UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química
PROBLEMAS DESARROLLADOS DEL LIBRO MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS A LA INGENIERÍA QUÍMICA AUTORDEL LIBRO: CARRASCO VENEGAS I.
EJERCICIO PROPUESTO N° 1.4
De Santis (1976) dedujo una relación para el factor de compresibilidad de gases reales de la forma:
z
1 y y 2 y 3 (1 y) 3
Con y b / 4V , donde b es la corrección de Van Der Walls y V es el volumen molar. Si
z 0.892 , ¿Cuál es el valor de y ? Solución:
En la ecuación ecuación planteada, planteada, reemplazamos reemplazamos el valor del factor z.
z
1 y y 2
y
3
(1 y ) 3
0.892 (1 3 y 2
1 y y 2
y
3
(1 y ) 3 3 y y
F ( y ) 0.108 y 3
3
)0.892 1 y y 2
1.676 y
2
y
3
3.676 y 0.108
0
Tabulamos valores de F ( y ) :
1
Y
F(y)
-20
-
-18
-
-16
+
-14
+
-12
+
-10
+
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química -8
+
-6
+
-4
+
-2
+
0
-
2
+
4
+
Método a emplear
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN
n 1
F ( y ) 0.108 y 3 F ( y ) 0.324 y 3
1.676 y
2
3.352 y
n
3.676 y 0.108
2
3.676
f ( n )
f ( n )
0
0
Hallando La Primera Raíz asumiendo x 0 1.7
Haciendo nuestra tabla interactiva: n
x n
F ( x n )
F ( x n )
x n 1
0
-17
16.44
32.976
-17.4895
1
-17.4895
-0.93111
36.8057
-17.46427
2
-17.46427
-2.55x10^-3
36.604
-17.4642
3
-17.4642
-1.9371x10^-8
36.60344
-17.4642
( Error 17.4642 17.4642 0) ( 10^ 4)
x 17.4642 (1ra raiz )
2
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
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Hallando La Segunda Raíz asumiendo x0 1
Haciendo nuestra tabla interactiva: n
x n
F ( x n )
F ( x n )
x n 1
0
-1
5.136
-6.704
-0.23389
1
-0.23389
0.842
-4.4423
-0.0443289
2
-0.0443289
0.05824
-3.824
-0.029099
3
-0.029099
3.8578x10^-4
-3.7732
-0.028997
4
-0.028997
1.742 x10^-8
-3.773
-0.028997
( Error 0.028997 0.028997 0) ( 10^ 4)
x 0.0028997 (2 da raiz )
Hallando La Tercera Raíz
asumiendo x 0 1.9
Haciendo nuestra tabla interactiva: n
x n
F ( x n )
F ( x n )
x n 1
0
1.9
-0.301268
3.86244
1.9779
1
1.979
0.01399
4.221898
1.974685
2
1.974685
2.544x10^-5
4.2065
1.974678
( Error 1.974678 1.974685 7 x10 ^ 6) ( 10^ 4)
x 1.974678 (3ra raiz )
3
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
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II. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.14
Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxígeno, debe alcanzar el equilibrio a 3000 K y una presión de 5 bar, la reacción teórica es:
La reacción química real se escribe así:
La ecuación de equilibrio químico para determinar la fracción de CO restante, o sea x, está dada por:
√ Donde Kp=3.06 es la constante de equilibrio para Determine el valor de x.
a 3000 K, P=5 bar y P 0=1.
SOLUCIÓN Método aplicado
MÉTODO DE LA BISECCIÓN Tomaremos 2 puntos de la siguiente manera:
√
4
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química Procedimiento
Determinamos el intervalo donde se encuentra la raíz de esta ecuación de la
siguiente manera: x
F(x)
-10
10
Notamos que el intervalo
-
0.1
-
0.2
-
0.3
-
0.4
+
0.5
+
0.6
+
0.7
+
0.8
+
0.1
+
1
+
existe una raíz y en los demás intervalos no,
por lo que este intervalo tomaremos los valores para el método a usar. Procedemos con el método conociendo el intervalo a trabajar:
A
b
C
F(a)
F(c)
F(a)*F(c)
0.3
0.4
0.35
-0.2192
0.5141
-0.1127
0.3
0.35
0.325
-0.2192
0.1779
-0.0390
0.3
0.325
0.3125
-0.2192
-0.0121
+0.0026
0.3125
0.325
0.3188
-0.0121
+0.0857
-0.0010
0.3125
0.3188
0.3157
-0.0121
+0.0381
-0.0005
0.3125
0.3157
0.3141
-0.0121
+0.0131
-0.0004
0.3125
0.3141
0.3133
-0.0121
+5.664*10
0.3125
0.3133
0.3129
-0.0021
-5.750*10
0.3129
0.3133
0.3131
-5.7504*10
-
-2.5899*10
0.3131
0.3133
0.3132
-2.7899*10
-3
0.3132
0.3133
0.31325
-1.0112*10
-4
-2.22*10
0.31325
0.3133
0.313275
-2.22*10
-4
1.7205*10
0.31325
0.313275
0.3132625
-2.22*10
-4
-2.5119*10
0.3132625
0.313275
0.31326875
-2.5119*10
Aquí detenemos el cuadro iterativo ya que el valor de
-5
-4
-6.8534*10
-3
+1.2075*10
-
+4.568*10
-1.0112*10
-3
+3.468*10
-4
+3.575*10
-4
tolerancia de 10-4 con lo que llegamos a que el valor de X= 0.31326875. 5
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
-5
-7 -8 -9
+2.786*10
-5
+4.918*10
-5
-2.125*10
+7.349*10
-4
-10
es menos que la
-11
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III. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.24
Una bolsa esférica de gas a alta presión, inicialmente de radio ro y presión Po se expande radialmente hacia el exterior en una explosión submarina adiabática. Para el caso especial de un gas con γ=4/3, el radio r para tiempos sucesivos t viene definido por:
En el que
r ro
t
Po
ro
1 2 1/ 2 1 2 2 5 3
1, ρ es la densidad del agua. Previamente debe verificarse la
consistencia de las unidades. Durante la expansión adiabática la presión del gas viene
ro definida por Po r P
3 /
.
Desarrollar un procedimiento para calcular la presión del gas y su radio en cualquier momento.
Datos: Po 10 4 lbf / pu lg 2 ,
64lb / pie 3 , ro 1 pie , t 0.5;1;2;3;4;5;10 milisegundos.
Solución
Haciendo las conversiones respectivas para la presión para homogenizar las unidades: Po 10 4 lbf / pu lg 2 46330560lb / pie.s 2
64lb / pie 3
ro 1 pie
Reemplazando los datos en:
t 1 pie
6
t
Po
ro
46330560lb / pie. s 2 64lb / pie
3
1 2 1/ 2 1 2 2 5 3 1 2 1 2 2 1 / 2 5 3
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química t 1 pie
t 1 pie
2
2
723915 pie 2 / seg 2 1
3
850,8319458 pie / seg 1
1
3
5
1
2
1/ 2
2
1/ 2
5
2
2
Multiplicando la ecuación por 15 a toda la ec uación e igualando a cero:
f ( ) 15 10 3
2
2
1 / 2
12762,48 t
Procedimiento t 0.5 x10 3 seg
Para
Método a emplear
MÉTODO DE LA SECANTE
n 1
Tabulamos valores para
n
f ( n ).( n n 1 ) f ( n ) f ( n 1 )
para ver como varía el signo de la función:
f ( ) 15 10 3 2 2
Reemplazamos el tiempo de0,0005 segundos en la función anterior:
f ( ) 15 10 3
12762 ,48 t
1/ 2
2
2
1/ 2
6,381239
0.05
0,06
0,07
0,08
0,09
1
-
-
-
-
+
+
Luego notamos que la raíz de la ecuación anterior está dentro del intervalo señalado en 0,08 y 0.09
7
N
n 1
1
0.08
0.09
0.081250
8,5x
2
0.09
0.081250
0.081227
2,3x
3
0.081250
0.081227
0.081227
0
n
n 1
n 1
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
n
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química 0.081227
Por lo tanto:
Reemplazando en:
r ro
1
0.081227
r 1
1
r 1.081227 pie
Y en:
ro Po r P
3 /
1 10 4 1.081227 P
3 /( 4 / 3)
P 8388.5522 lb f / pu lg 2
Para
t 1 x10 3 seg
Método a emplear
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
n 1
n
f ( n ) f ( n )
Tenemos la ecuación: F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5
12762,48t
0
Con t 1 x10^3 seg F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 F ( ) (10 6 )(2 ) 0.5
12,76218
(15 10 3
2
0
)(2 ) 0.5
Aplicamos el método de Newton Raphson de primer orden: asumiendo
0
1
Haciendo nuestra tabla interactiva:
8
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química n
F ( n )
n
n 1
1
42.4264
0.367451
1
0.367451
32.71900
0.257575
0,109876
2
0.257575
33.05157
0.257682
1,07x
3
0.257682
33.05033
0.257682
0
0.257682 Re emplazamosel valor de en la ecuacion dada :
r r 0
1
r ( 1) r 0 r (0.257682 1)(1 pie) r 1.257682 pie Tambien hallamos el valor de P mediantela ecuacion : P P 0 ( P 10
r r 0
) 3 / lbF
4
pu lg 2
P 5969.8799
x(
1 pie 1.257682 pie
)
(
3 4/3
)
lbF pu lg 2
Para
t 2 x10 3 seg
Método a emplear
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN
n 1
n
f ( n ) f ( n )
Tenemos la ecuación: F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 12762,48t 0
9
n 1
n
0
( Error 0.257682 0.257682 0) ( 10^ 4)
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
0,632549
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Con t 2 x10^ 3 seg F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 F ( ) (10 6 )(2 ) 0.5
25,52496
(15 10 3
2
0
)(2 ) 0.5
0
Aplicamos las iteraciones en el intervalo según la fórmula de recurrencia y la tabla siguiente
n
F ( n )
n
n 1
42.4264
0.668295
1
0.668295
36,110873
0,638056
0,030239
2
0,638056
35,629069
0.637850
2,6x
3
0.637850
35,625861
0,637850
Re emplazamosel valor de en la ecuacion dada : r 0
1
r ( 1)r 0 r (0.637850 1)(1 pie) r 1.637850 pie Tambien hallamos el valor de P mediantela ecuacion : P P 0 ( P 10
4
r r 0
) 3 / lbF
pu lg 2
P 3295.2109
10
n 1
1
0.637850
r
n
0
( Error 0.637850 0.637850 0) ( 10^ 4)
x(
1 pie 1.637850 pie
)
(
3 4/3
)
lbF pu lg 2
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
0,331705
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química
Para
t 3 x103 seg
Método a emplear
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON DE PRIMER ORDEN
n 1
n
f ( n )
f ( n )
Tenemos la ecuación: F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 12762,48t 0 Con t 3 x10 3 seg F ( ) (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 38,28744 0 F ( ) (10 6 )(2 ) 0.5 (15 10 3 2 )(2 ) 0.5 0
Aplicamos las iteraciones en el intervalo según la fórmula de recurrencia y la tabla siguiente n
n 1
0
1
42.426406
0.969110
1
0.969110
41,776271
0,968869
2
0,968869
41,771240
0.968869
( Error 0.968869
F ( n )
n
0.968869
0) ( 10^ 4)
0.968869
Re emplazamos el valor de en la ecuacion dada :
r r 0
1
r ( 1) r 0 r (0.968869
1)(1 pie)
r 1.968869 pie
11
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
n
n 1
0,o3089
2,41x
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química
Tambien hallamos el valor de P mediantela ecuacion : P P 0 ( P 10
r r 0
) 3 / lbF
4
x(
pu lg 2
P 2177.7707
1 pie 1.968869 pie
)
3
(
4/3
)
lbF pu lg 2
Para
t 5 x10 3 seg
Método a emplear
MÉTODO DE LA SECANTE
n 1
Tabulamos valores para
n
f ( n ).( n n 1 ) f ( n ) f ( n 1 )
para ver como varía el signo de la función:
1/ 2
f ( ) 15 10 3 2 2
Reemplazamos el tiempo de0,005 segundos en la función anterior:
1/ 2
f ( ) 15 10 3 2 2
12762.48 t
63.8124
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-
-
-
+
+
+
Luego notamos que la raíz de la ecuación anterior está dentro del intervalo señalado: entre 1.4 y 1.6
12
n
n 1
1
1.6
1.8
1.509286
0.290714
2
1.8
1.509286
1.503365
5.92x
3
1.509286
1.503365
1.502945
4.2x
4
1.503365
1.502945
1.502945
0
n
n 1
n 1
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
n
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química ( Error 1.502945 1.502945 0) ( 10^ 4)
1.502945 Reemplazando en:
r ro
1
0.081227
r 1
1
r 2.502945 pie
Y en:
ro Po r P
3 /
1 4 10 2.502945 P
3 /( 4 / 3)
P 1269.0670 lb f / pu lg 2
Para
t 10 x10 3 seg
Método a emplear
MÉTODO DE LA SECANTE
n 1
n
f ( n ).( n n 1 ) f ( n ) f ( n 1 )
Tenemos la función:
1/ 2
f ( ) 15 10 3 2 2
Reemplazamos el tiempo de0,005 segundos en la función anterior:
1/ 2
f ( ) 15 10 3 2 2
127.6248
Usando el Método de la Secante:
n 1
13
12762.48 t
n
f ( n ).( n n1 ) f ( n ) f ( n 1 )
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
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n
n 1
1 2 3 4 5 6
1 2 2.618079 2.439510 2.453007 2.454048
n 1
n
2 2.618079 2.439510 2.453007 2.454048 2.454045
2.618079 2.439510 2.453007 2.454048 2.454045 2.454045
( Error 2.454045 2.454045 0) ( 10^ 4)
2.454045 Reemplazando en:
r ro
1
2.454045
r 1
1
r 3.454045 pie Y en:
ro Po r P
3 /
1 4 10 3.454045 P
3 /( 4 / 3)
P 614 .8398 lb / pie 3
14
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
n 1
n
0.618079 0.178569 0.013497
3x
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Facultad de Ingeniería Química IV. EJERCICIO PROPUESTO N° 1.34
En un reactor continuo tipo tanque agitado (CSTR), se lleva a cabo la reacción:
K1
El esquema se muestra a continuación:
K2
Datos
̇ ./ ./ Encuentre la composición molar a la salida del reactor en base a los componentes A y B.
SUGERENCIA EL Balance de materia, está dado por:
̇ ̇ ̇
………. (1)
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( )
………. (2)
Esta ecuación tiene 2 variables
, por lo que con
los datos anteriores y con el
criterio de conversión podemos reducir a una sola variable.
Éstas 2 ecuaciones las reemplazamos en (2): 15
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
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* ,- +
De la ecuación (3), se obtiene el valor de
….. (3)
, luego se calcula las concentraciones y
finalmente la fracción molar.
SOLUCIÓN De la ecuación (3), se reduce a la siguiente ecuación, comprobando previamente las unidades.
,-
…. (4)
Método a emplear
MÉTODO DE LA SECANTE
( ) ( ) ( ) . / Procedimiento
Tabulamos para
valores de 0 a 1, puesto que se trata de fracción de
Conversión, para ver como varía el signo de la función:
O
O,2
0,4
0,6
0,8
1
-
-
-
-
+
+
Luego haremos el valor de
igual 0,6, y el valor de
que es evidente que nuestra solución para
Ejemplo de cálculo
()
Aplicando el método de la secante, descrito anteriormente. 16
igual a 0,8 ya
está en este intervalo.
Para n=1
()
EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
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Así sucesivamente hacemos para n=2, para n=3, para n=4, etc.
Los datos obtenidos se muestran en la tabla, a continuación:
0,8
0,726998
-74,641215
42,905707
0,073002
0,8
0,726998
0,704693
42,905707
10,041242
0,022305
0,726998
0,704693
0,708638
10,041242
-2,157223
3.945x
0,704693
0,708638
0,708500
-2,157223
0,078012
1.38x
0,708638
0,708500
0,708499
0,078012
0,708500
0,708499
0,708499
0,6
. /
5,708529x
( )
| |
5,708529x
1x
-1,601358x
0
Luego notamos que la raíz para la ecuaci ón…(4)
Éste valor se reemplaza en las ecuaciones que involucran a las concentraciones finales ,descritas por el mismo problema:
⁄ ⁄
Llevando éstas concentraciones a moles; teniendo en cuenta que el volumen del tanque es de 250L.
⁄ ⁄
En base a éstas moles, calculamos las fracciones molares(composición molar):
RESPUESTA
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EJERCICIOS DESARROLLADOS DE MÉTODOS NUMÉRICOS
