Problema de Los Tres Puntos

Problema de los tres puntos: El problema de Pothenot también conocido como problema de tres puntos se basa en la posición de puntos referidos a una red de triangulación. La ventaja de resolver el problema de Pothenot es que ya se tiene ángulos conocidos como ser los lados de la red y los ángulos internos de dicha red. Este procedimiento es aplicable especialmente cuando el punto por situar esta muy alejado de los puntos conocidos o estando cerca las medidas de las distancias a esos puntos conocidos son difíciles de hacer o resultan imprecisas por obstáculos en el terreno. Se entiende por problema de tres puntos o Pothenot a la forma metodológica de determinar el posicionamiento de cualquier punto que este dentro del área circundante del levantamiento topográfico realizado en base a una triangulación. Con frecuencia se presenta en los trabajos topográficos la necesidad de establecer las coordenadas exactas de un punto en el área de levantamiento, por ello el problema de Pothenot es útil en la resolución rápida y exacta del posicionamiento de cualquier  punto. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE TRES PUNTOS: Existen dos métodos: 

Solución Analítica



Solución Grafica 1. SOLUCIÓN ANALÍTICA Entre los métodos analíticos están: Método De Las Cotangentes, Método De La Función Auxiliar y Método De Las Coordenadas Del Punto. Se ubica los lados de apoyo de la red de triangulación que van a servir  para resolver el problema, determinando los tres vértices consecutivos de apoyo. Ubicar exactamente el punto P en la posición que desea determinar  respecto a la red de triangulación. Haciendo estación en el punto P y trazando alineamientos en los vértices de apoyo se forman dos direcciones desconocidas que se

denominan P 1 y P2 cuyos valores los debemos determinar en campo siguiendo uno de los métodos conocidos el de reiteración y repetición y cinco lecturas como mínimo para cada ángulo. Se realizara el procedimiento en gabinete que consta de los siguientes puntos.

MÉTODO COTANGENTES:

               )     (      )      (    MÉTODO DE LA FUNCIÓN AUXILIAR

           Tomando el ángulo auxiliar L, tal que:

     

(   )(   ) MÉTODO DE LAS ECUACIONES DE LAS COORDENADAS DEL PUNTO P

                          

 Ejemplo: Calcular las coordenadas del punto P: a. DATOS:

                                      b. COORDENADAS:

     

Resolucion:

             Calculando AC=88.508

   

Cálculo de los ángulos: X, Y, por la fórmula de cotangente

                                       (      )     2.001

2. SOLUCIÓN GRAFICA De los métodos gráficos se tiene: Método Del Llano, Método Del Catastro Urbano De Leipzig y Método De Bessel. Método de Bessel

Método del Catastro de Leipzig o Método de las Perpendiculares

PROBLEMA DEL POTHENOT AMPLIADO Con frecuencia al tomar puntos auxiliares, no solamente es necesario tomar un solo punto auxiliar sino que se hace menester tomar dos o más puntos, tal como lo indica la siguiente figura. Se denomina Pothenot Ampliado, por ser mas de uno los puntos a determinar; los métodos de solución pueden ser gráficos o analíticos.

SOLUCIONES ANALITICAS AL PROBLEMA DEL POTHENOT AMPLIADO

METODO DE LAS COTANGENTES: Sea la siguiente figura: 

Distancias:

       

Ángulos:

     

Incógnitas:

    En el polígono: A B C Q P, se tiene:

                  Asi mismo:

  ) (   

  ) (    METODO DE LA FUNCION AUXILIAR: Del polígono A B C Q P se tiene:

                Adoptando el angulo auxiliar “L”, tal que:

       Por desarrollos y transformaciones análogas a las seguidas en el problema de los tres puntos y para el mismo método, es posible llegar a:

              