Primera Actividad Grupal

Primera

actividad Grupal:

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema:



La carga  en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la ecuación

′′  ′     

, donde L es la

inductancia, R la resistencia, C la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su valor de modo que

  11   Ω   4    0.25  0  2  . Si

,

 y la

fuente de voltaje está apagada, además teniendo en cuenta cuent a las condiciones iniciales donde la carga  y la corriente

 0  0 , obtenga los primeros 5 términos de la solución en serie de  potencias en torno a t=0 para la carga del condensador.

  (1(1  8 ) Ω   4    0.25 0

Condiciones iniciales presentadas por el enunciado:

0  2  ′0  0  Ecuación diferencial: diferencial:

′′  ′  1    0.25′′ (1 8 ) ′  14   0

Si reemplazamos nos queda en la ecuación diferencial:

Soluciones de la forma:

∞   =∑  ∞ ′   ∑ ∑= − ∞ ′′  =∑ ∑   11− Reemplazando Reemplazando de nuevo en la ecuación diferencial:

∞ ∞ ∞    1 −(1 8)∑−  4 ∑   0   0.25∑ 5∑  1  1     ∑     = = = Simplificamos:

∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 − −     0.25∑ 5∑  1  1    ∑     ∑    ∑    0     8 4 = = = = ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 −  ∑ −  8 ∑   4 ∑   0   0.25∑ 5∑  1  1    = = = =

∞ ∞ ∞ ∞ 1 1   ∑  1   8 ∑ −  4 ∑   0   0.25∑ 2 2  1  1   1   + + = = = =

0.255 2  2 1  1+   1  1+  18   14   0 Y obtenemos la ecuación de recurrencia:

18   14     1  1      + +   0.25 25 2  2 1  1 Para los coeficientes coeficientes entonces:

 0 14           0.255211  2  12   1 38  4 1  13 2 2         0.255322   3   2   6   3   2 12  1 7 5 3         0.255433    2    6   12   3 58  4 1  53 1 4         0.255544   5   8   80   4 

Tenemos la solución de la forma:

              ⋯ 0  2    00  0  0  0  ⋯   0 ′0  0    2030  40  50  ⋯   0 Y de acuerdo con las condiciones iniciales del problema:

Encontramos c2

Y ahora c1:

Entonces tenemos que la solución es:

4 5 1      2     3    6    2   ⋯