MÉTODOS ESTADÍSTICOS ESTADÍSTICOS APLICADOS A LA INVESTIGACIÓN 1. En distintas pruebas de habilidad psicomotora, siguientes: a) 24 18 19 12 23 20 b) 20 14 12 14 19 14 c) 9 14 8 13 10 10
las puntuaciones obtenidas fueron las 21 18 11
22 14 12
Para cada caso, calcule a media, mediana y la moda. Solución a) Media Aritmética:
Mediana: ordenamos de menor a mayor Me = 12, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 Me= (20+21)/2 = 20.5 Me = 20.5 El 50 % de pruebas de habilidad tienen puntuaciones menores a 20.5 puntos y 50% mayores a 20.5 puntos. Moda: Ningún dato se repite, por lo tanto no hay moda. b) Media Aritmética:
Mediana: ordenamos de menor a mayor Me = 12, 14, 14, 14, 14, 18, 19, 20 Me= (14+14)/2 = 14 Me = 14 Moda: el dato que más repite es 14 por lo tanto Mo = 14 c) Media Aritmética:
Mediana: ordenamos de menor a mayor Me = 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14 Me= (10+11)/2 = 10.5
Me = 10.5 Moda: Mo = 10 2. En las siguientes series de números, indicar: 4 a) b) c) d) e)
4.5
5
5
8.25
9.3
9.7
12
12.5
35
La media La mediana La moda ¿Cuál de las medidas sería la más representativa r epresentativa de la serie? ¿Por qué? ¿Qué factor afecta a la media aritmética de esta serie?
Solución a) Media Aritmética:
b) Mediana: ordenamos de menor a mayor Me = 4, 4.5, 5, 5, 8.25, 9.3, 9.7, 12, 12.5, 35 Me= (8.25+9.3)/2 = 8.775 Me = 8.775 c) Moda: El dato que se repite es 5 por lo tanto Mo = 5 d) La medida más representativa es la mediana. e) Afecta el grado de dispersión, el número 35, está demasiado disperso en la serie, tiene un valor muy alto con respecto a los demás de la serie. Esto hará que la media aritmética se eleve demasiado de su valor, no siendo representativa. En otros términos el coeficiente de variabilidad está por encima del 33% es decir la muestra no es homogénea. 3. En la terminología de un psicólogo “adquisic ión” se refiere al estado durante el cual se aprende y se refuerza gradualmente una nueva reacción. Los siguientes datos, obtenidos de un experimento sobre aprendizaje, representan las tasas de adquisición medidas por el número de ensayos necesarios para realizar un ejercicio ejercici o de memoria. 12 13 8
10 14 13
16 20 14
7 9 6
18 23 19
6 11 15
10 16 14
a) Calcule e interprete la media aritmética b) Determine la desviación estándar e interprete c) ¿Podría decir si esta población es homogénea? ¿por qué?
Me = 10.5 Moda: Mo = 10 2. En las siguientes series de números, indicar: 4 a) b) c) d) e)
4.5
5
5
8.25
9.3
9.7
12
12.5
35
La media La mediana La moda ¿Cuál de las medidas sería la más representativa r epresentativa de la serie? ¿Por qué? ¿Qué factor afecta a la media aritmética de esta serie?
Solución a) Media Aritmética:
b) Mediana: ordenamos de menor a mayor Me = 4, 4.5, 5, 5, 8.25, 9.3, 9.7, 12, 12.5, 35 Me= (8.25+9.3)/2 = 8.775 Me = 8.775 c) Moda: El dato que se repite es 5 por lo tanto Mo = 5 d) La medida más representativa es la mediana. e) Afecta el grado de dispersión, el número 35, está demasiado disperso en la serie, tiene un valor muy alto con respecto a los demás de la serie. Esto hará que la media aritmética se eleve demasiado de su valor, no siendo representativa. En otros términos el coeficiente de variabilidad está por encima del 33% es decir la muestra no es homogénea. 3. En la terminología de un psicólogo “adquisic ión” se refiere al estado durante el cual se aprende y se refuerza gradualmente una nueva reacción. Los siguientes datos, obtenidos de un experimento sobre aprendizaje, representan las tasas de adquisición medidas por el número de ensayos necesarios para realizar un ejercicio ejercici o de memoria. 12 13 8
10 14 13
16 20 14
7 9 6
18 23 19
6 11 15
10 16 14
a) Calcule e interprete la media aritmética b) Determine la desviación estándar e interprete c) ¿Podría decir si esta población es homogénea? ¿por qué?
Solución a) Media Aritmética:
Las tasas de adquisición, con el cual un alumno aprende y refuerza una nueva reacción tienen un promedio de 13.05. O el promedio de tasas de adquisición de aprendizaje es 13.05 b) Desviación estándar Formula para una población:
;
Formula para una muestra:
S2
Utilizando la fórmula de la muestra:
La media aritmética tiene una oscilación entre: Hallamos el coeficiente de variabilidad:
, porque su CV es mayor que 33 % 4. En un grupo de sexto grado de 36 estudiantes, se administra una técnica socio métrica de “adivina quién” para evaluar el grado de relaciones positivas entre ellos por cada
estudiante. Los valores para los 36 estudiantes fueron: 22
3
12
2
0
7
1
9
1
28
5
2
33
4
8
13
2
3
1
28
10
2 2 14
22
1
4
15
1
52
5
8
3
11
1 Calcule e interprete: a) Media aritmética
b) mediana
c) moda
Solución n = 36, como n > 30, agrupamos por intervalo de clase Hallamos el n° de intervalos: m = 1+33log 36 (FORMULA DE STURGES) m=6 Hallamos la clase: C = R/m C = 52/6 = 8.7 C=9
[0 – 9> [9 – 18> [18 - 27> [27 – 36> [36 – 45> [45 – 54>
22 08 02 03 0 01 36
4,5 13.5 22,5 31,5 40,5 49,5
99 108 45 94.5 0 49,5 396
a) Media aritmética
Las relaciones positivas tienen un promedio de 11 respuestas. b) n/2 = 36/2 = 18 Intervalo de trabajo:
El 50 % de las relaciones positivas es >7.4 y 50% es < 7.2
22 30 32 35 35 36
17
c) Moda: frecuencia máxima:
Las mayores respuestas positivas son 5
5. ¿Cuál medida de tendencia central se preferiría con variables categóricas como grupo étnico o estado civil? a) Media aritmética b) mediana c) moda Respuesta Se utilizaría la mediana 6. Se aplicó la misma prueba de ortografía a una muestra aleatoria de tres escuelas diferentes, y el resumen de resultados fue como sigue: Escuela A Escuela B Escuela C 40 50 50 : S 5 10 20 N 10 100 50 Cuál escuela parecería: a) ¿Ser más homogénea? b) ¿Tener más estudiantes con calificaciones arriba de 75? c) ¿Tener el mayor rango? d) ¿Tener la mejor calificación promedio de ortografía? e) Encuentre S2 para cada una de las tres escuelas Solución a)
Escuela A: Escuela B: Escuela C: Más homogénea es la escuela “A” , porque tiene, el menor coeficiente de
variabilidad b) Hallamos
para cada escuela:
Escuela A: Escuela B: Escuela C: Parecería tener más estudiantes con calificaciones arriba de 75 la escuela “B”
c) El mayor rango lo tendría la escuela “B” d) La escuela “B” e) Escuela A: Escuela A: Escuela A: 7. El promedio de calificaciones para los alumnos de una preparatoria se basa en un cálculo de media ponderada. En la mayor parte de las preparatorias (en Estados Unidos) se asignan los siguientes valores a las calificaciones A (4), B(3), C(2), D(1) y F(0). Después de acreditar 60 horas en cursos, un alumno ha obtenido 9 horas de A, 15 de B, 33 de C y 3 de D. a) Calcule la calificación promedio del alumno. b) Los alumnos de esta preparatoria deben tener un promedio de 2.5 en sus primeras 60 horas de cursos para ingresar a la carrera de Administración. ¿Será admitido este alumno? Respuesta a) Calificación promedio del alumno:
b) Sí ingresa, logró el promedio requerido. 8. Indicar en los siguientes casos: población, unidad elemental, unidad de muestreo y marco muestral. a) Supongamos que se desea estimar la cantidad promedio de consumo de azúcar de las familias de la provincia de Tumbes, en el periodo 2007-2012. b) Se desea estimar la razón de vacancia de cuartos de un hotel en la ciudad de Tumbes, en el año 2004. c) Se desea estimar el gasto promedio en escolaridad de las familias del distrito de Zarumilla, en el año pasado. d) Se desea estimar el sueldo promedio de los profesores de los colegios estatales. Respuesta a) Población: las familias de la provincia de Tumbes Unidad elemental: cada una de las familias de la provincia de Tumbes Unidad de muestreo: Los planos de los distritos de la provincia de Tumbes b) Población: Todos los hoteles de la ciudad de Tumbes en el año 2012. Unidad elemental: cada cuarto de los hoteles en la ciudad de Tumbes, en el año 2012.
Unidad de muestreo: Guía turística de hoteles de Tumbes en el año 2012. c) Población: Las familias del distrito de Zarumilla que hubieron el año pasado. Unidad elemental: Cada familia con gastos escolares durante el año 2012. Unidad de muestreo: padrones de alumnos de la UGEL del distrito de Tumbes el año 2012. d) Población: Todos los profesores que trabajan en colegios estatales en la Provincia de Tumbes. Unidad elemental: Sueldo de un profesor estatal. Unidad de muestreo: Planillas de sueldos en las Ugeles de Tumbes. 9. Una industria está constituida por muchas plantas o fábricas pequeñas localizadas a lo ancho y largo del país. Una ejecutiva quiere encuestar las opiniones de los empleados sobre la política vacacional de la industria. ¿Qué sugeriría Ud. que ella utilizara como unidades de muestreo? ¿Qué podría ella usar como un marco muestral? Respuesta Las unidades de muestreo: cada una de las fábricas del país Marco muestral: planilla de empleados que hay en cada fábrica del país 10. Para realizar una encuesta sobre el consumo de un producto en una ciudad, se tomó una muestra de forma que de cada barrio se consultaba a un número de personas proporcional a la superficie ocupada por el barrio. ¿Te parece un método fiable? Escribe un comentario. Respuesta No es un método fiable, no participan todas las personas para ser seleccionadas en la muestra. La muestra está sesgada a conveniencia. No hay relación entre la superficie ocupada y el consumo. 11. Se hará una encuesta en Bancos comerciales de una región. Algunos son muy grandes, con activos de más de 500 millones de dólares; otros son de tamaño mediano con activos entre 100 millones y 500 millones de dólares; y los bancos restantes tienen activos de menos de 100 millones: Explique cómo seleccionaría una muestra de tales bancos. Respuesta Seleccionaría una muestra estratificada: Una porción de la muestra total de los Bancos cuyos activos son mayores a 500 o millones de dólares. Una segunda porción de la muestra total de los bancos cuyos activos son o menores a 500 millones de dólares. Una tercera porción de la muestra total de los Bancos cuyos activos son o menores de 100 millones de dólares. 12. Una muestra de 100 familias se seleccionó aleatoriamente para una encuesta de entrevista estructurada. Las entrevistas con 38 de las familias no se llevaron a cabo debido a la mala
voluntad para cooperar, dirección incorrecta o nadie en casa. ¿Pueden las 62 verse como una muestra aleatoria de la población original muestreada? Respuesta Si se pueden incluirse pero se cometería el error en el marco muestral o error sistemático. 13. Se desea conocer el porcentaje de familias que dispone de televisión por cable en un centro poblado urbano que tiene aproximadamente 25 000 habitantes. La ciudad cuenta con dos sectores marcadamente diferenciables por ingresos económicos: 180 manzanas con alto porcentaje de familias pobres, 70 manzanas con alto porcentaje de familias no pobres. a) Plantee que información adicional desearía conocer. b) ¿Qué plan de muestreo intentaría usted? Respuesta a) Faltaría conocer las familias que consumen cable, sean pobres o no pobres. b) Utilizaría el muestreo no probabilístico por bola de nieve. 14. Suponga que se tiene una lista de 80 administradores de departamentos de investigación y desarrollo, y que están numerados del 01 al 80. Además, quiere hablar con una muestra aleatoria de diez de ellos. Use una tabla de números aleatorios (punto de arranque fila 15, columna 7) Solución Seleccionamos una muestra de 10 Como la numeración es del 1 al 80, seleccionamos 10 números de 2 cifras, comenzando en la fila 15, columna 7, tenemos: 18, 04, 21 , 25, 34, 73, 55, 22, 33, 41. Son la muestra elegida. 15. En las elecciones municipales de una ciudad de 2500 electores, se quiere estimar el porcentaje de votos para el candidato A, con una precisión de 1%. ¿De qué tamaño se requiere una muestra aleatoria, con una confianza del 99%?
Solución
Com= 2450/2500 = 0,98 > 0.5 corregimos el tamaño de la muestra
El tamaño de la muestra es de 1237 unidades
16. En una ciudad con 1320 viviendas se hizo un muestreo preliminar, y se obtuvo que de 80 de ellas 48 eran alquiladas; pero resulta que se quiere restringir que de un margen de error del 5 se tenga una precisión del 10%. Obtener el tamaño de la muestra
Solución
Como 78/80 > 0.5 corregimos la muestra
El tamaño de la muestra es de 40 unidades 17. Un sondeo previo indica que la proporción de divorcios en una población es 25%. Qué tamaño debe tener la muestra para estimar la proporción de divorcio, con un 3% de precisión y un nivel de confianza del 99%, si el tamaño de la población es de 12 000
Solución Divorcios : 25 % = 0.25
El tamaño de la muestra es de 202 unidades 18. Debe obtenerse la estimación de la proporción artículos útiles en un inventario de excedentes almacenados bajo condiciones desfavorables dentro del 3% con un nivel de confianza del 99%. El inventario final está formado por 20 000 artículos, de los cuales se estimó previamente la proporción de artículos utilizadas en 0.6. ¿Qué tamaño tendría la muestra para asignar una estimación con la precisión deseada? Solución
El tamaño de la muestra es de 259 unidades
19. En una población de 12 500 habitantes se hizo un sondeo previo que indicó que la proporción de trabajadores con empleo fijo, es de 40% ¿Qué tamaño debe tener la muestra para estimar la proporción de trabajadores con empleo fijo, con error del 5% y en un nivel de confianza del 90%? Solución
El tamaño de la muestra es de 78 20. Una empresa de fabricación de electrodomésticos ha encargado a una empresa de investigación de mercados realizar un estudio sobre las condiciones del mercado de máquinas de afeitar en una región en la que según el censo, el número de varones mayores de 15 años es de 180 000. Según un sondeo previo realizado, se afeitan con máquina un 75 % de dicha población. Determinar el tamaño de muestra a seleccionar si se desea un nivel de confianza del 95 % con una precisión del 3%. Solución
Como 198 / 135 000 = 0,0015 << 0,5 no se necesita corrección
21. El director de afiliación de un club estudiantil nacional quería realizar un estudio de actitudes de los 2500 miembros actualmente activos del club y los 12 000 exalumnos a) ¿Qué marco o marcos muestrales probablemente estarían disponibles para este propósito? b) Explique cómo seleccionaría una muestra aleatoria simple de miembros actuales y exalumnos. c) Una pregunta se refería a la proporción de miembros de exalumnos que asisten a las reuniones de la organización local. Históricamente, esta proporción ha sido del 20 % . el director de afiliación concluyó que un error de +- 5% era aceptable para realizar esta estimación. ¿Cuál es el tamaño de la muestra que generará este tipo de estimación al nivel de confianza del 95%? Solución a) El marco muestral serían los padrones de miembros activos y no activos del club estudiantil. El archivo de alumnos egresados, nóminas de matrículas, etc. b) Lo haría por medio de los números aleatorios simples c)
22. El mantenimiento de cuenta de crédito puede resultar demasiado costoso, si el promedio de cobro de cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un almacén desea estimar el promedio de cantidad comprada por mes por sus clientes que tienen cuenta de crédito con un error no más de 250 soles, con una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuántas cuentas deben ser seleccionadas del archivo de la compañía si se sabe que la desviación estándar de los balances mensuales de las cuenta de crédito es de 750 soles? Solución
por tanto n = 9, es el tamaño de lamuestra. 23. Indicar en los siguientes casos un marco muestral: a) Las tiendas de artículos deportivos b) Los individuos que observan televisión por la noche c) Las familias de ingresos altos d) Los adultos de más de 18 años en Trujillo Respuesta a) Archivos de INEI de las casas comerciales deportivas. Archivos de la Sunat de tiendas deportivas. b) Cada una de las familias que observa televisión por la noche. c) Archivos del INEI d) Archivos de la RENIEC – Adultos > 18 años. Trujillo
24. Explique si la correlación esperada entre las dos variables designadas será positiva, negativa o cero. (suponga que la población está formada por todas las personas que viven en el Perú) a) X, edad en meses; Y, tiempo en segundos para correr 5º mts _____________ b) X, aprovechamiento en matemáticas en unidades Y, número de días ausentes del colegio durante el año ______________ c) X, interés en deportes; Y, interés en política. ______________ d) X, temperatura máxima diaria Y, cantidad de agua utilizada por los residentes _______________
Respuesta a) b) c) d)
Correlación positiva Correlación negativa Correlación negativa Correlación positiva
25. Se seleccionó una muestra aleatoria de seis estudiantes para hacer un estudio piloto a fin de investigar la relación entre velocidad de lectura y redacción medida en minutos requeridos para leer la composición y recordar en detalle el contenido medido por un examen sobre el material presentado en la composición.
Velocidad de lectura Retención del contenido
a 10 17
b 8 17
Identificación del estudiante c d e 15 12 14 13 16 15
f 16 12
a) Construya el diagrama de dispersión b) Obtenga el modelo de regresión lineal y grafique c) Estime la retención del contenido en un alumno que tiene velocidad de lectura de 18 minutos. d) Determine el grado de relación que existe entre las variables en estudio. e) Calcule el coeficiente de determinación e interprete Solución
(a) Diagrama de dispersión.
X 8
Y 17
XY 136
X2 64
Y2 289
10 12 14 15 16
17 16 15 13 12
170 192 210 195 192
Hallamos “b”
Hallamos Medias:
Hallamos “a”
La ecuación de la recta es:
c) X = 18 entonces , entonces:
d) Calculamos el coeficiente de determinación:
Coeficiente de correlación de Pearson.
100 144 196 225 256
289 256 225 169 144
Hallamos el coeficiente de determinación: r 2 = (-0,0392)2 = 0,001.La retención se explica solo en el 0,1 % por la velocidad de lectura.
26. Una compañía asigna diferentes precios a un equipo de sonido particular en ocho regiones diferentes del país. La siguiente tabla muestra el número de unidades vendidas y los precios correspondientes (en miles de soles) VENTAS 42 38 35 40 44 38 45 42 PRECIO 55 60 65 60 50 65 45 50 a) Obtenga el modelo de regresión lineal de las ventas sobre el precio. b) Estime las ventas para un precio de 40 000 soles. Solución
Precio: X 55 60 65 60 50 65 45 50
Hallamos “b”
Hallamos “a”
Venta: Y 42 38 35 40 44 38 45 42
XY 2310 2280 2100 2400 2200 2470 2025 2100
X2 3025 3600 4225 3600 2500 4225 2025 2500
a) El modelo matemática es:
b) X = 40; entonces
Para un precio de 40 000, las ventas esperadas son de 54709 unidades. 27. Un estudio reportó la importancia de ocho factores morales para empleados y empleadores como se indica a continuación:
A. B. C. D. E. F. G. H. a) b)
IMPORTANCIA Empleados Empleadores 1 7 2 3 3 1 4 5 5 8 6 4 7 6 8 2
FACTOR Crédito por el trabajo desarrollado Trabajo interesante Trato amable Comprensión y aprecio Asesoramiento en los problemas personales Promoción basada en el mérito Buenas condiciones de trabajo Seguridad en el empleo Calcule el coeficiente de correlación de Pearson. ¿Cuáles dos factores contribuyen más a la correlación negativa? ¿Por qué?
Solución
FACTOR A B C D E F G H
IMPORTANCIA EMPLEADOS EMPLEADORES X Y 1 7 2 3 3 1 4 5 5 8 6 4 7 6 8 2 36 36
XY 7 6 3 20 40 24 42 16 155
a) Calculamos el coeficiente de correlación de Pearson (r)
X2 1 4 9 16 25 36 49 64 204
Y2 49 9 1 25 64 16 36 04 204
b) Los dos factores que contribuyen más a la correlación negativa son: A. Trato amable B. Seguridad en el empleo ¿Por qué? Si consideramos a los empleados como la variable X y a los empleadores como la variable Y, observamos que: a más X menos Y; es decir; que mientras los empleados demandan más trato amable, los empleadores ofrecen menor trato amable, por tanto existe una relación inversa entre empleados y empleadores y el grado de correlación es negativo. Idénticamente mientras que los empleados demandan más seguridad en el empleo, los empleadores ofrecen menor seguridad, entonces la relación con este factor entre empleado y empleador es inversa y la correlación será negativa. 28. Calcule e interprete el coeficiente de correlación de Pearson entre los 10 pares de calificaciones de Matemáticas y el Coeficiente de Inteligencia C.I. ALUMNO A B C D E F G H I J
C.I 105 120 83 137 114 96 107 117 108 130
MATEMÁTICA 10 17 08 16 11 07 03 20 12 09
Solución
Alumno A B C D E F G H I J
C.T X 105 120 83 137 114 96 107 117 108 130 1117
Matemática Y 10 17 08 16 11 07 03 20 12 09 113
XY 1050 2040 664 2192 1254 672 321 2340 1296 1170 12999
X2 11025 14400 6889 18769 12996 9216 11449 13689 11664 16900 126997
Y2 100 289 64 256 121 49 9 400 144 81 1513
Calculamos el coeficiente de correlación de Pearson (r)
La relación entre el coeficiente intelectual y la nota alcanzada en matemática por el alumno, es positiva y moderadamente fuerte. 29. Calificaciones de los miembros del jurado calificador acerca del éxito de libros de texto.
LIBRO De gran éxito De éxito regular De poco éxito
BUENO 5 1 37
Calificación del libro R EGULAR MALO 9 26 4 16 23 17
Suponga que un miembro del jurado se seleccione al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Califique que el libro es malo b) Tenga una opinión mala o regular c) Califique que el libro es bueno, si se sabe que es de gran éxito d) No califique al libro como regular Solución
LIBRO DE GRAN ÉXITO DE ÉXITO REGULAR DE POCO ÉXITO TOTAL
CALIFICACION DEL LIBRO BUENO REGULAR MALO 5 9 26 1 4 16 37 23 17 43 36 59
TOTAL 40 21 77 138
a) b) c) Sean B = Bueno y GE= Gran Éxito
d)
30. Steelman, Powell y Carini (2000) exploraron la relación entre sindicatos de maestros y el desempeño educacional estudiantil medida según pruebas estandarizadas, como el examen de la American College Testing (ACT). Utiliza los estadísticos de la ACT que se muestran aquí para responder las preguntas siguientes. La distribución esta normalmente formada. Traza la curva normal y marca todas las áreas objetivo. Considera que X= puntuación ACT. X (promedio) = 22 ACT puntos Sx = 2 ACT puntos n = 441 574 estudiantes a) ¿Qué proporción de estudiantes obtuvo una puntuación arriba de 26? b) ¿Qué número de estudiantes que presentaron el examen ACT tuvieron una puntuación entre 17 y 19? c) ¿Qué proporción de las puntuaciones cayó entre 18 y 23? d) Determina la puntuación debajo de la cual caen 90% de las puntuaciones. Solución
a) = 2.23% Estudiantes=0,02275 x 441574 = 100 453 Respuesta.- 100 453 estudiantes obtuvieron puntuación por encima de los 26 puntos. ACT. b) Número de estudiantes que presentaron puntación entre 17 y 19. Hallamos:
Ubicamos los valores extremos en la tabla: Z P(Z = z) -1,5 0,06681 -2,5 0,00621 0,06060 Estudiantes que obtuvieron nota entre 17 y 19: 0,06060 x 441574 = 26579 Respuesta.- 26579 estudiantes obtuvieron entre 17 y 19 puntos ACT. c)
Ubicamos los valores extremos en la tabla: Z P(Z = z) 0,5 0,69146 -2 0,02275 0,66971 d)
Interpolamos: P(z)
0,90147 0,90 0,89973
Z
1,29 1,28
31. Lynch, Maciejewski y Potenza (2004) examinaron la relación entre varias condiciones psiquiátricas y el comportamiento apostador en adolescentes y adultos jóvenes. De una población normalmente distribuida se obtuvo una muestra de adultos jóvenes de una edad media de 22 años y una desviación estándar de 2 años. Se selecciona al azar un individuo de esta población. Calcula las probabilidades siguientes. Traza la curva normal para cada problema. Considera que X= edad. a) p (de seleccionar al azar a alguien entre las edades de 20 y 24 años). b) p (de seleccionar al azar a alguien con “19 años o menos”, o 25 años o mayor). c) Si al 10 % más joven de la población de adultos y jóvenes se le enviara una carta. ¿A qué edad deben dirigirse las cartas? Solución
a) Como x : edad
b) P(de seleccionar al azar a alguien entre las edades de 19 años o menos o 25 años a mayor)
c) 10% más joven de la población de adultos y jóvenes. (valor en tabla)
Las cartas se dirigen a los jóvenes de 19 años. 32. La prueba de aptitud escolástica (SAT) es un examen de admisión universitario. Aunque Freedle (2003) argumenta que la prueba está sesgada cultural y estadísticamente contras algunos grupos minotarios, aún se emplea mucho. Supón que los estadísticos descriptivos siguientes correspondan a una muestra de estudiantes que tomaron el SA T. La distribución está formada normalmente. Traza la curva normal y marca todas las áreas objetivo. Considera que Y= puntuación SAT. Y (promedio)= 1 100 SAT puntos Sy = 100 SAT puntos n = 322 763 estudiantes a) b) c) d)
¿Qué proporción de estudiantes tuvo una puntuación arriba de 1300? ¿Cuántos estudiantes tuvieron una puntuación debajo de 1080? ¿Qué proporción de las puntuaciones cayó entre 900 y 1150? ¿Determina la puntuación debajo de la cual caen 85% de las puntuaciones?
Solución a) Estandarizamos la variable:
b)
Curva y área buscada:
El número de estudiantes que obtuvo puntuación por debajo de 1080 SAT puntos es: 0.4074x322763 = 135 799 estudiantes c)
Ubicamos los valores de Z en la curva:
Los estudiantes que tuvieron puntuación entre 900 y 1500 SAT puntos fueron el 66.87% d) Área < 0.85
La puntuación debajo del 85% es: 1204 SAT puntos 33. Klem y Connell (2004) examinaron dimensiones de apoyos a maestros y su relación con el logro estudiantil según la medición mediante la puntuación del examen semestral. Utiliza estos estadísticos para responder las preguntas siguientes. La distribución es normal. Traza la curva normal y marca todas las áreas objetivo. Considera que X= puntuación en el examen semestral. X (promedio) = 81 puntos Sx = 4 puntos n = 212 estudiantes
a) b) c) d)
Solución a)
b)
¿Qué proporción de estudiantes obtuvieron una puntuación arriba de 90? ¿Qué número de estudiantes obtuvieron una puntuación entre 86 y 91? ¿Qué proporción de las puntuaciones cayo entre 77 y 87? Determina la puntuación en el examen debajo de la cual cayeron 95% de las puntuaciones.
El número de estudiantes que alcanzó puntuaciones entre 86 y 91 fye 9.348% que equivalen a 0.09343X 212 = 20 estudiantes c)
Entre 77 y 87 puntos hay 77.45 % d) A = 0.95
Ubicamos en la tabla el valor de Z para A = 0.95. Tomamos el valor que más se acerca a 0.95 este es 0.9450, que le corresponde un valor de Z = 1.64. Hallamos la puntuación X para este valor de Z:
34. Un estudiante de una organización universitaria distribuyó solicitudes de afiliación a nuevos estudiantes durante una reunión de orientación. El 40% de los que recibieron esta solicitud eran hombres y el 60% mujeres. Posteriormente, el 7% de los hombres y el 9% de las mujeres que recibieron las solicitudes se afiliaron a la organización. a) Calcular la probabilidad de que un nuevo estudiante elegido al azar, que recibe la solicitud, se afilie a la organización. b) Calcular la probabilidad de que un nuevo estudiante elegido al azar se afilie a la organización después de recibir la solicitud, sea una mujer. Solución Ubicando en una tabla conjunta ESTUDIANTES E1 E2 TOTAL
H 7 33 40
M 9 51 60
% TOTAL 16 84 100
a) b) E2: Estudiantes nuevos:
35. El gerente de un restaurante clasifica a sus clientes en bien vestidos, vestidos normalmente y males vestidos, y comprueba que el 50%, 40% y 10% se encuentran en estas categorías, respectivamente. El gerente sabe, además, que el 70% de los clientes bien vestidos, el 50% de los vestidos normalmente y el 30% de los mal vestidos piden vino. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar pida vino? b) Si un cliente pide vino, ¿Cuál es la probabilidad de que no vaya bien vestido?
Solución CATEGORÍAS
BIEN VESTIDOS
VESTIDOS NORMALMENTE
MAL VESTIDOS
TOTAL
CLIENTE
15
20
7
42
CLIENTE PIDE VINO
35
20
3
58
TOTAL
50
40
10
100
a) b) c)
= 0,65 = 65 %
36. Un analista de bolsa examina las perspectivas de las acciones de un gran número de compañías. Cuando se investigó el comportamiento de estas acciones un año antes se descubrió que el 20% experimentaron un crecimiento superior al de la media. El 35% de valores que crecieron por encima fueron clasificados con buenas adquisiciones por el analista, al igual que el 15% de las que crecieron por encima fueron clasificados con buenas adquisiciones por el analista, al igual que el 15% de las que crecieron alrededor de la media, y el 10% de las que tuvieron el crecimiento inferior. ¿Cuál es la probabilidad de que un valor clasificado como buena adquisición por el analista crezca por encima de la media del mercado? Solución CLASIFICACIÓN ADQUISICIONES BUENAS ADQUISICIONES TOTAL
INFERIOR MEDIA 27 3 30
ALREDOR MEDIA 42.5 7.5 50
SUPERIOR MEDIA 13 7 20
TOTAL 82.5 17.5 100
37. Una compañía adquiere una pieza específica de los proveedores X, Y, Z. El proveedor X suministra 60% de las piezas, Y el 30%, Z el 10%. La calidad de las piezas varía entre proveedores, siendo las tasas defectuosas de las piezas X, Y y Z, 0.25% ,1% y 2% respectivamente. Las piezas se utilizan en uno de los productos principales de la empresa. a) ¿Cuál es la probabilidad que el producto principal de la empresa sea ensamblado con una pieza defectuosa? b) ¿Cuándo se encuentre una pieza defectuosa, ¿Cuál será el proveedor más pro bable?.
Solución
a) Probabilidad total
b) Aplicamos el teorema de Bayes para cada uno 1°)
2°)
3°)
La mayor probabilidad la tiene el proveedor Y El proveedor más probable es Y 38. La demanda diaria de leche Gloria, es una variable aleatoria con distribución normal con promedio de 3000 tarros, y varianza de 8100. Calcular: a) La probabilidad de que la demanda diaria exceda los 5000 tarros. b) La probabilidad de que la demanda diaria sea inferior a 2580 tarros. c) La probabilidad de que la demanda diaria esté entre 2300 y 2750 tarros. Solución Datos:
a)
b)
c)
39. Una determinada compañía dedicada a la exportación de frutas y hortalizas ha observado que el peso de los melones que cultiva para ser exportados sigue una distribución normal con media 1,700 gr. Y desviación estándar 100 gr. Se desea conocer. a) La proporción de melones que pesan más de 2,200 gr. b) Sabiendo que son rechazados para la exportación aquellos melones cuyo peso difiere en más de 300 gr. del peso medio, determinar la proporción de melones que se rechazan. Solución
a)
b) Si se rechazan los melones que exceden en 300 gr la media, entonces se rechazan los melones que están por encima de la media en 300 gramos. X = 2000 gr
Se rechazan 0,14 % de los melones