Conjunto de Cantor Parti Par timo moss del int inter erval valoo 0,1 , que den denomi ominam namos os C 0. Obtenemos
C 1 removiendo el tercio central de C 0, de que resulta:
C k reunión de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k.{C k} k} es monótona decreciente:
∞
C 0
⊃C ⊃C ⊃ 1 2
...
⊃C
k
...;
C
=
C k k =0
Construcción geométrica del conjunto de Cantor
Tomamos el intervalo unitario [0,1] de la recta real. Dividimoss este intervalo en tres sub-interv Dividimo sub-intervalos alos iguales. De esta manera obtenemos los siguientes intervalos intervalos
El primer paso para la construcción del conjunto de Cantor consiste en suprimir el sub-intervalo abierto intermedio, es decir suprimir . De este modo tenemos que C1 es la unión de los intervalos restantes o sea:
El segundo paso consiste en repetir el mismo proceso a cada uno de los intervalos que componen a C1, de este modo obtenemos que:
Este proceso se sigue indefinidamente, en general Cm
se construye dividiendo en tres tres partes iguales a cada uno los intervalos intervalos que componen
a Cm y borrando los intervalos abiertos intermedios. Finalmente el conjunto de Cantor se denotará por la letra C y se define como la intersección de todos los conjuntos C m,
decir:
es
Demostración Dimensión Fractal
Si tenemos un espacio métrico (X,d), donde A es un subconjunto compacto no vacío de X, tomamos B (x,ε), para ε > 0, con esferas de radio ε y centro en el punto x. Queremos calcular el menor número de esferas cerradas de radio ε y necesarias para cubrir el conjunto A, denotado por N (A,ε). N (A,ε): es el menor número entero tal que: donde xn es un conjunto de puntos distintos {xn:1,
Demostración Dimensión Fractal
Llamamos C al conjunto de todas las cubiertas de A que tienen como máximo M esferas cerradas de radio ε. Por tanto definimos f (c) como el número de esferas de la cubierta de c que pertenece a C: f: C {1,2,3,…M} Por tanto, f (c) es un conjunto de d e números enteros positivos y este conjunto contiene un número menor, N (A,ε). Donde K=f(c)
Demostración Dimensión Fractal
Demostración Dimensión Fractal Cuando ε tiende a 0, el término ln K / ln(1/ε) también tiende a 0, esto nos conduce a la siguiente: Sea A un subconjunto de X donde (X, d) es un espacio métrico. Y sea N (A,ε) el menor número de esfera cerradas de radio ε>0 necesarias para cubrir el conjunto A. Definición:
Decimos que D es la dimensión fractal de A, si existe:
Curva de Koch
Estructuras como éstas se conocen desde hace mucho tiempo en el campo de las matemáticas. Quizá uno de los ejemplos más representativos sea la curva construida por el matemático sueco Helge von Koch en 1904. Para dibujarla basta tomar un triángulo equilátero como figura inicial y añadir añadir en el centro de cada cada uno de sus lados un nuevo triángulo equilátero tres veces más pequeño que el original Repitiendo indefinidamente este proceso se obtiene la curva o copo de nieve de Koch.
Construcción de la curva de Para su construcción se comienza con Koch
un triángulo equilátero cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David.
Curva de Koch Triángulo sobre triángulo hasta el límite de cualquier imaginación, la curva así construida resulta indibujable, pues la forma del contorno se repite a todos los niveles. niveles. Cada punto sobre ella, si lo exploráramos con una lupa, nos revelaría siempre los mismos secretos; triángulo sobre triángulo, indefinidamente.
Triángulo de Sierpinski El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919.
Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad. Seguidamente (iteración n=1) tomemos los
Triángulo de Sierpinski Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski. Por su construcción el triángulo de Sierpinski es un conjunto compacto de perímetro infinito y área nula. Sierpinski diseñó este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...
Fractales Complejos
Iteraciones
A finales de los 70’s Benoit Mandelbrot incursionó en un área de las matemáticas que lo llevó a construir algunos de los objetos geométricos más complejos y hermosos que se conocen. Lo increíble es que el procedimiento que utilizó para hacerlo es muy sencillo: sólo hay que repetir y repetir una ción ci ón si úm de
Iteraciones Al aplicarla sobre un valor inicial cualquiera, por ejemplo, xo=2, el primer cálculo nos daría x1=(2)2=4; después x2=(4)2 =16, y x3=(16)2=256, y así seguimos. La secuencia de números que se genera: 2Þ 4Þ 16Þ 256Þ 65536Þ ...Þ ¥ se denomina la órbita de la iteración, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, ¥, en este caso) se le llama su atractor. Si el valor inicial elegido es distinto, x=0.5, por ejemplo, la órbita será:
Conjunto de Julia El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con números complejos fue desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou. Benoit Mandelbrot recuperó su análisis sobre el comportamiento de los números complejos. Esta iteración dice simplemente: toma un número y elévalo al cuadrado (multiplícalo por sí mismo), súmale la constante c que elegiste, y
Conjunto de Julia Desde 1906, Fatou había demostrado que para cada valor de c, la aplicación de esta iteración sobre todos los puntos del plano complejo genera órbitas que en su mayoría terminan en z =>¥, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteración detecta puntos fijos; órbitas periódicas donde se repite la misma secuencia de números después de cierto número de iteraciones, o puntos que escapan hacia atractores finitos. A este tipo de puntos cuya iteración NO escapa a infinito, podríamos llamarlos prisioneros, mientras los otros son escapistas.
Conjunto de Julia Para c=0 se tiene que Z0 es la circunferencia unidad.
Si c=0.1+0.1i parecería que el comportamiento de Zc debería cambiar solo ligeramente. Esto es cierto solo parcialmente. El conjunto de Julia (la frontera del conjunto de puntos que se van a infinito) sigue siendo una curva cerrada simple, aunque ahora es una curva fractal.
Conjunto de Julia Si c=-0.5+0.5i el comportamiento de Zc cambia un poco más, aunque el conjunto de Julia sigue siendo una curva cerrada simple fractal.
Finalmente, existen valores, como por ejemplo c=i,
Conjunto de Julia y otros, como c=0.66+i o c=1+i para los que se obtiene un conjunto de Julia totalmente desconectado.
Conjunto de Julia (conexa) a clic para modificar el estilo de texto del patrón undo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel ●
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Figura 8. Conjuntos de Julia asociados a la iteración zn+1 = (zn)2+c. a) c = (0.12, 0.57); b) c= (-0.12, 0.66); c) c= (0.12, 0.74); d) c= (-0.25, 0.74); e) c= (-0.194, 0.6557); f) c= (0.75, 0.11).
Conjunto de Julia (disconexa) clic para modificar el estilo de texto del patrón do nivel rcer nivel uarto nivel Quinto nivel
Figura 9. Conjuntos de Julia asociados a la iteración zn+1 = z2n+c. (a) c= (0.745, 0.113); (b) c= (1.25, 0); (c) c= (-0.1565, 1.0322); (d) c= (0.32 0.043); (e) detalle de la figura 8(c) en una amplificación del orden de 1/0.0001; (f) detalle de la figura 8 (c) en una amplificación del orden de 1/0.25.
Conjunto de Mandelbrot “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas de costa no son circunferencias, la corteza no es lisa, y la luz no viaja en línea recta”. Mandelbrot,
The fractal geometry of nature
Conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado. Se conoce así en honor al científico Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX. Este conjunto se define así, en el plano complejo: Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por inducción:
Conjunto de Mandelbrot v
v
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot Mandelbrot..
Conjunto de Mandelbrot A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto.
Conjunto de Mandelbrot Fractales y Colores
Los colores representados en un Fractal no tienen un carácter artístico, sino puramente Matemático. - Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO
Defino un algoritmo de Colores:
Los colores dan una muestra de la velocidad con la que diverge la sucesión:
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna gama de AZUL. - Defino azul CLARO para los valores de C que tardan MUCHO en DIVERGER. - Defino azul OSCURO para los valores de C que DIVERGEN rápidamente.
Fractales Caóticos
Mariposa de Lorentz El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema dinámico determinístico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre. Para ciertos valores de los parámetros a,b,c el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por W. Tucker en 2001. El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre
Aplicaciones de los fractales
Aplicaciones en Computación v
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La aplicación de los fractales a este campo es verdaderamente interesante. Es la aplicación pionera de los fractales. Se aplica la transformación fractal, fractal, proceso que se utiliza en el tratamiento de imágenes para reducir su tamaño en memoria física. Se utilizó por primera vez en la “Enciclopedia Multimedia Encarta”.
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Su uso más extendido se aplica a la compresión de imágenes. Esto se ha aplicado a compresión de video y de
Aplicaciones en Medicina Se está estudiando, desde virus fractales hasta la ramificación de determinados tumores malignos. También se han llegado a utilizar técnicas fractales para predecir la osteoporosis de los pacientes. Por otro lado, se estudia el funcionamiento del cerebro para poder localizar un tumor o el daño producido por diversas enfermedades o el consumo de drogas. Son muchas las nuevas tecnologías que se aplican a la medicina, como los escáneres que realizan una resonancia magnética nuclear. Otra aplicación que se lleva a cabo en la actualidad v
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Aplicaciones en Geografía La primera de las aplicaciones que se da es el cálculo del camino más cercano o acertado entre dos puntos. Para esto se ha utilizado la curva de Koch. La utilidad real de esto es en el campo de la exploración espacial, puesto que un insignificante error de cálculo a escalas diferentes puede implicar millones de kilómetros de error. v
¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Es un artículo del matemático Benoît Mandelbrot publicado por primera vez en Science en 1967. Este artículo Mandelbrot empieza con cierta evidencia empírica de que la medición de una línea geográfica
¿Cuánto mide la costa de En la primera Gran parte delBretaña? artículo Mandelbrot discute
las investigaciones publicadas por Lewis Fry Richardson sobre si las distancias medidas de las costas y otros contornos geográficos dependen de la escala de medida. Richardson observó que la distancia medida L(G) de varias fronteras de países era función de la escala de medida G. Reuniendo datos de muchos ejemplos diferentes, conjeturó que L(G) podía aproximarse por una función de la forma
costa de Gran MandelbrotBretaña? interpreta este resultado como que las costas y otros contornos geográficos tienen una propiedad de autosimilaridad estadística, donde el exponente D mide la dimensión Hausdorff del borde.
Con esta interpretación, los ejemplos de Richardson tienen dimensiones que van desde 1.02 para la costa de Sudáfrica a 1.25 para la costa occidental de Gran Bretaña.
¿Cómo medir una costa? Una costa es algo irregular, se curva a veces mucho, hay pedazos más rectos que otros, bahías chicas y grandes, hay desembocaduras de ríos, entre muchas otras cosas. Una manera de medirla es usar un mapa o una fotografía aérea y medir la costa en el mapa. Esto se puede hacer por ejemplo de la siguiente manera:
¿Cómo medir una costa? Así se obtiene la longitud de la costa en el mapa, pero en realidad ciertos detalles no aparecen en el mapa (como bahías chicas). Entonces podríamos usar un mapa a mayor escala que muestre más detalle:
El mapa a mayor escala muestra más detalles y por lo tanto obtenemos una longitud mayor. Pero el
¿Cómo medir una costa? Obtendremos una longitud cada vez mayor cada que aumentamos la precisión de la medición. La pregunta es: ¿se acercan los valores crecientes que obtenemos a un valor "verdadero" o estos valores siguen creciendo hacia el infinito? El artículo no asegura que ninguna línea costera o borde geográfico sea realmente fractal lo que sería físicamente imposible. Simplemente declara que la distancia medida de una costa o frontera puede comportarse empíricamente como un fractal a lo largo de un conjunto de escalas de medida.
Fractales en la naturaleza
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Fractales Tridimensionales
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Fractales y la arquitectura
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Conclusiones Los objetos fractales, más allá de ser elementos matemáticos que requieren un alto grado de abstracción, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales. v
La dimensión fractal, que también parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fácil generarse la idea de una dimensión fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de dimensión euclidea, puede representar y darnos un parámetro de determinados sistemas con mucha más precisión y realidad de lo que lo hacen técnicas de análisis tradicionales. v
Pasemos a ver los videos
Fractales en la Naturaleza Haga clic para modificar el estilo de texto del patrón Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel ●
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