P R I M E R A P R Á C T I C A U N A S A M 2 0 1 0 I I U N A S A M 2010 -H II A T
ESCUELA DE MATEMÁTICA E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S
A
PROBLEMA 01 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 2
2
a) 4 x 2y 1 dy 2 x y dx b)
dw w 1 du u uw
Resolución
M A S A N U
2
2
a) 4 x 2y 1 dy 2 x y dx
(1)
A la ecuación (1) también la podemos escribir de la siguiente manera: 2
2x y dy dx 2 2 x y 1 2
(2)
Como hay una expresión que se repite 2x y , hacemos un cambio de variable: Sea
z 2x y
dz dy 2 dx dx
dy dz 2 dx dx
Sustituyendo los cambios realizados en la ecuación (2) dz z2 2 dx 2z 1 2
2
dz z2 2 2 dx 2 z 1
2 dz 2 2z 1 z 2 dx 2 z 1
Separando las variables y seguidamente integrando: 2
2 z 1 dz dx 2 2 2 z 1 z 2
2
2 z 1 2 2z 12 z 2 dz dx 1 4z 1 4 2 dz x c 7 7 z 8 z 2
4 2 9 7z 4 2 z ln 7 z 2 8 z 2 ln xc 7 49 343 2 7 z 4 2
1
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ra P PR R
A
Volviendo a la variable inicial: 7 2x y 4 2 4 2 9 2 ln xc 2 x y ln 7 2 x y 8 2 x y 2 7 49 343 2 7 2 x y 4 2
b)
dw w 1 du u uw
dw w 1 du u 1 w
Separando las variables y seguidamente integrando:
1 w dw w 1
1 du u
1 w dw w 1
1 du u
M A S A N U
2 w ln w 1 2arctg w 2 u c
PROBLEMA 02
2
2
Resolver la siguiente ecuación diferencial: ydx xdy x y dy x y dx
Resolución
2
2
ydx xdy x y dy x y dx
y x y 2 dx x y 2 x dy 0
M ( x, y) y x y 2 2 N ( x, y) x y x
(1)
M 1 2 x y y N 2 x y 1 x
M N , entonces la ecuación diferencial (1) no es exacta. Así que debemos buscar un dy x factor de integración para que sea exacta.
Como
Sea u( x, y) el factor integrante, al multiplicar este factor a la ecuación (1), obtenemos la nueva ecuación que ya es exacta. 2 2 u y x y dx u x y x dy M
(2)
N
2
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Como
ra P PR R
A
M N , entonces y x
ln u M ln u N N x M y y x 2 2 ln u y x y ln u x y x 2 x y 1 1 2 x y y x 2 2 ln u y x y ln u x y x 4 x y 2 y x
(3)
Hipótesis a) Buscamos un factor integrante que dependa exclusivamente de la variable x, ( u( x) ), así que:
M A S A N U
4 x y 2 ln u 2 x x y x
Como no depende exclusivamente de la variable x, entonces buscamos la otra opción. b) Buscamos un factor integrante que dependa exclusivamente de la variable y, ( u(y) ), así que: 4 x y 2 ln u 2 y y x y
Esta expresión tampoco depende exclusivamente de la variable y, entonces solo queda buscar un factor integrante que dependa de las dos variables: c) Sea u(z) ; z x y
x
u
z
y
Luego: 1 u 1 u z 1 u ln u u y u z y u z y 1 u 1 u z 1 u ln u x u x u z x u z
Reemplazando en la ecuación diferencial (3) 1 u 1 u 2 y z2 z x 4z 2 u z u z
3
U N A S A M 2 0 1 0 I I S I G M A T H ESCUELA DE MATEMÁTICA 1 u z 2z 2 4 z 4 u z
Donde u(z)
du 2dz u z
ra P PR R
A
1
u z2
1
x y
2
Reemplazando en la ecuación diferencial (2). y x dy 0 1 dx 1 x y 2 x y 2 M
N
f f M ; N ; f ( x, y) K x y
Entonces f : 2
M A S A N U
y f M 1 2 x x y f ( x, y)
(exacta)
y dx (y) f ( x, y) 1 x y 2
y x (y) xy
(4)
x y y x f (y) N x, y 1 2 2 y x y x y (y) 1
(y) u c1
Reemplazando en la ecuación diferencial (4) y x y c1 K xy
yx
y C xy
PROBLEMA 03 Encontrar la solución general de:
dx P(t)x Q(t) dt
Resolución dx P(t)x Q(t) dt
(1)
A la ecuación (1), equivalentemente la podemos escribir de la siguiente manera:
P(t)x Q(t) dt dx 0
(2)
4
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ra P PR R
A
Como Q(t) 0 , entonces la ecuación (1) no es exacta, por lo tanto hallaremos un factor integrante para su solución. Sea u(t) el factor integrante que sólo dependa de la variable t, entonces: u(t) e multiplicar la ecuación (2) por este factor integrante obtenemos lo siguiente: e
P (t )dt
P(t)x Q(t) dt e
e
P (t )dt
P(t)xdt e
d e e
P (t )dt
P (t )dt
x e
x e
De donde:
P (t )dt
P (t )dt
P (t )dt
P (t )dt
dx e
P (t )dt
, luego al
dx 0
P (t )dt
Q(t)dt
Q(t)dt
Q(t)dt c
M A S A N U
P (t )dt P (t )dt Q(t)dt c xe e
Que es la solución general de la ecuación diferencial (1)
PROBLEMA 04
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 2 a) dx xdy 2 x 2y 2dy y b)
dx 2 sen t 1 x 2 sen t ; donde una solución es x 2 dt cos t cos t
Resolución 2 a) dx xdy 2 x 2y 2dy y
(1)
A la ecuación diferencial (1), la dividimos por dy y la expresamos así: dx 2 x 2y 2 x 2 dy y
(2)
La ecuación (2) tiene el modelo de una ecuación diferencial de Bernoulli, que es una ecuación diferencial no lineal.
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ra P PR R
A
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se transforma a una ecuación diferencial lineal, mediante los siguientes pasos: 1°. A la ecuación diferencial (2) la multiplicamos por x 2 x 2
dx 2 1 x 2y 2 dy y
2°. A la ecuación diferencial del 1° paso la multiplicamos por 1 n 1 2 1 x 2
dx 2 1 x 2y 2 dy y
3°. Ahora hacemos un cambio de variable:
M A S A N U
Sea z x1n x12 x 1
dz dx x 2 dy dy
4°. Reemplazando el 3° paso en el 2° paso. dz 2 z 2y 2 dy y
Como ya es una ecuación diferencial lineal de primer orden, entonces la solución general será:
ze
2 dy y
2 y dy 2 dy c 2y e
z e 2ln y 2y 2 e 2ln y dy c
z y 2 2 dy c
z y 2 2y c
Volviendo a la variable inicial (variable primitiva): 1 y 2 2y c x b)
dx 2 sen t x 2 sen t dt cos 2 t
(1)
La ecuación (1) es una ecuación diferencial de RICCATI. 1 es una solución particular de (1), entonces hacemos x Q(t) z , donde z es cos t una función incógnita, que determinaremos con la ayuda de la ecuación diferencial. Entonces:
Como x
6
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Sea x Q(t) z
1 z cos t
dx sen t dz dt cos 2 t dt
ra P PR R
A
(2)
Reemplazando la ecuación (2) en (1) 2
sen t dz 1 2 sen t z sen t 2 dt t cos cos t cos 2 t
dz 2 sen t z sen t z 2 dt cos t
Esta última ecuación es una ecuación diferencial de BERNOULLI, (o sea una ecuación diferencial no lineal), para resolverlo, primero la transformaremos a una ecuación diferencial lineal, y para ello seguiremos los procedimientos ya estudiados: z 2
dz 2 sen t 1 z sen t dt cos t
Hacer
(3)
M A S A N U
w z 1
dw dz z 2 dt dt
Reemplazando en la ecuación (3) y ordenando adecuadamente dw 2 sen t w sen t , dt cos t
we
2sen t dt cos t
luego:
2sen t dt e cos t sen tdt c
3c cos 3 t 2 w sec t 3
Volviendo a la variable primitiva z
3 cos 2 t c cos 3 t
x sec t
3 cos 2 t c cos 3 t
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