Veleučilište u Rijeci
PREGLED FORMULA za kolegije Vjerojatnost Vjerojatnost i statistika (tručni stu!ij in"or#atike$ in"or#atike$ tatistika za %o!uzetnike %o!uzetnike (tručni stu!ij %o!uzetništ&a$
GRAF')O PR')A*'VA+,E x 0 = 0⋅ 360 cjelina x 0 dio cjelina – isječak - dio trukturni krug(sektor kruga) – parcijalna frekvencija pojave – ukupna frekvencija r P 1 – polumjer kruga – ukupna frekvencija koja se prikazuje grafi čki – Ludolfov broj (3,14)
1Pr=
x
-
0 trukturni %olukrug
di o cj el in a
180 = cjelina dio x
00 ⋅
– isječak (sektor kruga) – parcijalna frekvencija pojave – RELA.'V+' ukupna frekvencija
-
Postoci
-
Relati&ni 0roje&i P koor!inacije (R/)$
– polumjer kruga – ukupna frekvencija
di o cj
2100 = cjelina dio P
2 1 f
f RBK =
1 2 f
f RBK =
f 1 f 2
-postotak, relativna frekvencija -parcijalna
-frekvencija jedne statističke pojave (mase) -frekvencija druge statisti čke
/RO,EV'
-geometrijska -indeks -jedna -frekvencija G I sredina frekvencija čkog niza, f i f 1 numeri 5 25 N i x i N G 1 statisti-ukupan čke pojave broj N f Bi=1,...,n 100ili1 ⋅ N=N xxxG B f f I log 1 log -drugaufrekvencija nizu xi jedinica ⋅⋅⋅= ... 21 iste statističke l -vrijednost +UMER')' +'* re!nje &rije!nosti o numeričkog g obiljež ja, i=1,...,n Arit#etička sre!ina -logaritam -Vagana- 3ar#onijska sre!ina -(grupirani - Geo#etrijska sre!ina -podaci)Mo! Jednostavna (negrupirani podaci)
4
44 5
5
225 n i iin
xf f G 1 1 log 1 log ili N f k ff k xxxG ⋅⋅⋅= ... 21 21 ii
Jednostavna (negrupirani podaci) Grupirani podaci 55 1 N x x N i i (distribucija Vagana frekvencija s (grupirani razredima) ( ) ( ) i podaci) cbab ab LMo ⋅ −+− − += 1 5 5 2 5 n i i n i
4
44
-ii f fx x 1Me!ijan 1
i f f ic=
Jednostavna (negrupirani podaci)
4
5
x f i M N o x Li 1
b a c i
f c f i i H f i N xi
5 N i xi N H 1 1
Vagana (grupirani podaci)
4 4 Negrupirani podaci 5
5
5 niiini
2 + 1 = N r 2 1 N r = i x f f H 1 1 112 += rr 2 21 rr xx Me + =
r r 1 ,
r 2 N M e xr 1,
-aritmetička sredina -frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n -ukupan broj -mod -donja granica jedinica u nizu modalnog razreda -vrijednost -najve6čakog frekvencija numeri u nizuž ja, (najve 6a obilje i=1,...,n korigirana frekvencija kod nejednakih razreda) -frekvencija iznad b -frekvencija ispod b -veličina modalnog razreda -korigirana frekvencija -frekvencija sredina -harmonijska numeričkog niza, -frekvencija -veliniza, i=1,...,nčkog čina numeri i=1,...,n -ukupan broj jedinica u nizu -vrijednost numeričkog -redni broj podatka, obiljež ja, i=1,...,n koji predo čuje medijan u ure !enom nizu s neparnim brojem članova (jedinica) -redni brojevi podataka u ure!enom nizu s parnim brojem članova (jedinica) -ukupan broj članova (jedinica) u nizu -medijan
'n!eksi
Gru%irani %o!aci (!istri0ucija
L -donja granica 1 medijalnog "rek&encija srazreda razre!i#a$
4
-zbroj frekvencija
N − f
2
4
1
Me = L1 +⋅ i -redni broj f med r podatka kojim se pomo 6u Grupirani podaci (distribucija frekvencija bez razreda)kumulativnog N r=
2
R x max xxR −= Mjeremin!is%erzije
m ax
-raspon varijacije -najve6a vrijednost numeričkog obiljež ja
- Ras%on &arijacije
-redni brojevi podataka u - )&artili Donji k&artil r 1 ure!enom nizu , r 2 kojima se odre !uje N donji kvartil -ukupan Q broj članova 1 (jedinica) u nizu xr -donji kvartil Negrupirani podaci 1, -podatak s rednim 4 1 N r = 112 += rr 2 xr brojem r 1 tj. r2 -donja 2 21 1 rr xx Q + = L granica kvartilnog 1 razreda -zbroj 4 frekvencija do f 1 kvartilnog razreda f Q -frekvencija 1 kvartilnog razreda i -veličina kvartilnog razreda Grupirani podaci (distribuci ja frekvencij as razredima
-redni brojevi Gornji podataka u r 1 ure!enom nizu , r 2 kojima se odre !uje 'nterk&artil N gornji kvartil Q -ukupan broj 3 članova (jedinica) u xr nizu -gornji kvartil 1, -podatak s rednim xr brojem r 1 tj. r2 -donja 2 L granica kvartilnog 1 razreda -zbroj 4 frekvencija do f 1 kvartilnog razreda )oe7cijent k&artilne !e&ijacije f Q -frekvencija 3 kvartilnog razreda i -veličina kvartilnog razreda Grupirani podaci (distribuci ja frekvencij -a s tan!ar!na !e&ijacija razredima )iffN Negrupirani podaci 4 3 1 N r = 112 += rr 2 21 3 rr xx Q + =
I -interkvartil
Q
=
13 QQI Q −
Q 1
-donji kvartil
V Q 13 13 QQ
QQ V Q + − =
Q 1
-koeficijent kvartilne devijacije -donji kvartil -gornji kvartil
8 92 -standardna 85
2µ
devijacija -varijanca ili
k&artil
2100 = x V σ
V
8 x
- )oe7cijent &arijacije -koeficijent varijacije -standardna devijacija
Mjere asi#etrije i #jere zao0ljenosti
- Mo#enti oko nule
Negrupirani podaci N x N i k i
4 m
5 1
,
N
N
x
x
N
N
i
i i
i
4
4 m
-k-ti moment oko nule, k=0,1,... -vrijednost mk numeričkog xi obiljež ja, i=1,...,n N -ukupan broj f i jedinica u nizu -frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
5
m 5
1
2
,
1 2
,
N x N i i
4
N x N i
, i
5 1 3
m 4
m Grupirani podaci
4 4
4
51 4
Me 8 -medijan -standardna devijacija
8 )3 ( 2 Me x S k −⋅ =
- Mo#enti oko sre!ine Negrupirani podaci
-k-ti moment oko sredine, k=0,1,... - k5 N xx kN i i k 9 ti moment oko nule, k k=0,1,... -vrijednost , N xx asi#etrije -< 5 1 µ )oe7cijent m S -Bowleyjeva mjera k numeričkog k #jere - Pearsono&e asi#etrije asimetrije Q 5 < 59 , xi obiljež ja, i=1,...,n N i i 2 1 2 - 13 31-2 /o:le;je&a asi#etrije -donji kvartil -gornji QQ Me QQ #jera Q-ukupan broj jedinica N - N )oe7cijent zao0ljenosti 1 xx 1 3= kvartil -medijan S kQ N−i i−3 + x Qu nizu -aritmeti čka sredina -frekvencija 5 < 59 , N xx f i numeričkog niza, N i i 4 1 4 5 < 59 i=1,...,n Grupirani podaci
4
()
()
4
4
()
()
4
()4
)OM/'+A.OR')A
4 5 5
=4 94 8 -koeficijent zaobljenosti - četvrti
4 4, 4 σ µ α = f xxf 1 1 µ
moment oko sredine -standardna devijacija
()4
4
55
<
5 n i i n i ii f xxf 1 2 1 2µ ,
($44
55
<
5 n i i n i ii f xxf 1 3 1 3µ ,
4 55< -( ) 4Varijacije 5 n i i n i ii f xxf 1 4 1 4µ 1 0 =µ , 01 /ez %ona&ljanja = n!µ P = Pomo6u momenata oko nule 2 %ona&lj 122 mm anje# −=µ 3 12133!! 23 mm mm +−=µ 4 12 2 13144
364 333σ
µ α =
/ez %ona&ljanja )! ( ! rn n V − =
Mo x − %ona&lj 8 S k = 1
P P n r
-permutacije bez ponavljanja -permutacije s ponavljanjem -broj elemenata -razred
=3 93 8 -koeficijent asimetrije -tre6i moment oko sredine -standardna -varijacije bez V devijacija ponavljanja V -varijacije s n ponavljanjem -broj r elemenata -razred S -Pearsonova mjera k asimetrije x -aritmetička sredina M -mod
/ez %ona&ljanja )! !( ! rnr n r n K −⋅ =B゚ ⎠゙ ⎜ワ ⎝ロ
5 V,ERO,A.+O.
-kombinacije bez K ponavljanja K -kombinacije s n ponavljanjem r -broj elemenata -razred
)o#0inacije
- Mate#atička &jerojatnost ili &jerojatnost a %riori %ona&lj anje#
-
tatistička &jerojatnost ili &jerojatnost a %osteriori
-
u%rotna &jerojatnost
-
*0rajanje &jerojatnosti > &jerojatnost ?iliili@ u ekskluzi&no# s#islu - Mnoenje &jerojatnosti > &jerojatnost ?ii@ - Vjerojatnost 0are# je!an > &jerojatnost ?ili@ u inkluzi&no# s#islu Vjerojatnost sa#o je!an
-
Vjerojatnost !oga!aja koji se %ona&ljaju
-
U&jetna &jerojatnost
-
.otalna &jerojatnost P
)()(1 Q BQ AP ⋅−=
( A ) P
P ( A ) P P ( A )
m
P 1
P Q ( P A2 )
pP = 1 n pQ )(1−= n pP )(112 −−= Af )(
n
-vjerojatnost doga !aja A -vjerojatnost
-vjerojatnost doga!aja A -vjerojatnost
-vjerojatnost doga!aja A -vjerojatnost da doga!aj nastupi nputa -vjerojatnost da doga!aj n-puta ne nastupi -vjerojatnost da doga !aj u n -vjerojatnost pokusa nastupi doga!aja A
P Q( ( A A / -suprotna vjerojatnost ) B ) P
-vjerojatnost doga!aja A uz uvjet
P (
)/()(... )/()()/()()(
2211 ii BP
AP P (
P ( A )
vjerojatn ost doga!aja A
I8 5
V(x) -varijanca V -koeficijent varijacije 8 =3 -standardna - /a;eso&a "or#ula devijacija -koeficijent P asimetrije ( -vjerojatnost =4 A-koeficijent .EOR',)E D'.R'/UC',E doga!aja A zaobljenosti
f I< = 1 3 = 0 , 0 5 Mo -mod In = 1 34 += > JJ< Mo 1 !istri0ucija -II /ino#na 3 0 n f>0,05 n>30 − 1 − ⋅= N < 3 n s s x = − 1 = n f(x) nN n-funkcija s s x n<30 11 − − ⋅ − 2 2 2 )( 2 1 ( ) σ πσ xx exf 0 s s x = N nN n s s xtj. gusto 6a vjerojatnosti −−⋅ ⋅ = n razdiobe > xPx 8-vjerojatnost e 1 =3 =4 -teku6a s 8 -procijenjena da xnx qp x n xP −⋅B 2B vrijednost slu č ajne varijabla (x slučajna H ( ) = varijable -aritmeti čka x ) ima vrijednost sredina osnovnog skupa -matematičko pnXxE ⋅=( ) = devijacija očekivanje -broj qpnxV ⋅⋅( ) = pn qV -standardna E -bazanastupanja prirodnogdoga !aja ⋅ ⋅= 100 qpn ⋅⋅=σ (x logaritma, e= 2,7182... A u n pokusa -broj qpn pq ⋅⋅ − = 3α ) 2 2 2 1 ( ) z ezf − ⋅= π ; -Ludolfov broj u (3,14) elemenata uzorku qpn qp ⋅⋅ ⋅⋅− += 61 x -koeficijent asimetrije z − = 0qpn σ 3 =α 34 34 xx α ppnMo n ili broj pokusa = -koeficijent zaobljenosti +α≤≤−⋅ p -vjerojatnost q ostvarenja doga !aja V A -vjerojatnost (x nenastupanja ) doga !aja A V -varijanca 8 -koeficijent = varijacije -standardna 3 Poissono&a !istri0ucija = devijacija 4 -koeficijent -frakcija izbora M f asimetrije -uzorak -populacija, N n f = o n -koeficijent N osnovni skup zaobljenosti -mod - +or#alna ili Gausso&a pq −= 1 ⋅
P(x) e -vjerojatnost da ME.ODA slučajna varijabla ima II <25 e x xP x ! ( ) vrijednost x -baza −λ = eP(0) - Frakcija iz0oraprirodnog logaritma, e= 2,7182... I55 XxE ( ) λ ( x) -aritmetička sredina =V λ λ ⋅ = 100 V skupa E(x) osnovnog I -matemati čko
!istri0ucija
U*ORA)A
Meto!e %rocjene
-aritmeti čka sredina X očekivanje -lamda 'nter&alK xx stxXstx x uzorka -koeficijent t x pouzdanosti ⋅+<<⋅− - Procjena arit#etičke sre!ine greosno&nog s -standardna ška
sku%a
- Procjena totala osno&nog sku%a
- Procjena %ro%orcije osno&nog sku%a
4
'nter&alK 4 44 4242< '' '' xx stxXstx
4 25 xNx' =4
⋅
xx
sNs
'
'nter&alK pp stpPstp ⋅+<<⋅−
X -total osnovnog 4 skupa -procijenjeni x' total -koeficijent t pouzdanosti 4 -standardna gre ška x' procjene totala s -aritmetička sredina x uzorka -standardna x s greška procjene aritmetičke sredine
P p t p
s
f<0,05 − 1 ⋅ = n qp s p
nmp= pq −= 1
f > 0, 0 5 m n
-proporcija osnovnog skupa -proporcija uzorka -koeficijent pouzdanosti -standardna gre ška procjene proporcije
11 − − ⋅ − ⋅ = N nN n qp s p -broj elemenata u uzorku s tra ženim obiljež jem -uzorak
)ORELAC',)A ' REGRE',)A A+AL'*A
Linearna korelacija
-Jednad ,e!na!0e %ra&aca regresije prvog žba prvog Y -vrijednost pravca regresije xbaYc ⋅+=
44 4
4 < < 5 XXX
YXXY b 2 XbYa ⋅−=
4 5,YY 4
X X i
5
i
N N
Jednad žba drugog pravca regresije ybaXc ⋅+= ''
44
4 4 <<5 YYY XYXY b YXa '' −=
-
2'b
pravca regresije -parametri prvog pravca regresije -frekvencije jedne pojave, i=1,...,n -frekvencije druge pojave, i=1,...,n -aritmetička sredina (prosječna X vrijednost) prve pojave -aritmetička sredina (prosječna vrijednost) druge pojave -broj Y frekvencija u pojavi N X ili Y c a, b X i Y i
X c a ' , b
-vrijednost drugog pravca regresije -parametri drugog pravca regresije
'
Pearsono& koe7cijent korelacije 5 r
444
<2< <2< 22 ) ()( )) (( YYXX YYXX ii ii
r X i Y i b b
-koeficijent korelacije -frekvencije jedne pojave, i=1,...,n -frekvencije druge pojave, i=1,...,n -parametar u prvom pravcu regresije
- Analiza &arijance
Jednadžba analize varijance N YY N YY
444 <
N YY cici
)()()( < 5 < 222ranga )orelacija 222 np p σσσ
+=
4
N YY < 5 2 2 )(σ -i %ear#ano& N YYXY bYa p
44
4< 58 N XY bYaY 4 4 VREME+)' +'* 4<< 5
koe7cijent korelacije ranga 82 8 p 2 8np 2 -ukupna varijanca -protuma čena varijanca -neprotumačena varijanca
2
np
2σ 2
- 'n!i&i!ualni in!eksi
− ⋅ −= 5 3 1 26 1
nn d r
niis
yxi
rrd −=
4
r s d i n r x r y
-koeficijent korelacije ranga -razlika rangova -broj frekvencija u pojavi X ili Y -rang od pojave X -rang od pojave Y
Verižni indeksi
100 1 ⋅= t − t t Y Y V
V -verižni indeks t -vrijednost pojave Y t (frekvencija) u Y t teku6em razdoblju, -1 t=2,3,...,n -vrijednost pojave
ednost pojave (frekvencija) u teku 6em razdoblju, t=1,2,...,n Y t I t =⋅100 Y b -vrijednost pojave (frekvencija) u baznom Y b Ishodište na razdoblju početku razdoblja xbaYc ⋅+=
44
4 4 <<5
XXX YXXY b 2 XbYa Pri%re#ileK DrNscN ⋅−= N X X i
4
4 5 , N Y
Yi 5 Ishodište u sredini razdoblja xbaYc ⋅+=
4 4 5 X XY b N Y a 4 5 2
Y c a, b
• Linearni -vrijednost trenda -parametri trenda
tren!
uzana Marko&i6 !ocent anja Ras%or asistent N
-broj vremenskih jedinica
Y c a, b
-vrijednost trenda -parametri trenda