M.C. LUIS DANNY GARCIA REZA PROBLEMARIO DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
1.- Se encuentra que la concentración promedio promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3. 2.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. 3.- Un científico interesado en vigilar los contaminantes químicos en los alimentos, y por tanto la acumulación de contaminantes en las dietas humanas, eligió una muestra aleatoria de n=50 adultos varones. Encontró que la ingestión promedio diaria de productos lácteos era X= 756 gramos por día con una desviación estándar s=35 gramos por día. Use esta información muestral para construir un intervalo del 95% para la ingestión diaria de productos lácteos para varones. 4.- Una máquina de refresco está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación estándar igual que 0.15 decilitros. decilitros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media d e todos los refrescos que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitros. 5.- Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Determine un intervalo de confianza del 98% y 96% para la altura promedio de todos los estudiantes.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE LA MEDIA 1.- Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente. 2.-.Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la mar ca B 3.- Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones 2
estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. La desviación estándar del larguero 1 es de 1.0 Kg/mm y la del larguero 2 es 2
de 1.5 Kg/mm . Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente 2
normal. Se toma una muestra de 10 largueros del tipo 1 obteniéndose una media de 87.6 Kg/mm , y otra de tamaño 12 para el 2
larguero 2 obteniéndose una media de 74.5 Kg/m m . Estime un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio e interprete resultados. 4.- En un proceso químico se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de la reacción del proceso, se preparó una muestra de 12 procesos utilizando el catalizador 1 y una de 10 con el catalizador 2. En el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85, con una desviación estándar muestral de 4, mientras que el promedio de la segunda fue de 81 con una desviación estándar muestral de 5. Encuentre un intervalo de confianza del 92% para la diferencia de las medias poblacionales. 5.- Los estudiantes pueden seleccionar entre un curso de física de 3 semestres-hora sin laboratorio y un curso de 4 horas con laboratorio. El examen escrito final es el mismo para ambas secciones. Si doce estudiantes de la sección con laboratorio obtuvieron una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y los mismos parámetros para los 18 estudiantes de la sección sin
laboratorio fueron de 77 y de 6 respectivamente, encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio de los dos cursos. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA “T”
1.- El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico es de 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10, 10.2 y 9.6. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media de todos los contenedores, si se supone una distribución aproximadamente normal. 2.- Las calificaciones de 8 estudiantes son las que se enumeran a continuación: 90, 95, 80, 70, 76, 71, 82, 80. Encuentre un intervalo de confianza para las calificaciones promedios de los estudiantes con un nivel de significancia de 0.05 3.- La estatura promedio de 12 estudiantes hombre que se encuentran entre edades de 17-20 años son los siguientes: 1.70, 1.65, 1.69, 1.82, 1.71, 1.74, 1.61, 1.75, 1.90, 1.73, 1.68, 1.80. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la estatura promedio de los estudiantes de los estudiantes hombres.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN 1.- Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica d e su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas. 2.- En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. 3.- Se probó una muestra aleatoria de 400 cinescopios de televisor y se encontraron 40 defectuosos. Estime el intervalo que contiene, con un coeficiente de confianza de 0.90, a la verdadera fracción de elementos defectuosos. 4.- Se selecciona una muestra de 200 votantes y se encuentra que 114 respaldan convenio de anexión. Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la fracción de la población de votantes que favorecen el convenio. 5.-Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X. Encuentre un intervalo de confianza de 90% y del 99% para la fracción de población de fumadores que prefieren la marca X, compara los dos resultados y obtén conclusiones de ellas.
INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE LAS PROPORCIONES 1.- Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría. Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son, encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo. 2.- Supongamos que se hizo una encuesta a una muestra de 80 estudiantes universitarios de una ciudad A sobre el concepto que les merecía la asignatura de estadística y se encontró que el 75% la consideraron muy útil, mientras que otra encuesta hecha a 120 estudiantes universitarios de una ciudad B el 70% la consideraron como una asignatura muy útil. Se pide calcular el intervalo de confianza con un nivel del 99% para la diferencia entre las proporciones. 3.- Un especialista en genética está interesado en la proporción de hombres y mujeres en la población que tiene un leve desorden sanguíneo. En una muestra aleatoria de 1000 hombres 250 presentaron esta afección, mientras que en otra del mismo número del mismo número de mujeres, 275 de ellas lo padecían. Calcule un intervalo de 95% para la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres que sufren este desorden sanguíneo. 3.- El decano registró debidamente el porcentaje de calificaciones D y F otorgadas a los estudiantes por dos profesores universitarios de matemáticas. El profesor I alcanzó un 32%, contra un 21% para el profesor II, con 200 y 180 estudiantes, respectivamente. Estime
la diferencia entre los porcentajes de calificaciones D y F otorgadas por los dos profesores. Utilice un nivel de confianza del 95% e interprete los resultados. 5.- Se seleccionaron dos muestras de 400 tubos electrónicos, de cada una de dos líneas de producción, A y B. De la línea A se obtuvieron 40 tubos defectuosos y de la B 80. Estime la diferencia real en las fracciones de defectuosos para las dos líneas, con un coeficiente de confianza de 0.90 e interprete los resultados
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA 1.- Un fabricante de baterías para automóvil afirma que sus baterías durarán, en promedio, 3 años con una varianza de 1 año. Si 5 de 2
estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5, y 4.2 años, construya un intervalo de confianza de 95% para σ y decida si es 2
válida la afirmación del fabricante de que σ es de 1 año. 2
2.- Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtuvo una media de 72 y una varianza s de 16 en un examen universitario de colocación en matemáticas. Supongan que las calificaciones se distribuyen de manera normal y construya un intervalo de confianza de 98% para σ
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3.- Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidos por determinada compañía: 46.4,46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, 46.0. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuyó por esta compañía, suponiendo una distribución normal. 4.- Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de las piezas de los diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Construya un intervalo de confianza de 95% para σ
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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA RAZÓN DE VARIANZAS 1.- Un experimento publicado en popular Science compara las economías en combustibles para dos tipos de camiones compactos a diesel equipados de forma similar. Supongamos que se utilizan 12 camiones Volkswagen y 10 toyota en pruebas de velocidad compactos de 90 kilómetros por hora. Si los 12 camiones Volkswagen promedian 16 km por litro con una desviación estándar de 1 km por litro y los 10 Toyota promedian 11 km por litro con una desviación estándar de 0.8 km/lt. Construya un intervalo de confianza de 98% para
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2.- Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B. Construya un intervalo de confianza de 90% para
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1
/22 . Estamos justificados al decir que
2
2
1 ≠ 2
3.- 4.- En un proceso químico se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de la reacción del proceso, se preparó una muestra de 12 procesos utilizando el catalizador 1 y una de 10 con el catalizador 2. En el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85, con una desviación estándar muestral de 4, mientras que el promedio de la segunda fue de 81 con una desviación estándar muestral de 5. Construya un intervalo de confianza del 90% para
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1
/22 ¿Deberíamos suponer que
2
1
= 22 ?
Determinación del tamaño de muestra Basado en la media de la Población
1.- Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de Maryland. Un estudio anterior de diez ciervos cazados mostró que la desviación estándar de sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras? 2.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con una desviación estándar de 40 horas. ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media real esté dentro de 10 horas de la media real? ¿Qué pasaría si en lugar de tener un error de estimación de 10 horas sólo se requiere un error de 5 horas?
3.- Suponga que en el ejercicio anterior se tiene una población de 300 focos, y se desea saber de que tamaño debe de ser la muestra. El muestreo se realizará sin reemplazo. 4.- Se encuentra que la concentración promedio de Zinc que se obtiene a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro y 0.3 de desviación estándar. ¿Qué tan grande debe ser la muestra si queremos a 95% de confianza de que nuestra estimación de la media difiera por lo menos en 0.05? Si la población es de 120 mediciones, de qué tamaño sería la muestra 5.- Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma perforar tres hoyos en cierta plaza metálica. ¿de qué tamaño se necesita la muestra para tener 95% de confianza de que esta media muestral esté dentro de 15 segundos de la media real? Suponga que por estudios previos se sabe que la σ es de 40 segundos.
Determinación del tamaño de muestra Basado en la Proporción de la Población 1.- En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de Hamilton, Canadá, se encuentra que 340 están suscritas a HBO. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.02? 2.- Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere un confianza del 95% y un error máximo de estimación de 0.10? 3.- Se quiere estimar la proporción de clientes que entran a un gran centro comercial y que pagan con tarjeta débito. Con el fin de determinar el tamaño de muestra necesario, se toma una muestra piloto y se encuentra que la proporción de clientes que pagan en esa forma, es del 35%. Se pide calcular el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción, si estamos dispuestos a aceptar un error del 3% en la estimación y queremos tener un nivel de confianza en la misma del 95%. 4.- En la comunidad de Tláhuac (400,000) habitantes, se sabe que la preferencia por cierto producto es de 25% sobre los demás exámenes. ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de P esté dentro de 0.04?
