Aplicaciones ■ 5-42 La compañía Gilbert Machinery ha recibido un gran pedido para producir motores eléctricos para una compañía manuacturera! "on el in de #ue a$uste en su soporte% el rotor del motor debe tener un di&metro de 5!' ( )!)5 *pulgadas+! ,l encargado de compras de la compañía se da cuenta de #ue hay en eistencia una gran cantidad de .arillas de acero con un di&metro medio de 5!)/ pulgadas% pulgadas% y con una des.iaci0n des.iaci0n est&ndar est&ndar de )!)/ pulgadas! pulgadas! 1"u&l es la probabilidad probabilidad de #ue una .arilla de acero del in.entario eistente se a$uste en el soporte
■ 5-44 La 3arrid Medical% nc!% est& desarrollando una m&#uina compacta para realiar di&lisis de riñ0n% pero el ingeniero en $ee de la compañía% Mi6e "ro7e% tiene problemas para controlar la .ariabilidad de la rapide con la cual se mue.e el luido por el aparato! Los patrones médicos re#uieren #ue el lu$o por hora sea de cuatro litros% m&s o menos )!' litro% el 8)9 del tiempo! ,l señor "ro7e% al hacer las pruebas al a l prototipo% se encuentra con #ue el :89 del tiempo% el lu$o por hora est& dentro del margen de )!)8 litros con respecto a 4!)2 litros! 1;atisace el prototipo los patrones médicos
■ 5-4: Glenn
ltimos años% el promedio de término del programa ha sido de 44 días% con una des.iaci0n est&ndar de '2 días! a+ ,ncuentre la probabilidad de #ue un empleado termine el programa entre ?? y 42 días! b+ 1"u&l es la probabilidad de terminar el programa en menos de ?) días c+ 1@e terminarlo en menos de 25 o m&s de :) días 22) "apítulo 5 @istribuciones de probabilidad
■ 5-48 ! B! Coppin% el administrador del puesto concesionado de hot dogs en la pista de hielo local% acaba de tener 2 cancelaciones de sus empleados! ,sto signiica #ue si m&s de /2%))) personas .ienen al $uego de hoc6ey esta noche% las colas para comprar hot dogs constituir&n una desgracia para él! ,l señor Coppin sabe por eperiencia #ue el n>mero de personas #ue .ienen al $uego tiene una distribuci0n normal con media de :/%))) y una des.iaci0n est&ndar de 4%))) personas! a+ 1"u&l es la probabilidad de #ue .ayan m&s de /2%))) personas b+ ;uponga #ue el señor Coppin puede contratar dos empleados temporales a un costo adicional de D2))% para asegurar #ue el negocio no ad#uiera a d#uiera mala ama en el uturo! ;i piensa #ue el daño para el negocio si llegan /2%))) seguidores al $uego sería D5%)))% 1debe contratar los empleados temporales ,pli#ue! *;uponga #ue no habr& daño si llegan menos de /2%))) personas al $uego y #ue el daño debido a demasiados espectadores depende de cu&ntos m&s de /2%))) lleguen!+
■ 5-5) La compañía Euic6ie ;ales acaba de recibir dos estimaciones de .entas para el trimestre #ue se a.ecina contradictorias entre sí! La estimaci0n dice #ue las .entas *en millones de d0lares+ estar&n normalmente distribuidas con
m
=¿
?25 y
:)! La estimaci0n dice #ue las .entas
estar&n normalmente distribuidas con ?)) y 5)! ,l conse$o directi.o encuentra #ue cada estimaci0n parece% a priori% ser igualmente idedigna! "on el in de determinar cu&l estimaci0n deber& utiliarse para hacer predicciones% la $unta de directores ha decidido reunirse de nue.o al inal del trimestre y utiliar inormaci0n actualiada sobre las .entas para tomar una determinaci0n sobre la credibilidad de cada estimaci0n! a+ ;uponiendo #ue la estimaci0n es precisa% 1cu&l es la probabilidad de #ue la compañía tenga .entas trimestrales mayores a ?5) millones de d0lares b+ ehaga el inciso anterior suponiendo #ue la estimaci0n es la correcta! c+ Al inal del trimestre% la $unta de directores encuentra #ue la compañía tiene .entas mayores a D?5)%)))%)))! @ada esta inormaci0n actualiada% 1cu&l es la probabilidad de #ue originalmente la estimaci0n haya sido la correcta *;ugerenciaF recuerde el teorema de ayes!+
:!2/,n una muestra de ': obser.aciones de una distribuci0n normal con una media de '5) y una .ariana de 25:% 1cu&l es a+
( <160)
P x
toman s0lo H% encuentre c+ C* ':)+!d+ C* '42+!
b+ C* '42+ ;i% en .e de ': obser.aciones% se
■ :-28 Cara una muestra de 'H obser.aciones de una distribuci0n normal con media '8 y des.iaci0n est&ndar 4!8% calcule a+ C*': 2)+! b+ C*': 2)+! c+ ;uponga un tamaño de muestra de 48! 1"u&l es la nue.a probabilidad en el inciso a+
■ :-2H ,n una distribuci0n normal con media de 5: y des.iaci0n est&ndar de 2'% 1#ué tan grande se debe tomar una muestra para #ue haya al menos el H)9 de posibilidades de #ue su media sea mayor #ue 52
■ :-?) ,n una distribuci0n normal con media de ?/5 y des.iaci0n est&ndar de 48% 1de #ué tamaño debe tomarse una muestra para #ue la probabilidad sea al menos de )!H5 de #ue la media de la muestra caiga entre ?/) y ?8)
■ :-?' In astr0nomo del Jbser.atorio del Monte Calomar obser.a #ue durante la llu.ia de meteoritos Geminid% aparece un promedio de 5) de ellos cada hora% con una .ariana de nue.e meteoritos al cuadrado! La llu.ia de meteoritos Geminid se presentar& la semana siguiente! a+ ;i el astr0nomo obser.a la llu.ia durante cuatro horas% 1cu&l es la probabilidad de #ue aparecan al menos 48 meteoritos por hora b+ ;i el astr0nomo obser.a otra hora% 1se ele.ar& o disminuir& esta probabilidad 1Cor #ué
■ :-?2 ,l costo promedio de un estudio en condominio en el desarrollo "edar La6es es de D:2%))) con una des.iaci0n est&ndar de D4%2))! a+ 1"u&l es la probabilidad de #ue un condominio en este desarrollo cueste al menos D:5%))) b+ 1La probabilidad de #ue el costo promedio de una muestra de dos condominios sea al menos de D:5%))) es mayor o menor #ue la probabilidad de #ue un condominio cueste eso 1,n #ué cantidad
■ :-?? La agencia de colocaciones obertson ,mployment aplica% habitualmente% una prueba est&ndar de inteligencia y aptitud a todas las personas #ue buscan traba$o por medio de la compañía! La agencia ha recolectado datos durante .arios años y ha encontrado #ue la distribuci0n de resultados no es normal% sino #ue est& sesgada a la i#uierda con una media de 8: y una des.iaci0n est&ndar de ':! 1"u&l es la probabilidad de #ue en una muestra de /5 solicitantes #ue realian la prueba% el resultado medio sea menor de 84 o mayor de H)
■ :-?4 Ina reinería tiene monitores de apoyo para lle.ar un control continuo de los lu$os de la reinería e impedir #ue los desperectos de las m&#uinas interrumpan el proceso de reinado! In monitor en particular tiene una .ida promedio de 4%?)) horas con una des.iaci0n est&ndar de /?) horas! Adem&s del monitor principal% la reinería ha instalado dos unidades de reser.a% #ue son duplicados de la principal! ,n caso de un uncionamiento deectuoso de uno de los monitores% el otro tomar& autom&ticamente su lugar! La .ida operati.a de cada monitor es independiente de la de los otros! a+ 1"u&l es la probabilidad de #ue un con$unto dado de monitores dure al menos '?%))) horas b+ 1'2%:?) horas% como m&imo
■ :-?5 In estudio reciente de un organismo de .igilancia ambiental determin0 #ue la cantidad de contaminantes en los lagos de Minnesota *en partes por mill0n+ tiene una distribuci0n normal con media de :4 ppm y .ariana de '/!:! ;uponga #ue se seleccionan al aar y se toman muestras de ?5 lagos! ,ncuentre la probabilidad de #ue el promedio muestral de la cantidad de contaminantes sea a+ Mayor #ue /2 ppm! b+ ,ntre :4 y /2 ppm! c+ ,actamente :4 ppm! d+ Mayor #ue H4 ppm!
■ :-4) @e una poblaci0n de /5 elementos con media de ?:4 y .ariana de '8% se seleccionaron ?2 elementos al aar sin reemplao! a+ 1"u&l es el error est&ndar de la media b+ 1"u&l es la C*?:? ?::+ c+ 1"u&l sería su respuesta al inciso a+ si la muestra uera con reemplao
■ :-4? Kread-Jn-Is ha diseñado una nue.a llanta y no saben cu&l ser& la .ida promedio de las cuerdas! ;aben #ue la .ida de las cuerdas tiene una distribuci0n normal con des.iaci0n est&ndar de 2':!4 millas! a+ ;i la compañía toma una muestra de 8)) llantas y registra la .ida de sus cuerdas% 1cu&l es la probabilidad de #ue la media de la muestra esté entre la media .erdadera y ?)) millas m&s #ue la media .erdadera b+ 1Eué tan grande debe ser la muestra para tener el H59 de seguridad de #ue la media muestral estar& a no m&s de ')) millas de la media .erdadera
■ :-44 In e#uipo de sal.amento submarino se prepara para eplorar un sitio% mar adentro rente la costa de lorida% donde se hundi0 una lotilla entera de 45 galeones españoles! A partir de registros hist0ricos% el e#uipo espera #ue estos bu#ues nauragados generen un promedio de D225%))) de ingresos cada uno cuando se eploren% con una des.iaci0n est&ndar de D?H%)))! ,l patrocinador del e#uipo% sin embargo% se muestra escéptico% y ha establecido #ue si no se recuperan los gastos de eploraci0n #ue suman D2!' millones con los primeros nue.e galeones nauragados% cancelar& el resto de la eploraci0n! 1"u&l es la probabilidad de #ue la eploraci0n contin>e una .e eplorados los nue.e primeros barcos
■ :-45 Ina técnica de rayos toma lecturas de su m&#uina para asegurarse de #ue cumple con los lineamientos ederales de seguridad! ;abe #ue la des.iaci0n est&ndar de la cantidad de radiaci0n emitida por la m&#uina es '5) milirems% pero #uiere tomar lecturas hasta #ue el error est&ndar de la distribuci0n muestral sea menor o igual #ue 25 milirems! 1"u&ntas lecturas debe tomar
■ :-4: ;ara Gordon encabea una campaña de recolecci0n de ondos para el Milord "ollege! @esea concentrarse en la generaci0n de e alumnos #ue este año tendr& su décima reuni0n y espera obtener contribuciones del ?:9 de sus 25) miembros! ;eg>n datos hist0ricos% los e alumnos #ue se re>nen por décima .e donar&n 49 de sus salarios anuales! ;ara cree #ue los miembros de la generaci0n tienen un salario anual promedio de D?2%))) con una des.iaci0n est&ndar de DH%:))! ;i sus epectati.as se cumplen *el ?:9 de la clase dona el 49 de sus salarios+% 1cu&l es la probabilidad de #ue la donaci0n de la reuni0n esté entre D'')%))) y D'2)%)))
■ :-4/ La compañía @a.is Aircrat "o!% est& desarrollando un nue.o sistema descongelante de alas #ue ha instalado en ?) aerolíneas comerciales! ,l sistema est& diseñado de tal orma #ue el porcenta$e de hielo eliminado est& normalmente distribuido con una media de H: y una des.iaci0n est&ndar de /! La Agencia ederal de A.iaci0n eectuar& una prueba selecti.a de seis de los a.iones #ue tienen instalado el nue.o sistema y aprobar& el sistema si al menos% en promedio% el H89 del hielo es eliminado! 1"u&l es la probabilidad de #ue el sistema reciba la aprobaci0n de la agencia
■ :-48 ood Clace% una cadena de '45 supermercados% ue comprada por otra mayor del mismo giro #ue opera a ni.el nacional! Antes de #ue el trato sea ini#uitado% la cadena mayor #uiere tener alguna seguridad de #ue ood Clace ser& redituable! La cadena compradora ha decidido echar un .istao a los registros inancieros de ?: de las tiendas de ood Clace! La directi.a de ésta airma #ue las ganancias de cada tienda tienen una distribuci0n aproimadamente normal con la misma media y una des.iaci0n est&ndar de D'%2))! ;i la gerencia de ood Clace est& en lo correcto% 1cu&l es la probabilidad de #ue la media de la muestra de las ?: tiendas se encuentre cerca de los D2)) de la media real
■ :-4H La señorita 3oanne mero de las p0lias de seguros #ue su aseguradora ha suscrito! La compañía de la señorita
■ /-'2 @e una poblaci0n #ue se sabe tiene una des.iaci0n est&ndar de '!4% se toma una muestra de :) indi.iduos! ;e encuentra #ue la media de esta muestra es :!2! a+ ,ncuentre el error est&ndar de la media! b+ "onstruya una estimaci0n de inter.alo alrededor de la media de la muestra% utiliando un error est&ndar de la media!
■ /-'? @e una poblaci0n con des.iaci0n est&ndar conocida de '!:5% una muestra de ?2 elementos dio como resultado ?4!8 como estimaci0n de la media! a+ ,ncuentre el error est&ndar de la media! b+ "alcule un inter.alo estimado #ue incluya la media de la poblaci0n el HH!/9 del tiempo!
■ /-'4 La Ini.ersidad de "arolina del Oorte est& lle.ando a cabo un estudio sobre el peso promedio de los ado#uines #ue conorman los andadores del campus! ;e en.ía a algunos traba$adores a desenterrar y pesar una muestra de 42' ado#uines% y el peso promedio de la muestra resulta ser '4!2 libras! Kodo mundo sabe #ue la des.iaci0n est&ndar del peso de un ado#uín es )!8 libras! a+ ,ncuentre el error est&ndar de la media! b+ 1"u&l es el inter.alo alrededor de la media de la muestra #ue incluir& la poblaci0n de la media el H5!59 de las .eces
■ /-'5 @ebido a #ue el dueño del restaurante recientemente abierto% ,l eugio del ardo ha tenido diicultades al estimar la cantidad de comida #ue debe preparar cada tarde% ha decidido determinar el n>mero medio de clientes a los #ue atiende cada noche! ;eleccion0 una muestra de ?) noches #ue le arro$aron una media de /' clientes! ;e lleg0 a la conclusi0n de #ue la des.iaci0n est&ndar de la poblaci0n es ?!/:! a+ @é una estimaci0n de inter.alo #ue tenga el :8!?9 de probabilidad de incluir a la media de la poblaci0n! b+ @é una estimaci0n de inter.alo #ue tenga el HH!/9 de probabilidad de incluir a la media de la poblaci0n!
■ /-': La administradora del puente Oeuse i.er est& preocupada acerca de la cantidad de autom0.iles #ue pasan sin pagar por las casetas de cobro autom&ticas del puente% y est& considerando cambiar la manera de cobrar% si el cambio permite solucionar el problema! Muestre0 al aar /5 horas para determinar la tasa de .iolaci0n! ,l n>mero promedio de .iolaciones por hora ue /! ;i se sabe #ue la des.iaci0n est&ndar de la poblaci0n es )!H% estime un inter.alo #ue tenga el H5!59 de probabilidad de contener a la media .erdadera!
■ /-'/ G7en Kaylor% administradora de los departamentos Pilo7Pood% desea inormar a los residentes potenciales cu&nta energía eléctrica pueden esperar usar durante el mes de agosto! ;elecciona :' residentes aleatorios y descubre #ue su consumo promedio en agosto es 8H4 6ilo7atts hora *67h+! G7en piensa #ue la .ariana del consumo es alrededor de '?' *67h+2! a+ ,stableca una estimaci0n de inter.alo para el consumo promedio de energía eléctrica en el mes de agosto para #ue G7en pueda tener una seguridad del :8!?9 de #ue la media .erdadera de la poblaci0n est& dentro de este inter.alo! b+ epita la parte a+ para una certea del HH!/9! c+ ;i el precio por 6ilo7att es D)!'2% 1dentro de #ué inter.alo puede G7en estar :8!?9 segura #ue caer& el costo promedio de agosto por consumo de electricidad
■ /-'8 La 3unta @irecti.a de ,scuelas ,statales del condado Cesimismo considera #ue su tarea m&s importante es mantener el tamaño promedio de los grupos de sus escuelas menor #ue el tamaño promedio de los grupos de Jptimismo% el condado .ecino! @ee Mar6s% la superintendente de escuelas de Cesimismo% acaba de recibir inormaci0n coniable #ue indica #ue el tamaño del grupo promedio en Jptimismo este año es ?)!? estudiantes! Koda.ía no tiene los datos correspondientes de los :2' grupos de su propio sistema escolar% de modo #ue @ee se .e orada a basar sus c&lculos en los /: grupos #ue han inormado acerca de su tamaño de grupo% #ue producen un promedio de 2H!8 estudiantes! @ee sabe #ue el tamaño de grupo de las escuelas de Cesimismo tiene una distribuci0n con media desconocida y una des.iaci0n est&ndar de 8!? estudiantes! ;uponiendo #ue la muestra de /: estudiantes #ue tiene la señorita Mar6s es una muestra aleatoria de la poblaci0n de los grupos del condado CesimismoF a+ ,ncuentre un inter.alo en el cual @ee Mar6s pueda tener el H5!59 de certea de #ue contendr& a la media real! b+ 1Isted cree #ue la señora @ee ha conseguido su ob$eti.o
■ /-?: General "inema obtu.o una muestra de 55 personas #ue .ieron "aa antasmas 8 y les preguntaron si planeaban .erla de nue.o! ;0lo ') de ellos pensaron #ue .alía la pena .er la película por segunda .e! a+ ,stime el error est&ndar de la proporci0n de asistentes al cine #ue .er&n la película por segunda .e! b+ "onstruya un inter.alo de coniana del H)9 para esta proporci0n!
■ /-?8 Michael Gordon% un $ugador proesional de b&s#uetbol% lan0 2)) tiros de castigo y encest0 '/4 de ellos! a+ ,stime el error est&ndar de la proporci0n de todos los tiros #ue Michael alla! b+ "onstruya un inter.alo de coniana del H89 para la proporci0n de todos los tiros de castigo #ue Michael alla!
■ /-4) ,l dueño de la empresa mero absoluto de cuentas #ue cumplen con el re#uisito de ecelencia% manteniendo el mismo ni.el de coniana del H59
■ /-42 ,l conse$o estudiantil de una uni.ersidad tom0 una muestra de 45 libros de teto de la librería uni.ersitaria y determin0 #ue de ellos% :)9 se .endía en m&s del 5)9 arriba de su costo al mayoreo! @é un inter.alo de coniana del H:9 para la proporci0n de libros cuyo precio sea m&s del 5)9 mayor #ue el costo al mayoreo!
■ /-44 Cara los siguientes tamaños de muestra y ni.eles de coniana% encuentre los .alores t adecuados para construir inter.alos de conianaF a+ n '5= H)9! b+ n := H59! c+ n 'H= HH9! d+ n 25= H89! e+ n ')= HH9! + n 4'= H)9!
■ /-4: Ina muestra de '2 elementos tiene una media de :2 y una des.iaci0n est&ndar de ')! "onstruya un inter.alo de coniana del H59 para la media de la poblaci0n!
■ /-48 Las autoridades de la parte norte del condado de Jrange han encontrado% para consternaci0n de los comisionados del condado% #ue la poblaci0n presenta se.eros problemas relacionados con placa dentobacteriana! "ada año% el departamento de salud dental local eamina una muestra tomada de los habitantes del condado y registra la condici0n de la dentadura de cada paciente en una escala de ' a '))% donde ' indica #ue no hay placa dentobacteriana y ')) indica #ue es muy grande! ,ste año% el departamento de salud dental eamin0 a 2' pacientes y encontr0 #ue tenían un promedio de placa dentobacteriana de /2 con una des.iaci0n est&ndar de :!2! "onstruya un inter.alo de coniana del H89 para la media del índice de placa dentobacteriana de la parte norte de Jrange!
■ /-5) La senadora mero de accidentes en bote #ue han ocurrido en el estado durante los >ltimos .eranos! ;iguiendo sus instrucciones% su ayudante% Geo ;pencer% ha seleccionado al aar H meses de .erano entre los >ltimos años y ha recabado datos acerca de los accidentes en bote ocurridos en cada uno de esos meses! ,l n>mero medio de accidentes #ue se presentaron en los H meses ue ?'% y la des.iaci0n est&ndar de esta muestra ue H accidentes por mes! ;e pidi0 a Geo #ue construyera un inter.alo de coniana del H)9 para el n>mero real de accidentes por mes% pero él mismo suri0 un accidente en bote recientemente% por lo #ue usted tendr& #ue terminar su traba$o!
■ /-54 @ebe .otarse una propuesta importante y un político desea encontrar la proporci0n de personas #ue est&n a a.or de la propuesta! ,ncuentre el tamaño de muestra re#uerido para estimar la proporci0n .erdadera dentro de )!)5 con un ni.el de coniana del H59! ;uponga #ue no se tiene idea de cu&l es la proporci0n! 1"u&l sería el cambio en el tamaño de la muestra si pensara #ue cerca del /59 de las personas a.orece la propuesta 1"u&l sería el cambio si s0lo alrededor del 259 a.orece la propuesta
■ /-55 La administraci0n de la empresa ;outhern Ketiles% recientemente ha sido atacada por la prensa debido a los supuestos eectos de deterioro en la salud #ue ocasiona su proceso de abricaci0n! In soci0logo ha a.enturado la teoría de #ue los empleados #ue mueren por causas naturales muestran una marcada consistencia en la duraci0n de su .idaF los límites superior e inerior de la duraci0n de sus .idas no diieren en m&s de 55) semanas *alrededor de ') 'Q2 años+! Cara un ni.el de coniana del H89% 1#ué tan grande debe ser la muestra% dentro de ?) semanas% #ue ha de eaminarse para encontrar la .ida promedio de estos empleados dentro de ?) semanas
■ /-5: ood Kiger% una tienda local% .ende bolsas de pl&stico para basura y ha recibido unas cuantas #ue$as respecto a su resistencia! Carece #ue las bolsas #ue .ende son menos resistentes #ue las de su competidor y% en consecuencia% se rompen m&s a menudo! 3ohn "! Kiger% gerente de ad#uisiciones% est& interesado en determinar el peso m&imo promedio #ue puede resistir las bolsas para basura sin #ue se rompan! ;i la des.iaci0n est&ndar del peso límite #ue rompe una bolsa es '!2 6g% determine el n>mero de bolsas #ue deben ser probadas con el in de #ue el señor Kiger tenga una certea del H59 de #ue el peso límite promedio est& dentro de )!5 6g del promedio .erdadero!
■ /-5/ La uni.ersidad est& considerando la posibilidad de ele.ar la colegiatura con el in de me$orar las instalaciones= para ello% sus autoridades desean determinar #ué porcenta$e de estudiantes est&n a a.or del aumento! La uni.ersidad necesita tener una coniana del H)9 de #ue el porcenta$e se determin0 dentro del 29 del .alor .erdadero! 1Eué tamaño de muestra se re#uiere para garantiar esta precisi0n independientemente del porcenta$e .erdadero
■ /-58 Pic6s y Kic6s% una tienda local especialiada en .elas y relo$es est& interesada en obtener una estimaci0n de inter.alo para el n>mero medio de clientes #ue entran a la tienda diariamente! Los dueños tienen una seguridad raonable de #ue la des.iaci0n est&ndar real del n>mero diario de clientes es '5! Ayude a Pic6s y Kic6s a salir de un bache determinando el tamaño de muestra #ue deber&n utiliar para desarrollar un inter.alo de coniana del H:9 para la media .erdadera #ue tenga un ancho de s0lo ocho clientes!
