ความนาจะเป าจะเปน ทฤษฎีและโจทย และโจทยปปญหา ผู ชวยศาสตราจารย ว ยศาสตราจารยวัวั ลลภ ลลภ เฉลิมสุ มสุวิวิวัวัฒนาการ
คณะวิทยาศาสตร ทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลั ทยาลัยหอการค ย หอการคาไทย าไทย
คําขอบคุ าขอบคุณ ...
สาระความรู โจทย โจทยปปญหา ญ หา จํานวนมากในหนั านวนมากในหนั งสื งสือเล อเลมนี มนี ้ เรียนรู ยนรู และรวบรวมจากตํ และรวบรวมจากตําราต าราตางๆทั ้งที ่ ่ ง ทีแสดงและไม ได แสดงและไม ไดแสดงไว ในบรรณานุ แสดงไว ในบรรณานุกรม กรม ความดีของหนั ของหนั งสื งสือเล อเลมนี มนี ้ขอมอบให ขอมอบใหกักบเจ บ ั เจาของความคิ าของความคิ ดทุ ดทุกท กทาน าน
© 2555 สงวนลิขสิ ขสิทธิ ์ ์ ทธิตามพระราชบั ตามพระราชบั ญญั ญญัติต ิ หามผู ามผู ใดคั ใดคั ดลอกหรื ดลอกหรือเผยแพร โดยวิ อเผยแพร โดยวิธีธการใดๆ กี ารใดๆ เวนแต นแตจะได จะไดรัรบอนุ บ ั อนุญาตจากผู ญาตจากผู เขี เขียน ยน
คํานํ านํา าจะเปน : ทฤษฎีและโจทยปญหา เลมนี ้ หนังสื งสือ ความนาจะเป นี ้ เกิดจากก จ ากการร ารรวบรว วบรวมโจท มโจทยยปญหาที ่ น่ าสนใจ าสนใจ สําหรั าหรับใช บใชพัพัฒนาทั ฒนาทักษะการแก กษะการแกปญหาของนักศึศึกษาในรายวิชาทฤษฎีความนาจะเปนที ่ ผ่ มรับผิ ดชอบสอนเป ดชอบส อนเป น เวลานานกว าสิ าสิบป บปที ่ ่ทคณะวิ คี ณะวิทยาศาสตร ทยาศาสตรและเทคโนโลยี และเทคโนโลยี มหาวิทยาลั ทยาลัยหอการคาไทย การตัดสินใจรวบรวมโจทย ปญหาที ่ ่ ญหาทีมีมอยู อี ยูและจั และจัดพิ ดพิมพ มพเป เปนรู นรูปเล ปเลมหนั มหนังสื งสือนี ้ ้ อนี เพื เพื ่ ่อให อใหเป เปนแหล นแหลงทรั งทรัพยากรการเรี พยากรการเรี ยนรู ยนรู เพิ ่ เพิ ่มเติ มจากที มจา กที ่ ่มีอ ยูยู สํ าหรั าหรับ นักศึ กศึกษา กษา และเปนการแบ นการแบงป งปนทรั นทรัพยากรให พยากรใหเพื ่ ่ เพือนครู อนครูอาจารย อาจารยที ่ ่ทสอนหรื สี อนหรือสนใจรายวิ อสนใจรายวิชานี ้ ้ ชานี ไดใช ใชประโยชน ประโยชนรรวมกั วมกัน เนื ้ ้อหาในหนั เนื อหาในหนังสื งสือเล อเลมนี ้ ้ มนี แบงเป งเปน 5 บท แตละบทมี ละบทมีสสวนประกอบ วนประกอบ 3 สวน วน สวนแรกเป วนแรกเปนสรุปสาระสําคัญ สวนที ่ ่ วนทีสองเป สองเปนโจทย นโจทยปปญหา ญ หา สองสวนนี ้ ้ วนนีรวมกั รวมกันไว นไวในตอนที ่ ่ ในตอนที 1 สวนที ่ ่ วนทีสามเป สามเปนเฉลย นเฉลย ผมตัดสิ ดสินใจนํ นใจนําโจทย าโจทยปปญหามา ญ หามา พิมพ มพซ้ซ ํ้าไว าไว คูคู กักับเฉลยในตอนที บเฉลยในตอนที ่ ่ 2 เพื ่ ่ เพือความสะดวกในการใช อความสะดวกในการใชงาน งาน บทที ่ ่ 1 พิจารณาแบบจํ บทที จารณาแบบจํ าลองความน าลองความนาจะเป าจะเปน สัจพจน จพจนของความน ของความนาจะเป าจะเปน การใชกฎต กฎตางๆของความน างๆของความนาจะ าจะ เปนหาความน นหาความนาจะเป าจะเปนของเหตุ นของเหตุการณ การณที ่ ่ทกํกี าหนดให าํ หนดให ทัทั ้ ้งแบบที ่ ่ งแบบทีไม ไมมีมเงื ่ ่เี งือนไขและแบบที ่ ่ อนไขและแบบที มีมีเงื ่ ่เงือนไข อนไข บทที ่ ่ 2 เบนความสน บทที เบนความสนใจจากความน ใจจากความนาจะเป าจะเปนของเหตุ นของเหตุการณ การณมาสู มาสูความน ความนาจะเป าจะเปนที ่ ่ นทีเกี ่ เกี ่ยวข วข องกั ง กับตัวแปรสุ แปร สุ ม ซึซึ ่ ่งในบทนี ใ นบทนี ้ ้เจาะจงที จาะจ งที ่ ต่ ัวแปรสุ แป รสุ ม ไม ไ มตอเนื เ นื ่ ่อง กา การใช รใชฟ งก งกชันมวลคว มว ลความน ามน าจะเป าจะ เปนหาควา หา ความน มนา จะเป น ค าคาดหวั าคา ดหวัง ความแปรปรวน ทั ้ ้งแบบไม งแบบไมมีเงื ่ อ่ นไขแ น ไขและแ ละแบบมี บบมีเงื ่งื ่อนไข น ไข รวมทั ้ ้งขยายควา ขยาย ความคิ มคิด ไปพิจ ารณ ารณาก าการแ ารแจกแ จกแจงค จงควา วามม นาจะเป าจะเปนร นรวมของตั วมของตัวแปรสุ วแปรสุมหลายตั มหลายตัวด วดวย วย บทที ่ ่ 3 พิจารณ บทที า รณาตั าตัวแปรสุ แ ปรสุ ม ตต อ เนื เนื ่ ่องใน ง ในบริ บริบทเดี ท เดีย วกันกั บที บที ่ พ่ ิจ ารณ ารณาใ าในบท นบททีที ่ ่ 3 นอ นอกจ กจาก ากนันั ้ ้น ยังได ไ ด กลาวถึ าวถึงฟ งฟงก งกชัชันการแจกแจงความน นการแจกแจงความนาจะเป าจะเปนสะสมซึ ่ ่ นสะสมซึงนิ งนิยามสํ ยามสําหรั าหรับตั บตัวแปรสุ วแปรสุมไม มไมตตอเนื ่ ่ อเนืองและตั องและตัวแปรสุ วแปรสุมต มตอเนื ่ ่ อเนือง อง ในรูปแบบเดี ปแบบเดียวกั ยวกัน และในโจทยปปญหาได ญ หาไดแนะนํ แนะนําวิ าวิธีธนินี ิยามตั ยามตัวแปรสุ วแปรสุมต มตอเนื ่ ่ อเนืองและไม องและไมตตอเนื ่ ่ อเนืองประกอบกั องประกอบกันเป นเปนตั นตัว แปรสุ มผสมไว แปรสุ มผสมไวเป เปนแนวทางเบื ้ ้ นแนวทางเบืองต องตนสํ นสําหรั าหรับศึ บศึกษาในขั ้ ้ กษาในขันสู นสูงขึ ้ ้ งขึน บทที ่ ่ 4 กลาวถึ บทที าวถึงสมบั งสมบัติตเพิ ่ ่ เิ พิมเติ มเติมเกี ่ ่ มเกียวกั ยวกับตั บตัวแปรสุ วแปรสุม เชนคาดคาดหวั นคาดคาดหวั งและความแปรปรวนของฟ งและความแปรปรวนของฟ งก งกชัชันของ นของ ตัวแปรสุ วแปรสุม ความแปรปรวนรวม วม สัมประสิ มประสิทธิ ์ ทธิ ์สหสั ส หสัมพั มพันธ นธ การหาคาคาดหวั าคาดหวังและความแปรปรวนของตั งและความแปรปรวนของตั วแปรสุ วแปรสุม โดยวางเงื ่ ่อนไขบนตั โดยวางเงื อนไขบนตัวแปรสุ วแปรสุมอี มอีกตั กตัวหนึ ่ ่ วหนึง และฟงก งกชัชันก นกอกํ อกําเนิ าเนิดโมเมนต ดโมเมนต บทที ่ ่ 5 กลาวถึ บทที าวถึงอสมการมาร งอสมการมารโคฟและอสมการเชบี โคฟและอสมการเชบีเชฟสํ เชฟสําหรับใช บใชหาคาขอบของความนาจะเปน และ นําเสนอทฤษฎี าเสนอทฤษฎี บทลิ บทลิมิมิตที ่ ่ ตทีสํสําคั าคัญมากในทฤษฎี ญมากในทฤษฎีความน ความนาจะเป าจะเปน ไดแก แก กฎอยางเข างเขมของจํ มของจํานวนมากและทฤษฎีบท เซนทรัลลิ ลลิมิมิต นักศึ กศึกษาสามารถทบทวนความรู กษาสามารถทบทวนความรู และสาระสํ และสาระสํ าคั าคัญของรายวิ ญของรายวิชาจากสรุ ชาจากสรุปสาระสํ ปสาระสําคั าคัญในตอนที ่ ่ ญในตอนที 1 ของแตละ ละ บทและพัฒนาทั ฒนาทักษะการแก กษะการแกปปญหาโดยแก ญ หาโดยแกโจทย โจทยในหนั ในหนังสื งสือเล อเลมนี ้ ้ มนีดดวยตนเองก ว ยตนเองกอนเสมอ อนเสมอ ในกรณีที ่ ่ทไม ไี มทราบแนวทาง ทราบแนวทาง
แกปญ หาเลย อาจดูแนวคิดในการแกปญหาที ่เสนอไวใ นหนังสื อเล็ กนอย ขอใหดู แตน อย จะไดคิดเองมากๆ สุดทาย เมื ่อแกโจทยเองเสร็จแลวจึงคอยเปรียบเทียบกับเฉลยที ่ใหไว ในการอานเฉลย นักศึกษาอาจตองแสดง รายละเอียดปลีกยอยเองดวย ผมหวังวา หนังสือเลมนี ้จะมีประโยชนและสงเสริ มใหนัก ศึก ษามีทางเลื อกมากขึ ้นในการแสวงหา ความรู หากผู อา นพบขอผิดพลาดหรื อมีคํ าแนะนําประการใด โปรดอนุเ คราะหแจงใหผมทราบดว ย จะเปน พระคุณอยางยิ ่ง วัล ลภ เฉลิมสุววิ ั ฒนาการ
สาขาวิศวกรรมการเงิน คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยหอการคาไทย wallop_
[email protected]
สารบั ญ หนา บทที ่ 1
คํานํา ความนาจะเปน สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา เฉลย
1-5 5-11 61-85
บทที ่ 2 ตั วแปรสุ มไมตอ เนื ่อง สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา เฉลย
13-18 19-25 87-111
บทที ่ 3 ตั วแปรสุ มทั ่ว ไป สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา เฉลย
27-33 33-39 113-135
บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกับ ตั วแปรสุ ม สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา เฉลย
41-44 44-50 137-166
บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมิต สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา เฉลย บรรณานุกรม ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ดัชนีคนเรื ่อง
51-53 53-58 167-183 185 186 187-188
หนาวาง
ตอนที ่ 1 สรุปสาระสําคัญ โจทยปญ หา
หนาวาง
1
ความนาจะเปน
สรุปสาระสําคั ญ แบบจําลองความนาจะเปน 1. สวนประกอบของแบบจําลองความนาจะเปน(Probability Model) (1) แซมเปลสเปซ (Sample Space) แทนดวย S คือเซตของผลลัพธที ่เปนไปได ทั ้งหมดของ การทดลองสุ ม (2) ฟ งกชั นความน าจะเปน (Probability Function) ซึ ่งใหคา ที ่เปนจํานวนจริง P(A) ในชวง [0,1] กับเซต A ของผลลัพธในแซมเปลสเปซ เซต A ใดๆของผลลัพธในแซมเปลสเปซ เรียกวา เหตุการณ (Event) จํานวนจริง P(A) เรียกวา ความนาจะเปน(Probability) ของ A ใชวัด “ความเปนไปได” (Likelihood) ของผลลัพธทั ้งหมดของ A 1.1
2.
สั จพจนความนาจะเปน (Probability Axioms) (1)
สําหรับทุกเหตุการณ A P(A) ≥ 0
ถา A และ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน แลวความนาจะเปนของยูเนียนของเหตุการณ A และ B นี ้สอดคลองกับสมการ (2)
P(AB) = P(A) + P(B)
และถาแซมเปลสเปซเปนเซตอนันต และ A1, A2, … เปนลําดับของเหตุการณไมเกิดร วมกัน แลว ความนาจะเปนของยูเนียนของเหตุการณเหลานี ้สอดคลองกับสมการ P(A1A2…) = P(A1) + P(A2) + …
(3)
ความนาจะเปนของแซมเปลสเปซ S เทากับ 1 P(S) = 1
ของเหตุการณ ให A และ B เปนเหตุการณใดๆในแซมเปลสเปซ S
3. ยูเนียน อินเตอรเซกชั น และ คอมพลีเมนต
2
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา (1)
ยูเนียน (Union) ของเหตุการณ A และ B แทนดวย A B {x | x A
AB
หรือ x B}
ดังนั ้น AB เกิดขึ ้น ก็ตอเมื ่อ A หรือ B เกิดขึ ้นอยางนอย 1 เหตุการณ (2) อินเตอร เซกชัน (Intersection) ของเหตุการณ A และ B แทนดวย AB A B {x | x A
และ x B}
ดังนั ้น AB เกิดขึ ้น ก็ตอเมื ่อ A และ B เกิดขึ ้นทั ้งคู หรือเกิดขึ ้นพรอมกันในการทดลองเดียวกัน (3) คอมพลีเมนต (Complement) ของเหตุการณ A แทนดวย AC A C {x | x A}
ดังนั ้น AC เกิดขึ ้น ก็ตอเมื ่อ A ไมเกิดขึ ้น เหตุการณ ไมเกิดรวมกัน (Mutually Exclusive Events หรือ Disjoint Events) คือเหตุการณที ่ เกิดขึ ้นพรอมกันในการทดลองเดียวกันไมได นั ่นคือ A และ B ไมมีผลลัพธรวม A และ B เปนเหตุการณไมเกิด รวมกัน ถา AB = 4. ฟงกชันความนาจะเปนสําหรับแซมเป ลสเปซที ่เปนเซตจํากัด ถาแซมเปลสเปซประกอบดวยผลลัพธที ่เปนไปไดจาํ นวนจํากัด แลวความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ กําหนดไดจากความนาจะเปนของเหตุการณที ่ประกอบดวยผลลัพธเดียว กลาวคือ ความนาจะเปนของเหตุการณ {s1, s2, …, s n} เทากับผลบวกของความนาจะเปนของเหตุการณ {s1}, {s2}, …, {s n} P({s 1, s2, …, sn}) = P({s1}) + P({s 2}) + … + P({s n})
ฟง กชนั ความนาจะเปนยูนฟิ อรมไมตอ เนื ่อง (Discrete Uniform Probability Function) ถาแซมเปลสเปซประกอบดวยผลลัพธที ่เปนไปได n ผลลัพธ แตละผลลัพธมีความเปนไปไดเทากัน แลว ความนาจะเปนของเหตุการณ A ใดๆ กําหนดโดย 5.
P(A) 6.
จํานวนผลลัพธของ
A
n
สมบัติของฟงกชันความนาจะเปน ให A, B, และ C เปนเหตุการณในแซมเปลสเปซ S (1) P() = 0 C
(2) P(A) = 1 – P(A ) (3)
[
กฎความนาจะเปนของคอมพลีเมนต]
ถา A B แลว P(A) P(B)
(4) P(A B) P(A) P(B) P(A B) (5) P(A B) P(A) P(B) (6) P(A B C) P(A) P(A C B) P(A C B C C)
บทที ่ 1 ความนาจะเปน 1.2 ความนาจะเปนมีเงื ่อนไข
ความนาจะเปนมีเงื ่อนไข (Conditional Probability) ของเหตุการณ A เมื ่อกําหนดเหตุการณ B (ทราบ วาเกิดเหตุการณ B) แทนดวย P(A|B) นิยามโดย P(A B) P(A|B) เมื ่อ P(B) > 0 1.
P(B)
ความนาจะเปนมีเงื ่อนไขสามารถมองเป นความนาจะเปนบนแซมเปลสเปซใหมคือ B เพราะการกําหนดวา B เกิดขึ ้น หมายความวา เฉพาะผลลัพธใน B เทานั ้นที ่เปนไปได ถาผลลัพธที ่เปนไปไดมคี วามนาจะเปนเทากันและมีจาํ นวนจํากัด แลว P(A|B) 2.
จํานวนผลลั พธของ A B จํานวนผลลัพธ ของ B
กฎการคูณความนาจะเปน (Multiplication Rule) ถาทุกเหตุการณทใี ่ ชเปนเงื ่อนไขมีความนาจะเปนมากกวา 0 แลว n 1 n P Ai P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A3 | A1 A 2 )...P(A n | Ai ) i 1 i 1
1.3
ทฤษฎีบทความนาจะเปนรวมและกฎของเบส
ให A1, …, An เปนเหตุการณในแซมเปลสเปซ S กลาววา {A1, …, An} เปน ผลการแบง (Partition) ของแซมเปลสเปซ S ถา A1, …, An เปนเหตุการณไมเกิดรวมกันและ A S 2. ทฤษฎีบทความน าจะเปนรวม (Total Probability Theorem) ให A1, …, An เปนผลการแบงของแซมเป ลสเปซ S และสมมุติวา P(Ai) > 0 สําหรับทุก i แลว สําหรับ เหตุการณ B ใดๆ จะไดวา 1.
b
i 1
i
P(B) P(A1 B) ... P(A n B)
P(A1 )P(B | A1 ) ... P(A n )P(B | An )
กฎของเบส (Bayes’ Rule) ให {A1, …, An} เปนผลการแบงของแซมเป ลสเปซ S และสมมุติวา P(Ai) > 0 สําหรับทุก i แลว สําหรับ เหตุการณ B ใดๆ จะไดวา 3.
P(A k | B)
P(A k )P(B | A k ) P(B) P(A k )P(B | A k ) P(A1 )P(B | A1 ) ... P(A n )P(B | A n )
3
4
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 1.4 1.
ความอิสระ
ความอิสระ(Independence) (1) เหตุการณสองเหตุการณ A และ B เปนอิสระกัน ถา P(A B) P(A)P(B)
ถา P(B) > 0 แลวเงื ่อนไขของความอิสระขางบนสมมูลกับเงื ่อนไขตอไปนี ้ P(A | B) P(A)
ถา A และ B เปนอิสระกันแลว B และ A เปนอิสระกัน (3) เมื ่อกําหนดเหตุการณ C (ทราบวาเกิดเหตุการณ C) ซึ ่ง P(C) > 0 เรากลาววา เหตุการณสอง เหตุการณ A และ B เปนอิสระกันอยางมีเงื ่อนไข ถา (2)
P(A B | C) P(A | C)P(B | C)
และถา P(BC) > 0 แลวเงื ่อนไขของความอิสระมีเงื ่อนไขสมมุ,กับเงื ่อนไขตอไปนี ้ P(A|BC) = P(A|C)
ความอิสระของเหตุการณหลายๆเหตุการณ เรากลาววาเหตุการณ A1, …, An เปนอิสระกัน ถา P A P(A ) สําหรับทุกสับเซต K ของ {1,2,…} 2.
i
iK
iK
i
1.5 การนั บ 1.
กฎการนับ (Counting Principle) พิจารณากระบวนการที ่ประกอบดวย r ขั ้นตอน สมมุตวิ า (1) ผลที ่เปนไปไดจากขั ้นตอนที ่ 1 มี n 1 วิธี (2) สําหรับผลแตละวิธท ี ี ่เปนไปไดจากขั ้นตอนที ่ 1 ผลที ่เปนไปไดจากขั ้นตอนที ่ 2 มี n2 วิธี (3) ในกรณีทั ่วไป สําหรับ ลําดับของผลที ่เปนไปไดแตละวิธีจาก i – 1 ขั ้นตอนแรก ผลที ่เปนไปได จาก ขั ้นตอนที ่ i มี ni วิธี แลว จํานวนผลที ่เปนไปไดทั ้งหมดจากกระบวนการที ่มี n ขั ้นตอนเทากับ n n ... n วิธี ผลที ่ไดจากกฎการนับ (1) จํานวนวิธีเรียงสับ เปลี ่ยน(Permutation) สิ ่งของที ่แตกตางกัน n สิ ่งโดยใชทกุ สิ ่งเทากับ n! วิธี ี ะ r สิ ่งเทากับ n! วิธี (2) จํานวนวิธเี รียงสับเปลี ่ยนสิ ่งของที ่แตกตางกัน n สิ ่งโดยใชทล 1
2.
2
r
(n r)!
(3)
จํานวนวิธีจดั หมู (Combination) สิ ่งของที ่แตกตางกัน n สิ ่งโดยใชทลี ะ r สิ ่งเทากับ
บทที ่ 1 ความนาจะเปน n n! r r!(n r)! (4)
วิธี
วิธแี บงสิ ่งของที ่แตกตางกัน n สิ ่งออกเปน r กลุ ม โดยที ่กลุ มที ่ i มี ni สิ ่งแตกตางกัน เทากับ n n! n , n ,..., n n1 !n 2 !...n r ! 1 2 r
วิธี
โจทยปญหา 1.
2.
3.
4.
นักศึกษาในหองหนึ ่ง มี 60% เปนนักศึกษาตางชาติ 70% ชอบขนมไทย และ 40% เปนนักศึกษาตางชาติ และชอบขนมไทย สุ มเลือกนักศึกษาคนหนึ ่งจากนักศึกษากลุ มนี ้ จงหาความน าจะเปนที ่จะไดนักศึก ษาที ่ ไมใชนักศึกษาตางชาติและไมไดชอบขนมไทย ถวงน้ ําหนักลูกเตาหกหนาลูกหนึ ่งใหหนา คู ทุกหนามีค วามนา จะเป นเปนสองเท าของหนาคี ่ทุกหนา จง สรางแบบจําลองความนาจะเปนของการทอดลู กเตาลูกนี ้หนึ ่งครั ้ง และ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ ที ่ลูกเตาหงายหนานอยกวา 4 ทอดลูกเตาสี ่หน า ไปเรื ่อ ยๆจนกระทั ่ง ลูก เตา หงายหน า คู เป นครั ้งแรกจึงยุ ติการทอดลูก เตา จงอธิ บาย แซมเปลสเปซของการทดลองนี ้ สมมุตวิ า คุณเขารวมการแขงขันหมากรุกรายการพิเศษรายการหนึ ่งซึ ่งคุณตองเลนกับคู แขง 3 คน คนละเกม แตคณุ สามารถเลือกไดวา จะเลนกับใครกอน และทราบดวยวาความนาจะเปนที ่คณุ จะชนะเมื ่อเลนกับแตละ คนเปนเทาใด คุณจะชนะการแข งขันรายการนี ้ถาคุณชนะติดตอกัน 2 เกม คุณตองการหายุทธวิธที ที ่ ําใหคณุ มีความนาจะเปนที ่จะชนะการแข งขันมากที ่สุ ด จงแสดงว าคุ ณมีค วามนาจะเปนมากที ่สุดที ่จะชนะการ แขงขันเมื ่อคุณเลือกเลนกับคู แขงที ่ออนที ่สดุ เปนเกมที ่สอง สวนคู แขงอีกสองคนที ่เหลือ คุณจะเลือกเลนใน ลําดับแบบใดก็ได n
5.
ผลการแบงของแซมเปลสเปซ S คือเซตของเหตุการณไมเกิดรวมกัน B1, B2, …, Bn ซึ ่ง B (1) จงแสดงวา สําหรับเหตุการณ A ใดๆ i 1
n
P(A B ) จงใชผลจากขอ(1) แสดงวา สําหรับเหตุการณ A, B และ C ใดๆ P(A)
i
i 1
(2)
P(A) P(A B) P(A C) P(A BC C C ) P(A B C)
i
S
5
6
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 6.
จงพิสูจนสตู ร P((A BC ) (A C B)) P(A) P(B) 2P(A B)
ซึ ่งใชหาความนาจะเปนที ่เหตุการณ A หรือ B เกิดขึ ้นเพียงเหตุการณเดียวเทานั ้น [ผู อานควรสังเกตวา สูตร นี ้ตา งจากสูตร P(A B) P(A) P(B) P(A B) ซึ ่งใชหาความนาจะเปนที ่จะเกิดเหตุการณ A หรือ B อยางนอย 1 เหตูการณ] 7.
[Bonferroni’s Inequality]
(1)
สําหรับสองเหตุการณ A และ B ใดๆ จงพิสจู นวา P(A B) P(A) P(B) 1
(2)
ในกรณีทั ่วไป สําหรับ n เหตุการณ A1, A2, …, An ใดๆ จงพิสจู นวา P(A1 A 2 ... An ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) (n 1)
8.
สมบัต คิ วามตอเนื ่องของความนาจะเปน] (1) ให A1, A2, … เปนลําดับอนันตของเหตุการณซ ึ ่ง เพิ ่มขึ ้นทางเดี ยว (Monotonically Increasing) หมายความวา A A สําหรับทุก n ให A A จงแสดงวา P(A) lim P(A ) แนะนํา เขียน A ในรูปยูเนียนของเหตุการณไมเกิดรวมกันจํานวนอนันตนับได (2) ให A1, A2, … เปนลําดั บอนันตของเหตุการณซงึ ่ ลดลงทางเดียว(Monotonically Decreasing) หมายความวา A A สําหรับทุก n ให A A จงแสดงวา P(A) lim P(A ) แนะนํา ใชผลในขอ (1) กับคอมพลีเมนตของเหตุการณ ี ซมเปลสเปซเปนเซตของจํานวนจริง จงพิสูจนวา (3) พิจารณาแบบจํ าลองความนาจะเปนที ่มแ P [0, ) lim P [0, n] และ lim P [n, ) 0 [
n
n 1
n 1
n
n
n
n 1
n
n
9.
n 1
n
n
n
n
ทอดลูกเตาเที ่ยงตรง (หกหนา) สองลูก มีผลลัพธทเี ่ ปนไปไดทั ้งหมด 36 ผลลัพธ แตละผลลัพธมีโอกาส เกิดขึ ้นเทากัน (1) จงหาความน าจะเปนที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกันทั ้งสองลูก (2) สมมุติวาแตมรวมของลูกเตาไมเกิน 4 จงหาความน าจะเป นที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกันทั ้งสองลูก (3) จงหาความน าจะเปนที ่ลูกเตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6 (4) สมมุติวาลูกเตาหงายหนาตางกัน จงหาความนาจะเปนที ่ลูกเตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6
บทที ่ 1 ความนาจะเปน
10.
11.
12.
13.
14.
โยนเหรียญอันหนึ ่งสองครั ้ง อลิสกลาววาความนาจะเปนที ่เหรีย ญหงายหัวทั ้งสองครั ้งถาทราบวา เหรีย ญ หงายหัวครั ้งแรก มากกวา ถาทราบว าเหรียญหงายหัวอยางนอยหนึ ่งครั ้ง อลิสกลาวถูกตองหรือไม กรณีท ี ่ เหรียญเที ่ยงตรงกับกรณีที ่เหรียญไมเที ่ยงตรงผลสรุปตางกันหรือไม มีเหรียญ 3 อัน อันแรกเปนเหรียญที ่มหี ัวสองดาน อันที ่สองเปนเหรียญที ่มีกอ ยสองดาน และอันที ่สามเปน เหรียญปกติทมี ่ หี ัวและกอยอยางละดาน ถาเราสุ มหยิบเหรียญอันหนึ ่งแลวคว่ ําเหรียญที ่หยิบไดนั ้น ปรากฏ วาดานที ่หงายใหเห็นเปนหัว จงหาความนาจะเปนที ่ดานตรงขามเปนกอย สินคาล็อตหนึ ่งมี 100 ชิ ้น สุ มตัวอยางสินคามาตรวจสอบคุณภาพ 4 ชิ ้น ถาพบสินคาชํารุดในตัวอยาง จะ ปฏิเสธไมรับล็อต สมมุติ วาในล็อตมีสินคาชํารุดทั ้งหมด 5 ชิ ้น จงหาความนา จะเป นที ่จะยอมรับสิ นคา ล็อตดังกลาวนี ้ ให A และ B เปนเหตุการณใดๆ จงพิสจู นวา P(A
B | B) P(A | B)
ถา P(B)
0
สมศรีคนหารายงานในตู เก็ บเอกสารซึ ่งมี ลิ ้นชักหลายอัน สมศรีท ราบวา รายงานอยู ในลิ ้นชัก j ดวย ความนาจะเปน p j > 0 แตละลิ ้นชักรกมาก แมนวาสมศรีเดาถูกวารายงานอยู ในลิ ้นชัก i ความนาจะเปนที ่ สมศรีจะคนพบรายงานเทากับ di เทานั ้น สมศรีคน หารายงานในลิ ้นชักหนึ ่ง สมมุติเปนลิ ้นชัก i แตไมพบ รายงาน ภายใตเงื ่อนไขนี ้ จงแสดงวาความนาจะเปนที ่รายงานของสมศรี อยู ในลิ ้นชัก j เทากับ p ถา j
1 pi d i
j i
15.
16.
และเทากับ p (1 i
di )
1 pi d i
ถา j = i
ผู เลนสองคนผลัดกันสุ มหยิบลูกบอลออกจากกลองซึ ่งในตอนเริ ่มตนมีลกู บอลสีขาว m ลูกและลูกบอลสีดาํ n ลูก ผู เลนคนแรกที ่หยิบไดลูกบอลสี ขาวเป นผู ชนะ จงสรางสูตรเวียนซ้ ําที ่ใชคํ านวณความนา จะเปน ที ่ผ ู เลนที ่เลนกอนเปนผู ชนะ มีกลอง k ใบ แตละใบมีลูกบอลสีขาว m ลูกและสีดาํ n ลูก สุ มหยิบลูก บอล 1 ลูกจากกลองที ่ 1 ใสลงใน กลองที ่ 2 แลวสุ มหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที ่ 2 ใสลงในกลองที ่ 3 เรื ่อยไปจนสุดทายสุ มหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที ่ k จงแสดงวา ความนาจะเปนที ่หยิบไดลูกบอลลูกสุดทายเปนสีขาวเทากับความนาจะเปนที ่ หยิบไดลูกบอลลูกแรกจะเปนสีขาว คือ m mn
7
8
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 17.
18.
19.
มีกลอง 2ใบ ในตอนเริ ่มตนกลองแตละใบมีลูกบอลจํานวนเทากัน สุ มหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองแตละใบ พรอมกันแลวใสกลับไปไวในกลองอีกใบหนึ ่งสลับกัน ดําเนินการเชนนี ้ 4 ครั ้ง เมื ่อสิ ้นสุดการดําเนินการ จงหาความนาจะเปนที ่ลกู บอลทั ้งหมดอยู ในกลองเดิมเหมือนตอนเริ ่มตน สมมุตวิ า คุณไดรับซอง 2 ซอง คุณทราบวาภายในแตละซองมีเงินเปนจํานวนเต็มบาทและไมเทากัน แตคณุ ไมทราบวาวาแตละซองมีเงินจํานวนเทาใด ใหคุณสุ มเลือกซอง 1 ซอง หลังจากคุณดูวา ในซองมีเงินเทาใด คุณอาจเปลี ่ยนไปเลือ กอี กซองหนึ ่งก็ ได เพื ่อนของคุ ณคนหนึ ่งแนะนํา วา ยุทธวิ ธีตอ ไปนี ้จะชวยใหคุณ มี โอกาสเกิน 1 ที ่จะเลือกไดซองที ่มีเงินมากกวา : ใหคุณโยนเหรียญซ้ ําๆ ให X เทากับ 1 บวกจํานวนครั ้งที ่ 2 2 โยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหงายดานหัวเปนครั ้งแรก และใหเปลี ่ยนซองถาจํานวนเงินในซองแรกที ่เลือก นอยกวาคาของ X ยุทธวิธขี องเพื ่อนของคุณถูกตองหรือไม อลิสกับบีมมีเหรียญ 2n + 1 อัน เมื ่อโยนเหรียญ เหรียญแตละอันมีความนาจะเปน 1 ที ่จะหงายดานหัว บีม 2 โยนเหรียญ n + 1 อัน อลิสโยนเหรียญ n อัน สมมุตวิ าการโยนเหรียญแตละอันเปนอิสระกัน จงแสดงวา เมื ่อโยนเหรียญครบทุกอันแลว ความนาจะเปนที ่บมี จะโยนเหรียญไดหัวมากกวาอลิสเทากับ 1 2
ทฤษฎีบทความนาจะเปนรวมสําหรั บความนาจะเปนมีเงื ่อนไข] ให {C , ..., C } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ ให A และ B เปนเหตุการณซึ ่ง P(B C ) 0 สําหรับทุก i จงแสดงวา
20. [
1
n
i
n
P(A | B) P(C i | B)P(A | B C i ) i 1
21.
ให A และ B เปนเหตุการณซึ ่ง P(A) > 0 และ P(B) > 0 กลาววาเหตุการณ B เพิ ่มความเปนไปไดของ เหตุการณ A ถา P(A|B) > P(A) และกลาววาเหตุการณ B ลดความเปนไปไดของเหตุการณ A ถา P(A|B) < P(A)
จงแสดงวา B เพิ ่มความเปนไปไดของ A ก็ตอเมื ่อ A เพิ ่มความเปนไปไดของ B (2) สมมุติวา P(BC) > 0 จงแสดงวา B เพิ ่มความเปนไปไดของ A ก็ต อเมื ่อ BC ลดความเป นไปไดของ A (3) เราทราบว าสมบัติถูกซอนไวในสถานที ่แหงใดแหงหนึ ่งในสองแหง ดวยความน าจะเปน และ 1 ตามลําดับ ในเมื ่อ 0 1 เราคนหาสมบัตใิ นสถานที ่หนึ ่ง และถาสมบัติอยู ในสถานที ่นั ้น ความนาจะ เปนที ่จะพบสมบัติเทากับ p > 0 จงแสดงวาเหตุการณที ่เราไมพบสมบัติในสถานที ่แหงแรกที ่เราคนหาเพิ ่ม ความเปนไปไดวาสมบัตอิ ยู ในสถานที ่แหงที ่สอง (1)
บทที ่ 1 ความนาจะเปน
22.
23.
24.
25.
พรานคนหนึ ่งมีสุนัขลาเนื ้อ 2 ตัว วันหนึ ่ง ในการแกะรอยสัตวท ี ต่ องการลาตัวหนึ ่ง เมื ่อมาถึงทางเดินซึ ่ง แยกออกเปนสองทาง เขาทราบวาการตัดสิ นใจเลือกเสนทางการติดตามของสุนัขแตละตัวเปนอิสระกัน และมีความนาจะเปน p ที ่จะเลือกถูกทาง พรานตัดสินใจใหสนุ ัขแตละตัวเลือกเสนทางการติดตาม ถาสุนัข ตัดสินใจตรงกัน ก็จะเลือกไปทางนั ้น ถา สุนัขตัด สินใจไม ตรงกัน จะเลื อกเสน ทางการติ ดตามโดยสุ ม ยุทธวิธที พี ่ รานคนนี ้ใชดกี วาวิธใี หสนุ ัขตัวหนึ ่ง (ในสองตัว) ตัดสินใจเสนทางการติ ดตามหรือไม วชิระมีพี ่นองเพียงคนเดียว จงหาความนาจะเปนที ่พนี ่ องของวชิระเปนชาย สมมุตวิ า ทารกเกิดเปนชายหรือ หญิงดวยความนาจะเปนเทากัน และเปนอิสระกัน ในการตอบคําถาม ใหระบุขอสมมุติเพิ ม่ เติมตามความ จําเปนใหชัดเจน อลิสกับบีมตองการเลือกระหวางดูคอนเสิรตและดูภาพยนตร โดยวิธีโยนเหรียญเที ่ยงตรงอันหนึ ่ง แต เหรียญที ่มีอยู เปนเหรียญที ่เอนเอียง (ไมทราบวามีความเอนเอียงเทาใด) มีวิธใี ดหรือไมที ่เขาจะใชเหรีย ญที ่ เอนเอียงในการตั ดสินใจเลือกระหวางดูคอนเสิรต และดู ภาพยนตรโดยใหแตละทางเลือกมีความนาจะเปน เทากัน ระบบหนึ ่งมีสว นประกอบเหมือนกัน n ชุด แตละชุดทํางานไดดว ยความนาจะเปน p อยางเปนอิสระกันทุก ชุด ระบบจะทํางานไดถาสวนประกอบอย างนอย k ชุดทํางานได จงหาความนาจะเปนที ่ระบบนี ้จะทํางาน ได
รายวิชาหนึ ่งมีประวัติวา มีนักศึกษาเขาชั ้นเรียนนอย อาจารยผ สู อนกําหนดวาจะไมสอนเวนแตวา มีนักศึกษา เขาชั ้นเรียนอยางนอย k คนจากที ่ลงทะเบียนเรียนไว n คน นักศึกษาแตละคนเขาชั ้นเรียนอยางเปนอิ สระ กันดวยความนาจะเปน pg ถาเปนวันที ่อากาศดี และเขาชั ้นเรียนอยางเปนอิสระกันดวยความนาจะเปน p b ถาเปนวันที ่อากาศไมดี กําหนดวาวันหนึ ่งที ่มชี ั ้นเรียนวิชานี ้เปนวันที ่อากาศไมดี จงเขียนความนาจะเปนที ่ อาจารยทาํ การสอนในวันนั ้น 27. พิจารณาเหรี ยญอันหนึ ่งซึ ่งมีความนาจะเปน p ที ่เหรียญจะหงายดานหัวเมื ่อโยนเหรี ยญ และมีค วามนาจะ เปน 1 – p ที ่เหรียญจะหงายกอย ให qn เปนความนาจะเปนของเหตุการณซึ ่งจํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดาน หัวเปนจํานวนคู เมื ่อโยนเหรียญ n ครั ้ง จงหาสูตรเวียนเกิดที ่แสดงความสัมพันธระหวาง qn และ qn – 1 และ นําไปใชพิสูจนวา 26.
qn
1 (1 2p)n 2
9
10
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
28.
29.
30.
31.
พิจารณาเกมโชวทมี ่ ผี ูรวมแขงขันจํานวนอนันต ซึ ่ง ในการแขงขันรอบที ่ i ผู เขา แข งขันคนที ่ i หมุนวงลอ (รอบที ่ i)ไดแตมแตมหนึ ่ง ผู เขาแขงขันที ่หมุนวงลอไปแลวและไดแตมนอยที ่สุดรอเปนผู ชนะ การหมุนวง ลอแตละครั ้งเปนอิสระกัน และ สมมุติวา ไมมกี รณีทเี ่ สมอกัน (หมุนวงลอแตละครั ้งไดแตมต างกัน เสมอ ) ให N แทนรอบที ่ผ ูแขงขันคนที ่ 1 ตกรอบ จงหา P(N = n) สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให A และ B เปนเหตุการณอิสระ จงใชบทนิยามของเหตุการณอิสระพิสูจนวา C (1) เหตุการณ A และ B เปนอิสระกัน (2) เหตุการณ AC และ BC เปนอิสระกัน ให A, B และ C เปนเหตุการณอิสระโดยที ่ P(C) > 0 จงพิสูจนวา A และ B เปนอิสระกันภายใตเงื ่อนไข C สมมุตวิ า A1, A2, A3, A4 เปนเหตุการณอสิ ระ และ P(A
3
A4 ) 0
จงแสดงวา
P(A1 A 2 | A 3 A 4 ) P(A1 A 2 ) 32.
33.
34.
35.
ทอดลูกเตาหกหนา 3 ครั ้งอิสระกัน เหตุการณใดมีความเปนไปไดมากกวา : เหตุการณที ่ไดแ ตมรวม 11 หรือ เหตุการณที ่ไดแตมรวม 12 พิจารณาผู มารวมงานเลี ้ยง n คน สมมุตวิ าทุกคนมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเกิดในวันใดๆระหวางปอยาง เปนอิสระกัน และสมมุตวิ า ไมมใี ครเกิดวันที ่ 29 กุมภาพันธ จงหาความนาจะเปนที ่แต ละคนมีวันเกิ ดไม ตรงกันเลย กลองใบหนึ ่งมีลูกบอลสีแดง m ลูกและสีขาว n ลูก (1) สุ มหยิบลูกบอล 2 ลูกพรอมกัน จงอธิบายแซมเป ลสเปซและคํ านวณความนาจะเปนที ่บอลที ่หยิบไดมี สีตางกัน (2) สุ มหยิบลูกปงปอง 1 ลูกจากกลองอีกใบหนึ ่งซึ ่งมีลูกปงปองอยู 3 ลูกเขียนหมายเลข 1, 2, 3 กํากับไว ถาหยิบไดลูกปงปองหมายเลข k ใหหยิบลูกบอลจากกลอง k ลูก จงอธิบายแซมเปลสเปซและคํานวณ ความนาจะเปนที ่ลูกบอลที ่หยิบไดเปนลูกบอลสีแดงทุกลูก จากไพสํารับมาตรฐาน 52 ใบที ่สลับไพอยางทั ่วถึงดีแลว จั ่วไพทีละใบ จงคํานวณความนาจะเปนที ่ไพใบที ่ 13 ที ่จั ่วไดเปนไพ K ใบแรก
บทที ่ 1 ความนาจะเปน
36.
37.
(1)
(2)
38.
39.
40.
41.
ในการลงทะเบียนเรียนรายวิชาหนึ ่งมีนัก ศึกษาเลือกลงทะเบียน 90 คนรวมทั ้งจุกกับเจนดวย ถาแบง นักศึกษาเปน 3 หองโดยวิธีสมุ แตละหองมีจาํ นวนนักศึกษาเทากัน จงหาความนาจะเปนที ่จุก กับเจนอยู หองเดียวกัน ภาควิชาหนึ ่งเปดสอนรายวิ ชาตางๆ 2 กลุ ม กลุ มเนื ้อหาขั ้นตนและกลุ มเนื ้อหาขั ้นสูง กลุ มเนื ้อหาขั ้นตน ประกอบดวยรายวิชาตางๆ 8 รายวิชา {L1, L2, … , L8} กลุ มเนื ้อหาขั ้นสูงประกอบดวยรายวิชาตางๆ 10 รายวิชา {H1, H2, … , H10} แตละหลักสูตรใหนักศึกษาเลือกรายวิชาในกลุ มเนื ้อหาขั ้นตน 4 รายวิชาและ รายวิชาในกลุ มเนื ้อหาขั ้นสูง 3 รายวิชา สมมุตวิ า การเลือกรายวิชาตางๆไมมีเงื ่อนไขวาตองศึกษารายวิชาใดมากอน ภาควิชานี ้มีหลักสูตรที ่เปนไป ไดทั ้งหมดกี ่หลักสูตรที ่แตกตางกัน สมมุติวา รายวิชา H1, … , H5 มี L1 เปนรายวิชาที ่ตอ งศึกษามากอน และรายวิชา H6, … , H10 มี L2 และ งศึกษามากอน ภายใตเงื ่อนไขดังกลาวนี ้ มีหลักสูตรที ่เปนไปไดทั ้งหมดกี ่หลักสูตรที ่ L3 เปนรายวิชาที ่ตอ แตกตางกัน สลับไพสาํ รับมาตรฐานซึ ่งมี 52 ใบอยางทั ่วถึง แลวจั ่วไพ 7 ใบที ่อยู ขา งบน จงหาความนาจะเปนของ เหตุการณตอ ไปนี ้ (1) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ ี งิ 3 ใบ (2) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมค (3) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ หรือ คิง 2 ใบ (หรือทั ้งสองอยาง) มีรถยนตอยู 100 คันจอดอยู ที ่ลานจอดรถรอการขาย ในจํานวนนี ้มีอยู k คันที ่มีอาการเกียรก ระตุก เมื ่อ เปลี ่ยนเกียร สุ มเลือกรถยนต m คันไปทดลองขับ จงหาความนาจะเปนที ่จะพบรถยนตที ่มีอ าการเกี ยร กระตุก n คัน แจกไพสาํ รับมาตรฐาน 52 ใบที ่สลับอยางทั ่วถึงแลวใหผ เู ลน 4 คนคนละ13 ใบ จงหาความนาจะเปนที ่แต ละคนไดไพเอซ กลองใบหนึ ่งมีลูกบอล n ลูก ในจํานวนนี ้เปนลูกบอลสีแดง m ลูก สุ มเลือกลูกบอล k ลูกจากกลองโดยไม ใสคนื (ไมคนื ลูกบอลที ่เลือกไดลงกลองกอนที ่จะเลือกลูกบอลลูกถัดไป) จงหาความนาจะเปนที ่จะเลือกได ลูกบอลสีแดง i ลูก
11
12
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
หนาวาง
2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง สรุปสาระสําคั ญ 2.1
แนวความคิดพื ้นฐาน
1. แนวความคิดที ่เกี ่ยวของกับตัวแปรสุ ม
ตั วแปรสุ ม (Random Variable) คือ ฟงกชันคาจริงนิยามบนเซตของเหตุการณในแซมเปลสเปซ แปรสุ ม (Function of a Random Sample) ใชนิยามตัวแปรสุ มจากตัวแปรสุ มที ่ (2) ฟง กชั นของตัว (1)
กําหนดให (3) เราสามารถกําหนดคาที ่เปนจํานวนจริงใหกับตัวแปรสุ มแตละตัว เชน คาเฉลี ่ย (Mean) และ
ความแปรปรวน (Variance) (4) ตัวแปรสุ มสามารถวางเงื ่อนไขบนเหตุการณหรือบนตัวแปรสุ มได (5) เราสามารถนิยามความอิสระของตัวแปรสุ มจากเหตุ การณหรือจากตัวแปรสุ มอีกตัวหนึ ่ง 2.
แนวความคิดที ่เกี ่ยวของกับตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง
ตั วแปรสุ มไมตอเนื ่อง(Discrete Random Variable) คือตัวแปรสุ มที ่มีเซตของคา ที ่เปน ไปได เปนเซตจํากัด (Finite Set)หรือเซตอนั นตนบั ได (Countably Infinite Set) (2) เราสามารถอธิ บ ายพฤติ ก รรมความไม แ น น อนของตั ว แปรสุ ม ไม ตอ เนื ่อ งด วย ฟ ง ก ชั น มวล ความนาจะเปน (Probability Mass Function เขียนยอเปน PMF) ซึ ่งใหคา ความนา จะเป นกับ (1)
แตละคาของตัวแปรสุ ม 2.2 ฟง กชั นมวลความนาจะเปน 1.
การคํานวณฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง X สําหรับแตละคาของ x
14
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
หาเหตุการณ A ในแซมเปลสเปซ S ที ่สมนัยกับเหตุก ารณ {X = x} [เหตุการณ A ประกอบดวย ผลลัพธที ่เปนไปไดทั ้งหมดใน S ซึ ่ง X = x] (2) หาความนาจะเปนของ A และให p (x) P{X x} P(A) (1)
X
2.
การทดลองแบรนูลลี และ ตั วแปรสุ มแบรนูลลี ู ลี (Bernoulli Experiment) คือ การทดลองสุ มซึ ่งเหตุการณหรือ ผลลัพ ธที ่ (1) การทดลองแบรนล
เกิดขึ ้นจําแนกไดเปน 2 อยางคือเหตุการณหรือผลลัพธท ี ่สนใจเรี ยกว าเหตุการณหรือ ผลลัพธที ่เปน ความสําเร็จ (Success) เหตุการณหรือผลลัพธอ ื ่น ๆเรีย กวา เหตุ การณหรื อผลลัพ ธที ่เ ปน ความไม สําเร็จ(Failure)
ในการทดลองแบรนูลลี ตัวแปรสุ ม X ที ่มีคา เปน 1 เมื ่อเกิดเหตุการณหรือผลลัพธที ่เปนความสําเร็จ และมีคาเปน 0 เมื ่อ เกิ ดเหตุ การณหรื อ ผลลัพธที ่เป น ความไม สําเร็จ ดวยความนาจะเปน p และ 1 – p ตามลําดับ เรี ยกวาตัวแปรสุ มแบร นูลลี (Bernoulli Random Variable) ที ่มีพารามิเตอร p ตัวแปรสุ มแบรนูลลีมีฟง กชันมวลความน าจะเปนในรูปแบบ (2)
p, p X (x) 1 p, 3.
x 1 x0
การทดลองทวินาม และ ตั วแปรสุ มทวินาม (1) การทดลองทวินาม(Binomial Experiment)คือการทดลองสุ มที ่ประกอบดวยการลองซ้ ําจํานวน
ครั ้งจํากัด (n ครั ้ง) การลองแตละครั ้งเปนอิสระกัน เหตุการณหรือ ผลลัพธท ี ่เกิด ขึ ้นจําแนกไดเปน 2 อยาง เหตุการณหรือผลลัพธท ี ่ส นใจเรีย กว า เหตุก ารณหรื อผลลัพ ธที ่เปน ความสําเร็จ (Success) นอกนั ้นเรียกวาเหตุการณหรือผลลัพธที ่เปน ความไมสําเร็จ (Failure) ความนาจะเปนของเหตุการณ หรือผลลัพธทเี ่ ปนความสําเร็จมีคาคงตัว (p) หรือกลาวอีกนัยหนึ ่ง การทดลองทวินามคือลําดับจํากัด ของการทดลองแบร นูลลี
สําหรับการทดลองทวิ นามที ่ประกอบดวยการลอง n ครั ้ง และความนา จะเปน ของเหตุก ารณหรือ ผลลัพธที ่เปนความสําเร็จมีค าคงตัวเทา กับ p ใหตัวแปรสุ ม X แทนจํานวนครั ้งที ่เกิด เหตุก ารณหรือ ผลลัพธที ่เป นความสําเร็จ เรียก X วา ตัวแปรสุ มทวินาม (Binomial Random Variable) ที ่มี พารามิเตอร n และ p และมีฟง กชันมวลความน าจะเปน
(2)
n p X (k) p k (1 p) n k , k 4.
k 1, 2,..., n
ตั วแปรสุ มเรขาคณิต
ในลําดับของการทดลองแบรนูลลีท ี ่มีค วามนา จะเปนของเหตุก ารณหรื อผลลัพธที ่เปน ความสํา เร็จ เทา กับ p ใหตัวแปรสุ ม X แทนจํานวนครั ้งของการลองจนกระทั ง่ เกิดเหตุการณหรือผลลัพธทสี ่ นใจ (ความสําเร็จ) เรียก X
บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง
วาตัว แปรสุ มเรขาคณิต(Geometric Random Variable)ที ่มพี ารามิเตอร p และมีฟง กชันมวลความนาจะเปน
p X (k) (1 p) k 1 p, 5.
k 1, 2,...
ตั วแปรสุ มป วสซอง (1) ตัวแปรสุ ม X ที ่มฟ ี ง กชันมวลความนาจะเปน PX (k)
e k k!
,
k 0,1, 2,...
เมื ่อ เปนจํานวนจริงบวก เรียก X วา ตัวแปรสุ มปว สซอง (Poisson Random Variable) ที ่มี พารามิเตอร (2) ฟงกชน ั มวลความนาจะเปนปวสซองที ่มีพารามิเตอร ใชเปนคาประมาณที ่ดีของฟงกชัน มวล ความนาจะเปนทวินาม ที ่มพี ารามิเตอร n และ p เมื ่อ n มีคามากและ p มีคา นอย และ = np 2.3 ฟง กชั นของตั วแปรสุ ม
คาคาดหวัง คาคาดหวั ง(Expectation หรือ Expected Value) ของตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง X ที ่มฟี ง กชันมวลความนาจะ เปน pX แทนดวย E(X) นิยามโดย 1.
E(X) xpX (x) x
(ถามี )
กฎคาคาดหวั งของฟง กชนั ของตั วแปรสุ ม ให X เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อ งที ่มีฟ งกชันมวลความนาจะเปน pX และ g(X) เปนฟงกชันของ X แลว คา คาดหวังของตัวแปรสุ ม g(X) หาไดจากสูตร 2.
E[g(X)] g(x)p X (x) x
ความแปรปรวนและคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน (Variance) ของตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง X แทนดวย Var(X) [หรือ หรือ 2]นิยามโดย 3.
2 X
Var(X) E[(X E(X)) 2 ]
และอาจคํานวณโดยใชสตู ร Var(X) [x E(X)]2p X (x) x
รากที ่สองที ่เปนจํานวนบวกของความแปรปรวนเรียกวา คาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) แทน ดวย SD(X) [หรือ X หรือ ] SD(X) Var(X)
15
16
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
คาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของฟง กชนั เชิงเสนของตั วแปรสุ ม ให X เปนตัวแปรสุ มและให 4.
Y = aX + b
เมื ่อ a และ b เปนคาคงตัว แลว และ
E(Y) = aE(X) + b
Var(Y) = a2Var(X)
สูตรการคํานวณความแปรปรวน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ มX อาจคํานวณโดยใชโมเมนตไดโดยใชสตู รตอไปนี ้ 5.
Var(X) E(X 2 ) [E(X)]2 6.
คาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่องบางชนิด ตั วแปรสุ ม พารามิเตอร คาเฉลี ่ยหรือคาคาดหวั ง p p แบรนลู ลี
2.5
ยูนิฟอรม ทวินาม
และ b n และ b
เรขาคณิต
p
ปวสซอง
a
ความแปรปรวน p(1-p)
ab
(b a)(b a 2)
2
12
np
np(1-p)
1
1 p
p
p 2
ฟง กชั นมวลความนาจะเปนรวมของตั วแปรสุ มหลายตัว
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่องจากการทดลองสุ มเดียวกัน 1. ฟ งกชน ั มวลความน าจะเปนรวม (Joint PMF) ของ X และ Y แทนดวย p นิยามโดย X,Y
p X,Y (x, y) P(X x, Y y)
ฟ งกชนั มวลความนาจะเปนมารจิน (Marginal PMF) ของ X และ Y สามารถคํานวณจากฟงกชันมวล ความนาจะเปนรวมโดยใชสตู ร p (x) p (x, y) และ p (y) p (x, y) 2.
X
X,Y
Y
y
3.
X ,Y
x
ฟงกชัน g(X,Y) ของตัวแปรสุ ม X และ Y เปนตัวแปรสุ มและคาคาดหวังของ g(X,,Y) คํานวณจากสูตร E[g(X Y)] g(x, y)p X,Y (x, y) x
y
ถา g เปนฟงกชันเชิงเสนในรูปแบบ aX + bY + c แลวจะได E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง
2.6 1.
การวางเงื ่อนไข
ขอเท็จจริงเกี ่ยวกับฟง กชนั มวลความน าจะเปนมีเงื ่อนไข (Conditional PMF) ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่องจากการทดลองสุ มเดียวกัน (1) ฟ ง ก ชั น มวลความน า จะเป น มี เ งื ่ อ นไขคล า ยกับ ฟง กชั นมวลความนา จะเป นธรรมดา แต มี แซมเปลสเปซลดทอนลงเป นเหตุการณทวี ่ างเงื ่อนไขไว (เหตุการณที ่เราทราบวาเกิดขึ ้น) (2) ฟงกชันมวลความนาจะเปนมี เงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบว าเหตุการณ A เกิดขึ ้นโดยที ่ P(A) > 0 นิยามโดย p X|A (x) P(X x | A)
และตองสอดคลองกับ pX|A (x) 1 x
เปนเหตุการณไมเกิดรวมกันและประกอบกั นเปนผลการแบ งแซมเปลสเปซ โดยมี P(Ai) > 0 สํ าหรับทุก i แลว จะได
(3)
ถา
A1 ,...,A n
n
p X (x) P(A i )p X|Ai (x) i 1
กรณีพิเศษของทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม ) และ สําหรับเหตุการณ B ใดๆซึ ่ง P(AiB) สําหรับทุก i จะได (
> 0
n
p X|B (x) P(A i | B)p X|Ai B (x) i 1
ฟงกชันมวลความนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบว า Y = y มีความสัมพันธกับฟงกชันมวล ความนาจะเปนรวมของ X และ Y ดังนี ้
(4)
p X,Y (x, y) p Y (y)p X|Y (x | y)
ฟงกชันมวลความนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบว า Y = y สามารถใชคํานวณฟงกชันมวล ความนาจะเปนมารจนิ ของ X โดยใชสตู ร
(5)
p X (x) p Y (y)p X|Y (x | y) y
2.
ขอเท็จจริงเกี ่ยวกับคาคาดหวั งมีเงื ่อนไข (Conditional Expectation) ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่องจากการทดลองสุ มเดียวกัน (1) คาคาดหวังมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบวาเหตุการณ A เกิดขึ ้นโดยที ่ P(A) > 0 นิยามโดย E(X | A) xp X|A (x) x
17
18
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
และสําหรับฟงกชัน g(X) ของตัวแปรสุ ม จะได E[g(X) | A] g(x)p X|A (x) x
(2)
คาคาดหวังมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบวา Y = y นิยามโดย E(X | Y y) xp X|Y (x | y) x
เปนเหตุการณไมเกิดรวมกันและประกอบกันเปนผลการแบงแซมเปลสเปซ โดยมี P(Ai) > 0 สําหรับทุก i แลว จะได
(3)
ถา
A1 ,...,A n
n
E(X) P(A i )E(X | A i ) i 1
และ สําหรับเหตุการณ B ใดๆซึ ่ง P(AiB) > 0 สําหรับทุก i จะได n
E(X | B) P(A i | B)E(X | A i B) i 1
(4)
คาคาดหวังมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อทราบวา Y = y สามารถใชคาํ นวณคาคาดหวังของ X โดยใชสูตร E(X) p Y (y)E(X | Y y) y
2.7
ความอิสระ
ให A เปนเหตุการณซงึ ่ P(A) > 0 และให X และ Y เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่องจากการทดลองสุ มเดียวกัน 1. X เปนอิสระจากเหตุ การณ A ถา p (x) p (x) สําหรับทุก x หรือ ถา สําหรับทุก x เหตุการณ {X = x} และ A เปนอิสระกัน 2. X และ Y เปนอิสระกัน ถา สําหรับทุก (x, y) เหตุการณ {X = x} และ {Y = y} เปนอิสระกัน หรือ p (x, y) p (x )p (y) สําหรับทุก x, y 3. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ จะไดวา X|A
X,Y
X
X
Y
E(XY) = E(X)E(Y)
และ สําหรับฟงกชัน g และ h ใดๆ ตัวแปรสุ ม g(X) และ h(Y) เปนอิสระกันและจะได E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)] 4.
ถา X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ จะไดวา Var(X Y) Var(X) Var(Y)
บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง
โจทยปญหา 1.
2.
3.
4.
ทีมฟุตบอลทีมหนึ ่งมีกาํ หนดที ่จะเลน 2 เกมในวันสุดสัปดาห ประเมินวามีความนาจะเปน 0.4 ที ่จะไมแพ ในเกมที ่หนึ ่ง และมีความนาจะเปน 0.7 ที ่จะไมแพในเกมที ่สอง ซึ ่งเปนอิสระกันกับผลการแขงขันในเกมที ่ หนึ ่ง ถาทีมไมแพแลวมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเสมอหรือชนะและเปนอิสระกันกับผลการแขงขันใน เกมอื ่นๆ ทีมจะไดคะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน หรือ 0 คะแนน ถาทีมชนะ เสมอ หรือแพ ตามลําดับ จงหา ฟงกชันมวลความน าจะเปนของคะแนนที ่ทมี จะไดรับเมื ่อสิ ้นสุดสัปดาหดังกลาว ศรีวงศไปงานราตรี สโมสรซึ ่งมีผ ูมารวมงาน 500 คน จงหาความนาจะเปนที ่มผี ูมารวมงานเพียงคนเดียวที ่มี วันเกิดตรงกั บ ศรีวงศ จงคํานวณคําตอบที ่แม นตรงและประมาณคา โดยใชฟงกชันมวลความนาจะเปน ปวสซอง (สมมุติวาไมมใี ครเกิดในวันที ่ 29 กุมภาพันธ) ฟสเชอรกับสปาสกี ้เลนหมากรุก กันในการแขงขันรายการหนึ ่ง ใครชนะเกมหนึ ่งกอนเปน ผู ชนะการ แขงขัน ถาเสมอกัน 10 เกมติดตอกัน จะประกาศผลการแขงขันใหทั ้งคู เสมอกัน แตละเกมฟส เชอรมี โอกาสชนะ 0.4 สปาสกี ้มีโอกาสชนะ 0.3 และมีโอกาสเสมอกัน 0.3 เปนอิสระกับผลการแขงขันในเกม กอน เชอรจะชนะการแขงขัน (1) จงหาความนาจะเปนที ่ฟส (2) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนเกมการแขงขันระหวางฟสเชอรกับสปาสกี ้ ผู ใหบริการอินเตอรเน็ตรายหนึ ่งใชโมเด็ม 50 เครื ่องใหบริการลูกคา 1000 คน ประมาณกันวา ณ เวลาที ่ กําหนด ลูกคาแตละคนมีความตองการเชื ่อมต ออิ นเตอรเน็ตดวยความนาจะเปน 0.01 เปนอิสระกันกับ ลูกคารายอื ่นๆ (1) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนของจํานวนโมเด็มที ่ใชง านอยู (= จํานวนลูกคาที ่ตอ งการเชื ่อมตอ อินเตอรเน็ต) ณ เวลาที ่กาํ หนด (2) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเป นปวสซองที ่ใชประมาณคาฟงกชันมวลความนาจะเปนในขอ (1) (3) จงหาความนาจะเปนที ่จะมีจาํ นวนลูกคาที ่ตองการเชื ่อมตออินเตอรเน็ตมากกวาจํานวนโมเด็ม ทั ้งคาที ่ แมนตรงและค าประมาณโดยใชฟง กชันมวลความนาจะเปนปวสซอง
19
20
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
5.
6.
7.
ทีมเซลติกสและทีมเลเกอรกาํ หนดการแขงขันบาสเกตบอลรายการพิเศษ n เกม เมื ่อ n เปนจํานวนคี ่ ทีม เซลติกสมีความนาจะเปน p ที ่จะชนะทีม เลเกอรในเกมใดๆเปน อิสระกันกับผลการแข งขันในเกมอื ่นๆ สําหรับ k > 0 จงหาคาของ p ซึ ่งเมื ่อ n = 2k + 1 ดีสําหรับเซลติกสมากกวาเมื ่อ n = 2k – 1 เสรีเพิ ่งเชาบานหลังใหญหลังหนึ ่ง เจาของบานมอบกุญแจใหเสรี 5 ดอกสําหรับไขกุญแจประตู 5 บานดอก ละบาน แตวาแมกญุ แจแตละตัวมีรปู ลักษณเหมือนกัน ดังนั ้นในการไขประตูห นาบา น เสรีจึงเลือ กใช ลูก กุญแจโดยสุ ม (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนลูกกุญแจที ่ใชลองไขกุญแจประตู หนาบาน ภายใตขอ สมมุต:ิ (a) หลังจากลองใชลูกกุญแจที ่เลือกเปดประตู ไมสาํ เร็จ จะทําเครื ่องหมายไวเพื ่อจะได ไมนาํ มาใชซ ํ้า (b) ในการลองไขกุญแจแตละครั ้ง มีความนาจะเปนเทากันที ่จะใชลูกกุญแจแตละดอก ุ แจสํารองสําหรับเปดประตูแตละบานอีกบานละดอก (2) ทําขอ (1) ใหม ถาเจาของบานใหกญ ให X เปนตัวแปรสุ มทวิ นามที ่มีพารามิ เตอร n และ p จงแสดงวาฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X สามารถคํานวณไดโดยเริ ่มตนจาก p (0) (1 p) แลวใชสูตรเวียนเกิด n
X
p X (k 1)
8.
p p 1
n k k 1
p X (k)
,
k = 0, 1, …, n
พิจารณาตัวแปรสุ มทวินาม X ที ่มีพารามิเตอร n และ p ให k* เปนจํานวนเต็มที ่มากที ่สดุ ซึ ่งนอยกวาหรือ เทากับ (n + 1)p จงแสดงวา ฟงกชันมวลความนาจะเปน p (k) มีคาไมลดทางเดียว เมื ่อ 0 k k * และมีคา ลดทางเดี ยว เมื ่อ k k * X
9.
10.
ให X เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร จงแสดงวา ฟงกชันมวลความนาจะเปน p (k) มีคาเพิ ่ม ทางเดียวเมื ่อ k [] =จํานวนเต็มที ่มากที ่สดุ ซึ ่งนอยกวาหรือเทากับ และมีคาลดทางเดี ยว เมื ่อ k [] บานาคเปนนักคณิตศาสตรซงึ ่ เสพติดบุหรี ่พกไมขดี ไฟใสกระเปาซายและขวาขางละกลอง แตละครั ้งที ่เขา ตองการจุดบุหรี ่ เขาจะเลือกกลองไมขีดจากกระเปาขางใดขางหนึ ่งดวยความนาจะเปน p 1 เปนอิสระ 2 กันกับการเลือกครั ้งกอนๆ ในตอนเริ ่มตน กลองไมขีดไฟทั ้งสอง มีไมขีดไฟจํานวนเทากัน n กาน จงหา ฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนกานไมขีดที ่เหลื อ ณ เวลาที ่เขาเลือ กกลองไมขีดกลองหนึ ่งแลว พบวาเปนกลองวางเปลา จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนในกรณีทั ่วไป เมื ่อความนาจะเปนในการเลือก กลองไมขีดไฟจากกระเปาขางซายเทากับ p และจากกระเป าขางขวาเทากับ 1 – p X
บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง 11.
12.
13.
14.
15.
พิจารณาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มทวิ นามที ่มีพารามิ เตอร n และ p จงแสดงวา เมื ่อ n และ p 0 และเมื ่อ np มีคา คงตัวเทากั บ ฟงกชันมวลความน าจะเปนของตั วแปรสุ มทวินามนี ้ เขาใกลฟง กชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มปวสซองที ่มีพารามิเตอร ครอบครัวหนึ ่งวางแผนที ่จะมีบุตรโดยธรรมชาติ 5 คนและรับเด็กหญิงเปนบุตรบุญธรรมอีก 2 คน ถาโดย ธรรมชาติบุตรแตละคนมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเป นหญิงหรือเปนชายและเปนอิสระกันกับบุตรคน อื ่นๆ จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนบุตรหญิงจากบุตรทั ้งหมด 7 คน ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มคี า ที ่เปนไปไดเปนจํานวนเต็มตั ้งแต 0 ถึง 9 ดวยความนาจะเปน (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = X mod(3) (2) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = 5 mod(X + 1)
1 10
เทากัน
ให K เปนตัวแปรสุ มที ่มีคาเปนจํานวนเต็ มในชวง [-n, n] ดวยความนาจะเปน 1 จงหาฟงกชันมวล 2n 1 ความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = ln X เมื ่อ X = a|K| และ a เปนจํานวนเต็มบวก ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันมวลความนาจะเปน x , ถา x = -3,-2,-1,0,1,2,3 p (x) a 0, สําหรับคาอื ่นๆของ x (1) จงหา a และ E(X) 2 (2) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนของตัวแปรสุ ม Z = (X – E(X)) (3) จงใชผลจากขอ (2) หาความแปรปรวนของ X ู ร Var(X) x E(X) p (4) จงหาความแปรปรวนของ X โดยใชสต 2
X
2
X
(x)
x
16.
จําลองอุณหภูมขิ องเมืองหนึ ่งดวยตัวแปรสุ มที ่มีคาเฉลี ่ยและคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 10 องศาเซลเซียส ทั ้งคู กลาววาวันหนึ ่งเปนวันที ่มีอุณหภูมิปกติ ถาอุณหภูมใิ นวันนั ้นเบี ่ยงเบนจากค าเฉลี ่ยไมเกินหนึ ่งเทาของ คาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน จงหาชวงอุณหภูมขิ องวันที ่มอี ุณหภูมปิ กติเมื ่อวัดอุณหภูมิเปนองศาฟาหเรนไฮต
21
22
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
17.
ให a และ b เปนจํานวนเต็มบวกซึ ่ง a ≤ b และให X เปนตัวแปรสุ ม ที ่มีคา เปนเลขยกกําลัง ของ 2 ในชวง [2 , 2 ] ดวยความน าจะเป นเทากัน จงหาคาคาดหวังและความแปรปรวนของ X a
b
18. [St. Petersburg Paradox]
ใหคุณโยนเหรียญเที ่ยงตรงอันหนึ ่งอยางอิสระและนั บจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหงายดาน กอย ถาจํานวนครั ้งที ่นับไดคอื n คุณจะไดเงิน 2 ดอลลาร จํานวนเงินที ่คาดวา คุณ จะไดรับเทากับเทาใด คุณเต็มใจที ่จะจายคาเลนเกมเกมนี ้เทาใด n
19.
20.
โรงงานช็อกโกแลตแหงหนึ ่งสงเสริมการขายโดยโฆษณาว าโรงงานใสสลากทองคําในแทงช็อกโกแลตบาง แทง ผู ที ่พบสลากทองคํานี ้จะไดเดินทางมาที ่โรงงานและไดกิ นช็อกโกแลตฟรีตลอดชีวิต ถาความนาจะ เปนที ่จะพบสลากทองคําในแทงช็อกโกแลตแตละแทงเทากับ p จงหาคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ จํานวนแท งช็อกโกแลตที ่กนิ จนกระทั ง่ พบสลากทองคํา โยนเหรียญ 2 อันพรอมกันซ้ ําๆจนกระทั ่งเหรียญหนึ ่งหงายดานหัวและอีก เหรียญหนึ ่งหงายด านกอ ย เหรียญแรกหงายดานหัวดวยความนาจะเปน p และเหรียญที ่ส องหงายดา นหัวด วยความนาจะเป น q การโยนเหรียญแตละครั ้งเปนอิสระกัน (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปน คาคาดหวัง และความแปรปรวนของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ (2) จงหาความนาจะเปนที ่เหรียญแรกหงายดานหัวในครั ้งสุดทายของการโยนเหรียญ โยนเหรียญเที ่ยงตรงอัน หนึ ่งซ้ ํา ๆและเปนอิ สระกันจนกระทั ่งเหรียญหงายดานหัวสองครั ้งติดตอกัน หรือหงายดานกอยสองครั ้งติดตอกัน จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปน คาคาดหวัง และความแปรปรวน ของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ ิ าเราโยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหงายดานกอยและครั ้งกอนหนานี ้เหรียญหงายดานหัว จงหา (2) สมมุตว ฟงกชันมวลความนาจะเปน และคาคาดหวังของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ
21. (1)
22.
นักเลนหุ นคนหนึ ่งซื ้อหุ น A จํานวน 100 หนวยและซื ้อหุ น B จํานวน 200 หนวย ให X และ Y แทนราคา ที ่เปลี ่ยนแปลงในช วงเวลาหนึ ่งของหุ น A และ B ตามลําดับ ถาฟงกชันมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y เปนแบบยูนิฟอรมบนเซตของจํานวนเต็ม x และ y ซึ ่งสอดคลองกับอสมการ 2 x 4 และ 1 y x 1 ิ และคาเฉลี ่ยของ X และ Y (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจน
บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอ เนื ่อง (2) 23.
จงหากําไรเฉลี ่ยของนักเลนหุ น
นักศึกษา n คนเขาสอบรายวิชาหนึ ่งซึ ่งมีคําถาม m ขอ สมมุตวิ า นักศึกษาคนที ่ i ตอบคําถาม m ขอแรก ู อนเลือกดูคาํ ตอบหนึ ่งโดยสุ ม แทนคําตอบนี ้ดวย (I, J) เมื ่อ I คือหมายเลขของนั กศึกษา (มี (1) อาจารยผ ส คา 1, 2, …, n) และ J คือลําดับที ่ของคําถาม (มีคา 1,2,…, m) สมมุติวา แตละคําตอบมีความนาจะเปนที ่ จะถูกเลือกเทากัน จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนรวม และ ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจินของ I และ J ิ า คําตอบหนึ ่งของคําถามขอที ่ j ที ่ตอบโดยนักศึกษาคนที ่ i เปนคําตอบที ่ถูกตองดวยความนาจะ (2) สมมุตว เปน p แตละคําตอบไดคะแนน a คะแนนถาเปนคําตอบที ่ถูกตอง และไดคะแนน b คะแนนถาเปน คําตอบที ่ไมถูกตอง จงหาคาคาดหวังของคะแนนของนั กศึกษาคนที ่ i i
ij
การแจกแจงอเนกนาม (The Multinomial Distribution)] ลูกเตาลูกหนึ ่งมี r หนา เขียน 1, 2, …, r กํากับไวหนาละจํานวน ทอดลูกเตาลูกนี ้จาํ นวน n ครั ้ง (n เปนคา คงตัว) ในการทอดลู กเตาแตละครั ้ง ความนาจะเปนที ่ลกู เตาจะหงายหนา i เทากับ p ผลการทอดลู กเตาแต ละครั ้งเปนอิสระกัน ให X แทนจํานวนครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา i (1) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนรวม p (k ,..., k ) (2) จงหาคาคาดหวังและความแปรปรวนของ X (3) จงหา E(X X ) เมื ่อ i j
24. [
i
X1 ,...,X n
1
r
i
i
j
25. [The inclusion-exclusion formula]
ให A , A ,..., A เปนเหตุการณ ให S {i |1 i n} , S {(i ,i ทั ่วไป ให S {(i ,...,i ) |1 i i ... i n} จงแสดงวา 1
2
n
m
1
1
n k 1
m
P Ak
1
2
P(A ) i
iS1
2
(i1 ,i2 )S2
(i1, i 2 ,i3 )S3
1
2
) |1 i1 i 2 n}
m
P(Ai1 A i2 )
n k 1
i
26.
P(A i1 A i2 A i3 ) ... (1)n 1 P A k
แนะนํา: ให X เปนตัวแปรสุ มซึ ่ง เทากับ 1 เมื ่อ A เกิดขึ ้นและเทา กับ 0 เมื ่อ สนใจสัมพันธกับ ตัวแปรสุ ม 1 X (1 X )...(1 X ) i
1
และในกรณี
2
A
ไมเกิดขึ ้น เหตุก ารณท ี ่
n
ทอดลูกเตาเที ่ยงตรง 4 ครั ้งเปนอิสระกัน ให X แทนจํานวนครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา 1 และ Y แทนจํานวน ครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา 2 จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนรวมของ X และ Y
23
24
ความนาจะเป าจะเปน:ทฤษฎี น:ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญหา 27.
พิจารณาคน จารณาคน 2m คนซึ ่ ่ คนซึงเป งเปนคู นคูสมรส สมรส m คู คูที ่ ่ทมีมี ชีชี วิวี ตอยู ติ อยู ณ เวลาที ่ ่ เวลาทีกํกําหนด าหนด สมมุติติววาเวลาผ า เวลาผานไปช านไปชวงหนึ ่ ่ วงหนึง ความ นาจะเปนที ่ แ่ ต ละคนยั ละคนยังมี ชีชีวิตอยู เ ทา กับ p เปนอิสระกันกับคนอื ่ น่ ๆ ณ เวลา เ วลาทีที ่ ่กล าวถึ าวถ ึงภายหลั ภา ยหลังนี ้ ้ ให A แทนจํานวนคนในกลุ ม ดัง กล าวที าว ที ่ ่ยังมีชี วิวติ อยู แล แ ล ะให C แทนจํานวนคู ส มรสที ม รสที ่ ่ยังมี ชีชวี ิต อยู อยู ท ้ั ้ังคู คู จงหา จงห า E(C | A a )
28.
จงทวนสอบกฎของคาคาดหวั าคาดหวัง E g( X, Y) g ( x , y)p X,Y ( x , y) x
y
โดยใชกฎเกี ่ ่ กฎเกียวกั ยวกับค บคาคาดหวั าคาดหวังของฟ งของฟงก งกชัชันของตั นของตัวแปรสุ วแปรสุมตั มตัวเดี วเดียว ยว แลวใช วใชกรณี กรณีพิพเศษของฟ เิ ศษของฟงก งกชัชันเชิ นเชิงเส งเสนทวน นทวน สอบสูตร ตร E aX bY aE(X ) bE( Y )
เมื ่ ่ เมือ a และ b เปนค นคาคงตั าคงตัว กฎการคูณสํ ณสําหรั าหรั บฟ บฟ งก งกชัชนมวลความน น ั มวลความนาจะเป าจะเปนมี นมีเงืเงื ่ ่อนไข อนไข] ให X, Y และ Z เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมไม มไมตตอเนื ่ ่ อเนือง อง (1) จงแสดงวา p (x, (x , y, z) p (x )p (y | x)p x) p (z | x, y) ตรในขอ(1)นี ้ ้นีสามารถแปลความหมายเป สามารถแปลความหมายเป นกรณี นกรณีพิพเศษของกฎการคู เิ ศษของกฎการคูณของความนาจะเปนที ่ ก่ ลล าวใน ว ใน (2) สูตรในข บทที ่ ่ บทที 1 ไดอย อยางไร างไร ยนกรณีทั ่ ่ทัวไปของสู วไปของสูตรในข ตรในขอ (1) สําหรั าหรับตั บตัวแปรสุ วแปรสุม n ตัว (3) จงเขียนกรณี เครื ่ เครื ่องส งส งสั ง สัญญาณสง 1 ดวยความนาจะเปน p และสง 0 ดวยความนาจะเปน 1 – p เปนอิสระกันกับ สัญญาณที ่ ส่ งก งกอ นห นหนนานั ้ ้น ถาจํานวนสัญญาณที ่ ส่ งในช งใน ชว งเวลาที งเวล าที ่ ่กํา หนดมี หนด มีฟงกก ชันมวลควา มวล ความน มนา จะเป จะเ ปน ปวส วสซองที ่ ่ ซองทีมีมพารามิ พี ารามิเตอร เตอร จงแสดงวาจํ าจํานวนสัญญาณ 1 ที ่ที ่ส งในช งใน ชวงเวลา ง เวลาเดี เดียวกั ว กันนี ้ ้นี มีมีฟงกชันมวลความ นาจะเป าจะเปนป นปวส วสซองที ่ ่ ซองทีมีมพารามิ พี ารามิเตอร เตอร p p
29. [
X ,Y , Z
30.
31.
X
Y|X
Z|X , Y
ระหวางขั างขับรถยนต บรถยนตไปทํ ไปทํางานอลิ างานอลิสผ สผานแยกสั านแยกสัญญาณไฟจราจร ญญาณไฟจราจร 4 จุด แตละจุ ละจุดที ่ ่ ดทีอลิ อลิสไปถึ สไปถึงมี งมีความเปนไปได เทากั ากันที ่ ่ นทีจะเป จะเปนไฟแดงหรื นไฟแดงหรือไฟเขี อไฟเขียว ยว เปนอิ นอิสระกั สระกันกั นกับจุ บจุดอื ่ ่ ดอืนๆ นๆ งกชัชันมวลความน นมวลความนาจะเป าจะเปน คาเฉลี ่ ่ าเฉลีย และความแปรปรวนของจํ านวนสั านวนสัญญาณไฟแดงที ่ ญญาณไฟแดงที ่อลิล สพบ สิ พบ (1) จงหาฟงก ระหวางเดิ างเดินทางไปทํ นทางไปทํางาน างาน (2) สมมุติวาสัญญาณไฟแดงแตละจุดทําใหอลิสตองหยุดรถ 2 นาที จงหาความแปรปรวนของเวลาที ่ ่ เพิ ่ ่ เพิมขึ ้ ้ มขึนในการเดิ นในการเดิ นทางของอลิ นทางของอลิ ส
บทที ่ ่ บทที 2 ตัวแปรสุ ว แปรสุมไม มไมตตอเนื ่ อ เนื ่อง 32.
33.
34.
ในตอนเชาของแต าของแตละวั ละวัน สุวรรณจะกิ วรรณจะกินขนมไข นขนมไขนกกระทา 1, 2, …, หรือ 6 ชิ ้ชิ ้นดวยความน ยควา มนา จะเปน เทา กัน และเปนอิ นอิสระกั สระกันกั นกับวั บวันก นกอนๆ อนๆ ให X แทนจํานวนขนมไข านวนขนมไขนกกระทาที ่ ่ นกกระทาทีสุสวรรณกิ วุ รรณกินใน นใน 10 วัน จงหาคาเฉลี ่ ่ าเฉลีย และความแปรปรวนของ X นโยบายการประเมินบทความวิ นบทความวิชาการของอาจารย ชาการของอาจารย ททานหนึ ่ ่ านหนึงเป งเปนที ่ ่ นทีทราบกั ทราบกันทั ่ ่ นทัวไป วไป แตละบทความจะได ละบทความจะไดเกรด เกรด A, A-, B+, B, B-, C+ ดวยความน วยความนาจะเป าจะเปนเท นเทากั ากัน และเปนอิสระกันกับบทความอื ่ น่ ๆ คาดว คาด วา จะตอ งสง บทความใหททานประเมิ า นประเมินกี ่ ่ นกีฉบั ฉบับก บกอนที ่ ่ อนทีจะได จะไดผลการประเมิ ผลการประเมินทุ นทุกเกรดที ่ ่ กเกรดทีเป เปนไปได นไปได สถาพรขับรถยนต บรถยนตไปทํ ไปทํางานสั างานสัปดาห ปดาหละ ละ 5 วันตลอดทั ้ ้ นตลอดทังป งป (50 (50 สัปดาห ปดาห) และในแตละวั ละวันสถาพรมี นสถาพรมีความน ความนาจะ าจะ เปน p = 0.02 ที ่ที ่จะได ะไ ดรับใบสั ใบส ่ ัง่ ปรับเปน อิสระกั ร ะกันกับวันอื ่ น่ ๆ ให X แทนจํานวนใบสั ่ นวนใบสั ่งที ่ที ่สถาพ ถ าพรได รไดรัรับ ทั ้ ้ทังหมดในรอบ งหมดในรอบ 1 ป (1) จงหาความนาจะเป าจะเปนที ่ ่ นทีจํจานวนใบสั ่ ่ าํ นวนใบสังค งคาปรั าปรับที ่ ่ บทีสถาพรได สถาพรไดรัรับเท บเทากั ากับค บคาคาดหวั าคาดหวังของ งของ X (2) จงประมาณคาความน าความนาจะเป าจะเปนในข นในขอ (1) โดยใชฟฟงก งกชัชันมวลความน นมวลความน าจะเป าจะเปนป นปวส วสซอง ซอง (3) คาปรั าปรับตามใบสั ่ ่ บตามใบสังปรั งปรับแต บแตละใบเท ละใบเทากับ 100 บาท หรือ 200 บาท หรือ 500 บาทดวยความนาจะเปน 0.5, 0.3 และ 0.2 ตามลําดั าดับ และเปนอิ นอิสระกั สระกัน จงหาคาเฉลี ่ ่ าเฉลียและความแปรปรวนของจํ ยและความแปรปรวนของจํ านวนเงิ านวนเงินที ่ ่ นทีสถาพร สถาพร ตองจ องจายตามใบสั ายตามใบสั ่ ่งปรั งปรับในรอบ บในรอบ 1 ป (4) สมมุติ ติ เราไมทราบค ทราบคาความน าความนาจะเป าจะเปน p ที ่ ่ทีสถาพรจะได สถาพรจะไดรัรับในแต บในแตละวั ละวัน แตสถาพรได สถาพรไดรัรับใบสั ่ ่ บใบสังค งคาปรั าปรับ 5 ใบในรอบ 1 ป เราสามารถประมาณค าของ าของ p โดยใชคคาเฉลี ่ ่ า เฉลียตั ยตัวอย วอยาง าง pˆ
5 250
0.02
จงหาชวงของค วงของคาที ่ ่ าทีเป เปนไปได นไปไดของ ของ p โดยใชขขอสมมุ อ สมมุติตวิ าผลตางระหวาง p กับ pˆ ไมเกิน 5 เทาคาเบี ่ เบี ่ยงเบน งเ บน มาตรฐานของค าเฉลี ่ ่ าเฉลียตั ยตัวอย วอยาง าง 35.
สมมุติตววิ า X และ Y เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมเรขาคณิ มเรขาคณิตที ่ ่ ตทีมีมพารามิ พี ารามิเตอร เตอร p p เหมือนกั อนกัน และเปนอิ นอิสระกั สระกัน จงแสดงวา P (X i | X Y
36.
n)
1 n 1
, i 1, ..., n 1
ให X และ Y เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมสองตั มสองตัวที ่ ่ วทีมีมฟฟี งก ง กชัชันมวลความน นมวลความนาจะเปนรวม p (x, y) ให g(X) และ แล ะ h(Y) เปนฟ นฟงก งกชัชันของ นของ X และของ Y ตามลําดับ จงแสดงว จงแส ดงวา ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว g(X) และ แล ะ h(Y) เปนอิ นอิสระกั สระกันด นดวย วย X, Y
25
26
ความนาจะเป าจะเปน:ทฤษฎี น:ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญหา หนาว าวาง าง
3 ตั วแปรสุ มทั ่ วไป สรุปสาระสําคั ญ 3.1
ตัว แปรสุ มตอเนื ่องและฟ งกชนั ความหนาแนนนาจะเปน
ตัวแปรสุ ม X เปนตัวแปรสุ มตอ เนื ่อง ถามีฟ งกชันที ่มีค าไม เปน จํานวนลบ f เรียกวา ฟงกชันความ หนาแนนนาจะเปน(Probability Density Function เขียนยอเปน PDF)ของ X ซึ ่ง P X B f (x)dx สําหรับทุกสับเซต B ของเซตของจํานวนจริง เราอาจแปลความหมายฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน f (x) เปนความนาจะเปนที ่ X มีคาใกลๆ x 1.
B
X
X
P X [x / 2, x / 2]
x /2
x /2
f X (t)dt f X ( x)
เมื ่อ มีคานอยๆ 2. สมบัติของฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน ฟงกชันมวลความนาจะเปน f (x) ของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X มีสมบัติตอไปนี ้ (1) f (x) 0 สําหรับทุก x X
X
f (x)dx 1 (3) สําหรับสับเซต B ใดๆของเซตของจํานวนจริง P(X B) f (x)dx คาคาดหวังของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง ให X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน f (1) คาคาดหวัง ของ X นิยามโดย (2)
X
B
3.
X
X
x f (x)dx (2) คาคาดหวังของฟงกชัน g(X) ของตัวแปรสุ ม X คํานวณไดจากสูตร E(X)
X
g(x) f (x)dx (3) ความแปรปรวนของ X นิยามโดย E[g(X)]
X
Var(X) E[(X E(X)) ] 2
(x E(X)) fX (x)dx 2
28
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา (4)
ความแปรปรวนของ X สามารถคํานวณจากสูตร Var(X) E(X2 ) [E(X)]2
ถา Y = aX + b เมื ่อ a และ b เปนจํานวนจริง แลวจะได E(Y) = aE(X) + b และ Var(Y) = a2Var(X) ิ อรม 4. ตัวแปรสุ มยูนฟ ิ อรม (Uniform Random Variable) บนชวง [a, b] (1) ตัวแปรสุ ม X เรียกวา ตั วแปรสุ มยูนฟ ถา X มีฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนในรูปแบบ (5)
1 , x [a, b] f X (x) b a 0, x [a, b]
เมื ่อ a และ b เปนคาคงตัวใดๆ ิ อรมบนชวง [a, b] คือ (2) คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ มยูนฟ E(X)
ab 2
และ
Var(X)
(b a)2 12
5. ตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียล (1)
ตัวแปรสุ ม X ที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนในรูปแบบ e x , x 0 f X (x) x 0 0,
เมื ่อ >
0
Variable)
เปนคาคงตัว เรียกวา ตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชีย ล
(Exponential Random
ที ่มพี ารามิเตอร
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชียลมีคาลดลงแบบเอกซโพเนนเชียล สําหรับ จํานวนจริง a ≥ 0 ใดๆ จะไดวา (2)
P(X a) (3)
1.
a
ex dx e a
คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร คือ E(X)
3.2
1
และ
Var(X)
1
2
ฟง กชั นการแจกแจงความนาจะเปนสะสม ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม(Cumulative
CDF) ของตัวแปรสุ ม X แทนดวย FX ใหคา P(X ≤ x)
Distribution Function
กลาวคือ สําหรับทุก x
p X (k), k x FX (x) P(X x) x f X (t )dt,
X เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง
เขียนยอเปน
บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป 2.
สมบัติของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม (1) F เปนฟงกชันไมลดทางเดียว หมายความวา ถา a ≤ b แลว F (a) F (b) (2) lim F (x) 0 และ lim F (x) 1 (3) ถา X เปนตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่องแลว F (x) เปนฟงกชันที ่มีคา คงตัวเปนชว งๆ (Piecewise X
X
X
x
X
X
x
X
Constant Function)
ถา X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องแลว F (x) เปนฟงกชันตอเนื ่อง (5) ถา X เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องที ่มค ี า เปนจํานวนเต็ม แลว PMF และ CDF คํานวณจากกัน และกันไดโดยการบวกหรื อการลบดังนี ้ (4)
X
FX (k)
k
p
X
(i)
i
p X (k) P(X
k) P(X k 1) FX (k) FX (k 1)
สําหรับทุกจํานวนเต็ม k (6) ถา X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง แลว CDF และ PMF คํานวณจากกันและกันไดโดยการหา ปริพันธหรือการหาอนุพันธดังนี ้ d F (x) F (x) f (t)dt และ f (x) x
X
3.3 1.
2
dx
X
ตัว แปรสุ มปกติ
ตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X เรียกวา ตั วแปรสุ มปกติ (Normal Random Variable) ที ่มีพารามิเ ตอร และ ถา X มีฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนในรูปแบบ f X (x)
2.
X
X
1 2
e ( x )
2
/ (2 2 )
คาคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ มปกติ X ที ่มพี ารามิเตอร และ คือ E(X) = และ Var(X) ถา X เปนตัวแปรสุ มปกติทมี ่ พี ารามิเตอร และ และถา a ≠ 0 แลวตัวแปรสุ ม 2
2
3.
2
Y = aX + b
เปนตัวแปรสุ มปกติทมี ่ คี าเฉลี ่ยและความแปรปรวนดังนี ้ E(Y) a b และ Var(Y) a 4. ตัวแปรสุ มปกติ Z ที ่มค ี า เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน 1 เรียกวา ตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน (Standard Normal Random Variable) ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z แทนดวย 2
(z)
1 2
z
2
2
e t /2 dt
คาของ (z) แสดงในตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานทายเลม 5. วิธก ี ารคํานวณคาของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุ มปกติ
29
30
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
การคํานวณ P(X ≤ x) สําหรับตัวแปรสุ มปกติ X ที ่มีคา เฉลี ่ย และความแปรปรวน กระทําเปน 2 ขั ้นตอนดังนี ้ (1) แปลง X เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน Z โดยลบดวย แลวหารดวย (2) อานคาของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมจากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน 2
X x PZ x x
P(X x) P
3.4
ฟง กชั นความหนาแนนนาจะเปนรวมของตั วแปรสุ มหลายตั ว
กลาววา X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนรวม ถามีฟง กชั นความหนาแนน นาจะเปนรวม (Joint Probability Density Function เขียนยอเปน Joint PDF) f ที ่มีคา ไมเป น จํานวนลบและใชคํานวณความนาจะเปน 1.
X,Y
P[(X, Y) B]
f X,Y (x, y)dxdy
( x,y )B
สําหรับทุก B ที ่เปนสับเซตของ R (R คือเซตของจํานวนจริง) 2. ฟ งกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจิน (Marginal PDF) ของตัวแปรสุ ม X และ Y สามารถหาได จากฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม โดยใชสูตร f (x) f (x, y)dy และ f (y) f (x, y)dx 3. ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมรวม (Joint CDF) ของตัวแปรสุ ม X และ Y นิยามโดย 2
X
X,Y
Y
X,Y
FX, Y (x, y) P X x, Y y
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f หาไดจาก F ไดโดยใชสูตร X,Y
X,Y
2 f X,Y (x, y) F (x, y) xy X,Y
สําหรับทุก (x,y) ที ่ f (x,y) มีความตอเนื ่อง 4. ฟงกชัน g(X,Y) ของตัวแปรสุ ม X และ Y เปนตัวแปรสุ ม คาคาดหวังของ g(X,Y) คํานวณไดดังนี ้ X,Y
E[g(X, Y)]
g(x, y) f X,Y (x, y)dxdy
ถา g เปนฟงกชันเชิงเสนในรูปแบบ aX + bY + c แลวจะได E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
3.5 การวางเงื ่อนไข 1.
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขเมื ่อกําหนดเหตุการณหนึ ่ง (1) ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อ นไข (Conditional PDF) ของตัวแปรสุ ม X เมื ่อ กําหนด เหตุการณ A (ทราบวาเกิดเหตุการณ A) โดยที ่ P(A) > 0 คือฟงกชัน f ซึ ่งมีคา ไมเป น จํานวนลบและสอดคลองกับสมการ X|A
บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
f (x)dx หรับทุก B ที ่เปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง (3) ถา A เปนสับเซตของเซตของจํานวนจริงโดยที ่ P(A) > 0 จะไดวา P(X B | A)
X|A
B
f X (x) , x A f X|{ XA} (x) P(X A) 0, x A
ให {A , A ,..., A } เปนผลการแบงของแซมเป ลสเปซ และสมมุติวา P(A ) 0 สําหรับทุก i จะไดวา (4)
1
2
n
i
n
P(A )f (x) (รูปแบบหนึ ่งของทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม) ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขเมื ่อกําหนดตัวแปรสุ มตัวหนึ ่ง ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f (1) สําหรับทุก y ซึ ่ง f (y) > 0 ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y = y นิยามโดย f X (x)
i
X|A i
i 1
2.
X,Y
Y
f X|Y (x | y)
f X, Y (x, y) f Y (y)
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจนิ และ ฟงกชัน ความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขมีความสัมพันธกันดังนี ้ (1)
f X,Y (x, y) f Y (y)f X|Y (x | y)
f (y)f (x | y)dy ความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไข f (x | y) นิยามสําหรับ y ซึ ่ง f (y) > 0 เทานั ้น (2) ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไข f (x | y) ใชหาความนาจะเปนไดดังนี ้ P X A | Y y f (x | y)dx 3. คาคาดหวังมีเงื ่อนไข ให X และ Y เปนตัวแปรุ มตอเนื ่องที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนรวมกัน และให A เปนเหตุการณ หนึ ่งซึ ่ง P(A) > 0 (1) คาคาดหวัง มีเงื ่อนไข (Conditional Expectation) ของ X เมื ่อกําหนดเหตุการณ A (ทราบ วาเกิดเหตุการณ A) นิยามโดย E(X | A) xf (x)dx คาคาดหวังมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y = y นิยามโดย f X (x)
Y
X|Y
Y
X|Y
X|Y
A
X|Y
X|A
E(X | Y y)
xf X|Y (x | y)dx
31
32
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
กฎคาคาดหวัง (The Expected Value Rule) สําหรับฟงกชัน g(X) ของตัวแปรสุ ม X สามารถคํานวณคาคาดหวังของ g(X) โดยใชสตู รตอไปนี ้ (2)
E[g(X) | A]
g(x)f X|A (x)dx
และ
g(x)f (x | y)dx (3) ทฤษฎีบทคาคาดหวัง รวม (Total Expectation Theorem) ให {A , A ,..., A } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ และสมมุติวา P(A ) 0 สําหรับทุก i จะ ไดวา E[g(X) | Y y]
1
2
E(X)
X|Y
n
i
n
P(A )E(X | A ) i
i
i 1
และ
E[X | Y y]f (y)dy (4) สําหรับคาคาดหวังมีเงื ่อนไขของฟง กชันของตัว แปรสุ มหลายตัวก็ สามารถหาไดจ ากสู ตรที ่ คลายกันเชน E(X)
Y
E[g(X, Y) | Y y]
g(x, y)f X|Y (x | y)dx
และ
E[g(X, Y) | Y y]f (y)dy ความอิสระของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนรวม (1) X และ Y เปนอิสระกัน ถา f (x, y) f (x)f (y) สําหรับทุก x, y (2) ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว E[g(X, Y)]
4.
X,Y
Y
X
Y
E(XY) = E(X)E(Y)
นอกจากนั ้นจะไดวา ตัวแปรสุ ม g(X) และ h(Y) เปนอิสระกันดวย เมื ่อ g และ h เปนฟงกชันใดๆ และจะได E[g(X)h(Y)] = E[g(X)]E[h(Y)] (3)
ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
3.6
กฎของเบสกรณีตั วแปรสุ มตอเนื ่อง ให Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง (1) ถา X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง จะได
บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป f Y (y)f X|Y (x | y) f X (x)f Y|X (y | x)
และ f X|Y (x | y) (2)
f X (x)f Y|X (y | x) f Y (y)
f X (x)f Y|X (y | x)
f (t)f Y|X (y X
| t)dt
ถา N เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง จะได f Y (y)P(N n | Y y) p N (n)f Y|N (y | n)
และ P(N n | Y y)
p N (n)f Y|N (y | n) f Y ( y)
p N (n)f Y|N (y | n)
p
N
(i)f Y|N (y | i)
i
และ f Y|N (y | n)
f y (y)P(N n | Y y) p N (n)
f Y (y)P(N n | Y y)
f (t)P(N Y
n | Y t)dt
โจทยปญ หา 1.
ให X เปนตัวแปรสุ มยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] พิจารณาตัวแปรสุ ม Y = g(X) เมื ่อ 1, g(x) 2,
x 1/ 3 x 1/ 3
จงหาคาคาดหวังของ Y โดยใชฟงกชันมวลความนาจะเปนของ Y เปรียบเทียบกับเมื ่อใชกฎการหาคา คาดหวังของฟงกชัน 2.
ตั วแปรสุ มลาปลาซ] ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน [
f X (x)
2
e |x|
เมื ่อ 0 เปนคาคงตัว จงทวนสอบวา คาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X 3.
f X (x) เป น ฟ ง กชน ั ความหนาแนนนาจะเปน
และ จงหา
จงแสดงวาคาคาดหวังของตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องหรือตอเนื ่อง X สอดคลองกับความสัมพันธ
0
0
E(X) P(X x)dx P(X x)dx
4.
กฎคาคาดหวัง ของฟ งกชั นของตั วแปรสุ ม] ให X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน f [
X
(x)
และให g(X) เปนฟงกชัน
33
34
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยปญ หา
ของตัวแปรสุ ม X จงพิสูจนวา คาคาดหวังของ g(X) หาไดจากสูตร E g(X) 5.
g(x)f X (x)dx
พิจารณารูปสามเหลี ่ยมรูปหนึ ่งและเลือกจุดหนึ ่งภายในรูป สามเหลี ่ยมโดยสุ ม (ภายใตการแจกแจง ยูนิฟอรม) ให X แทนระยะทางจากจุดที ่เลือ กถึงฐานของรูปสามเหลี ่ยม เมื ่อกํ าหนดสวนสู งของรูป สามเหลี ่ยม จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X
6.
7.
8.
มานีไปธนาคารเพื ่อถอนเงิน และ มีโอกาสเทากันที ่จะพบลูก คา 0 หรือ 1 คนที ่มาถึ งกอนมานี เวลาที ่ ใหบริการลูกคาที ่มากอน (ถามี) มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเ ตอร จงหาฟงกชันการ แจกแจงความนาจะเปนสะสมของเวลาที ่มานีรอคอยบริการ วินปาลูกดอกไปที ่เปา วงกลมรัศมี r และมีความเปนไปไดเทากันที ่จะถู กจุ ดใดๆบนเปา ให X แทน ระยะทางจากจุดที ่ลกู ดอกถูกเปาถึงจุดศูนยกลางของเปา (1) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน คาเฉลี ่ย และ ความแปรปรวนของ X (2) เปามีวงกลมวงในรัศมี t จุดศูนยกลางเดียวกันกับเปา ถา X t วินไดคะแนน S = 1/X ถา X > t วินไดคะแนน S = 0 จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S และจงพิจารณาวา S เปน ตัวแปรสุ มตอเนื ่องหรือไม พิจารณาตัวแปรสุ มตอเนื ่องสองตัว Y และ Z ให X เปนตัวแปรสุ มซึ ่งเทากับ Y ดวยความนาจะเปน p และเทากับ Z ดวยความนาจะเปน 1 – p (1) จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X คือ f X (x) p f Y (x) (1 p) f Z (x)
จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชีย ลสองดานซึ ่งมี ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน (2)
เมื ่อ 9.
x0 pex , f X (x) x (1 p) e , x 0 0 และ 0 p 1
[ตั วแปรสุ มผสม(Mixed Random Variable)]
ในบางสถานการณ ตัวแปรสุ มที ่ใชใ นตัวแบบเชิง ความนาจะเปน สามารถพิจารณาเปนตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่อง Y และตัวแปรสุ มตอเนื ่อง Z ผสมกัน หมายความวา คาของ X ไดจากการแจกแจงความนาจะ เปนของ Y ดวยความนาจะเปน p ที ่กําหนดให และไดจากการแจกแจงความนา จะเปนของ Z ดวย
บทที ่ ่ บทที 3 ตัวแปรสุ วแปรสุมทั มทั ่ ่วไป วไป
ความนาจะเป าจะเปน 1 – p แลวกล วกลาวว าววา X เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมผสมและสามารถใช มผสมและสามารถใชทฤษฎี ทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม หาฟงก งกชัชันการแจกแจงความน นการแจกแจงความนาจะเป าจะเปนสะสมของ นสะสมของ X ไดดัดังนี ้ ้ งนี FX ( x ) P X x p P
Y x (1 p) P Z x
p FY (x) (x ) (1 p) FZ (x) (x )
คาคาดหวั าคาดหวังของ งของ X นิยามคล ยามคลายกั ายกับทฤษฎี บทฤษฎีบทค บทคาคาดหวั าคาดหวังรวมโดย งรวมโดย E(X) pE (Y ) (1 p)E( Z)
จุดจอดแท็ ดจอดแท็กซี ่ ่ กซีและป และปายรถประจํ ายรถประจําทางอยู าทางอยูในบริ ในบริเวณเดี เวณเดียวกั ยวกันใกล นใกลบบานน้ า นน้ ําผึ ้ ้ าผึง น้ ําผึ ้ ้ าผึงไปที ่ ่ งไปทีจุจดดั ดุ ดังกล งกลาว าว ณ เวลา ที ่ที ่กําหนด ห นด ถามีแ ท็กซี ่ซี ่รออยู อ อยู (เหตุการณน ้ี ้ีเกิดขึ ้ ้นดวยควา ย ความน มนา จะเป น 2/3) น้ ําผึ ้ผึ ้งจะใชแท็ กซี กซี ่ ่ ถาไม ไ มมี แท็กซี ่ ่ กซีจอดรออยู จอดรออยู น้ ําผึ ้ ้ าผึงจะรอขึ ้ ้ งจะรอขึนแท็ นแท็กซี ่ ่ กซีหรื หรือรถประจํ อรถประจําทางคั าทางคันที ่ ่ นทีมาถึ มาถึงก งกอน อน รถแท็กซี ่ ่ กซีคัคันถัดไปจะมาถึงจุด ที ่ ่ทีน้น ํ้าผึ ้ ้ าผึงรออยู งรออยูในเวลาที ่ ่ ในเวลาทีมีมการแจกแจงยู กี ารแจกแจงยูนินฟอร ฟิ อรมบนช มบนชวง วง 0 ถึง 10 นาที ในขณะที ่ ในขณะที ่รถประจํ ถป ระจํา ทางคันถัดไป ไป จะมาถึงจุ งจุดที ่ ่ ดทีน้น ํ้าผึ ้ ้ าผึงรออยู งรออยูในเวลาอี ในเวลาอีก 5 นาทีแน แนนอน นอน จงหาฟงก งกชัชันการแจกแจงความน นการแจกแจงความนาจะเป าจะเปนสะสมและ นสะสมและ คาคาดหวั าคาดหวังของเวลาที ่ ่ งของเวลาทีน้น ํ้าผึ ้ ้ าผึงรอรถ งรอรถ การจําลองตั าลองตั วแปรสุ วแปรสุมต มตอเนื ่ ่ อเนือง อง (Simulating a Continuous Random Variable)] คอมพิวเตอรมีชุดคําสั ่สั ่งย อยที ่ อยที ่สามารถ าม ารถสร สรางค ง คาของตั ข องตัว แปรสุ แปร สุ ม U ที ่ที ่มี การแจ การ แจกแจ กแจงยู งยูนิ ฟอร ฟอรม บนช วง วง [0, 1] เราสามารถใชชุ ชุดคํ ดคําสั ่ ่ าสังย งยอยดั อยดังกล งกลาวนี ้ ้ าวนีสร สรางค างคาของตั าของตัวแปรสุ วแปรสุมที ่ ่ มทีมีมฟฟี งก ง กชัชันการแจกแจงความน นการแจกแจงความนาจะ เปนสะสม นสะสม F(x) ดังนี ้ ้ งนี ถาตั าตัวแปรสุ วแปรสุม U มีคคา u เราให X มีคคาเป า เปน x ที ่ ่ทีสอดคล สอดคลองกับ F(x) = u ในกรณี อยางง างงาย าย สมมุติวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมที ่ ก่ ําหนดใ ห นดใหหเปนฟ งก งกชันเพิ ่ เพิ ่มบนช บน ชวง S ของคาที ่ ่ าทีสนใจ สนใจ เมื ่ ่ เมือ S ={x|0 < F(x) < 1} เงื ่ ่เงือนไขนี ้ ้ อนไขนีรัรับรองว บรองวา สําหรั าหรับ u ใดๆในชวง วง (0, 1) จะมี x คา เดียวซึ ่ ่ ยวซึงสอดคล งสอดคลองกั องกับ F(x) = u งกชัชันการแจกแจงความน นการแจกแจงความนาจะเป าจะเปนสะสมของตั นสะสมของตัวแปรสุ วแปรสุม X ที ่ที ่สรางขึ ้ ้นเทากับฟง กชัน (1) จงแสดงวา ฟงก การแจกแจงความนาจะเป าจะเปนสะสมที ่ ่ นสะสมทีกํกําหนดให าหนดให (2) จงอธิบายวิธีสรางคาของตัวแปรสุ ม เอกซ เอ กซโพเนนเชี พเน นเชีย ลที ่ ลที ่มีพารามิ า รามิเ ตอร โดยใชวิธีการดังกลาว ขางต างตน (3) วิธี ธการสร กี ารสรางค างคาของตั าของตัวแปรสุ วแปรสุมที ่ ่ มทีอธิ อธิบายข บายขางต างตนสามารถใช นสามารถใชสร สรางค างคาของตัวแปรสุ ม ไม ตตอ เนื ่ เนื ่องที ่ งที ่มีคา เปนจํ นจํานวนเต็ านวนเต็มได มไดอย อยางไร างไร
10. [
11.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ แปรสุ มปกติ ปก ติท ่ี ่ีมีคา เฉลี ่ เฉลี ่ย 0 และ 1 ตามลําดับ และความแปรปรวน 1 และ 4 ตามลําดั าดับ
35
36
ความนาจะเป าจะเปน : ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญ หา
(1) (2) (3)
12.
13.
14.
จงหา P(X ≤ 1.5) และ P(X ≤ -1) จงหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนของ นของ Y 1 2 จงหา P(-1 ≤ Y ≤ 1)
ให X เปนตัวแปรสุ แปรสุ มปกติ ปก ติท ่ี ่ีมีคา เฉลี ่ เฉลี ่ย 0 และคาเบี ่ เบี ่ยงเบนมา งเ บนมาตรฐา ตรฐานน จงใชตารางการแจกแจงปกติ มาตรฐานคํานวณความน านวณความนาจะเป าจะเปนของเหตุ นของเหตุการณ การณ {X ≥ k } และ {|X| ≤ k }สําหรั าหรับ k = 1, 2, 3 อุณหภู ณหภูมิมิของเมื ของเมืองหนึ ่ งหนึ ่งจํ าลองได าลองไ ดดวยตั ย ตัวแปรสุ ม ปกติ ปก ติท ่ี ่ีมีคา เฉลี ่ เฉลี ่ยและค และ คาเบี ่ เบี ่ยงเบนม งเ บนมาตรฐ าตรฐานเท านเท ากั ากับ 10 องศาเซลเซียสทั ้ ยสทั ้งคู คู จงหาคว จ งหาความน ามนา จะเป นที ่ นที ่อุณหภู ห ภูมิ ณ เวลาที เวล าที ่ ่เลือกโดย ก โดยสุสุ มจะน จะ นอยกว ยก วาหรื อเท อเทา กับ 59 องศาฟาหเรนไฮต เรนไฮต
จงแสดงวา ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน f (x) ของตัวแปรสุ แปรสุ มปกติ ปก ติมีสมบั ม บัติ f (x )dx 1 แนะนํา ปริพันธ e dx เทากับรากที ่ ส่ องขอ อง ของง e e dxdy และปริพันธท ่ ี ส่ อง สามารถคํานวณโดยการแปลงไปสู านวณโดยการแปลงไปสูพิพกักิ ัดเชิ ดเชิงขั ้ ้ งขัว X
X
x 2 /2
15.
x 2 / 2 y2 / 2
เลือกจุ อกจุดหนึ ่ ่ ดหนึงโดยสุ งโดยสุม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม ) ภายในรูปครึ ่ ง่ วงกลม ว งกลม {(x,y)| x + y ≤ r , y ≥ 0} สําหรั าหรับบางค บบางคาของ าของ r > 0 ที ่ ่ทีกํกาหนดให าํ หนดให (1) จงหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนร นรวมของพิ วมของพิกักัด X และ Y ของจุดที ่ ่ ดทีเลืเลือกได อกได งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมาร นมารจิจนของ นิ ของ Y และใชผลที ่ ่ ผลทีได ไดคํคานวณ ํานวณ E(Y) (2) จงหาฟงก (3) จงตรวจสอบคําตอบในข าตอบในขอ (2) โดยไมใช ใชฟฟงก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมารจินของ Y คํานวณ 2
2
2
E(Y)
าคาคาดหวั าคาดหวั ง] 16. [การประมาณคาค
ให Y ,…,Y เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมอิ มอิสระที ่ ่ สระทีมีมฟฟี งก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเปน f เหมือนกัน ให S เปนเซต ของคาของ Y ที ่ที ่เปน ไปไดท ้ ั้งหมด นั ่ น่ คื อ S = {y|f (y) > 0} ให X เปนตัวแปรสุ แปรสุ มที ่ที ่ทราบว รา บวามี ฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน f ซึ ่ ่ซึง f (y) = 0 สําหรั าหรับทุ บทุก y S พิจารณาตั จารณาตัวแปรสุ วแปรสุม 1
n
Y
i
Y
X
Z
1
n
X
f X ( Yi )
Y f n i
i 1
Y
( Yi )
จงแสดงวา E(Z) = E(X) 17.
ให X เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมที ่ ่ มทีมีมฟฟี งก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน x / 4, 1 x 3
f X ( x)
0,
คาอื ่ ่ าอืนๆของ นๆของ x
บทที ่ ่ บทที 3 ตัวแปรสุ วแปรสุมทั มทั ่ ่วไป วไป
และให A แทนเหตุการณ การณ {X ≥ 2} (1) จงหา E(X), P(A), f (x), และ E(X|A) (2) ให Y = X จงหา E(Y) และ Var(Y) X|A X|A
2
18.
ตัวแปรสุ วแปรสุม X มีฟฟงก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน cx 2 , 1 x 2 f X ( x) คาอื ่ ่ าอืนๆ นๆ ของ x 0,
จงหาคาของ าของ c (2) ให A แทนเหตุการณ {X > 1.5} จงคํานวณ P(A) และฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมี เงื ่ ่เงือนไขของ อนไขของ Y เมื ่ ่ เมือทราบว อทราบวา A เกิดขึ ้ ้ ดขึน (3) ให Y = X จงคํานวณค านวณคาคาดหวั าคาดหวังมี งมีเงื ่ ่เงือนไขและความแปรปรวนมี อนไขและความแปรปรวนมีเงื ่งื ่อนไขของ นไ ขของ Y เมื ่ เมื ่อทราบว ทร าบวา A เกิดขึ ้ ้ ดขึน (1)
2
19.
20.
21.
อาจารยสติ สติเฟ เฟ องรายหนึ ่ องรายหนึ ่งนัดหมายใ ห มายใหหนักศึกษา ษ า 2 คนมาพบในเวลาเดียวกั วกัน ระยะเวลาที ่ ระยะเวลาที ่นัดหมายเป หมา ยเปน อิสระกั สระกันและมี นและมีการแจกแจงเอกซ การแจกแจงเอกซโพเนนเชี โพเนนเชียลที ่ ่ ยลทีมีมคคี าเฉลี ่ ่ าเฉลีย 30 นาที นักศึ กศึกษาคนแรกมาตามนั กษาคนแรกมาตามนัดตรงเวลา แตนันักศึ กศึกษาคนที ่ ่ กษาคนทีสองมาช สองมาชา 5 นาที จงหาคาคาดหวั าคาดหวังของเวลาระหว งของเวลาระหวางเวลาที ่ ่ างเวลาทีมาของนั มาของนักศึ กศึกษาคนแรกและ กษาคนแรกและ เวลาที ่ ่ เวลาทีจากไปของนั จากไปของนักศึ กศึกษาคนที ่ ่ กษาคนทีสอง สอง เริ ่ ่เริมต มตนจากแท นจากแทงไม งไมยาว ยาว L เราหักแท กแทงไม งไมที ่ ่ทจุจี ดหนึ ่ ่ ดุ หนึงโดยสุ งโดยสุม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม) และเก็บแทงไม ทอนที ่ ่ อนทีมีมจุจี ดปลายด ดุ ปลายดานซ านซาย าย (อีกท กทอนหนึ ่ ่ อนหนึงทิ ้ ้ งทิงไป) งไป) ให Y แทนความยาวของแทงไม งไมททอนนี ้ อ นนี ้ แลวหักแทงไม ไ ม ทอนที ่ ่ อนทีเหลื เหลือไว อไวนี ้ ้นอีอี กครั ้ ้ กี ครังหนึ ่ งหนึ ่งโดยวิ โด ยวิธีก ารเดิ ม ให ใ ห X แทนความยาวของแทงไมทอนที ่ เ่ หลื อจากการหั อจาก การหัก ครั ้ ้ ครังที ่ ่ งทีสอง สอง งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนร นรวมของ วมของ Y และ X (1) จงหาฟงก (2) จงหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมาร นมารจิจนของ นิ ของ X (3) จงใช ฟงก งกชัชนความหนาแน ันความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมาร นมารจิจนของ นิ ของ X คํานวณ านวณ E(X) านวณ E(X) โดยใชความสั ความสัมพั มพันธ นธ X = Y∙(X/Y) (4) จงคํานวณ เรามีแท แทงไม งไมยาว ยาว 1 หนวย วย พิจารณาวิ จารณาวิธีธหัหี ักแท กแทงไม งไมเป เปน 3 ทอนโดยใช อนโดยใชวิวธีธิ การ กี าร 3 วิธีธตตี อไปนี ้ ้ อไปนี (1) เลือกจุ อกจุดสองจุ ดสองจุดบนแท ดบนแทงไม งไมโดยสุ โดยสุมและเป มและเปนอิ นอิสระกันโดยใชการแจแจงยูนิฟอรม และหักแทงไมท ี ่ ่ จุดสองจุ ดสองจุดนี ้ ้ ดนี กแทงไม งไมที ่ ่ทจุจี ดหนึ ่ ่ ดุ หนึงโดยสุ งโดยสุมโดยใช มโดยใชการแจกแจงยู การแจกแจงยูนินฟอร ฟิ อรมแล มแลวหั วหักแท กแทงไม งไมททอนที ่ ่ อ นทีมีมจุจี ดปลายด ดุ ปลายดานขวาที ่ ่ านขวาที (2) หักแท จุดหนึ ่ ่ ดหนึงโดยสุ งโดยสุมโดยใช มโดยใชการแจกแจงยู การแจกแจงยูนินฟอร ฟิ อรม
37
38
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยปญ หา
หักแทงไมทจี ่ ดุ หนึ ่งโดยสุ มโดยใชก ารแจกแจงยูนิฟ อรมแลวหักแทงไมทอนที ่ยาวกวาที ่จุด หนึ ่ง โดยสุ มโดยใชการแจกแจงยูนฟิ อรม สําหรับแตละวิธี จงหาความนาจะเปนที ่แทงไมทั ้งสามทอนประกอบกันเปนดานของรูปสามเหลี ่ยมได (3)
22.
23.
24.
25.
ใหตัวแปรสุ ม X และ Y มีฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมยูนิฟอรมบนอาณาบริเวณรูป สามเหลี ่ยมที ่มจี ดุ ยอด (0,0), (0,1) และ (1,0) (1) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y (2) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจน ิ ของ Y (3) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y (4) จงหา E(X|Y = y) และใชทฤษฎีบทคาคาดหวังรวมหา E(X) ในพจนของ E(Y) (5) จงหาคาของ E(X)โดยใชความสมมาตร ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มสองตัวที ่มีการแจกแจงความน าจะเปน ยูนิฟอรมบนอาณาบริเวณรูป สามเหลี ่ยมที ่มีจุ ดยอด (0,0), (1,0) และ (0,2) จงคํานวณ E(X) และ E(Y) โดยดําเนินการเปน ขั ้นตอนเชนเดียวกับขอ 22. พิกัด X และ Y ของจุดๆหนึ ่งเปนตัวแปรสุ มปกติอสิ ระที ่มีคา เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน ถาจุดนั ้น หางจากจุดกําเนิดอยางนอย c แลวจงหาฟงกชันความหนาแนนรวมมีเงื ่อนไขของ X และ Y 2
ให X , …, X เปนตัวแปรสุ มอิสระ จงแสดงวา 1
n
n i1
n Var(Xi ) 1 1 n i 1 E X 2 2 E Xi i
Var X i i1
26.
พิจารณาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชียลสองทาง pe x , x0 f X (x) x (1 p)e , x 0 เมื ่อ และ p เปนคาคงตัวซึ ่ง > 0 และ p[0,1] จงหาคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X
27.
ให X, Y และ Z เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f จงพิสูจนกฎการคูณ:
X,Y,Z
f X,Y,Z (x, y, z) f X|Y,Z (x | y, z)f Y|Z (y | z)fZ (z)
บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป 28.
29.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f X,Y ถา สําหรับสับเซต A และ B ใดๆของเซตของจํานวนจริง เหตุการณ {XA}และ{YB} เปนอิสระกัน แลว จงแสดงวา ตัวแปรสุ ม X และ Y เปนอิสระกัน ในการผลิตเหรียญกษาปณโดยใชเครื ่องป มเหรียญที ่ชาํ รุดเครื ่องหนึ ่ง ความนาจะเปน ที ่เหรี ยญจะหงาย ดานหัวจึงไมใชคาคงตัวแตเปนตัวแปรสุ ม P ที ่มีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน pe p , p [0,1] f P (p) คาอื ่นๆของ p 0,
เลือกเหรียญที ่ผลิตจากเครื ่องป มเหรียญนี ้โดยสุ ม โยนเหรียญซ้ ําๆ ไดผลลัพธทเี ่ ปนอิสระกัน (1) จงหาความนาจะเปนที ่เหรียญจะหงายดานหัว (2) สมมุติวา เหรียญหงายดานหัว จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ P (3) ถาทราบวาเหรียญหงายดานหัวจากการโยนเหรียญครั ้งแรก จงหาความน าจะเปนมี เงื ่อนไขที ่ เหรียญจะหงายดานหัวในการโยนครั ้งถัดไป 30.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่เปนอิสระกันและมีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน f X และ f Y ตามลําดับ และให Z = X + Y (1) จงแสดงวา f Z|X(z|x) = f Y(z – x) แนะนํา: เขียนฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ Z เมื ่อกําหนด X แลวหาอนุพันธ (2) ถา X และ Y มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพ ารามิ เตอร เหมือนกัน จงหาฟงกชันความ หนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนดให Z = z (3) ถา X และ Y มีการแจกแจงปกติ ที ่มีคาเฉลี ่ย 0 และคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน X และ Y ตามลําดับ จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนดให Z = z
39
40
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยปญ หา
หนาวาง
4 หัว ขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกับตั วแปรสุ ม สรุปสาระสําคั ญ 4.1 1.
การแจกแจงความนาจะเปนของฟ งกชั นของตัว แปรสุ ม
การคํานวณ PDF ของฟงกชัน Y = g(X) ของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X กระทําเปน 2 ขั ้นตอนดังนี ้ (1) คํานวณ CDF FY ของ Y โดยใชสูตร FY (y) P[g(X) y] (2)
{ x|g ( x ) y}
f X (x)dx
หาอนุพันธ จะได PDF ของ Y f Y (y)
d dy
FY (y)
สูตรสําหรับใชหา PDF ของฟงกชันเชิงเสนของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง ให X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มี PDF f X และให 2.
Y = aX + b
เมื ่อ a และ b เปนจํานวนจริง โดยที ่ a ≠ 0 แลว PDF ของ Y หาไดโดยใชสตู ร f Y (y)
1 a
yb a
f X
สูตร PDF สําหรับฟงกชันทางเดียวโดยแทของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง ให Y = g(X) เปนฟงกชันของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X ถา g เปนฟ งกชั นทางเดียวโดยแท (Strictly Monotonic Function) แลว PDF ของ Y หาไดจากสูตร 3.
f Y (y) f X g 1 (y)
4.2 1.
d dy
g 1 (y)
ความแปรปรวนรวมและสหสั มพัน ธ
ความแปรปรวนรวม (Covariance) ของตัวแปรสุ ม X และ Y แทนดวย Cov(X,Y) หรือ XY นิยามโดย Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
และสามารถคํานวณไดจากอีกสูตรหนึ ่งคือ
42
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา Cov(X,Y)=E(XY) – E(X)E(Y) 2. 3. 4.
ถา Cov(X,Y) = 0 แลว เรากลาววา X และ Y ไมมสี หสั มพัน ธ (Uncorrelated) ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว X และ Y ไมมสี หสัมพันธ บทกลับไมจริงเสมอไป ความแปรปรวนของผลบวกของตั วแปรสุ ม X และ Y หาไดจากสูตร Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Co v(X,Y)
สั มประสิทธิ ์สหสั มพั นธ (Correlation Coefficient) ของตัวแปรสุ ม X และ Y แทนดวย (X, Y) นิยาม โดย 5.
(X,Y)
Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)
และมีคาสอดคลองกับอสมการ 1 (X, Y) 1
4.3 คาคาดหวัง มีเงื ่อนไขและความแปรปรวนมี เงื ่อนไข
เปนจํานวนๆหนึ ่งซึ ่งมีคาขึ ้นกับ y 2. E(X|Y) เปนฟงกชันของตัวแปรสุ ม Y ดังนั ้น E(X|Y) เปนตัวแปรสุ มซึ ่งมีคา เปน E(X | Y y) 3. กฎการหาคาคาดหวั งซ้ ํา (Law of Iterated Expectations) กล าววา เราสามารถหาคาคาดหวัง E(X) โดย หาคาคาดหวังของ E(X|Y) ซ้ ําอีกครั ้งหนึ ่ง 1. E(X | Y y)
E[E(X|Y)] = E(X)
เราอาจมองว า E(X | Y y) เปนคาประมาณของ X เมื ่อกําหนด Y = y ความคลาดเคลื ่อนในการประมาณ คือ E(X|Y) – X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคาเฉลี ่ยเทากับ 0 และไมมีสหสัมพันธกับ E(X|Y) 5. Var(X|Y) คือตั วแปรสุ มที ่มค ี า เปน Var(X|Y = y) เมื ่อ Y มีคาเทากับ y ี าความแปรปรวน Var(X) โดยการวาง 6. กฎความแปรปรวนรวม ( Law of Total Variance) กลาวถึงวิธห เงื ่อนไขบนตัวแปรสุ ม Y ดังนี ้ 4.
Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var[E(X|Y)]
4.4
ฟ งกชั นกอกําเนิดโมเมนต
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต (Moment Generating Function เขียนยอเปน MGF) ของตัวแปรสุ ม X นิยาม โดย e p (x), X เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง 1.
tx
X
M X (t) E(e ) tX
x
e tx fX (x)dx, X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง
บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตัว แปรสุ ม 2. 3.
การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุ มกําหนดไดอยางบริบรู ณดวยฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต สมบัติของฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต : d
M X (0) 1,
dt
M X (t)
t0
dn
E(X),
dt
n
M X (t)
t 0
ถา Y = aX + b แลว M (t) e M (at) 5. ถา X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ แลว M (t) M (t)M (t) 6. ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องบางชนิด ตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง ฟงกชันมวลความนาจะเปน p (k) p (1 p) , k 0,1 แบรนลู ลีที ่มพี ารามิเตอร p bt
4.
X
X
X Y
X
k
Y
1 k
X
ทวินามที ่มพี ารามิเตอร n และ p เรขาคณิตที ่มพี ารามิเตอร p ปว สซองที ่มพี ารามิเตอร ยูนิฟอรมบนชวง [a, b] 7.
E(X n )
p X (k) p X (k) p X (k) p X (k)
n p k (1 p) n k , k p(1 p)
e k k!
k 1
,
k
k
0,1,..., n
1, 2,...
b a 1
, k
ยูนิฟอรมบนชวง [a, b]
fX (x)
เอกซ โพเนนเชียล ที ่มพี ารามิเตอร
f X (x) e x , x 0
ปกติทมี ่ พี ารามิเตอร และ 2
f X (x)
4.5
b a
a, a 1,..., b
2
e ( x )
2
M X (t) 1 p pe t M X (t)
pe t 1 (1 p)e t
M X (t)
e ta (e t (b a 1) 1) (b a 1)(e t 1)
ฟ งกชั นกอกําเนิดโมเมนต e ta M X (t) t(b a) M X (t)
/ ( 2 2 )
n
e tb
, axb
1
t
t
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มตอเนื ่องบางชนิด ตัว แปรสุ มตอเนื ่อง ฟง กชนั ความหนาแน นนาจะเปน 1
M X (t) 1 p pe
M X (t) e( e 1)
, k 0,1,...
1
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต
,
x
, t
M X (t) e t
2 2
t
/2 t
ผลบวกของตั วแปรสุ มอิสระจํานวนไมแนนอน
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกันโดยมีคา เฉลี ่ย E(X) และ ความแปรปรวน Var(X) ให N เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา เปนจํานวนเต็มบวกหรือศูนย พิจารณาผลบวก 1
2
Y X1 ... X N
จะได (1) E(Y) E( N)E(X)
43
44
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 2
(2) Var(Y) E( N)Var (X) [E (X)] Var( N) (3) M Y (t) M N (ln M X (t))
หมายความวา ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M คา e ดวย M (t)
Y
(t)
หาไดโดยเริ ่มตนจากการคํานวณ M
N
(t)
แลวแทน
t
X
โจทยปญหา 1.
ถา X เปนตัวแปรสุ มที ่มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [-1, 1] จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ (1) (2)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
X
ln|X|
จงหาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ e ในพจนของฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X แลว นําไปใชกับกรณีที ่ X มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] X
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ นาจะเปนของ X
| X |1/3
และ | X | ในพจนของฟงกชันความหนาแนน 1/4
รถไฟฟามาถึงสถานีใกลบา นของเทวี ทกุ ๆ 15 นาที เริ ่มตั ้งแต 6:00 น. (เชา) เทวีเดินเขาสถานีระหวางเวลา 7:10 น. และ 7:30 น . ณ เวลาในชวงนี ้ซึ ่งเป นตัวแปรสุ มที ่มีฟง กชันความหนาแนนน าจะเปน ที ่กําหนด ให X แทนเวลา (นาที )ระหวาง 7:10 น. และเวลาที ่เทวีเ ขามาในสถานี ให Y แทนเวลาที ่เทวี รอคอย จนกระทั ่งไดขึ ้นรถไฟฟา จงคํานวณฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y ในพจนของฟงกชัน การแจกแจงสะสมของ X แลวหาอนุพันธเพื ่อสรางสูตรสําหรับ ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Y ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิ สระที ่มีก ารแจกแจงยูนิฟอรมบนชว ง [0, 1] จงหาฟงกชันการแจกแจง ความนาจะเปนสะสมและฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ |X – Y| ให X และ Y เปนพิกัดคารทเี ซียนของจุดที ่เลือกโดยสุ ม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม) ภายในรูปสามเหลี ่ยม ที ่มีจุด ยอด (0, 1), (0, -1) และ (1, 0) จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชัน ความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y| เลือกจํานวน 2 จํานวนโดยสุ มอยางเปนอิสระกันตามการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] จงแสดงวา คาคาดหวังของระยะหางระหวางจํานวนทั ้งสองนั ้นเทากับ 1/3
บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตัว แปรสุ ม 8.
9.
10.
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y เมื ่อ X และ Y เปนตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มี พารามิเตอร และเปนอิสระกัน โรมิโอกับจูเลียตนัดพบกัน ณ เวลาหนึ ่งที ่กํา หนด แตล ะคนมาสายอย างเปนอิสระกัน เวลาที ่มาสายของ แตละคนมีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร เหมือนกัน จงหาฟ งกชันความหนาแนนของ ผลตางของเวลาที ่มาถึงจุดนัดพบของโรมีโอและจูเลียต พิจารณาปญหาในโจทยขอ 9. แตมีขอสมมุติวาตัวแปรสุ ม X และ Y เปนอิสระกันและมีการแจกแจง เอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร และ ตามลําดับ จงหา ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X – Y
ี ง กชันความหนาแน นนาจะเปน 11. ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มฟ 1 / 3, p X (x) 0,
x 1, 2,3
คาอื ่นๆของ x
1/ 2, y 0 1/ 3, y 1 p Y (y) 1/ 6, y 2 0, คาอื ่นๆของ y
จงหาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ Z = X + Y โดยสูตรคอนโวลูชัน 12.
13.
14.
จงใชสูตรคอนโวลูชัน แสดงวาผลบวกของตัวแปรสุ มปวสซองอิ สระ ตามลําดับเปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร
2
ตัวที ่มีพ ารามิเตอร และ
ตัวแปรสุ ม X, Y และ Z เปนอิสระกันและมีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง ความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y + Z
[0, 1]
จงหาฟงกชัน
อายุการใชงานของหลอดไฟสองหลอดแทนดวยตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชี ยล X และ Y ที ่เปน อิสระกัน และมีพารามิเตอร และ ตามลําดับ หลอดไฟที ่เสียกอนมีอายุการใชงานเทากับ Z min{X, Y}
จงแสดงวา Z เปนตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร
ตั วแปรสุ มโคชี (Cauchy Random variable)] (1) ให X เปนตัวแปรสุ มยูนิฟอรมบนชวง [-1/2, 1/2] จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Y = tan (X) คือ
15. [
45
46
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
f Y (y)
1 2
(1 y )
,
y
เรียก Y วา ตัวแปรสุ มโคชี) (2) ให Y เปนตัวแปรสุ มโคชี จงหาฟง กชันความหนาแนนนา จะเปน ของ X ซึ ่ง เทากับ ขนาดของมุม ระหวาง / 2 และ / 2 ซึ ่ง tan X = Y (
พิกั ดเชิงขั ้ วของตั วแปรสุ มปกติสองตัว ที ่เปนอิสระกั น] ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐานสองตัวที ่เปนอิสระกัน คู อันดับ (X, Y) สามารถเขียนในรูป พิกัดเชิงขั ้วของตัวแปรสุ ม R ≥ 0 และ Θ[0, 2 ] เมื ่อ
16. [
X = R cos Θ, (1)
Y = R sin Θ
จงแสดงวา Θ มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 2] และ R มีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน 2
f R (r) re r /2 ,
r 0
และ R กับ Θ เปนอิสระกัน [ตัวแปรสุ ม R ที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนเช นนี ้เรียกวา ตัวแปรสุ ม เรย ไล(Rayleigh distribution)] 2 ี ารามิเตอร ½ (2) จงแสดงวา R มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มพ 17.
18.
สมมุติวา X และ Y เปนตัวแปรสุ มที ่มีค วามแปรปรวนเทากัน จงแสดงวา X – สหสัมพันธ
Y
และ X + Y ไมมี
พิจารณาตัวแปรสุ ม 4 ตัว W, X, Y, Z โดยมี E(W) = E(X) = E(Y) = E(Z) = 0
19.
และ Var(W) = Var(X) = Var(Y) = Var(Z) = 1 สมมุตวิ า แตละคู ของ W, X, Y, Z ไมมีสหสัมพันธ จงหาสัมประสิทธิ ์สหสัมพันธ (R,S) และ (R,T) เมื ่อ R = W + X, S = X + Y และ T = Y + Z สมมุตวิ า ตัวแปรสุ ม X มีสมบัตติ อ ไปนี ้ 2
3
4
E(X) = 0, E(X ) = 1, E(X ) = 0, E(X ) = 3
และให Y = a + bX + cX2
จงหาสัมประสิทธิ ์ส หสัมพันธ (X,Y) อสมการชวารซ (Schwarz Inequality)] จงแสดงวา สําหรับตัวแปรสุ ม X และ Y ใดๆ
20. [
2
2
2
[E(XY)] ≤ E(X )E(Y )
บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตัว แปรสุ ม
สั มประสิทธิ ์สหสั มพั นธ (Correlation Coefficient)] พิจารณาสัมประสิทธิ ์ส หสัมพันธ
21. [
(X,Y)
Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)
ของตัวแปรสุ มสองตัว X และ Y ที ่มคี วามแปรปรวนมากกวา 0 จงแสดงวา (1) | (X, Y) | 1
ถา Y – E|Y| = a[X – E(X)] เมื ่อ a ≠ 0 เปนคาคงตัว แลว (X,Y) = 1 (3) ถา (X,Y) = 1 แลวจะมีคา คงตัว a ซึ ่ง Y – E|Y| = a[X – E(X)] ดวยความนาจะเปน 1 (2)
22.
23.
24.
พิจารณานักเสี ่ยงโชครายหนึ ่งซึ ่งในการเสี ่ยงโชคแตละครั ้งเขาชนะหรือแพพนันดวยความนาจะเปน p และ 1 – p เปนอิสระกันกับการเสี ่ยงโชคครั ้งกอนหนานั ้น เมื ่อ p > 1/2 นักเสี ่ยงโชคนิยมใชยุทธศาสตรของ เคลลีซึ ่งแนะนํา ใหว างเงินพนันเปนเศษสว น 2p – 1 ของรางวัลในรอบนั ้น จงคํ านวณคา คาดหวังของ รางวัลเมื ่อสิ ้นสุดการเสี ่ยงโชครอบที ่ n โดยเริ ่มตนวางเงินพนัน x หนวย และใชยุทธศาสตรของเคลลี ศาสตราจารยทเี ่ กษียณจากงานแลวทานหนึ ่งยังคงอุทศิ ตนมาที ่สํานักงาน ณ เวลาที ่มกี ารแจกแจงยูนิฟอรม ระหวางเวลา 9.00น.ถึง 13.00 น.เพื ่อทํางานเพียงชิ ้นเดียวและออกจากสํานักงานเมื ่อเสร็จงาน เวลาที ่ใช ทํางานมีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร (y) 1/ (5 y) เมื ่อ y คือระยะเวลาระหวาง 9.00 น. ถึงเวลาที ่เขามาถึงสํานั กงาน (1) จงหาคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยใชทาํ งานในวันหนึ ่งๆ (2) จงหาคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยทาํ งานจนเสร็จ (3) ศาสตราจารยมีนักศึกษาปริญญาเอกในความดู แลอยู ค นหนึ ่ง ซึ ่งจะมาพบ ณ เวลาที ่มีก ารแจกแจง ยูนิฟอรมระหวาง 9.00 น. ถึง 17.00 น. ถานักศึกษามาแลวไมพบศาสตราจารย เขาก็จากไปและไม กลับมา พบทานอีกในวันนั ้น ถามาแลวพบศาสตราจารย นักศึกษาจะปรึกษาทานเปนเวลาที ่มกี ารแจกแจงยูนฟิ อรม ระหวาง 0 ถึง 1 ชั ่วโมง ศาสตราจารยจะใชเวลาทั ้งหมดในการทํางานเท าเดิม แมจ ะมีนักศึก ษาเขามาพบ จงหาคาคาดหวังของระยะเวลาที ่ศาสตราจารยใหกับนักศึกษาและคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยออก จากสํานักงาน สําหรับตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่องหรือต อเนื ่อง X และฟงกชัน g(Y) ใดๆของตัวแปรสุ ม Y อีกตัวหนึ ่ง จงแสดงวา E[Xg(Y) | Y] g(Y)E(X | Y)
47
48
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
25.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ จงใชกฎความแปรปรวนรวมแสดงวา Var(XY) [E(X)]2 Var(Y) [E(Y)]2 Var(X) Var(X)Var(Y)
26.
โยนเหรียญที ่เอนเอียง n ครั ้ง ความนาจะเปนที ่เหรียญจะหงายดานหัวแทนดวย q คือคาของตัวแปรสุ ม Q ซึ ่งมีคาเฉลี ่ย และความแปรปรวน 2 ให Xi เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลีท ี ่ใชจํ าลองผลลัพธของการโยน เหรียญครั ้งที ่ i (นั ่นคือ Xi = 1 ถาเหรียญหงายดานหัวเมื ่อโยนเหรีย ญครั ้งที ่ i) สมมุติวา X1,…, Xn เปน อิสระกันภายใตเงื ่อนไข Q = q ให X แทนจํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดานหัวจากการโยน n ครั ้ง ํา (1) จงหา E(Xi) และ E(X) โดยใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ (2) จงหา Cov(Xi, X j) และพิจารณาวา X1,…,X n เปนอิสระกันหรือไม (3) จงหา Var(X) โดยใชกฎความแปรปรวนรวมและทวนสอบคําตอบโดยใชความแปรปรวนรวมที ่หา ไดในขอ (2)
27. [ฟ งกชั นความหนาแน นนาจะเป นของตั วแปรสุ มปกติสองตั ว]
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มปกติสองตัว X และ Y ที ่มคี า เฉลี ่ย 0 อยู ในรูปแบบ f X, Y (x, y) ce q(x,y)
เมื ่อ q(x,y) เปนฟงกชันกําลังสองของ x และ y x
2
y
2
X Y 2Y q(x,y) 2(1 2 ) X และ Y เปนคาคงตัวที ่มากกวา 0, เปนคาคงตัวที ่สอดคล องกับอสมการ -1 < < 1 และ c เปน 2x
2
xy
คาคงตัวซึ ่งทําให f (x, y)dxdy 1 (1) จงใชวิธีทํ าใหเปนกําลังสองสมบูรณ เขียน q(x,y) ในรูปแบบ (x y) y เมื ่อ , , และ เปนคาคงตัวบางคา ี ่ คี า เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน และ ตามลําดับ (2) จงแสดงวา X และ Y เปนตัวแปรสุ มปกติทม (3) จงหาคาของ c (4) จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกํ าหนด Y = y เปนฟงกชันความหนาแนน ปกติ และ จงระบุคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X เมื ่อกําหนด Y = y หสัมพันธของ X และ Y คือ (5) จงแสดงวา สัมประสิทธิ ์ส เมื ่อ X และ Y ไมมสี หสัมพันธ ( = 0) (6) จงแสดงวา X และ Y เปนอิสระกัน ก็ตอ X,Y
2
2
2 X
2 Y
บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตัว แปรสุ ม
จงแสดงวา ความคลาดเคลื ่อนของการประมาณคา E(X|Y) – X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน (1 ) และเปนอิสระจาก Y (7)
2
28.
2 X
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา 1, 2 และ 3 ดวยความนาจะเปน และ P(X = 3) = 1/4 จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X และนําไปใชหาโมเมนตทหี ่ นึ ่ง E(X), โมเมนตที ่ส อง E(X2), และ โมเมนตทสี ่ าม E(X3) P(X = 1) = 1/2,
P(X = 2) = 1/4
29.
จงคํานวณโมเมนตทสี ่ าม E(X3) และโมเมนตทสี ่ ี ่ E(X4) ของตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน X
30.
จงคํานวณโมเมนตทสี ่ าม โมเมนตทสี ่ ี ่ และโมเมนตทหี ่ า ของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร
31.
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา เปนจํานวนเต็มบวกหรือศูนย สารินและสุรศักดิ ์หาฟงกชันกอ กํา เนิดโมเมนต ของ X ไดไมตรงกัน สารินได M (t) e สวนสุรศักดิ ์ไ ด M (t) e (1) จงอธิบายวาเพราะเหตุใดฟงกชันหนึ ่งในสองฟงกชันนี ้จงึ เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต ของ X ไมได ี ่ กู ตองหา P(X = 0) (2) จงใชฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตทถ 2(ee
X
32.
34.
1
t
2( ee 1)
1)
X
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X ซึ ่งมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตเปน M X (t)
33.
t
1
2
3 2t
2
3
3 3 t
ทีมฟุตบอลทีมหนึ ่ง กํ าหนดใหนัก ฟุต บอล 3 คนผลัดกันเปนผู เ ตะลู ก โทษ นัก ฟุ ตบอลคนที ่ i มี ความนาจะเปน pi ที ่จะเตะลูกโทษเขาประตูไดสําเร็จเปนอิสระกันกับผลการเตะลู กโทษของนักฟุตบอลคน อื ่นๆ ให X แทนจํานวนลูกโทษที ่เตะเขาประตูไดสําเร็จหลังจากนักฟุตบอลแตละคนไดเตะลูกโทษคนละ 1 ลูก จงใช คอนโวลูชั นคํานวณฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X แลวทวนสอบโดยคํานวณฟงกชัน กอกําเนิดโมเมนตของ X กอนแลวนําไปใชหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X ให X, Y และ Z เปนตัวแปรสุ มอิ สระ เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลี ที ่มีพารามิ เตอร p = 1/3, Y เปน ตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร = 2 และ Z เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร = 3 (1) พิจารณาตั วแปรสุ มตัวใหม U = XY + (1 – X)Z จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต ของ U (2) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ 2Z + 3 (3) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Y + Z
49
50
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
35.
รานพิซซาแหงหนึ ่งมีพซิ ซาใหลูกคาเลือก n ชนิดแตกตางกัน สมมุติวา มีลูกคา K คนเขามาสั ่งพิซ ซา เมื ่อ K เปนตัวแปรสุ มที ่มีค าเปน จํา นวนเต็มบวกหรื อ 0 และมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) E(e ) ลูกคาแตละคนสั ่งพิซซา 1 ชิ ้น พิซซาแตละชนิดมีความนาจะเปนที ่ลูก คาจะเลือ กเทา ๆกัน และ การเลือก พิซซาของลูกคาแตละคนเปนอิสระกัน จงหาสูตรสําหรับคํานวณคาคาดหวังของจํานวนชนิดที ่แตกตางกัน ของพิซซาที ่ลูกคาสั ่งซื ้อ tK
K
36.
ให X เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องที ่มคี าเปนจํานวนเต็มบวกหรือ 0 ให MX(t) ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X
จงแสดงวา P(X 0) lim M (t) ี ารามิเตอร n และ p แลวจะได (2) จงใชผลที ่ไดจากขอ (1) ทวนสอบว า ถา X เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มพ วา P(X = 0) = (1 – p)n และถา X เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร แลวจะไดวา P(X = 0) = e (3) สมมุติวา ตัวแปรสุ ม X มีคา เปนจํานวนเต็ มที ่มากกวาหรือเทากับจํานวนเต็ม k แลวจงหาวิธีคํานวณ P(X = k) โดยใชฟงกชันกอกํ าเนิดโมเมนตของ X (1)
n
X
แปรสุ มยูนฟ ิ อรม] 37. [ฟ งกชั นกอกําเนิดโมเมนต ของตัว
จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มไมต อเนื ่อง X ที ่มีการแจกแจงยูนิฟ อรมบนเซตของ จํานวนเต็ม {a, a+1, …, b} ิ อรมบนชวง [a, b] (2) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X ที ่มีการแจกแจงยูนฟ (1)
38.
ณ เวลาหนึ ่ง จํา นวนคนเขามาในลิฟ ตหลังหนึ ่ง มีการแจกแจงปวส ซองที ่มีพ ารามิเตอร น้ ํา หนัก ของ แตละคนที ่เ ขา มาในลิ ฟตเ ปน อิส ระกันและมีก ารแจกแจงยู นิฟ อรม ระหว า ง 100 และ 200 ปอนด 1 ของน้ ให Xi แทน 100 ํา หนักส วนที ่เกิน 100 ปอนดของคนที ่ i เชน ถาคนที ่ 7 หนัก 175 ปอนด แลว 1 75 0.75 ให Y แทนผลบวกของ X X 100 i (1) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Y (2) จงใช M (t) ที ่หาไดในขอ (1) คํานวณคาคาดหวังของ Y (3) จงทวนสอบคําตอบในขอ (2) โดยใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา 7
Y
39.
จงใชฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตแสดงวาผลบวกของตัวแปรสุ ม อิสระ N ตัวที ่มีการแจกแจงแบรนูลลีท ี ่มี พารามิเตอร p เปนตัวแปรสุ มปวสซอง ถาจํานวนตัวแปรสุ มในผลบวกคื อ N เปนตัวแปรสุ มปวสซอง
5
อสมการและทฤษฎีบทลิมิต
สรุปสาระสําคั ญ อสมการมาร โคฟและอสมการเชบีเชฟ
5.1
1. อสมการมาร โคฟ(Markov Inequality)
ถาตัวแปรสุ ม X มีคา เปนจํานวนบวกหรือศูนยเทานั ้น แลวจะได E(X) สําหรับทุก a > 0 P(X a) a
2. อสมการเชบีเชฟ (Chebyshev Inequality)
ถา X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา เฉลี ่ย และความแปรปรวน 2 แลวจะได P( X
c)
2 c2
สําหรับทุก c > 0
5.2 กฎอยางออนของจํานวนมาก
กฎอยางออนของจํานวนมาก(The Weak Law of Large Numbers)
ให
X1 , X2 ,...
Mn
X1
เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกันโดยมีคา เฉลี ่ย และให ... X สําหรับ > 0 จะไดวา n
n
P Mn
P
X1 ... X n n
0,
เมื ่อ n
5.3 การลู เขาในความนาจะเปน
การลู เขาในความนาจะเป น(Convergence in Probability)
ให Y , Y , ... เปนลําดับของตัวแปรสุ ม (ไมจาํ เปนตองเปนอิสระกัน) และให a เปนจํานวนจริง เรากลาววา ลําดับ Yn ลู เขาสู a ในความนาจะเปน ถาสําหรับทุก > 0 จะไดวา 1
2
lim P Yn n
a 0
52
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ตามนัยของบทนิยามนี ้ กฎอยางออนของจํานวนมากกลาววา คาเฉลี ่ยตัวอยางลู เขาสู คา เฉลี ่ยจริง ในความนาจะ เปน และโดยอาศัยอสมการเชบีเชฟ จะไดวา ถาทุก Yn มีคา เฉลี ่ยเดียวกัน และ Var(Yn) ลู เขาสู 0 แลว Yn ลู เขา สู ในความนาจะเปน
ทฤษฎีบทเซนทรัล ลิมิต
5.4
ลิมติ (The Central Limit Theorem) 1. ทฤษฎีบทเซนทรัล
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มที ่เปนอิสระกันและมีการแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกันโดยมี คาเฉลี ่ย และความแปรปรวน 2 และนิยามตัวแปรสุ ม 1
2
Zn
X1 ... X n
n
n
แลวจะไดวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Zn ลู เขาสู ฟง กชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม ปกติมาตรฐาน (z)
1 2
z
e x / 2dx 2
หรือกลาวอีกนัยหนึ ่ง สําหรับทุก z 2. การประมาณดวยการแจกแจงปกติโดยอาศัยทฤษฎีบทเซนทรัลลิมิต ให S X ... X เมื ่อ Xi เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกันโดยมีคา เฉลี ่ย และความแปรปรวน 2 ถา n มีคามาก แลวความนาจะเปน P(S c) สามารถประมาณคาโดยใชวธิ กี าร ตอไปนี ้ โดยคิดเสมือนวา Sn เปนตัวแปรสุ มปกติ (1) คํานวณคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ Sn คือ n และ n2 ตามลําดั บ (2) คํานวณคามาตรฐาน z (c n) / ( n ) (3) ใชการประมาณ lim P(Zn n
n
1
z) (z)
n
n
P(Sn
z) (z)
เมื ่อคาของ (z) อานจากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน ี ารเดอมั ววร-ลาปลาซ (De Moivre-Laplace Approximation) 3. การประมาณการแจกแจงทวินามโดยวิ ธก
ให Sn เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มีพารามิเตอร n และ p ถา n มีคา มาก, a และ b เปนจํานวนเต็มบวกหรือศูนย แลว จะได P a Sn
b 0.5 np a 0.5 np b np(1 p) np(1 p)
ในทางปฏิบัติ สูตรนี ้ใหคา ประมาณที ่ดี เมื ่อ np(1 – p) ≥ 10
บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ 5.5 กฎอยางเขมของจํานวนมาก 1.
กฎอยางเขมของจํานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มที ่เปนอิสระกันและมีการแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกันโดยมี คาเฉลี ่ย จะไดวา ลําดับของคาเฉลี ่ยตัวอยาง M (X ... X ) / n ลู เขาสู ดวยความนาจะเปน 1 หมายความวา 1
2
n
1
n
P lim M n 1 2.
n
การลู เขาดวยความนาจะเปน 1 (Convergence with Probability 1)
ให Y , Y , ... เปนลําดับของตัวแปรสุ ม (ไมจาํ เปนตองเปนอิสระกัน) และให c เปนจํานวนจริง เรากลาววา ลําดับ Yn ลู เขาสู c ดวยความนาจะเปน 1 หรือเกือบจะมั ่น ใจ (Almost Surely) ถา 1
2
P lim Yn c 1 n
โจทยปญหา 1.
นักสถิติตองการประมาณคาความสูงเฉลี ่ย h (เมตร) ของประชากรโดยอาศัยตัวอยางสุ มขนาด n คือ X1, X2, … , Xn
เลือกจากประชากร เขาใชคาเฉลี ่ยตัวอย าง
Mn
1 n
X1 X 2 ... X n เปน
ตัวประมาณคาของ h และประมาณวาคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Xi เทากับ 1.0 เมตร (1) n ควรมีคา โตเทาใดจึงจะทําใหคา เบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Mn มีคา ไมเกิน 1 เซนติเมตร (2) n ควรมีคา โตเทาใด อสมการเชบีเชฟจึงจะรับประกันวาคาประมาณตางจาก h ไมเกิน 5 เซนติเมตร ดวยความนาจะเปนอยางนอย 0.99 2.
[The Chernoff Bound]
คาขอบเชอรนอฟใชเปนคาขอบของความนาจะเปนของเหตุการณเกี ่ยวของกับคาปลายของตัวแปรสุ ม (1) จงแสดงวาอสมการ ta
P(X a) e M X (t)
เปนจริงสําหรับทุก a และทุก t ≥ 0 เมื ่อ M (2) จงแสดงวาอสมการ P(X a) e ta M X (t)
เปนจริงสําหรับทุก a และทุก t ≤ 0
X
(t) E(e tX )
มีคา จํากัดบนชวงเปดที ่บรรจุ t = 0
53
54
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
(3)
จงแสดงวาอสมการ P(X a) e (a )
เปนจริงสําหรับทุก a เมื ่อ (a) Max ta ln M X (t) t0
จงแสดงวา ถา a E(X) แลว (a) 0 (5) จงใชผลจากขอ (3) หาคาขอบของ P(X ≥ a) เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐานและ a > 0 (6) ให X , X ,... เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกับ X จงแสดงวา สําหรับ ทุก a > E(X) จะได (4)
1
2
1 n P X i a e n(a ) n i 1
นั ่นคือ ความนาจะเปนที ่คาเฉลี ่ยตัวอยางมากกวาคาเฉลี ่ยของตัวแปรสุ ม X จํานวนหนึ ่งมีคา ลดลงแบบ เอกซโพเนนเชียล 3.
[Jensen Inequality]
ให f เปนฟงกชันคาจริงที ่หาอนุพันธไดสองครั ้ง กลา ววา f เปนฟ งกชันนูน (Convex Function) ถา อนุพันธทสี ่ อง f (x) มากกวาหรือเทากับ 0 สําหรับทุก x ในโดเมน (1) จงแสดงวาฟงกชันตอไปนี ้เปนฟงกชันนูน f (x) e , g(x) ln x และ h(x) x (2) จงแสดงว า ถา f หาอนุพันธไดสองครั ้งและเป นฟงกชันนูนแล วค าประมาณเทยเลอรอันดับที ่หนึ ่ง เปนคาประมาณที ่ต ํ่ากวาคาจริงของฟงกชัน นั ่นคือ ax
f (a) (x a)f (a) f (x) (3)
จงแสดงวา ถา f มีสมบัตใิ นขอ (2) และถา X เปนตัวแปรสุ ม แลว f E(X) E f (X)
4.
ให p = สัดสวนของผู สูบบุหรี ่ในประชากรขนาดใหญ กลุ มหนึ ่ง ในการประมาณคา p อรุณเี ลือกประชาชน S เปนตัวประมาณคา เมื ่อ S แทนจํานวนผู สูบบุห รี ่ใ นตัวอย าง n คนโดยสุ ม ใชสัดสวนตัวอยาง M n
n
n
n
อรุณเี ลือกตัวอยางขนาด n ที ่เล็กที ่สดุ ซึ ่งอสมการเชบี เชฟรับประกันวา P(| M n
p | )
เมื ่อ และ เปนจํานวนบวกที ่กําหนดลวงหนา จงหาคาของ n ที ่ไดจากการใชอสมการเชบีเชฟในแตละ กรณีตอไปนี ้ (1) คาของ ลดลงครึ ่งหนึ ่งจากคาเดิม
บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ (2) 5.
ความนาจะเปน ลดลงครึ ่งหนึ ่งจากคาเดิม
ให X , X ,... เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [-1, 1] จงแสดงวาลําดับ Y , Y ,... ใน แตละกรณีตอไปนี ้ ลู เขาสู ลิมิตคาหนึ ่ง ในความนาจะเปน และจงหาลิมิตนั ้น 1
2
1
2
Xn
(1) Yn
(3) Yn
X 1 X 2 ... X n
(4) Yn
max{X1 ,..., Xn }
n (2) Yn (X n ) n
6.
พิจารณาลํ าดับของตัวแปรสุ ม สองชุด X , X ,... และ Y , Y , ... ซึ ่งลู เขา สู คา คงตัวในความน าจะเปน ให c เปนคาคงตัวอีกจํานวนหนึ ่ง จงแสดงว า ลําดับของตัวแปรสุ มต อไปนี ้ลู เข าสู ลิ มิตที ่สมนัยกันใน ความนาจะเปน 1
2
1
2
(1) cX n (2) X n
Yn
(3) max{0,X n } (4) | X n | (5) Xn Yn 7.
กลาววา ลําดับ X ของตัวแปรสุ มลู เขาสู คาคงตัว c ในคาเฉลี ่ยของกําลัง สอง (Converge in Mean Square) ถา n
lim E (X c) 2 0 n
(1) (2)
8.
9.
จงแสดงวา ถา X ลู เขาสู cในคาเฉลี ่ยของกําลังสอง แลว X ลู เขาสู cในความนาจะเปน จงยกตัวอยางเพื ่อแสดงวาบทกลับของขอ (1) ไมจริง n
n
กอนเริ ่มตนเลนรูเล็ตตในกาสิโน สมหวังตองการตรวจสอบว าวงลอมีความเอนเอี ยงหรือไม เขาสังเกตการ หมุนวงลอ 100 รอบ ผลลัพธท ี ่เปน ไปไดข องแตละรอบคื อจํา นวนตั ้งแต 1 ถึง 36 เขานับจํานวนรอบที ่ ผลลัพธเปนจํานวนคี ่ ถานับไดมากกวา 55 เขาจะตัดสินวาวงลอไมเที ่ยงตรง สมมุติว าวงลอ เที ่ยงตรง จง ประมาณคาความนาจะเปนที ่สมหวังจะตัดสินใจผิด ระหวางแตละวัน ความนาจะเปนที ่ระบบปฏิบัตกิ ารของคอมพิวเตอรจะลมอยางนอย 1 ครั ้งเทากับ 5% เปนอิสระกันกับวันอื ่นๆ สมศรีผ ดู แู ลระบบตองการทราบวามีความนาจะเปนเทาไรที ่ใน 50 วันถัดไป
55
56
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ระบบปฏิบัติการของคอมพิวเตอรจะไมลมอยางนอย 45 วัน จงหาความนาจะเปนของเหตุการณทสี ่ มศรี สนใจโดยใช (1) การแจกแจงปกติประมาณการแจกแจงทวินาม (2) การแจกแจงปวสซองประมาณการแจกแจงทวินาม 10.
โรงงานแหงหนึ ่งผลิตหุ นยนต X ตัวในวันที ่ n เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมีคา เฉลี ่ย 5 และความแปรปรวน 9 ี ่ ลิตไดทั ้งหมดใน 100 วันนอยกวา 440 ตัว (1) จงประมาณคาความนาจะเปนที ่จาํ นวนหุ นยนตทผ (2) จงหา (คาประมาณ) คามากที ่สุดของ n ซึ ่ง n
n
P X1 ... Xn 200 5n 0.05 (3)
ให N คือวันแรกที ่จาํ นวนหุ นยนตทผี ่ ลิตไดรวมกันมากกวา 1,000 ตัว จงประมาณคาความนาจะเปนที ่
N 200 11.
ให
X1 , Y1 , X2 , Y2 ,...
เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] และให
(X1 ... X16 ) (Y1 ... Y16 )
W
จงหาคาประมาณเชิงตัวเลขของ
16
P | W E(W) | 0.001 12.
การพิสจู นทฤษฎีบทเซนทรัล ลิมิต
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิส ระที ่มีก ารแจกแจงความนาจะเปน เหมือ นกันโดยมีคา เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน เทากัน และมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) ซึ ่งมี คาจํากัด เมื ่อ d t d , ( d เปนจํานวนบวก ) ให 1
2
2
X
Zn (1)
จงแสดงวา
(2)
สมมุตวิ า M
X1 ... X n
n t M Z (t) M X n
n
n
X
(t)
มีอนุกรมเทยเลอรอันดับที ่ 2 รอบ t = 0 ในรูปแบบ
M X (t) a bt ct 2 o(t 2 )
เมื ่อ o(t ) เปนฟงกชันที ่สอดคลองกับ lim 2
t 0
o(t 2 ) t
2
0 จงหาคาของ a, b และ c ในพจนของ 2
บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
57
จงใชผลที ่ไดจากขอ (1) และขอ (2) แสดงวา M (t) ลู เขาสู ฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ ม ปกติมาตรฐาน นั น่ คือ lim M (t) e , สําหรับทุก t หมายเหตุ : ทฤษฎีบทเซนทรัลลิมิตเปนผลจากขอ (3) และความจริงที ่วา ถาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) ลู เขาสู ฟงกชันกอกํ าเนิดโมเมนต M (t) ของตัวแปรสุ ม Z ซึ ่งมีฟ ง กชันการแจกแจงความนาจะ เปนสะสมที ่ตอ เนื ่อง แลวฟงกชันการแจกแจงความน าจะเปนสะสม F ลู เขาสู ฟงกชันการแจกแจงความ นาจะเปนสะสมของ Z ในกรณีขา งบนนี ้ ฟงกชันการแจกแจงความน าจะเปนสะสมของ Z ลู เขาสู ฟง กชัน การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตั วแปรสุ มปกติมาตรฐาน (3)
Zn
t 2 /2
Zn
n
Zn
Z
Zn
n
13.
พิจารณาลําดับของตัวแปรสุ ม 2 ชุดคือ X , X ,... และ Y , Y ,... สมมุติวา X ลู เขา สู a ดวยความนาจะ เปน 1 และ Y ลู เขาสู b ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวา X Y ลู เขา สู a + b ดวยความนาจะเปน 1 และถา Y ไมเทากับ 0 จงแสดงวา X ลู เขาสู a ดวยความนาจะเปน 1 1
2
1
n
2
n
n
n
n
n
14.
b
Yn
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงความน าจะเปนเหมือนกัน ให Y , Y , ... เปน ลําดับของตัวแปรสุ มอิสระอีกชุดหนึ ่งที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกัน สมมุติวา X และ Y มี คาเฉลี ่ยเปนจํานวนจํากัดและ Y ... Y ไมเทากับ 0 จงพิจารณาวาลําดับ 1
2
1
2
i
1
Zn
n
X1 ... X n Y1 ... Yn
ลู เขาดวยความนาจะเปน 1 หรือไม ถาลู เขา จงหาลิมติ 15.
16.
สมมุตวิ า ลําดับ Y , Y , ... ของตัวแปรสุ มลู เขาสู จาํ นวนจริง c ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวาลําดับนี ้ลู เขา สู c ในความนาจะเปนดวย 1
2
พิจารณาลําดับ Y ของตัวแปรสุ มที ่มีคา ไมเปนจํานวนลบและสมมุตวิ า n
E Yn n 1
จงแสดงวา Y ลู เขาสู 0 ดวยความนาจะเปน 1 หมายเหตุ: ผลที ่ไดนี ้ใชเปนวิธแี สดงการลู เขาดวยความนาจะเปน 1 ในการคํานวณคาคาดหวังของ Y n
n
n 1
มักจะใชสตู ร E Yn E(Yn ) n 1 n 1
58
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ขอเท็จจริงที ่คา คาดหวังกับผลบวกของตัวแปรสุ มจํานวนอนันตสลับกันไดในกรณีของตัวแปรสุ มที ่มีคา ไม เปนจํานวนลบนี ้คือทฤษฎีบ ทหลั กมูลของทฤษฎีความนาจะเปนที ่เรี ยกว า ทฤษฎีบทการลู เขาทางเดีย ว ู นทฤษฎีบทนี ้อยู นอกขอบขายของหนังสือเลมนี ้ (Monotone Convergence Theorem) การพิสจ 17.
พิจารณาลําดับของตัวแปรสุ มแบรนลู ลี X และให p n
ความสําเร็จในการลองที ่ n สมมุตวิ า p n 1
n
n
P X n 1 เปนความนาจะเปนของผลลัพธทเี ่ ปน
จงแสดงวาจํานวนผลลัพธทเี ่ ปนความสําเร็จมีคา จํากัด
ดวยความนาจะเปน 1 18. [กฎอยางเขมของจํานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)]
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกัน และสมมุติวา E X จงพิสจ ู นวา ลําดับของคาเฉลี ่ยตัวอยาง M X ... X ลู เขาสู ดวยความนาจะเปน 1 n นั ่นคือ 1
2
4 i
1
n
X1 ... X n 1 n n
P lim
n
ตอนที ่ 2 เฉลยพรอมโจทยปญ หา
หนาวาง
1 1.
ความนาจะเปน
นักศึกษาในหองหนึ ่ง มี 60% เปนนักศึกษาตางชาติ 70% ชอบขนมไทย และ 40% เปนนักศึกษาตางชาติ และชอบขนมไทย สุ มเลือกนักศึกษาคนหนึ ่งจากนักศึกษากลุ มนี ้ จงหาความน าจะเปนที ่จะไดนักศึก ษาที ่ ไมใชนักศึกษาตางชาติและไมไดชอบขนมไทย
เฉลย
ให F และ T แทนเหตุการณที ่เลือกไดนักศึกษาตางชาติและเหตุการณที ่เลือ กไดนักศึกษาที ่ชอบขนมไทย ตามลําดับ จะได P(F) = 0.6, P(T) = 0.7 และ P(F T) = 0.4 ความนาจะเปนที ่เราตองการหาคือ P(FC TC) ซึ ่งคํานวณไดดังนี ้
C
P(F
2.
C
T ) = 1 – P(FT) = 1 – {P(F) + P(T) – P(FT)} = 1 – (0.6 + 0.7 – 0.4) = 0.1
ถวงน้ ําหนักลูกเตาหกหนาลูกหนึ ่งใหหนา คู ทุกหนามีค วามนา จะเป นเปนสองเท าของหนาคี ่ทุกหนา จง สรางแบบจําลองความนาจะเปนของการทอดลู กเตาลูกนี ้หนึ ่งครั ้ง และ จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ ที ่ลูกเตาหงายหนานอยกวา 4
เฉลย
ขั ้นแรก เราจะหาความนาจะเปนของแตละผลลัพธท ี ่เปนไปไดกอ น ให a = P({1}) = P({3}) = P({5}) และ b = P({2}) = P({4}) = P({6}) เนื ่องจาก b = 2a จากสัจพจนขอ 1 และขอ 3 จะได 1 = 3a + 3b = 3a + 6a = 9a ดังนั ้น a = 1/9 และ b = 2/9 และ P({1,2,3})= 4/9 3.
ทอดลูกเตาสี ่หน า ไปเรื ่อ ยๆจนกระทั ่ง ลูก เตา หงายหน า คู เป นครั ้งแรกจึงยุ ติการทอดลู กเตา จงอธิ บาย แซมเปลสเปซของการทดลองนี ้
เฉลย
ผลลัพธของการทดลองนี ้เปนลําดับจํากัดใดๆในรูปแบบ (a1, a2, …, an) เมื ่อ n เปนจํานวนเต็มบวก a1, a2, …, an – 1 เปน 1 หรือ 3 และ an เปน 2 หรือ 4 นอกจากนี ้ยงั มีผ ลลัพธท ี ่เปนไปไดในกรณี ที ่ลูก เตาไม หงายหนาคู เลย ผลลัพธเชนนี ้เปนลํา ดับอนัน ตในรู ปแบบ (a1, a2, …) ซึ ่ง a1, a2, … เปน 1 หรือ 3 แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลัพธสองรูปแบบดังกลาว
62
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
4.
สมมุตวิ า คุณเขารวมการแขงขันหมากรุกรายการพิเศษรายการหนึ ่งซึ ่งคุณตองเลนกับคู แขง 3 คน คนละเกม แตคณุ สามารถเลือกไดวา จะเลนกับใครกอน และทราบดวยวาความนาจะเปนที ่คณุ จะชนะเมื ่อเลนกับแตละ คนเปนเทาใด คุณจะชนะการแข งขันรายการนี ้ถาคุณชนะติดตอกัน 2 เกม คุณตองการหายุทธวิธที ที ่ ําใหคณุ มีความนาจะเปนที ่จะชนะการแข งขันมากที ่สุ ด จงแสดงว าคุ ณมีค วามนาจะเปนมากที ่สุดที ่จะชนะการ แขงขันเมื ่อคุณเลือกเลนกับคู แขงที ่ออนที ่สดุ เปนเกมที ่สอง สวนคู แขงอีกสองคนที ่เหลือ คุณจะเลือกเลนใน ลําดับแบบใดก็ได
เฉลย
ให pi แทนความน าจะเปนที ่คณุ จะชนะคู แขงที ่เลนในเกมที ่ i คุณจะชนะการแขงขันรายการนี ้ถาคุณ ชนะ คู แ ขง คนที ่ส อง (ดวยความนาจะเปน p2) และชนะคู แ ขง อีก อยา งนอ ย 1 คนใน 2 คนที ่เ หลื อ (ดวย ความนาจะเปน p1 + p3 – p1 p3) ดังนั ้นความนาจะเปนที ่คณุ จะชนะการแข งขันรายการนี ้คือ p2(p1 + p3 – p1 p3)
วิธเี ลือกคู แขงตามลํา ดับเชนนี ้ (เลนกับคู แขงที ่อ อนที ่สุด เปนลํ าดั บที ่สอง) เปนยุทธวิธีท ี ่ดีที ่สุด ถาความ นาจะเปนขางตนไมนอยกวาความนาจะเปนที ่สมนัยกับวิธีเลือกลําดับคู แขงอีกสองวิธีทเี ่ หลือ (เลนกับคู แขง ที ่เกงที ่สุดเปนลําดับที ่สอง หรือ เลนกับคู แขงที ่เกงที ่สองเปนลําดับที ่สอง) นั ่นคือ p2(p1 + p3 – p1 p3) ≥ p1(p2 + p 3 – p2 p3) p2(p1 + p3 – p1 p3) ≥ p3(p1 + p 2 – p1 p2)
จะเห็นไดวา อสมการที ่หนึ ่งสมมูลกับ p2 ≥ p1 และอสมการที ่สองสมมูลกับ p2 ≥ p3 n
5.
ผลการแบงของแซมเปลสเปซ S คือเซตของเหตุการณไมเกิดรวมกัน B1, B2, …, Bn ซึ ่ง B (1) จงแสดงวา สําหรับเหตุการณ A ใดๆ i 1
n
P(A B ) จงใชผลจากขอ(1) แสดงวา สําหรับเหตุการณ A, B และ C ใดๆ P(A)
i
i 1
(2)
P(A) P(A B) P(A C) P(A BC C C ) P(A B C)
เฉลย (1)
เนื ่องจาก
n
Bi S i 1
เราจะได
n
A A Bi i 1
และเนื ่องจาก
A Bi , i =1,2,…,n
เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน ดังนั ้น
n P(A) P A Bi P(A Bi ) i1 i1 n
i
S
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
เซตของเหตุการณ B C , B ดังนั ้น โดยอาศัยผลจากขอ(1) จะได C
(2)
C
C,
B C,
และ B
C
C
C
เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ S
P(A) P(A B CC ) P(A BC C) P(A B C) P(A BC CC )
(2.1)
เหตุการณ A B สามารถเขียนในรูปยูเนียนของเหตุการณไมเกิดรวมกันคู หนึ ่งดังนี ้ A B (A B C) (A B CC )
ดังนั ้น P(A B) P(A B C) P(A B C ) ทํานองเดียวกัน P(A B) P(A B C) P(A B C) จากสมการ(2.1)-(2.3) จะไดวา C
(2.2) (2.3)
P(A) P(A B) P(A C) P(A BC C C ) P(A B C) 6.
จงพิสูจนสตู ร P((A BC ) (A C B)) P(A) P(B) 2P(A B)
ซึ ่งใชหาความนาจะเปนที ่เหตุการณ A หรือ B เกิดขึ ้นเพียงเหตุการณเดียวเทานั ้น [ผู อานควรสังเกตวา สูตร นี ้ตา งจากสูตร P(A B) P(A) P(B) P(A B) ซึ ่งใชหาความนาจะเปนที ่จะเกิดเหตุการณ A หรือ B อยางนอย 1 เหตูการณ] เฉลย
เนื ่อ งจาก จะไดวา
A BC
และ A
C
B
P((A BC ) (A C
เปนเหตุการณไมเกิดร วมกัน อาศัยสัจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน
B))
P(A BC ) P(A C B)
และเนื ่องจาก P(A B ) P(A) P(A B) และ P(A B) P(B) P(A B) ดังนั ้น P((A B ) (A B)) P(A) P(B) 2P(A B) C
C
7.
C
C
[Bonferroni’s Inequality]
(1)
สําหรับสองเหตุการณ A และ B ใดๆ จงพิสจู นวา P(A B) P(A) P(B) 1
(2)
ในกรณีทั ่วไป สําหรับ n เหตุการณ A1, A2, …, An ใดๆ จงพิสจู นวา P(A1 A 2 ... An ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) (n 1)
เฉลย
เนื ่องจาก P(A B) P(A) P(B) P(A B) และ P(A B) 1 ดังนั ้น P(A) P(B) P(A B) 1 และจะได P(A B) P(A) P(B) 1 (1)
63
64
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา (2)
ใชกฎของเดอมอรแกน จะไดวา 1 P(A1 A 2 ... A n ) P (A1 A 2 ... A n ) C
P A1C A2C ... AnC
P A1C P A2C ... P AnC
ดังนั ้น 8.
1 P(A1 ) 1 P(A 2 ) ... 1 P(A n ) n P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) P(A1 A 2 ... An ) P(A1 ) P(A 2 ) ... P(A n ) (n 1)
สมบัต คิ วามตอเนื ่องของความนาจะเปน] (1) ให A1, A2, … เปนลําดับอนันตของเหตุการณซ ึ ่ง เพิ ่มขึ ้นทางเดี ยว (Monotonically Increasing) หมายความวา A A สําหรับทุก n ให A A จงแสดงวา P(A) lim P(A ) (2) ให A1, A2, … เปนลําดับอนันตของเหตุการณซงึ ่ ลดลงทางเดียว(Monotonically Decreasing) P(A ) หมายความวา A A สําหรับทุก n ให A A จงแสดงวา P(A) lim ี ซมเปลสเปซเป นเซตของจํานวนจริง จงพิสจู นวา (3) พิจารณาแบบจําลองความนาจะเป นที ่มแ P [0, ) lim P [0, n] และ lim P [n, ) 0 [
n
n 1
n 1
n
n 1
n
n 1
n
n
n
n
n
n
n
เฉลย (1)
ให B1 = A1 และ B B A และ B
n
n
k 1
k
n
k 1
P(A)
k
A n ACn 1 สําหรับ n ≥ 2
เหตุการณ B , n 1, 2,... ไมเกิดรวมกัน จะได A อาศัยสัจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน จะได
n
ให
Cn
ACn และ
n
P(B ) lim P(B ) lim P( B ) lim P(A ) k
k 1
(2)
n
C AC
n
k
k 1
เนื ่อ งจาก
n
k 1
A n 1 A n
k
เราจะได
n
Cn
n
Cn 1 นั ่น คือ
Cn
เปนลําดับของ
C
เหตุการณทเี ่ พิ ่มขึ ้นทางเดียว และ C A n1 A n n1 ACn n1 Cn ใชผลจากขอ (1)กับ Cn จะได C 1 P(A) P(A ) P(C) lim P(Cn ) lim 1 P(An ) C
n
ดังนั ้น P(A) lim P(A ) สําหรับสมการแรก ใชผลจากขอ (1) โดยให A จากขอ (2) โดยให A [n, ) และ A A n
n
(3)
n
n
n 1
n
[0, n]
n
และ A [0, ) สําหรับสมการที ่สอง ใชผล
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน 9.
(1) (2) (3) (4)
ทอดลูกเตาเที ่ยงตรง (หกหนา) สองลูก มีผลลัพธทเี ่ ปนไปไดทั ้งหมด 36 ผลลัพธ แตละผลลัพธมีโอกาส เกิดขึ ้นเทากัน จงหาความนาจะเปนที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกันทั ้งสองลูก สมมุตวิ า แตมรวมของลูกเตาไมเกิน 4 จงหาความนาจะเปนที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกันทั ้งสองลูก จงหาความนาจะเปนที ่ลูกเตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6 สมมุตวิ า ลูกเตาหงายหนาตางกัน จงหาความนาจะเปนที ่ลกู เตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6
เฉลย
แตละผลลัพธที ่เปนไปไดมีความนาจะเปน
(1)
1 36
มี 6 ผลลัพธที ่ลูก เตาหงายหนาเดี ยวกันทั ้งสองลู ก ดัง นั ้น
ความนาจะเปนที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกันทั ้งสองลูกเทากับ
6 36
1 6
เหตุการณทเี ่ ปนเงื ่อนไข (แตมรวมไมเกิน 4) ประกอบดวยผลลัพธ 6 ผลลัพธ
(2)
{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(2,2), (3,1)}
มีอยู 2 ผลลัพธที ่ลูกเตาหงายหนาเดียวกัน ดังนั ้น ความนาจะเปนมีเงื ่อนไขที ่ลูก เตาหงายหนาเดี ยวกันทั ้ง สองลูกเทากับ 2 1 6 3 มี 11 ผลลัพธที ่ลูกเตาอยางนอย 1 ลูกหงายหนา 6 ไดแก (6,6), (i,6) และ (6, i) เมื ่อ i = 1, 2, …, 5 ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่ลูกเตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6 เทากับ 11 36 มี 30 ผลลัพธที ่ลูกเตาหงายหนาตางกัน ในจํานวนนี ้มีอยู 10 ผลลัพธที ่ลกู เตาอยางนอยหนึ ่งลูกหงายหนา 6 ดังนั ้น ความนาจะเปนมีเงื ่อนไขที ่ตองการหาคือ 10 1
(3)
(4)
30
10.
3
โยนเหรียญอันหนึ ่งสองครั ้ง อลิสกลาววาความนาจะเปนที ่เหรีย ญหงายหัวทั ้งสองครั ้งถาทราบวา เหรีย ญ หงายหัวครั ้งแรก มากกวา ถาทราบว าเหรียญหงายหัวอยางนอยหนึ ่งครั ้ง อลิสกลาวถูกตองหรือไม กรณีท ี ่ เหรียญเที ่ยงตรงกับกรณีที ่เหรียญไมเที ่ยงตรงผลสรุปตางกันหรือไม
เฉลย
ให A แทนเหตุการณที ่เหรียญหงายหัวครั ้งแรกและ B แทนเหตุการณที ่เหรียญหงายหัวครั ้งที ่สอง เราตอง เปรียบเทียบความนาจะเปนมีเงื ่อนไข P(A B | A) กับ P(A B | A B)
P(A B | A)
P (A B) A
P(A B | A B)
P(A)
P(A B) P(A)
P (A B) (A B) P(A B)
P(A B) P(A B)
65
66
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เนื ่อ งจาก P(A B) P(A) ความนาจะเปนแรกขางบนมีคาไมนอยกวาความนาจะเปนที ่ส องไมว า เหรียญที ่ใชจะเที ่ยงตรงหรือไมเที ่ยงตรง ดังนั ้นคํากลาวของอลิสถูกตอง ในกรณีที ่เหรี ยญเที ่ยงตรง นั ่น คือ ผลลัพธที ่เปนไปไดทั ้งสี ่ HH, HT, TH, TT มีความเปนไปไดเทากัน เราจะได P(A B) 1/ 4 1 P(A B) 1/ 4 1 และ P(A)
11.
1/ 2
2
P(A B)
3/ 4
3
มีเหรียญ 3 อัน อันแรกเปนเหรียญที ่มหี ัวสองดาน อันที ่สองเปนเหรียญที ่มีกอ ยสองดาน และอันที ่สามเปน เหรียญปกติทมี ่ หี ัวและกอยอยางละดาน ถาเราสุ มหยิบเหรียญอันหนึ ่งแลวคว่ ําเหรียญที ่หยิบไดนั ้น ปรากฏ วาดานที ่หงายใหเห็นเปนหัว จงหาความนาจะเปนที ่ดานตรงขามเปนกอย
เฉลย
สําหรับโจทยปญ หาขอนี ้ มีแนวโนมที ่จะใหเหตุผ ลวา เนื ่องจากดานตรงขา มของเหรีย ญอาจเป นหัวหรือ กอย ดังนั ้นความนาจะเปนของเหตุการณท ี ่สนใจคื อ 1 ซึ ่งไมถูกตอง เพราะวา เมื ่อกํ าหนดใหวาเหรียญ 2 หงายดานหัว เหรียญที ่สมุ หยิบไดมีความเปนไปไดทจี ่ ะเปนเหรียญที ่มีหัวสองดานมากกวาเหรียญอื ่น วิธใี ห เหตุผลที ่ถูกตองคือตองหาความนาจะเปนมีเงื ่อนไข ให AHH, ATT, และ AHT แทนเหตุการณที ่สมุ หยิบไดเหรียญที ่มีหัวสองดา น เหรียญที ่มีกอยสองดาน และ เหรียญปกติท ี ่มีหัวและกอ ยอยางละด านตามลํา ดับ และเมื ่อคว่ ํา เหรี ยญที ่สุ มหยิบได ให H แทน เหตุการณทเี ่ หรียญหงายดานหัว ความนาจะเปนที ่ดา นที ่คว่ ําเปนหัว (หยิบไดเหรียญที ่มหี ัวสองดาน) เมื ่อ เหรียญหงายดานหัว เทากับ P(A HH | H)
P(A HH H) P(H)
1/ 3 1/ 2
2 3
ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่ดานที ่คว่ ําเปนกอย(หยิบไดเหรียญที ่มีหัวและกอยอยางละดาน) เมื ่อ เหรียญหงาย ดานหัว เทากับ P(A HT | H) 1 P(A HH | H) 1 12.
2 3
1 3
สินคาล็อตหนึ ่งมี 100 ชิ ้น สุ มตัวอยางสินคามาตรวจสอบคุณภาพ 4 ชิ ้น ถาพบสินคาชํารุดในตัวอยาง จะ ปฏิเสธไมรับล็อต สมมุติ วาในล็อตมีสินคาชํารุดทั ้งหมด 5 ชิ ้น จงหาความนา จะเป นที ่จะยอมรับสิ นคา ล็อตดังกลาวนี ้
เฉลย
ให A แทนเหตุการณที ่ยอมรับสิ นคาล็อตดังกลาวนี ้ จะไดว า A = A1A2A3A4 เมื ่อ Ai (i = 1,2,3,4) แทนเหตุการณท ี ่สินคาชิ ้นที ่ i ในตัวอยางไมชํารุด ใชกฎการคูณของความนาจะเปนคํานวณ ความนาจะเปนของ A ได
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน P(A) P(A1 A 2 A3 A 4 )
13.
P(A1 )P(A 2 | A1 )P(A 3 | A1 A 2 )P(A 4 | A1 A2 95
94 93 92
100 99 98 97
A3 )
0.812
ให A และ B เปนเหตุการณใดๆ จงพิสจู นวา P(A
B | B) P(A | B)
ถา P(B)
0
เฉลย
ใชบทนิยามของความนาจะเปนมีเงื ่อนไข จะได P(A B | B)
P (A B) B P(B)
P(A B) P(B)
P(A | B)
สมศรีคนหารายงานในตู เก็ บเอกสารซึ ่งมี ลิ ้นชักหลายอัน สมศรีท ราบวา รายงานอยู ในลิ ้นชัก j ดวย ความนาจะเปน p j > 0 แตละลิ ้นชักรกมาก แมนวาสมศรีเดาถูกวารายงานอยู ในลิ ้นชัก i ความนาจะเปนที ่ สมศรีจะคนพบรายงานเทากับ di เทานั ้น สมศรีคน หารายงานในลิ ้นชักหนึ ่ง สมมุติเปนลิ ้นชัก i แตไมพบ
14.
รายงาน ภายใตเงื ่อนไขนี ้ จงแสดงวาความนาจะเปนที ่รายงานของสมศรี อยู ในลิ ้นชัก j เทากับ j i
และเทากับ p (1 i
di )
1 pi d i
p j 1 pi d i
ถา
ถา j = i
เฉลย
ให A แทนเหตุการณทสี ่ มศรีไมพบรายงานในลิ ้นชัก i เนื ่องจากรายงานอยู ใ นลิ ้นชัก i ดวยความนาจะเปน pi และความน า จะเป น ที ่จ ะหารายงานพบเท า กับ di อาศั ย กฎการคู ณ ของความน า จะเป น จะได P(A ) p d ดังนั ้น P(A) 1 p d ให B แทนเหตุการณ ที ่รายงานอยู ในลิ ้นชัก j ถา j i จะไดวา A B B , P(A B) P(B) และจะได C
i
i
P(B|A)
i
i
P(A B) P(A)
P(B) P(A)
p j 1 pi d i
ทํานองเดียวกัน ถา j = i จะไดวา P(B| A)
15.
P(A B) P(A)
P(B)P(A | B) pi (1 d i ) P(A)
1 pidi
ผู เลนสองคนผลัดกันสุ มหยิบลูกบอลออกจากกลองซึ ่งในตอนเริ ่มตนมีลกู บอลสีขาว m ลูกและลูกบอลสีดาํ n ลูก ผู เลนคนแรกที ่หยิบไดลูกบอลสี ขาวเป นผู ชนะ จงสรางสูตรเวียนซ้ ําที ่ใชคํ านวณความนาจะเปนที ่ผ ู เลนที ่เลนกอนเปนผู ชนะ
67
68
ความนาจะเป าจะเปน : ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญหา
เฉลย
ให p(m,k) าจะเปนที ่ ่ นทีผูผ เลเู ลนที ่ ่ นทีเริ ่ ่เริมเล มเลนก นกอนจะชนะเมื ่ ่ อนจะชนะเมือตอนเริ ่ ่ อตอนเริมต มตนในกล นในกลองมี องมีลูลกบอลสี ูกบอลสีขาว ขาว m ลูก p(m,k) แทนความน าจะเป และสีดํดาํ k ลูก อาศัยทฤษฎี ยทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะได p(m, k)
m mk
k mk
1 p(m, k 1) 1
k mk
p(m, k 1)
ความนาจะเปน p(m, 1), p(m, 2), … , p(m, n) เริ ่มตน จาก จา ก n ) สามารถคํานวณตามลําดับโดยใชสูตรนี ้ ้ เริ ่ เงื ่ ่เงือนไขเริ ่ ่ อนไขเริมต มตน p(m, 0) = 1 16.
มีกล กลอง อง k ใบ แตละใบมี ละใบมีลูลูกบอลสี กบอลสีขาว ขาว m ลูกและสี กและสีดํดาํ n ลูก สุ สุ มหยิ หย ิบลูก บอล 1 ลูกจากกลองที ่ ่ งที 1 ใสลงใน กลองที ่ ่ องที 2 แลวสุ วสุมหยิ มหยิบลู บลูกบอล กบอล 1 ลูกจากกล กจากกลองที ่ ่ องที 2 ใสลงในกล ลงในกลองที ่ ่ องที 3 เรื ่ ่เรือยไปจนสุ อยไปจนสุดท ดทายสุ ายสุมหยิ มหยิบลู บลูกบอล กบอล 1 ลูกจากกล กจากกลองที ่ ่ องที k จงแสดงวา ความนาจะเป าจะเปนที ่ ่ นทีหยิ หยิบได บไดลูลกบอลลู ูกบอลลูกสุ กสุดท ดทายเป ายเปนสี นสีขาวเท ขาวเทากั ากับความน บความนาจะเป าจะเปนที ่ ่ นที หยิบได บไดลูลกบอลลู ูกบอลลูกแรกจะเป กแรกจะเปนสี นสีขาว ขาว คือ m mn
เฉลย
เราสรางสู างสูตรเวี ตรเวียนซ้ ยนซ้ ําสํ าสําหรั าหรับหาความน บหาความนาจะเป าจะเปน pi ของเหตุการณ การณที ่ ่ทหยิ หี ยิบได บไดลูลกบอลสี ูกบอลสีขาวจากกล ขาวจากกลองที ่ ่ องที i อาศัย ทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะได p i
1
m 1 m n 1
เริ ่ ่เริมจากเงื ่ ่ มจากเงือนไขเริ ่ ่ อนไขเริมต มตน p
1
p 2
1
pi
m m n 1
m mn m
m n 1 m n
(1 pi )
17.
m mn
m n 1
pi
m m n 1
จะไดววา
m m n 1
m m n
ในกรณีท ่ ั ว่ ไป การคํ กา รคํ า นวณ นว ณ ขา งบนนี งบ นนี ้ ้แ สดงว สด งว า ถ า p p i
1
i 1
m mn
จะได p
i
m mn
ดังนั ้ ้น เรา เร า จะไ จะ ไ ด
สําหรั าหรับทุ บทุก i
มีกล กลอง อง 2ใบ ในตอนเริ ่ ่ ในตอนเริมต มตนกล นกลองแต องแตละใบมี ละใบมีลูลูกบอลจํ กบอลจํานวนเท านวนเทากั ากัน สุ สุมหยิ มหยิบลู บลูกบอล กบอล 1 ลูกจากกล กจากกลองแต องแตละใบ ละใบ พรอมกั อมกันแล นแลวใส วใสกลั กลับไปไว บไปไวในกล ในกลองอี องอีกใบหนึ ่ ่ กใบหนึงสลั งสลับกั บกัน ดําเนิ าเนินการเช นการเชนนี ้ ้ นนี 4 ครั ้ ้ ครัง เมื ่ ่ เมือสิ ้ ้ อสินสุ นสุดการดํ ดการดําเนิ าเนินการ นการ จงหาความน าจะเป าจะเปนที ่ ่ นทีลูลกบอลทั กู บอลทั ้ ้งหมดอยู งหมดอยูในกล ในกลองเดิ องเดิมเหมื มเหมือนตอนเริ ่ ่ อนตอนเริมต มตน
เฉลย
ให pi,n – าจะเปนที ่ ่ นทีหลั หลังจากการแลกลู งจากการแลกลูกบอล k ครั ้ ครั ้ง กลอ งใบหนึ งใ บหนึ ่ ง่ มี ลูลกู บอลซึ บ อลซึ ่ ่งมี อยู อยู เดิม i i,n – ii(k) แทนความน าจะเป ลูกและมี กและมีลูลูกบอลซึ ่ ่ กบอลซึงเดิ งเดิมอยู มอยูในอี ในอีกกล กกลองหนึ ่ ่ องหนึง n – i ลูก เราตองหา องหา pn,0(4) อาศัยทฤษฎี ยทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะได
เฉลยโจทยปปญหา ญ หา บทที ่ ่ บทที 1 ความนาจะเป าจะเปน
p n ,0 (4)
1 1
p n 1,1 (3)
n n
p n 1,1 (3) pn ,0 (2) 2 p n ,0 (2)
n 1 1 n
2 2
pn 1,1 (2) p n 2, 2 (2) n
n n
1 1
p n 1,1 (1) n n n 1 1 p n 1,1 (2) 2 pn 1,1 (1) n n n 1 n 1 p n 1,1 (1) pn 2, 2 (2) n n pn 1,1 (1) 1
รวมสมการเหลานี ้ ้ านี จะได p n,0 (4)
18.
1 1
n2 n2
4(n 1) 2 n4
4( n 1) 2 n4
1 1
2 2 n n
8( n 1) 2 n4
สมมุติตววิ าคุ า คุณได ณไดรัรับซอง บซอง 2 ซอง คุณทราบว ณทราบวาภายในแต าภายในแตละซองมี ละซองมีเงิเงินเป นเปนจํ นจํานวนเต็ านวนเต็มบาทและไม มบาทและไมเท เทากั ากัน แตคุคณุ ไมทราบว ทราบวาว าวาแต าแตละซองมี ละซองมีเงิเงินจํ นจํานวนเท านวนเทาใด าใด ใหคุคุณสุ ณสุมเลื มเลือกซอง อกซอง 1 ซอง หลังจากคุ งจากคุณดู ณดูววาในซองมี า ในซองมีเงิเงินเท นเทาใด าใด คุณอาจเปลี ่ ณอาจเปลี ่ยนไปเลื น ไปเลือ กอี กซองหนึ กซอ งหนึ ่ ่งก็ ได ได เพื ่ เพื ่อนของคุ นข องคุ ณคนหนึ ณคน หนึ ่ ่งแนะนํ แ นะนํา วา ยุทธวิ ธีธตี อ ไปนี ้ ไปนี ้จะชวยให ยใ หคุณ มี โอกาสเกิ น 1 ที ่ ่ทีจะเลื จะเลือกได อกไดซองที ่ ่ ซองทีมีมเงิีเงินมากกว นมากกวา : ใหคุคุณโยนเหรี ณโยนเหรียญซ้ ยญซ้ ําๆ าๆ ให X เทากั ากับ 1 บวกจํานวนครั านวนครั ้ ้งที ่ ่ งที 2 2 โยนเหรียญจนกระทั ยญจนกระทั งเหรี ง่ ่ เหรียญหงายด ยญหงายดานหั านหัวเป วเปนครั ้ ้ นครังแรก งแรก และใหเปลี ่ ่ เปลียนซองถ ยนซองถาจํ าจํานวนเงิ านวนเงินในซองแรกที ่ ่ นในซองแรกที เลืเลือก อก นอยกว อยกวาค าคาของ าของ X ยุทธวิ ทธวิธีธของเพื ่ ่ ขี องเพือนของคุ อนของคุณถู ณถูกต กตองหรื องหรือไม อไม
เฉลย
ให M และ m แทนจํานวนเงิ านวนเงินที ่ ่ นทีมากกว มากกวาและจํ าและจํานวนเงิ านวนเงินที ่ ่ นทีนนอยกว อยกวาซึ ่ ่ าซึงอยู งอยูในแต ในแตละซองตามลํ ละซองตามลํ าดั าดับ พิจารณา จารณา เหตุการณ การณ 3 เหตุการณ การณ และ C = {X > M} A={X < m}, m}, B = {m < X < M} ให AM (หรือ BM หรือ CM) แทนเหตุการณ การณที ่ ่ที A (หรือ B หรือ C ตามลําดั าดับ) เกิดขึ ้ขึ ้นและคุ ณเลื ณเลื อกได อก ไดซอง อง ที ่ที ่มีเงิน จํา นวน M ให Am (หรือ Bm หรือ Cm) แทนเหตุการณท ี ่ ่ A (หรือ B หรือ C ตามลําดับ ) เกิดขึ ้ขึ ้น และคุณเลื ณเลือกได อกไดซองที ่ ่ ซองทีมีมเงิีเงินจํ นจํานวน านวน m พิจารณาเหตุ จารณาเหตุการณ การณ ดทายคุ ายคุณได ณไดซองที ่ ่ ซองทีมีมเงิีเงินจํ นจํานวน านวน M} W = {สุดท เราจะหา P(W) และตรวจสอบว ามากกว ามากกวา 1 หรือไม อไม 2 อาศัยทฤษฎี ยทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะได P( W | A )
1 2
P( W | A M ) P( W | A m )
1 2
(1 0)
1 2
69
70
ความนาจะเป าจะเปน : ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญหา
P ( W | B) P ( W | C)
1 2 1 2
P( W | B M ) P( W | B m ) P( W | C M ) P( W | C m )
1 2 1 2
(1 1) 1 (0 1)
ใชความสั ความสัมพั มพันธ นธเหล เหลานี ้ ้ านีและทฤษฎี และทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะได
1 2
P ( W ) P (A )P ( W | A) A ) P (B) P ( W | B) P (C)P ( W | C) C)
1 2 1 2
P(A) P(B) P(C)
1 2
1 2
P(B)
P(B)
เนื ่ ่ เนืองจาก องจาก P(B) > 0 จะไดววา P(W) > 1 ดังนั ้ ้ งนัน ยุทธวิ ทธวิธีธที ่ ่ที ีเพื ่ ่ เพือนของคุ อนของคุณแนะนํ ณแนะนําถู าถูกต กตอง อง 2
19.
อลิสกั สกับบี บบีมมี มมีเหรี เหรียญ ยญ 2n + 1 อัน เมื ่ ่ เมือโยนเหรี อโยนเหรียญ ยญ เหรียญแต ยญแตละอั ละอันมี นมีความน ความนาจะเป าจะเปน 1 ที ่ ่ทีจะหงายด จะหงายดานหั านหัว บีม 2
โยนเหรียญ ยญ n + 1 อัน อลิสโยนเหรี สโยนเหรียญ ยญ n อัน สมมุติตววิ าการโยนเหรี าการโยนเหรียญแตละอันเปนอิสระกัน จงแสดงวา เมื ่ ่ เมือโยนเหรี อโยนเหรียญครบทุ ยญครบทุกอั กอันแล นแลว ความนาจะเป าจะเปนที ่ ่ นทีบีบมจะโยนเหรี มี จะโยนเหรียญได ยญไดหัหัวมากกว วมากกวาอลิ าอลิสเท สเทากั ากับ 1 2
เฉลย เนืองจากบี องจากบีมโยนเหรี มโยนเหรียญมากกว ยญมากกวาอลิ าอลิส 1 อัน เปนไปไม นไปไมได ไดที ่ ่ททั ้ ้ที ังสองคนจะโยนเหรี งสองคนจะโยนเหรียญได ยญไดหัหัวจํ วจํานวนเท านวนเทากั ากัน วิธีธีที ่ ่ที 1 เนื ่ ่ และไดกกอยจํ อ ยจํานวนเท านวนเทากั ากัน ดังนั ้ ้น บีมโยนเหรี โยน เหรียญได ญ ไดหัวจํ านวนมาก านว นมากกว กวา อลิส หรือ ไดกอ ยจํา นวนมาก นวน มากกว กว า อลิส (แตไม ไมใช ใชทั ้ ้ทังสองอย งสองอยาง) าง) เนื ่ ่ เนืองจากเหรี องจากเหรียญมี ยญมีความเที ่ ่ ความเทียงตรง ยงตรง ดังนั ้ ้ งนันเหตุ นเหตุการณ การณทั ้ ้ทังสองต งสองตางมี างมีความน ความนาจะเป าจะเปน 1 2
วิธีธีที ่ ่ที 2 ให B แทนเหตุการณ การณที ่ ่ทีบีบีมโยนเหรี มโยนเหรียญได ยญไดหัหัวจํ วจํานวนมากกว านวนมากกวาอลิ าอลิส ให X แทนเหตุการณ การณซึ ่ ่ซงหลั งึ หลังจากแต งจากแตละ ละ คนโยนเหรียญของตน n อัน บีมโยนเหรียญไดหัวจํ ั วจํานวนมากกวาอลิส ให Y แทนเหตุการณภายใต เงื ่ ่เงือนไขเดี อนไขเดียวกั ยวกันที ่ ่ นทีอลิ อลิสโยนเหรี สโยนเหรียญได ยญไดหัหัวจํ วจํานวนมากกว านวนมากกวาบีบีม และให แ ละให Z แทนเหตุการณท ่ ี บ่ ีมและอ แ ละอลิลิสโยน โ ยน เหรียญได ยญไดหัหัวจํ วจํานวนเท านวนเทากั ากัน เนื ่ ่ เนืองจากแต องจากแตละเหรี ละเหรียญมี ยญมีความเที ่ ่ ความเทียงตรง ยงตรง เราจะได P(X) = P(Y) และ P(Z) = 1 – P(X) – P(Y) นอกจากนี ้ ้ นอกจากนี จะเห็นได นไดววา 1 P(B|X) = 1, P(B|Y) = 0 และ P(B|Z) = 2
อาศัยทฤษฎี ยทฤษฎีบทความน บทความนาจะเป าจะเปนรวม นรวม จะไดววา P (B) P ( X) P (B | X ) P (Y ) P( B | Y ) P ( Z)P ( B | Z)
P( X)
1 2
P( Z)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
1 2 1
P(X) P(Y) P(Z)
2
ทฤษฎีบทความนาจะเปนรวมสําหรั บความนาจะเปนมีเงื ่อนไข] ให {C , ..., C } เปนผลการแบงของแซมเปลสเปซ ให A และ B เปนเหตุการณซึ ่ง P(B C ) 0 สําหรับทุก i จงแสดงวา
20. [
1
n
i
n
P(A | B) P(C i | B)P(A | B C i ) i 1
เฉลย
อาศัยทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม จะได n
P(A B) P (A B) Ci i 1
ใชกฎการคูณของความนาจะเปน จะได P (A B) Ci P(B)P(Ci | B)P(A | B Ci )
รวมสมการทั ้งสองขางบน แลวหารดวย B และใชสูตร P(A|B) P(A B) จะได P(B)
n
P(A | B) P(C i | B)P(A | B C i ) i 1
21.
ให A และ B เปนเหตุการณซึ ่ง P(A) > 0 และ P(B) > 0 กลาววาเหตุการณ B เพิ ่มความเปนไปไดของ เหตุการณ A ถา P(A|B) > P(A) และกลาววาเหตุการณ B ลดความเปนไปไดของเหตุการณ A ถา P(A|B) < P(A)
จงแสดงวา B เพิ ่มความเปนไปไดของ A ก็ตอเมื ่อ A เพิ ่มความเปนไปไดของ B (2) สมมุติวา P(BC) > 0 จงแสดงวา B เพิ ่มความเปนไปไดของ A ก็ต อเมื ่อ BC ลดความเป นไปไดของ A (3) เราทราบว าสมบัติถูกซอนไวในสถานที ่แหงใดแหงหนึ ่งในสองแหง ดวยความน าจะเปน และ 1 ตามลําดับ ในเมื ่อ 0 1 เราคนหาสมบัตใิ นสถานที ่หนึ ่ง และถาสมบัติอยู ในสถานที ่นั ้น ความนาจะ เปนที ่จะพบสมบัติเทากับ p > 0 จงแสดงวาเหตุการณที ่เราไมพบสมบัติในสถานที ่แหงแรกที ่เราคนหาเพิ ่ม ความเปนไปไดวาสมบัตอิ ยู ในสถานที ่แหงที ่สอง เฉลย (1) เนื ่องจาก (1)
P(A|B)
P(A B) P(B)
ดังนั ้น B เพิ ่มความเปนไปไดของ A ก็ตอเมื ่อ
71
72
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา P(A B) P(A)P(B)
ซึ ่งสมมูลกับ A เพิ ่มความเปนไปไดของ B โดยกฎแหงความสมมาตร C (2) เนื ่องจาก P(B) + P(B ) = 1 จะไดวา P(B)P(A) + P(B C)P(A) = P(A) = P(B)P(A|B) + P(B C )P(A|BC)
P(BC ) P(A) P(A | BC ) P(B) P(A | B) P(A)
ดังนั ้น P(A|B) > P(A) (B เพิ ่มความเปนไปไดของ A) ก็ตอเมื ่อ P(A) > P(A|BC) (BC ลดความเปนไป ไดของ A) (3) ให A และ B แทนเหตุการณ A = {สมบัติอยู ในสถานที ่แหงที ่สอง} B = { หาสมบัติในสถานที ่แหงแรกไมพบ} ใชทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม จะได C
C
P(B) = P(A )P(B|A ) + P(A)P(B|A) = (1 – p) + (1 – )
ดังนั ้น P(A | B)
P(A B) P(B)
1 (1 p) (1 )
1 1 p
1 P(A)
แสดงวา เหตุการณ B เพิ ่มความเปนไปไดของเหตุการณ A 22.
พรานคนหนึ ่งมีสุนัขลาเนื ้อ 2 ตัว วันหนึ ่ง ในการแกะรอยสัตวท ี ต่ องการลาตัวหนึ ่ง เมื ่อมาถึงทางเดินซึ ่ง แยกออกเปนสองทาง เขาทราบวาการตัดสิ นใจเลือกเสนทางการติดตามของสุนัขแตละตัวเปนอิสระกัน และมีความนาจะเปน p ที ่จะเลือกถูกทาง พรานตัดสินใจใหสนุ ัขแตละตัวเลือกเสนทางการติดตาม ถาสุนัข ตัดสินใจตรงกัน ก็จะเลือกไปทางนั ้น ถา สุนัขตัด สินใจไม ตรงกัน จะเลื อกเสน ทางการติ ดตามโดยสุ ม ยุทธวิธที พี ่ รานคนนี ้ใชดกี วาวิธใี หสนุ ัขตัวหนึ ่ง (ในสองตัว) ตัดสินใจเสนทางการติ ดตามหรือไม
เฉลย
พิจารณาแซมเป ลสเปซสําหรับยุทธวิธีของพราน เหตุการณทนี ่ าํ ไปสู เสนทางการติดตามที ่ถูกตองไดแก (1) สุนัขทั ้งสองตัวเลือกเสนทางการติ ดตามเดียวกันและเป นเสนทางที ่ถูกตองดวย (ความน าจะเปน = p2) (2) สุนัขตัดสินใจเลือกเสนทางการติดตามไมตรงกัน สุนัขตัวที ่หนึ ่งเลื อกเสนทางที ่ถูก ตองและพราน เลือกเสนทางตามสุนัขตัวที ่หนึ ่ง (ความนาจะเปน = p(1 p) ) 2
สุนัขตัดสินใจเลือกเสนทางการติ ดตามไมตรงกัน สุนัขตัวที ่สองเลือกเสนทางที ่ถูกตองและพรานเลือก เสนทางตามสุนัขตัวที ่สอง (ความนาจะเปน = p(1 p) ) (3)
2
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
เหตุการณท ั้งสามข างตนเปนเหตุ การณไ มเ กิด รว มกัน บวกความน า จะเป นเหล า นี ้เขา ดวยกัน จะได ความนาจะเปนที ่พรานใชยทุ ธวิธขี องเขาเลือกเสนทางที ่ถูกตอง p(1 p) p(1 p) p 2 2 2
p
อีกทางเลือกหนึ ่ง ถา พรานให สุนัข ตัวหนึ ่งเลือ กเสน ทางการติ ดตาม สุนัข ที ่ไ ดรับมอบหมายใหเลื อก เสนทางสามารถเลือกเสนทางที ่ถูกตองดวยความนาจะเปน p เชนกัน ดังนั ้น ยุทธวิธีทั ้งสองมีประสิทธิภาพ เทากัน 23.
วชิระมีพี ่นองเพียงคนเดียว จงหาความนาจะเปนที ่พนี ่ องของวชิระเปนชาย สมมุตวิ า ทารกเกิดเปนชายหรือ หญิงดวยความนาจะเปนเทากัน และเปนอิสระกัน ในการตอบคําถาม ใหระบุขอสมมุติเพิ ม่ เติมตามความ จําเปนใหชัดเจน
เฉลย
คําตอบของปญหาขอนี ้เปนไปไดหลายอยางขึ ้นอยู กับขอสมมุตเิ กี ่ยวกับการวางแผนมี บุตรของพอแมของ วชิระ ถาพอแมของวชิระตัดสินใจที ่จะมีบุตรเพียงสองคนเทานั ้น ผลลัพธที ่เปนไปไดมี 4 ผลลัพธและมี ความนาจะเปนเทากัน คือ BB, GG, BG และ GB (เมื ่อ B แทน บุตรชาย และ G แทนบุตรหญิง ) ถา กําหนดให พอแมของวชิระมีบุ ตรชายอยางนอย 1 คน (วชิระ) ผลลัพธ GG เปนไปไมได เหลือเพียง 3 ผลลัพธที ่เปนไปได คือ BB, BG และ GB ซึ ่งมีความเปนไปไดเทากัน ความนาจะเปนที ่พี ่นองของวชิระ เปนชาย (ความนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ BB) เทากับ 1 3
ตรงกันขาม สมมุติวาพอแมของวชิระตัดสินใจที ่จะมีบุตรไปเรื ่อยๆจนกระทั ่งมีบุ ตรชายเปนคนแรก ใน กรณีนี ้ วชิระคือบุตรคนที ่สองและพี ่ของวชิระเปนหญิงแนนอน (ความนาจะเปน =1) 24.
อลิสกับบีมตองการเลือกระหวางดูคอนเสิรตและดูภาพยนตร โดยวิธีโยนเหรียญเที ่ยงตรงอันหนึ ่ง แต เหรียญที ่มีอยู เปนเหรียญที ่เอนเอียง (ไมทราบวามีความเอนเอียงเทาใด) มีวิธใี ดหรือไมที ่เขาจะใชเหรีย ญที ่ เอนเอียงในการตั ดสินใจเลือกระหวางดูคอนเสิรต และดู ภาพยนตรโดยใหแตละทางเลือกมีความนาจะเปน เทากัน
เฉลย
วิธกี ารคือโยนเหรียญสองครั ้ง ถาผลลัพธคือ หัว-กอย ใหเลือกดูคอนเสิรต ถาผลลัพธคอื กอย-หัว ใหเลือกดู ภาพยนตร ถาไมเปนกรณีใดกรณีหนึ ่งดังกลา ว ใหโยนเหรียญใหม จนกระทั ่งตัดสิ นใจได ให Ak แทน เหตุการณทสี ่ ามารถตัดสินใจไดในการโยนเหรียญรอบที ่ k ภายใตเงื ่อนไข Ak ทางเลือกทั ้งสองมีความ นาจะเปนเทากัน
73
74
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ดูคอนเสิรต) = P (ดูคอนเสิรต|Ak )P(Ak ) 1 P(A
P(
k 1
k 1
ในการคํานวณ เราใชสมบัติ P(A k 1
25.
) 1
k
2
)
k
1 2
ซึ ่งเปนจริงเมื ่อ P(หัว) > 0 และ P(กอย) > 0
ระบบหนึ ่งมีสว นประกอบเหมือนกัน n ชุด แตละชุดทํางานไดดว ยความนาจะเปน p อยางเปนอิสระกันทุก ชุด ระบบจะทํางานไดถาสวนประกอบอย างนอย k ชุดทํางานได จงหาความนาจะเปนที ่ระบบนี ้จะทํางาน ได
เฉลย
ให Ai แทนเหตุการณที ่สว นประกอบ i ชุดทํางานได ความนาจะเปนที ่ระบบทํางานไดคือความนาจะเปน ของ A และเนื ่องจาก Ai เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน ดังนั ้น n
i k
i
ระบบทํางานได) = P(A ) n p (1 p) n
n
i
P(
i
i k
26.
i k
n i
i
รายวิชาหนึ ่งมีประวัติวา มีนักศึกษาเขาชั ้นเรียนนอย อาจารยผ สู อนกําหนดวาจะไมสอนเวนแตวา มีนักศึกษา เขาชั ้นเรียนอยางนอย k คนจากที ่ลงทะเบียนเรียนไว n คน นักศึกษาแตละคนเขาชั ้นเรียนอยางเปนอิ สระ กันดวยความนาจะเปน pg ถาเปนวันที ่อากาศดี และเขาชั ้นเรียนอยางเปนอิสระกันดวยความนาจะเปน p b ถาเปนวันที ่อากาศไมดี กําหนดวาวันหนึ ่งที ่มชี ั ้นเรียนวิชานี ้เปนวันที ่อากาศไมดี จงเขียนความนาจะเปนที ่ อาจารยทาํ การสอนในวันนั ้น
เฉลย
ให A แทนเหตุการณที ่อาจารยสอนในวันที ่กาํ หนด และให B แทนเหตุการณที ่อากาศไมดีในวันนั ้น จะได วา C
และ
P(A | B ) C
n
27.
n
i p (1 p ) i k
ดังนั ้น
C
P(A) = P(B)P(A|B) + P(B )P(A|B ) n n i ni P(A | B) i p b (1 p b ) i k i g
n i
g
n n i n C n i P(A) = P(B) p b (1 pb ) + P(B ) pig (1 p g ) n i i k i i k i n
พิจารณาเหรียญอันหนึ ่งซึ ่งมีความนาจะเปน p ที ่เหรียญจะหงายดานหัวเมื ่อโยนเหรี ยญ และมีค วามนาจะ เปน 1 – p ที ่เหรียญจะหงายกอย ให qn เปนความนาจะเปนของเหตุการณซึ ่งจํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดาน
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
หัวเปนจํานวนคู เมื ่อโยนเหรียญ n ครั ้ง จงหาสูตรเวียนเกิดที ่แสดงความสัมพันธระหวาง qn และ qn – 1 และ นําไปใชพิสูจนวา qn
1 (1 2p) n 2
เฉลย
ให A แทนเหตุการณทกี ่ ารโยนเหรียญ n – 1 ครั ้งแรก จํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดานหัวเปนจํานวนคู และ ให E แทนเหตุการณทกี ่ ารโยนเหรียญครั ้งที ่ n เหรียญหงายดานหัว เหตุการณทจี ่ าํ นวนครั ้งที ่หงายดานหัว เปนจํานวนคู เมื ่อโยนเหรียญ n ครั ้งเกิดขึ ้นได 2 วิธี : 1. จํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดานหัวเปนจํานวนคู ในการโยนเหรี ยญ n – 1 ครั ้งแรกและเหรี ย ญหงาย ดานกอยในการโยนเหรี ยญครั ้งที ่ n เหตุการณนี ้คือ A E 2. จํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดานหัวเปนจํานวนคี ่ในการโยนเหรี ยญ n – 1 ครั ้งแรกและเหรี ย ญหงาย ดานหัวในการโยนเหรียญครั ้งที ่ n เหตุการณนคี ้ ือ A E เนื ่องจาก A และ E เปนอิสระกัน จะไดวา q P (A E ) (A E) C
C
C
C
n
P(A E C ) P(A C E) P(A)P(E C ) P(A C )P(E) (1 p)q n 1 p(1 q n 1)
ขั ้นตอไป เราจะใชสตู รเวียนเกิดนี ้และวิธอี ุปมานเชิงคณิตศาสตรพิสจู นสูตร qn
1 (1 2p) n 2
สําหรับ n = 0 จะได q0 = 1 สอดคลองกับสูตรของ qn ที ่กํา หนดให สมมุติว าสูต รที ่กํา หนดใหเปนจริง เมื ่อแทน n ดวย n – 1 นั ่นคือ q n 1
1 (1 2p) n 1 2
แทนคาในสูตรเวียนเกิด จะได q n p(1 q n 1 ) (1 p)q n 1
p (1 2p)q n 1 1 (1 2p) n 1 p (1 2p) 2 1 (1 2p) n 2
ดังนั ้น สูตรที ่กําหนดใหเปนจริงสําหรับทุก n
75
76
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
28.
พิจารณาเกมโชวทมี ่ ผี ูรวมแขงขันจํานวนอนันต ซึ ่ง ในการแขงขันรอบที ่ i ผู เขา แข งขันคนที ่ i หมุนวงลอ (รอบที ่ i)ไดแตมแตมหนึ ่ง ผู เขาแขงขันที ่หมุนวงลอไปแลวและไดแตมนอยที ่สุดรอเปนผู ชนะ การหมุนวง ลอแตละครั ้งเปนอิสระกัน และ สมมุติวา ไมมกี รณีทเี ่ สมอกัน (หมุนวงลอแตละครั ้งไดแตมต างกัน เสมอ ) ให N แทนรอบที ่ผ ูแขงขันคนที ่ 1 ตกรอบ จงหา P(N = n) สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ
เฉลย
คิดเสมือนหนึ ่งว าผลลัพธของการทดลองคือวิ ธีเรี ยงสับเปลี ่ยนวิธีหนึ ่งของแตมของผู เขา แขงขัน n คน ดังนั ้น มีผลลัพธทเี ่ ปนไปได n! ผลลัพธ เหตุการณ {N = n} เกิดขึ ้นก็ตอ เมื ่อแตมของผู เขาแขงขันคนที ่ 1 นอยที ่สดุ ในระหวางแตมของผู เขา แข งขัน n – 1 คนแรกและแตมของผู เขา แขงขันคนที ่ n นอยที ่สุดใน ระหวางแตมของผู เขา แข งขัน n คนแรก เหตุการณนี ้เกิดขึ ้นได (n – 2)! วิธี (เทากับจํานวนวิธีเรียง สับเปลี ่ยนผู เขาแขงขันคนที ่ 2, … , n – 1) ดังนั ้น P(N n)
29.
(n 2)! n!
1
1
n 1 n
ให A และ B เปนเหตุการณอิสระ จงใชบทนิยามของเหตุการณอิสระพิสูจนวา C (1) เหตุการณ A และ B เปนอิสระกัน C C (2) เหตุการณ A และ B เปนอิสระกัน
เฉลย (1)
เขียน A ในรูปยูเนียนของเหตุการณไมเกิดรวมกัน A
BC
และ A
B
ไดเปน
A (A BC ) (A B)
ใชสัจพจนขอ 3 ของความนาจะเปน และความอิสระของ A และ B จะได P(A) P(A B) P(A BC ) P(A)P(B) P(A B C ) P(A BC ) P(A) 1 P(B) P(A)P(B C )
ดังนั ้น A และ BC เปนอิสระกัน (2) ใชผลของขอ (1) สองครั ้ง ครั ้งแรกใชกับ A และ B ครั ้งที ่สองใชกับ BC และ A 30.
ให A, B และ C เปนเหตุการณอิสระโดยที ่ P(C) > 0 จงพิสูจนวา A และ B เปนอิสระกันภายใตเงื ่อนไข C
เฉลย
เนื ่องจาก
P(A B | C)
P(A B C) P(C) P(A)P(B)P(C) P(C)
บทนิยามของความนาจะเปนมีเงื ่อนไข)
(
(A, B
และ C เปนเหตุการณอิสระ)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
P(A)P(B) P(A|C)P(B|C)
(A
กับ C และ B กับ C เปนเหตุการณอิสระ)
ดังนั ้น A และ B เปนอิสระกันภายใตเงื ่อนไข C 31.
สมมุตวิ า A1, A2, A3, A4 เปนเหตุการณอสิ ระ และ P(A
3
A4 ) 0
จงแสดงวา
P(A1 A 2 | A 3 A 4 ) P(A1 A 2 )
เฉลย
เนื ่องจาก
P(A1 | A3 A 4 )
ทํานองเดียวกัน และสุดทาย
P(A1 A3 A 4 ) P(A 3 A 4 )
P(A 2 | A 3 A 4 ) P(A 2 )
P(A1 )P(A3 )P(A 4 )
P(A 3 )P(A 4 )
และ P(A
1
P(A1 )
A 2 | A3 A 4 ) P(A1 A 2 )
P(A1 A 2 | A 3 A4 ) P(A1 | A 3 A 4 ) P(A 2 | A 3 A 4 ) P(A1 A 2 | A3 A 4 )
32.
P(A1 ) P(A 2 ) P(A1 A 2 )
P(A1 A 2 )
ทอดลูกเตาหกหนา 3 ครั ้งอิสระกัน เหตุการณใดมีความเปนไปไดมากกวา : เหตุการณที ่ไดแ ตมรวม 11 หรือ เหตุการณที ่ไดแตมรวม 12
เฉลย
เหตุการณทไี ่ ดแตมรวม 11 ประกอบดวยเซตของผลลัพธ 6 เซตตอไปนี ้ {6,4,1}, {6,3,2}, {5,5,1}, {5,4,2}, {5,3,3}, {4,4,3}
เหตุการณทไี ่ ดแตมรวม 12 ประกอบดวยเซตของผลลัพธ 6 เซตตอไปนี ้ {6,5,1}, {6,4,2}, {6,3,3}, {5,5,2}, {5,4,3},{4,4,4}
สังเกตวาวิธเี รียงสับเปลี ่ยนแตมวิธีหนึ ่งในแตละเซตคือผลลัพธหนึ ่ง เชน ผลลัพธที ่สมนัยกับเซต {6,4,1} มีทั ้งหมด 6 ผลลัพธไดแก (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6) สําหรับเซตที ่ประกอบดวยแตมที ่แตกตา งกันทั ้ง 3 แตม เชน {6,4,1} หรือ {6,3,2} แตละเซตสมนัยกับ ผลลัพธจํานวน 3! = 6 ผลลัพธ สําหรับเซตที ป่ ระกอบดวยแตมที ่เหมื อนกัน 2 แตม เชน {5,5,1} หรือ 3! {5,3,3} แตละเซตสมนัยกับผลลัพธจํานวน 3 ผลลัพธ และสําหรับเซตที ่ประกอบดว ยแตมที ่ 2!
เหมือนกันทั ้ง 3 แตม เชน {4,4,4} แตละเซตสมนัยกับผลลัพธจํานวน 3! 1 ผลลัพธ 3! ผลลัพธที ่สอดคลองกับเหตุการณทไี ่ ดแตมรวม 11 มีทั ้งหมด 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 ผลลัพธ และ ผลลัพธที ่สอดคล องกับเหตุก ารณท ี ่ไดแตมรวม 12 มีทั ้งหมด 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 ผลลัพธ
77
78
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เนื ่องจากแตละผลลัพธ (วิธีเรียงสับเปลี ่ยน)มีความเปนไปไดเทากัน เหตุการณแตมรวม 11 มีความเปนไป ไดมากกวาเหตุการณแตมรวม 12 สังเกตวา แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลัพธที ่เปนไปไดทั ้งหมด 63 = 216 ผลลัพธ ดังนั ้น 27 และ P(แตมรวม 12) = 25 P(แตมรวม 11) = 216
33.
216
พิจารณาผู มารวมงานเลี ้ยง n คน สมมุตวิ าทุกคนมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเกิดในวันใดๆระหวางปอยาง เปนอิสระกัน และสมมุตวิ า ไมมใี ครเกิดวันที ่ 29 กุมภาพันธ จงหาความนาจะเปนที ่แต ละคนมีวันเกิด ไม ตรงกันเลย
เฉลย
แซมเปลสเปซประกอบดวยทุกทางเลือกสําหรับวันเกิดของแตละคน เนื ่องจากมี n คน แตละคนอาจเกิ ดใน วันใดวันหนึ ่งระหวางปซึ ่งมี 365 ทางเลือก แซมเปลสเปซประกอบดวยผลลัพธทเี ่ ปนไปไดท ั้งหมด 365n ผลลัพธ พิจารณาทางเลือกซึ ่งไมมีสองคนใดๆที ่มีวันเกิ ดตรงกัน สมมุติว า n ≤ 365 คนแรกมีทางเลือก สําหรับวันเกิด 365 ทางเลือก คนที ่สองมีทางเลื อกสําหรับวันเกิด 364 ทางเลือก … คนที ่ n มีทางเลือก สําหรับวันเกิด 365 – n + 1 ทางเลือก ดังนั ้น มีท ั้งหมด 365 364 ... (365 n 1) ทางเลือกที ่ไมมี สองคนใดมีวันเกิดตรงกัน ดังนั ้น 365 364 ... (365 n 1) P(ไมมีสองคนใดมี วันเกิดตรงกัน) = 365 มีขอ เท็จจริงที ่นาสนใจอยางหนึ ่งคือ n มีคาเพียง 23 ความนาจะเปนที ่จะมี คนอยา งนอยสองคนมีวันเกิด ตรงกันก็มากกวา 1 แลว n
2
34.
กลองใบหนึ ่งมีลูกบอลสีแดง m ลูกและสีขาว n ลูก (1) สุ มหยิบลูกบอล 2 ลูกพรอมกัน จงอธิบายแซมเป ลสเปซและคํ านวณความนาจะเปนที ่บอลที ่หยิบไดมี สีตางกัน (2) สุ มหยิบลูกปงปอง 1 ลูกจากกลองอีกใบหนึ ่งซึ ่งมีลูกปงปองอยู 3 ลูกเขียนหมายเลข 1, 2, 3 กํากับไว ถาหยิบไดลูกปงปองหมายเลข k ใหหยิบลูกบอลจากกลอง k ลูก จงอธิบายแซมเปลสเปซและคํานวณ ความนาจะเปนที ่ลูกบอลที ่หยิบไดเปนลูกบอลสีแดงทุกลูก
เฉลย วิธีที ่ 1 ใหหมายเลขลูกบอลสีแดงจาก 1 ถึง m และลูกบอลสีขาวจาก m + 1 ถึง m + n แซมเปลสเปซ หนึ ่งที ่เปนไปไดประกอบดวยคู อันดับของจํานวนเต็ ม (i, j) ซึ ่ง 1 i, j m n และ i j จํานวนผลลั พธ (1)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
ทั ้งหมดที ่เปนไปไดเทา กับ (m + n)(m + n – 1) จํานวนผลลัพธท ี ่สมนัยกับการหยิบลู กบอลสีแ ดง-ขาว (นั ่นคือ i {1,...,m} และ j {m 1,..., m n} )คือ mn จํานวนผลลัพธท ี ่สมนัยกับการหยิบลู กบอลสี ขาว-แดง(นั ่นคือ i {m 1,..., m n} และ j {1,..., m}) คือ mn เชนเดียวกัน ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่ 2mn จะหยิบไดลูกบอลสีตางกันเทากับ (m n)(m n 1)
วิธีที ่ 2 สังเกตวา การหยิบลูกบอล 2 ลูกพรอมกัน สมมูลกับการหยิบลูกบอลครั ้งละลูกสองครั ้งโดยไมคืนที ่
อีกแซมเปลสเปซหนึ ่งที ่เปนไดคือเซตของคู อันดับของสีล ู กบอลที ่เปน ไปได {RR, RW, WR, WW} เมื ่อ W แทนสีขาว และ R แทนสีแดง และเหตุการณที ่ เราตองการคํานวณความนาจะเปนคือ {RW, WR} การหยิบลูกบอลครั ้งที ่หนึ ่ง ความน าจะเปนที ่จะไดลูก บอลสีแดงเทา กับ m การหยิบลูกบอลครั ้งที ่ mn m 1
สอง ความนาจะเปนที ่จะไดลูกบอลสีขาวเทากับ m หรือ ขึ ้นอยู กับวาหยิบครั ้งแรกได m n 1 m n 1 ลูกบอลสีขาวหรือสีแดงตามลําดับ ดังนั ้น อาศัยกฎการคูณของความนาจะเปนจะได P RR P WR
m
m 1
m n m n 1 n m
m n m n 1
, ,
P RW P WR
ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่จะหยิบไดลูกบอลสีตางกันเทากับ
m
n
m n m n 1 n n 1
,
m n m n 1 2mn
(m n)(m n 1)
เราจะคํานวณความนาจะเปนมีเงื ่อนไขของเหตุการณทหี ่ ยิบไดลกู บอลสีแดงทุกลูกเมื ่อกําหนดคาใดๆ ของ k ที ่เปนไปได จากขอ (1) เราได m และ P(RR | k 2) m(m 1) P(R | k 1) (2)
(m n)(m n 1)
mn
คิดตอเนื ่องกันไปอีกขั ้นตอนหนึ ่งจะได P(RRR | k 3)
m(m 1)(m 2) (m n)(m n 1)(m n 2)
และสุดทาย โดยอาศัยทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม จะไดคาํ ตอบที ่ตอ งการเปน 1
m m(m 1) m(m 1)(m 2) 3 m n (m n)(m n 1) (m n)(m n 1)(m n 2)
35.
จากไพสํารับมาตรฐาน 52 ใบที ่สลับไพอยางทั ่วถึงดีแลว จั ่วไพทีละใบ จงคํานวณความนาจะเปนที ่ไพใบที ่ 13 ที ่จั ่วไดเปนไพ K ใบแรก
เฉลย
79
80
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เหตุการณทไี ่ พใบที ่ 13 เปนไพ K ใบแรก หมายถึง เหตุการณทจี ่ ั ่วไพ 12 ใบแรกไมได K และใบที ่ 13 ได K
ไพใบที ่ 13 เปนไพ K ใบแรก) = P(ไพ 12 ใบแรกไม ใช K)P(ไพใบที ่ 13 เปน K |ไพ 12 ใบแรกไมใช K)
P(
ในการจั ่วไพ 12 ใบแรก มีผลลัพธทเี ่ ปนไปไดทั ้งหมด 52 ผลลัพธทมี ่ ีความเปนไปไดเทากัน ในจํานวน 12
นี ้มีอยู
48 12 ผลลัพธที ่ไมมีไพ K รวมอยู ดว ย ดังนั ้น 48 12 P(ไพ 12 ใบแรกไม ใช K) 52 12
ถาจั ่วไพ 12 ใบแรกไมได K เลย ไพอีก 40 ใบที ่เหลือมี K อยู ดว ยครบทั ้ง 4 ใบ ความนาจะเปนมีเงื ่อนไขที ่ ไพใบที ่ 13 ที ่จั ่วไดจะเปน K คือ 4 P(ไพใบที ่ 13 เปน K |ไพ 12 ใบแรกไม ใช K) 40 ดังนั ้น โดยอาศัยกฎการคูณของความนาจะเปนจะไดวา 48 12 4 48 47 ... 37 4 P(ไพใบที ่ 13 เปนไพ K ใบแรก) 0.03376 52 40 52 51 ... 41 40 12 36.
ในการลงทะเบียนเรียนรายวิชาหนึ ่งมีนัก ศึกษาเลือกลงทะเบียน 90 คนรวมทั ้งจุกกับเจนดวย ถาแบง นักศึกษาเปน 3 หองโดยวิธีสมุ แตละหองมีจาํ นวนนักศึกษาเทากัน จงหาความนาจะเปนที ่จุก กับเจนอยู หองเดียวกัน
เฉลย
สมมุติเราตั ้งชื ่อหอ งเรี ยนเปน A, B และ C ความนาจะเปนที ่จุกกับเจนจะอยู หอง A ทั ้งสองคนเทา กับ จํานวนวิธีเลือกนักศึกษา 30 คนซึ ่งมีจุกกับเจนอยู ดวย (จุกกับเจนและนักศึกษาอีก 28 คน) หารดวยจํานวน วิธเี ลือกนักศึกษา 30 คนใดๆทุกวิธที เี ่ ปนไปได ความนาจะเปนนี ้เทากับ 88 28 90 30
เนื ่องจากมีหอ งเรียน 3 หอง ความนาจะเปนที ่จุกกับเจนจะไดอยู หอ งเดียวกันเทากับ
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน 88 28 3 90 30
37.
(1)
(2)
ภาควิชาหนึ ่งเปดสอนรายวิ ชาตางๆ 2 กลุ ม กลุ มเนื ้อหาขั ้นตนและกลุ มเนื ้อหาขั ้นสูง กลุ มเนื ้อหาขั ้นตน ประกอบดวยรายวิชาตางๆ 8 รายวิชา {L1, L2, … , L8} กลุ มเนื ้อหาขั ้นสูงประกอบดวยรายวิชาตางๆ 10 รายวิชา {H1, H2, … , H10} แตละหลักสูตรใหนักศึกษาเลือกรายวิชาในกลุ มเนื ้อหาขั ้นตน 4 รายวิชาและ รายวิชาในกลุ มเนื ้อหาขั ้นสูง 3 รายวิชา สมมุตวิ า การเลือกรายวิชาตางๆไมมีเงื ่อนไขวาตองศึกษารายวิชาใดมากอน ภาควิชานี ้มีหลักสูตรที ่เปนไป ไดทั ้งหมดกี ่หลักสูตรที ่แตกตางกัน สมมุติวา รายวิชา H1, … , H5 มี L1 เปนรายวิชาที ่ตอ งศึกษามากอน และรายวิชา H6, … , H10 มี L2 และ งศึกษามากอน ภายใตเงื ่อนไขดังกลาวนี ้ มีหลักสูตรที ่เปนไปไดทั ้งหมดกี ่หลักสูตรที ่ L3 เปนรายวิชาที ่ตอ แตกตางกัน เฉลย (1)
มีวธิ เี ลือก 4 รายวิชาในกลุ มเนื ้อหาขั ้นตน
8 4
วิธแี ตกตางกัน และ มีวธิ เี ลือก 3 รายวิชาในกลุ ม
10 3 วิธีแตกตางกัน ดังนั ้น โดยอาศัยกฎการคูณ จะไดวา ภาควิชานี ้มีหลักสูตรที ่เปนไป 8 10 4 3 8400 หลักสูตรที ่แตกตางกัน
เนื ้อหาขั ้นสูง ไดทั ้งหมด
แยกพิจารณาเปน 4 กรณี กรณีที ่ 1 สมมุตวิ า เราไมเลือก L1 เราตองเลือกทั ้ง L2 และ L3 (ไมเชนนั ้นเราไมสามารถเลือกรายวิชาใน กลุ มเนื ้อหาขั ้นสูง ) และเราตองเลือกรายวิชาเนื ้อหาขั ้นตนอีก 2 รายวิชาจาก 5 รายวิชาที ่เหลือ และเลือก รายวิชาเนื ้อหาขั ้นสูงอีก 3 รายวิชาจาก 5 รายวิชาที ่มใี หเลือก ในกรณีนมี ้ ีหลักสูตรที ่เปนไปได (2)
5 5 2 3 100 หลักสูตรแตกตางกัน
กรณีที ่ 2 ถาเราเลือก L1 แตไมเลือก L2 และไมเลือก L3 ในกรณีนี ้มหี ลักสูตรที ่เปนไปได
5 5 3 3 100
หลักสูตรแตกตางกัน กรณีที ่ 3 ถาเราเลือก L1 และเลือก L2 หรือ L3 อีกหนึ ่งรายวิชา ในกรณีนี ้มีหลักสูตรที ่เปนไปได
81
82
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 5 5 2 200 2 3 2
หลักสูตรแตกตางกัน ทั ้งนี ้เพราะวา มี 2 วิธที จี ่ ะเลือก L2 หรือ L3 มี 5 วิธที ี ่จะเลือก 2
รายวิชาจาก L4, … , L8 และมี 5 วิธที จี ่ ะเลือก 3 รายวิชาจาก H1, … , H5 3
กรณีที ่ 4 ถาเราเลือกทั ้ง L1, L2 และ L3 จะมีหลักสูตรที ่เปนไปได
5 10 1 3 600 หลักสูตรแตกตางกัน
ดังนั ้น ภายใตเงื ่อนไขที ่กาํ หนด ภาควิชานี ้มีหลักสูตรที ่เปนไปไดทั ้งหมด 100 + 100 + 200 + 600 = 1000 หลักสูตรแตกตางกัน สลับไพสาํ รับมาตรฐานซึ ่งมี 52 ใบอยางทั ่วถึง แลวจั ่วไพ 7 ใบที ่อยู ขา งบน จงหาความนาจะเปนของ เหตุการณตอ ไปนี ้ (1) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ ี งิ 3 ใบ (2) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมค (3) ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ หรือ คิง 2 ใบ (หรือทั ้งสองอยาง) เฉลย (1) แซมเปลสเปซประกอบด วยทุกวิธีในการเลือกสมาชิก 7 สมาชิกจาก 52 สมาชิก ดังนั ้นแซมเปลสเปซ 38.
ประกอบดวยผลลัพธท ี ่เปนไปไดท ั้งหมด
52 7
ผลลัพธ ในการนับจํานวนผลลัพธท ี ่มีเอซ 3 ใบ เรามี
อิสระที ่จะเลือกเอซ 3 ใบใดๆจากเอซ 4 ใบที ่มีอยู และเลือกอีก 4 ใบจาก 48 ใบที ่เหลือ ไดผลลัพธทั ้งหมด 4 48 3 4
ผลลัพธ ดังนั ้น 4 48 3 4 P(ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ) = 52 7
(2)
ทํานองเดียวกันกับขอ (1) เราจะได 4 48 2 5 P(ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีคงิ 2 ใบ) = 52 7
(3)
ให A และ B แทนเหตุการณในขอ (1) และขอ (2) ตามลําดับ เราจะตองคํานวณ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน
เหตุการณ AB (ไดเอซ 3 ใบ คิง 2 ใบ) เกิดขึ ้นไดโดยจั ่วไพเอซ 3 ใบจาก 4 ใบ ไพคิง 2 ใบจาก 4 ใบ 44 และไพอื ่นอีก 2 ใบจาก 44 ใบที ่เหลือ เหตุการณนี ้ประกอบดวยผลลัพธ 4 4 ผลลัพธ ดังนั ้น
3 2 2 4 48 4 48 4 4 44 3 4 2 5 3 2 2 P(ไพ 7 ใบที ่จั ่วไดมีเอซ 3 ใบ หรือ คิ ง 2 ใบ) = 52 7
39.
มีรถยนตอยู 100 คันจอดอยู ที ่ลานจอดรถรอการขาย ในจํานวนนี ้มีอยู k คันที ่มีอาการเกียรก ระตุก เมื ่อ เปลี ่ยนเกียร สุ มเลือกรถยนต m คันไปทดลองขับ จงหาความนาจะเปนที ่จะพบรถยนตที ่มีอ าการเกี ยร กระตุก n คัน
เฉลย
จะเห็นไดชัดเจนวา ถา n > m หรือ n > k หรือ m – n > 100 – k แลวความนาจะเปนของเหตุการณที ่ สนใจเทากับ 0 ถา n ≤ m, n ≤ k และ m – n ≤ 100 – k เราสามารถหาความนาจะเปนที ่ผลการ ทดลองขับรถยนต m คันที ่เลือ กโดยสุ มแลวพบรถยนตที ่มีอาการเกียรกระตุก n คันไดโดยนับจํานวน ตัวอยางรถยนต m คันที ่เลือกจาก 100 คันทั ้งหมดที ่เปนไปได ซึ ่งมี
100 m ตัวอยางแตกตางกัน
เรา
สามารถเลือกตัวอยางที ่ประกอบดวยรถยนตทมี ่ อี าการเกียรกระตุก n คันไดโดยเลือกรถยนตทมี ่ อี าการเกียร กระตุก n คันจากรถยนตทมี ่ อี าการเกียรกระตุก k คันที ่มอี ยู แลวเลือกรถยนตทไี ่ มมอี าการเกียรกระตุกอีก ี าการเกียรกระตุกที ่มอี ยู 100 – k คัน ดังนั ้น จํานวนตัวอยางรถยนต m คันที ่ m – n คันจากรถยนตทไี ่ มมอ มีอาการเกียรกระตุก n คันมีทั ้งหมด
k 100 k n m n ตัวอยาง
และจะไดความนาจะเปนของเหตุการณท ี ่
สนใจเทากับ k 100 k n m n 100 m 40.
เฉลย
แจกไพสาํ รับมาตรฐาน 52 ใบที ่สลับอยางทั ่วถึงแลวใหผ เู ลน 4 คนคนละ13 ใบ จงหาความนาจะเปนที ่แต ละคนไดไพเอซ
83
84
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
จํานวนผลลัพธในแซมเป ลสเปซคือจํานวนวิธแี บงไพ 52 ใบเปน 4 กอง กองละ 13 ใบ ซึ ่งหาไดจากสูต ร อเนกนาม 52! (13!) 4
สังเกตวา มี 4! วิธแี ตกตางกันในการแจกไพ เอซ 4 ใบใหกับผู เลน 4 คนและมี 48! (12!)4
วิธแี ตกตางกันในการแบ งไพทเี ่ หลือ 48 ใบเปน 4 กอง กองละ 12 ใบ ดังนั ้น ความนาจะเปนของเหตุการณ ที ่สนใจเทากับ 4!
48! (12!)4 52!
(13!) 4
มีวธิ หี าคําตอบอีกวิธหี นึ ่งที ่ตา งจากวิธขี า งตนแตสมมูลกันในเชิงความนาจะเปน ผู เลนแตละคนมีชอ งใสไพ คนละ 13 ชอง (ใสไพชอ งละ 1 ใบ) แทนที ่จะสลับไพ เราวางไพเอซทั ้ง 4 ใบไวดา นบนสุดของกองไพ แลวแจกไพทลี ะใบโดยแตละชองที ่ยังวางอยู มคี วามนาจะเปนเทากันที ่จะไดรับแจกไพใบถัดไป เหตุการณ ที ่เราสนใจเกิดขึ ้นไดดังนี ้ ไพเอซใบแรกแจกใหชอ งใดก็ได ไพเอซใบที ่สองแจกใหชอ งหนึ ่งใน 39 ชองที ่ ไมไดเปนชองของผู เลนที ่ไดไพเอซใบแรกไปแลว (จาก 51 ชอง) ไพเอซใบที ่สามแจกใหกับชองหนึ ่งใน ี ่ จกใหกับ 26 ชองที ่ไมไดเปนชองของผู เลนที ่ไดไพเอซไปแลวคนละใบ (จาก 50 ชอง)และไพ เอซใบที ่สแ ชองหนึ ่งใน 13 ชองของผู เลนคนสุดทายที ่ยังไมไดไพเอซ (จาก 49 ชอง) ดังนั ้น ความนาจะเปนของ เหตุการณทสี ่ นใจเทากับ 39 26 13 51 50 49
ถาเขียนคําตอบจากวิธแี รกในรูปแบบอยางงาย จะไดผลลัพธตรงกันกับคําตอบจากวิธที ี ่สอง 41.
กลองใบหนึ ่งมีลูกบอล n ลูก ในจํานวนนี ้เปนลูกบอลสีแดง m ลูก สุ มเลือกลูกบอล k ลูกจากกลองโดยไม ใสคนื (ไมคนื ลูกบอลที ่เลือกไดลงกลองกอนที ่จะเลือกลูกบอลลูกถัดไป) จงหาความนาจะเปนที ่จะเลือกได ลูกบอลสีแดง i ลูก
เฉลย
ผลลัพธใน แซมเปลสเปซแตกตางกันไดท ั ้งหมด
n k วิธี (จํานวนวิธีเลือกลูกบอล k
แตกตางกัน) สําหรับเหตุการณที ่เราสนใจ เกิดขึ ้นไดเมื ่อเราเลื อกลูกบอลสี แดง i ลูกจาก
ลูกจาก n ลูกที ่ m
ลูกซึ ่งทํ าได
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 1 ความนาจะเปน m i
วิธี และเลือกลู กบอลอื ่นๆอีก
k–i
ลูกจาก n – m ลูกที ่เหลื อซึ ่งทํา ได n m วิธี ดังนั ้น ความ k i
นาจะเปนของเหตุการณที ่สนใจคือ mn m i k i n k
เมื ่อ i 0 โดยที ่
และ k i n m
i m, i k
สําหรับคาอื ่นๆของ i ความนาจะเปนของเหตุการณทสี ่ นใจเทากับ 0
85
86
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
หนาวาง
2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง 1.
ทีมฟุตบอลทีมหนึ ่งมีกาํ หนดที ่จะเลน 2 เกมในวันสุดสัปดาห ประเมินวามีความนาจะเปน 0.4 ที ่จะไมแพ ในเกมที ่หนึ ่ง และมีความนาจะเปน 0.7 ที ่จะไมแพในเกมที ่สอง ซึ ่งเปนอิสระกันกับผลการแขงขันในเกมที ่ หนึ ่ง ถาทีมไมแพแลวมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเสมอหรือชนะและเปนอิสระกันกับผลการแขงขันใน เกมอื ่นๆ ทีมจะไดคะแนน 2 คะแนน 1 คะแนน หรือ 0 คะแนน ถาทีมชนะ เสมอ หรือแพ ตามลําดับ จงหา ฟงกชันมวลความน าจะเปนของคะแนนที ่ทมี จะไดรับเมื ่อสิ ้นสุดสัปดาหดังกลาว
เฉลย
ให X แทนคะแนนที ่ทมี ฟุตบอลทีมนี ้ไดรับเมื ่อสิ ้นสุดสัปดาห จะได P(X = 0) = P(แพในเกมที ่หนึ ่ง)P(แพในเกมที ่สอง) = 0.60.3 = 0.18 P(X = 1) = P(เสมอในเกมที ่หนึ ่ง)P(แพในเกมที ่สอง) + P(แพในเกมที ่หนึ ่ง)P(เสมอในเกมที ่สอง) = 0.20.3 + 0.6 0.35 = 0.27 P(X = 2) = P(
ชนะในเกมที ่หนึ ่ง)P(แพในเกมที ่สอง) + P(แพในเกมที ่หนึ ่ง)P(ชนะในเกมที ่สอง) + P(เสมอในเกมที ่หนึ ่ง)P(เสมอในเกมที ่สอง)
= 0.20.3 + 0.6 0.35 + 0.2 0.35 = 0.34 P(X = 3) = P(
ชนะในเกมที ่หนึ ่ง)P(เสมอเกมที ่สอง) + P(เสมอในเกมที ่หนึ ่ง)P(ชนะในเกมที ่สอง)
= 0.20.35 + 0.2 0.35 = 0.14 P(X = 4) = P(
ชนะในเกมที ่หนึ ่ง)P(ชนะในเกมที ่สอง) = 0.20.35 = 0.07
P(X > 4) = 0
2.
ศรีวงศไปงานราตรี สโมสรซึ ่งมีผ ูมารวมงาน 500 คน จงหาความนาจะเปนที ่มผี ูมารวมงานเพียงคนเดียวที ่มี วันเกิดตรงกั บ ศรีวงศ จงคํานวณคําตอบที ่แม นตรงและประมาณคา โดยใชฟงกชันมวลความนาจะเปน ปวสซอง (สมมุติวาไมมใี ครเกิดในวันที ่ 29 กุมภาพันธ)
เฉลย
ให X แทนจํานวนผู มารวมงานที ่มวี ันเกิดตรงกับศรีวงศจะไดวา X มีการแจกแจงทวินามที ่มีพารามิ เตอร 1 n = 499 และ p = 365 ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่มีผ มู ารวมงานเพียงคนเดียวที ่มวี ันเกิดตรงกับศรีวงศเทากับ 1
499 1 P(X 1) 1 365
364 365
498
0.3486
88
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ในการประมาณค าความนาจะเปนขางตนโดยใชการแจกแจงป วสซอง ให = np = 499 e x
1 365
1.367
e1.367 (1.367)1
0.3483 ซึ ่งใกลเคียง จะไดคา ประมาณของความน าจะเปนเทากับ P(X 1) x! 1! กับคาความนาจะเปนที ่ถูกตองซึ ่งคํานวณจากฟงกชันมวลความนาจะเปนทวินามมาก
3.
ฟสเชอรกับสปาสกี ้เลนหมากรุก กันในการแขงขันรายการหนึ ่ง ใครชนะเกมหนึ ่งกอนเปน ผู ชนะการ แขงขัน ถาเสมอกัน 10 เกมติดตอกัน จะประกาศผลการแขงขันใหทั ้งคู เสมอกัน แตละเกมฟส เชอรมี โอกาสชนะ 0.4 สปาสกี ้มีโอกาสชนะ 0.3 และมีโอกาสเสมอกัน 0.3 เปนอิสระกับผลการแขงขันในเกม กอน เชอรจะชนะการแขงขัน (1) จงหาความนาจะเปนที ่ฟส (2) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนเกมการแขงขันระหวางฟสเชอรกับสปาสกี ้
เฉลย
ให L แทนจํานวนเกมการแข งขัน ถาฟสเชอรชนะการแขงขันที ่ตองแขงขันกัน L เกม แลว ตองเสมอ กัน L – 1 เกมกอนที ่ฟส เชอรจะชนะในเกมที ่ L ดังนั ้น P(ฟสเชอรชนะ) 0.3 0.4 0.571425 (1)
10
L 1
L 1
การแขงขันสิ ้นสุดในเกมที ่ L โดยที ่ L < 10 ก็ตอเมื ่อ เสมอกัน L – 1 เกมกอนที ่ผ เู ลนฝายใดฝายหนึ ่ง จะชนะในเกมที ่ L การแขงขันสิ ้นสุดในเกมที ่ L = 10 ก็ตอเมื ่อ เสมอกัน 9 เกมแรก ในการแขงขันแตละ เกม ความนาจะเปนที ่ฟส เชอรหรือสปาสกี ้จะชนะเท ากับ 0.7 ดังนั ้น ฟงกชันมวลความน าจะเปนของ L คือ (2)
(0.3) 1 0.7, 1,..., 9 p L () P(L ) (0.3)9 , 10 0, คา อื ่น ๆ ของ
4.
ผู ใหบริการอินเตอรเน็ตรายหนึ ่งใชโมเด็ม 50 เครื ่องใหบริการลูกคา 1000 คน ประมาณกันวา ณ เวลาที ่ กําหนด ลูกคาแตละคนมีความตองการเชื ่อมต ออิ นเตอรเน็ตดวยความนาจะเปน 0.01 เปนอิสระกันกับ ลูกคารายอื ่นๆ (1) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนของจํานวนโมเด็มที ่ใชง านอยู (= จํานวนลูกคาที ่ตอ งการเชื ่อมตอ อินเตอรเน็ต) ณ เวลาที ่กาํ หนด (2) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเป นปวสซองที ่ใชประมาณคาฟงกชันมวลความนาจะเปนในขอ (1)
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
จงหาความนาจะเปนที ่จะมีจาํ นวนลูกคาที ่ตองการเชื ่อมตออินเตอรเน็ตมากกวาจํานวนโมเด็ม ทั ้งคาที ่ แมนตรงและค าประมาณโดยใชฟง กชันมวลความนาจะเปนปวสซอง (3)
เฉลย
ให X แทนจํานวนโมเดมที ่ใชงานอยู สําหรับ k < 50 ความนาจะเปนที ่ X = k เทากับความนาจะเปน ที ่ลูกคา K คนใน 1000 คนตองการเชื ่อมตออินเตอรเน็ต (1)
1000 k 1000 k , k 0,1,..., 49 0.01 0.99 k
p X (k)
ความนาจะเปนที ่ X = 50 เทากับความนาจะเปนที ่ลูกคา 50 คนหรือมากกวา 50 คนใน 1000 คนตองการ เชื ่อมตออินเตอรเน็ต 1000
1000
k 0.01 0.99 (2) ประมาณฟงกชันมวลความน าจะเปนทวินามดวยฟงกชันมวลความนาจะเปนปวสซองที ่มีพารามิเตอร = 1000 0.01 = 10 จะได p X (50)
k
1000 k
k 50
p X (k)
e 10 10k
, k 0,1,..., 49 k! 1000 10 e 10k
k! ี ูกคาที ่ตอ งการเชื ่อมตออินเตอรเน็ตจํานวนมากกวาจํานวนโมเดมที ่มี จะได (3) ให A แทนเหตุการณที ่มล p X (50)
k 50
P(A)
1000 k 1000 k k 0.01 0.99 k 51 1000
ถาใชฟง กชันมวลความนาจะเปนปวสซองประมาณคา P(A) จะได P(A)
5.
1000
e 10 10k
k 51
k!
ทีมเซลติกสและทีมเลเกอรกาํ หนดการแขงขันบาสเกตบอลรายการพิเศษ n เกม เมื ่อ n เปนจํานวนคี ่ ทีม เซลติกสมีความนาจะเปน p ที ่จะชนะทีม เลเกอรในเกมใดๆเปน อิสระกันกับผลการแข งขันในเกมอื ่นๆ สําหรับ k > 0 จงหาคาของ p ซึ ่งเมื ่อ n = 2k + 1 ดีสําหรับเซลติกสมากกวาเมื ่อ n = 2k – 1
เฉลย
ให N แทนจํานวนเกมที ่ทมี เซลติกสชนะใน 2k – 1 เกมแรก ถา A แทนเหตุการณทที ่ มี เซลติกสชนะเมื ่อ ี เซลติกสชนะเมื ่อ n = 2k – 1 จะไดวา n = 2k + 1 และ B แทนเหตุการณที ่ทม P(A) P(N k 1) P(N k) 1 (1 p) 2 P(N k 1) p 2 P(B) P(N k) P(N k) P(N k 1)
89
90
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
และ
P(A) P(B) P(N k 1) p 2 P(N k) (1 p) 2
2k 1 k 1 2k 1 p (1 p) k p 2 (1 p) 2 p k (1 p) k 1 k 1 k (2k 1)! k p (1 p) k (2p 1) (k 1)!k!
และจะได ทีมที ่ดกี วา 6.
P(A) > P(B)
ก็ตอ เมื ่อ p > 1 หมายความวา จํานวนเกมการแขงขันมากขึ ้นยิ ่งจะเปนผลดีตอ 2
เสรีเพิ ่งเชาบานหลังใหญหลังหนึ ่ง เจาของบานมอบกุญแจใหเสรี 5 ดอกสําหรับไขกุญแจประตู 5 บานดอก ละบาน แตวาแมกญุ แจแตละตัวมีรปู ลักษณเหมือนกัน ดังนั ้นในการไขประตูห นาบา น เสรีจึงเลือ กใช ลูก กุญแจโดยสุ ม (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนลูกกุญแจที ่ใชลองไขกุญแจประตู หนาบาน ภายใตขอ สมมุต:ิ (a) หลังจากลองใชลูกกุญแจที ่เลือกเปดประตู ไมสาํ เร็จ จะทําเครื ่องหมายไวเพื ่อจะได ไมนาํ มาใชซ ํ้า (b) ในการลองไขกุญแจแตละครั ้ง มีความนาจะเปนเทากันที ่จะใชลูกกุญแจแตละดอก ุ แจสํารองสําหรับเปดประตูแตละบานอีกบานละดอก (2) ทําขอ (1) ใหม ถาเจาของบานใหกญ
เฉลย
ให X แทนจํานวนครั ้งที ่เสรีตองไขกุญแจเพื ่อเปดประตูหนาบาน ให K แทนเหตุการณที ่ลูกกุญแจลูกที ่ i ที ่เลือกใชเปดประตูไดสําเร็จ สมมุติ (a) จะได (1) ถาใชขอ i
p X (1) P(K 1 )
1 5
p X (2) P(K 1C )P(K 2 | K 1C )
4 1
1
5
5
4
p X (3) P(K 1C )P(K 2 | K1C )P(K 3 | K1C K 2C )
4 5
3 1
1
4
5
3
ดําเนินการตอไปในทํานองเดียวกันนี ้ จะเห็นไดวา ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X คือ p X (x)
1 5
,
x 1, 2, 3,4,5
มีมุมมองในการแกปญหานี ้อีกแบบหนึ ่งดังนี ้ เรียงอันดับลูกกุ ญแจกอน แลว ลองใชกุ ญแจไขเป ดประตู ตามลําดับ ในกรณีนี ้ ความนาจะเปนที ่กญุ แจดอกใดๆจะสามารถเป ดประตูไดเทากับ 1 5
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ถาใชขอ สมมุติ (b) X เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิตที ่มพี ารามิเตอร p = 1 ซึ ่งมีฟง กชันมวลความน าจะเปน 5
4 p X (k) 5 (2)
k 1
1
,
k 1
5
ถาใชขอ สมมุติ (a) จะได p X (1) P(K 1 )
2 10
p X (2) P(K 1C )P(K 2 | K1C )
8 10
2 9
C C C C p X (3) P(K 1 )P(K 2 | K1 )P(K 3 | K 1 K 2 )
8
7
2
10 9
8
7 10
2 9
ดําเนินการตอไปในทํานองเดียวกันนี ้ จะเห็นไดวา ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X คือ p X (x)
2(10 x) 90
,
x 1, 2,...,10
พิจารณาวิธกี ารหาฟงกชันมวลความน าจะเปนของ X อีกวิธีหนึ ่ง ถาเรียงอันดับลูกกุญแจกอน แลวลองใช กุญแจไขเปดประตูตามลําดับ ความนาจะเปนที ่จาํ นวนครั ้งที ่ตองลองไขกุญแจเทากับ x คือ ความนาจะเปน ที ่ลูกกุญแจ n – 1 ลูกแรกที ่ใชไมมลี ูกกุญแจ 2 ดอกที ่ถกู ตองอยู ดว ยและลูกกุญแจลูกที ่ n ที ่ใชคอื ลูกกุญแจ ที ่ถูกตองลูกหนึ ่งในสองลูก เราสามารถนับจํานวนวิธีที ่เหตุการณนี ้จะเกิดขึ ้นแลวหารดวยจํานวนวิธที ั ้งหมด ในการเรียงอันดับลูกกุญแจเพื ่อหา p (x) จํานวนวิธีท ั ้งหมดในการเรียงอันดับลูกกุ ญแจเทา กับ 10! วิธี สําหรับวิธีที ่ลกู กุญแจลูกที ่ x เปนลูกกุญแจที ่ถูกตองลูกแรก ลูกกุญแจที ่ถูก ตองอีกลู กหนึ ่งตอ งอยู ในกลุ ม ของลูกกุญแจ 10 – x ลูกที ่อยู ถัดจากลูกที ่ x ดังนั ้น ตําแหนงที ่เปนไปไดของลูกกุญแจที ่ถูกตองลูกที ่สองมี 10 – x วิธี ลูกกุ ญแจที ่เหลืออี ก 8 ลูก (ลูกกุญแจที ่ไมถูกตอง) อาจจัดเรียงในตําแหนงตางๆ 8 ตําแหนงได 8! วิธี ดังนั ้น มีวธ ิ เี รียงอันดับกุญแจ 2(10 – x)8! วิธีที ่ลูกกุญแจลูกที ่ x เปนลูกกุญแจที ่ถูก ตองลู กแรก สังเกตวา เราตองคูณดวย 2 เพราะลูกกุญแจที ่ถูก ตองมี 2 ลูกอาจเปนลูกใดก็ที ่อยู ในตําแหนงที ่ x ดังนั ้น ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X คือ X
p X (x)
2 (10 x) 8!
10!
2 (10 x) 90
,
x 1, 2,...,10
ถาใชขอสมมุติ (b) X เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิตที ่มพี ารามิเตอร p = 1 เหมือนเดิม 5
7.
ให X เปนตัวแปรสุ มทวิ นามที ่มีพารามิ เตอร n และ p จงแสดงวาฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X สามารถคํานวณไดโดยเริ ่มตนจาก p (0) (1 p) แลวใชสูตรเวียนเกิด n
X
p X (k 1)
p p 1
n k k 1
p X (k) ,
k = 0, 1, …, n
91
92
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เฉลย
สําหรับ k = 0, 1, …, n – 1 n k 1 n k 1 k 1 p (1 p) p X (k 1) p n k p X (k) 1 p k 1 n k n k k p (1 p)
พิจารณาตัวแปรสุ มทวินาม X ที ่มีพารามิเตอร n และ p ให k* เปนจํานวนเต็มที ่มากที ่สดุ ซึ ่งนอยกวาหรือ เทากับ (n + 1)p จงแสดงวา ฟงกชันมวลความนาจะเปน p (k) มีคาไมลดทางเดียว เมื ่อ 0 k k * และมีคา ลดทางเดียว เมื ่อ k k *
8.
X
เฉลย
สําหรับ k = 1, 2, …, n n k n k k p (1 p) pX (k) p n k 1 (n 1)p kp p X (k 1) n k 1 1 p k k kp n k 1 p (1 p) k 1
ถา k k * แลว k (n 1)p หรือ k kp (n 1)p kp และจะไดวาอัตราสวนขางบนมากกวาหรือ เทากับ 1 แสดงวา p (k) มีคาไมลดทางเดียว และถา k > k* อัตราสวนขางบนนอยกวา 1 จะไดวา p (k) มีคาลดทางเดียว X
X
ให X เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร จงแสดงวา ฟงกชันมวลความนาจะเปน p (k) มีคาเพิ ่ม ทางเดียวเมื ่อ k [] =จํานวนเต็มที ่มากที ่สดุ ซึ ่งนอยกวาหรือเทากับ และมีคาลดทางเดียว เมื ่อ k []
9.
X
เฉลย
ใชฟง กชันมวลความนาจะเปนปวสซอง จะไดวา สําหรับ k ≥ 1 pX (k) p X (k 1)
k e k!
(k 1)!
k 1
e
k
ดังนั ้น ถา k ≤ อัตราสวนขางบนมากกวาหรือเทากับ 1 และจะไดวา pX(x) มีคาเพิ ่มทางเดีย ว และถา k > อัตราสวนขางบนนอยกวา 1 และจะไดวา pX(x) มีคา ลดทางเดี ยว 10.
บานาคเปนนักคณิตศาสตรซงึ ่ เสพติดบุหรี ่พกไมขดี ไฟใสกระเปาซายและขวาข างละกลอง แตละครั ้งที ่เขา ตองการจุดบุหรี ่ เขาจะเลือกกลองไมขีดจากกระเปาขางใดขางหนึ ่งดวยความนาจะเปน p 1 เปนอิสระ 2
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
กันกับการเลือกครั ้งกอนๆ ในตอนเริ ่มตน กลองไมขีดไฟทั ้งสอง มีไมขีดไฟจํานวนเทากัน n กาน จงหา ฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนกานไมขีดที ่เหลื อ ณ เวลาที ่เขาเลือ กกลองไมขีดกลองหนึ ่งแลว พบวาเปนกลองวางเปลา จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนในกรณีทั ่วไป เมื ่อความนาจะเปนในการเลือก กลองไมขีดไฟจากกระเปาขางซายเทากับ p และจากกระเป าขางขวาเทากับ 1 – p เฉลย
ให X แทนจํานวนไมขีดไฟที ่เหลือ เมื ่อพบวา ไมขี ดในกล องไมขีด กลอ งหนึ ่ง ไดหมดลง สํา หรับ k = ี ่ ลองไมขดี ไฟที ่หมดแลวถูกพบในกระเปาขางซาย (หรือ 0, 1, …, n ให L (หรือ R ) แทนเหตุการณทก ขางขวาตามลําดับ)ในขณะที ่จํา นวนไมขีด ไฟในกระเปาขางขวา(หรือข างซาย ตามลําดับ) มีอยู k กาน ฟงกชันมวลความน าจะเปนของ X คือ k
k
p X (k) P(L k ) P(R k ),
k 0,1,..., n
สมมุติวาการเลือกกระเปาซายและกระเปาขวาคือ ผลลัพธท ี ่เปน “ความสํา เร็จ” และ “ความไมสําเร็จ” ตามลําดับ P(L ) คือความนาจะเปนที ่ไดผลลัพธทเี ่ ปนความสําเร็จ n ครั ้งในการลอง 2n – k ครั ้งแรกและ การลองครั ้งที ่ 2n – k + 1 ใหผลลัพธทเี ่ ปนความสําเร็จ หรือ k
P(L k )
1 2n k 1
2
โดยหลักแหงความสมมาตร
2n k
, k 0,1,..., n 2 P(L k ) P(R k ) ดังนั ้น
n
2n k 1 p X (k) P(L k ) P(R k ) n 2
2n k
, k 0,1,..., n
ในกรณีทั ่วไป เมื ่อความนาจะเปนของการเลื อกกระเปาซายและกระเป าขวาเทากับ p และ 1 – p ตามลําดับ ใชเหตุผลในทํานองเดียวกัน จะได 2n k n n k p 1 p , k 0,1,..., n n
P(L k ) p
และ 2n k n k n p 1 p , k 0,1,..., n n
P(R k ) (1 p)
และจะได 2n k n 1 p (1 p) n k p n k (1 p) n 1 , k 0,1,..., n n
p X (k) P(L k ) P(R k )
93
94
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
11.
พิจารณาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มทวิ นามที ่มีพารามิ เตอร n และ p จงแสดงวา เมื ่อ n และ p 0 และเมื ่อ np มีคา คงตัวเทากั บ ฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มทวินามนี ้ เขาใกลฟง กชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ มปวสซองที ่มีพารามิเตอร
เฉลย
ใชความสัมพันธ np เขียนฟงกชันมวลความนาจะเปนทวินาม n!
p X (k)
(n k)!k!
pk (1 p)n k
n(n 1)...(n k 1) k 1 n k k! n
n k
ตรึงคาของ k และให n จะไดวา สําหรับ j 1,..., k nk j n
k
n
1, 1 1, 1 e n n
ดังนั ้น สําหรับแตละคาของ k เมื ่อ n จะได p X (k)
12.
e k k!
ครอบครัวหนึ ่งวางแผนที ่จะมีบุตรโดยธรรมชาติ 5 คนและรับเด็กหญิงเปนบุตรบุญธรรมอีก 2 คน ถาโดย ธรรมชาติบุตรแตละคนมีความนาจะเปนเทากันที ่จะเป นหญิงหรือเปนชายและเปนอิสระกันกับบุตรคน อื ่นๆ จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของจํานวนบุตรหญิงจากบุตรทั ้งหมด 7 คน
เฉลย
ให N แทนจํานวนบุตรโดยธรรมชาติทเี ่ ปนหญิง จะได N เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มพี ารามิเตอร n = 5 และ p = 1 2
5 1 5 , 0 k 5 p N (k) k 2 0, คา อื ่น ๆ ของ
k
ให G แทนจํานวนบุตรหญิงจากจํานวนบุตร 7 คน ดังนั ้น G = N + 2 และจะได p (g) p (n) p (g 2) G
ดังนั ้น
{n|n 2 g}
N
N
5 1 5 , 2 g7 pG (g) g 2 2 0, ค า อ นื ่ ๆ ขอ ง
g
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
13.
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มคี า ที ่เปนไปไดเปนจํานวนเต็มตั ้งแต 0 ถึง 9 ดวยความนาจะเปน (2)
จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = X mod(3) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = 5 mod(X + 1)
(1)
ใชความสัมพันธ p
(1)
1 10
เทากัน
เฉลย Y
(y)
{x| x mod(3) y}
p X (x)
จะได
p Y (0) p X (0) p X (3) p X (6) p X (9) p Y (1) p X (1) p X (4) p X (7)
4 10
3 10 3
p Y (2) p X (2) p X (5) p X (8)
ถา y {0,1, 2} ทํานองเดียวกัน ใชความสัมพันธ p (y)
10
p Y (y) 0,
(2)
Y
2 / 10, 2 / 10, p Y (y) 1/ 10, 5 /10, 0,
{ x| 5 m od ( x1 ) y }
p X (x)
จะได
y0 y 1 y2 y5
คา อื ่นๆ ของ y
ให K เปนตัวแปรสุ มที ่มีคาเปนจํานวนเต็มในชวง [-n, n] ดวยความนาจะเปน 1 จงหาฟงกชันมวล 2n 1 ความนาจะเปนของตัวแปรสุ ม Y = ln X เมื ่อ X = a|K| และ a เปนจํานวนเต็มบวก เฉลย ตัวแปรสุ ม Y มีคา k ln a เมื ่อ k = 1,…,n ก็ตอเมื ่อ X = ak หรือ X = a-k และ Y มีคา 0 ก็ตอเมื ่อ X = 1 ดังนั ้น เราจะได 14.
2 2n 1 , y ln a, 2ln a,..., k ln a 1 p Y (y) , y0 2n 1 คาอื ่นๆของ y 0,
95
96
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
15.
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันมวลความนาจะเปน x , ถา x = -3,-2,-1,0,1,2,3 p (x) a 0, สําหรับคาอื ่นๆของ x (1) จงหา a และ E(X) 2 (2) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนของตัวแปรสุ ม Z = (X – E(X)) (3) จงใชผลจากขอ (2) หาความแปรปรวนของ X ู ร Var(X) x E(X) p (4) จงหาความแปรปรวนของ X โดยใชสต 2
X
2
X
(x)
x
เฉลย (1)
จํานวนจริง a ตองสอดคลองกับเงื ่อนไข 1
p
x
(x)
3
1
x a
2
x 3
x
ดังนั ้น 3
x ( 3) ( 2) ( 1) 1 2 3 28 และเนื ่องจากฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X สมมาตรรอบ 0 จะไดวา E(X) = 0 (2) ถา z {1, 4, 9} แลว a
2
2
2
2
2
2
2
x 3
p Z (z) p X ( z ) p X ( z )
และ p
Z
(z) 0
สําหรับคาอื ่นๆของ z
(3) Var(X) E(Z)
zp
Z
x E(X) p
28
(z)
z{1,4,9}
z
(4) Var(X)
z
2
X
z2 14
z 28
z 14
7
(x)
x
1 p X ( 1) p X (1) 2 2 p X ( 2) p X (2) 32 p X ( 3) p X (3) 2
2
1 28
8
4 28
18
9 28
=7 16.
เฉลย
จําลองอุณหภูมขิ องเมืองหนึ ่งดวยตัวแปรสุ มที ่มีคาเฉลี ่ยและคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 10 องศาเซลเซียส ทั ้งคู กลาววาวันหนึ ่งเปนวันที ่มีอุณหภูมิปกติ ถาอุณหภูมใิ นวันนั ้นเบี ่ยงเบนจากค าเฉลี ่ยไมเกินหนึ ่งเทาของ คาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน จงหาชวงอุณหภูมขิ องวันที ่มอี ุณหภูมปิ กติเมื ่อวัดอุณหภูมิเปนองศาฟาหเรนไฮต
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ถา X แทนอุณหภูมิวัดเปนองศาเซลเซียส แลวอุณหภูมนิ ี ้วัดเปนองศาฟาหเรนไฮตไดเปน Y 32 9 X 5 ดังนั ้น E(Y) 32
9 5
E(X) 32 18 50 2
2
9 9 Var(Y) Var(X) (10) 2 5 5
และ
และจะได คาเบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Y เทากับ เปนองศาฟาหเรนไฮตจะอยู ในชวง [32, 68] 17.
9 5
10 18
ดังนั ้น ในวันที ่มีอุ ณหภูม ิปกติ อุณหภูมิวัด
ให a และ b เปนจํานวนเต็มบวกซึ ่ง a ≤ b และให X เปนตัวแปรสุ ม ที ่มีคา เปนเลขยกกําลัง ของ 2 ในชวง [2 , 2 ] ดวยความน าจะเป นเทากัน จงหาคาคาดหวังและความแปรปรวนของ X a
b
เฉลย
เรามีฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X เปน 1 , x 2 k , a k b, k เ ป ็นจํานวน เต ม็ p X (x) b a 1 0, คา อื ่นๆ ของ
x
ดังนั ้น
E(X)
b
1
b a 1 2 k a
k
2a b a 1
2 b1 2a
1 2 ... 2 b a 1 b a
ทํานองเดียวกัน E(X ) 2
b
1
b a 1 2 k a
และ
k 2
4 b 1 4a 3 b a 1
4 b 1 4a
2b 1 2a Var(X) 3(b a 1) b a 1
2
18. [St. Petersburg Paradox]
ใหคุณโยนเหรียญเที ่ยงตรงอันหนึ ่งอยางอิสระและนั บจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหงายดาน กอย ถาจํานวนครั ้งที ่นับไดคอื n คุณจะไดเงิน 2 ดอลลาร จํานวนเงินที ่คาดวา คุณ จะไดรับเทากับเทาใด คุณเต็มใจที ่จะจายคาเลนเกมเกมนี ้เทาใด n
เฉลย
คาคาดหวังของจํานวนเงินที ่คุณจะไดรับสําหรับการเลนเกมนี ้เปนคาอนันตเพราะถา X คือจํานวนเงินที ่คณุ จะไดจากการเลนเกม แลว
97
98
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
E(X) 2 2 k
k
k 1
1 k 1
ดังนั ้น ถาคุณตองตัดสินใจระหวางการเลนเกมนี ้โดยจายคาเกม f หรือไมเลนเกมนี ้เลย และเปา หมายของ คุณคือเลือกทางเลือกที ่กํ า ไรสุทธิ เฉลี ่ยสูงสุ ดแลวคา เกม f จะเปนเทาใดคุณก็จะยอมจาย ขัดแยงกับ พฤติกรรมของคนสวนมากซึ ่งยอมจายประมาณ 20 ถึง 30 ดอลลารเพื ่อเลนเกมนี ้ ความตางนี ้เนื ่องมาจาก ขอสมมุตทิ ี ่วาจํานวนเงินที ่แตละคนยินยอมจายกําหนดจากคาคาดหวังของกําไร แตการตัดสินใจรับความ เสี ่ยงของแตละคนไมไดพจิ ารณาถึงคาคาดหวังของกําไร 19.
โรงงานช็อกโกแลตแหงหนึ ่งสงเสริมการขายโดยโฆษณาว าโรงงานใสสลากทองคําในแทงช็อกโกแลตบาง แทง ผู ที ่พบสลากทองคํานี ้จะไดเดินทางมาที ่โรงงานและไดกิ นช็อกโกแลตฟรีตลอดชีวิต ถาความนาจะ เปนที ่จะพบสลากทองคําในแทงช็อกโกแลตแตละแทงเทากับ p จงหาคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ จํานวนแท งช็อกโกแลตที ่กนิ จนกระทั ง่ พบสลากทองคํา
เฉลย
ให C แทนจํานวนแทงช็อกโกแลตที ่กินจนกระทั ่งพบสลากทองคํา จะไดวา C มีการแจกแจงเรขาคณิตที ่มี พารามิเตอร p ดังนั ้น คาเฉลี ่ยของ C คือ E(C) 1 และความแปรปรวนของ C คือ Var(C) = 1 p p2
p
20.
โยนเหรียญ 2 อันพรอมกันซ้ ําๆจนกระทั ่งเหรียญหนึ ่งหงายดานหัวและอีก เหรียญหนึ ่งหงายด านกอ ย เหรียญแรกหงายดานหัวดวยความนาจะเปน p และเหรียญที ่ส องหงายดา นหัวด วยความนาจะเป น q การโยนเหรียญแตละครั ้งเปนอิสระกัน (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปน คาคาดหวัง และความแปรปรวนของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ (2) จงหาความนาจะเปนที ่เหรียญแรกหงายดานหัวในครั ้งสุดทายของการโยนเหรียญ
เฉลย
ให X แทนจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหนึ ่งหงายดานหัวและอีกเหรียญหนึ ่งหงายดาน กอย สังเกตวา X เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิตที ่มคี วามนาจะเปนของผลลัพธที ่เปนความสําเร็จเทากับ (1)
P({HT, TH}) = p(1 – q) + q(1 – p)
ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X คือ p X (k) 1 p(1 q) q(1 p)
ดังนั ้น และ
E(X)
1
p(1 q) q(1 p) pq (1 p)(1 q) Var(X) 2 p(1 q) q(1 p)
k 1
p(1 q) q(1 p) ,
k 1, 2,...
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง (2)
ความนาจะเปนที ่เหรียญแรกหงายดานหัวในครั ้งสุดทายของการโยนเหรียญเทากับ P HT |{HT,TH}
21.
p(1 q) p(1 q) q(1 p)
โยนเหรียญเที ่ยงตรงอัน หนึ ่งซ้ ํา ๆและเปนอิ สระกันจนกระทั ่งเหรียญหงายดานหัวสองครั ้งติดตอกัน หรือหงายดานกอยสองครั ้งติดตอกัน จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปน คาคาดหวัง และความแปรปรวน ของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ ิ าเราโยนเหรียญจนกระทั ง่ เหรียญหงายดานกอยและครั ้งกอนหนานี ้เหรียญหงายดานหัว จงหา (2) สมมุตว ฟงกชันมวลความนาจะเปน และคาคาดหวังของจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ
(1)
เฉลย
ให X แทนจํานวนครั ้งที ่โยนเหรียญ 1 (1) สําหรับแตละครั ้งของการโยนเหรี ยญหลังจากการโยนครั ้งแรก มีความน าจะเปน ที ่จะไดผลลัพ ธ 2 เหมือนกับครั ้งกอน ดังนั ้น ตัวแปรสุ ม X อยู ในรูปแบบ X = Y + 1 เมื ่อ Y เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิต ที ่มี พารามิเตอร p 1 และจะได 2
1 k 1 , k2 p X (k) 2 0, คาอื ่น ๆ ของ k E(X) E(Y) 1
และ
1
1 3 p 1 p
Var(X) Var(Y)
p2
2
ถา k > 2 จะมีลําดับ k – 1 ชุดที ่นําไปสู เหตุการณ {X = k} ตัวอยางเชน H…HT ซึ ่งเปนหัว (H) จํานวน k – 1 ครั ้งตามดวยกอย (T) ลําดับอีก k – 2 ชุดที ่เปนไปไดอยู ในรูปแบบ T…TH…HT ซึ ่งสวน ที ่อยู ระหวาง T…T มีความยาวต างๆกัน สําหรับกรณีที ่ k = 2 มีลําดับที ่เปนไปไดเพียงชุดเดียว (= k – 1) คือ HT ซึ ่งนําไปสู เหตุการณ {X = k} ดังนั ้น สําหรับ k 2 (2)
k
ดังนั ้น และ
1 P(X k) (k 1) 2 k 1 (k 1) , k 2 p X (k) 2 0, คาอื ่น ๆ ของ k
99
100
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา k
k
k
k
1 1 1 1 E(X) k(k 1) k(k 1) k 2 k 6 2 4 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 2
ในการใหเหตุผลขางบน เราใชสมการ k
1 k E(Y) 2 2 k 1
และ
k
2 1 2 2 22 6 k E(Y ) Var(Y) E(Y) 2 k 1 2
เมื ่อ Y เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิตที ่มีพารามิเตอร p 1 2
22.
นักเลนหุ นคนหนึ ่งซื ้อหุ น A จํานวน 100 หนวยและซื ้อหุ น B จํานวน 200 หนวย ให X และ Y แทนราคา ที ่เปลี ่ยนแปลงในช วงเวลาหนึ ่งของหุ น A และ B ตามลําดับ ถาฟงกชันมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y เปนแบบยูนิฟอรมบนเซตของจํานวนเต็ม x และ y ซึ ่งสอดคลองกับอสมการ 2 x 4 และ 1 y x 1 ิ และคาเฉลี ่ยของ X และ Y (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจน (2) จงหากําไรเฉลี ่ยของนักเลนหุ น
เฉลย (1)
มีคอู ันดับ (x, y) ของจํานวนเต็ม 21 คู ในอาณาบริเวณ R {(x, y) | 2 x 4, 1 y x 1}
ฟงกชันมวลความนาจะเปนรวมของ X และ Y คือ 1 , (x, y) R p X,Y (x, y) 21 0, (x, y) R
สําหรับแตละคาของ x ในชวง [-2, 4] มีคาของ Y ที ่เปนไปได 3 คา และจะไดฟงกชันมวลความนาจะ เปนมารจนิ ของ X เปน 3 , x 2, 1, 0,1, 2,3, 4 p X (x) 21 0, คาอื ่นๆของ x
คาเฉลี ่ยของ X คือจุดกึ ่งกลางของชวง [-2, 4] E(X) = 1
ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจนิ ของ Y คือ
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง 1/ 21, 2 / 21, 3 / 21, p Y (y) 2 / 21, 1/ 21, 0,
y 3 y 2 y 1, 0,1, 2,3 y4 y5
คาอื ่น ๆ ของ y
คาเฉลี ่ยของ Y เทากับ E(Y) (2)
1 21
3 5
กําไรกําหนดโดย
2
2 4
21
3 21
1 1 2 3 1
P = 100X + 200Y
ดังนั ้น 23.
E(P) 100 E(X) 200 E(Y) 100 1 200 1 300
นักศึกษา n คนเขาสอบรายวิชาหนึ ่งซึ ่งมีคําถาม m ขอ สมมุตวิ า นักศึกษาคนที ่ i ตอบคําถาม m ขอแรก ู อนเลือกดูคาํ ตอบหนึ ่งโดยสุ ม แทนคําตอบนี ้ดวย (I, J) เมื ่อ I คือหมายเลขของนั กศึกษา (มี (1) อาจารยผ ส คา 1, 2, …, n) และ J คือลําดับที ่ของคําถาม (มีคา 1,2,…, m) สมมุติวา แตละคําตอบมีความนาจะเปนที ่ จะถูกเลือกเทากัน จงหาฟงกชันมวลความนาจะเปนรวม และ ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจินของ I และ J ิ า คําตอบหนึ ่งของคําถามขอที ่ j ที ่ตอบโดยนักศึกษาคนที ่ i เปนคําตอบที ่ถูกตองดวยความนาจะ (2) สมมุตว เปน p แตละคําตอบไดคะแนน a คะแนนถาเปนคําตอบที ่ถูกตอง และไดคะแนน b คะแนนถาเปน คําตอบที ่ไมถูกตอง จงหาคาคาดหวังของคะแนนของนั กศึกษาคนที ่ i i
ij
เฉลย (1)
เนื ่องจากทุกคาที ่เปนไปไดของ (I,J) มีความเปนไปไดเทากัน เราจะได 1 , j mi n p I,J (i, j) k 1 m k 0, j mi
ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจนิ ของ I และ J คือ p I (i)
m
p
I,J
(i, j)
j1
p J ( j)
n
p I,J (i, j)
mi
n k 1
, i 1,..., n m k
j
, j 1,..., m
เมื ่อ คือจํานวนนักศึกษาที ่ตอบคําถามขอที ่ j หมายถึง นักศึกษาคนที ่ i ซึ ่ง j ≤ m j
i 1
n
m k k 1
i
101
102
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
คาคาดหวังของคะแนนของนักศึกษาคนที ่ i เทากับผลบวกของคาคาดหวัง p a (1 p )b ของ คะแนนจากการตอบคํ าถามที ่ j เมื ่อ j 1,..., m ซึ ่งก็คือ (2)
ij
ij
i
mi
p a (1 p )b ij
j1
ij
24. [การแจกแจงอเนกนาม (The Multinomial Distribution)]
ลูกเตาลูกหนึ ่งมี r หนา เขียน 1, 2, …, r กํากับไวหนาละจํานวน ทอดลูกเตาลูกนี ้จาํ นวน n ครั ้ง (n เปนคา คงตัว) ในการทอดลู กเตาแตละครั ้ง ความนาจะเปนที ่ลกู เตาจะหงายหนา i เทากับ p ผลการทอดลู กเตาแต ละครั ้งเปนอิสระกัน ให X แทนจํานวนครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา i (1) จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนรวม p (k ,..., k ) (2) จงหาคาคาดหวังและความแปรปรวนของ X (3) จงหา E(X X ) เมื ่อ i j i
i
X1 ,...,X n
1
r
i
i
j
เฉลย (1)
ในการทอดลูกเตาจํานวน n ครั ้ง เหตุการณที ่ลูก เตาหงายหนา i จํานวน k i ครั ้ง (i =1,…,r และ
k 1 + …+k r = n)
เกิดขึ ้นได
n n! k1 ,...,k r k1 ! k r !
วิธี แตละวิธมี ีความนาจะเปนเทากันคือ p
k1 1
p k r
r
ดังนั ้น สําหรับ k 1 + …+k r = n,
k k p1 ...pr k1 ,...,k r n
p X1 ,...,X r (k1 ,..., k r )
1
r
และ p (k ,..., k ) 0 สําหรับ k 1 + …+k r ≠ n ี ารามิเตอร n และ pi ดังนั ้น E(Xi) = npi และ Var(Xi) = (2) ตัวแปรสุ ม Xi มีการแจกแจงทวินามที ่มพ X1 ,...,X r
1
r
npi(1 – p i)
สมมุติวา i ≠ j และให Yi,k (หรือ Y j,k ) เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลี ที ่มีค าเปน 1 เมื ่อลู กเตา หงายหนา i (หรือ j ตามลําดั บ)ในการทอดลู กเตาครั ้งที ่ k และมีคา เปน 0 เมื ่อลู กเตาหงายหนาอื ่น สังเกตวา Yi,k Y j,k = 0 และสําหรับ k , Yi,k และ Y เปนอิสระกัน จะได E(Y Y ) p p ดังนั ้น (3)
,
E(X i X j ) E[(Yi,1 ... Yi,n )(Yj,1 ... Yj,n )]
n(n 1)E(Yi,1Yj,2 ) n(n 1)pip j 25. [The inclusion-exclusion formula]
i,k
j,
i
j
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ให A , A ,..., A เปนเหตุการณ ให S {i |1 i n} , S {(i ,i ทั ่วไป ให S {(i ,...,i ) |1 i i ... i n} จงแสดงวา 1
2
n
m
1
1
k 1 n
m
P Ak
1
2
2
i
(i1 ,i2 )S2
(i1, i 2 ,i3 )S3
2
) |1 i1 i 2 n}
และในกรณี
m
P(A ) iS1
1
103
P(A i1 A i2 )
P(A i1 A i2 A i3 ) ... (1)
n 1
n P Ak k 1
เฉลย n
เขียนเหตุการณ B A ในพจนของตัวแปรสุ ม X ,...,X เหตุการณ BC เกิดขึ ้นเมื ่อ ตัว แปรสุ ม X ,...,X ทุกตัวเทากับ 0 ซึ ่งจะเกิดขึ ้นเมื ่อตั วแปรสุ ม Y= 1 X (1 X )...(1 X ) เทากับ 1 สังเกต วา Y สามารถมีคา เพียง 0 หรือ 1 เทานั ้น ดังนั ้น P(BC) = P(Y = 1) = E(Y) และจะได k 1
1
1
k
n
n
1
2
n
P(B) 1 E[(1 X1 )(1 X 2 )...(1 X n )]
E(X1 ... Xn ) E Xi Xi ... (1)n 1 E(X1 ...Xn ) (i , i )S 1
1 2
2
2
สังเกตวา E(X i ) P(Ai ),
E(X i1 X i2 ) P(A i1 A i2 ),
E(X i1 X i2 Xi3 ) P(A i1 A i2 A i3 ),
E(X i1 X i2 ...X in ) E(X1 X2...X n ) P( A k )
n
k 1
ดังนั ้น n k 1
P(B) P A k
P(A ) i
iS1
(i1 ,i 2 ,i3 )S3
26.
(i1 ,i2 )S2
P(A i1 A i2 )
n k 1
P(A i1 A i2 Ai3 ) ... ( 1) n 1 P A k
ทอดลูกเตาเที ่ยงตรง 4 ครั ้งเปนอิสระกัน ให X แทนจํานวนครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา 1 และ Y แทนจํานวน ครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา 2 จงหาฟงกชันมวลความน าจะเปนรวมของ X และ Y
เฉลย
ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจนิ p ของตัวแปรสุ ม Y คือ Y
y
4 1 5 p Y (y) y 6 6
4 y
, y 0,1,..., 4
ในการคํานวณฟงกชันมวลความนาจะเปนมีเงื ่อนไข p สังเกตวา เมื ่อกําหนด Y = y ตัวแปรสุ ม X คือ จํานวนครั ้งที ่ลูกเตาหงายหนา 1 จากการทอดลูกเตา 4 – y ครั ้งที ่เหลือ แตละครั ้งลูกเตาสามารถหงายหนา X|Y
104
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
1,3,4,5
1
หรือ 6 ดวยความนาจะเปน
เทากัน ดังนั ้น ฟงกชันมวลความนาจะเปนมีเ งื ่อนไข p เปน X|Y
5
ฟงกชันมวลความนาจะเปนทวินามที ่มีพารามิเตอร n = 4 – y และ p = 4 y 1 4 x 5 5 x
1 5
4 y x
p X|Y (x | y)
27.
เมื ่อ x และ y เปนจํานวนเต็มบวกหรือศูนยซงึ ่ 0 x y 4 พิจารณาคน 2m คนซึ ่งเปนคู สมรส m คู ทมี ่ ชี วี ติ อยู ณ เวลาที ่กําหนด สมมุติวา เวลาผานไปชวงหนึ ่ง ความ นาจะเปนที ่แต ละคนยังมี ชีวิตอยู เทา กับ p เปนอิสระกันกับคนอื ่นๆ ณ เวลาที ่กล าวถึงภายหลังนี ้ ให A แทนจํานวนคนในกลุ มดัง กล าวที ่ยังมีชี วิต อยู และให C แทนจํานวนคู สมรสที ่ยังมี ชีวิต อยู ทั ้งคู จงหา E(C | A a)
เฉลย
ให Xi เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา 1 หรือ 0 ขึ ้นอยู กับวาสามีในคู สมรสคู ที ่ i มีชวี ติ อยู หรือไม และให Yi เปนตัว แปรสุ มที ่มีคา 1 หรือ 0 ขึ ้นอยู กับวาภรรยาในคู สมรสคู ที ่ i มีชวี ติ อยู หรือไม ดังนั ้น C X Y และโดย m
i 1
i
i
ทฤษฎีบทคาคาดหวังรวม จะได E C | A a
m
EX Y | A a i
i 1
i
mE X1Y1 | A a mE Y1 1| X1 1, A a P X 1 1| A a
mP Y1 1| X1 1, A a P X1 1| A a
28.
เนื ่องจาก
P Y1 1 | X1 1, A a
ดังนั ้น
E C | A a m
สังเกตวา
E C | A a
a 1
,
P X1 1| A a
2m 1 a 1 a a(a 1)
2m 1 2m
a 2m
2(2m 1)
ไมขนึ ้ กับ p
จงทวนสอบกฎของคาคาดหวัง E g(X, Y) g(x, y)p (x, y) โดยใชกฎเกี ่ยวกับคาคาดหวังของฟงกชันของตัวแปรสุ มตัวเดียว แลวใชกรณีพเิ ศษของฟงกชันเชิงเสนทวน สอบสูตร X,Y
x
y
E aX bY aE(X) bE(Y)
เมื ่อ a และ b เปนคาคงตัว
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
เฉลย
เราสามารถใชทฤษฎีบทคาคาดหวังรวมทอนปญหาใหเปนกรณีของตัวแปรสุ มตัวเดียว E g(X, Y) p Y (y)E g(X, Y) | Y y y
p Y (y)E g(X, y) | Y y y
p Y (y) g(x, y)p X|Y (x | y) y
x
g(x, y)p X,Y (x, y) x
y
สังเกตวา ในสมการที ่สาม เราใชกฎคาคาดหวังสําหรับฟงกชัน g(X, y) ของตัวแปร X ตัวเดียว สําหรับกรณีฟง กชันเชิงเสน ใชกฎคาคาดหวัง จะได E(aX bY) (ax by)pX, Y (x, y) x
y
a x p X,Y (x, y) b y pX ,Y (x, y) x
y
y
x
a x p X (x) b y pY (y) x
y
aE(X) bE(Y)
กฎการคูณสําหรั บฟ งกชนั มวลความนาจะเปนมีเงื ่อนไข] ให X, Y และ Z เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง (1) จงแสดงวา p (x, y, z) p (x)p (y | x)p (z | x, y) (2) สูตรในขอ(1)นี ้สามารถแปลความหมายเป นกรณีพเิ ศษของกฎการคูณของความนาจะเปนที ่กลาวใน บทที ่ 1 ไดอยางไร (3) จงเขียนกรณีทั ่วไปของสูตรในขอ (1) สําหรับตัวแปรสุ ม n ตัว
29. [
X,Y ,Z
X
Y|X
Z|X,Y
เฉลย (1)
p X,Y,Z (x, y, z) P X x, Y y, Z z P X x P Y y, Z z | X x P X x P Y y | X x P Z z | X x, Y y
p X (x)p Y|X (y | x)p Z|X,Y (z | x, y)
(2)
สูตรในขอ(1)ขางบนนี ้สามารถเขียนเปน P X x, Y y, Z z P X x P Y y | X x P Z z | X x, Y y
ซึ ่งเปนกรณีพเิ ศษของกฎการคูณของความนาจะเปน
105
106
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
(3)
กรณีทั ่วไปของสูตรในขอ (1) สําหรับตัวแปรสุ ม n ตัวคือ p X1 ,...,Xn (x 1 ,..., x n ) p X1 (x 1 )p X2 |X1 (x 2 | x1 )...pXn |X1 ,...,Xn 1 (x n | x1 ,..., x n 1 )
เครื ่องสงสัญญาณสง 1 ดวยความนาจะเปน p และสง 0 ดวยความนาจะเปน 1 – p เปนอิสระกันกับ สัญญาณที ่สง กอนหนานั ้น ถาจํานวนสัญญาณที ่สง ในชวงเวลาที ่กาํ หนดมีฟง กชันมวลความน าจะเปนปวส ซองที ่มีพารามิเตอร จงแสดงวาจํานวนสัญญาณ 1 ที ่สง ในชวงเวลาเดียวกันนี ้มีฟงกชันมวลความน าจะ เปนปวสซองที ่มีพารามิเตอร p
30.
เฉลย
ให X และ Y แทนจํานวนสัญญาณ 1 และจํานวนสัญญาณ 0 ที ่สง ออกจากเครื ่องสงสัญญาณตามลําดับ ให Z = X + Y แทนจํานวนรวมของสัญญาณ 1 และ 0 ที ่สง ออกจากเครื ่องสงสัญญาณ จะได P X n, Y m P X n, Y m | Z n m P Z n m n m n m n m e p (1 p) (n m)! n
และจะได
P(X n)
(1 p) (1 p) e p (p) n e
n!
m
m!
P(X n, Y m) m0
e p (p) n n!
e p (p) n e
p
n! ( p) n
e
(1 p)
(1 p)
m0
m
m!
e (1p) e (1p )
n!
ดังนั ้น X เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร p 31.
ระหวางขับรถยนตไปทํางานอลิสผานแยกสัญญาณไฟจราจร 4 จุด แตละจุดที ่อลิสไปถึงมีความเปนไปได เทากันที ่จะเปนไฟแดงหรือไฟเขียว เปนอิสระกันกับจุดอื ่นๆ (1) จงหาฟงกชันมวลความนาจะเป น คาเฉลี ่ย และความแปรปรวนของจํ านวนสัญญาณไฟแดงที ่อลิสพบ ระหวางเดินทางไปทํางาน (2) สมมุติวาสัญญาณไฟแดงแตละจุดทําใหอลิสตองหยุดรถ 2 นาที จงหาความแปรปรวนของเวลาที ่ เพิ ่มขึ ้นในการเดิ นทางของอลิ ส
เฉลย
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ให X แทนจํานวนครั ้งที ่อลิสพบกับสัญญาณไฟแดงระหวางการเดิ นทาง X มีการแจกแจงทวิ นามที ่มี พารามิเตอร n = 4 และ p = 1 คาคาดหวังและความแปรปรวนของ X คือ (1)
2 1
E(X) np 4
และ
2
2
1 1 Var(X) np(1 p) 4 1 2 2
เนื ่องจาก ไฟแดงแตละจุดทํ าใหอลิสเสียเวลาในการเดินทาง 2 นาที ดังนั ้น เวลาที ่เพิ ่มขึ ้นในการ เดินทางของอลิ สคือ 2X ซึ ่งมีความแปรปรวนเทากับ 2 Var(2X) 2 Var(X) 4 1 4 (นาที) (2)
2
ในตอนเชาของแตละวัน สุวรรณจะกินขนมไขนกกระทา 1, 2, …, หรือ 6 ชิ ้นดวยความนา จะเปน เทา กัน และเปนอิสระกันกับวันกอนๆ ให X แทนจํานวนขนมไขนกกระทาที ่สวุ รรณกินใน 10 วัน จงหาคาเฉลี ่ย และความแปรปรวนของ X เฉลย ให Xi แทนจํานวนขนมไข นกกระทา (ชิ ้น) ที ่สวุ รรณกินในวันที ่ i จะไดวา Xi เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มี การแจกแจงยูนิฟอรมบนเซต {1, 2, 3, 4, 5, 6} และมีฟง กชันมวลความนาจะเปน 32.
1 , k 1, 2, 3, 4, 5, 6 p X (k) 6 0, ค า อื ่น ๆ ของ k i
คาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ Xi คือ E(Xi) = 1
1 6
1
1
6
6
2 ... 6 3.5 2
Var(X i ) E(X i2 ) E(X i ) 12
1 1 22 ... 62 (3.5)2 2.9167 6 6 6 1
10
จํานวนขนมไขนกกระทาที ่สวุ รรณกินใน 10 วันแทนดวย X X มีคา เฉลี ่ย i 1
i
10 10 E(X) E X i E(X i ) 10(3.5) 35 i1 i1
ในการหาความแปรปรวนของ X ใหสังเกตวา Xi เปนตัวแปรสุ มอิสระ ดังนั ้น 10 10 Var(X) Var X i Var(X i ) 10(2.9167) 29.167 i 1 i 1
107
108
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
33.
นโยบายการประเมินบทความวิชาการของอาจารย ทานหนึ ่งเปนที ่ทราบกันทั ่วไป แตละบทความจะไดเกรด A, A-, B+, B, B-, C+ ดวยความน าจะเปนเทากั น และเปนอิสระกันกับบทความอื ่นๆ คาดวา จะตอ งสง บทความใหทา นประเมินกี ่ฉบับกอนที ่จะไดผลการประเมินทุกเกรดที ่เปนไปได
เฉลย
เชื ่อมโยงความสําเร็จกับบทความวิชาการที ่ไดเกรดที ่ยังไมเคยไดรับมากอน ให Xi แทนจํานวนบทความ ระหวางความสํ าเร็จครั ้งที ่ i และความสําเร็จครั ้งที ่ i + 1 จะได ให X แทนจํานวนบทความที ่สง ใหประเมิน จนกระทั ่งไดผลการประเมินทุกเกรดที ่เปนไปได จะได X 1 X และดังนั ้น 5
i
i 1 5
E(X) 1 E(Xi ) i 1
หลังจากไดถงึ i – 1 เกรดแตกตางกันแลว (ความสําเร็จ i – 1 ครั ้ง) บทความวิชาการแตละฉบับตอจากนั ้น มีความนาจะเปน 6 i ที ่จะไดเ กรดที ่ยังไมเคยไดรับมาก อน ดังนั ้น Xi เปนตัวแปรสุ ม เรขาคณิต ที ่มี พารามิเตอร p
i
6 6i 6
และจะได
E(X i )
5
5
i 1
i 1
E(X) 1 E(X i ) 1
34.
6 6i 6
6i
ดังนั ้น 5
1
1 6 14.7 i1
i
สถาพรขับรถยนตไปทํางานสัปดาหละ 5 วันตลอดทั ้งป (50 สัปดาห) และในแตละวันสถาพรมีความนาจะ เปน p = 0.02 ที ่จะไดรับใบสั ่งปรับเปน อิสระกันกับวันอื ่น ๆ ให X แทนจํานวนใบสั ่งที ่สถาพรไดรับ ทั ้งหมดในรอบ 1 ป (1) จงหาความนาจะเปนที ่จาํ นวนใบสั ่งคาปรับที ่สถาพรไดรับเทากับคาคาดหวั งของ X (2) จงประมาณคาความนาจะเปนในขอ (1) โดยใชฟงกชันมวลความน าจะเปนปวสซอง (3) คาปรับตามใบสั ่งปรับแตละใบเทากับ 100 บาท หรือ 200 บาท หรือ 500 บาทดวยความนาจะเปน 0.5, 0.3 และ 0.2 ตามลําดับ และเปนอิสระกัน จงหาคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของจํ านวนเงินที ่สถาพร ตองจายตามใบสั ่งปรับในรอบ 1 ป (4) สมมุติ เราไมทราบคาความน าจะเปน p ที ่สถาพรจะไดรับในแตละวัน แตสถาพรไดรับใบสั ่งคาปรับ 5 ใบในรอบ 1 ป เราสามารถประมาณค าของ p โดยใชคา เฉลี ่ยตัวอยาง pˆ
5 250
0.02
จงหาชวงของคาที ่เปนไปไดของ p โดยใชขอ สมมุติวาผลตางระหวาง p กับ pˆ ไมเกิน 5 เทาคาเบี ่ยงเบน มาตรฐานของค าเฉลี ่ยตัวอยาง เฉลย
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ตัวแปรสุ ม X มีการแจกแจงทวิ นามที ่มพี ารามิเตอร n = 250 และ p = 0.02 คาเฉลี ่ยของ X คือ E(X) = np = 2500.02 = 5 ดังนั ้น ความนาจะเปนที ่สนใจคือ (1)
250 (0.02)5 (0.98) 245 0.1773 5
P(X = 5) =
ประมาณการแจกแจงความน าจะเปนของ X ดวยการแจกแจงป วสซองที ่มพี ารามิเตอร = np = 5 จะ ไดความนาจะเปนที ่สนใจในขอ (1) เปน (2)
P(X = 5)
e 5 5!
0.1755 5
(3)
ให Y แทนจํานวนเงินคาปรับตามใบสั ่งปรับในรอบ 1 ป จะได Y 50 Y เมื ่อ Yi แทนจํานวนเงิน i 1
คาปรับตามใบสั ่งปรับในวันที ่ i ในรอบสัปดาหทขี ่ ับรถยนตไปทํางาน และจะได 5
50E(Y ) ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ Y คือ E(Y)
i
i 1
i
0.98, 0.01, P Yi y 0.006, 0.004,
y0 y 100 y 200 y 500
ซึ ่งมีคา เฉลี ่ยทากับ E(Yi ) 100 0.01 200 0.006 500 0.004 4.20
และความแปรปรวนเท ากับ Var(Y ) E Y E(Y ) 2 i
i
คาเฉลี ่ยของ Y เทากับ
2
i
1002 0.01 200 2 0.006 500 2 0.004 (4.20) 2 1322.36 5
50E(Y ) 5 50 4.20 1050 เนื ่องจาก Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ ดังนั ้น ความแปรปรวนของ Y เทากับ E(Y)
i
i 1
i
5
50 Var(Y ) 5 50 1322.36 330590 ความแปรปรวนของคาเฉลี ่ยตัวอยางคือ Var(Y)
2
i
i 1
(4)
p(1 p) 250
i
109
110
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
จากขอสมมุตทิ วี ่ า | p pˆ | มีคาไมเกิน 5 เทาของคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานของค าเฉลี ่ยตัวอยาง จะไดวา คาของ ื คาของ p ในชวง [0, 1] ซึ ่งสอดคลองกับอสมการ p ที ่เปนไปได คอ (p 0.02) 2
25p(1 p) 250
อสมการนี ้สามารถเขียนในรูปแบบ
275p2 35p 0.1 0
ซึ ่งเปนจริง ก็ตอเมื ่อ p มีคา อยู ในชวง [0.0025, 0.1245] 35.
สมมุตวิ า X และ Y เปนตัวแปรสุ มเรขาคณิตที ่มพี ารามิเตอร p เหมือนกัน และเปนอิสระกัน จงแสดงวา P(X i | X Y n)
1 n 1
, i 1,..., n 1
เฉลย
พิจารณาการโยนเหรี ยญอันหนึ ่งซ้ ําๆและเปนอิสระกัน โดยมีความนาจะเปน p ที ่เหรีย ญจะหงายดา นหัว เราสามารถแปลความหมาย P(X i | X Y n) เปนความนาจะเปนที ่เหรี ยญจะหงายดานหัวเปน ครั ้ง แรกในการโยนเหรี ยญครั ้งที ่ i เมื ่อกําหนดใหเหรียญหงายดานหัวครั ้งที ่สองในการโยนเหรี ยญครั ้งที ่ n นั ่น คือ ถากําหนดใหเหรียญหงายดานหัวครั ้งที ่สองในการโยนเหรีย ญครั ้งที ่ n การหงายดานหัวครั ้งแรกมี ความเปนไปไดเทากันที ่จะเกิดขึ ้นในการโยนเหรียญครั ้งใดๆตั ้งแตครั ้งที ่ 1 ถึง n – 1 เขียนแสดงใหรัดกุม ขึ ้นไดดังนี ้ : เนื ่องจาก P(X i | X Y n) P(X i, X Y n) P(X i)P(Y n i) P(X Y n)
P(X Y n)
และ และ
P(X i) p(1 p) i1 ,
จะไดวา
p2 (1 p) n 2 , i 1,..., n 1 P(X i)P(Y n i) คา อื ่น ๆ ของ i 0,
i 1
P(Y n i) p(1 p) n i 1,
n i 1
ดังนั ้น สําหรับจํานวนเต็ม i และ j ใดๆในชวง [1,n – 1] เราจะได P(X i)P(X Y n) P(X j)P(X Y n)
และจะได P(X i | X Y n)
1 n 1
, i 1,..., n 1
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 2 ตัว แปรสุ มไมตอเนื ่อง
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มสองตัวที ่มฟี ง กชันมวลความนาจะเปนรวม p (x, y) ให g(X) และ h(Y) เปนฟงกชันของ X และของ Y ตามลําดับ จงแสดงวา ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว g(X) และ h(Y) เปนอิสระกันดวย เฉลย ให U = g(X) และ V = h(Y) จะไดวา 36.
X, Y
p U,V (u, v)
p X,Y (x, y)
{( x ,y )|g ( x) u ,h ( y) v}
pX (x)p Y (y)
{( x ,y )|g (x ) u ,h ( y) v}
p X (x)
{x|g( x ) u}
{( y|h ( y) v}
p U (u)p V (v)
ดังนั ้น U = g(X) และ V = h(Y) เปนอิสระกัน
p Y (y)
(
เพราะวา X และ Y เปนอิสระกัน)
111
112
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
หนาวาง
3 ตั วแปรสุ มทั ่ วไป 1.
ให X เปนตัวแปรสุ มยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] พิจารณาตัวแปรสุ ม Y = g(X) เมื ่อ 1, g(x) 2,
x 1/ 3 x 1/ 3
จงหาคาคาดหวังของ Y โดยใชฟงกชันมวลความนาจะเปนของ Y เปรียบเทียบกับเมื ่อใชกฎการหาคา คาดหวังของฟงกชัน เฉลย
ตัวแปรสุ ม Y = g(X) เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ Y คือ p Y (1) P(X 1/ 3) 1 / 3,
p Y (2) 1 p Y (1) 2 / 3
ดังนั ้น E(Y) 1 1 2 2 5 3 3 3 ถาคํานวณโดยใชกฎคาคาดหวัง ก็จะไดผลเหมือนกัน คือ E(Y)
2.
1
0
g(x)f X (x)dx
1/3
dx
0
1
1/3
2dx
5 3
ตั วแปรสุ มลาปลาซ] ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน [
f X (x)
2
e |x|
เมื ่อ 0 เปนคาคงตัว จงทวนสอบวา คาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X
f X (x)
เปนฟงกชนั ความหนาแนนนาจะเปน และ จงหา
เฉลย
เห็นไดชัดเจนวา f (x) e 0 ดังนั ้น เพียงแสดงว า 2 วา f (x) เปนฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน |x|
X
f X (x)dx 1
ก็เพียงพอที ่จะสรุปได
X
1
1
2 2 2 สังเกตวา e dx 1 ซึ ่งเปนสมบัติข องฟง กชันความหนาแนน นา จะเปน เอกซโพเนนเชีย ลที ่มี พารามิเตอร และเนื ่องจากฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน f (x) สมมาตรโดยมีแกน y เปนแกน สมมาตร ดังนั ้น E(X) = 0 นอกจากนั ้น เรามี
f X (x)dx
e |x| dx 2
0
e x dx 2 1 1
x
0
X
E(X 2 )
x2
2
e |x|dx
0
x 2e x dx
2
2
114
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
สังเกตวา เราใชขอเท็จจริงที ่วา โมเมนตทสี ่ องของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลคือ
2
2
ดังนั ้น Var(X) E(X ) E(X) 2 จงแสดงวาคาคาดหวังของตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องหรือตอเนื ่อง X สอดคลองกับความสัมพันธ 2
2
2
3.
0
0
E(X) P(X x)dx P(X x)dx
เฉลย
สมมุติวา X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง จะไดวา
0
f (y)dx dy f (y) dx dy
P(X x)dx
0
f X (y)dy dx
x
0
y
X
0
y
X
0
0
yf X ( y)dy 0
สังเกตวาในสมการที ่สองขางบน เราสลับอันดับของการหาปริ พันธโดยเขียน {(x, y) | 0 x , x y }
ในรูปแบบ {(x, y) | 0 x y,0 y }
ทํานองเดียวกัน เราสามารถแสดงวา
0
yf (y)dy รวมความสัมพันธขา งตนทั ้งสองเขาดวยกัน จะได 0
P(X x)dx
X
ถา X เปนตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง จะได P(X x) p (y)
P(X x)dx P(X x)dx
0
0
0
yf X (y)dy
0
yf X (y)dy E(X)
0
X
y x
p (y)dx p (y) dx
y0
y
0
X
y
X
y0
0
p X (y) y y 0
สําหรับสวนที ่เหลือ เราสามารถอางเหตุผลไดในทํานองเดียวกันกับกรณีตัวแปรสุ มตอเนื ่อง
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป 4.
กฎคาคาดหวัง ของฟ งกชั นของตั วแปรสุ ม] ให X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มีฟงกชันความหนาแนนน าจะเปน f ของตัวแปรสุ ม X จงพิสูจนวา คาคาดหวังของ g(X) หาไดจากสูตร [
E g(X)
X
(x)
และให g(X) เปนฟงกชัน
g(x)f X (x)dx
เฉลย
เขียนฟงกชัน g ในรูปแบบผลตางของฟงกชันที ่มคี าไมเปนจํานวนลบสองฟงกชันดังนี ้ g(x) g (x) g (x)
เมื ่อ g (x) max{g(x), 0} และ g ใชผลจากโจทยปญ หาขอ 3.
(x) max{g(x), 0}
พจนแรกในขางขวาของสมการข างบนนี ้เทากับ f (x)dxdt f ( x)dtdx P g(X) t dt โดยหลักแหงความสมมาตร พจนทสี ่ องในขางขวาของสมการเท ากับ P g(X) t dt g (x)f (x)dx รวมผลที ่ไดจากทั ้งสองสมการขางบน จะได E g(X) P g(X) t dt P g(X) t dt 0
0
0
0
{x|g (x ) t}
0
E g(X) 5.
X
{t|0 t g (x )}
X
g (x)f X (x)dx
X
g (x)f X (x)dx
g (x)f X (x)dx
g(x)f X (x)dx
พิจารณารูปสามเหลี ่ยมรูปหนึ ่งและเลือกจุดหนึ ่งภายในรูป สามเหลี ่ยมโดยสุ ม (ภายใตการแจกแจง ยูนิฟอรม) ให X แทนระยะทางจากจุดที ่เลือ กถึงฐานของรูปสามเหลี ่ยม เมื ่อกํา หนดสวนสู งของรูป สามเหลี ่ยม จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X
เฉลย
ให A 1 bh เปนพื ้นที ่ของรูปสามเหลี ่ยมที ่กําหนดให เมื ่อ b เปนความยาวของฐานและ h คือความ 2
สูงของรูปสามเหลี ่ยม ลากเสนจากจุดที ่เลือกโดยสุ มขนานกับฐาน ให A เปนพื ้นที ่ของรูปสามเหลี ่ยม ที ่เกิด ขึ ้น รูปสามเหลี ่ยมนี ้มีความสูงเทา กับ h – x และความยาวของฐานเทากับ b(h x) ดังนั ้น x
h
Ax
b(h x) 2h
2
สําหรับ x [0, h] จะไดวา
FX (x) 1 P(X x) 1
Ax A
1
b(h x) 2 / (2h) bh / 2
hx 1 h
และ F (x) 0 สําหรับ x < 0 และ F (x) 1 สําหรับ x > h X
X
2
115
116
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
หาอนุพันธของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม F (x) จะไดฟงกชันความหนาแนนนาจะ เปนของ X เปน X
2(h x) , 0 xh f X (x) FX (x) h 2 0, คา อื ่นๆ ของ x 6.
มานีไปธนาคารเพื ่อถอนเงิน และ มีโอกาสเทากันที ่จะพบลูก คา 0 หรือ 1 คนที ่มาถึ งกอนมานี เวลาที ่ ใหบริการลูกคาที ่มากอน (ถามี) มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเ ตอร จงหาฟงกชันการ แจกแจงความนาจะเปนสะสมของเวลาที ่มานีรอคอยบริการ
เฉลย
ให X แทนเวลาที ่มานีรอคอยรับบริการ และ Y แทนจํานวนลูกคาที ่มาถึ งกอนมานี สําหรับ x < 0 จะ ได F (x) 0 และสําหรับ x 0, X
FX (x) P(X x)
1 2
P(X x | Y 0)
เนื ่องจาก P(X x | Y 0) 1 P(X x | Y 1) 1 e และ ดังนั ้น เราจะได
1 2
P(X x | Y 1)
x
1 x (2 e ), x 0 FX (x) 2 0, คา อื ่น ๆของ x
สังเกตวาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมไมตอเนื ่องที ่ x = 0 ตัวแปรสุ ม X ไมใชตัวแปรสุ ม ไมตอเนื ่องและไมใชตัวแปรสุ มตอเนื ่อง 7.
วินปาลูกดอกไปที ่เปา วงกลมรัศมี r และมีความเปนไปไดเทากันที ่จะถู กจุด ใดๆบนเปา ให X แทน ระยะทางจากจุดที ่ลกู ดอกถูกเปาถึงจุดศูนยกลางของเปา (1) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน คาเฉลี ่ย และ ความแปรปรวนของ X (2) เปามีวงกลมวงในรัศมี t จุดศูนยกลางเดียวกันกับเปา ถา X t วินไดคะแนน S = 1/X ถา X > t วินไดคะแนน S = 0 จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S และจงพิจารณาวา S เปน ตัวแปรสุ มตอเนื ่องหรือไม
เฉลย (1)
ขั ้นแรก เราคํานวณฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X สําหรับ x [0, r] , x 2 x FX (x) P(X x) 2 r r
สําหรับ x < 0,
FX (x) 0
2
และ สําหรับ x > r,
FX (x) 1
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
หาอนุพันธของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม เปนของ X เปน
FX (x)
จะไดฟง กชันความหนาแนนนาจะ
2x , 0 x r f X (x) r 2 0, คา อื ่น ๆ ของ x
ดังนั ้น คาคาดหวังของ X คือ E(X)
r
0
2x 2
dx
2r
r2 3 r 2x
3 r 2
และ E(X ) dx r 2 ดังนั ้น ความแปรปรวนของ X คือ 2
2
0
Var(X) E(X ) [E(X)] 2
2
r2 2
4r 2 9
r2 18
วินไดคะแนนเปนจํานวนบวกในชวง [1/ t, ) ก็ตอเมื ่อ X t ไมเชนนั ้น ไมได คะแนน (ได 0 คะแนน) ดังนั ้น สําหรับ s < 0, F (s) 0, สําหรับ 0 s 1 / t, (2)
S
วินปาลูกดอกถูกจุดที ่อยู นอกวงกลมวงใน) 1 P(X t) 1
FS (s) P(S s) P(
สําหรับ 1/ t s,
t2 r 2
FS (s) P(S s) P(X t)P(S s | X t) P(X t)P(S s | X t)
เนื ่องจาก
P(X t)
t2 r2
,
P(X t) 1
t2 r 2
เนื ่องจาก S = 0 เมื ่อ X > t)
P(S s | X t) 1 (
t 2 (1 / s) 2 1 r 2 และ P(S s | X t) P(1/ X s | X t) P(1 / s X t) 1 2 2 2 t P(X t) s t r 2 t2 1 t2 ดังนั ้น P(S s) 2 1 2 2 1 2 1 21 2 r s t r s t
กลาวโดยสรุป ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ S คือ s0 0, t2 0 s 1/ t FS (s) 1 2 , r 1 1 s 2r 2 , 1/ t s
เนื ่องจาก F ไมตอ เนื ่องที ่ s = 0 ดังนั ้น ตัวแปรสุ ม S ไมใชตัวแปรสุ มตอเนื ่อง S
117
118
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
8.
พิจารณาตัวแปรสุ มตอเนื ่องสองตัว Y และ Z ให X เปนตัวแปรสุ มซึ ่งเทากับ Y ดวยความนาจะเปน p และเทากับ Z ดวยความนาจะเปน 1 – p (1) จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X คือ f X (x) p f Y (x) (1 p) f Z (x)
จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชีย ลสองดานซึ ่งมี ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน (2)
x0 pex , f X (x) x (1 p)e , x 0
เมื ่อ
0
และ 0 p 1
เฉลย (1)
ใชทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม จะไดวา FX ( x) P(X x) p P(Y x) (1 p) P(Z x) p FY (x) (1 p) FZ (x)
หาอนุพันธทั ้งสองขาง จะได f X (x) p f Y (x) (1 p) f Z (x) (2)
พิจารณาตัวแปรสุ ม Y ที ่มีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน e y , y 0 f Y (y) คาอื ่น ๆ ของ y 0,
และตัวแปรสุ ม Z ที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน e z , z 0 f Z (z) คาอื ่น ๆ ของ z 0,
สังเกตวา ตัวแปรสุ ม –Y และ Z มีการแจกแจงความนาจะเปนเอกซโพเนนเชียล ใชฟงกชันการแจก แจงความนาจะเปนสะสมเอกซโพเนนเชียล จะเห็นไดวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y และ Z คือ ey , y 0 FY (y) y0 1, z0 0, FZ (z) z 1 e , z 0
เนื ่องจาก
f X (x) p f Y (x) (1 p) f Z (x)
และ F (x) p F (x) (1 p) F (x) ดังนั ้น
x
pe , FX (x) x p (1 p)(1 e ), pex , x0 x 1 (1 p)e , x 0
X
x0 x0
Y
Z
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป 9.
ตั วแปรสุ มผสม(Mixed Random Variable)] ในบางสถานการณ ตัวแปรสุ มที ่ใชใ นตัวแบบเชิง ความนาจะเปน สามารถพิจารณาเปนตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่อง Y และตัวแปรสุ มตอเนื ่อง Z ผสมกัน หมายความวา คาของ X ไดจากการแจกแจงความนาจะ เปนของ Y ดวยความนาจะเปน p ที ่กําหนดให และไดจากการแจกแจงความนาจะเปน ของ Z ดวย ความนาจะเปน 1 – p แลวกลาววา X เปนตัวแปรสุ มผสมและสามารถใชทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม หาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X ไดดังนี ้ [
FX (x) P X x
p P Y x (1 p) P Z x p FY (x) (1 p) FZ (x)
คาคาดหวังของ X นิยามคลายกับทฤษฎีบทคาคาดหวังรวมโดย E(X) pE(Y) (1 p)E(Z)
จุดจอดแท็กซี ่และปายรถประจําทางอยู ในบริเวณเดียวกันใกลบา นน้ ําผึ ้ง น้ ําผึ ้งไปที ่จดุ ดังกลาว ณ เวลา ที ่กําหนด ถามีแ ท็กซี ่รออยู (เหตุการณนี ้เกิดขึ ้นดวยความนา จะเป น 2/3) น้ ําผึ ้งจะใชแท็ กซี ่ ถาไมมี แท็กซี ่จอดรออยู น้ ําผึ ้งจะรอขึ ้นแท็กซี ่หรือรถประจําทางคันที ่มาถึงกอน รถแท็กซี ่คันถัดไปจะมาถึงจุด ที ่น ํ้าผึ ้งรออยู ในเวลาที ่มกี ารแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง 0 ถึง 10 นาที ในขณะที ่รถประจํา ทางคันถัดไป จะมาถึงจุดที ่น ํ้าผึ ้งรออยู ในเวลาอีก 5 นาทีแนนอน จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและ คาคาดหวังของเวลาที ่น ํ้าผึ ้งรอรถ เฉลย
ให A แทนเหตุการณทนี ่ ํ้าผึ ้งขึ ้นแท็กซี ่หรือขึ ้นรถประจําทางหลังจากรอรถ 5 นาที สังเกตวาความนาจะ เปนที ่น ํ้าผึ ้งขึ ้นรถประจําทางคันถัดไปในเมื ่อน้ ําผึ ้งตองรอรถคือ 1 P(แท็กซี ่ใชเวลามากกวา 5 นาทีจงึ จะมาถึง) = 2 เวลาที ่น ํ้าผึ ้งรอรถแทนดวย X เปนตัวแปรสุ มผสม ดวยความนาจะเปน P(A)
2 3
1 1
5
3 2
6
มีคาเทากับตัวแปรสุ มไมตอเนื ่อง Y (เวลาที ่รอคอยเมื ่อมีแท็กซี ่จอดรออยู ซึ ่งเทา กับ 0 หรือเวลาที ่รอ คอย 5 นาที รถแท็กซี ่กย็ ังไมมาจึงใชรถประจําทาง) ซึ ่งมีฟง กชันมวลความนาจะเปน X
2 3P(A) , y 0 p Y (y) 1 , y5 6P(A) 12 y 0 15 , 3 , y5 15
119
120
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ความนาจะเปนขางบนนี ้มวี ิธคี ํานวณดังนี ้ p Y (0) P(Y 0 | A)
P(Y 0, A)
P(A)
2 3P(A)
ก็สามารถคํานวณไดในทํานองเดียวกัน ดวยความนาจะเปน 1 – P(A) เวลาที ่น ํ้าผึ ้งรอรถ X เทากับตัวแปรสุ มตอเนื ่อง Z (เวลาที ่รอรถไมถึง 5 นาที ก็ไดขนึ ้ แท็กซี ่) ซึ ่งมีฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน
pY (5)
1 , 0 z 5 f Z (z) 5 0, คาอื ่นๆ ของ z
ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X หาไดจากสูตร FX (x) P(A)FY (x) (1 P(A))FZ (x)
ซึ ่งจะได 0, x0 5 12 1 x FX (x) , 0 x 5 6 15 6 5 1, x 5
คาคาดหวังของเวลาที ่รอคอยคือ E(X) P(A)E(Y) (1 P(A))E(Z)
5 3
6 15
1 5
5
6 2
15 12
การจําลองตั วแปรสุ มตอเนื ่อง (Simulating a Continuous Random Variable)] คอมพิวเตอรมีชุดคําสั ่งย อยที ่สามารถสรางคาของตัว แปรสุ ม U ที ่มี การแจกแจงยูนิ ฟอรม บนช วง ี ง กชันการแจกแจงความนาจะ [0, 1] เราสามารถใชชุดคําสั ่งยอยดังกลาวนี ้สรางคาของตัวแปรสุ มที ่มฟ เปนสะสม F(x) ดังนี ้ ถาตัวแปรสุ ม U มีคา u เราให X มีคา เปน x ที ่สอดคลองกับ F(x) = u ในกรณี อยางงาย สมมุติวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมที ่กําหนดใหเปนฟ งกชันเพิ ่มบนชวง S ของคาที ่สนใจ เมื ่อ S ={x|0 < F(x) < 1} เงื ่อนไขนี ้รับรองวา สําหรับ u ใดๆในชวง (0, 1) จะมี x คา เดียวซึ ่งสอดคลองกับ F(x) = u (1) จงแสดงวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุ ม X ที ่สรางขึ ้นเทากับฟง กชัน การแจกแจงความนาจะเปนสะสมที ่กําหนดให (2) จงอธิบายวิธีสรางคาของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชีย ลที ่มีพารามิเ ตอร โดยใชวิธีการดังกลาว ขางตน ี ารสรางคาของตัวแปรสุ มที ่อธิบายขางตนสามารถใชสรางคาของตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่องที ่มีคา (3) วิธก เปนจํานวนเต็มไดอยางไร
10. [
เฉลย
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
ตัวแปรสุ ม X และ U มีความสัมพันธกันตามสมการ หมายความวา สําหรับทุก x X ≤ x ก็ตอเมื ่อ F(X) ≤ F(x) ดังนั ้น (1)
F(X) U
เนื ่องจาก F เปนฟงกชันเพิ ่ม
P(X x) P F(X) F(x) P U F(x) F(x)
เมื ่อ อสมการสุดทายไดมาจากความจริงที ่วา U มีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] (2) ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมเอกซโพเนนเชียลอยู ในรูปแบบ F(x) 1 e สําหรับ x ≥ 0 ดังนั ้น ในการสรางคาของ X เราสรางคา u (0,1) ของตัวแปรสุ มยูนฟ ิ อรม U แลวกําหนดให ln(1 u) X มีคาที ่สอดคลองกับสมการ 1 e u นั ่นคือ x x
x
ให F เปนฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่อง X ที ่ตองการ ให u (0,1) เป น ค า ใดๆของตั ว แปรสุ ม ยู นิ ฟ อร ม กํ า หนดให u สมนั ย กั บ จํ า นวนเต็ ม x ซึ ่ ง ิ ามตัวแปรสุ ม X ในรูปฟงกชันของตัวแปรสุ ม U และจะไดวา F(x 1) u F(x ) การสมนัยนี ้นย สําหรับทุกจํานวนเต็ม k (3)
u
u
u
P(X k) P F(k 1) U F(k) F(k) F(k 1)
ดังนั ้น ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X เทากับ F ตามที ่ตองการ 11.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มปกติที ่มีคา เฉลี ่ย 0 และ 1 ตามลําดับ และความแปรปรวน 1 และ 4 ตามลําดับ (1) จงหา P(X ≤ 1.5) และ P(X ≤ -1) Y 1 (2) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ 2
(3)
จงหา P(-1 ≤ Y ≤ 1)
เฉลย (1) X
เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน ใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน จะไดวา P(X 1.5) (1.5) 0.9332
และ
P(X 1) 1 (1) 1 0.8413 0.1587
ตัวแปรสุ ม (Y – 1)/2 ไดจากการลบ Y ดวยคาเฉลี ่ย (=1) แลวหารดวยคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน(= 2) ดังนั ้น (Y – 1)/2 มีการแจกแจงปกติมาตรฐานและมีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน (2)
f ( Y1) /2 (z) (3)
1 2
e z
2
/2
ใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน
P(1 Y 1) P 1
Y 1 2
0
121
122
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
P(1 Z 0) P(0 Z 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413
เมื ่อ Z เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน 12.
ให X เปนตัวแปรสุ มปกติที ่มีคา เฉลี ่ย 0 และคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน จงใชตารางการแจกแจงปกติ มาตรฐานคํานวณความนาจะเปนของเหตุการณ {X ≥ k } และ {|X| ≤ k }สําหรับ k = 1, 2, 3
เฉลย
ตัวแปรสุ ม Z X / เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน ดังนั ้น P(X k) P(Z k) 1 (k)
จากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน (1) 0.8413,
(2) 0.9772,
ดังนั ้น P(X ) 0.1587, และ เนื ่องจาก
(3) 0.9986
P(X 2) 0.0228,
P(X 3 ) 0.0014
P(| X | k ) P(| Z | k) (k) P(Z k) (k) (1 (k)) 2 (k) 1
ใชตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน เราจะได P(| X | ) 0.6826, P(| X | 2 ) 0.9544,
P(| X | 3 ) 0.9972
เมื ่อ Z เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน 13.
อุณหภูมิของเมืองหนึ ่งจํ าลองไดดวยตัวแปรสุ มปกติที ่มีคา เฉลี ่ยและคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานเท ากับ 10 องศาเซลเซียสทั ้งคู จงหาความนา จะเป นที ่อุณหภูมิ ณ เวลาที ่เลือกโดยสุ มจะนอยกวาหรื อเทา กับ 59 องศาฟาหเรนไฮต
เฉลย
ให X และ Y เปนอุณหภูมิวัดเปนองศาเซลเซียสและองศาฟาหเรนไฮตตามลําดับ ตัวแปรสุ มคู นี ้มี ความสัมพันธกันตามสมการ X 5(Y 32) / 9 ดังนั ้น 59 องศาฟาหเรนไฮต เทากับ 15 องศา เซลเซียส เนื ่องจาก E(X) = = 10 ดังนั ้น X
P(Y 59) P(X 15) P Z
เมื ่อ Z เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน
15 10 10
P(Z 0.5) (0.5)
เฉลยโจทยปปญหา ญหา บทที ่ ่ บทที 3 ตัวแปรสุ วแปรสุมทั มทั ่ ่วไป วไป
จากตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน มาตรฐาน เรามี (0.5) 0.6915 ดังนั ้ ้ งนัน P(Y 59) 0.6915 จงแสดงวา ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน f (x) ของตัวแปรสุ แปรสุ มปกติ ปก ติมีสมบั ม บัติ f (x )dx 1 แนะนํา ปริพันธ e dx เทากับรากที ่ ส่ องขอ อง ของง e e dxdy และปริพันธท ่ ี ส่ อง สามารถคํานวณโดยการแปลงไปสู านวณโดยการแปลงไปสูพิพกักิ ัดเชิ ดเชิงขั ้ ้ งขัว
14.
X
X
x 2 /2
x2 / 2
y2 / 2
เฉลย
สังเกตว งเกตวา
2
1 2
e
x2 / 2
1 x dx e 2 1
2
/2
dx
e
y2 / 2
dy
dxdy (แปลงเปนพิ e r dr d นพิกักัดเชิ ดเชิงขั ้ ้ งขัว) ว) 2 e r dr เปลียนตั ยนตัวแปร วแปร u = r /2) e du (เปลี ่ ่
2 1
e ( x
2
y2 ) / 2
2
r 2 /2
0
0
r 2 /2
0
u
2
0
e u
0
1
เนื ่ ่ เนืองจากปริ องจากปริพัพันธ นธเป เปนจํ นจํานวนบวก านวนบวก ดังนั ้ ้ งนัน
1
2
2
e x /2 dx 1
ใชการแปลง การแปลง u = (x – )/ จะไดววา
15.
f X (x )dx
1
e ( x )
2
2
2
/( 2 )
dx
1
2
2
e u / 2du 1
เลือกจุ อกจุดหนึ ่ ่ ดหนึงโดยสุ งโดยสุม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม ) ภายในรูปครึ ่ ง่ วงกลม ว งกลม {(x,y)| x + y ≤ r , y ≥ 0} สําหรั าหรับบางค บบางคาของ าของ r > 0 ที ่ ่ทีกํกาหนดให าํ หนดให (1) จงหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนร นรวมของพิ วมของพิกักัด X และ Y ของจุดที ่ ่ ดทีเลืเลือกได อกได (2) จงหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมาร นมารจิจนของ นิ ของ Y และใชผลที ่ ่ ผลทีได ไดคํคานวณ ํานวณ E(Y) (3) จงตรวจสอบคําตอบในข าตอบในขอ (2) โดยไมใช ใชฟฟงก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมารจินของ Y คํานวณ 2
2
2
E(Y)
เฉลย
เนื ่ เนื ่องจา ง จากก พื ้พื ้นที ่ ข่ องอ อ งอาณ าณาบ าบริริเวณรู ว ณรู ปครึ ่ ปครึ ่ง วงกลม วงก ลมเท เทา กับ r /2 ดังนั ้ ้น ฟ งก งกชันควา ค วามหน มหนาแ าแนนน นาจะเป าจะเปนร นรวมของพิ วมของพิกักัด X และ Y ของจุดที ่ ่ ดทีเลืเลือกได อกไดคืคือ
(1)
2
123
124
ความนาจะเป าจะเปน:ทฤษฎี น:ทฤษฎีและโจทย และโจทยปป ญหา ญ หา 2 2 2 2 2 , ( x, y) {( x, y) | x y r , y 0} f X,Y ( x, y) r 0, ( x, y) {( x, y) | x 2 y 2 r 2, y 0}
ในการหาฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปนมาร นมารจิจนของ นิ ของ Y เราหาปริพัพันธ นธของ ของ f คาของ าของ X ที ่ ่ทีเป เปนไปได นไปได สําหรั าหรับค บคา y ใดๆของ Y คาของ าของ X ที ่ ่ทีเป เปนไปได นไปไดอยู อยูในช ในชวง วง
(2)
X,Y X,Y(x,y)
บนชวงของ วงของ
[ r 2 y 2 , r 2 y 2 ]
ดังนั ้ ้ งนัน
f Y ( y)
4 r 2 y2 2 , 0 y r d x r 2 2 r 0, คาอื ่ ่ าอืนๆของ นๆของ y
r 2 y2
r 2 y 2
และ 4
r
4r
3 (การหาปริพั พันธ นธขขางบน า งบน ใชวิวิธีธแทนค แี ทนคา z = r – y ) (3) ในการหา E(Y) ไมจําเปนตองหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจินของ Y ให D แทน อาณาบริเวณรู เวณรูปครึ ่ ่ ปครึงวงกลม งวงกลม ใชพิพกักิ ัดเชิ ดเชิงขั ้ ้ งขัว จะไดววา E ( Y)
r
2
0
y r 2 y 2 dy 2
E ( Y)
yf X,Y ( x , y)dxdy
( x, x, y )D
2
r
0
0
2
4r
r
3
s(sin )sdsd 2
าคาคาดหวั าคาดหวั ง] 16. [การประมาณคาค
ให Y ,…,Y เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมอิ มอิสระที ่ ่ สระทีมีมฟฟี งก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเปน f เหมือนกัน ให S เปนเซต ของคาของ Y ที ่ที ่เปน ไปไดท ้ ั้งหมด นั ่ น่ คื อ S = {y|f (y) > 0} ให X เปนตัวแปรสุ แปรสุ มที ่ที ่ทราบว รา บวามี ฟงก งกชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน f ซึ ่ ่ซึง f (y) = 0 สําหรั าหรับทุ บทุก y S พิจารณาตั จารณาตัวแปรสุ วแปรสุม 1
n
Y
i
Y
X
Z
1
n
X
f X ( Yi )
Y f n i
i 1
Y
( Yi )
จงแสดงวา E(Z) = E(X) เฉลย
เนื ่ ่ เนืองจาก องจาก
E Yi
f X (Y (Yi )
f X (y (y)
f Y (y (y)dy yf X (y (y)dy E( X ) y S f Y (Y (Yi ) S f Y (y (y)
ดังนั ้ ้ งนัน f X (Yi ) 1 n E( Z) E Yi E ( X) E ( X) n i 1 f Y ( Yi ) n i 1 1
n
เฉลยโจทยปปญหา ญหา บทที ่ ่ บทที 3 ตัวแปรสุ วแปรสุมทั มทั ่ ่วไป วไป 17.
ให X เปนตั นตัวแปรสุ วแปรสุมที ่ ่ มทีมีมฟฟี งก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน x / 4, 1 x 3
f X ( x)
คาอื ่ ่ าอืนๆของ นๆของ x
0,
และให A แทนเหตุการณ การณ {X ≥ 2} (1) จงหา E(X), P(A), f X|A X|A(x), และ E(X|A) (2) ให Y = X2 จงหา E(Y) และ Var(Y) เฉลย (1)
เรามี E ( X)
3
x2
x3
dx
27 1
1
3
26
4 12 12 12 12 2 3x x 3 9 4 5 P(A ) dx 2 4 8 2 8 8 8 f X ( x) , x A f X|A ( x | A ) P(A) 1
13 13
6
0, x A 2x , 2 x 3 5 0, คาอื ่ ่ าอืนๆของ นๆของ x
และ E(X | A) (2)
3
2
x
เรามี E ( Y) E ( X ) 2
2x
dx
5
3
x3 4
1
และ E ( Y ) E (X ) 2
ดังนั ้ ้ งนัน
4
3
1
2x3
3
15
2
54 16 15
15
38 15
dx 5
x5 4
dx
2
91
Var ( Y ) E( Y 2 ) E( Y)
18.
3 91 3
52
16 3
ตัวแปรสุ วแปรสุม X มีฟฟงก ง กชัชันความหนาแน นความหนาแนนน นนาจะเป าจะเปน cx 2 , 1 x 2 f X ( x) คาอื ่ ่ าอืนๆ นๆ ของ x 0,
จงหาคาของ าของ c (2) ให A แทนเหตุการณ {X > 1.5} จงคํานวณ P(A) และฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมี เงื ่ ่เงือนไขของ อนไขของ Y เมื ่ ่ เมือทราบว อทราบวา A เกิดขึ ้ ้ ดขึน (1)
125
126
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
ให Y = X จงคํานวณคาคาดหวังมีเงื ่อนไขและความแปรปรวนมีเงื ่อนไขของ Y เมื ่อทราบวา A เกิดขึ ้น 2
(3)
เฉลย (1)
เนื ่องจาก
2
1
2
cx dx 1
จะได c
1
2
1
(2)
2
2
x dx
เรามี P(A)
2
1.5
2x 2dx
และ
1 3
6x 2 , 1.5 x 2 f X|A (x | A) คาอื ่นๆของ x 0, (3)
เรามี E(Y | A) E(X | A) 2
2
2
1.5
E(Y 2 | A) E(X 4 | A)
6x x dx 3
2
1.5
6x 2 x 4dx
และ Var(Y | A)
19.
37 4
32
2
37 4
1 4
อาจารยสติเฟ องรายหนึ ่งนัดหมายใหนักศึกษา 2 คนมาพบในเวลาเดียวกัน ระยะเวลาที ่นัดหมายเปน อิสระกันและมีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มคี าเฉลี ่ย 30 นาที นักศึกษาคนแรกมาตามนัดตรงเวลา แตนักศึกษาคนที ่สองมาชา 5 นาที จงหาคาคาดหวังของเวลาระหวางเวลาที ่มาของนักศึกษาคนแรกและ เวลาที ่จากไปของนักศึกษาคนที ่สอง
เฉลย
ให T และ T แทนเวลาที ่นักศึกษาคนแรกและนักศึกษาคนที ่สองอยู กับอาจารย และ T แทนเวลาระหวางเวลาที ่มาของนักศึกษาคนแรกและเวลาที ่จากไปของนักศึกษาคนที ่สอง คาคาดหวังที ่ตองการหาคือ 1
2
E(T) = [5 + E(T 2)]∙P(T1 ≤ 5) + [E(T1|T1≥ 5) + E(T2)]∙P(T1 > 5)
เรามี E(T ) = 30 และอาศัยสมบัติไรความจําของการแจกแจงเอกซ โพเนนเชียล จะไดวา 2
และ
E(T1|T1≥ 5) = 5 + E(T 1) =35 P(T1 ≤ 5) = 1 – e -5/30 P(T1 > 5) = e -5/30
(*)
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
แทนคาเหลานี ้ใน (*) จะได E(T) = (5+30)∙( 1 – e -5/30) + (35 + 30)∙(e-5/30) = 35 + 30∙ e -5/30 = 60.394
นาที
เริ ่มตนจากแทงไมยาว L เราหักแทงไมทจี ่ ดุ หนึ ่งโดยสุ ม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม) และเก็บแทงไม ทอนที ่มจี ดุ ปลายดานซาย (อีกทอนหนึ ่งทิ ้งไป) ให Y แทนความยาวของแทงไมทอ นนี ้ แลวหักแทงไม ทอนที ่เหลือไวนอี ้ กี ครั ้งหนึ ่งโดยวิธีก ารเดิ ม ให X แทนความยาวของแทงไมทอนที ่เหลื อจากการหัก ครั ้งที ่สอง (1) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมของ Y และ X ิ ของ X (2) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจน (3) จงใช ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจน ิ ของ X คํานวณ E(X) (4) จงคํานวณ E(X) โดยใชความสัมพันธ X = Y∙(X/Y)
20.
เฉลย
เรามี f (y) = 1/ L สําหรับ 0 ≤ y ≤ L และเมื ่อกํา หนด Y = y ตัวแปรสุ ม X มีการแจกแจง ยูนฟิ อรมบนชวง [0, y] ดังนั ้น f (x|y) = 1/y สําหรับ 0 ≤ x ≤ y และจะไดวา (1)
Y
X|Y
1 1 , 0 x y L f X,Y (x, y) f Y (y)f X|Y (x | y) L y 0, คา อื ่น ๆ ของ x และ y (2)
เรามี f X (x)
(3)
f X,Y (x, y)dy
L
x
1 Ly
dy
1 L
L , x
ln
0 x L
เรามี
L
x
L L dx 4 x
L (4) เนื ่องจาก เศษสวน Y/L ของแทงไมทอ นที ่เหลือจากการหักแทงไมครั ้งที ่หนึ ่ง และ เศษสว น X/Y ของแทงไมทเี ่ หลือจากการหักแทงไมครั ้งที ่สอง เปนตัวแปรอิสระ นอกจากนั ้น ตัวแปรสุ ม Y กับ X/Y มีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [0,L] และ [0, 1] ตามลําดับ ดังนั ้น E(X)
xf X ( x)dx
0
ln
X L 1 L Y 2 2 4
E(X) E(Y)E
21.
เรามีแทงไมยาว 1 หนวย พิจารณาวิธหี ักแทงไมเปน 3 ทอนโดยใชวธิ กี าร 3 วิธตี อไปนี ้ (1) เลือกจุดสองจุดบนแทงไมโดยสุ มและเปนอิสระกันโดยใชการแจแจงยูนิฟอรม และหักแทงไมท ี ่ จุดสองจุดนี ้ (2) หักแทงไมทจ ี ่ ดุ หนึ ่งโดยสุ มโดยใชการแจกแจงยูนฟิ อรมแลวหักแทงไมทอ นที ่มจี ดุ ปลายดานขวาที ่ จุดหนึ ่งโดยสุ มโดยใชการแจกแจงยูนฟิ อรม
127
128
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
หักแทงไมทจี ่ ดุ หนึ ่งโดยสุ มโดยใชก ารแจกแจงยูนิฟ อรมแลวหักแทงไมทอนที ่ยาวกวาที ่จุด หนึ ่ง โดยสุ มโดยใชการแจกแจงยูนฟิ อรม สําหรับแตละวิธี จงหาความนาจะเปนที ่แทงไมทั ้งสามทอนประกอบกันเปนดานของรูปสามเหลี ่ยมได (3)
เฉลย
จินตนาการวาแทงไมเสมือนหนึ ่งเปน สว นของเสน ตรง กํา หนดพิกัด ให จุด บนแท งไมโ ดยให จุด ปลายทางซายมีพิกัด 0 และจุดปลายทางขวามีพกิ ัด 1 ให X แทนตําแหนงที ่หักแทงไมครั ้งที ่หนึ ่ง และ Y แทนตําแหนงที ่หักแทงไมครั ้งที ่สอง สําหรับวิธห ี ักแทงไมวิธีที ่ (2) เรามี X < Y สําหรับวิธีหักแทง ไมวธิ ีที ่ (1) และวิธที ี ่ (3) เราตั ้งขอสมมุติวา X < Y สําหรับกรณีที ่ Y < X ใชหลักของความสมมาตร ภายใตขอสมมุติ X < Y แทงไมทั ้งสามทอนยาว X, Y – X, และ 1 – Y แทงไมสามทอนนี ้ประกอบ กันเปนรูปสามเหลี ่ยมได ก็ตอเมื ่อ ผลบวกของความยาวของสองทอนใดๆมากกวาความยาวของทอนที ่ สาม นั ่นคือ แทงไมประกอบกันเปนรูปสามเหลี ่ยมได เมื ่อ X < (Y – X) + (1 – Y) หรือ (Y – X) < X + (1 – Y) หรือ (1 – Y) < X + (Y – X) เงื ่อนไขเหลานี ้เขียนในรูปอยางงายไดเปน X < 0.5 หรือ Y > 0.5 หรือ Y – X < 0.5 พิจารณาวิธีที ่ (1) สําหรับ X และ Y ที ่สอดคลองกับเงื ่อนไขเหล านี ้ คู อันดับ (X, Y) ตองอยู ภายใน รูปสามเหลี ่ยมที ่มีจุ ดยอด (0, 0.5), (0.5, 0.5) และ (0.5, 1) รูปสามเหลี ่ยมนี ้มีพื ้นที ่ 1/8 ดังนั ้น ความนาจะเปนของเหตุการณทแี ่ ทงไมสามทอนประกอบกันเปนรูปสามเหลี ่ยมไดและ X < Y เทากับ 1/8 อาศัยหลักของความสมมาตร จะไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณที ่แทงไมสามทอ นประกอบ กันเปนรูปสามเหลี ่ยมไดและ X > Y เทากับ 1/8 เนื ่องจาก เหตุการณคู นไี ้ มเกิดรวมกันและเปนผลการ แบงของเหตุการณทแี ่ ทงไมสามทอนประกอบกันเปนรูปสามเหลี ่ยมได ดังนั ้น ความนาจะเปน ที ่แทง ไมสามทอนประกอบกันเปนรูปสามเหลี ่ยมได เทากับ 1/8 + 1/8 = 1/4 พิจารณาวิธที ี ่ (2) เนื ่องจาก X มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] และ Y มีการแจกแจงยูนิฟอรม บนชวง [X, 1] จะไดวา สําหรับ 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, f X,Y (x, y) f X (x) f Y|X (y | x) 1
1 x 1
ความนาจะเปนของเหตุการณทสี ่ นใจคื อปริ พันธของ f จุดยอด (0, 0.5), (0.5, 0.5) และ (0.5, 1)
1 x 1
บนอาณาบริเวณรูปสามเหลี ่ยมที ่มี
X,Y(x,y)
1/ 2
x 1/2
1/2
x 1/2
1
1/2
x
1
ln 2 1 x 1 x 2 สําหรับวิธที ี ่ (3) ขั ้นแรกพิจารณากรณี X < 0.5 ในกรณีนี ้แทงไมทอนที ่ยาวกวาหลังจากหักแทงไม ครั ้งที ่หนึ ่งคือทอนทางขวา ดังนั ้น Y มีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [X, 1] เชนเดียวกับวิธีที ่ (2) และ ปริพันธขางบนก็คือความนาจะเปนที ่แ ทง ไมทั ้งสามท อนประกอบกัน เป นรู ปสามเหลี ่ย มไดและ ี ่ นใจเทากับ X < 0.5 เมื ่อพิจารณากรณี X > 0.5 ดวย จะไดวา ความนาจะเปนของเหตุการณทส 0
1/2
f X, Y (x, y)dydx
0
1/2
dydx
0
dx
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป 2(-1/2 + ln 2) 22.
หรือ -1 + ln 4
ใหตัวแปรสุ ม X และ Y มีฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมยูนิฟอรมบนอาณาบริเวณรูป สามเหลี ่ยมที ่มจี ดุ ยอด (0,0), (0,1) และ (1,0) (1) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y ิ ของ Y (2) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจน (3) จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y (4) จงหา E(X|Y = y) และใชทฤษฎีบทคาคาดหวังรวมหา E(X) ในพจนของ E(Y) (5) จงหาคาของ E(X)โดยใชความสมมาตร
เฉลย
ให T แทนอาณาบริเวณรูปสามเหลี ่ยมมีจดุ ยอด (0,0), (0,1) และ (1,0) พื ้นที ่ของ T เทากับ 1/2 ดังนั ้น ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y คือ (1)
2, (x, y) T 0, (x, y) T
f X,Y (x, y) (2)
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจนิ ของ Y คือ
1 y
2dx 2(1 y), 0 y 1 (3) ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y คือ f Y (y)
f X,Y (x, y)dx
f X|Y (x | y)
f X, Y (x, y) f Y (y)
0
1 1 y
0 x 1 y
,
สําหรับ y > 1 หรือ y < 0 ไมนยิ ามฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Y เพราะเปนไปไมไดที ่ y จะมีคา เหลานี ้ สําหรับ 0 ≤ y < 1 คาเฉลี ่ยมีเงื ่อนไข E(X|Y = y) หาไดโดย ใชฟง กชันฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขในขอ (3) (4)
E(X | Y y)
1 y 2
,
0 y 1
สําหรับ y = 1, X ตองเทากับ 0 แนนอน ดังนั ้น E(X| Y = 1) = 0 จะเห็นไดวา สูตรขางบนเปนจริงเมื ่อ y = 1 ดวย คาคาดหวังมีเงื ่อนไข E(X| Y = y) ไมนย ิ ามเมื ่อ y อยู นอกชวง [0, 1] อาศัยทฤษฎีบทคาคาดหวังรวม จะไดวา (5)
1
1 y
1
1
1
2 2 2 เนื ่องจากความสมมาตร จะได วา E(X) = E(X)
E(X) = 1/3
0
f Y (y)dy
0
yf Y (y)dy E(Y)
1 E(Y) 2
ดังนั ้น E(X)
= (1 – E(X))/2
และจะได
129
130
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มสองตัวที ่มีการแจกแจงความน าจะเปน ยูนิฟอรมบนอาณาบริเวณรูป สามเหลี ่ยมที ่มีจุ ดยอด (0,0), (1,0) และ (0,2) จงคํานวณ E(X) และ E(Y) โดยดําเนินการเปน ขั ้นตอนเชนเดียวกับขอ 22.
23.
เฉลย
ภายใตเงื ่อนไข Y = y ตัวแปรสุ ม X มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, (2 – y)/2] และเราจะได 2y
E(X | Y y)
4
0 y2
,
ดังนั ้น อาศัยทฤษฎีบทคาคาดหวังรวม จะไดวา 2
2y
2
1
2
2 E(Y)
4 4 4 4 ทํานองเดียวกัน ภายใตเงื ่อนไข X = x ตัวแปรสุ ม Y มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 2(1 – x)] และเราจะได E(X)
0
f Y (y)dy
E(Y | X x) 1 x,
0
yf Y (y)dy
0 x 1
ดังนั ้น 1
(1 x)f (x)dx 1 E(X) แกสมการสองสมการขางบนเพื ่อหา E(X) และ E(Y) จะได E(X) = 1/3 และ E(Y) = 2/3 E(Y)
X
0
พิกัด X และ Y ของจุดๆหนึ ่งเปนตัวแปรสุ มปกติอสิ ระที ่มีคา เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน ถาจุดนั ้น หางจากจุดกําเนิดอยางนอย c แลวจงหาฟงกชันความหนาแนนรวมมีเงื ่อนไขของ X และ Y 2
24.
เฉลย
ให C แทนเหตุการณ {X P(C)
2
1 2 1 2
2
c
2
2
0
c
re r
e c / (2 ดังนั ้น สําหรับ (x,y) C, 2
2
2
re r
/ (2 2 )
2
ความนาจะเปน P(C) คํานวณไดโดยใชพกิ ัดเชิงขั ้ว ดังนี ้ / (2 2 )
drd
dr
)
f X,Y|C (x, y | C)
25.
2
+Y ≥c }
f X,Y (x, y) P(C)
1 2
2
ให X , …, X เปนตัวแปรสุ มอิสระ จงแสดงวา 1
n
n Var X i n i1 Var(Xi ) 1 1 n i 1 E X 2 E X i2 i i1
e
1 2 2
x
2
y2 c 2
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
เฉลย เรามี n n n 2 2 Var Xi E Xi E(Xi ) i1 i 1 i 1 n
n
i 1
i 1
E Xi2 E(Xi ) n
Var(Xi ) E(Xi )
2
2
i 1
n
E(X ) i 1
2
i
หารทั ้งสองขางดวย n
E(Xi )
2
i 1
จะได n i1
n Var(Xi ) 1 1 n i 1 E X 2 2 E Xi i
Var Xi i1
26.
พิจารณาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชียลสองทาง pe x , x0 f X (x) x (1 p)e , x 0 เมื ่อ และ p เปนคาคงตัวซึ ่ง > 0 และ p[0,1] จงหาคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X
เฉลย วิธีที ่ 1 คํานวณคาคาดหวังโดยใชฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนโดยตรง
E(X)
xf X (x)dx
0
x
x(1 p)e dx
1 p
2p 1
E(X ) 2
0
x
dx
p
2
x
x (1 p)e dx 2
xpe
x f X (x)dx
0
2(1 p)
2
2p
2
2
2
ดังนั ้น 2p 1 Var(X) 2 2
2
0
x pe 2
x
dx
131
132
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยป ญหา
วิธีที ่ 2 ใชวิธกี ารวางเงื ่อนไข ให A แทนเหตุการณ {X ≥ 0}และสังเกตวา P(A) = p เมื ่อ A เกิดขึ ้น ตัวแปรสุ ม X มีการแจกแจง เอกซโพเนนเชียล (ดานเดียว) ที ่มีพารามิเ ตอร เมื ่อ AC เกิดขึ ้น และ ตัวแปรสุ ม –X มีการแจกแจง เอกซโพเนนเชียล (ดานเดียว) ที ่มพี ารามิเตอร เชนเดียวกัน ดังนั ้น 1
E(X | A)
E(X | A C )
,
E(X 2 | A) E(X 2 | A 2 )
1
2
2
และจะไดวา E(X) P(A)E(X | A) P(A C )E(X | A C )
p
1 p
2p 1
E(X ) P(A)E(X 2 | A) P(A C )E(X 2 | AC ) 2
2p
2
2
2(1 p)
2
2
ดังนั ้น 2p 1 Var(X) 2 2
27.
2
ให X, Y และ Z เปนตัวแปรสุ มที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f จงพิสูจนกฎการคูณ:
X,Y,Z
f X,Y,Z (x, y, z) f X|Y,Z (x | y, z)f Y|Z (y | z)fZ (z)
เฉลย
ใชบทนิยามของฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไข f X|Y,Z (x | y, z)
f X,Y,Z (x, y, z) f Y, Z (y, z)
และ f Y,Z (y, z) f Y|Z (y | z)fZ (z)
ดังนั ้น f X,Y,Z (x, y, z) f X|Y,Z (x | y, z)f Y|Z (y | z)f Z (z)
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม f X,Y ถา สําหรับสับเซต A และ B ใดๆของเซตของจํานวนจริง เหตุการณ {XA}และ{YB} เปนอิสระกัน แลว จงแสดงวา ตัวแปรสุ ม X และ Y เปนอิสระกัน เฉลย สําหรับจํานวนจริง x และ y ใดๆ เหตุการณ {X ≤ x} และ {Y ≤ y} เปนอิสระกัน ดังนั ้น 28.
FX,Y(x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) = F X(x)FY(y)
หาอนุพันธทั ้งสองขาง จะไดวา
2 f X,Y (x, y) FX,Y (x, y) FX (x) F (y) f X (x)f Y (y) xy x y Y
ดังนั ้น X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ 29.
ในการผลิตเหรียญกษาปณโดยใชเครื ่องป มเหรียญที ่ชาํ รุดเครื ่องหนึ ่ง ความนาจะเปน ที ่เหรี ยญจะหงาย ดานหัวจึงไมใชคาคงตัวแตเปนตัวแปรสุ ม P ที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน pe p , p [0,1] f P (p) คาอื ่นๆของ p 0,
เลือกเหรียญที ่ผลิตจากเครื ่องป มเหรียญนี ้โดยสุ ม โยนเหรียญซ้ ําๆ ไดผลลัพธทเี ่ ปนอิสระกัน (1) จงหาความนาจะเปนที ่เหรียญจะหงายดานหัว (2) สมมุติวา เหรียญหงายดานหัว จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ P (3) ถาทราบวาเหรียญหงายดานหัวจากการโยนเหรียญครั ้งแรก จงหาความน าจะเปนมี เงื ่อนไขที ่ เหรียญจะหงายดานหัวในการโยนครั ้งถัดไป เฉลย
ให A แทนเหตุการณที ่เหรียญหงายดานหัวจากการโยนเหรียญครั ้งแรก ในการคํานวณ P(A) เรา ใชทฤษฎีบทความนาจะเปนรวมกรณีตัวแปรสุ มตอเนื ่อง (1)
P(A) (2)
1
0
P(A | P p)f P (p)dp
1
p e dp e 2 2 p
0
ใชกฎของเบส f P|A (p)
P(A | P p)f P (p) P(A)
p 2e p , 0 p 1 e 2 0, คา อื ่นๆ ของ p (3)
ให B แทนเหตุการณที ่เหรียญหงายดานหัวในการโยนเหรียญครั ้งที ่สอง เราจะได P(B | A)
1
P(B | P p, A)f 0
1
P|A
(p | A)dp
P(B | P p)f P|A (p | A)dp 0
133
134
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา 1
1
p e dp e2
3 p
0
30.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่องที ่เปนอิสระกันและมีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน f และ f ตามลําดับ และให Z = X + Y (1) จงแสดงวา f (z|x) = f (z – x) (2) ถา X และ Y มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเ ตอร เหมือนกัน จงหาฟงกชันความ หนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนดให Z = z (3) ถา X และ Y มีการแจกแจงปกติทม ี ่ ีคาเฉลี ่ย 0 และคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน และ ตามลําดับ จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนดให Z = z X
Z|X
Y
Y
X
Y
เฉลย (1) P(Z ≤ z|X = x) = P(X + Y ≤ z|X = x) = P(x + Y ≤ z|X = x) = P(x + Y ≤ z)
(X
และ Y เปนอิสระกัน)
= P(Y ≤ z – x)
หาอนุพันธทั ้งสองขาง จะไดวา f Z|X(z|x) = f Y(z – x)
(2)
สําหรับ 0 ≤ x ≤ z,
f X|Z (x | z)
f Z|X (z | x)f X (x) f Z (z)
f Y (z x)f X (x) f Z (z)
e (z x ) ex f Z (z)
2 ez fZ (z)
เนื ่องจาก f (x|z) มีคาเหมือนกันสําหรับทุก x ดังนั ้น การแจกแจงมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Z = z คือการแจกแจงยูนฟ ิ อรมบนชวง [0, z] ซึ ่งมีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน f (x|z) = 1/z (3) เรามี X|Z
X|Z
f X|Z (x | z)
f Y (z x)f X (x) f Z (z)
1 f Z (z)
1 2Y
e
2 ) (z x) 2 / (2 Y
1 2 X
e
x 2 / (2 X2 )
พิจารณาสวนที ่เปนเลขชี ้กําลัง โดยการทําจํานวนตรงขามของเลขชี ้กําลังใหเปน กําลังสองสมบูรณ จะ ไดวา (z x) 2 2Y
2
2
2 2 z X z 2X Y2 X2 2 x 2 1 X Y2 2 Y2 X2 Y2 2 X 2X2 Y2
x
2
ดังนั ้น ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกําหนด Z = z อยู ในรูปแบบ 2 2 2 z X2 X Y f X|Z (x | z) c(z) exp x 2 2 2 2 X Y 2 X Y
เมื ่อ c(z) ไมขนึ ้ กับคาของ x และเปนคาคงตัวซึ ่งทําให
f (x X|Z
สังเกตวา f
X|Z(x|z)
| z)dx 1
ที ่คํานวณไดนเี ้ ปนฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มปกติทมี ่ คี า เฉลี ่ย
เฉลยโจทยป ญหา บทที ่ 3 ตัว แปรสุ มทั ่ว ไป
E(X | Z z)
2 X 2 2 X Y
z
และความแปรปรวน
Var(X | Z z)
2 2 XY 2 2 X Y
135
136
ความนาจะเปน:ทฤษฎีและโจทยปญ หา
หนาวาง
4 1.
หัว ขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกับตั วแปรสุ ม
ถา X เปนตัวแปรสุ มที ่มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [-1, 1] จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ (1)
X
(2) l n | X |
เฉลย (1)
ให Y
X
จะไดวา สําหรับ 0 y 1,
FY (y) P(Y y) P
X y P y2 X y2 y2
หาอนุพันธทั ้งสองขาง จะได f (y) 2y, สําหรับ 0 y 1 (2) ให Y ln X จะไดวา สําหรับ y ≥ 0, Y
FY (y) P(Y y) P ln X y P X e y P X e y 1 e y
หาอนุพันธทั ้งสองขาง จะได f (y) e , สําหรับ y 0 ดังนั ้น Y เปนตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร = 1 y
Y
2.
จงหาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ e ในพจนของฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X แลว นําไปใชกับกรณีที ่ X มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] X
เฉลย
ให Y = eX เราหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y กอน แลวหาอนุพันธจะไดฟงกชัน ความหนาแนนของ Y P(X ln y), FY ( y) P(Y y) P(e X y) 0,
ดังนั ้น d F (ln y), y 0 dx X f Y (y) คาอื ่นๆของ y 0, 1y f X (ln y), y 0 คาอื ่นๆ ของ y 0,
y0
คาอื ่นๆของ y
138
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เมื ่อ X มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] จะไดวา 1y , 0 y e f Y (y) 0, คาอื ่น ๆของ y
3.
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ นาจะเปนของ X
| X |1/3
และ | X | ในพจนของฟงกชันความหนาแนน 1/4
เฉลย
ให
Y X
1/3
จะไดวา
FY (y) P(Y y) P X
1/3
y P y 3 X y3 FX (y3 ) FX ( y3 )
หาอนุพันธ จะได f Y (y) 3y f X (y ) 3y f X ( y ) 2
ให W =
X
1/4
3
2
3
เมื ่อ y > 0
จะไดวา
FW (w) P(W w) P X
1/4
w P w 4 X w 4 FX (w 4 ) FX ( w 4 )
หาอนุพันธ จะได f W (w) 4w 3 fX (w 4 ) 4w 3 fX ( w 4 )
4.
เมื ่อ w > 0
รถไฟฟามาถึงสถานีใกลบา นของเทวี ทกุ ๆ 15 นาที เริ ่มตั ้งแต 6:00 น. (เชา) เทวีเดินเขาสถานีระหวางเวลา 7:10 น. และ 7:30 น . ณ เวลาในชวงนี ้ซึ ่งเป นตัวแปรสุ มที ่มีฟง กชันความหนาแนนน าจะเปน ที ่กําหนด ให X แทนเวลา (นาที )ระหวาง 7:10 น. และเวลาที ่เทวีเ ขามาในสถานี ให Y แทนเวลาที ่เทวี รอคอย จนกระทั ่งไดขึ ้นรถไฟฟา จงคํานวณฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y ในพจนของฟงกชัน การแจกแจงสะสมของ X แลวหาอนุพันธเพื ่อสรางสูตรสําหรับ ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Y
เฉลย
หาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y กอน 0, P(5 y X 5) P(20 y X 20), FY (y) P(20 y X 20), 1,
เนื ่องจาก P(5 y X 5) FX (5) FX (5 y) P(20 y X 20) FX (20) FX (20 y)
y0 0y5 5 y 15 y 15
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
ดังนั ้น 0, F (5) F (5 y) F (20) F (20 y), X X X X FY (y) FX (20) FX (20 y), 1,
y0 0 y5 5 y 15 y 15
หาอนุพันธ จะได f X (5 y) f X (20 y), 0 y 5 f Y (y) f X (20 y), 5 y 15 0, คา อื ่น ๆของ y 5.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิ สระที ่มีก ารแจกแจงยูนิฟอรมบนชว ง [0, 1] จงหาฟงกชันการแจกแจง ความนาจะเปนสะสมและฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ |X – Y|
เฉลย
ให Z X Y จะไดวา FZ (z) P X Y z 1 (1 z)2
วาดรูปแสดงเหตุการณที ่สนใจในรูปสับเซตของรูปสี ่เหลี ่ยมจัตุรัสที ่มีดา นยาวดานละ 1 หนวยแลวคํานวณ พื ้นที ่) หาอนุพันธ จะไดฟง กชันความหนาแน นนาจะเปนที ่ตองการ (
2(1 z), f Z (z) 0, 6.
0 z 1
คาอื ่นๆของ z
ให X และ Y เปนพิกัดคารทเี ซียนของจุดที ่เลือกโดยสุ ม (ตามการแจกแจงยูนิฟอรม) ภายในรูปสามเหลี ่ยม ที ่มีจุด ยอด (0, 1), (0, -1) และ (1, 0) จงหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมและฟงกชัน ความหนาแนนนาจะเปนของ |X – Y|
เฉลย
ให Z X Y ในการหาฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z เราหาปริพันธของฟงกชัน ความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y บนอาณาบริเวณซึ ่ง X Y z สําหรับคาของ z ที ่ กําหนดให ในที ่นี ้ เมื ่อ z 0 , F (z) 0 , เมื ่อ z 1, F (z) 1 และเมื ่อ 0 z 1, Z
Z
FZ (z) P X Y z, X Y P Y X z, X Y
เหตุการณ X Y z, X Y และ Y X z, X Y สามารถแสดงด วยภาพซึ ่งเปนสับเซตของอาณา 2 บริเวณรูปสามเหลี ่ยมที ่กาํ หนดให พื ้นที ่ของสับเซตคู นี ้สามารถคํานวณไดเปน Z2 Z42 และ 14 (14z)
139
140
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ตามลําดับ และเนื ่องจาก ดังนั ้น z
f X, Y (x, y) 1
สําหรับทุก
(x, y)
ในอาณาบริเวณรูปสามเหลี ่ยมที ่กํา หนดให
z2
1 (1 z) 2 z 2 4 4 4
FZ (z)
และจะได วา 0, z 0 FZ (z) z, 0 z 1 1, z 1
หาอนุพันธ จะได 1, 0 z 1 f Z (z) 0, คา อื ่น ๆ ของ z 7.
เลือกจํานวน 2 จํานวนโดยสุ มอยางเปนอิสระกันตามการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] จงแสดงวา คาคาดหวังของระยะหางระหวางจํานวนทั ้งสองนั ้นเทากับ 1/3
เฉลย
ให X และ Y แทนจํานวนสองจํานวนนั ้น และให Z = max{X, Y} สําหรับ z [0,1] จะไดวา FZ (z) P Z z P(X z)P(Y z) z 2
หาอนุพันธ จะไดฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน 2z, 0 z 1
f Z (z)
0,
คาอื ่นๆของ z
ดังนั ้น เราจะได
1
2
2z dz 3 ระยะหางระหวางคามากที ่สดุ ของ X และ Y กับจุดปลายดานขวาของชวงคือ 1 – Z ซึ ่งมีคาคาดหวังเทากับ ุ 1 – E(Z) = 1/3 อาศัยความสมมาตร เราสามารถแสดงได วาค าคาดหวังของระยะหางระหวางคานอยที ่สด ของ X และ Y กับจุดปลายดานซายของชวงเทากับ 1/3 ดังนั ้น คาคาดหวังของระยะหางระหวาง X และ Y ตองเทากับ 1/3 ดวย E(Z)
8.
เฉลย
zf Z (z)dz
2
0
จงหาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ Z = X + Y เมื ่อ X และ Y เปนตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มี พารามิเตอร และเปนอิสระกัน
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
สังเกตวา f (x) และ f (z x) ไมเทากับ 0 เมื ่อ x ≥ 0 และ x ≤ z ตามลําดับ ดังนั ้น ในสูตรคอนโวลูช ั่น เราตองหาปริพันธสําหรับ x บนชวง 0 ถึง z X
Y
f Z (z) 9.
f X (x)f Y (z x)dx
z
0
z
e x e (z x ) dx 2 e z dx 2 zez 0
โรมิโอกับจูเลียตนัดพบกัน ณ เวลาหนึ ่งที ่กํา หนด แตล ะคนมาสายอย างเปนอิสระกัน เวลาที ่มาสายของ แตละคนมีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ม่ ีพารามิเตอร เหมือนกัน จงหาฟ งกชันความหนาแนนของ ผลตางของเวลาที ่มาถึงจุดนัดพบของโรมีโอและจูเลียต
เฉลย
ให X และ Y แทนเวลาที โ่ รมีโอและจูเลียตมาถึงจุดนัดพบชากวากําหนด ตามลําดับ สิ ่งที ่เราตองการหาคือ ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X – Y เมื ่อ X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระและมีการแจกแจง เอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร ขั ้นแรก เราจะคํานวณฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมโดยแยกเป น 2 กรณีคอื z ≥ 0 และ z < 0 สําหรับกรณี z ≥ 0, FZ (z) P(X Y z)
1 P(X Y z) 1
0
z y
1 ey 0
fX, Y (x, y)dx dy
z y
ex dx dy
1 ey e ( z y) dy 0
1 ez e2 y dy 0
1
1 e z 2
สําหรับกรณี z < 0, เราสามารถใช วิธคี ํานวณที ่คลายกันกับกรณีแรกขางบน นอกจากนั ้น เราสามารถอ าง เหตุผลโดยใชความสมมาตร ในกรณีน ี้ จะได วา Z = X – Y และ –Z = Y – X มีการแจกแจง ความนาจะเปนเหมือนกัน FZ (z) P(Z z) P( Z z) P(Z z) 1 FZ ( z)
เมื ่อ z < 0, จะได –z > 0 และ
FZ (z) 1 Fz ( z) 1 1
1 2
e
( z)
1 z 2e
รวมกรณีที ่ z ≥ 0 และ z < 0 เราจะไดฟง กชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z = X – Y เปน
141
142
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา 1 1 e z , 2 FZ (z) 1 e z , 2
z0 z0
หาอนุพันธของ FZ(z) จะไดฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ Z เปน
หรือ
e z, z 0 2 f Z (z) ez , z 0 2 f Z (z) e |z| , z 2
ฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนนี ้มีชอื ่ เรียกวาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนเอกซ โพเนนเชียลสองดาน (Two-Sided Exponential PDF)หรือฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนลาปลาซ (Laplace PDF) 10.
พิจารณาปญหาในโจทยขอ 9. แตมีขอสมมุติวาตัวแปรสุ ม X และ Y เปนอิสระกันและมีการแจกแจง เอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร และ ตามลําดับ จงหา ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X – Y
เฉลย วิธีที ่ 1 ให Z = X – Y เราจะคํานวณฟงกชนั การแจกแจงความนาจะเปนสะสม z ≥ 0 และ z < 0 สําหรับ z ≥ 0, เราจะได FZ (z) P X Y z
1 P X Y z
1 0
zy
f X,Y (x, y)dx dy
1 0 ey
ex dx zy
1 0 ey e (z y) dy
1 e z 0 e ( ) y dy z 1 e
สําหรับกรณี z < 0 เราใชผลจากกรณีแรกขางบน
dy
FZ (z)
กอนโดยแยกเปนกรณี
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
FZ (z) 1 FZ ( z) 1 1
( z ) z e e
รวมทั ้งสองกรณีเขาดวยกัน จะได 1 e z , FZ (z) ez ,
z0 z0
หาอนุพันธของ FZ(z) จะไดฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน e z, f Z (z) ez ,
วิธีที ่ 2 ตรึงคาของ z ≥ 0 และสังเกตวา f
f X Y (z)
z
Y
z0 z0
(x z)
ไมเทากับ 0 เมื ่อ x ≥ z เทานั ้น ดังนั ้น
f X (x)f Y (x z)dx
ex e( x z) dx
ez z e () x dx
ez
1
e ( ) x
x e
ผลที ่ไดสอดคลองกับวิธีที ่ 1 สําหรับกรณีที ่ z < 0 การคํานวณคลายกัน 11.
ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มฟี ง กชันความหนาแนนนาจะเปน 1 / 3, p X (x) 0,
x 1, 2,3
คาอื ่นๆของ x
1/ 2, y 0 1/ 3, y 1 p Y (y) 1/ 6, y 2 0, คาอื ่นๆของ y
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Z = X + Y โดยสูตรคอนโวลูชัน เฉลย
ขั ้นแรก สังเกตวา คาของ Z ที ่เปนไปไดคอื จํานวนเต็มในชวง [1, 5] ดังนั ้น จะไดวา p (z) 0, เมื ่อ z ≠ 1, 2, 3, 4, 5 Z
143
144
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เราจะคํานวณ p
Z
เมื ่อ z = 1,2,3,4, 5 โดยใชสตู รคอนโวลู ชั ่น
(z)
p Z (1)
p X (x) p Y (1 x)
1 1
1
1 1
3 2 1 1
6 5
3 3
3 2
18 1 1
p X (1)p Y (0)
x
p Z (2) p X (1)p Y (1) p X (2)p Y (0)
p Z (3) p X (1)p Y (2) p X (2)p Y (1) p X (3)p Y(0) p Z (4) pX (2)p Y (2) pX (3)pY (1)
และ 12.
p Z (5) p X (3)pY (2)
1 1
1
3 6
18
1 1
1 1
1
3 3
3 2
3
1 1
1 1
3 6 1
3 6
3 3
6
จงใชสูตรคอนโวลูชัน แสดงวาผลบวกของตัวแปรสุ มปวสซองอิสระ ตามลําดับเปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มีพารามิเตอร
2
ตัวที ่มีพ ารามิเตอร และ
เฉลย
คอนโวลูชันของฟงชันมวลความนาจะเปนปวสซอง 2 ฟงกชันอยู ในรูปแบบ i e k ie ( ) k ik i e f Z(k)= i! (k i)! i0 i 0 i!(k i)! k
แตเราทราบวา k i k i k k! i k i ( ) i0 i i 0 i!(k i)! k
k
ดังนั ้น ฟงกชันมวลความนาจะเปนที ่ตอ งการคือ f Z(k)=
e ( ) k!
k
k! i k i
i!(k i)! i 0
e ( ) k!
( ) k
ซึ ่งเปนฟงกชันมวลความนาจะเปนปวสซองที ่มคี า เฉลี ่ย 13.
ตัวแปรสุ ม X, Y และ Z เปนอิสระกันและมีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง ความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y + Z
เฉลย
ตัวแปรสุ ม X, Y และ Z ตางมีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [0, 1] 1, 0 t 1 f X (t) f Y (t) f Z (t) 0, คาอื ่น ๆ ของ t
ขั ้นแรก เราจะหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X + Y ให V = X + Y ใชสูตรคอนโวลู ชั ่น จะได
[0, 1]
จงหาฟงกชัน
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
f (x)f (v x)dx เนื ่องจาก f (x) 1 เมื ่อ 0 x 1 เทานั ้น ดังนั ้น f (v) f (v x)dx สําหรับ 0 v 1 , จะได f (v) dx v สําหรับ 1 v 2 , จะได f (v) dx 2 v ดังนั ้น f V (v)
X
Y
X
1
V
Y
0
v
V
0
1
V
v 1
0 v 1 v, f V (v) 2 v, 1 v 2 0, คา อื ่น ๆของ v
ขั ้นตอไป เราจะหาฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ X + Y + Z หรือ V + Z ให W = X + Y + Z = V + Z ใชสตู รคอนโวลู ชั ่น จะได
f (v)f (w v)dv ในการกําหนดลิมิตของปริพันธ สังเกตวา f (v) 0 นอกชวง 0 v 2 และ f 0 w v 1 ดังนั ้นฟงกชันที ่จะหาปริพันธไมเทากั บ 0 ถา 0 v 2 และ w 1 v w แยกพิจารณาเปน 3 กรณี สําหรับ w 1, จะได f W (w)
V
Z
V
w
f (v)f (w v)dv สําหรับ 1 w 2, จะได f (w) f (v)f (w v)dv vdv (2 v)dv f W (w)
V
0
Z
w
0
vdv
w2 2
w
W
w 1
V
Z
1
w
w 1
1 2
1
(w 1)
สําหรับ 2 w 3, จะได f W (w)
2
w 1
สรุปไดวา
2
2
(w 2) 2 2
1 2
f V (v)f Z (w v)dv
2
w 1
(2 v)dv
(3 w) 2 2
Z
(w v) 0
นอกชวง
145
146
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
w 2 / 2, 0 w 1 2 2 1 (w 1) / 2 (2 w) / 2, 1 w 2 f W (w) 2 2 w 3 (3 w) / 2, 0, คาอื ่นๆ ของ w 14.
อายุการใชงานของหลอดไฟสองหลอดแทนดวยตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชี ยล X และ Y ที ่เปน อิส ระกัน และมีพารามิเตอร และ ตามลําดับ หลอดไฟที ่เสียกอนมีอายุการใชงานเทากับ Z min{X, Y}
จงแสดงวา Z เปนตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร เฉลย
สําหรับ z ≥ 0 ใชความอิสระของ X และ Y จะไดวา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Z อยู ในรูปแบบ FZ (z) P min{X, Y} z
1 P min{X, Y} z 1 P X z, Y z
1 P(X z)P(Y z) 1 ez ez
1 e ( )z
ฟงกชันนี ้คือฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปน สะสมเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิ เตอร ดังนั ้น คาต่ ําสุดของตัวแปรสุ มอิ สระที ่มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชีย ลที ่มีพารามิเตอร และ คือตัวแปรสุ ม เอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร 15. [ตั วแปรสุ มโคชี (Cauchy Random variable)]
ให X เปนตัวแปรสุ มยูนิฟอรมบนชวง [-1/2, 1/2] จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Y = tan (X) คือ (1)
f Y (y)
1
(1 y2 )
,
y
เรียก Y วา ตัวแปรสุ มโคชี) (2) ให Y เปนตัวแปรสุ มโคชี จงหาฟง กชันความหนาแนนนา จะเปน ของ X ซึ ่ง เทากับ ขนาดของมุม ระหวาง / 2 และ / 2 ซึ ่ง tan X = Y (
เฉลย
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
ขั ้นแรก เราหา ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ Y สังเกตวา Y เปนฟงกชันตอเนื ่องของ X ที ่มีคา เพิ ่มขึ ้นทางเดียวและมี คา ระหวาง -∞ และ ∞ เมื ่อ X มีคาอยู ในชวง [-1/2, 1/2] ดังนั ้น จะไดวา สําหรับจํานวนจริง y ใดๆ (1)
FY (y) P(Y y) P(tan( X) y) P( X tan 1 y)
1
tan 1 y
1 2
เมื ่อ สมการสุด ทายไดจ ากการใชฟง กชันการแจกแจงความน าจะเปน สะสมยูนิ ฟอรมของ X บนชวง [-1/2, 1/2]
ขั ้นตอไป เราหาฟงกชันความหนาแน นนา จะเปนของ Y จากการหาอนุพันธข อง d / dy tan y 1/ (1 y ) จะไดวา สํ าหรับจํานวนจริ ง y ใดๆ 1
f Y (y)
F
โดยใชสูตร
2
1
(1 y2 )
คํานวณฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ ความหนาแนนนาจะเปนของ X สําหรับ -/2 ≤ x ≤ /2, (2)
X
กอน แลวหาอนุพันธ จะได ฟงกชัน
P(X x) P(tan 1 Y x) P(Y tan x) 1 tanx 1 dy 1 y 2 tanx 1 tan 1 y
1 x 2
สําหรับ x < -/2 จะได P(X ≤ x) = 0 และสําหรับ x > /2 จะได P(X ≤ x) = 1 หาอนุพันธของฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ X จะไดฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน ของ X เปน 1 , x f X (x) 2 2 0, คาอื ่นๆของ x
พิกั ดเชิงขั ้ วของตั วแปรสุ มปกติสองตัว ที ่เปนอิสระกั น] ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐานสองตัวที ่เปนอิสระกัน คู อันดับ (X, Y) สามารถเขียนในรูป พิกัดเชิงขั ้วของตัวแปรสุ ม R ≥ 0 และ Θ[0, 2 ] เมื ่อ
16. [
X = R cos Θ, (1)
Y = R sin Θ
จงแสดงวา Θ มีการแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 2] และ R มีฟง กชันความหนาแนนนาจะเปน
147
148
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
f R (r) re
r2 /2
r 0
,
และ R กับ Θ เปนอิสระกัน [ตัวแปรสุ ม R ที ่มฟี งกชันความหนาแนนนาจะเปนเช นนี ้เรียกวา ตัวแปรสุ ม เรย ไล(Rayleigh distribution)] (2)
จงแสดงวา R 2 มีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร ½
(1)
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวมของ X และ Y คือ
เฉลย f X,Y (x, y) f X (x)f Y (y)
1 2
e ( x
2
y2 ) /2
ขั ้นแรก เราหาฟงกชนั การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของ R และ Θ ตรึงคา r > 0 และ [0, 2] และให A เปนเซตของจุด (x, y) ที ่มีพิ กัดเชิง ขั ้ว ( r , ) เมื ่อ 0 r r และ 0 สังเกตวาเซต A เปนเซกเตอรของวงกลมที ่มรี ัศมี r และมุม และจะได FR , (r, ) P(R r, ) P (X, Y) A 1
1
r
0
0
rdrd 2 2 เมื ่อสมการสุด ทายไดจากการแปลงเปนพิกัดเชิงขั ้ว ขั ้นตอไป เราหาอนุพันธทั ้งสองขา ง จะไดฟ งกชัน ความหนาแนนนาจะเปนรวมของ R และ Θ
e ( x
2
y 2 )/ 2
dxdy
( x,y )A
2 r r /2 f R , (r, ) FR , (r, ) e , r 2 2
ดังนั ้น
f R (r)
2
0
f R, (r, )d re
r2 / 2
e r
2
/2
r 0, [0, 2 ]
r0
,
และ f |R ( | r)
f R , (r, ) f R (r)
1 2
,
[0, 2 ]
เนื ่องจาก ฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนมีเงื ่อนไข f ของ Θ ไมไดขึ ้นอยู กับคาของตัวแปรเงื ่อนไข R ดังนั ้น f เทากับฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนไมมีเงื ่อนไข f และจะได f (r, ) f (r)f ( ) ดังนั ้น R และ Θ เปนตัวแปรสุ มอิสระ (2) ให t ≥ 0, จะได |R
|R
ใชการเปลี ่ยนตัวแปร u = r 2/2)
(
f R 2 (t)
1 2
หาอนุพันธทั ้งสองขางจะได
P(R 2 t) P(R t )
e t /2 , t 0
t
2
re r / 2dr
t/ 2
e udu e t/ 2
R ,
R
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
สมมุติวา X และ Y เปนตัวแปรสุ มที ่มีค วามแปรปรวนเทากัน จงแสดงวา X – Y และ X + Y ไมมี สหสัมพันธ
17.
เฉลย
เนื ่องจาก ความแปรปรวนรวมไมเปลี ่ยนเมื ่อเราบวกค าคงตัวกับตัวแปรสุ ม ดังนั ้น เราสามารถตั ้งขอสมมุติ วา X และ Y เปนตัวแปรสุ มมีคาเฉลี ่ย 0 โดยไมเสียความเปนกรณีทั ่วไป และจะได Cov(X Y, X Y) E[(X Y)(X Y)] E(X 2 ) E(Y 2 ) Var(X) Var(Y) 0
เพราะ X และ Y มีความแปรปรวนเทากัน) และจะได
(
(X Y, X Y)
Cov(X Y, X Y) Var(X Y)Var(X Y)
0
ดังนั ้น X – Y และ X + Y ไมมสี หสัมพันธ พิจารณาตัวแปรสุ ม 4 ตัว W, X, Y, Z โดยมี
18.
E(W) = E(X) = E(Y) = E(Z) = 0
และ Var(W) = Var(X) = Var(Y) = Var(Z) = 1 สมมุตวิ า แตละคู ของ W, X, Y, Z ไมมีสหสัมพันธ จงหาสัมประสิทธิ ์สหสัมพันธ (R,S) และ (R,T) เมื ่อ R = W + X, S = X + Y และ T = Y + Z เฉลย
เนื ่องจาก Cov(R,S) E(RS) E(R)E(S) E(WX WY X 2 XY) E(X 2 ) 1
และ Var(R) Var(S) 2
ดังนั ้น (R,S)
Cov(R,S) Var(R)Var(S)
1 2
และเนื ่องจาก Cov(R, T) E(RT) E(R)E(T) E(WY WZ XY XZ) 0
ดังนั ้น (R, T) 0
19.
สมมุตวิ า ตัวแปรสุ ม X มีสมบัตติ อ ไปนี ้ 2
3
4
E(X) = 0, E(X ) = 1, E(X ) = 0, E(X ) = 3
และให 2
Y = a + bX + cX
149
150
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
จงหาสัมประสิทธิ ์ สหสัมพันธ (X,Y) เฉลย
ในการคํานวณสัมประสิทธิ ์ สหสัมพันธ (X,Y)
Cov(X,Y) Var(X)Var(Y)
ขั ้นแรก เราคํานวณความแปรปรวนรวม Cov(X, Y) E(XY) E(X)E(Y)
E(aX bX 2 cX 3 ) E(X)E(Y) aE(X) bE(X 2 ) cE(X 3 ) b
และ Var(Y) Var(a bX cX 2 )
E[(a bX cX 2 ) 2 ] [E(a bX cX 2 )]2 (a 2 2ac b 2 3c 2 ) (a 2 c 2 2ac) b 2 2c2
และเนื ่องจาก Var(X) = 1 จะไดวา (X,Y)
b b 2 2c 2
20. [อสมการชวารซ (Schwarz Inequality)]
จงแสดงวา สําหรับตัวแปรสุ ม X และ Y ใดๆ [E(XY)] 2 ≤ E(X2)E(Y2)
เฉลย
สมมุตวิ า E(Y2) ≠ 0 จะได 2 E(XY) 0 E X Y 2 E(Y ) 2 E(XY) E(XY) 2 2 E X 2 XY Y 2 2 2 E(Y ) E(Y ) 2 E(XY) E(XY) 2 E(XY) E(Y 2 ) E(X ) 2 2 2
E(Y )
E(Y ) 2
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม E(XY)
E(X ) 2
2
E(Y 2 )
ดังนั ้น [E(XY)]2 ≤ E(X2)E(Y2) หมายเหตุ ถา E(Y2) = 0 จะได Y = 0 ดวยความนาจะเปน 1 และจะได E(XY) = 0 และอสมการชวาร ซ เปนจริง สั มประสิทธิ ์สหสั มพั นธ (Correlation Coefficient)] พิจารณาสัมประสิทธิ ์ส หสัมพันธ
21. [
Cov(X,Y)
(X,Y)
Var(X)Var(Y)
ของตัวแปรสุ มสองตัว X และ Y ที ่มคี วามแปรปรวนมากกวา 0 จงแสดงวา (1) | (X, Y) | 1
ถา Y – E|Y| = a[X – E(X)] เมื ่อ a ≠ 0 เปนคาคงตัว แลว (X,Y) = 1 (3) ถา (X,Y) = 1 แลวจะมีคา คงตัว a ซึ ่ง Y – E|Y| = a[X – E(X)] ดวยความนาจะเปน 1 (2)
เฉลย (1)
ให
X* = X – E(X) [(X, Y)]
และ Y = Y – E(Y) ใชอสมการชวารซ จะไดวา *
2
[E(X*Y* )]2 E(X*2 )E(Y*2 )
1
ดังนั ้น (X,Y) ≤ 1 (2) สังเกตวา Y aX สมมูลกับ Y – E|Y| = a[X – E(X)] ถา *
*
E(X*aX* )
(X, Y)
2 *
2
E(X )E[(aX* ) ] (3)
a |a |
Y*
aX* เมื ่อ a ≠ 0
1
ถา [(X,Y)]2 = 1 จากการคํานวณในขอ 20. จะพบวา 2 2 E(X*Y* ) E(X*Y* ) 2 E X* Y* E(X* ) E(Y*2 ) E(Y*2 ) E(X*2 )(1 ((X, Y)) 2 )
=0
ดังนั ้น ตัวแปรสุ ม X X*
*
E(X*Y* ) E(Y*2 )
E(X* Y* ) E(Y*2 )
ดวยความนาจะเปน 1 นั ่นคือ
Y*
Y*
เทากับ 0 ดวยความนาจะเปน 1 และจะไดวา
E(X*2 ) E(Y*2 )
(X, Y)Y*
แลว
151
152
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
Y – E|Y| = a[X – E(X)]
เมื ่อ
a
(X, Y) Var(Y) Var(X)
1
ดวยความนาจะเปน 1 สังเกตวา เครื ่องหมายของคาคงตัว a กําหนดไดจากเครื ่องหมายของ (X,Y) 22.
พิจารณานักเสี ่ยงโชครายหนึ ่งซึ ่งในการเสี ่ยงโชคแตละครั ้งเขาชนะหรือแพพนันดวยความนาจะเปน p และ 1 – p เปนอิสระกันกับการเสี ่ยงโชคครั ้งกอนหนานั ้น เมื ่อ p > 1/2 นักเสี ่ยงโชคนิยมใชยุทธศาสตรของ เคลลีซึ ่งแนะนํา ใหว างเงินพนันเปนเศษสว น 2p – 1 ของรางวัลในรอบนั ้น จงคํ านวณคา คาดหวังของ รางวัลเมื ่อสิ ้นสุดการเสี ่ยงโชครอบที ่ n โดยเริ ่มตนวางเงินพนัน x หนวย และใชยุทธศาสตรของเคลลี
เฉลย
ถารางวัลตอนเริ ่ม ตนของรอบหนึ ่ง คือ a แลวนักเสี ่ย งโชคจะวางเงิน พนัน a(2p 1) และไดรางวัล a(2p 1) ดวยความน าจะเปน p และเสี ยพนัน a(2p 1) ดวยความนาจะเปน 1 – p ดังนั ้น คาคาดหวัง ของรางวัลเมื ่อสิ ้นสุดรอบนั ้นคือ a[1 p(2p 1) (1 p)(2p 1)] a[1 (2p 1) 2 ]
ให X เปนรางวัลเมื ่อสิ ้นสุดรอบที ่ k จากการคํานวณขางตน เราจะได k
E(X k 1 | X k ) [1 (2p 1) ]X k 2
ใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา จะได E(X k 1 ) [1 (2p 1) 2 ]E(X k )
และ E(X1 ) [1 (2p 1) 2 ]x
สรุปไดวา E(X n ) [1 (2p 1) 2 ]n x 23.
ศาสตราจารยทเี ่ กษียณจากงานแลวทานหนึ ่งยังคงอุทศิ ตนมาที ่สํานักงาน ณ เวลาที ่มกี ารแจกแจงยูนิฟอรม ระหวางเวลา 9.00น.ถึง 13.00 น.เพื ่อทํางานเพียงชิ ้นเดียวและออกจากสํานักงานเมื ่อเสร็จงาน เวลาที ่ใช ทํางานมีการแจกแจงเอกซโพเนนเชียลที ่มีพารามิเตอร (y) 1/ (5 y) เมื ่อ y คือระยะเวลาระหวาง 9.00 น. ถึงเวลาที ่เขามาถึงสํานั กงาน (1) จงหาคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยใชทาํ งานในวันหนึ ่งๆ (2) จงหาคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยทาํ งานจนเสร็จ (3) ศาสตราจารยมีนักศึกษาปริญญาเอกในความดู แลอยู ค นหนึ ่ง ซึ ่งจะมาพบ ณ เวลาที ่มีก ารแจกแจง ยูนิฟอรมระหวาง 9.00 น. ถึง 17.00 น. ถานักศึกษามาแลวไมพบศาสตราจารย เขาก็จากไปและไม กลับมา
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
พบทานอีกในวันนั ้น ถามาแลวพบศาสตราจารย นักศึกษาจะปรึกษาทานเปนเวลาที ่มกี ารแจกแจงยูนฟิ อรม ระหวาง 0 ถึง 1 ชั ่วโมง ศาสตราจารยจะใชเวลาทั ้งหมดในการทํางานเท าเดิม แมจ ะมีนักศึก ษาเขามาพบ จงหาคาคาดหวังของระยะเวลาที ่ศาสตราจารยใหกับนักศึกษาและคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยออก จากสํานักงาน เฉลย
พิจารณาตัวแปรสุ ม 2 ตัวตอไปนี ้ X = เวลาที ่ศาสตราจารยใชทํางานในวันหนึ ่งๆ ซึ ่งมี การแจกแจงความนา จะเปน เอกซโพเนนเชียลที ่มี พารามิเตอร (y) 1/ (5 y) Y = ระยะเวลาระหวาง 9.00 น . และเวลาที ่ศาสตราจารยมาถึงสํา นักงาน ซึ ่งมี การแจกแจงยูนิฟ อรม ระหวาง 0 และ 4 ชั ่วโมง สังเกตวา E(Y) = 2 และ (1)
E(X | Y y)
1 (y)
5
y
ดังนั ้น E(X | Y) 5 Y
และคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยใชทาํ งานในวันหนึ ่งๆเทากับ ชั ่วโมง (2) ให Z เปนระยะเวลาจาก 9.00 น.ถึงเวลาที ่ศาสตราจารย ทาํ งานเสร็จ จะไดวา E(X) E[E(X | Y)] E(5 Y) 5 E(Y) 5 2 3
Z=X+Y
เราทราบจากขอ (1) วา E(X) = 3 และ E(Y) = 2 ดังนั ้น E(Z) = E(X) + E(Y) = 3 + 2 = 5
ดังนั ้น คาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยจะออกจากสํางานงานคือ 5 ชั ่วโมงหลังเวลา 9.00 น. (3) นิยามตัวแปรสุ มเพิ ่มเติมดังนี ้ W = ระยะเวลาระหว าง 9.00 น. และเวลาที ่นั กศึกษามาถึง ซึ ่งมีการแจกแจงยูนิฟอรมระหวาง 9.00 น. และ 17.00 น. R = เวลาที ่นักศึกษาปรึ กษาศาสตราจารยถาไดพบกับทาน ซึ ่งมีการแจกแจงยูนิฟอรมระหวาง 0 และ 1 ชั ่วโมง T = เวลาที ่ศาสตราจารยใหคาํ ปรึกษาแกนักศึกษา และให F แทนเหตุการณที ่นักศึกษาพบศาสตราจารย ในการหา E(T) เราเขียน E(T) P(F)E(T | F) P(FC )E(T | F C )
153
154
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
ใชขอ มูลที ่กาํ หนดให จะได คาคาดหวังของตัวแปรสุ มยูนิฟอรมบนชวง [0,1]) (นักศึกษาจากไป ถามาถึงแลวไมพบศาสตราจารย)
E(T | F) E(R) 1 / 2
(
E(T | FC ) 0
ดังนั ้น เราจะได E(T) P(F)E(T | F)
1 2
P(F)
สิ ่งที ่เราตองหาคือ P(F) นักศึกษาจะไดพบศาสตราจารยถานักศึกษามาถึงระหวางเวลามาและเวลากลับของศาสตราจารย ดังนั ้น P(F) P(Y W X Y)
สังเกตวา W มีคา ระหวาง 0 (9.00 น.) และ 8 (17.00 น.) แต X + Y มีคา เปนจํานวนใดก็ไดทมี ่ ากกวา 0 ในที ่นี ้ เหตุการณ X + Y มากกวาขอบบนของ W อาจเกิดขึ ้นได เราสามารถเขียน P(F) P(Y W X Y) 1 [P(W Y) P(W X Y)]
เรามี P(W Y)
4
0
1 4
y
0
1 dwdy 1 8 4
และ 4
P(W X Y | Y y)f (y)dy P(X W Y | Y y)f (y)dy F (w y)f (w)f (y)dwdy
P(W X Y)
Y
0
4
Y
0
4
8
0
y
X|Y
W
Y
4 8 w y 14 18 51 y e x /(5 y) dxdwdy 0
y
12 1 32 32
0
4
0
(5 y)e
85yy
dy
หาปริพันธเชิงตัวเลขได
4
0
(5 y)e
85 yy
dy 1.7584
ดังนั ้น P(F) P(Y W X Y) 1 [P(W Y) P(W X Y)] 1 0.68 0.32
คาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยใหแกนักศึกษาเทากับ E(T) 12 P(F) 12 (0.32) 0.16 ชั ่วโมง = 9.6 นาที ตอไป เราหาคาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยออกจากสํานักงาน ให Z เปนเวลาวัดจาก 9.00 น.ถึงเวลาที ่ ศาสตราจารยออกจากสํานักงาน ถาศาสตราจารยไมไดใชเวลากับนักศึกษา แลว Z เทากับ X + Y แตถา
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
ศาสตราจารยใชเวลากับนักศึกษาแลว Z เทากับ X + Y + R ทั ้งนี ้เพราะศาสตราจารย ใชเวลาทํางานเทาเดิม ไมวาจะมีนักศึกษามาพบหรือไม ดังนั ้น E(Z) P(F)E(Z | F) P(F C )P(Z | FC ) P(F)E(X Y R) P(F C )E(X Y)
ใชผลที ่คาํ นวณมาแลว E(X Y) 5
ดังนั ้น
E(X Y R) E(X Y) E(R) 5 12 11 2
5.16 E(Z) 0.68 5 0.32 11 2
สรุปวา คาคาดหวังของเวลาที ่ศาสตราจารยออกจากสํานักงานคือ 5.16 ชั ่วโมงหลังเวลา 9.00 น. สําหรับตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่องหรือต อเนื ่อง X และฟงกชัน g(Y) ใดๆของตัวแปรสุ ม Y อีกตัวหนึ ่ง จงแสดงวา E[Xg(Y) | Y] g(Y)E(X | Y)
24.
เฉลย
สมมุตวิ า X เปนตัวแปรสุ มตอเนื ่อง จากกฎคาคาดหวังสําหรับคาคาดหวังมีเงื ่อนไขในบทที ่ 3 จะไดวา E[Xg(Y) | Y y]
xg(y)f X|Y (x | y)dx
g(y) xf X|Y (x | y)dx
g(y)E[X | Y y]
แสดงว า ค า
25.
และ g(y)E[X | Y y] ของตั ว แปรสุ ม E[Xg(Y) | Y] และ g(Y)E[X | Y] เทากันเสมอ ดังนั ้น ตัวแปรสุ มสองตัวนี ้เทากัน การพิสูจนในกรณีที ่ X เปนตัวแปรสุ มไม ตอเนื ่องก็คลายกัน ให X และ Y เปนตัวแปรสุ มอิสระ จงใชกฎความแปรปรวนรวมแสดงวา E[Xg(Y) | Y y]
Var(XY) [E(X)]2 Var(Y) [E(Y)]2 Var(X) Var(X)Var(Y)
เฉลย
ให Z = XY ใชกฎความแปรปรวนรวม จะได Var (Z) Var[E(Z | X)] E[Var(Z | X )]
เนื ่องจาก E(Z | X) E(XY | X) XE(Y)
ดังนั ้น Var[E(Z| X)] Var[XE(Y)] [E(Y)]2 Var(X)
155
156
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
และ Var(Z | X) Var(XY | X) X 2 Var(Y | X) X 2 Var(Y)
ดังนั ้น E[Var (Z | X)] E(X 2 )Var(Y) [E (X)]2 Var(Y) Var(X)Var(Y)
รวมความสัมพันธขา งตนเขาดวยกัน จะไดวา Var(Z) [E(X)]2 Var(Y) [E(Y)]2 Var(X) Var(X)Var(Y)
26.
โยนเหรียญที ่เอนเอียง n ครั ้ง ความนาจะเปนที ่เหรียญจะหงายดานหัวแทนดวย q คือคาของตัวแปรสุ ม Q ซึ ่งมีคาเฉลี ่ย และความแปรปรวน 2 ให Xi เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลีท ี ่ใชจํ าลองผลลัพธของการโยน เหรียญครั ้งที ่ i (นั ่นคือ Xi = 1 ถาเหรียญหงายดานหัวเมื ่อโยนเหรีย ญครั ้งที ่ i) สมมุติวา X1,…, Xn เปน อิสระกันภายใตเงื ่อนไข Q = q ให X แทนจํานวนครั ้งที ่เหรียญหงายดานหัวจากการโยน n ครั ้ง ํา (1) จงหา E(Xi) และ E(X) โดยใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ (2) จงหา Cov(Xi, X j) และพิจารณาวา X1,…,X n เปนอิสระกันหรือไม (3) จงหา Var(X) โดยใชกฎความแปรปรวนรวมและทวนสอบคําตอบโดยใชความแปรปรวนรวมที ่หา ไดในขอ (2)
เฉลย (1)
จากกฎคาคาดหวังซ้ ํา และความจริงที ่วา E(Xi|Q) = Q จะไดวา E(Xi) = E[E(Xi|Q)] = E(Q) =
เนื ่องจาก X = X1 + … + Xn จะไดวา
E(X) = E(X 1) + … + E(X n) = n
(2)
สําหรับ i ≠ j, เนื ่องจาก Xi และ X j เปนตัวแปรสุ มอิสระภายใตเงื ่อนไข Q = q จะไดวา
และ
E(XiX j|Q) = E(Xi|Q)E(X j|Q) = Q
2
E(XiX j) = E[E(XiX j|Q)] = E(Q2)
ดังนั ้น Cov(Xi, X j) = E(XiX j) – E(Xi)E(Xj) = E(Q 2) – 2 = 2
เนื ่องจาก Cov(Xi, X j) > 0, ดังนั ้น X1,…,Xn ไมเปนอิสระกัน สําหรับ i = j สังเกตวา X X และจะไดวา 2 i
i
Var(Xi ) E(X i2 ) [E(X i )]2
E(X i ) [E(X i )]2
2
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม (3)
ใชกฎความแปรปรวนรวมและความเปนอิสระภายใตเงื ่อนไข Q = q ของ X1,…,Xn จะไดวา Var(X) = E[Var(X|Q)] +Var[E(X|Q)] = E[Var(X1+…+ Xn |Q)] +Var[E(X1+…+ Xn |Q)] = E[nQ(1 – Q)] + Var(nQ) 2 2 = nE(Q – Q ) + n Var(Q) = n( – 2 – 2) + n22 2 2 = n( – ) + n(n – 1)
ในการทวนสอบผลที ่ไดนี ้โดยใชสตู รความแปรปรวนรวมในขอ (2) เราเขียน Var(X) Var(X1 ... X n ) n
Var(X i ) i 1
Cov(X i ,X j )
{(i, j)|i j}
nVar(X1 ) n(n 1)Cov(X1 , X2 ) n( 2 ) n(n 1) 2
ฟ งกชั นความหนาแน นนาจะเปนของตั วแปรสุ มปกติสองตัว ] ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มปกติสองตัว X และ Y ที ่มคี า เฉลี ่ย 0 อยู ในรูปแบบ
27. [
f X, Y (x, y) ce q(x,y)
เมื ่อ q(x,y) เปนฟงกชันกําลังสองของ x และ y x2
y2
X Y 2Y q(x,y) 2(1 2 ) X และ Y เปนคาคงตัวที ่มากกวา 0, เปนคาคงตัวที ่สอดคล องกับอสมการ -1 < < 1 และ c เปน 2x
2
xy
คาคงตัวซึ ่งทําให f (x, y)dxdy 1 (1) จงใชวิธีทํ าใหเปนกําลังสองสมบูรณ เขียน q(x,y) ในรูปแบบ (x y) y เมื ่อ , , และ เปนคาคงตัวบางคา ี ่ คี า เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน และ ตามลําดับ (2) จงแสดงวา X และ Y เปนตัวแปรสุ มปกติทม (3) จงหาคาของ c (4) จงแสดงวาฟงกชันความหนาแนนมีเงื ่อนไขของ X เมื ่อกํ าหนด Y = y เปนฟงกชันความหนาแนน ปกติ และ จงระบุคาเฉลี ่ยและความแปรปรวนของ X เมื ่อกําหนด Y = y (5) จงแสดงวา สัมประสิทธิ ์ส หสัมพันธของ X และ Y คือ เมื ่อ X และ Y ไมมสี หสัมพันธ ( = 0) (6) จงแสดงวา X และ Y เปนอิสระกัน ก็ตอ X,Y
2
2
2 X
2 Y
157
158
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
จงแสดงวา ความคลาดเคลื ่อนของการประมาณคา E(X|Y) – X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน (1 ) และเปนอิสระจาก Y (7)
2
2 X
เฉลย (1)
เราสามารถเขียน q(x,y) ในรูปแบบ Q(x,y) = q1(x, y) + q2(y)
เมื ่อ
x y q1 (x, y ) 2 2(1 ) X Y 1
(2)
2
และ
q 2 (y)
y2 22Y
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ Y คือ
f Y (y) c
e q1 ( x,y ) e q2 ( y) dx ce q2 ( y)
e q1 ( x,y) dx
ใชวธิ เี ปลี ่ยนตัวแปร x u
X
y
Y 1 2
จะได
e q1 (x,y ) dx X 1 2
e u
2
/2
du X 1 2
2
ดังนั ้น f Y (y) cX 1 2 2e y
2
2 / ( 2 Y )
สังเกตวา f Y คือฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มปกติทมี ่ ีคา เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน 2Y
สําหรับตัวแปรสุ ม X ก็ไดผลเหมือนกันเนื ่องมาจากความสมมาตร (3) คาคงตัว c 1 2 ซึ ่งจะทําให f Y มีสมบัติ f (y)dy 1 ตองเทากับ 2
X
Y
c X 1 2 2
1 2Y
และจะได วา c (4)
1 2 X Y 1 2
เนื ่องจาก f X, Y (x, y)
และ
1 2X Y 1 2
e q1( x ,y) eq 2 ( y )
1 2Y
ดังนั ้น
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม 1
f Y (y)
e
2Y
q 2 ( y)
จะได x X y 2 f X,Y (x, y) Y 1 f X|Y (x | y) exp 2 2 f Y (y) 2X 1 2 2X (1 )
สําหรับ y ใดๆที ่ตรึงคาไว จะไดวาฟงกชัน f ขางบนนี ้เปนฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปร X|Y
สุ มปกติทมี ่ คี า เฉลี ่ย
y Y X
และความแปรปรวน
2 X
(1 2 )
X X หมายเหตุ ในกรณีนี ้ เราได E(X | Y y) และ y E(X | Y) Y Y Y (5) ใชกฎคาคาดหวั งและกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา จะไดวา E(XY) E[E(XY | Y)]
E[YE(X | Y)] E Y X Y Y X Y E Y2 X Y
ดังนั ้น สัมประสิทธิ ์ส หสัมพันธ (X,Y) เทากับ (X,Y)
(6)
Cov(X, Y)
E(XY)
X Y ถา X และ Y ไมมีสหสัมพันธ แลว = 0 และฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนรวม X Y
f X, Y
สอดคลอง
กับสมการ f X, Y (x, y)
1 2 X Y 1 2 X
e
x 2 / ( 22X ) y 2 /( 2 2Y )
e x
2
1
/( 2 2X )
2Y
ey
2
/ (2 2Y )
f X (x)f Y (y)
ดังนั ้น X และ Y เปนอิสระกัน โดยกลับกัน ถา X และ Y เปนอิสระกัน แลว Cov(X,Y) = 0 และจะได (X, Y) = = 0 หมายความ วา X และ Y ไมมสี หสัมพันธ (7) จากขอ (4) เราทราบวา เมื ่อกํ าหนดเงื ่อนไข Y = y ตัวแปรสุ ม X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี ่ย E(X | Y y) และความแปรปรวน (1 ) ดังนั ้น เมื ่อกําหนดเงื ่อนไข Y = y ความคลาดเคลื ่อนของ 2
2 X
159
160
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
การประมาณคา X = E(X|Y = y) – X มีการแจกแจงปกติโดยมีคาเฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน (1 ) และฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไข 2
2 X
x 2 | y) f X|Y exp (x 2 2 2(1 2 ) 2X 2(1 ) X 1
เนื ่องจาก ฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนมีเงื ่อนไขของ X ไมขนึ ้ กับคา y ของ Y ดังนั ้น X และ Y เปน อิสระกัน และฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อ นไขดังกลา วขา งตน เปน ฟงกชัน ความหนาแนน นาจะเปนไมมีเงื ่อนไขของ X ดวย 28.
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา 1, 2 และ 3 ดวยความนาจะเปน และ P(X = 3) = 1/4 จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X และนําไปใชหาโมเมนตทหี ่ นึ ่ง E(X), โมเมนตที ่ส อง E(X2), และ โมเมนตทสี ่ าม E(X3) P(X = 1) = 1/2,
P(X = 2) = 1/4
เฉลย
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X คือ M X (t) E(e tX )
และจะได E(X)
d
dt d2
E(X 2 )
E(X3 )
29.
M X (t)
dt 3
2
et
t 0
1 4
e 2t
1 4
e3t
1
2
3
7
2
4
4
4
1
4
9
2 1
4 8
4 27
2
4
4
M X (t)
t 0
M X (t)
t 0
2
dt d3
1
15
4 37
4
จงคํานวณโมเมนตทสี ่ าม E(X3) และโมเมนตทสี ่ ี ่ E(X4) ของตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน X
เฉลย
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X คือ M X (t) e t
2
/2
หาอนุพันธที ่ 1, 2, 3 และ 4 เทียบกับ t แลวแทนคา t = 0 จะได E(X)
d
M X (t) t 0 0 dt d2 2 E(X ) 2 M X (t) t 0 1 dt
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
3
E(X ) E(X 4 )
d3 dt 3 d4 dt 4
M X (t)
t 0
M X (t)
t0
0
3
จงคํานวณโมเมนตทสี ่ าม โมเมนตทสี ่ ี ่ และโมเมนตทหี ่ า ของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร เฉลย ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X คือ 30.
M X (t)
ดังนั ้น d
t
M X (t)
dt d4 dt
4
( t) 2
M X (t)
24 ( t)
d2
,
5
M X (t)
dt 2 ,
d5 dt
5
2 ( t)
M X (t)
, 3
d3 dt 3
M X (t)
6 ( t) 4
,
120 ( t) 6
แทนคา t = 0 จะได E(X 3 )
6
3
, E(X 4 )
24
4
, E(X5 )
120
5
ให X เปนตัวแปรสุ มที ่มีคา เปนจํานวนเต็มบวกหรือศูนย สารินและสุรศักดิ ์หาฟงกชันกอ กํา เนิดโมเมนต ของ X ไดไมตรงกัน สารินได M (t) e สวนสุรศักดิ ์ไ ด M (t) e (1) จงอธิบายวาเพราะเหตุใดฟงกชันหนึ ่งในสองฟงกชันนี ้จงึ เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต ของ X ไมได ี ่ กู ตองหา P(X = 0) (2) จงใชฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตทถ เฉลย าไดไมมสี มบัตินี ้จงึ เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต (1) เนื ่องจาก M (0) ตองเทากับ 1 ฟงกชันที ่สรุ ศักดิ ์ห ของ X ไมได (2) ใชฟง กชันที ่สารินหาไดเปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X จะได 31.
2(ee
t
1
2( ee
1)
X
t
1)
X
X
P(X 0) lim M X (t) lim e 2(e t
32.
t
e t 1
1)
e 2(e
1
1)
0.2825
จงหาฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X ซึ ่งมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตเปน M X (t)
เฉลย
1
2
3 2t
2
3
3 3t
161
162
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
สังเกตวา
2 2t
และ
3 3 t
เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มเอกซโ พเนนเชีย ลที ่มี
พารามิเตอร 2 และ 3 ตามลําดับ ดังนั ้น M (t) 1 2 2 3 เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ 3 2t 3 3t ตัวแปรสุ มผสมของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชี ยลที ่มีพ ารามิเตอร 2 และ 3 ซึ ่งมีฟ งกชันความหนาแนน นาจะเปนตอไปนี ้ X
1 2x 2 3x 2e 3e , x 0 f X (x) 3 3 0, คา อื ่น ๆ ของ x 33.
ทีมฟุตบอลทีมหนึ ่ง กํ าหนดใหนัก ฟุต บอล 3 คนผลัดกันเปนผู เ ตะลู ก โทษ นัก ฟุ ตบอลคนที ่ i มี ความนาจะเปน pi ที ่จะเตะลูกโทษเขาประตูไดสําเร็จเปนอิสระกันกับผลการเตะลู กโทษของนักฟุตบอลคน อื ่นๆ ให X แทนจํานวนลูกโทษที ่เตะเขาประตูไดสําเร็จหลังจากนักฟุตบอลแตละคนไดเตะลูกโทษคนละ 1 ลูก จงใช คอนโวลูชั นคํานวณฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X แลวทวนสอบโดยคํานวณฟงกชัน กอกําเนิดโมเมนตของ X กอนแลวนําไปใชหาฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X
เฉลย
สําหรับ i = 1, 2, 3 ให Xi เปนตัวแปรสุ มแบรนลู ลีทมี ่ คี า เปน 1 ถานักฟุตบอลคนที ่ i เตะลูกโทษเขาประตู ไดสําเร็จ เรามี X = X1 + X2 + X3 ให q 1 p ขั ้นแรก หาคอนโวลู ชันของฟงกชันมวลความ นาจะเปนของ X1 และ X2 ไดฟง กชันมวลความน าจะเปนของ Z = X1 + X2 i
i
z0 q1q 2 , q p p q , z 1 1 2 1 2 p Z (z) z2 p1p 2 , 0, คาอื ่น ๆ ของ z
ขั ้นตอไป หาคอนโวลูชันของฟงกชันมวลความนาจะเปนของ Z และ X3 ไดฟงกชันมวลความนาจะเปน ของ X = X1 + X2 + X3 q1q 2q 3 , p q q q p q q q p , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 p X (x) q1p 2 p 3 p1q 2p 3 p1p 2q 3 , p p p , 1 2 3 0,
x 0 x 1 x 2 x 3
คา อื ่นๆ ของ x
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X คือผลคูณของฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Xi, i = 1, 2, 3 M X (t) (q1 p1e t )(q 2 p 2e t )(q 3 p 3e t )
เมื ่อกระจายผลคู ณขางบน และสัมประสิทธิ ์ข อง e คือ P(X = k) ตรงกับที ่เราคํานวณโดยใช คอนโวลูชัน kt
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม 34.
163
ให X, Y และ Z เปนตัวแปรสุ มอิ สระ เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลี ที ่มีพารามิ เตอร p = 1/3, Y เปน ตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียลที ่มพี ารามิเตอร = 2 และ Z เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร = 3 (1) พิจารณาตั วแปรสุ มตัวใหม U = XY + (1 – X)Z จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต ของ U (2) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ 2Z + 3 (3) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Y + Z
เฉลย
สังเกตวา U = Y ถา X = 1 ซึ ่งเกิดขึ ้นไดดวยความนาจะเปน 1/3 และ U = Z ถา X = 0 ซึ ่งเกิดขึ ้นได ดวยความนาจะเปน 2/3 ดังนั ้น U เปนตัวแปรสุ มผสมและมีฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตเปน (1)
M U (t) P(X 1)M Y (t) P(X 0)M Z (t) (2)
ให V = 2Z + 3 จะได 2t
M V (t) e3t M Z (2t) e3t e3(e (3)
1)
e3(t 1e
2t
1
2
3 2t
2
e 3(e 1) t
3
)
ให W = Y + Z จะได M W (t) M Y (t)M Z (t)
2 2t
t
e 3(e 1)
รานพิซซาแหงหนึ ่งมีพซิ ซาใหลูกคาเลือก n ชนิดแตกตางกัน สมมุติวา มีลูกคา K คนเขามาสั ่งพิซ ซา เมื ่อ K เปนตัวแปรสุ มที ่มีค าเปน จํา นวนเต็มบวกหรื อ 0 และมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) E(e ) ลูกคาแตละคนสั ่งพิซซา 1 ชิ ้น พิซซาแตละชนิดมีความนาจะเปนที ่ลูก คาจะเลือ กเทา ๆกัน และ การเลือก พิซซาของลูกคาแตละคนเปนอิสระกัน จงหาสูตรสําหรับคํานวณคาคาดหวังของจํานวนชนิดที ่แตกตางกัน ของพิซซาที ่ลูกคาสั ่งซื ้อ เฉลย ให X แทนจํานวนชนิดของพิซซาที ่ลูกคาสั ่งซื ้อ ให Xi เปนตัวแปรสุ มซึ ่งมีคา เปน 1 ถามีลูกคาอยางนอย 1 คนสั ่ง ซื ้อพิซ ซา ชนิด ที ่ i และมีคาเปน 0 ถาไมมีลูกคาสั ่งซื ้อพิซ ซา ชนิ ดที ่ i จะได X X ... X ใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา จะได 35.
tK
K
1
E(X) E[E(X | K)] E[E(X1 ... X n | K)] nE[E(X1 | K)]
และเนื ่องจากความนาจะเปนที ่ลูกคาคนหนึ ่งจะไมสั ่งซื ้อพิซซาชนิดที ่ 1 เทากับ (n – 1)/n จะได n 1 E(X1 | K k) 1 n
ดังนั ้น n 1 E(X1 | K) 1 n
K
k
n
164
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
แทนคา p
จะได
n 1 n K
K
E(X) nE(1 p ) n nE(p ) n nE(e 36.
K ln p
) n nM K (ln p)
ให X เปนตัวแปรสุ มไมตอเนื ่องที ่มคี าเปนจํานวนเต็มบวกหรือ 0 ให MX(t) ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ X
จงแสดงวา P(X 0) lim M (t) (2) จงใชผลที ่ไดจากขอ (1) ทวนสอบวา ถา X เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มพ ี ารามิเตอร n และ p แลวจะได วา P(X = 0) = (1 – p)n และถา X เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร แลวจะไดวา P(X = 0) = e(3) สมมุติวา ตัวแปรสุ ม X มีคา เปนจํานวนเต็มที ่มากกวาหรือเทากับจํานวนเต็ม k แลวจงหาวิธีคํานวณ P(X = k) โดยใชฟงกชันกอกํ าเนิดโมเมนตของ X (1)
n
X
เฉลย (1)
เนื ่องจาก
M X (t) P(X k)e kt k 0
เมื ่อ t ทุกพจน e (k 0) เขาใกล 0 ดังนั ้น เราจะได lim M (t) P(X 0) (2) ในกรณีของตัวแปรสุ มทวินาม X ที ่มพ ี ารามิเตอร n และ p ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตคอื kt
t
X
M X (t) (1 p pe t ) n
พบวา lim M (t) (1 p) P(X 0) ในกรณีของตัวแปรสุ มปวสซอง X ที ่มีพารามิเตอร ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตคือ n
t
X
t
M X (t) e (e 1)
พบวา (3)
lim M X (t) e P(X 0)
t
ตัวแปรสุ ม Y X k มีคา เปนจํานวนเต็มบวกหรือ 0 เทานั ้น และมีฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตเปน M Y (t) e tk M X (t)
เนื ่องจาก P(Y = 0) = P(X = k) ใชผลจากขอ (1) จะได P(X k) lim e t
tk
M X (t)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 4 หั วขอเพิ ่มเติมเกี ่ยวกั บตั วแปรสุ ม
ฟง กชนั กอกําเนิดโมเมนตของตั วแปรสุ มยูนฟิ อรม] (1) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มไมต อเนื ่อง X ที ่มีการแจกแจงยูนิฟ อรมบนเซตของ จํานวนเต็ม {a, a+1, …, b} ิ อรมบนชวง [a, b] (2) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มตอเนื ่อง X ที ่มีการแจกแจงยูนฟ
37. [
เฉลย (1)
ฟงกชันมวลความนาจะเปนของ X คือ
1 , k a, a 1,..., b p X (k) b a 1 0, คา อื ่น ๆของ k
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตคอื
e
M X (t)
P(X k)
tk
k b
1
k a
b a 1 e ta
e tk
b a
e b a 1
tk
k0
(2)
e
ta
b a 1
e t ( b a 1) 1 et 1
ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนของ X คือ 1 , axb f X (x) b a 0, คา อื ่น ๆ ของ x
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตคอื M X (t) E(e ) tX
38.
b
e tx
etb e ta
b a dx t(b a) a
ณ เวลาหนึ ่ง จํา นวนคนเขามาในลิฟ ตหลังหนึ ่ง มีการแจกแจงปวส ซองที ่มีพ ารามิเตอร น้ ํา หนัก ของ แตละคนที ่เ ขา มาในลิ ฟตเ ปน อิส ระกันและมีก ารแจกแจงยู นิฟ อรม ระหว า ง 100 และ 200 ปอนด 1 ของน้ ให Xi แทน 100 ํา หนักส วนที ่เกิน 100 ปอนดของคนที ่ i เชน ถาคนที ่ 7 หนัก 175 ปอนด แลว 1 75 0.75 ให Y แทนผลบวกของ X X 100 i (1) จงหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Y (2) จงใช M (t) ที ่หาไดในขอ (1) คํานวณคาคาดหวังของ Y (3) จงทวนสอบคําตอบในขอ (2) โดยใชกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา 7
Y
165
166
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
เฉลย
ให N แทนจํานวนคนที ่เขา มาในลิ ฟต ซึ ่ง มีฟ งกชันกอ กํา เนิด โมเมนต M (t) e และให M (t) เปนฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ ม X เนื ่องจาก X มีการแจกแจงความนาจะเปน ยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] ดังนั ้น t
(e 1)
(1)
N
X
i
M X (t)
et
1
t
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต MX(t) จะได M Y (t) e (2)
M Y (t)
หาไดโดยหาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M
N
(M X ( t ) 1)
e
กอน แลวแทน e ดวย t
e t 1 1 t
d dt
M Y (t)
t 0
d dt
M X (t)
e [ MX ( t )1]
t 0
t 0
จากกฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา เราจะได E(Y) E[E(Y | N)] E[NE(X)] E(N)E(X)
39.
(t)
ใชกฎลูกโซหาอนุพันธของฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Y เมื ่อ t = 0 จะไดคา คาดหวังของ Y E(Y)
(3)
i
1 2
2
2
จงใชฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตแสดงวาผลบวกของตัวแปรสุ ม อิสระ N ตัวที ่มีการแจกแจงแบรนูลลีท ี ่มี พารามิเตอร p เปนตัวแปรสุ มปวสซอง ถาจํานวนตัวแปรสุ มในผลบวกคื อ N เปนตัวแปรสุ มปวสซอง
เฉลย
ให N เปนตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร ให Xi, i = 1,…,N เปนตัวแปรสุ มแบรนูลลี ที ่เปนอิ สระ กันและมีพารามิเตอร p เหมือนกัน และให L = X1 +…+ X N
ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ L หาไดโดยเริ ่มตนจากฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ N ซึ ่งก็คอื t
M N (t) e (e 1)
แลวแทน et ดวยฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของ Xi ซึ ่งก็คอื M X (t) 1 p pe t
เราจะได t
M L (t) e (1 ppe 1)
จะเห็นไดวา M
L
(t)
e
t
p(e 1)
คือฟงกชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ มปวสซองที ่มพี ารามิเตอร p
5 1.
อสมการและทฤษฎีบทลิมิต
นักสถิติตองการประมาณคาความสูงเฉลี ย่ h (เมตร) ของประชากรโดยอาศัยตัวอยางสุ มขนาด n คือ 1 X1, X2, … , Xn เลื อ กจากประชากร เขาใช ค า เฉลี ่ยตัวอย าง M X X ... X เปน n ตัวประมาณคาของ h และประมาณว าคาเบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Xi เทากับ 1.0 เมตร (1) n ควรมีคา โตเทาใดจึงจะทําใหคา เบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Mn มีคา ไมเกิน 1 เซนติเมตร (2) n ควรมีคา โตเทาใด อสมการเชบีเชฟจึงจะรับประกันวาคาประมาณตางจาก h ไมเกิน 5 เซนติเมตร ดวยความนาจะเปนอยางนอย 0.99 n
1
2
n
เฉลย (1)
เรามี
(2)
เราตองการให
M
1
n
n
P | M n
ดังนั ้น เพื ่อให
0.01
ตองใช n 10, 000
0.05 0.99
h |
ใชขอ เท็จจริงที ่วา h E(M ) และ n
P | M n
Mn
2 Mn
1 n
M n | 0.05 1 P | M n E M n | 0.05
h | 0.05
1
P | M n
และอสมการเชบีเชฟ จะไดวา
E
1/ n (0.05)2
ดังนั ้น เพื ่อให 1
เราตองใช 2.
1/ n (0.05)2
0.99
n 40, 000
[The Chernoff Bound]
คาขอบเชอรนอฟใชเปนคาขอบของความนาจะเปนของเหตุการณเกี ่ยวของกับคาปลายของตัวแปรสุ ม (1) จงแสดงวาอสมการ P(X a) e ta M X (t)
เปนจริงสําหรับทุก a และทุก t ≥ 0 เมื ่อ M (2) จงแสดงวาอสมการ
tX
X
(t) E(e )
มีคา จํากัดบนชวงเปดที ่บรรจุ t = 0
168
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา P(X a) e ta M X (t)
เปนจริงสําหรับทุก a และทุก t ≤ 0 (3) จงแสดงวาอสมการ P(X a) e (a )
เปนจริงสําหรับทุก a เมื ่อ (a) Max ta ln M X (t) t0
จงแสดงวา ถา a E(X) แลว (a) 0 (5) จงใชผลจากขอ (3) หาคาขอบของ P(X ≥ a) เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มปกติมาตรฐานและ a > 0 (6) ให X , X ,... เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกับ X จงแสดงวา สําหรับ ทุก a > E(X) จะได (4)
1
2
1 n P X i a e n(a ) n i 1
นั ่นคือ ความนาจะเปนที ่คาเฉลี ่ยตัวอยางมากกวาคาเฉลี ่ยของตัวแปรสุ ม X จํานวนหนึ ่งมีคา ลดลงแบบ เอกซโพเนนเชียล เฉลย (1)
กําหนดจํานวน a และ t ≥ 0 พิจารณาตัวแปรสุ ม Y ซึ ่งนิยามโดย a
Ya
0, ta e ,
Xa Xa
จะเห็นไดวา ความสัมพันธ Ya
e tX
เปนจริงเสมอและจะได E(Ya ) E(e tX ) M X (t)
แต E(Y ) e P(Y e ) e P(X a) ดังนั ้น P(X a) e M (t) (2) ทํานองเดียวกับขอ (1) เรานิยาม Y โดย ta
ta
a
ta
a
ta
X
a
e , 0, ta
Ya
Xa Xa
เนื ่องจาก t ≤ 0 ความสัมพันธ Ya
e tX
เปนจริงเสมอและจะได E(Ya ) E(e tX ) M X (t)
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
แต E(Y ) e P(Y e ) e P(X a) ดังนั ้น P(X a) e M (t) (3) เนื ่องจากอสมการในขอ (1) เปนจริงสําหรับทุก t ≥ 0 จะไดวา P(X a) min e M (t) ta
ta
a
ta
a
ta
X
ta
X
t 0
min e ta ln M
X (t)
t 0
max ta ln MX (t )
e e (a ) t 0
(4)
สําหรับ t = 0, จะได M X (0) 1 ta ln M X (t) 0 ln1 0 d
และ
dt
ta ln M X (t)
t0
a
1
d
M X (t) dt
M X (t)
t 0
a 1 E(X) 0
เนื ่องจาก ฟงกชัน ta ln M (t) มีคาเปน 0 และอนุพันธเปนจํานวนบวกที ่ t = 0 ฟงกชันนี ้ตองมีค าเปน จํานวนบวกเมื ่อ t เปนจํานวนบวกที ่มี คา นอ ยๆ ดังนั ้น บนช วง t ≥ 0, (a) ซึ ่ง เปน คา สูง สุด ของ ta ln M (t) เปนจํานวนบวก X
X
t2
สําหรับตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน X เรามี M (t) e ดังนั ้น ta ln M (t) ta ในการหา 2 คาสูงสุดของฟงกชันนี ้บนชวง t ≥ 0 เราหาอนุพันธซึ ่งก็ค ือ a – t และใหมีคาเปน 0 แลวแกสมการหาคา t 2 /2
(5)
X
X
a2
ของ t จะได t = a และจะได (a) นําไปใชสรางคาขอบของ P(X ≥ a) 2
P(X a) e a
หมายเหตุ : ในกรณีที ่
2
/2
a E(X)
จะได (a) 0 และไดคา ขอบที ่ไมนา สนใจคือ
P(X a) 1 (6)
ให
เมื ่อ และ เนื ่องจาก
Y X1 ... X n
ใชผลจากขอ (3) จะได
1 n P X i a P Y na e n i 1 Y (na) max nta ln M Y (t)
Y (na)
t0
M Y (t) M X (t)
n
ln M Y (t) n ln M X (t)
เราจะได
Y (na) n max ta ln M X (t) n (a) t0
และ
1 X i a e n(a ) n i 1 n
P
169
170
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
สังเกตวา เมื ่อ a > E(X) จะได (a) เอกซโพเนนเชียลเมื ่อเทียบกับ n 3.
> 0 [
จากขอ (4)] ดังนั ้น ความนา จะเปนที ่สนใจลดลงแบบ
[Jensen Inequality]
ให f เปนฟงกชันคาจริงที ่หาอนุพันธไดสองครั ้ง กลา ววา f เปนฟ งกชันนูน (Convex Function) ถา อนุพันธทสี ่ อง f (x) มากกวาหรือเทากับ 0 สําหรับทุก x ในโดเมน (1) จงแสดงวาฟงกชันตอไปนี ้เปนฟงกชันนูน f (x) e , g(x) ln x และ h(x) x (2) จงแสดงว า ถา f หาอนุพันธไดสองครั ้งและเป นฟงกชันนูนแล วค าประมาณเทยเลอรอันดับที ่หนึ ่ง เปนคาประมาณที ่ต ํ่ากวาคาจริงของฟงกชัน นั ่นคือ ax
f (a) (x a)f (a) f (x) (3)
จงแสดงวา ถา f มีสมบัตใิ นขอ (2) และถา X เปนตัวแปรสุ ม แลว f E(X) E f (X)
เฉลย
เนื ่องจาก f (x) a e 0, g(x) 1 0 และ h(x) 12x 0 x ดังนั ้น f, g และ h เปนฟงกชันนูนทั ้งสามฟงกชัน (2) เนื ่องจากอนุ พันธอันดับที ่สองไมเปนจํานวนลบ ดังนั ้น อนุพัน ธอันดับที ่หนึ ่งตอ งเป นฟงกชันไม ลด ใชทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะได 2 ax
(1)
2
2
f (x) f (a)
x
a
f ( t)dt f (a)
x
a
f (a)dt
f (a) (x a)f (a)
เนื ่องจาก มีขอ สมมุติวา อสมการในขอ (2) เปนจริงสําหรับทุกคา x ที ่เปนไปได ของตัวแปรสุ ม X เรา จะได (3)
f (a) (X a)f (a) f (X)
แทน a ดวย E(X) แลวหาคาคาดหวังทั ้งสองขาง จะได f E(X) E(X) E(X) f E(X) E f (X)
หรือ 4.
f E(X) E f (X)
ให p = สัดสวนของผู สูบบุหรี ่ในประชากรขนาดใหญ กลุ มหนึ ่ง ในการประมาณคา p อรุณเี ลือกประชาชน S เปนตัวประมาณคา เมื ่อ S แทนจํานวนผู สูบบุห รี ่ใ นตัวอย าง n คนโดยสุ ม ใชสัดสวนตัวอยาง M n
n
n
อรุณเี ลือกตัวอยางขนาด n ที ่เล็กที ่สดุ ซึ ่งอสมการเชบี เชฟรับประกันวา P(| M n
p | )
n
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
เมื ่อ และ เปนจํานวนบวกที ่กําหนดลวงหนา จงหาคาของ n ที ่ไดจากการใชอสมการเชบีเชฟในแตละ กรณีตอไปนี ้ (1) คาของ ลดลงครึ ่งหนึ ่งจากคาเดิม (2) ความนาจะเปน ลดลงครึ ่งหนึ ่งจากคาเดิม เฉลย
ใชอสมการเชบี ้เชฟ จะไดวา P(| M n p | )
p(1 p) n2 1
แต
p(1 p)
ดังนั ้น
P(| M n p | )
4 1 4n2
ถา มีคา ลดลงครึ ่งหนึ ่งจากคา เดิม เพื ่อใหคาขอบบนของความนาจะเปน 1 มีคาคงตัว ขนาด 4n ตัวอยาง n ตองโตขึ ้น 4 เทา 1 ลดลงเปน 1 โดยให มีคาคงตัว (2) ถาจะใหคาขอบบนของความนาจะเปน 4n 2 2 4n ขนาดตัวอยาง n ตองโตขึ ้น 2 เทา (1)
2
2
5.
2
ให X , X ,... เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงยูนฟิ อรมบนชวง [-1, 1] จงแสดงวาลําดับ Y , Y ,... ใน แตละกรณีตอไปนี ้ ลู เขาสู ลิมิตคาหนึ ่ง ในความนาจะเปน และจงหาลิมิตนั ้น 1
2
(1) Yn
1
2
Xn
n (2) Yn (X n ) n (3) Yn X 1 X 2 ... X n (4) Yn max{X1 ,..., Xn }
เฉลย
ในขอ (1), (2) และ (3) เราจะแสดงว า Y ลู เขาสู 0 ในความนาจะเปน ในขอ (4) เราจะแสดงว า Y ลู เขา สู 1 ในความนาจะเปน (1) เนื ่องจาก Xn เปนตัวแปรสุ มยูนิฟอรมบนชวง [-1, 1] ดังนั ้น คาคาดหวังของ X คือ E(Xn) = 0 และ ความแปรปรวนของ X คือ Var(X) = 1/3 ใชอสมการเชบี เชฟ จะไดวา สําหรับ 0 ใดๆ n
Xn
1/ 3 P X n n 2 2 n n P | Yn | 0 เมื ่อ n ดังนั ้น Yn ลู เขาสู 0 ในความนาจะเปน
P | Yn | P
จะเห็นไดวา
n
171
172
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
สําหรับทุก 0 เรามี
(2)
P | Yn | P | Xn |n P X n 1/n P Xn 1/ n 1 1/ n
และขางขวาของสมการลู เขาสู 0 เนื ่องจาก 1 ดังนั ้น Yn = (X n)n ลู เขาสู 0 ในความนาจะเปน (3) เนื ่องจาก X , X ,... เปนตัวแปรสุ มอิสระ เรามี 1/n
1
2
E(Yn ) E X1 ...E(Xn ) 0
และ
Var(Yn ) E Y
2 n
E X ...E X Var X 2 1
2 n
1
n
4 12
n
ดังนั ้น Var(Y ) 0 เนื ่องจากทุก Y มีคา เฉลี ่ย 0 เหมือนกัน จากอสมการเชบีเชฟ จะไดวา Y ลู เขาสู 0 ในความนาจะเปน (4) สําหรับทุก 0 ใชความอิสระของ X , X ,... จะไดวา n
n
n
1
2
P | Yn 1| P max{X1 ,..., X n } 1 P max{X1 ,..., Xn } 1
P X1 1 ,..., X n 1 P(X1 1 )
n
n
1 2 P | Yn 1| 0 เมื ่อ n และจะไดวา Yn ลู เขาสู 1 ในความนาจะเปน
6.
ดังนั ้น พิจารณาลํ าดับของตัวแปรสุ ม สองชุด X , X ,... และ Y , Y , ... ซึ ่งลู เขา สู คา คงตัวในความน าจะเปน ให c เปนคาคงตัวอีกจํานวนหนึ ่ง จงแสดงว า ลําดับของตัวแปรสุ มต อไปนี ้ลู เข าสู ลิ มิตที ่สมนัยกันใน ความนาจะเปน 1
2
1
2
(1) cX n (2) X n Yn (3) max{0,X n } (4) | X n | (5) Xn Yn
เฉลย
ให x และ y เปนลิมิตของ X และ Y ตามลําดับ (1) ตรึงคา 0 และคาคงตัว c ถา c = 0 แลว cX เทากับ 0 สําหรับทุก n และดังนั ้น cX ลู เขาสู 0 ใน n
n
n
ความนาจะเปน ถา c ≠ 0 จะไดวา P | cX สู cxในความนาจะเปน (2) เราจะแสดงวา P(| X
n
n
n
cx | P | X n x | ซึ ่งลู เขาสู 0 ดังนั ้น cX n ลู เขา | c |
Yn x y |) ลู เขาสู 0 สําหรับ 0 ใดๆ
เนื ่องจาก
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ {| X n
จะได และ
Yn x y | } {| X n x | / 2} {| Yn y | / 2}
P | X n
lim P | X n n
Yn x y |
Yn x y |
P | X n
lim P | X n
n
x | / 2 P
x | /
| Yn y | / 2
2 lim P | Yn n
y | /
2
0
สมการสุดทายเปนจริงเพราะ X และ Y ลู เขาสู x และ y ในความนาจะเปน ตามลําดับ (3) ทํานองเดียวกัน จะเห็นไดวา n
n
{| max{0, X n } max{0, x}| } {| X n
x | }
เนื ่องจาก lim P | X x | 0 จะไดวา lim P | max{0, X } max{0, x}| 0 ดังนั ้น max{0,X }ลู เขาสู max{0,x} ในความนาจะเปน (4) สังเกตวา | X | max{0, X } max{0, X } เนื ่องจาก max{0,X } และ max{0, X } ลู เขา สู max{0, x} และ max{0, x} ในความน า จะเป น ตามลํ า ดั บ [ดู ข อ ( 3)] จะได ว า | X | ลู เ ขา สู max{0, x} max{0, x} | x | ในความนาจะเปน (5) สุดทาย เรามี n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
P | X n Yn
xy |
P | (X n
P | (X n
x)(Yn y) xYn yXn 2xy |
x)(Yn y) | /
2 P | xYn
yX n 2xy | /
2
เนื ่องจาก xY และ yX ลู เขาสู xy ในความนาจะเปนทั ้งคู ความนาจะเปนสุดทายในนิพจนขา งบนลู เขา สู 0 ดังนั ้น เพียงแสดงวา ลิมิตตอไปนี ้เปนจริงก็พอ n
n
lim P | (X n n
สังเกตวา วิธีจาํ กัดให | (X (หรือทั ้งคู ) มีคาอยางนอย เขาในความนาจะเปน 7.
x)(Yn y) | / 2 n
0
มีคา มากเทากับ / 2 เราตองให | X x | หรือ | Y y | การพิสจู นสว นที ่เหลือทําไดทาํ นองเดียวกันกับการพิสูจนวา X Y ลู
x)(Yn y) | /2
n
n
n
กลาววา ลําดับ X ของตัวแปรสุ มลู เขาสู คาคงตัว c ในคาเฉลี ่ยของกําลัง สอง (Converge in Mean Square) ถา lim E (X c) 0 (1) จงแสดงวา ถา X ลู เขาสู c ในคาเฉลี ่ยของกําลังสอง แลว X ลู เขาสู c ในความนาจะเปน (2) จงยกตั วอยางเพื ่อแสดงวาบทกลับของขอ (1) ไมจริง n
2
n
n
n
เฉลย (1)
สมมุตวิ า
Xn
ลู เขาสู cในคาเฉลี ่ยของกําลังสอง ใชอสมการมารโคฟ จะได
n
173
174
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
P | X n c | P | X n c | 2
2
E[(X c) 2 ]
2
หาลิมิต เมื ่อ n จะได lim P | X n c | 0 n
นั ่นคือ X ลู เขาสู c ในความนาจะเปน เนื ่อง Y ซึ ่งมีฟง กชันมวลความนาจะเปน (2) พิจารณาลําดับของตัวแปรสุ มไมตอ n
n
1 1 n , y 0 1 P Yn y , y n2 n 0, คาอื ่นๆของ y
สําหรับทุก 0 จะไดวา lim P | Yn | lim n
n
1 n
0
นั ่นคือ Y ลู เขาสู 0 ในความนาจะเปน แต E Y n ลู ออกสู คาอนันต n
2 n
8.
3
กอนเริ ่มตนเลนรูเล็ตตในกาสิโน สมหวังตองการตรวจสอบว าวงลอมีความเอนเอี ยงหรือไม เขาสังเกตการ หมุนวงลอ 100 รอบ ผลลัพธท ี ่เปน ไปไดข องแตละรอบคื อจํา นวนตั ้งแต 1 ถึง 36 เขานับจํานวนรอบที ่ ผลลัพธเปนจํานวนคี ่ ถานับไดมากกวา 55 เขาจะตัดสินวาวงลอไมเที ่ยงตรง สมมุติว าวงลอ เที ่ยงตรง จง ประมาณคาความนาจะเปนที ่สมหวังจะตัดสินใจผิด
เฉลย
ให S แทนจํานวนครั ้งที ่ไ ดผลลัพ ธเปน จํา นวนคี ่ จะไดวา S เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มีพ ารามิเตอร n = 100 และ p = 0.5 ดังนั ้น E(X) 100 0.5 50 และ 100 0.5 0.5 25 5 ใชการแจกแจงปกติ ประมาณการแจกแจงทวิ นาม จะไดวา S
S 50 55 50 1 (1) 1 0.8413 0.1587 5 5
P S 55 P
เราสามารถประมาณความนาจะเปนไดแมนยําขึ ้นโดยใชการประมาณเดอมัววร-ลาปลาซ ซึ ่งจะได S 50 55.5 50 5 5 1 (1.1) 1 0.8643 0.1357
P S 55 P S 55.5 P
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
ระหวางแตละวัน ความนาจะเปนที ่ระบบปฏิบัตกิ ารของคอมพิวเตอรจะลมอยางนอย 1 ครั ้งเทากับ 5% เปนอิสระกันกับวันอื ่นๆ สมศรีผ ดู แู ลระบบตองการทราบวามีความนาจะเปนเทาไรที ่ใน 50 วันถัดไป ระบบปฏิบัตกิ ารของคอมพิวเตอรจะไมลมอยางนอย 45 วัน จงหาความนาจะเปนของเหตุการณทสี ่ มศรี สนใจโดยใช (1) การแจกแจงปกติประมาณการแจกแจงทวินาม (2) การแจกแจงปวสซองประมาณการแจกแจงทวินาม
9.
เฉลย
ให S แทนจํานวนวันที ่ระบบปฏิบัติการของคอมพิวเตอรจะไมลม จะได S เปนตัวแปรสุ มทวินามที ่มี พารามิเตอร n = 50 และ p = 0.95 ดังนั ้น E(X) 50 0.95 47.5 และ 50 0.95 0.05 1.54 ใชการแจกแจงปกติประมาณการแจกแจงทวินาม จะไดวา (1)
S
S 47.5 45 47.5 1.54 1.54 1 ( 1.62) (1.62) 0.9474
P S 45 P
เราสามารถประมาณความนาจะเปนไดแมนยําขึ ้นโดยใชการประมาณเดอมัวร-ลาปลาซ ซึ ่งจะได S 47.5 44.5 47.5 1.54 1.54 1 ( 1.95) (1.95) 0.9744
P S 45 P S 44.5 P
ตัวแปรสุ ม S มีการแจกแจงทวินามที ่มีพารามิเตอร n = 50 และ p = 0.95 ดังนั ้น ตัวแปรสุ ม 50 – S (จํานวนวันที ่ระบบปฏิบัติก ารของคอมพิ วเตอรลม ) มีการแจกแจงทวินามที ่มีพารามิ เตอร n = 50 และ (2)
p = 0.05
เนื ่องจากการประมาณการแจกแจงทวิ นามดวยการแจกแจงปวสซองใหมีความแมนยํา มีขอจํากัดวา p มี คานอย และ n มีคามาก ดังนั ้นการประมาณจะแมนยํา กวา เมื ่อกระทํา กับ 50 – S ดังนั ้น เราจะประมาณ 50 – S ดวยตัวแปรสุ มปวสซองที ่มีพารามิ เตอร 50 0.05 2.5 ดังนั ้น 5
5
k 0
k 0
e k
P(50 S 5) k! 0.958 ลองเปรียบเทียบกับความนาจะเปนที ่แมนตรงซึ ่งคํานวณจากการแจกแจงทวินามโดยตรง P S 45 P 50 S 5
50 k 50 k 0.962 k (0.05) (0.95) k 0 5
จะเห็นไดวาการประมาณดวยการแจกแจงปวสซองมีความแมนยํามากกวา ทั ้งนี ้เพราะวาการประมาณ การแจกแจงทวิ นามดวยการแจกแจงปกติ จะไดคา ประมาณที ่แมนยําเมื ่อ p มีคา ใกล 0.5 และ n มีคา มาก ซึ ่ง ไมใชกรณีนี ้
175
176
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
10.
โรงงานแหงหนึ ่งผลิตหุ นยนต X ตัวในวันที ่ n เมื ่อ X เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงเหมือนกัน โดยมีคา เฉลี ่ย 5 และความแปรปรวน 9 (1) จงประมาณคาความนาจะเปนที ่จาํ นวนหุ นยนตทผ ี ่ ลิตไดทั ้งหมดใน 100 วันนอยกวา 440 ตัว (2) จงหา (คาประมาณ) ค ามากที ่สุดของ n ซึ ่ง n
n
P X1 ... Xn 200 5n 0.05 (3)
ให N คือวันแรกที ่จาํ นวนหุ นยนตทผี ่ ลิตไดรวมกันมากกวา 1,000 ตัว จงประมาณคาความนาจะเปนที ่
N 200
เฉลย
ให S X ... X แทนจํานวนหุ นยนตรวมทั ้งหมดที ่ผลิต ไดใน n วัน สังเกตวา คาเฉลี ่ย ความ แปรปรวน และ ค าเบี ่ยงเบนมาตรฐานของ S คือ 5n, 9n และ 3 n ตามลําดับ ดังนั ้น (1)
n
1
n
n
P S100 440 P S 439.5
S 500 439.5 500 P 100 30 30 439.5 500 30 (2.02) 1 (2.02) 1 0.9783 0.0217
(2)
เปาหมายคือ P S
n
Sn 5n
P
3 n
200 5n 0.05 หรือ
200
0.05
3 n
ใชการประมาณด วยการแจกแจงปกติ จะได 200 0.05 3 n 200 0.95 3 n
1
จากตารางการแจกแจงปกติ อานได (1.65) 0.95 ดังนั ้น 200 3 n
และจะได
1.65
n 1, 632
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
เหตุการณ N 220 (ใชเวลาอยางนอย 220 วันจึงจะผลิตหุ น ยนตไดรวมกันมากกวา 1000 ตัว ) เหมือนกับเหตุการณ S 1000 (ใน 219 วันแรก ผลิตหุ นยนตไดไมเกิน 1000 ตัว) ดังนั ้น (3)
219
P N 200 P S219 1000
S 5 219 1000 5 219 P 219 3 219 3 219 1 (2.14) 1 0.9838 0.0162
ให
11.
X1 , Y1 , X2 , Y2 ,... W
เปนตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงยูนิฟอรมบนชวง [0, 1] และให
(X1 ... X16 ) (Y1 ... Y16 )
จงหาคาประมาณเชิงตัวเลขของ
16
P | W E(W) | 0.001
เฉลย
สังเกตวา W คือคาเฉลี ่ยตัวอยางของตัวแปรสุ มอิสระในรูปแบบ X Y ที ่มีการแจกแจงเหมือนกัน และ เหมาะสมที ่จะประมาณดวยตัวแปรสุ มปกติ ตัวแปรสุ ม X Y มีคาเฉลี ่ยเทากับ 0 และความแปรปรวน เทากับ 2 ดังนั ้น W มีคาเฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน 2 /12 1 และจะได i
i
12
i
16
|W|
P | W | 0.001 P
1/ 96
0.001
i
96
0.001 96 0.001 96
1/ 96
2 0.001 96 1 2(0.0098) 1 2 0.504 1 0.008
หมายเหตุ การหาคําตอบของปญหาขอนี ้โดยไมใ ชตารางการแจกแจงปกติอาจทํา ไดดังนี ้ ให Z เปนตัว แปรสุ มปกติทมี ่ คี า เฉลี ่ย 0 และคาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน 1/96 คาเบี ่ยงเบนมาตรฐานของ Z นี ้มีคาประมาณ 0.1 ซึ ่งมากกวา 0.001 ถึง 100 เทา ดังนั ้นในชวง [-0.001, 0.001] ฟงกชันความหนาแน นนาจะเปนของ ู ร P(z - ≤ Z ≤ z + ) f Z(z)2 เมื ่อ z = 0 และ = 0.001 จะได Z เกือบจะเปนคาคงตัว ใชสต 0.002
P( W 0.001) P 0.001 Z 0.001 f Z (0) 0.002 12.
2 (1/ 96)
0.0078
การพิสจู นทฤษฎีบทเซนทรัล ลิมิต ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิส ระที ่มีก ารแจกแจงความนาจะเปน เหมือ นกันโดยมีคา เฉลี ่ย 0 และความแปรปรวน เทากัน และมีฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) ซึ ่งมี คาจํากัด เมื ่อ d t d , ( d เปนจํานวนบวก ) ให 1
2
2
X
177
178
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา X1 ... X n
Zn
n t M Z (t) M X n
(1)
จงแสดงวา
(2)
สมมุตวิ า M
n
n
X
(t)
มีอนุกรมเทยเลอรอันดับที ่ 2 รอบ t = 0 ในรูปแบบ
M X (t) a bt ct o(t ) 2
2
o(t 2 )
0 จงหาคาของ a, b และ c ในพจนของ เมื ่อ o(t ) เปนฟงกชันที ่สอดคลองกับ lim t (3) จงใชผลที ่ไดจากขอ (1) และขอ (2) แสดงวา M (t) ลู เขาสู ฟง กชันกอกําเนิดโมเมนตของตัวแปรสุ ม ปกติมาตรฐาน นั น่ คือ lim M (t) e , สําหรับทุก t หมายเหตุ ทฤษฎีบทเซนทรัลลิมิตเปนผลจากขอ (3) และความจริงที ่วา ถาฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต M (t) ลู เขาสู ฟงกชันกอกํ าเนิดโมเมนต M (t) ของตัวแปรสุ ม Z ซึ ่งมีฟ ง กชันการแจกแจงความนาจะ เปนสะสมที ่ตอ เนื ่อง แลวฟงกชันการแจกแจงความน าจะเปนสะสม F ลู เขาสู ฟงกชันการแจกแจงความ นาจะเปนสะสมของ Z ในกรณีขา งบนนี ้ ฟงกชันการแจกแจงความน าจะเปนสะสมของ Z ลู เขาสู ฟง กชัน การแจกแจงความนาจะเปนสะสมของตั วแปรสุ มปกติมาตรฐาน 2
2
2
t 0
Zn
t 2 /2
Zn
n
:
Zn
Z
Zn
n
เฉลย (1)
เนื ่องจาก X เปนตัวแปรสุ มอิสระ จะไดวา M (t) E e i
tZn
Zn
t E exp n n
E e tX /( i 1
i
n)
n
i 1
(3)
n
ใชสมบัตขิ องฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต จะไดวา a M X (0) 1,
และ
t MX n (2)
Xi
c
1 2
MX (0)
b MX (0) E(X) 0 , E(X 2 ) 2
2 2
ใชผลจากขอ (1) และขอ (2) จะไดวา n
t2 bt ct 2 t M Z (t) M X 2 o 2 a n n n n n
n
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
แทนคาของ a, b และ c จากขอ (2) ในสมการขางบน จะไดวา t2 t2 M Z (t) 1 o 2 2n n
n
n
หาลิมิต เมื ่อ n และใชเอกลักษณ n
c lim 1 e c n n lim M Z (t) e t / 2
จะไดวา 13.
2
n
n
พิจารณาลําดับของตัวแปรสุ ม 2 ชุดคือ X , X ,... และ Y , Y ,... สมมุติวา X ลู เขา สู a ดวยความนาจะ เปน 1 และ Y ลู เขาสู b ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวา X Y ลู เขา สู a + b ดวยความนาจะเปน 1 และถา Y ไมเทากับ 0 จงแสดงวา X ลู เขาสู a ดวยความนาจะเปน 1 1
2
1
n
2
n
n
n
n
n
b
Yn
เฉลย
ให A (และ B ตามลําดับ) แทนเหตุการณที ่ลําดับของคาของตัวแปรสุ ม X (และ Y ตามลําดับ)ไมลู เขาสู a (และ b ตามลําดับ ) ให C แทนเหตุการณท ี ่ลํา ดับของคา ของ X Y ไมลู เขาสู a + b จะไดวา n
n
n
n
C AB
เนื ่องจาก X และ Y ลู เขาสู a และ b ดวยความนาจะเปน 1 ตามลําดับ จะไดวา P(A) = 0 และ P(B) = 0 และ n
n
P(C) P(A B) P(A) P(B) 0
ดังนั ้น P(C
C
) 1
นั ่นคือ X
n
Yn ลู เขาสู a + b ดวยความน าจะเปน 1
สําหรับการลู เขาของ X อางเหตุ n
Yn
ผลไดในทํานองเดียวกัน 14.
ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิสระที ่มีการแจกแจงความน าจะเปนเหมือนกัน ให Y , Y , ... เปน ลําดับของตัวแปรสุ มอิสระอีกชุดหนึ ่งที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกัน สมมุติวา X และ Y มี คาเฉลี ่ยเปนจํานวนจํากัดและ Y ... Y ไมเทากับ 0 จงพิจารณาวาลําดับ 1
2
1
2
i
1
Zn
n
X1 ... X n Y1 ... Yn
ลู เขาดวยความนาจะเปน 1 หรือไม ถาลู เขา จงหาลิมติ เฉลย
เราสามารถเขียน Z อีกรูปแบบหนึ ่งดังนี ้ n
179
180
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
X1 ... X n / n Y1 ... Yn / n
Zn
ใชกฎอยางเขมของจํานวนมาก ตัวเศษและตัวสวนของ Z ลู เ ขาสู E(X) และ E(Y) ตามลําดับ ดวย ความนาจะเปน 1 ดังนั ้น Z ลู เขาสู E(X) ดวยความนาจะเปน 1 (ดูโจทยปญหาขอ 13.) n
n
15.
E(Y)
สมมุตวิ า ลําดับ Y , Y , ... ของตัวแปรสุ มลู เขาสู จาํ นวนจริง c ดวยความนาจะเปน 1 จงแสดงวาลําดับนี ้ลู เขา สู c ในความนาจะเปนดวย 1
2
เฉลย
ให C แทนเหตุการณที ่ลํา ดับของคาของตัว แปรสุ ม Y ลู เขา สู c ตามขอสมมุติ เรามี P(C) = 1 ตรึงคา 0 และให A แทนเหตุการณ | Y c | สําหรับทุก n k ถาลําดั บของคาของตัวแปรสุ ม Y ลู เขา สู c แลวจะตองมีจาํ นวนเต็มบวก k ซึ ่งสําหรับทุก n k ลําดับของคาเหลานี ้ตา งจาก c ไมเกิน ดังนั ้น ทุก สมาชิกของ C เปนสมาชิกของ A สําหรับบางคาของ k หรือกลาวอีกนัยหนึ ่ง n
k
n
n
k
C Ak k 1
สังเกตวาลําดับของเหตุการณ A เปนลําดับเพิ ่มทางเดียว ( A เปนสับเซตของเหตุการณ {| Y c | } ดังนั ้น k
k
A k 1 สําหรับทุก k) และเหตุการณ A k
k
k 1
lim P | Yk c | lim P(A k ) P A k P(C) 1 k
k
สมการแรกขางบนใชสมบัตคิ วามตอเนื ่องของความนาจะเปน) และจะไดวา
(
lim P | Yk c | 0 k
นั ่นคือ Y ลู เขาสู c ในความนาจะเปน n
16.
พิจารณาลําดับ Y ของตัวแปรสุ มที ่มีคา ไมเปนจํานวนลบและสมมุตวิ า n
Y จงแสดงวา Y ลู เขาสู 0 ดวยความนาจะเปน 1 หมายเหตุ: ผลที ่ไดนี ้ใชเปนวิธแี สดงการลู เขาดวยความนาจะเปน 1 ในการคํานวณคาคาดหวังของ Y E
n 1
n
n
n 1
มักจะใชสตู ร E Yn E(Yn ) n 1 n 1
n
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
ขอเท็จจริงที ่คา คาดหวังกับผลบวกของตัวแปรสุ มจํานวนอนันตสลับกันไดในกรณีของตัวแปรสุ มที ่มีคา ไม เปนจํานวนลบนี ้คือทฤษฎีบ ทหลั กมูลของทฤษฎีความนาจะเปนที ่เรี ยกว า ทฤษฎีบทการลู เขาทางเดีย ว ู นทฤษฎีบทนี ้อยู นอกขอบขายของหนังสือเลมนี ้ (Monotone Convergence Theorem) การพิสจ เฉลย
สังเกตวาผลบวก Y ตองมีคาจํากัดดวยความนาจะเปน 1 ถา Y มีคาอนันตดวยความนาจะเปนที ่ n
n
n 1
n 1
มากกวา 0 แลวคาคาดหวังของ Y ตองเปนคาอนันตดวย แตถา ผลบวกของคาของตัวแปรสุ ม Y มีคา n
n
n 1
จํากัด แลวลําดับของคาของตัวแปรสุ มนี ้ตองลู เข าสู 0 เนื ่องจากความนาจะเปนของเหตุการณนี ้เทากับ 1 ดังนั ้น ลําดับ Y ลู เขาสู 0 ดวยความนาจะเปน 1 n
17.
พิจารณาลําดับของตัวแปรสุ มแบรนลู ลี X และให p P X 1 เปนความนาจะเปนของผลลัพธทเี ่ ปน ความสําเร็จในการลองที ่ n สมมุตวิ า p จงแสดงวาจํานวนผลลัพธทเี ่ ปนความสําเร็จมีคา จํากัด n
n
n
n
n 1
ดวยความนาจะเปน 1 เฉลย
ใช ทฤษฎีบทการลู เขาทางเดียว (ดูหมายเหตุในขอ 16.) จะไดวา X E(X ) pn n n n 1 n 1 n 1
E
ดังนั ้น X
n
n 1
ดวยความนาจะเปน 1 สังเกตวาเหตุการณ X
n 1
n
ก็คอื เหตุการณทมี ่ ีผลลัพธที ่
เปนความสําเร็จจํานวนจํากัด กฎอยางเขมของจํานวนมาก (The Strong Law of Large Numbers)] ให X , X ,... เปนลําดับของตัวแปรสุ มอิสระที ่มกี ารแจกแจงความนาจะเปนเหมือนกัน และสมมุติวา ู นวา ลําดับของคาเฉลี ่ยตัวอยาง M X ... X ลู เขาสู ดวยความนาจะเปน 1 E X จงพิสจ
18. [
1
2
4 i
1
n
n
n
นั ่นคือ X1 ... X n 1 n n
P lim
เฉลย
เราเริ ่มตนจากกรณีทตี ่ ัวแปรสุ ม Xi มีคาเฉลี ่ย เทากับ 0 ให S
n
n
Xi i 1
และพิจารณา
181
182
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
E( S n4 ) E[( X1 X2 ... Xn ) 4 ] 4 1 2 n
สังเกตวารูปกระจายของ (X + X + … + X ) ประกอบดวยพจนตางๆ ในรูปแบบ Xi4 ,
X3i X j ,
Xi2 X j2 ,
X2i X j Xk ,
Xi X j Xk Xl
เมื ่อ i j k 1 เนื ่องจากทุก Xi มีคา เฉลี ่ยเปน 0 และเปนอิสระกัน จะได E( X3i X j ) E( Xi3 )E( X j ) 0
E( Xi X j Xk ) E( Xi )E( X j )E( Xk ) 0 2
2
E( Xi X j Xk Xl ) 0
สําหรับ i และ j แตละคู X X จะปรากฏอยู ในพจนตา งๆ ในรูปกระจาย 4 6 พจน ดังนั ้น เมื ่อ 2 i
2 j
2
กระจาย S แลวหาคาคาดหวัง จะได 4 n
n E( S n4 ) nE( Xi4 ) 6 E( X2i X j2 ) 2 nK 3n(n 1)E( Xi2 )E( X j2 )
(Xi และ X j เปนอิสระกัน)
เนื ่องจาก 0 V ar(X i2 ) E(X i4 ) [E(X 2i )]2
จะเห็นไดวา [E( X2i )] 2 E( Xi4 ) K
ดังนั ้น เราจะได และจะได
E(S4n ) nK 3n(n 1)K S n4 K 3K E 4 3 2 n n n
ดังนั ้น
เปนผลให
S n4 S n4 E 4 E 4 n 1 n n 1 n S 4n ดวยความน าจะเปน 1 [เพราะถาผลบวกเป นคาอนันตได (ความนาจะเปนมากกวา n 1 n 4
0) แลวคาคาดหวังจะเปนคาอนันต] แตการลู เขาของอนุกรมสงผลใหพจนที ่ n ลู เขาสู 0 ดังนั ้น เราสรุปไดวา lim
n
S n4 n4
0
ดวยความนาจะเปน 1
เฉลยโจทยปญ หา บทที ่ 5 อสมการและทฤษฎี บทลิมติ
S 4n S n แตถา 4 n n
4
S ลู เขาสู 0 แลว nn ลู เขาสู 0 ดวย ดังนั ้น S 0 เมื ่อ n ดวยความนาจะเปน 1 n เมื ่อคาเฉลี ่ยของ Xi คือ ไมเทากับ 0 เราสามารถใชการอางเหตุผลขางบนกับตัวแปรสุ ม Xi – จะได ( X ) lim 0 ดวยความนาจะเปน 1
n
n
i
n
n
i 1
หรือ n
lim
n
i 1
Xi n
ดวยความนาจะเปน 1
183
184
ความนาจะเปน : ทฤษฎีและโจทยป ญหา
หนาวาง
185
บรรณนานุกรม 1. Bertsekas,D.P. and Tsitsiklis, J. N.. Introduction to Probability Theory . 2e, Athena Scientific, 2008, 528 pages.
2. Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume 1 ; 2e, Wiley, 1991, 704 pages.
3. Ghahramani, Saeed. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes . 3e, Prentice Hall, 644 pages.
4. Haigh, John. Probability Models. Springer, 2002, 256 pages. 5. Hogg, Robert V., and Tanis, Elliot. Probability and Statistical Inference . 8e, Prentice Hall, 2009, 648 pages.
6. Lefebvre, Mario. Applied Probability and Statistics. Springer, 2006, 356 pages. 7. Olkin, Ingram , Gleser, Leon Jay, and Derman, Cyrus. Probability Models and Applications . Prentice Hall, 2e 1994, 575 pages.
8. Ross, Sheldon M. First Course in Probability. 8e, Pearson, 2009,552 pages. 9. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. 9e, Academic Press, 2006, 800 pages. 10. Scheaffer, Richard L. and Young, Linda. Introduction to Probability and Its Applications . Duxbury Press, 3e, 2009, 480 pages.
186
ตารางการแจกแจงปกติมาตรฐาน (z0 ) = P(Z < z 0)
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6406
0.6443
0.6480
0.6517
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.7517
0.7549
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7704
0.7734
0.7764
0.7794
0.7823
0.7852
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.8051
0.8078
0.8106
0.8133
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8389
0.8413
0.8438
0.8461
0.8485
0.8508
0.8531
0.8554
0.8577
0.8599
0.8621
0.8643
0.8665
0.8686
0.8708
0.8729
0.8749
0.8770
0.8790
0.8810
0.8830
0.8849
0.8869
0.8888
0.8907
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9279
0.9292
0.9306
0.9319
0.9332
0.9345
0.9357
0.9370
0.9382
0.9394
0.9406
0.9418
0.9429
0.9441
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.9515
0.9525
0.9535
0.9545
0.9554
0.9564
0.9573
0.9582
0.9591
0.9599
0.9608
0.9616
0.9625
0.9633
0.9641
0.9649
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
0.9699
0.9706
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9761
0.9767
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
0.9861
0.9864
0.9868
0.9871
0.9875
0.9878
0.9881
0.9884
0.9887
0.9890
0.9893
0.9896
0.9898
0.9901
0.9904
0.9906
0.9909
0.9911
0.9913
0.9916
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
0.9934
0.9936
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
0.9951
0.9952
0.9953
0.9955
0.9956
0.9957
0.9959
0.9960
0.9961
0.9962
0.9963
0.9964
0.9965
0.9966
0.9967
0.9968
0.9969
0.9970
0.9971
0.9972
0.9973
0.9974
0.9974
0.9975
0.9976
0.9977
0.9977
0.9978
0.9979
0.9979
0.9980
0.9981
0.9981
0.9982
0.9982
0.9983
0.9984
0.9984
0.9985
0.9985
0.9986
0.9986
0.9987
0.9987
0.9987
0.9988
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989
0.9990
0.9990
0.9990
0.9991
0.9991
0.9991
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
0.9995
0.9995
0.9995
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9996
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9997
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
187
ดั ชนีคน เรื ่อง กฎการคูณความนาจะเปน กฎการนับ กฎการหาคาคาดหวังซ้ ํา กฎของเบส กฎของเบสกรณีตัวแปรสุ มตอเนื ่อง กฎความนาจะเปนของคอมพลีเมนต กฎความแปรปรวนรวม กฎคาคาดหวังของฟงกชันของตัวแปรสุ ม กฎอยางเขมของจํานวนมาก กฎอยางออนของจํานวนมาก การทดลองทวิ นาม การทดลองแบรนูลลี การลู เขาดวยความนาจะเปน 1 การลู เขาในความนาจะเปน การลู เขาในคาเฉลี ่ยของกําลังสอง ความนาจะเปน ความนาจะเปนมีเงื ่อนไข ความเปนไปได ความแปรปรวน ความแปรปรวนของตัวแปรสุ มปกติ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ มยูนฟิ อรม ความแปรปรวนของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียล ความแปรปรวนของฟงกชันเชิงเสนของตัวแปรสุ ม ความแปรปรวนรวม ความอิสระของตัวแปรสุ ม ความอิสระของเหตุการณ คอมพลีเมนตของเหตุการณ คาขอบเชอรนอฟ คาคาดหวัง คาคาดหวังของตัวแปรสุ มปกติ คาคาดหวังของตัวแปรสุ มยูนิฟอรม คาคาดหวังของตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียล คาคาดหวังมีเงื ่อนไข คาเฉลี ่ยของฟงกชันเชิงเสนของตัวแปรสุ ม คาเบี ่ยงเบนมาตรฐาน แซมเปลสเปซ ตัวแปรสุ ม ตัวแปรสุ มตอเนื ่อง ตัวแปรสุ มทวินาม ตัวแปรสุ มแบรนูลลี
3 4 42 3 32 2 42 15,32 53 51 14 14 53 51 55 1 3 1 15,27 29 28 28 16 41 18,32 4 2 53 15,27 29 28 28 17,31,42 16 15 1 13 27 14 14
ตัวแปรสุ มปกติ ตัวแปรสุ มปกติมาตรฐาน ตัวแปรสุ มปวสซอง ตัวแปรสุ มผสม ตัวแปรสุ มไมตอ เนื ่อง ตัวแปรสุ มไมมสี หสัมพันธ ตัวแปรสุมยูนิฟอรม ตัวแปรสุ มเรขาคณิต ตัวแปรสุ มลาปลาซ ตัวแปรสุ มอิสระ ตัวแปรสุ มเอกซโพเนนเชียล ทฤษฎีบทความนาจะเปนรวม ทฤษฎีบทคาคาดหวังรวม ทฤษฎีบทเซนทรั ลลิมิต แบบจําลองความนาจะเปน ผลการแบง ฟงกชันกอกําเนิดโมเมนต ฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนสะสม ฟงกชันความนาจะเปน ฟงกชันความนาจะเปนยูนิฟอรมไมตอ เนื ่อง ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปน ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนปกติ ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมารจิน ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนมีเงื ่อนไข ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนยูนฟิ อรม ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนรวม ฟงกชันความหนาแนนนาจะเปนเอกซโพเนนเชียล ฟงกชันมวลความนาจะเปน ฟงกชันมวลความนาจะเปนทวินาม ฟงกชันมวลความนาจะเปนแบรนูลลี ฟงกชันมวลความนาจะเปนมารจนิ ฟงกชันมวลความนาจะเปนมีเงื ่อนไข ฟงกชันมวลความนาจะเปนรวม ฟงกชันมวลความนาจะเปนเรขาคณิต ยูเนียนของเหตุการณ วธีการเดอมัววร-ลาปลาซ วธีจัดหมู วธีเรียงสับเปลี ่ยน สมบัติของฟงกชันความนาจะเปน สัจพจนความนาจะเปน
29 29 15 34 13 42 28 14 33 18 28 3 32 52 1 3 42 28 1 2 27 29 30 30 28 30 28 13 14 14 16 17 16 15 2 52 4 4 2 1