Problema Aplicativo 1

MATEMATICA PROBLEMA APLICATIVO 1

El ángulo de elevación: Un avión vuela a 5 millas de altitud y a una velocidad de 600 millas/hora, hacia un punto situado exactamente en la vertical de un observador ver !igura"# $% &u' ritmo está cambiando el ángulo de elevación Ɵ cuando el ángulo es(: a" Ɵ) *0+ b" Ɵ) 60+ c" Ɵ) 5+ I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

1

5

MATEMATICA

-i llamamos . x . a la distancia horiontal entonces:  600 millas / h ) dx / dt I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

2

MATEMATICA

-i llamamos . x . a la distancia horiontal entonces:  600 millas / h ) dx / dt I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

2

MATEMATICA

1a velocidad es igual a la derivada de la distancia con respecto al tiempo además es negativa por&ue va hacia la i&uierda# 5 ) altura 1a distancia del avión al suelo altura" nunca cambia# Entonces lo &ue vamos a calcular es: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

3

MATEMATICA dθ dt

)(

-e !orma un triángulo rectángulo y entonces usamos la tangente 2an  3 " ) cateto opuesto / cateto adyacente 4atos:

I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

ateto opuesto ) altura ) 5 millas 3 ) *0 dθ

7rimero vamos a calcular la variación del ángulo  ateto adyacente ) x distancia horiontal" I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

5

dt

" para este valor#

MATEMATICA

-ustituyendo: 5

2an  *0 " ) x despe8ando .x.:


6

MATEMATICA 5

x)

tan 30°

x ) 59* millas 4istancia horiontal cuando el ángulo es igual a *0 hacemos lo mismo para: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

7

MATEMATICA

3 ) 60 y 3 ) 5: 5

x)

tan 60 °

5

x ) √ 3 millas I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

8

MATEMATICA

4istancia horiontal cuando el ángulo es igual a 60 5

x)

tan 75°

x ) 0  5 √ 3 millas 4istancia horiontal cuando el ángulo es igual a *5 I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

9

MATEMATICA dθ

;ueremos calcular la variación del ángulo 

tan 3" )

catetoopuesto catetoadyacente

y lo interpretamos como: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

1

dt

"# 4e la misma identidad trigonom'trica:

MATEMATICA 5

tan 3" ) x
11

MATEMATICA 5

arcotan  tan  3 " " ) arcotan  x " 5

3 ) arcotan 

x

"

-i derivamos con respecto al tiempo se tiene: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

d3 / dt )   5 / = x> ? @5 A "  dx / dt " 1a derivada de arco tangente es igual a

dv 1

+v

2

alcular la raón de cambio cuando 3 ) *0 si los datos: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

BCB: dƟ dt

Es igual a la velocidad angular entonces se mide en radianes sobre hora, o alguna unidad de

tiempo# dx dt


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)

−600 millas h

MATEMATICA

x ) 5 √ 3 millas -ustituyendo datos en: dƟ dt


15

−5 )  ( x + 25) "  2

dx dt

" &ueda:

MATEMATICA dƟ dt

)   5 / =  59* " > ? @5 A "   600 "

d3 / dt )   5 / = 5 ? @5 A "   600 " d3 / dt )   5 / 00 "   600 " d3 / dt )    / @0 "  600 " I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

d3 / dt ) 600 / @0 d3 / dt ) *0 rad / h 7ara convertir a radianes / min se sigue asi: *0 rad / h   h / 60 min " )  / @ rad / min Entonces: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

d3 / dt )  / @ rad / min alculamos para 3 ) 60 -olo se sustituye datos en: d3 / dt )   5 / = x> ? @5 A "  dx / dt " 1os datos son: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA dx dt

)

−600 millas hora

x ) 5 / 9* millas


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MATEMATICA

Dos &ueda: d3 / dt )   5 / =  5 / 9* " > ? @5 A "   600 " d3 / dt )   5 / = @5 / * ? @5 A "   600 " d3 / dt )   5 / 00 / * "   600 " d3 / dt )   * / @0 "   600 " I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

2

MATEMATICA

d3 / dt ) 00 / @0 d3 / dt ) F0 rad / h (1 h / 60 min ) 7ara convertir a radianes / min se sigue asi:


21

MATEMATICA 90 rad

h

∗1 h

60 min

rad

3

)

2

G

min

7or tanto: d3 / dt ) * / @ rad / min I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

7ara !inaliar: 3 ) 5 Duevamente lo Hnico &ue hay &ue hacer es sustituir datos en d3 / dt )   5 / = x> ? @5 A "  dx / dt " los datos son: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

dx / dt )  600 millas / hora x ) 0  59* millas Entonces &ueda: d3 / dt )   5 / =  0  59* " > ? @5 A "   600 " d3 / dt )   5 / = #FIFF@I ? @5 A "   600 " I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

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MATEMATICA

d3 / dt )   5 / @5#FIFF@I "   600 " d3 / dt ) *000 / @5#FIFF@I d3 / dt ) #F65@I@ rad / h 7ara convertir a radianes / min se sigue asi: I M A R T N O C N E I U Q O G I M N O C S O I D I S

25

MATEMATICA

#F65@I@ rad / h   h / 60 min " ) #660@5I0I rad / min 7or tanto: dθ dt


26

) #660@5I0I rad / min

MATEMATICA


27

MATEMATICA


28

MATEMATICA


29

MATEMATICA

PROBLEMA APLICATIVO 2

U!a "#!$a!a !%&ma! s# '%!s$&()# *(!$a!+% (! s#mi',&'(l% a la -a&$# s(-#&i%& +# (!a "#!$a!a &#'$a!.(la& %&+i!a&ia/ E!'%!$&a& las +im#!si%!#s +# (!a "#!$a!a !%&ma! +# 0&#a m0ima si #l -#&,m#$&% $%$al #s +# 16 -i#s/


3

MATEMATICA




31



MATEMATICA

Si#!+%  la as# +#l &#'$0!.(l% S( al$(&a ) & #l &a+i% +#l s#mi',&'(l% ) '%m% #l -#&,m#$&% +# la "#!$a!a i.(al a 16 S# $i#!# &    2)  16


32

1:

MATEMATICA Si & #s la l%!.i$(+ +#l s#mi',&'(l% )   2 ) #l -#&,m#$&% +#l &#'$0!.(l% ;s# #'l()# (!a as# < "#m%s =(# #l &a+i% +#l s#mi',&'(l% #s la mi$a+ +# la as# &  >2 2:

#s$# "al%& l% &##m-la?am%s #! 1: !%s +#*a >2    2)  16


33

MATEMATICA 2)  16 @ >2 @  )  8 @ >4  >2

3:

la #'(a'iB! +#l a&#a +# la "#!$a!a +s# +a -%& la #'(a'iB! A  &>2  )

E! la =(# &##m-la?a!+% #l &a+i% )  -%& l% %$#!i+% #! 2: ) 3: !%s +a A   ;>2<>2   ;8 @ >4 @ >2<


34

MATEMATICA A  >8  8 @ >4 @ >2 A   ;>8  >4  1>2<  4 A   ;@ >8  1>2<  4 A  @ ;>8  1>2<  4

Si D#&i"am%s Pa&a E!'%!$&a& El P(!$% C&,$i'% A  @ 2 ;>8  1>2<  4 A  @ 2 ;>8  1>2<  4


35

MATEMATICA Si i.(alam%s a '#&% !%s =(#+a/   @ 2 ;>8  1>2<  4 2 ;>8  1>2<  4 ;4<>8:  2   16>;4< A-li'am%s la +#&i"a+a s#.(!+a !%s +a AF  @ 2 ;>8  1>2<


36

MATEMATICA  si #s !#.a$i"a !%s i!+i'a =(# #l -(!$% Galla+% #s (! m0im% -%& l% $a!$% #l 0&#a +# la "#!$a!a #s m0ima -a&a las si.(i#!$#s +im#!si%!#s as#

  16>;4< al$(&a


37

Problema Aplicativo 1

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