VEKTOR http://meetabied.wordpress.com
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor
http://meetabied.wordpress.com
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
http://meetabied.wordpress.com
vektor artinya panjang vektor Besar
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif Vektor
disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah
http://meetabied.wordpress.com
Gambar Vektor B
u 45
A
X
ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkal B disebut titik ujung http://meetabied.wordpress.com
Notasi Penulisan Vektor Bentuk vektor kolom: 1 3 u atau PQ 2 4 0 Bentuk vektor baris:
AB 3, 4 atau v
2, 3, 0
Vektor
ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2 j + 7k http://meetabied.wordpress.com
VEKTOR DI R2 Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
http://meetabied.wordpress.com
VEKTOR DI Y
A(x,y)
yQ
j
a
x
O i P i vektor satuan searah sumbu X vektor satuan searah sumbu Y
X
2 R
OP PA OA OP OQ OA
OP = xi ; OQ= y j Jadi OA =xi + y j atau a = xi + y j
http://meetabied.wordpress.com
Vektor di R3 Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z http://meetabied.wordpress.com
Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = x i ; OQ = y j dan OS = zk Z S zk
O xi P
T(x,y,z) yj Q
X http://meetabied.wordpress.com
Y
OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT
Z S
zk
t O xi X P
T(x,y,z)
Jadi OT = xi + y j + zk
yj Y Q R(x,y) atau
t = xi + y j + zk
http://meetabied.wordpress.com
Vektor Posisi Vektor posisi adalah Vektor yang titik pangkalnya O(0,0) http://meetabied.wordpress.com
Y
Contoh:
B(2,4)
Vektor posisi
b a O
A(4,1) titik A(4,1) adalah X
4 OA a 1
Vektor posisi titik B(2,4) adalah OB b 2i 4 j http://meetabied.wordpress.com
Panjang vektor Dilambangkan dengan tanda ‘harga mutlak
http://meetabied.wordpress.com
’
a 1 Di R2, panjang vektor: a a 2
atau a = a1i + a2 j Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras
a a1 a 2 2
http://meetabied.wordpress.com
2
a 1 Di R2, panjang vektor: a a 2
atau a = a1i + a2 j Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras
a a1 a 2 2
http://meetabied.wordpress.com
2
x Di R3 , panjang vektor: v y z atau v = xi + y j + zk Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras
v
x y z 2
2
http://meetabied.wordpress.com
2
Contoh: 3 1. Panjang vektor: a 4 2 2 adalah a 3 4 = 25 = 5 2. Panjang vektor: v adalah v
2i j - 2k
2 2 12 (2) 2
= 9 = 3 http://meetabied.wordpress.com
Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu
http://meetabied.wordpress.com
Vektor satuan searah sumbu X, sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut adalah vektor i , j dan k 1 0 0 i 0 , j 1 dan k 0 0 0 1 http://meetabied.wordpress.com
Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2 j + a3k adalah
e
a
a a
e
a
a1i a 2 j a3 k a1 a 2 a3 2
http://meetabied.wordpress.com
2
2
Contoh:
Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ 2k adalah….
Jawab:
e e
a
a
a a
i 2 j 2k
1 ( 2) 2 2
http://meetabied.wordpress.com
2
2
e
a
e
e
a
1 ( 2) 2 2
a
i 2 j 2k 2
i 2 j 2k 3
13 i 23 j 23 k
http://meetabied.wordpress.com
2
ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Perkalian vektor dengan bilangan real http://meetabied.wordpress.com
Kesamaan Vektor Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a = b , maka a1 = b1 a2 = b2 dan a3 = b3 http://meetabied.wordpress.com
Contoh Diketahui: a = i + x j - 3k dan b = (x – y)i - 2 j - 3k Jika a = b, maka x + y = ....
http://meetabied.wordpress.com
Jawab: a = i + x j - 3k dan b = (x – y)i - 2 j - 3k a=b 1=x-y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5 http://meetabied.wordpress.com
Penjumlahan Vektor a 1 b1 Misalkan: a a 2 dan b b 2 b a 3 3
Jika: a + b = c , maka vektor a1 b1 c a 2 b2 a b 3 3 http://meetabied.wordpress.com
Contoh
p 3 Diketahui: a - 2p b 6 3 -1 - 5 dan c 4q 2
Jika a + b = c , maka p – q =.... http://meetabied.wordpress.com
jawab:
a+b=c
3 p 5 - 2p 6 4q -1 3 2 3 p 5 2 p 6 4 q (1) 3 2 http://meetabied.wordpress.com
3 p 5 2 p 6 4 q (1) 3 2
3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½ http://meetabied.wordpress.com
Pengurangan Vektor Misalkan: a = a1i + a2 j + a3k dan b = b1i + b2 j + b3k Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2) j + (a3 - b3)k
http://meetabied.wordpress.com
Perhatikan gambar: Y
b
A(4,1) vektor posisi: a
O
- 2 vektor AB = 3
B(2,4)
titik A(4,1) adalah: 4 a 1 2 titik B(2,4) adalah: b X
4
http://meetabied.wordpress.com
- 2 vektor AB = 3 4 2 b a 4 1
2 4 b a 4 1
- 2 3
Jadi secara umum:
AB
A B b a
http://meetabied.wordpress.com
Contoh 1 Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: A B b a
1 3 2 2 2 - 5 3 Jadi AB 3 4 2 2 2 http://meetabied.wordpress.com
Contoh 2 Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)
http://meetabied.wordpress.com
1 Jawab: P(1,2,-2) p 2 2 1 Q(-1,3,0) q 3 0
- 1 1 2 PQ = q – p = 3 - 2 1 0 - 2 2 http://meetabied.wordpress.com
2 PQ 1 2 2 2 2 PQ (2) 1 2 Jadi PQ
9 3
http://meetabied.wordpress.com
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
a1 Misalkan: a a 2 dan a = bilangan real 3 Jika: c = m .a, maka a1 m.a1 m
c m a 2 m.a2 a m.a 3 3
http://meetabied.wordpress.com
Contoh
2 2 Diketahui: a - 1 dan b - 1 6 4 Vektor x yang memenuhi a – 2 x = 3b adalah.... Jawab: x1 2 x1 2 misal x x 1 2 x 3 1 2 2 x 6 x 4 3 3 http://meetabied.wordpress.com
2 2 x1 6 2 x1 2 1 2 x2 3 1 1 2 x 2 3 6 2 x 12 6 x 4 3 3 2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2 -1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 1 6 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3 Jadi 2 vektor x 1 3
http://meetabied.wordpress.com
