Introducción Este trabajo está realizado con temas de la primera unidad de probabilidad y estadística, ³teoría de la probabilidad´, la investigación comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos y está destinado a exponer temas básicos, que se utilizarán en desarrollos posteriores y que serán fundamentales para comprender lo expuesto en ellos. Estudiaremos las operaciones: Inclusión, intersección, diferencia de conjuntos, etc., en conjuntos dados y luego se incluyen las definiciones de teorema de Bayes así como ejemplos de este, se continua con la explicación de la probabilidad de eventos aleatorios; como su nombre lo indica se habla sobre la relación de probabilidad y eventos azarosos. Seguidamente, abordaremos el estudio de espacio muestral y evento, en estos incluyendo conceptos y ejemplos simples. Después se incluyen las diferentes definiciones de la probabilidad que son: la definición clásica, en relación a la frecuencia relativa y la dada por los axiomas, también se incluye otra tema sumamente interesante que es el diagrama de árbol, este tema nos muestra la cantidad de resultados que podemos de realizar algún experimentos de probabilidad. Se trataran temas básicos de la probabilidad tal como las permutaciones y combinaciones, estas se utilizan para manejar una lista de elementos, las permutaciones se aplican cuando se quiere ordenar dicha lista y las combinaciones se aplican cuando se quieren combinar elementos sin ningún orden en específico en otro. Se hablara de 2 tipos de probabilidad, la probabilidad condicional y la independiente un tanto diferentes ya que; la probabilidad condicionada es una característica usual ya que esta enuncia que para que ocurra otro evento deberá depender de otro y la independiente dice que el evento será independiente solo si la intersección de 2 eventos es igual al producto de sus probabilidades respectivas.
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CONJUNTOS, SUS OPERACIONES, LEYES Y SU REPRESENTACIÓN CONJUNTOS El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. Se entiende por conjunto por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente. Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas, personas, mastodontes,.., prácticamente cualquier cosa. Observación: Un resultado concreto de un experimento es un elemento del espacio muestral asociado al experimento, conceptualmente suceso y resultado son dos cosas distintas. Los resultados de un experimento aleatorio se suelen representar con letras minúsculas, los sucesos con letras mayúsculas.
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En el ejemplo anterior, el suceso A ocurre siempre que el resultado del experimento sea el elemento 2 , el elemento 4 o el elemento 6 . La confusión entre suceso y resultado se debe a que cuando el suceso es : " que al lanzar un dado salga 2" y el resultado :"sale un dos al lanzar el dado", sólo ocurre el suceso cuando el resultado es 2. Suceso : "Sale un dos" es el subconjunto {2} del espacio muestral Resultado : "Sale un dos" es el elemento 2 del espacio muestral
OPERACIONES CON CONJUNTOS Sean
y
dos conjuntos.
Unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como
los
de manera que sus elementos son todos tales que . De esta manera
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es el caso especial donde
.
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces
P ropiedades
de la unión de sucesos
Conmutativa
As ociativa
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S implificación
D i s tributiva
Elemento neutro
A b s orción
Intersección
n
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado i ntersecc ión de . Es y , representado por decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B: . Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos d is juntos. Es claro que el hecho de que afirmar que y . Es decir
es condición necesaria y suficiente para
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Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Particiones
Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai , se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos Ai , forman parte del conjunto mas grande denotado A. Diferencia
-
Diagrama de Venn que muestra A ± B Los elementos de un conjunto
Diagrama de Venn que muestra B A
que no se encuentran en otro conjunto
otro conjunto llamado d if erenc ia de
y , representado por
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, forman
. Es decir:
. o dicho de otra manera:
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de
y
como
.
Una propiedad interesante de la diferencia es que
eso es porque
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por decir
. Es
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias. En vista de que
y
, entonces
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, de manera que
Pero también
de modo que
Diferencia
simétrica
Los elementos de dos conjuntos, A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.
Sucesos
compatibles e incompatibles
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Suceso
contrario
Dado un suceso A, se llama suceso contrario de A a un suceso que se verifica cuando no se verifica A.
LEYES: Leyes
de algebra de conjuntos y de potencia
A u A = A
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A n A = A Leyes
asociativas
( Abú)uC = a.C.(BuC) ( AMB)uC =a.C.(Inc.) Leyes
conmutativas
( AuB)=(BuA) ( AnB)=(BnA)
Leyes
distributivas
Au(BnC)=( AuB)n( AuC) An (BuC)= ( AnB) u ( AnC) Leyes
de identidad
Auø =A AnU=A AuU=U Anø= ø Leyes
de complemento
AuAc=U AnAc= ø ( Ac)c= A Uc = ø Leyes
de
De
Morgan
Se pueden comprobar gráficamente.
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TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. Vamos a considerar de nuevo, el experimento de las urnas A y B, que contienen bolas verdes y rojas:
Si sabemos que ha salido una bola roja, los caminos posibles en el árbol de probabilidades, quedan reducidos a dos, los señalados en rojo en la imagen anterior; tenemos que reasignar probabilidades, todos los caminos que terminan
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en bola verde, deberán tener probabilidad 0. ¿Cómo asignamos probabilidades a los caminos que conducen a bola roja?
En resumen podemos enunciar el siguiente resultado : Teorema
de Bayes o de las probabilidades a posteriori
PROBABILIDAD DE EVENTOS ALEATORIOS Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que éstos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la regularidad estadística, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la frecuencia relativa de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.
Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios: 1. La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el
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tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos. 2. La probabilidad frecuencial de un evento es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición sería la más real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a poster io r i, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. 3. La probabilidad clásica de un evento E , que denotaremos por P (E ), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E , entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS DEFINICIONES:
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio Espacio muestral ( U ) es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto muestral o muestra. Denotaremos el espacio muestral con la letra S.
E jemplos
1 ) Si el experimento se basa en la elección de un dígito, entonces el espacio muestral es:
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U
= { 0 ,1 , 2 ,3 , 4, 5 , 6, 7 , 8, 9 }
2 ) Lanzamiento de monedas: a ) Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, elespacio muestral tiene dos elementos, cara ( c ) y sello ( s ): U
= {c,s}
b ) Dos monedas, el espacio muestral tiene 4 elementos: U
= { ( c , c) , ( c , s) , ( s , c) , ( s , s) }
c ) Tres monedas, tiene 8 elementos: U
= { ( c , c ,c ) , ( c ,c , s ) , (c , s , c ) ,( c , s , s) , ( s , c ,c ) , ( s ,
c,s),(s,s,c),(s,s,s)}
TIPOS DE ESPACIO
MUESTRAL
Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muéstrales:
-Discretos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es finito o finito contable(numerable). -Continuos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es infinito incontable.
Cada subconjunto del espacio muestral se llama suceso ( o evento ) . Si consta de un solo elemento se le dice evento elemental. E jemplo
Sean U el espacio muestral formado por los 10 dígitos, A
ocurre si y sólo si el dígito es par.
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A
y B eventos tales que:
B ocurre si y sólo si el dígito es múltiplo de 3. Entonces: A
= { 0, 2, 4, 6, 8}
B = {0,3,6,9}
DEFINICIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un experimento no son equiprobables. Ej.: En un proceso de fabricación de piezas puede haber algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del proceso de fabricación. Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de probabilidad.
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DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. Es imposible llegar a este límite, ya que no podemos repetir el experimento un número infinito de veces, pero si podemos repetirlo muchas veces y observar como las frecuencias relativas tienden a estabilizarse. Esta definición frecuentista de la probabilidad se llama también probabilidad a posteriori ya que sólo podemos dar la probabilidad de un suceso después de repetir y observar un gran número de veces el experimento aleatorio correspondiente. Algunos autores las llaman probabilidades teóricas.
DEFINICIÓN AXIÓMATICA Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o propiedades de la probabilidad en forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones llamados axiomas de la probabilidad. La probabilidad de un evento A se define como el número P( A), tal que cumple con los siguientes axiomas: AXIOMA 1: La probabilidad P( A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor que uno: 0 < P( A) < 1 AXIOMA 2 : P( S) = 1 AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos ( A Ç B = Æ ), entonces: P ( A È B) = P( A) + P( B) Toda la teoría elemental de la probabilidad está construida sobre las bases de estos tres simples axiomas. Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar el axioma 3 por el
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AXIOMA 4: Si A1, A2 , « son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que P( A1 È A2 È « ) = P( A )l + P( A2 ) +«+
DIAGRAMA DE ARBOL Un d ia grama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. P ara la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades , acompañada de su probabilidad . En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento ( nudo final ) . Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades d e l a s ramas de cada nudo ha de dar 1. Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: Tres caras.
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PERMUTACIONES Y COMBINACIONES En ocasiones es necesario tomar de una lista de n objetos, r elementos y colocarlos en un orden determinado, a esto se le llama una permutación de los n objetos r tomados. La notación que utilizaremos será n Pr, que dice que de n objetos permutamos r de ellos, claro está que esta función está definida en los números enteros y que no es posible que r>n, porque no podríamos tomar más objetos que los n disponibles. T eorema:
Hipótesis: Existen n elementos de los cuales se eligen en orden r.
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Conclusión: Entonces el número de posibles formas en que se elijan los elementos es nPr=n!/(n-r)!=(n-r+1)*(n-r+2)*«* (n)
Demostración
:
Por inducción, si deseamos tomar un solo elemento, existen efectivamente n formas de hacerlo que coincide con la hipótesis del teorema, supongamos que para r-1 elementos a tomar, en realidad existen n!/ (n-r+1)! formas de hacerlo.
Desarrollemos esta última expresión: 1*2*3*... (n-r+1)*(nr+2)*...*n/(1*2*3*...* (n-r+1))=(n-r+2)* (n-r+3)*...*n, entonces para tomar el r-ésimo elemento tendríamos el número de formas en que suceden los eventos anteriores y el número de formas en que sucede el último evento (de acuerdo con el principio general de conteo) por lo tanto, para tomar el r-ésimo elemento, existen n-r+1 formas de hacerlo, debido a que se han sacado (r-1) elementos (n-(r-1))=n-r+1, por lo tanto, obtenemos que el número de formas para tomar los r elementos es: (n-r+1)*(n-r+2)*«*(n)=nPr
Con lo que queda mostrado el teorema.
Combinaciones:
Para estudiar este problema, démonos una colección de n objetos. Entonces si tomamos r elementos sin importar el orden en que los tomemos, decimos que hemos realizado una combinación de r elementos de los n disponibles. El número posible de combinaciones de r elementos de n disponibles lo denotaremos por:
nCr T eorema:
Hipótesis: Existen n elementos en un conjunto de los cuales se toman r. Conclusión: El número de posibles combinaciones es: nCr=n!/(r!*(n-r)!)
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Demostración
Sabemos que si tomamos r elementos de una colección de n, si nos fijamos del ordenen que lo tomamos, tenemos n!/ (n-r)!, pero a la vez, si consideramos que en una combinación no importa el orden. Sabemos que para colocar r elementos en r posiciones hay r! formas de hacerlo, así que para cada una de las n!/ (n-r)! formas en que se pueden tomar los elementos hay que quitar r!, tenemos que precisamente hay n!/ (r!*(n-r)!) distintas combinaciones de r elementos de n posibles.
PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA
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Conclusión A través de este trabajo se aprecio que un conjunto se define como una colección de algo, dichos conjuntos poseen miembros o elementos, pero el más utilizado para llamarles seria ³elemento´. Cuando nos referimos a ellos los marcamos como elementos pertenecientes a«´x´ conjunto, en este trabajo se mostraron la teoría de conjuntos, es una parte de esta investigación en la que se presenta la manera en la que estos conjuntos se denotan, sus simbologías principales y sobre todo las diversas operaciones que se manejan con ayuda de ellos; entre las cuales encontramos la de unión, esta se refiere a que elementos del conjunto A están unidos o relacionados con los elementos del conjunto B, en la operación de intersección se señala q entre el grupo A y B comparten cierto número de elementos, la diferencia de conjuntos esta señala q los elementos de un conjunto no son pertenecientes a otro, el complementos dice que elementos de un grupo pertenecen a otro. Después de este tema se dio a conocer el teorema de Bayes este es prácticamente un claro ejemplo de la probabilidad condicional puesto que para que puedan desatarse los eventos, uno dependerá de condiciones marcadas por el otro evento. La probabilidad de eventos aleatorios es eso un estudio realizado a eventos de ese tipo, dichos eventos deben de comportarse de manera estable, una propiedad de los fenómenos aleatorios es la regularidad estadística. el espacio muestral y los eventos son temas de los que también se trato en este trabajo, el espacio muestral es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado, de denota con la letra U,S u la y el evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aletorio.la definición de la probabilidad de manera clásica, dice que se debe de conocer el experimento aleatorio antes de realizar los estudios por eso también recibe el nombre de priori, La definición frecuentista consiste en definir la probabilidad como el límite cuando n tiende a infinito de la proporción o frecuencia relativa del suceso. La probabilidad axiomática responde a unos axiomas o leyes dadas después de lo empírico y experimental. El diagrama de árbol es la manera de organizar un evento q tiene diferentes maneras de solucionarse, las permutaciones tratan de organizar una lista de varios elementos en orden y las combinaciones son aquellas en las q se incluyen eventos sin importar el orden en otro y la probabilidad condicional y la independiente son básicas puesto que presentan diversas características. Nada complicadas fáciles de comprender. estos temas fueron de fácil entendimiento y practicidad para nosotros como alumnos, buscamos información de claridad al explicar.
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BIBLIOGRAFIA Teoría de la probabilidad http://www.elprisma.com/apuntes/matematicas/teoriaconjuntos/ http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoria-probabilidades.shtml http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tprobabilidad1.htm http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap308/cap308.htm http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4.html
03%20Probabilidad%20condicional%20e %20independencia.pdf
Libro :
Probabilidad Para Ingenieros
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