 0.1x

en don donde de x es la den densid sidad ad de pr presa esas(n s(n´ umer um ´ eroo de pr pres esas as por de dens nsid idad ad de ´ area). ¿Qué densida densidadd permitir permitir´´ıa ıa a un depredador sobrevivir si nec necesita esita consumir 50 presas en el per per´´ıodo dad dado?. o?. 4. Existen Existen varias reglas para para deter determinar minar las dosis de me medicin dicinaa pa parra ni˜ nos cuando se ha especificado la dosis para adultos. Dichas reglas pueden basarse en peso, estatura y otras caracter´ısticas. ısti cas. Si A = edad del ni˜ no, d = dosis del adulto y c = dosis del ni˜ no, entonces se tienen dos especificaciones. Regla de Young : Young : c =

A d. A + 12

Regla de Cowling : Cowling : c =

A+1 d. 24

¿A qué edad las dosis de los ni˜ nos son iguales seg´ un las dos reglas?. Redondee su respuesta al a˜ no m´ as cercano.


79


2.5.. 2.5

´ ticas Ecuaci Ecu acione oness Cuad Cuadr ra


√

5. La polic´ polic´ıa ha h a utilizado util izado la f´ f ormula ´ 30ff d para calcular la velocidad s velocidad s (en millas s = 30 por hora) de un autom´ ovil, si derrapa d pies cuando se detiene.La cantidad f es el coeficiente de fricci´ on determinado por la clase de camino (como concreto,asfalto, grava o alquitr´ an); f depende también en de si el camino est´ a seco o mojado. En la tabla que aparece enseguida se proporcionan algunos valores del coeficiente f f .. ¿ A 40 millas por hora, m´ as o menos en qué distancia derrapar derrapar´´ıa un autom´ ovil en un camino seco de concreto?. Proporcione la respuesta redondeando el valor en pies. Concreto Concr eto Alqu Alquitr itr´ ´ an Mojado 0.4 0.5 Seco 0.8 1.0

2.5.

Ecuaciones Ecuaci ones Cuadr´ aticas aticas

Para aprend Para aprender er a res resolv olver er pro proble blemas mas un poco mas com comple plejos jos,, se ex expli plicar car´án an aho ahora ra métodos etodo s para la resolución on de ecuaciones cuadráticas aticas . on que puede on cuadr´ atica en la variable x es una ecuaci´ Definici´ on 2.3 Una ecuaci´ on escribirse de la forma: ax2 + bx + c = 0,



donde a, b y c son constantes y a = 0.



Observe que la condición on a = 0 es indispensable, pues en caso contrario estamos en presencia de una ecuación on lineal. Una ecuación on cuadrática atica es una ecuación on de segundo grado o ecuación o n de grado 2. Mientras que las ecuaciones lineales tienen sólo una ra ra´´ız, algunas a lgunas ecuaciones cuadráticas aticas pueden tener hasta dos ra ra´´ıces distintas. Hay diferentes diferentes alternativ a lternativas as para resolve resolverr la ecuación on : completando cuadrados, utilizando la fórmula ormula cuadrática atica o facto factorizan rizando. do.

Soluci´ on de una ecuación on on cu cuad adr´ r´ atica. atic a. Completando Cuadrados. Ejemplo 2.12 pasos: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

1. Resolver la ecuaci´ ecuaci´ on 22x2 x 6 = 0. Para ello seguimos los siguientes on

−−

80



2.5.. 2.5

´ticas Ecuaci Ecu acione oness Cuad Cuadr raticas a

Dividimos toda al ecuaci´ on entre el coeficiente cuadr´ on atico. atico. 1 2

2x2

−x−6 2x − x − 6 1 x − x−3 2





2

2

= 0 1 = 0 2 = 0

Pasamos los t´ erminos constantes al segundo miembro: erminos x2

− 12 x

= 3

Completamos cuadrado en el primer miembro: En este caso sumamos a ambos 1 2 2 lados 2

−   

2

x

−

−  − − −

1 x+ 2 x2

1 4

2

= 3+

−  1 4

2

1 1 1 = 3+ x+ 2 16 16 2 1 48 + 1 = x 4 16 1 4

x

2

=

49 16

Extraemos ra´ ra´ız cuadrada a ambos lados de la igualdad:

    −  −  √√  −  x

x x

Esto implica que Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

2

1 4

81

1 4 1 4

=

49 16

=

49 16

=

7 4


2.5.. 2.5


x

− 14 = 74


o

x

− 14 = − 74

En cuyo caso, s´ olo nos resta despejar la variable: La ecuaci´ on tiene dos soluciones diferentes: x=

7 1 8 + = =2 4 4 4

y

x=

− 74 + 14 = − 64 = − 32

En Res Resum umen en, , par para a re reso solve lver r la ec ecuac uaci´ ión cua cuadr´ dr´ atica ax2 +bx atica +c = 0 completando bx+ cuadrad cua drado o se sigu siguen en los sigu siguien ientes tes pas pasos: os:

1. Dividimos toda la ecuación on por el coeficiente cuadrático, atico, en caso de ser diferentes de 1. 2. Pasamos los términos erminos constantes al segundo miembr miembro. o. 3. Sumamos a ambos lados de la igualdad k , donde k es la mitad del coeficiente lineal que aparece en el primer miembro. 4. El primer miembro de la ecuación on es el cuadrado del binomio (a ( a + k )2 , de modo que la solución on se obtienen o btienen extrayendo extrayendo la ra ra´´ız cuadrada en ambos lados y finalmente despejamos la variable.

Utilizando la f´ ormu la Cua ormula Cuadr´ drátic at ica. a. Esta fórmula ormula es bastante conocida; si ax2 + bx + c = 0 la(s) soluciones de la ecuación on vienen dadas por la ecuación: on:

−b ± √b − 4ac . 2

2a

Esta fórmula ormula no es mas que la generalización on del procedimiento anterior, veamos: Como la ecuación on que tenemos es ax2 +bx +c = 0 repetimos los mismos pasos anteriores bx+ con esta ecuación on gener general: al: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

82



2.5.. 2.5

ax2 + bx + c b c x2 + x + a a b x2 + x a b 2 b x2 + x + a 2 a

= 0 = 0 =

b 2a

2

b x+ 2a

2

b x+ 2a

2

b 2a b x+ 2a b x+ a 2a

     

o

c + a

=

c b2 + a 4a2

=

4ac + b2 4a2

4ac + b2 4a2 4ac + b2 2a 4ac + b2 2

= =

b x+ .a = 2a

2

4ac + b2 4a2

=

b x+ .a = 2a

b a 2

=

=

x+

En consecuencia

− ac

     −   −   −     −   √−√   √−   | | √− | |

b x + x+ a 2

´ticas Ecuaci Ecu acione oness Cuad Cuadr raticas a

√−4ac + b

2

2

−

√−4ac + b

±

√−4ac + b

2

2

Lo que es equivalente a escribir

b x+ .a = 2a


2

83

2



2.5.. 2.5


Despejando: b = x+ 2a

√−4ac + b ± 2a √−4ac + b b − 2a ± 2a √ b ± −4ac + b 2

2

x =

2

x =

2a

Esto significa que la solución on o soluciones de la ecuación on (en caso de tenerla) debe(n) satisfacer esta ecuación on anterior. As´´ı por ejemplo, las soluciones de 6x2 + 7x As 7x + 1 = 0 deben satisfacer la ecuación: on: b

± √b − 4ac 2

2a

As´ı,

−7 ± √7 − 4 · 6 · 1 2·6 2

= = =

−7 ± √49 − 24 12 √ −7 ± 25 12 −7 ± 5 12

As´´ı las solucio As soluciones nes son: y

−7 + 5 = −2 = −1 12

12

−7 − 5 = −12 = −1

6

on Observaci´ on 2.2 La ecuaci´ on

12

12

−b ± √b − 4ac . 2

2a tiene como cantidad sub-radical o radicando la expresi´ on bb2 4ac on ac,, a la cual la llamaremos discriminate. Ahora bien, al sustituir los valores de a,b,c es el discriminante siempre obtendremos un n´ umero real, por lo tanto puede ser: Positivo, cero o negativo.

−

on tiene dos ra ra´´ıces reales, como se vio en el Si el Discriminante es positivo: la ecuaci´ ejemplo anterior. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

84



´ significa que el discriminante sea negativo? 2.6. 2. 6. ¿Q ¿Qu ue

on tiene s´ oloo una ra ol ra´´ız. Si el Discriminante es cero: La ecuaci´ ecuaci´ aci´ on no tien tienee ra´ıces ıces reales; reales ; esto e sto es, no existen Si el Discriminante es negativo: la ecu n´ umeros reales que satisfagan la ecuaci´ on .

Ejemplo 2.13 Veamos si las siguientes ecuaciones poseen soluci´ on: 1. x2

− 2x + 1 = 0.0. Es sano calcular el valor del discriminante.

on tiene s´ olo una b2 4ac = ( 2)2 4 1 1 = 4 4 = 0; esto implica que la ecuaci´ soluci´ on. ¿Cual?, s´ olo completamos

−

− − · ·

− −b ± √b − 4ac = −(−2) ± 0 = 2 2a 2·1 2

2. 2x2

− 3x + 7 = 0.0.

Calculamos el discriminante b2 4ac = ( 3)2 4 2 7 = 9 indica que la ecuaci´ on no tiene soluciones reales.

−

2.6.

− − · ·

47,, lo cual nos − 56 = −47

¿Qu´ e significa que el discriminante sea negativo?

Como ya hemos comentado antes, si tenemos la ecuación on ax2 + bx + c = 0, y calculamos calculamos bx+ 2 el discriminante b 4ac y es negativo, significa que ningún u n número umero real satisface esta ecuaci´ on. on.

−

Pero podemos ir más as allá, a, ¿Qué otro dato intere interesante sante podemos obtener? Pues uno muy interesante!! Eso significa que la expresión on ax2 + bx + c nunca se “hace cero”, y en consecuencia siempre va a ser positiva o siempre negativa. ¿Cómo omo averiguarlo?, sencillo, sustituimos x por un n´ umero real cualquiera, y el signo umero del resultado, debe coincidir con el signo de la expresión. on x on Ejemplo 2.14 En la expresi´ x2 + x + 1 calculamos 12 que la expresi´ on tiene siempre un mismo signo. Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

85

− 4 · 1 · 1 = −3, lo cual nos indica UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7

´ significa que el discriminante sea negativo? 2.6.. ¿Que 2.6


Si sustituimos x = 0 en la expresi´ on, obtenemos 02 + 0 + 1 = 1, lo cual nos indica que la expresi´ on siempre es positiva. Y como consecuencia tenemos que podemos resolver una inecuación interesante x2 + on todo el conjunto de los números umeros reales, R. x + 1 > 0, la cual tendrá solución Y además as obtenemos que x2 + x + 1 ¿No te parece interesante ?...

≤ 0, tiene como conjunto solución on ∅.

Hallando las Ra Ra´ ´ıces por Factoriza actorizaci´ ci´ on. on.

−

En otras ocasiones resulta muy útil util expresar la ecuación on factoriza factorizada, da, ésta esta es a(x )(x on y a el coeficiente cuadrático; atico; x0 )( x x1 ) donde x0 y x1 son las soluciones de la ecuación como podemos ver en el siguiente ejemplo.

−

7x + 12 = 0. 0. Ejemplo 2.15 Deseamos hal h allar lar las ra ra´´ıces de la ecuaci´ on x2 + 7x Para ello, factorizamos el primer miembro de la ecuaci´ on ((x+3)( on +3)(x +7x x+4) = x2 +7 x+12 = 0. 3)(x + 4) sea igual a cero, es suficiente que alguno o ambos Para que el producto (x + 3)(x de los factores sea cero. Luego, Lueg o, la lass ra´ıces ıces so son n x = 3 y y x x = 4. (Puede verificarlo con cualquiera de las formas anteriores para buscar la soluci´ on.)

−

−

on 6x2 5x Ejemplo 2.16 Consideremos ahora la ecuaci´ 4 1 En este caso, 6x2 5x 4 = 6 x . x+ 3 2 4 1 As´ı la lass ra´ıces ıce s so son n x = y x = . 3 2

− −

 −   −

− 4 = 0.

−

Pero esta herramienta va mas allá, a, algunas ecuaciones, no necesariamente, cuadráticas aticas pueden resolverse mediante factorización, on, como se muestra en el Ejemplo siguiente

Ejemplo 2.17 Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 4x Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

3

− 4x 86

= 0. UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7


´ significa que el discriminante sea negativo? 2.6. 2. 6. ¿Q ¿Qu ue

A ésta esta se le denomin denominaa ecuaci´ on de tercer grado. 4x 4x3 = 0, 2 4x(1 x ) = 0, 4x(1 x)(1 + x) = 0.

−

− −

Para que el producto sea igual a cero, al menos uno de los factores debe ser cero, o todos, (note que 4 = 0) por lo tanto nos queda que x = 0, 1 x = 0, o bien 1 + x = 0. En consecuencia, el conjunto soluci´ on es:



−

{−1, 0, 1}. 2. x(x + 2)2 (x + 5) + x(x + 2)3 = 0. Como el factor x(x + 2)2 es com´ un a ambos términos erminos del lado izquier izquierdo, do, se tiene [(x (x + 2)] = 0, x(x + 2)2 [( x + 5) + (x 2 (2x x(x + 2) (2 x + 7) = 0 . 0, o bien 2x + 7 = 0, 0, de donde se concluye que el conjunto Por ello, x = 0, x + 2 = 0, 7 soluci´ on es , 2, 0 . 2

{− − }

Ejemplo 2.18 Resolver x2 = 3. Esta ecuaci´ on es equivalente a x2

− 3 = 0.

Factorizando, se obtiene

√ 0. − √3)( 3)(x x + 3) = 0. √ √ √ Por lo tanto, x − 3 = 0 o bien x + 3 = 0. Las ra ra´´ıces so son n ± 3. (x

Una forma más as general de la ecuación on x2 = 3 es u2 = k. De la misma manera que antes, se puede demostrar que: Si u2 = k , entonces u = Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

87

±√k. UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7


2.7. Problemas que resolver con Ecuaciones

2.7.. 2.7

Probl Pr oblem emas as que que resol resolv ver con con Ecu Ecuac acion iones es

Podemos tratar de resolver algunos problemas que tenga que ver con nuestro quehacer. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.19 Un n´ umero se multiplica por 3. El resultado se divide por 4 y luego se le resta res ta 5. Este nuevo res resultado ultado se multiplic multiplicaa por 10, obteni´ endose as endose as´´ı la cuarta parte del n´ umero aumentada en 37. ¿Cu´ al es el n´ umero? Para resolverlo, llamaremos x al n´ umero que andamos busc umero buscando. ando. Por pasos: 1. En primer lugar nos dicen que multiplicamos por 3 al números: umeros: 3x 3x 2. El resulta resultado do se divide divide por 4: 3. y luego se le resta 5:

3x 4

3x 4

− 5.

4. Este nuevo resultado se multiplica por 10: 10

 − 3x 4

5

5. obt obteni´ eniéndose endo se as a s´ı la cuart c uartaa parte par te del número umero aumentada en 37: 10

 − 3x 4

5 =

x +37 4

Con todas las condiciones que nos indica el problema, nos genera una ecuación, on, que sólo olo debemos resolver para saber cual es el valor de x (que es nuestro número umero buscado). 10 usamos propiedad distributiva Multiplicamos p or 4 sumamos a ambo lados x + 20 0

−

dividi div idimos mos am ambos bos lad lados os por 29

 −

3x 5 4 30x 30 x 50 4 30x 200 30x x 29x 29 x 29x 29 x 29 x

− − −

= = = = = = =

x + 37 4 x + 37 4 x + 148 2000 + 14 20 1488 3 48 348 29 12.. 12

As´ı,ı, el numero u ´ mero buscado es 12. Las La s cu cuat atro ro fas fases es qu que e hab habr´ r´ a qu que e se segui guir r pa para ra res resol olve ver r un pr prob oble lema ma so son: n: Bracamonte Bracam onte Mirey Mireya a Ere Juranc Jurancy y Mendoza Mendoz a Maln Monsalve Monsal ve Abelar Abelardo do Vivas Miguel

88



2.7. Pro Problemas blemas que resolver resolver con Ecua Ecuacione cioness

1. Comprender el problema; problema; para lo cual es importante leer detenidamente detenidamente el enunciado. enunciado. 2. Plant Plantear ear el pro proble blema. ma. Aqu Aqu´´ı se debe ele elegir gir las oper operaci acione oness y ano anotar tar el ord orden en en que deben deb en ser realizadas, as as´´ı como expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones. 3. Resolver el problema, en este caso hallar la solución on de la ecuación. on. 4. Y finalmente, responder y comprobar la solución. on.

Ejemplo 2.20 Hay que repartir Bs 60.000 entre cierto n´ umeroo de amigos umer amigos,, pr presen esentes tes en una reuni´ on, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le toc tocar ar´´ıa Bs2.500 B s2.500 m´ as. ¿ Cu´ antos son los amigos presentes y cu´ anto le toca a cada uno? Denotemos Denot emos por p or x el n´ umero de amigos presentes. umero 60000 x Como el problema nos dices que “si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocar´ to car´ıa ıa Bs2 Bs2.50 .5000 más”, as”, esto se puede expresar por Entonces a cada uno le debe tocar

60000 60000 = 2500 + x 2 x

−





As´ı que proced As´ procedemos emos a resolver res olver la l a ecuaci´ ecu ación, on, teniendo presente que x = 0 y x = 2, en cuyo caso, 60000 60000 = 2500 + x 2 x 60000 60000 = x(x 2) 2500 + x(x 2) x 2 x 60000x 60000 00((x2 2x) + 60000(x 60000(x 2) x = 2500 60000x 60000 5000x 60000x x = 2500x2 5000 x + 60000 x 120000 0 = 2500(x2 2x 48) 0 = 2500(x 8)( 8)(x x + 6)

−

 −

−

−



− − − − −



− −

−

De aqui tenemos que las posibles soluciones están an dadas por x 8 = 0 y x +6 = 0, es decir, si x = 8 o x = 6; ahora bien, x denota el número umero de personas en la reunión, on, por lo tanto no puede ser 6, as as´´ı que la respuesta es “en la reunión on hay 8 amigos” 60000 y a cada uno le corresponde = 750 75000 bo boll´ıvares. 8

−


−

89



2.7. Problemas que resolver con Ecuaciones

Ejercicios. 2.2 En los Problemas resolver resuelva las ecuaciones que se indican. 1. x2

− 4x + 4 = 0.0.

− 1)( 1)(x 0. x + 2) = 0. 21. (x − 2) (x + 1) = 0. 22. x − 4x + 5x 5x = 0. 23. 6x + 5x 5x − 4x = 0. 24. x − 64 64x x = 0. 25. (x + 3)(x 3)(x − x − 2) = 0. 0. 26. 3( 3(x 2x − 8)( 8)(x 0. x + 2x x − 5) = 0. 27. p( p − 3) − 4( p − 3) = 0. 28. x − 3x + 2 = 0. 0. 29. x + 2x 2x − 24 = 0. 0. 30. x − 2x − 15 = 0. 0. 31. 4x − 12 12x 0. x + 9 = 0. 20. x(x

2

2. t2 + 3t 3t + 2 = 0. 0.

3

3. y 2

− 7y + 12 = 0.0. 4. x + x − 12 = 0. 0. 5. x − 2x − 3 = 0. 6. x − 16 = 0. 0. 7. x − 12 12x 36.. x = −36 8. 3w − 12 12w 0. w + 12 = 0. 9. x − 4 = 0.

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

4

2

3

2

2

10. 2x2 + 4x 4x = 0. 11. x2 + 9x 9x =

2

2

−14 14..

2

12. 4x2 + 1 = 4x. 4x.

32. p2 + 2 p 2 p = 0.

13. z2

33.

2

14. y (2 (2yy + 3) = 5. 5. 15. 8 + 2x 2x 16. 17.

2

−x

2

− 3x

35. 2x2 + x = 5.

= 0.

36. 6x2 + 7x 7x

+ 3x 3x + 10 = 0. 0.

37. w 2

1 2 3 y = y. 7 7

2


− 2√2w + 2 = 0.0.

39. 6x2 + 7x 7x 40. w 2

−r − r + 12 = 0.0.


− 5 = 0.

38. 2x2 + x = 5.

18. 2 p2 = 3 p. 19.

2

−2x + x = 0. 34. 4 − 2n + n = 0.

− 8z = 0.

90

− 5 = 0.

− 2√2w + 2 = 0.0. UCLA UCL A - Dep Depart artame amento nto de Mat Matemt emtica icas s - 200 2007 7


2.7. Pro Problemas blemas que resolver resolver con Ecua Ecuacione cioness

41. 2x2

− 3x = 20 20.. 42. 0.01 01x 0.2x − 0.6 = 0. x + 0.

52.

14yy + 7 14 y+1 y+5 + = 2 . y+3 y 2 y +y 6

53.

2x 3 2x + = 1. 2x + 5 3x + 1

54.

3 4 12 + = . t+1 t t+2

55.

2 x2 −1

2

43. 2x2 + 4x 4x = 5 44.

2

−2x − 6x + 5 = 0.0.

45. x2 =

x+3 . 2

6 x 46. = 3 x 47. 48.

3 x

−4 2

6 − = 5. x − 1 2x + 1

50.

6(w + 1) 6(w w + = 3. 2 w w 1

51.

− 6x2+x 1 = 1.

−

2


1 x(x−1)

3(x 3( x+3) x2

=

2 x2 . 1−x x



−

r+1 − = 0. r−2 r+4


−

+ 3x 3x = − . √ 57. 3 x + 4 = x − 6. √ 58. q + 2 = 2 4q − 7. √ √ 59. x + 7 − 2x − 1 = 0. √ √ 60. x − 2x + 1 + 1 = 0. 0. √ √ 61. x − 2x − 8 − 2 = 0. √ √ 3. 62. y − 2 + 2 = 2y + 3. √x + 2 = √2x − 4. 63. √ √ 64. x + 5 + 1 = 2 x.

x

6x + 7 2x + 1

−

−

56. 5

− 1. x−3 + = 2.

49.

−

91


Bibliograf´ıa [1] BALDOR, J. A. Algebra . Publicaci Publicaciones ones CUL CULTURAL. TURAL. México. exico. 1999. [2] LEITHOLD, L., Matem´ aticas Previas al C´ alculo,, 3a. ed., 1994. alculo [3] SAENZ, Jorge. Calculo Difer Diferencial encial , con func funciones iones trans transcend cenden entes tes temp tempranas ranas para ciencias e ingenier in genier´´ıa. Venezuela. Segunda Edición. on. 2005 [4] STEW STEWAR ART, T, Jam James es y otr otros os Prec´ alculo.. International Thomson Editores. México, alculo exico, Boston, Toronto, Washington. Tercera Edición. on. 2001.

92

Precalculo

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