PARTE I PROBABILIDADE 1 - RELAÇÃO ENTRE PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Para entendermos a inferência estatística é preciso entender vários conceitos de probabilidade. A probabilidade e a estatística estão estreitamente relacionadas, porque formulam tipos opostos de questões. - Na probab probabilid ilidad ade, e, sabemos sabemos como como um proces processo so funcion funcionaa e que querem remos os predie predierr qua quais is serão serão os resultados de tal processo. Por e!emplo, uma cai!a com "# fic$as auis e %# vermel$as& e!traímos '# aleatoriamente. Pela teoria das probabilidades, podemos calcular a probabilidade de que, das '# fic$as e!traídas, e!atamente % se(am vermel$as. - )m esta estatís tísti tica ca,, não não sabe sabemo moss como como um proc proces esso so funcio funciona na,, mas mas pode podemo moss obse observ rvar ar os seus seus resultados, e utiliar a informa*ão sobre os resultados para con$ecer a naturea do processo. Por e!emplo, supon$amos a+ora que, antes de uma elei*ão, o leitor per+unte a '### pessoas escol$idas aleatoriamente o nome do seu candidato a presidente. Não é possível calcular a probabilidade de que %# das pessoas da amostra concordem com sua preferencia, porque o leitor não con$ece as preferências de toda a popula*ão. odavia, utiliando a inferência estatí estatísti stica, ca, é possí possíve vell estima estimarr as prefer preferênc ências ias presid presidenc enciai iaiss da pop popula ula*ã *ãoo com base base nas nas preferências presidenciais presidenciais da popula*ão popula*ão com base nas preferências preferências das pessoas pessoas da amostra. 2 - INTRODUÇÃO uando solicitamos a estudar em fen/meno coletivo, verificamos a necessidade de descrever tal fen/meno por um modelo matemático que permita e!plicar da mel$or forma possível este fen/meno. odas as vees que estudarmos al+uns fen/menos com respeito a seus possíveis resultados, podemos classificá-los classificá-los em dois tipos0 tipos0 a1 Fenômeno Determiníti!o 2 são são aquel aqueles es que repeti repetidos dos sob mesmas mesmas condi condi*õe *õess iniciai iniciaiss conduem sempre a um s3 resultado. As condi*ões iniciais determinam o 4nico resultado possível do fen/meno. fen/meno. b1 Fenômeno "#e"t$rio 2 são aqueles que repetidos sob mesmas condi*ões iniciais podem conduir a mais que um resultado. As condi*ões iniciais não determinam o resultado do fen/meno. E%em&#o' 5e lan*armos um dado sobre uma superfície, podemos anotar o n4mero de pontos da face superior do dado. 6ificilmente conse+uiremos conse+uiremos repetir o lan*amento nas mesmas condi*ões anteriores. )stas pequenas varia*ões que certamente ocorrerão na repeti*ão do lan*amento podem provocar mudan*as no n4mero de pontos apresentados na face superior do dado. )stas mudan*as não podem em +eral ser despreadas e consequentemente o fen/meno admitirá, por repeti*ão, mais mais que um resultado. resultado. 6esta forma, este fen/meno é classificado classificado como aleat3rio. aleat3rio. uando um fen/meno é determinístico, a teoria de probabilidades, não fornece um modelo adequado para a e!plica*ão do fen/meno 7aleat3rio1. Portanto, o ob(eto de estudo da teoria das probabilidades são os fen/meno aleat3rios. Para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos matemáticos mais sofisticados, vamos restrin+ir nosso estudo a uma classe de fen/menos aleat3rios c$amados e!perimentos. 8s e!perimentos são fen/menos aleat3rios que possuem as se+uintes características0 '
a1 repetitividade - é a característica de um fen/meno de poder ser repetido quantas vees quisermos. b1 9e+ularidade 2 é a característica que di respeito : possibilidade da ocorrência dos resultados do fen/meno. A avalia*ão numérica da possibilidade de ocorrência destes resultados dará ori+em :s probabilidades. Para a e!plica*ão desses fen/menos 2 fen/menos aleat3rios 2 adotaremos um modelo matemático probabilístico. Neste caso, o modelo utiliado será o ;<=;>=8 6A5 P98?A?@=@6A6)5. )!emplos de en/meno Aleat3rio0 - retirar uma carta de um baral$o com BC cartas e observar se DnaipeE. - (o+ar um dado e observar o n4mero mostrado na face de cima. - (o+ar uma moeda e observar o n4mero obtido. 6esses e!perimentos aleat3rios, verificamos as se+uintes características0 - ;ada e!perimento poderá ser repetido sob as mesmas condi*ões indefinidamente& - Não se con$ece um particular valor do e!perimento Da prioriF porém, podemos descrever todos os possíveis resultados 2 as possibilidades& - uando o e!perimento for repetido um +rande n4mero de vees, sur+irá uma re+ularidade, isto é, $averá uma estabilidade de fra*ão f G sHn 7frequencia relativa1, em que DnE é o n4mero de repeti*ões e DsE o n4mero de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realia*ão.
( - INTERPRETAÇ)ES DA PROBABILIDADE ;onsideremos a afirma*ão0 D 5e (o+armos uma moeda, $á uma probabilidade de I de aparecer cara.E 8 procedimento para estudarmos as propor*ões de ocorrência das faces cara de uma moeda, seria lan*ar a moeda certo n4mero n de vees e contar o n4mero s de vees que ocorre a face cara. 6e acordo com a inter&ret"*+o ," &ro"i#i,",e !omo .re/0n!i" re#"ti"3 a afirma*ão si+nifica que o n4mero de caras estará pr3!imo de I do total de (o+adas, desde que (o+uemos a moeda um +rande n4mero de vees. nGJ nGC# N4mero de caras obtidos C 'K f G sHn #,CB #,%B A;) 9)>N;@A
nGB# 'L #,KJ
;A9A I
nGJ# KJ #,"M
nG'## "K #,"K
;898A I
8A= '
nG'B# nGC## nGB## nGJ## J# ''# C%# "#B #,BK #,BB #,BC #,B#
ESPAÇO A4OSTRAL 5E6 2 é o con(unto formado por todos os resultados possíveis de um e!perimento E7ENTO 2 O qualquer subcon(unto do espa*o amostral No =an*amento de um dado, temos o )spa*o Amostral0 )G',C,K,",B,%Q C
;onsiderando o evento ocorrer n4mero ímpar no lan*amento de um dado0 AG',K,BQ
E%er!í!io '- 6ê um espa*o amostral para os e!perimentos abai!o0 a1 >ma urna contém bolas vermel$as 7v1, bolas brancas7?1 e bolas auis 7A1. >ma bola é e!traída e observada sua cor. b1 6uas moedas são lan*adas e observam-se o resultado. c1 6ois dados, são lan*ados, observam-se os n4meros das faces de cima. C- No lan*amento de duas moedas, determine o evento Dsair caraE. K- No lan*amento simultRneo de K moedas distin+uíveis 7ou no lan*amento de uma moeda três vees1, determine o espa*o amostral e os eventos A0 Dsair K carasE& ?0 Dsair mais do que ' caraE& ;0 Dsair e!atamente C coroasE.
E7ENTOS Podemos estabelecer al+umas re+ras relativas ao evento considerado em fun*ão do espa*o amostral0 Eento !erto 0 podemos dier que o evento 7A1 é um evento certo, se o n4mero de elementos do evento for i+ual ao n4mero de elementos do espa*o amostral. Eento e#ement"r0 um evento é denominado elementar, se o evento for um con(unto unitário. Eento im&oíe#0 neste caso o evento é constituído por um con(unto vaio. •
• •
-
)m um e!perimento aleat3rio Dlan*ar um dado e re+istrar o resultadoE0 evento A 0 ocorrência de um n4mero menor que M e maior que # 2 evento ?0 ocorrência de um n4mero maior que B evento ;0 ocorrência de n4mero maior que % 2
C8LCULO DE PROBABILIDADE A probabilidade P7A1 é definida como a rela*ão entre o n4mero de possíveis resultados favoráveis do evento e todos os possíveis resultados do e!perimento0 p7A1
n4mero de elementos de A =
n4mero de elementos de )
n7A1 =
p7A1
n7)1
n4mero de resultados favoráveis =
n4mero total de resultados possíveis
ou
E%em&#o' 19 ;onsidere o lan*amento de um dado. 5"6 ual a probabilidade de se obter um n4mero ímpar na face superior do dadoS 56 ual a probabilidade de obter o n4mero C na face superior do dadoS 5!6 ual a probabilidade de obter o n4mero J na face superior do dadoS 29 A pesquisa de um (ornal de 5ão Paulo revelou que C## brasileiros foram mortos por raios no período de um ano 7ano C###1. ual a probabilidade de uma pessoa ser atin+ida por um raio, sabendo-se que a popula*ão brasileira está em torno de 'M# mil$õesS K
(9 8 9T de uma empresa é composto de 'B $omens e KB mul$eres. O feito o sorteio aleat3rio de um funcionário, qual a probabilidade de não ser mul$erS
Eento m:t:"mente e%!#:io 6ois eventos são mutuamente e!clusivos se a interse*ão entre eles é vaia. Neste caso0
(
)
( )
( )
P A ∪ B = P A + P B
E%em&#o' No lan*amento de um dado, considera-se o evento
A = 1,5
} e
B = 2,4,6
} . ;alcule a
probabilidade de ocorrer A ou ?.
Eento n+o m:t:"mente e%!#:io Neste caso a interse*ão não é vaia e o cálculo será feito por0
(
)
( )
( )
(
P A ∪ B = P A + P B − P A ∩ B
)
E%em&#o' No lan*amento de um dado, consideramos o evento B=
A =
{1,2,5,6 }
e o evento
{ 2,4,6 } . 6etermine a probabilidade de ocorrer o evento A ou ?.
E%em&#o' >m +rupo de 'B pessoas preenc$eu uma fic$a de solicita*ão de empre+o no 9T de uma empresa. As fic$as contin$am as se+uintes op*ões0 7 1 analista administrativo 7 1 assistente de compras 7 1 assistente financeiro ;ada candidato podia assinalar uma ou mais op*ões de car+os, de acordo com a competência e e!periência de cada um. 9esultado0 A G analista administrativo0 M candidatos. ? G assistente de compras0 L candidatos. ; G assistente financeiro0 J candidatos. A ordem das entrevistas será determinada por sorteio, qual a probabilidade que o primeiro sorteado ten$a escol$ido o car+o de0
5"6 analista administrativo. 56 assistente de compras. 5!6 analista administrativo ou assistente de compras. "
Eento in,e&en,ente 6ois eventos são independentes quando a realia*ão 7ou não1 de um evento não interfere na ocorrência 7ou não1 do evento se+uinte. Neste caso0
(
)
( )
( )
P A ∩ B = P A . P B
E%em&#o' ;om a introdu*ão do imposto sobre o li!o, uma empresa encomendou uma pesquisa de opinião (unto a parlamentares da ;Rmara Uunicipal. 5e+undo essa pesquisa, a probabilidade de a empresa vencer a licita*ão para a coleta de li!o no bairro de 5érvia Amarela é de %#. A pesquisa revelou ainda que a probabilidade de a empresa +an$ar a licita*ão para a coleta de li!o no bairro de ;oncei*ão é de L#. ual é a probabilidade de essa empresa vencer as duas concorrênciasS E%em&#o' 5ão retiradas, com reposi*ão, duas cartas de um baral$o de BC cartas. ual a probabilidade de que as duas cartas se(am de ourosS E%er!í!io' 19 A fiscalia*ão eletr/nica na cidade de 5ão Paulo é feita por meio das lombadas eletr/nicas, sensores foto+ráficos e radares fi!os. A tabela abai!o re+istra os radares fi!os nas vias mais peri+osas da cidade. T"e#"' n;mero ,e r","re .i%o &or #o!"# LOCAL RADARES FIm carro foi multado por e!cesso de velocidade re+istrado num dos radares fi!os da tabela acima. ual a probabilidade de um carro ter sido multado na0
5"6 Avenida 9aimundo Pereira de Ua+al$ães 56 Avenida 5alim ará$ Ualuf 5!6 Uar+inal ietê 5,6 Avenida Aricanduva ou )strada do UF?oi Uirim ual a probabilidade de um carro não ter sido multada na0
5"6 Uar+inal Pin$eiros 56 Avenida 5ão Ui+uel B
1929 Ditri:i*+o Norm"# >ma variável aleat3ria com distribui*ão normal satisfa as se+uintes propriedades0
5"6 A variável aleat3ria V pode assumir todo e qualquer valor real. 56 A representa*ão +ráfica da distribui*ão normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de !:r" norm"# ou !:r" ,e =":9 5!6 A área total limitada pela curva e pelo ei!o das abscissas é i+ual a ', (á que essa área corresponde : probabilidade de a variável aleat3ria assumir qualquer valor real. 5,6 A curva normal é assint3tica em rela*ão ao ei!o das abscissas, isto é, apro!ima-se indefinidamente do ei!o das abscissas sem, contudo, alcan*á-lo. 5e6 ;omo a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é i+ual : probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são
i+uais a #,B. )screvemos0
W W P X > x = P X < x = #,B
.
5.6 a área sob a curva entre dois pontos corresponde : probabilidade do valor de uma variável aleat3ria entre aqueles pontos.
>samos tabelas padroniadas que apresentam valores para áreas situadas sob a curva, para simplificar as opera*ões com cálculos de probabilidades. >samos o variável a padroniada X, da se+uinte maneira0 z =
x −´ x σ
com x sendo a variável normal de média
x ´
e desvio padrão
σ
.
E%em&#o' 19 As vendas mensais do mercadin$o Pa+ue ?em se+uem, apro!imadamente, uma distribui*ão normal, com média i+ual a 9Y B.###,## e desvio padrão i+ual a 9Y C.###,##. ;alcule a probabilidade de que, em um determinado mês, as vendas0 %
5"6 se(am superiores a 9Y K.B##,## 5!6 este(am entre 9Y K.J##,## e 9Y B.K##,##
56 se(am inferiores a 9Y K.###,## 5,6 este(am entre 9Y C.'##,## e 9Y M.J##,##
E%er!í!io' 19 >ma fábrica de c$ocolates comercialia barras que pesam em média C## +. 8s pesos são normalmente distribuídos. 5abe-se que o desvio padrão é i+ual a "# +. ;alcule a probabilidade de uma barra de c$ocolate escol$ida ao acaso0 5"6 pesar entre C## e CB# +. 5!6 pesar mais que CK# +.
56 pesar entre 'M# + e C## +. 5,6 pesar menos que 'B# +.
29 8s salários pa+os para os funcionários em determinada empresa se+uem uma distribui*ão normal com média i+ual a 9Y '."##,## e desvio padrão i+ual a 9Y CCM,##. ;alcule a probabilidade de um funcionário escol$ido ao acaso apresentar salário maior que 9Y '.%J#,##. (9 >ma urna contém C# bolin$as numeradas de ' a C#. )scol$e-se ao acaso uma bolin$a e observa-se o seu n4mero. 6etermine os se+uintes eventos e a probabilidade deste acontecer0 a1 o n4mero escol$ido é ímpar. b1 o n4mero escol$ido é maior que 'B. c1 o n4mero escol$ido é m4ltiplo de B. d1 o n4mero escol$ido é m4ltiplo de C e de K. e1 o n4mero escol$ido é primo. f1 o n4mero escol$ido é par e m4ltiplo de K. +1 o n4mero escol$ido é ímpar e m4ltiplo de M.
M
