Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Mecánica de Fluidos Examen extraordinario de Junio Curso 2004-2005
4º Curso 30 de Junio de 2005
er
PARTE I - 1 Parcial
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 60 minutos SOLUCIÓN
La figura representa un vertedero de anchura unidad. La velocidad y altura de la corriente aguas abajo son V y h. Suponiendo que el movimiento es estacionario y la altura del agua atrapada detrás del chorro, a, es constante y sobre ella la presión es la atmosférica, se pretende determinar el valor de a despreciando la cantidad de movimiento horizontal a la entrada del chorro, para lo cual se pide:
r g Pa Pa a
h
V
1.- Escribir la ecuación integral que permite analizar el sistema de fuerzas horizontales planteado en el problema, despreciando los términos que sea posible y explicando por qué se desprecian. (2.5 Ptos.) -------La ecuación que permite analizar el sistema de fuerzas es la ecuación del impulso r ∂ρ r r r r ∫∫∫VC ∂ t v dV + ∫∫SC ρ( v r ⋅ n ) v dA = Fext Como el problema es estacionario y el fluido es imcompresible, el primer sumando se anula quedando tan solo que: r r r r ∫∫ ρ(v r ⋅ n) v dA = Fext SC
Los efectos másicos no se tiene en cuenta porque el problema sólo pretende resolver las fuerzas horizontales y la única fuerza másica que se presenta en el problema es la de la gravedad que es vertical. --------
2.- Dibujar el volumen de control que se debe estudiar, aguas bajo de la compuerta, y las fuerzas exteriores que actúan sobre él que se deben tener en consideración. (2.0 Ptos.) --------
No se incluye
En la zona del volumen pegada a la compuerta se tienen las reacciones de las fuerzas hidrostáticas sobre la compuerta y en la superficie de salida las reacciones de las fuerzas hidrostáticas en la salida. En la zona del chorro no se debe incluir ninguna fuerza exterior porque la fuerza que actúa sobre él no existe en realidad, ya que el fluido puede evolucionar libremente y no hay profundidad sino que sobre todo el chorro actúa la presión atmosférica. -------3.- Determinar el valor de las fuerzas exteriores horizontales que actúan sobre le volumen del apartado anterior. (2.5 Ptos.) -------Las fuerzas hidrostáticas en la compuerta son Fhc = 0.5·ρ g a2 Las fuerzas hidrostáticas en la salida son Fhs = 0.5·ρ g h2 El total de las fuerzas exteriores horizontales es Fext,x = 0.5·ρ g (a2 -h2 ) -------4.- Sustituir estas fuerzas exteriores en la expresión obtenida en el apartado 1 y despejar el valor de a. (2.0 Ptos.) -------r r r r ∫∫ ρ(v r ⋅ n) v dA = Fext SC
Estudiando sólo la cantidad de movimiento horizontal, en el volumen definido es nula la cantidad de movimiento en la entrada (junto a la compuerta) y también es nula la cantidad de movimiento en el chorro por lo que la integral anterior se limita a la salida, y por tanto:
r
r r
2
r
∫∫SC ρ(vr ⋅ n ) v dA = ρv h·1= Fext Sustituyendo la expresión de las fuerzas exteriores se obtiene 1 ρ v 2 h = ρ g( a 2 − h 2 ) 2 2 2v h + gh 2 = a 2g
a=
2v 2h + h2 g
5.- Escribir las ecuaciones integrales que permitirían conocer la variación a lo largo del tiempo de una variable D característica de un fluido en un volumen de fluido cualquiera. (1.0 Ptos) -------Aplicando el teorema de transporte de Reynolds sobre un volumen de control en el fluido se obtendría que: dD d = dt dt
dD
dD
r
r
∫∫∫VC dm ρ dV + ∫∫SC dm ρ ( v r ⋅ n ) dA
Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Mecánica de Fluidos I Examen Extraordinario de Septiembre Curso 2005-2006
PARTE II
Se permite el uso de libros.
3er Curso 20 de Septiembre de 2006 Tiempo: 40 minutos
SOLUCIÓN Sea el siguiente campo de velocidades: vx = a (x - x0) vy = -a (y - y0) vz = ct que corresponde a un punto de remanso de coordenadas (x0, y0) en el movimiento dentro del plano xy, que se desplaza con aceleración constante en la dirección z. Los valores de a, b y c son constantes. Se pide: a) Trayectoria que pasa por el origen en el instante t = 0. (1,5 Ptos.) -----------Las ecuaciones de la trayectoria son dx dx a( x x0 ) adt dt ( x x0 ) ln( x x0 ) at c1 x x0 e( at c1 ) dy dy a( y y0 ) adt ln( y y0 ) at c2 y y0 e( at c2 ) dt ( y y0 ) c 2 c 2 z t c3 z t c3 dz ct dt dz 2 2 ct dt imponiendo la condición de que la trayectoria pasa por el origen x=y=z=0 en un instante t=t0 se determinan los valores de las constantes c1, c2 y c3, y se tiene que: x x0 x0 e a( t t0 )
y
y0
y0 e
a( t t 0 )
c 2 2 ( t t0 ) 2 Particularizando para t0=0 se obtiene la trayectoria que pasa por el origen pedida z
x
x0
x0 e at
y
y0
y0 e
z
c 2 t 2
at
b) Trazas que pasan por el origen en distintos instantes. (1,5 Ptos.) -----------En las ecuaciones del apartado anterior, antes de particularizar para t0=0, basta eliminar t0 , por ejemplo de la expresión en z, para tener la ecuación de la traza que pasa por el origen en cada instante t. a t
x
x0
x0 e
y0
2z c
t2
a t
y
2z c
t2
y0 e
c) Líneas de corriente que pasan por el origen en distintos instantes. -----------Las líneas de corriente vendrán dadas por dy dx
x x0 y y0
dz dx
ct
( x x0 )( y
a( x x0 )
z
y0 )
ct ln x x0 a
(1,5 Ptos.)
c4 c5
Para calcular la línea de corriente que pasa por el origen en un instante t, basta sustituir x e y por 0, para hallar los valores de las constantes c4 y c5. (x z
x0 )( y
y0 )
ct x x0 ln a x0
x0 y0
Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales Mecánica de Fluidos I 3er Curso Curso 2006-2007
PARTE III
09 de Febrero de 2007
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 60 minutos SOLUCIÓN
Se tiene una placa plana vertical, sobre la que incide un chorro de agua, con un área transversal A=60 cm2 y una velocidad v0 = 10 m/s, en la dirección del eje x, tal como se muestra en la siguiente figura. v1 A v0 x
La placa deflecta simétricamente la corriente en 90º. Se desprecian las fuerzas viscosas y gravitatorias. Se supone que en los bordes del chorro, en su sección de entrada, en su sección de salida y en la parte posterior de la placa actúa la presión ambiente. Se pide: 1.- Calcular la fuerza sobre la placa cuando ésta está quieta, v1 = 0 m/s. (2.5 Ptos.) ----Se aplicará la ecuación de la conservación de cantidad de movimiento lineal en forma integral a un volumen de control definido por la entrada, la salida, los bordes del chorro y la placa. d F V dV V ( V ·n )dA dt VC SC Al ser el volumen de control fijo y el proceso permanente, el primer sumando del segundo miembro se anula. Como sobre la parte trasera de la placa actúa la presión ambiente, que actúa también sobre el resto de los elementos del problema se operará con la presión manométrica, que es cero en la entrada, en la salida y en los bordes del chorro. Al despreciar las fuerzas viscosas y gravitatorias, el sumatorio de fuerzas exteriores se reduce a la reacción a las fuerzas de presión sobre la placa que se desean obtener. Como dicha fuerza actúa según el eje x, se planteará solamente la ecuación según dicho eje. Teniendo en cuenta que según la dirección x solamente hay una entrada de flujo, perpendicular al movimiento del fluido se tiene que
v0 2 A
Fx Fy
Fz
0N
Fx
600 N
2.- Calcular la fuerza sobre la placa cuando ésta se aleja del chorro con una velocidad constante v1 = 5 m/s. (2.5 Ptos.) ----La forma más cómoda de resolver el problema es considerar el mismo problema que en el caso anterior con una velocidad de entrada ve=v0-v1 = 5 m/s, dado que la fuerza que se busca se ejerce en la dirección x, y el ensanche de las salidas afecta a las direcciones perpendiculares a x.
ve 2 A
Fx Fy
Fz
Fx
150 N
0N
Un cierto tipo de viscosímetro consiste en un cono sólido que se apoya y gira con una velocidad angular sobre una superficie sólida plana fija, tal como se indica en la figura siguiente:
R
El eje del cono es perpendicular al plano y su generatriz forma un ángulo con el mismo. El radio de la base del cono es R. El espacio entre la superficie del cono y la superficie plana está ocupado por un líquido de viscosidad y densidad . Midiendo el par P que hay que hacer para girar el cono con dicha velocidad angular, se puede calcular la viscosidad del fluido. Se pide: 1.- Utilizar el análisis dimensional para encontrar la relación más simplificada que relacione la viscosidad con el par P y los demás parámetros antes enunciados. ----Basta aplicar el teorema a la relación funcional =f(P, , ,R, ) [M] [L] [T]
1 -1 -1
P 1 2 -2
0 0 -1
0 0 0
R 0 1 0
(2.5 Ptos.)
1 -3 0
Tomando como parámetros dimensionalmente independientes P, R y se obtiene 3 2 5 2 5 R R P R f1 , f , 3 1 P P P R 2.- Simplificar la expresión en el caso en que los efectos viscosos sean dominantes frente a los de la densidad. (2.5 Ptos.) ----En este caso se considerarán nulos los efectos de la densidad y se utilizará la misma tabla que antes suprimiendo la columna de la densidad, para obtener: P f2 R3
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PARTE III
02 de Septiembre de 2008
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 20 minutos SOLUCIÓN
En una tubería, como la del dibujo, se dispone de un disco poroso en su parte central (sección 2). Un fluido incompresible que se mueve por la tubería atraviesa en su movimiento el disco poroso variando su viscosidad.
V
1
2
3
La entrada del fluido se produce por la sección 1 y la salida por la sección 3, cuyas áreas A1 y A3 son conocidas. Se debe comentar que el estudio es estacionario y en el disco poroso se produce una variación de densidad, lo cual no significa que el fluido sea compresible. La densidad será constante 1 en la entrada a lo largo del tiempo mientras que la densidad en la salida 3 variará a lo largo del tiempo, pero no significativamente en el momento de estudio. Se pide 1. Hallar la relación existente entre las velocidades y las densidades del fluido en las secciones de entrada y salida. (2.0 Ptos.) --------------Aplicando la forma integral de la ecuación de la masa en el volumen de control delimitado por la tubería se tiene que: Dm Dt
Al ser el estudio estacionario
D Dt
dV V
V
t
dV
(n·V ) dS S
no depende del tiempo y por tanto Dm Dt
(n·V ) dS
Vx1 1 A1 Vx 3
3
A3
S
La masa del líquido que atraviesa en el estudio estacionario es constante por lo que
relación pedida es: Vx1 1 A1 Vx 3 3 A3 ------------------
Dm Dt
0 y la
En un barco se dispone de un tanque de combustible que no está lleno del todo. Cuando el barco, que se mueve a una velocidad de 10 m/s, se acelera con una aceleración constante de 2 m/s2. Se pide 2. Determinar el ángulo que forma con la horizontal la superficie libre del tanque (1.5 Ptos.) --------------El efecto sería como si a la aceleración de la gravedad se le sumase una aceleración horizontal 2 0,2039 y, por tanto, constante de 2 m/s, luego el ángulo buscado será tal que tan 9.81 = 11,5º -----------------La distribución de velocidades para un fluido bidimensional viene dada por
u
x2
v
x4 y
Se pide 3. Determinar si se trata de un fluido, líquido o gas.. --------------Para tratarse de un fluido debe satisfacerse la ecuación de continuidad bidimensional: u v 0 x y u v 2x x4 x y
(1.5 Ptos.)
Y, por tanto, no se satisface la ecuación de continuidad y no se trata del movimiento de un fluido por lo que no tiene sentido comprobar la divergencia del vector velocidad para ver si es líquido o gas.
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PARTE III
26 de Enero de 2009
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 45 minutos SOLUCIÓN
Se dispone de un chorro de un líquido ideal de densidad un ángulo de incidencia , tal como indica la figura.
que incide sobre una superficie plana con
V 2h
Va
2a
2b
l
Vb
O
F
Los movimientos perpendiculares al plano y la fuerza horizontal generada sobre la placa se consideran despreciables. Las entradas y salidas son circulares. Las presiones en la entrada y la salida son iguales y los puntos centrales de los chorros de la entrada y las salidas corresponden a una misma línea de corriente, despreciándose los efectos de la gravedad, lo cual se tendrá en cuenta al aplicar el teorema de Bernouilli. Los valores de V y h son conocidos. Se pide: 1. Determinar los valores de a y b y la fuerza vertical que el chorro ejerce sobre la placa. (3,0 Ptos.) --------------Por continuidad todo el fluido que entra tiene que salir. Si se toma un volumen de control limitado por el fluido y por planos perpendiculares a sus vectores de velocidad en la entrada y las salidas, al ser el volumen de control fijo, se puede plantear la ecuación de continuidad en un estado estacionario del problema como: (n · V ) dS 0 V ( h 2 ) Va ( a 2 ) Vb ( b 2 ) V h 2 Va a 2 Vb b 2 S
Como los puntos centrales de la entrada y las salidas corresponden a una misma línea de corriente, se puede aplicar el teorema de Bernouilli sin la influencia de la gravedad, y por tanto: 2 2 1 1 V Pentrada Va Pa 2 2 2 2 1 1 V Pentrada Vb Pb 2 2 Pero como Pentrada = Pa = Pb se tiene que V Va Vb Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento lineal se tiene que:
VdV (V ·n ) VdS Fext S t En este caso la primera integral se anula por tratarse de un líquido y ser, por tanto incompresible. V
Como la expresión es bidimensional se dividirá en una componente horizontal y otra vertical, y como el número de entradas y salidas son finitas se sustituirá la segunda integral por un sumatorio, resultando: Eje horizontal:
0
Eje vertical:
Fy
Como V
V V
h 2 cos
Vb Vb
b2
Va Va
a2
h 2 sen
V V
Vb resulta:
Va
Eje horizontal:
0 h 2 cos
Eje vertical:
Fy
V
2
b2
a2
h 2 sen
De esta forma se obtiene la fuerza vertical Fy
V
2
h 2 sen
Para calcular los valores de a y b basta con resolver el siguiente sistema de ecuaciones: a2
b2
h2
a
2
b
2
2
b
2
h
2
h cos a
2
h
2
2a 2
h 2 (1 cos )
1 cos h 2 2
a
h
1 cos 2
h2 (2 1 cos ) 2
a
h2 (1 cos ) 2
h·cos
2
b h·sen
2
--------------2. Determinar la distancia l, medida desde el punto O en el que incide el chorro de entrada, a la que se debe aplicar una fuerza vertical que mantenga la placa en equilibrio. (2,0 Ptos.) --------------Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento angular, teniendo en cuenta que la primera integral se anula, se tiene que: (V ·n ) (V d )dS M ext S
En este caso la primera integral se anula por tratarse de un líquido y ser, por tanto incompresible. Como el número de entradas y salidas son finitas se sustituirá la integral por un sumatorio. Teniendo en cuenta que el chorro de entrada no genera momento pues su resultante incide en O, se tiene que:
F ·l Como V
Va
Va Va
a 2
a2
Vb Vb
b 2
b2
Vb
F ·l
V 2
2
( a 3 b3 )
Para que la placa esté en equilibrio F = Fy 2
l ---------------
V ( a 3 b3 ) 2
2
h 2 V sen
a 3 b3 2h 2 sen
h3 cos3
sen3 2 2 2 2h sen
h cos3
2 2sen
sen3
2
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PARTE II
Se permite el uso de libros.
30 de junio de 2010 Tiempo: 35 minutos
SOLUCIÓN El sistema de riego por aspersión de la figura consta de un tubo de alimentación vertical y un tubo horizontal de longitud L, ambos de diámetro D. Por este tubo circula un fluido de densidad y viscosidad . La presión en el codo de la tubería es p1 y el sistema gira con una velocidad angular .
Se pide: 1. Determinar la variación radial de la presión con respecto al eje de rotación en un punto del tubo horizontal situado a una distancia r de dicho eje de rotación, si se consideran despreciables el radio del codo (L empieza a medirse en el eje de rotación) y la viscosidad del fluido. (1,5 Ptos.) --------------El gradiente de presión se obtiene como: 2 p (g a) V Como la viscosidad del fluido es despreciable y la aceleración centrífuga es r 2 ir 2 p ( g a ) ( gk rir ) Como se pide la variación radial, será sólo en la dirección radial y, por tanto: 2 2 p r 2 r p p1 C r 2 Como cuando r=0, p=p1 2 2 0 0 C C 0 2 2 2 r p p1 2 --------------2. Si la presión en la salida cuando la tubería no gira es la atmosférica, comprobar que en el tramo Patm p1 2 horizontal se verifica que p r (1,5 Ptos.) L ---------------
Siguiendo el razonamiento del apartado anterior se puede comprobar que la presión total se divide en dos sumandos, el correspondiente a la presión sin giro y la presión añadida por el giro, de forma que, llamando psg a la presión cuando la tubería no gira, se tiene que: 2 2 r p psg 2 Tomando gradientes se obtiene que: 2 2 r Patm p1 2 p psg p r 2 L Escribir la ecuación de cantidad de movimiento según el eje de la tubería horizontal. --------------3. Si se alcanza un punto en el que las velocidades dentro de la tubería horizontal son estacionarias y sólo dependen del radio. Escribir la ecuación de cantidad de movimiento según el eje de la tubería horizontal, si la velocidad horizontal del fluido en la salida tiene módulo V. (1,5 Ptos.) --------------La ecuación integral de cantidad de movimiento según la componente horizontal, al tomar un volumen de control fijo, es:
Fx
d dt
VC
D 2
u dV
2
u
D 2
2 salida
2
u2 entrada
Como el flujo es estacionario el primer término se anula, quedando
Fx
D 2
2
u
D 2
2 salida
2
u2 entrada
Como en la entrada la velocidad horizontal es nula y en la salida su valor es V, resulta: 2
Fx
D V2 2
salida
NOTA: No se corregirán los exámenes escritos con lapicero ni aquellos apartados que no estén contestados indicando a qué pregunta se está respondiendo.
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PARTE II
Se permite el uso de libros.
31 de enero de 2011 Tiempo: 40 minutos
SOLUCIÓN La figura muestra la sección de una presa de gravedad, que retiene el agua de un embalse compensando el momento del empuje hidrostático con el momento de su propio peso. La presa es de hormigón, de densidad 2600 kg/m3.
1. Calcúlese la máxima altura H que podría tener el dique para que, aun suponiendo el caso extremo de que el nivel del agua (dulce) en el embalse llegara a alcanzar el borde, no se pudiera dar lugar al vuelco de la presa. Téngase en cuenta que el agua del embalse se filtra parcialmente por el terreno del fondo, de modo que a lo largo de la base de la presa la presión varía linealmente desde el valor máximo por el lado interior hasta la presión atmosférica por el lado exterior, y que dicha distribución de presión también contribuye al posible vuelco de la presa. [3,0 Ptos.] --------------Como la presión atmosférica actúa sobre todas las superficies del problema, se puede resolver éste despreciándola. Sobre la compuerta actuarán las siguientes fuerzas, expresando todos los valores en unidades del Sistema Internacional: - Fuerza hidrostática horizontal: Sobre la compuerta actúa una presión hidrostática horizontal de distribución triangular, de valor nulo en su parte superior y gH en su parte inferior. El valor de esta fuerza hidrostática por unidad
gH 2 H N/m, estará aplicada a una distancia m desde el fondo 3 2 del embalse y será perpendicular a la presa, en sentido izquierda derecha en el dibujo. de longitud de la presa será Fh
- Fuerza hidrostática vertical: Sobre la base de la compuerta actúa una presión hidrostática vertical de distribución triangular, con valor gH en la parte en contacto con el agua y valor nulo en la parte en contacto con el aire. El valor de esta fuerza hidrostática será Fv 15 gH N/m, estará aplicada a 20 m del punto más exterior de la presa y será perpendicular al fondo, en sentido abajo-arriba en el dibujo.
- Peso:
30 6 H 2 aplicado a una distancia del punto más bajo del exterior de la presa 6·H ·( 24 3 ) 12·H ·16 19 ,67 m 6·H 12·H El peso por unidad de longitud de la presa será W
2600·9 ,81
459108·H N/m, está
Tomando momentos alrededor del punto más bajo del exterior de la presa, se obtiene:
H Fh · 3
gH 3 6
Fv ·20 W ·19 ,67
300 gH H2
9030654,36H
3723,336
1635 H 2
2943000
9030654,36
61,02 m
H
--------------En la presa anterior se hace un agujero en su base, de sección rectangular de 1 m de lado, para instalar un generador. Se pide: 2. Explicar qué volumen de control sería adecuado para calcular el flujo a través de la sección rectangular, explicando por qué. [1,5 Ptos.] --------------Habría que considerar el agua hasta un cierto nivel en el embalse y la sección del tubo de salida, porque de esta forma se controla la entrada y la salida del agua. La entrada es vertical (agua que se vacía por gravedad) y la salida es horizontal.
--------------3. En el volumen de control anterior indicar qué simplificaciones se pueden realizar en los términos integrales de ecuación de la cantidad de movimiento. [1,5 Ptos.] --------------Aplicando la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento: d Fext V dV V (Vr ·n) dA dt VC SC El volumen se puede considerar fijo porque se necesita un tiempo grande para que el nivel del agua d disminuya una cantidad apreciable, y el flujo es compresible, por lo que V dV 0 y la dt VC ecuación se reduce a:
Fext
V (Vr ·n) dA SC
Como hay una única entrada y una única salida:
Fext
V (Vr ·n) A salida
V (Vr ·n) A entrada
Como en las entradas y en las salidas las velocidades relativas del flujo son perpendiculares a las secciones e iguales a la velocidad del flujo: Fext
V
2
A salida
V
2
A entrada
--------------4. Calcular la máxima velocidad media de salida del agua, sin tener en cuenta las pérdidas en la tubería: a) Utilizando una línea de corriente que vaya desde la superficie del agua hasta la salida en el centro del tubo. [1,0 Ptos.]
--------------Suponiendo la existencia de la línea de corriente definida, se pude aplicar sobre ella la ecuación de Bernouill, de forma que: 2 2 Ventrada Vsalida Pentrada gzentrada Psalida gz salida 2 2 Tanto en la entrada como en la salida la presión es la atmosférica pues conectan con el exterior y en la entrada la velocidad es prácticamente nula porque la superficie del embalse es muy grande. Por tanto: 2 Vsalida gH g 0,5 Vsalida 2 g H 0,5 2 --------------b) Igualando la suma de las energías potencial y cinética por unidad de masa en los extremos de la línea de corriente. [1,0 Ptos.] --------------En la entrada sólo hay energía potencial y en la salida hay potencial y cinética. De esta forma: 2 Vsalida gH g 0,5 Vsalida 2 g H 0,5 2 --------------5. Comprobar la validez de la siguiente expresión en un fluido:
t
V·
V
0
--------------Partiendo de la ecuación de continuidad en forma diferencial V V V · V 0 0 t t x y z V V V V V V 0 t x x y y z z V V V V V V 0 V· t x y z x y z t ---------------
[2,0 Ptos.]
V
0
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PARTE III
11 de junio de 2011
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 30 minutos SOLUCIÓN
Un chorro de agua de sección circular a una velocidad Vo incide sobre un álabe que se mueve en el mismo sentido que el chorro con una velocidad constante u, siendo el ángulo de inclinación del álabe, tal como se indica en la siguiente figura.
Se pide: 1. Determinar las fuerzas horizontales y verticales que el chorro ejerce sobre el álabe, suponiendo que el chorro es circular y siempre tiene el mismo radio r. [2,0 Ptos.] --------------Tomando como volumen de control el chorro, hay una entrada y una salida de fluido. Para facilitar el cálculo pararemos el carro, con lo cual la velocidad del fluido entrante será V0 u . En la entrada hay sólo velocidad en x, de valor V0 u . Por conservación de la masa, como el área de la entrada y la salida es la misma A r 2 , también sus velocidades perpendiculares a la sección de salida son iguales, de valor V0 u . La velocidad en la salida se descompone en una velocidad x, de valor V0 u cos , y en una velocidad en la dirección y, de valor V0 u sen Aplicando la ecuación integral de la conservación de la cantidad de movimiento lineal se obtiene: 2 Fx r 2 V0 u 1 cos
Fy
2
r 2 V0 u sen
--------------2. Determinar la velocidad u del álabe que permite conseguir una potencia útil (fuerza por velocidad) máxima. [2,0 Ptos.] --------------2 Como u es en la dirección x, la potencia útil es r 2 V0 u 1 cos u 2
La potencia útil será máxima cuando sea máximo el valor de V0 u u que tendrá máximos y mínimos cuando
3u
2
4V0 u V0
2
0
2
V0 u 2V0 u 2 u 3 , función
u
4V0
16V02 12V02 6
obteniéndose las soluciones u
V0 , que da potencia útil mínima, de valor 0, y u
potencia útil máxima de valor
r2
La respuesta es, por tanto, u
4V0 27
V0 que da 3
3
1 cos u
V0 . 3
--------------3. Siendo el radio del chorro r=2 cm y V0= 6 m/s, calcular la potencia útil máxima y las fuerzas horizontal y vertical correspondientes al caso de potencia útil máxima. [2,0 Ptos.] --------------V0 Para el caso de la potencia útil máxima u = 2 m/s 3 En ese caso la potencia útil es de 5,4 W, siendo Fx 2,7 N y Fy 10,1 N --------------oooOOOooo En la pared lateral de un depósito de agua para riego hay una compuerta circular de radio r= 20cm, con su parte inferior situada a un metro del fondo. Se pide: 1. Calcular la fuerza de empuje sobre la compuerta y la coordenada del centro de presiones, medida desde la superficie libre del agua, cuando el nivel del agua alcanza una altura de 8 m sobre el fondo. [2,0 Ptos.] --------------F ·g ·hg · A 1000·9 ,81· 8 1,2 0 ,2 2 8382,8 N r4 4 r 2 ·hg
r2 4 hg
r4 4 r 2 ·hg
r2 4 hg
I 0 ,01 hg hg 8 1,2 6 ,801 m A·hg 8 1,2 --------------2. Calcular la fuerza de empuje sobre la compuerta y la coordenada del centro de presiones, medida desde la superficie libre del agua, cuando el nivel del agua alcanza una altura de 6 m sobre el fondo. [2,0 Ptos.] --------------F ·g ·hg · A 1000·9 ,81· 6 1,2 0 ,2 2 5917,3 N hcp
hg
I A·hg --------------hcp
hg
hg
hg
6 1,2
0 ,01 6 1,2
4 ,801 m
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PARTE III
21 de septiembre de 2011
Se permite el uso de libros.
Tiempo: 30 minutos SOLUCIÓN
Un turbomotor a chorro, como el de la figura, colocado en un túnel de viento recibe aire de densidad 1=1,2 kg/m3 con una velocidad u1=130 m/s.
La distribución de la velocidad del chorro de entrada, en 1, es uniforme, con un área transversal 0,1 m2. A la salida del turbomotor, en 2, la velocidad del chorro saliente no es uniforme, sino dada por u( r ) 2U 2 1
r r2
2
donde r2 es el radio de la sección recta del chorro y U2=600 m/s. La densidad en la salida es 2=0,6 kg/m3 y además se sabe que la cantidad de combustible introducido lateralmente, por c, corresponde al 2% de la masa de aire que entra por 1. Se pide: 1. Indicar si para determinar la fuerza que se ejerce en la dirección x es mejor utilizar ecuaciones en forma integral o diferencial y por qué. [2,0 Ptos.] --------------Como nos interesa el cómputo total de fuerzas en un volumen que no es diferencial en el que tenemos un número finito de entradas y de salidas, se deben utilizar ecuaciones en forma integral. --------------2. Si en el apartado anterior se ha elegido el uso de ecuaciones en forma diferencial se pide definir las condiciones de contorno del problema, mientras que si se ha elegido el uso de ecuaciones en forma integral se pide identificar el volumen de control que se va a utilizar indicando por qué se elige ese volumen. [2,0 Ptos.] --------------El volumen de control será el sombreado en gris en la figura siguiente, porque es el mínimo que incluye todas las entradas y salidas (a las que es ortogonal) y el fluido en estudio.
--------------3. Indicar si el problema se puede considerar o no estacionario. [2,0 Ptos.] --------------Tal como se ha planteado el problema no existe dependencia del tiempo y, por tanto, el problema se puede considerar estacionario. --------------4. Aplicar la ecuación de conservación de la masa o la de continuidad para determinar el valor del radio en la salida (2). [2,0 Ptos.] --------------Como el problema es estacionario, el volumen de control es fijo y no deformable, y existen dos entradas y una salida, la ecuación de la conservación de la masa es: 1 A1u1 c Ac uC 1 A1u1 Como el enunciado dice que r2
1,02 1 A1u1
2U 2 1
2 0
c
AcuC r r2 r2
15 ,192
0 ,02 1 A1u1
2
4523 ,893421 1 0
15 ,192
r2
2 rdr
1,02·1,2·0 ,1·130
0 ,6 ·2·600·2
1 0
r r2
2
rdr
15 ,192
4523 ,893421 2 r2 4
r2
r2 4523 ,893421 2
r r2 r4 2 4 r2
2
rdr
r2
0
0,116 m
--------------5. Determinar la fuerza exterior que ejerce en la dirección x el anclaje de la turbina si se supone [2,0 Ptos.] que el valor medio de la velocidad en la salida (2) es U2. --------------Aplicando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento lineal en x se tiene que: 2 2 Fx Fx 0 ,6· ·0 ,116 2 ·600 2 1,2·0 ,1·130 2 7103.026 N 2 · A2 ·V2 1 · A1 ·V1