Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería en Geología, Minas, Petróleos y Ambiental
2013 Proyecto de Investigación relacionado a la aplicación del Cálculo Integral
“Presa de Arco”
Chumaña Byron García Marjorie Muenala Edwin
ÍNDICE INTRODUCCIÓN PROPUESTA OBJETIVOS JUSTIFICACIÓN CAPITULO I: MARCO TEÓRICO
1.1 CONCEPTO DE INTEGRAL 1.2 INTEGRAL DEFINIDA 1.2.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1.2.2 FUNCIÓN INTEGRAL 1.3 VOLUMEN DE UNA FUNCIÓN RECURSOS
1.4 RECURSOS HUMANOS 1.5 RECURSOS ECONÓMICOS CRONOGRAMA CAPITULO II: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS DE CÁLCULO DE VOLUMEN ‘PRESA DE ARCO’
2.1 PARAMETROS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA PRESA 2.1.1 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL HORMIGÓN 2.2 DIMENSIONES DE LA PRESA 2.3 ECUACIONES PARA CALCULO INTEGRAL 2.4 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
3.1 CONCLUSIONES ANEXOS BIBLIOGRAFÍA
INTRODUCCIÓN Hasta ahora únicamente hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la utilidad que estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un método rápido para el cálculo de áreas volúmenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En física su empleo es constante al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Como tema principal en este proyecto utilizaremos el cálculo integral, para el cálculo de volumen aproximado de concreto que se usaría en la construcción de una Presa de Arco. Las presas se proyectaron al principio para asegurar reservas de agua en las épocas de sequía. Conforme los conocimientos técnicos han progresado, han sido dedicadas a otros menesteres, tales como formación de lagos de recreo, saltos generadores de energía o previsión de riadas. Junto con esos beneficios, una presa puede implicar daños ecológicos y obliga a recolocar a las personas e incluso la fauna de la zona. Así mismo, una presa de construcción deficiente supone un riesgo de catástrofe para la región de su entorno. Uno de los diseños empleados en la construcción de presas, es la Presa de Arco. Suele utilizarse en cañones estrechos y se curva hacia el agua que contiene. La fuerza del agua presiona las paredes de la presa contra el cañón, de manera que la roca hace de soporte adicional para la estructura. Eso permite, ahorrar materiales en la construcción de la presa, por comparación con las de soporte vertical.
PROPUESTA
¿Cómo resolver problemas de volumen en edificaciones, mediante la aplicación de cálculo integral, haciendo énfasis en la integral definida?
OBJETIVOS
Adquirir destreza en el cálculo de volúmenes mediante el uso de Integrales Definidas.
Demostrar que el cálculo integral resulta ser muy útil en las acciones que se realizan en la vida diaria.
Aplicar Cálculo de Integral Definida en diferentes tipos de edificaciones.
JUSTIFICACIÓN
El Cálculo Integral, constituye en una herramienta básica para orientar el desarrollo de los conocimientos, habilidades y destrezas para el estudio de temas relacionados a la construcción, donde deja de ser abstracta e inaplicable y pasa a ser práctica y aplicable a soluciones de problemas actuales en el campo de problemas de construcción. De allí que consideramos que la presente investigación, se constituye en una herramienta de investigación y consulta para todo estudiante que se encuentra en proceso de formación profesional.
CAPITULO I
MARCO TEÓRICO
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo. El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Por ejemplo, podemos estar manejando un modelo de costos en que el costo marginal es una función conocida del nivel de producción y necesitamos calcular el costo total de producir X artículos. Principio.-
Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f (x), debemos
encontrar una función F (x) cuya derivada sea igual a f( x), por ejemplo, supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx)(x 3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito. Con él podemos conocer la tasa de producción de un pozo de petróleo como función del tiempo y debemos calcular la producción total durante cierto periodo. ¡Ésta es la verdadera fuerza del cálculo integral!
1.2 Integral definida Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por ∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
1.2.1 Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
1.2.2 Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
que depende del límite superior de integración. Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
1.3 VOLUMEN DE UNA FUNCIÓN Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Un volumen con forma de toro (geometría) se obtiene por la rotación de un círculo. Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x ) El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
método de discos.
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y ) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:
Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Método de cilindros o capas.
RECURSOS 2.1 RECURSOS HUMANOS Contamos con la ayuda del docente, quién nos guió para la realización del proyecto al igual que un grupo de estudiantes capaces de realizar el proyecto.
2.2 RECURSOS ECONOMICOS Con la ayuda de los integrantes del grupo obtuvimos los materiales necesarios para la creación de la maqueta que será una representación a escala del proyecto real. Materiales
Tabla de madera de balsa
Molde de aluminio´
Pistola de silicona
Silicona
Cartón
Cartulina
Tijeras
Arena
CRONOGRAMA
CAPITULO II
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS DE CÁLCULO DE VOLUMEN ‘PRESA DE ARCO’
2.3 PARÁMETROS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA PRESA
Las presas de hormigón las más utilizadas en los países desarrollados ya que con éste material se pueden elaborar construcciones más estables y duraderas; debido a que su cálculo es del todo fiable frente a las producidas en otros materiales. Las presas de arco generalmente se clasifican en delgadas, medianas y gruesas dependiendo de la razón entre el ancho de la base (b) y la altura (h): Delgada: b/h < 0,2 Media: 0,2 < b/h < 0,3 Gruesa: b/h > 0,3
2.1.1 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DEL HORMIGÓN Las principales características físicas del hormigón, en valores aproximados, son: Densidad: en torno a 2.350 kg/m3 Resistencia a compresión: de 150 a 500 kg/cm2 (15 a 50 MPa) para el hormigón ordinario. Existen hormigones especiales de alta resistencia que alcanzan hasta 2.000 kg/cm2 (200 MPa). Resistencia a tracción: proporcionalmente baja, es del orden de un décimo de la resistencia a compresión y, generalmente, poco significativa en el cálculo global. Tiempo de fraguado: dos horas, aproximadamente, variando en función de la temperatura y la humedad del ambiente exterior. Tiempo de endurecimiento: progresivo, dependiendo de la temperatura, humedad y otros parámetros. De 24 a 48
horas, adquiere la mitad de la resistencia máxima; en una semana 3/4 partes, y en 4 semanas prácticamente la resistencia total de cálculo. Dado que el hormigón se dilata y contrae en magnitudes semejantes al acero, pues tienen parecido coeficiente de dilatación térmico, resulta muy útil su uso simultáneo en obras de construcción; además, el hormigón protege al acero de la oxidación al recubrirlo. El hormigón es el material resultante de unir áridos con la pasta que se obtiene al añadir agua a un conglomerante. El conglomerante puede ser cualquiera, pero cuando nos referimos a hormigón, generalmente es un cemento artificial, y entre estos últimos, el más importante y habitual es el cemento portland. Los áridos proceden de la desintegración o trituración, natural o artificial de rocas y, según la naturaleza de las mismas, reciben el nombre de áridos silíceos, calizos, graníticos, etc. El árido cuyo tamaño sea superior a 5 mm se llama árido grueso o grava, mientras que el inferior a 5 mm se llama árido fino o arena. El tamaño de la grava influye en las propiedades mecánicas del hormigón. La pasta formada por cemento y agua es la que confiere al hormigón su fraguado y endurecimiento, mientras que el árido es un material inerte sin participación directa en el fraguado y endurecimiento del hormigón. El cemento se hidrata en contacto con el agua, iniciándose diversas reacciones químicas de hidratación que lo convierten en una pasta maleable con buenas propiedades adherentes, que en el transcurso de unas horas, derivan en el fraguado y endurecimiento progresivo de la mezcla, obteniéndose un material de consistencia pétrea. Una característica importante del hormigón es poder adoptar formas distintas, a voluntad del proyectista. Al colocarse en obra es una masa plástica que permite rellenar un molde, previamente construido con una forma establecida, que recibe el nombre de encofrado.
CÁLCULOS
12,5 10
A1= π (12,5)²– (10)² A1= π (56,25) A1= π (
)
=
A1= 88,36 cm² V= 88,36 x 25 V= 2209 cm³
P1= (10; 25) P2= (12,5; 0)
0= 25x + 2,5y – 312,5 0= 10x + y – 125 Y = -10x +125
dy
V= ∫
V= ∫ dy V= ∫
V=
∫
V=
V= V= 4990
P3= ( 8 ; 18) P4= (5; 0)
0= 18x - 3y – 90 0= 6x - y – 30 Y = 6x - 30 dy
V= ∫
V= ∫ dy
V=
V= VT= 8414,8 cm³
∫
CAPITULO IIi
Conclusiones
Podemos observar que en la vida diaria, se puede utilizar los cálculos matemáticos con excelentes resultados para el progreso de sociedad.
Aprendimos utilizar la destreza de las integrales definidas para verificar que son aplicables en la industria, con márgenes de errores mínimos para evitar accidente.
Bibliografía http://issuu.com/jr.econde/docs/proyectos_de_calculo_integral http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2012/calc/6.pdf http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integrales_definidas.html http://es.wikipedia.org/wiki/Hormig%C3%B3n#Resistencia http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n https://www.google.com.ec/search?q=ejemplo+de+cronograma+de+un+proyecto&oq=ejem&aqs=chro me.1.69i57j69i59j0l4.2112j0j4&sourceid=chrome&espv=210&es_sm=122&ie=UTF-8
