PROBLEMA 8 SECCION 3.1 (CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO)
a) Considere el problema de valor inicial dA/dt=kA, A(0)=A0 como el modelo de decaimiento de una sustancia radioactiva. Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T= (!n ")/k
Tenemos: Tenemos: $dAdt =kA
, A()= A$
Reso!"#eno !% e&'%&#n o* "%*#%+!es se%*%+!es: $dAA=kdt -dAA=-kdt !n !n A=kt C A(t )= )=Cekt $ /0#!#%no !%s &on#&#ones #n#&#%!es 2 s's0#0'2eno en !% e&'%&#on: $ A()=Cek ()= ()= A A=C A(t )= )= Aekt $ De: $ A(t )= )= Aekt $ En0on&es !% "#% me#% e T es: $1 A= A(T )1 )1 A= AeTk $ Reso!"#eno %*% T 4'e es !% "#% me#%: $1=eTk !n(1)=!n( !n(1)=!n(eTk )!n(1)= )!n(1)=Tk $ Po* '!0#mo ese5%no T: $T =!n(1) =!n(1)k T =6(!n) =6(!n)k $
b) Demuestre que la soluci#n del problema de valor inicial del inciso (a) se puede escribir como A(t)=A"$t/T.
Dese5%mos 7 2 s's0#0'#mos e! "%!o* e 7 en !% e&'%&#n:
$k =6(!n)T A(t )= Aetk A(t )= Aet 6(!n)T = A6tT $ O+0enemos: $ A(t )= A6tT $ c) %i la sustancia radioactiva tiene un vida media que se indica en el inciso (a), &cu'nto tarda una cantidad inicial A de la sustancia en decaer a / de A*
P!%n0e%no !% e&'%&#n: $18 A= A6tT 63=6tT $ Reso!"#eno 0enemos: $63=6tT t =3T $ #n%!men0e: $ A tardara en decaer a: 18 A tres 9"#%s y media$
Problema 18En 0= 'n &'+o e ens%2o se!!%o 4'e &on0#ene 'n% s's0%n&#%
4'm#&% se s'me*;e en 'n +%
e#0) 4'e se e0e*m#n% me#%n0e Tm(0)=1[email protected]e?.1 0 one 0 se m#e en m#n'0os. (A)S'on;% 4'e ?.1 en (). An0es e *eso!"e* e! PI, es&*#+% en %!%+*%s !o 4'e ese*% se* en e! &o*0o !%o !% 0eme*%0'*% T(0) e !% s's0%n&#% 4'#m#&%. En e! !%*;o !%o (+)Res'e!"% e! *o+!em% e "%!o* #n#&#%!. Po* me#o e 'n *o;*%m% 0*%&e !% ;*F&% e 0(>) en #n0e*"%!os e 0#emo e "%*#%s !on;#0'es. GL%s ;*F&%s &on !%s *e#&&#ones e! #n&#so %H Solución de (A): L% 0eme*%0'*% e !% s's0%n&#% en e! 0'+o en 'n &o*0o !%o se*% meno* % !% #n#&#%! o m%2o* % !% #n#&#%!, een#eno en 4'e 0#emo se %5's0e !% 0eme*%0'*% e! +%
$!#mt JTm(t )=9%!!o+*e%1$
So!'&#n e (B):
$t =$ $Tm(t )=1[email protected]e6.1t =9%!!o+*e%K$
$Tm()=K$
$dTdt =k (T 6Tm)$
$k =6.1$
$dTdt =6.1(T 6K)$
$dTT 6K=6.1dt $
$!nT 6K=6.1t c$
$T 6K=ce6.1t $
$T (t )=ce6.1t K$ ara T(0)=0
$8=ce6.1()K$
$8=cK$
$=c$
Po* !o 0%n0o: $T (t )=e6.1t K$
ara T=-
$Tm(t )=1[email protected]e6.1t =9%!!o+*e%.9%!!o+*e%3$
$Tm()=9%!!o+*e%.9%!!o+*e%3$
$dTdt =k (T 6Tm)$
$k =6.1$
$dTdt =6.1(T 6.9%!!o+*e%3)$
$dTT 6.9%!!o+*e%3=6.1dt $
$!nT 6.9%!!o+*e%3=6.1t c$
$T (t )=ce6.1t .9%!!o+*e%3$ P%*% T()=8 $8=ce6.1().9%!!o+*e%3$
[email protected]K1$ or lo tanto
$T (t )[email protected]K1e6.1t .9%!!o+*e%3$
P%*% 0=1 $Tm(t )=1[email protected]e6.1t =9%!!o+*e%1.9%!!o+*e%$
$Tm(t )=1[email protected]e6.1t =9%!!o+*e%1.9%!!o+*e%$
$Tm(1)=1.$
$dTdt =6.1(T 61.)$
$!nT 61.=6.1t c$
$T (t )=ce6.1t 1.$ Cuando T(0)=0
$8=ce6.1()1.$ $c=611.$
or lo tanto
$T (t )=611.e6.1t 1.$
