PROBABILIDAD CONDICIONAL Y PRODUCTO
1.
Una compañía se encuentra dividida dividida en tres sectores: administración, administración, operación de planta planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división, clasificados por género: Sector Femenino Masculino total Administración 30 90 120 Planta 100 130 230 Ventas 70 80 150 Total 200 300 500
Se elige aleatoriamente un empleado. a) Halle la probabilidad que sea de género masculino y trabaje en ventas. Sector Femenino Masculino total Administración 30 90 120 Planta 100 130 230 Ventas 70 150 80 Total 200 300 500 P(M∩ P(M∩V) = 80/500 (zona amarilla es la intersecc ión) b) Calcule la probabilidad de que trabaje en ventas sabiendo que es de género masculino. Sector Femenino Masculino total Administración 30 90 120 Planta 100 130 230 Ventas 70 80 150 Total 200 300 500 P(V/M) = P(V∩ P(V∩M)/P(M) = (80)/(90+130+80) = 80/300 c) Calcule la probabilidad de que sea de género masculino sabiendo que trabaja en ventas. Sector Femenino Masculino total Administración 30 90 120 Planta 100 130 230 Ventas 70 150 80 Total 200 300 500 P(M/V) = P(M∩ P(M∩V)/P(V) = (80)/(70+80) = 80/150 2.
La probabilidad a priori de los eventos A y A son P(A )=0,40 y P(A )=0,60. También se sabe que 1
2
1
2
( ) Suponga que P(B/A )=0,20 y que P(B/A )=0,50. Usando un árbol, calcule: 1
2
0.20
B
0.40
0.80
C(B)
0.6O
0.50
B
0.50
C(B)
A1
A2
a) ( ) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2) = 0.40+0.60-0 = 1 ) ( )( ) ----> P(A1∩B) = 0.20/1 Y P(A2∩B) = 0.50/1 c) P(B) = (0.40*0.20+0.60*0.50)/(0.40*0.20+0.40*0.80+0.60*0.50+0.60*0.50) = 0.38/1.16 = 0.33 d) P(A /B) y P(A /B) ---> P(A1/B) = P(A1∩B)/P(B) = 0.2/0.7 1
2
B
C(B)
A1
0.2
0.2
0.4
A2
0.5
0.1
0.6
0.7 0.3 P(A2/B) = P(A2∩B)/P(B) = 0.5/0.7
3.
1
B
C(B)
A1
0.2
0.2
0.4
A2
0.5
0.1
0.6
0.7
0.3
1
El proceso de producción de una fábrica depende del funcionamiento de dos máquinas, A y B. La experiencia indica que en un mes dado la probabilidad de que falle la máquina A esde 1/3, la de que falle la B es de 1/4 y la de que fallen las dos es 1/10. Considerando los eventos: A = “Falla la máquina A” B = “Falla la máquina B” P(A) = 1/3 P(B) = ¼ P(A∩B) = 1/10 Escribir los siguientes eventos en función de A y B y calcular las siguientes probabilidades: a) Habiendo fallado B, también falle A. P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = (1/10)/(1/4) = 4/10 b) Habiendo fallado A, falle también la B. P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = (1/10)/(1/3) = 3/10 c) No falle A sabiendo que B ha fallado. A
B
Fallo No Fallo Ambos Fallen
Del gráfico vemos que no hay área común para los no fallos con fallos, por lo tanto = P (~A∩B)/ = 0 P(~A/B) = P(~A∩B)/P(B) = 0/(1/4) = 0 4.
Se sabe que en el almacén de una fábrica de ropa, hay 500 carretes de insumos con la siguiente distribución: Camisa
Marca
Pantalón
TOTAL
A
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
Total
90
80
30
60
200
40
500
200
A :ALGODÓN,
D : DRIL
300
L : LANA
Si se extrae aleatoriamente un carrete, halle las siguientes probabilidades: a)
Que sea insumo para camisas. Camisa
Marca
Pantalón
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
30
60
200
40
Total
200 b)
300
Camisa
Pantalón
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
30
200
40
60
200
300
500
P(D/P) = 200/300 Que sea para camisa y de la marca X Camisa
Marca
Pantalón
TOTAL
A
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
30
200
40
Total
60
200
300
500
P(C∩X) = (30+20+10)/500 = 60/500 Que sea de lana sabiendo que es para camisa Camisa
Marca
Pantalón
TOTAL
A
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
30
200
40
Total
60
200 e)
TOTAL
A
Total
d)
500
P(C) = 200/500 Que el tipo de material sea dril, sabiendo que es para pantalón Marca
c)
TOTAL
A
300
500
P(L/C) = 30/200 Que sea de algodón dado que es de la marca Y Camisa
Marca
A
D
Pantalón L
A
D
L
TOTAL
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
30
200
40
Total
60
200 f)
300
500
P(A/Y) = (50+30)/250 = 80/250 Que sea de algodón o de la marca Z Camisa
Marca
Pantalón
TOTAL
A
D
L
A
D
L
X
30
20
10
15
60
15
150
Y
50
40
10
30
100
20
250
Z
10
20
10
15
40
5
100
90
80
200
40
Total
30
60
200
300
500
P(AᴜZ) = (90+20+10+60+40+5)/500 = 225/500 5.
Para la fabricación de un producto sólo se tiene n dos máquinas de operación primaria (P1, P2), dos para acabados (A1, A2) y dos empleados se encargan del control de calidad (E1, E2). Las probabilidades de uso de las máquinas son las siguientes: de usar la máquina P1: 0.6, de usar la máquina A1 dado que se usó la A1 es 0.2, de usar la máquina A2 dado que se usó la máquina P2 es 0.4. El empleado E1 revisa el 25% de los productos que pasan por P1-A1 y el 40% de los que pasan por A1-P2. Además se sabe que E2 revisa el 30% de los productos que pasan por P2-A1 y e l 75% de los que pasan por P2-A2 . a. Describa los datos usando un árbol 0.2
0.6
E1
0.75
E2
0.70
E1
0.30
E2
0.40
E1
0.60
E2
0.25
E1
0.75
E2
A1
P1 0.8
0.6 0.4
0.25
A2
A1
P2 0.4
A2
b. Escriba la notación para calcular P(P2A2E1) P(P2A2E1) = (0.4*0.4*0.25) c. Para un producto elegido al azar, halle las siguientes probabilidades: i. De haber sido revisado por E1 si pasaron por las máquinas P2 y A1. P(E1/P2∩A1) = (0.4*0.6*0.4)/(0.4*0.6*0.4+0.4*0.4*0.25) = 0.096/(0.096+0.04) = 0.96 ii. De haber usado en su fabricación las máquinas P1 y A2 y revisado por el empleado E2. P(P1∩A2∩E2) = 0.6*0.8*0.30 = 0.144 PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
6.
Se lanzarán Se lanzarán dos dados y cuatro monedas. ¿cuál es la probabilidad que resulten 3 caras en las monedas y una suma igual a 10 en los dados? .
7.
Un inversor elige entre dos tipos de valores, A y B, con probabilidades 1/3 , 2/3 respectivamente. Si elige los valores A, la probabilidad de obtener beneficios es 1/4, mientras que si elige B, es 2/5. Calcular la probabilidad de que: a. Haya obtenido beneficios. b. Si ha obtenido beneficios, haya sido con los valores B.
8.
La probabilidad de que un posible cliente haga una compra cuando un vendedor se comunique con él es de 0,40. Si un vendedor selecciona aleatoriamente de su base de datos 3 posibles clientes y se comunica con ellos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 posibles clientes efect úen una compra? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor haga por lo menos 2 ventas?
9.
Utilizando la Base de datos: CLIENTES, se ha construido una tabla de frecuencias cuyos resultados del número de consumidores de un producto según género, la zona donde viven y si son compradores o no del producto, se presenta a continuación.
Compra el producto
H O M B RE S
MUJERES
ZONA 1
ZONA 2
ZONA 3
ZONA 1
ZONA 2
ZONA 3
Total
Si
25
32
28
40
30
25
180
No
160
78
142
60
130
50
620
185
110
170
100
160
75
Total
465
800
335
Si Juan y Pedro, ambos operadores de la base de datos, seleccionan de manera independiente un cliente cada uno, a) ¿cuál es la probabilidad de que ambos consuman el producto? b) Si se sabe que ambos clientes son hombres, hallar la probabilidad de que sólo uno de ellos sea consumidor del producto? 10. La probabilidad de que el pedido de un cliente no se despache a tiempo es 0.06. Un cliente realiza 3 pedidos, se considera que el tiempo que hay entre pedidos es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Todos los pedidos se envíen a tiempo b) Exactamente uno de ellos se envíe a tiempo? c) Dos o más pedidos no se envíen a tiempo?. 11. En un sistema de producción en serie, una máquina automática produce un artículo no defectuoso con una probabilidad de 0.9. Si la producción de cada artículo se efectúa en forma independiente de los demás, hallar la probabilidad de que : mo a) Hasta el 10 artículo producido ninguno sea defectuoso b) El primer defectuoso el noveno producido. 12. En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es 0.1. Si ésta se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95 y la de que funcione la alarma sin haber peligro es 0.03. Hallar: a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya habido peligro.
b) c)
Probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione. Probabilidad de que, no habiendo funcionado la alarma, haya peligro.
PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES
13. Un inversor elige entre dos tipos de valores, A y B, con probabilidades 1/3 , 2/3 respectivamente. Si elige los valores A, la probabilidad de obtener ganancias es 1/4, mientras que si elige B, es 2/5. Calcular la probabilidad de que: a. Haya obtenido ganancias. b. Haya invertido en los valores A y no haya o btenido ganancias. c. Haya invertido en los valores A si no ha tenido ganancias. d. Si ha obtenido ganancias, haya sido con los valores B.
14. Dos máquinas A y B producen el mismo tipo de artículo, que pasa a una cinta transportadora. El rendimiento de la máquina A es el doble que el de la máquina B. El 60% de la producción de A y el 84% de la producción de B se ajustan a los requerimientos técnicos. Se selecciona un artículo al azar de la cinta transportadora y resulta que se ajusta a los requerimientos técnicos; Halle la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina A. 15. Las previsiones sobre la inflación de un determinado país para el próximo año la sitúan por debajo del 2% con probabilidad 0,65, entre el 2% y el 3% con probabilidad 0,25 y por encima del 3% con probabilidad 0,1. Si la probabilidad de satisfacer la demanda de empleo es de 0,7 con inflación baja, de 0,4 cuando ésta se sitúa entre el 2% y el 3% y nula en otro caso, calcule: a) La probabilidad de satisfacer la demanda de empleo. b) Si antes de conocer el dato de inflación anual, se sabe que se ha satisfecho la demanda de empleo, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los tres niveles de inflación considerados? 16. En un mercado el 70% de las compras la realizan en la mañana (antes de las 12 horas) ; de las compras realizadas en la mañana, el 80% supera los 100 soles, mientras que de las compras realizadas por la tarde sólo el 30% supera esa cantidad. a. Se elige un ticket de compra al azar, ¿cuál es probabilidad de que supere los 100 soles? b.
Si se sabe que el ticket de compra no supera los 100 soles., ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha en la mañana?
