COLEGIO RAIMUNDO LULIO CENTRO CATÓLICO - CONCERTADO
Franciscanos T.O.R. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Cód. 28013607
CORRECCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LOS TEMAS 12 Y 13 1. Un coche viaja con una velocidad media de 80 km/h durante 2,5 h y luego con velocidad media de 40 km/h durante 1,5 h. ¿Cuál es el desplazamiento total en el viaje de 4 h? ¿Cuál es la velocidad media del viaje completo? El desplazamiento total será la suma de los desplazamientos en cada una de las dos etapas del viaje. Para calcular cada uno de estos usamos la fórmula de la velocidad media, ya que en cada etapa la velocidad es constante (no hay aceleración):
; ; 80 2,5 200 40 1,5 60 200 60 260 260 65/
Teniendo el desplazamiento total y el tiempo total, podemos calcular fácilmente la velocidad media durante todo el recorrido: * Observar que la velocidad media de todo el recorrido es más parecida a la de la primera etapa que a la de la segunda. Esto es lógico ya que esta primera etapa duró más tiempo, así que influye más en la media.
2. Un atleta corre 2,5 km en 9 minutos, y luego tarda 30 minutos en volver andando al punto de partida. Calcula la velocidad media en los primeros 9 minutos, durante el tiempo que camina y en el recorrido total. Hay que tener en cuenta que si en la primera etapa (corriendo) la velocidad es positiva, en la segunda (andando) la velocidad debe ser negativa porque el sentido del movimiento es el contrario (vuelve al punto de partida). En ambos casos utilizaremos la ecuación de la velocidad media, ya que durante cada etapa la velocidad no cambia, pero además pasaré los minutos a horas para que la unidad de medida quede más clara:
; % &,,!"# ,!&,"#"#"# 16,7/ % '"# '"# (5/
En cuanto a la velocidad media durante todo el recorrido, tras haber corrido y luego andado el trayecto de vuelta, el espacio recorrido es 0 km, ya que ha vuelto al punto de partida, así que la velocidad media global será 0 km/h:
'!"# 0/
3. Calcula cuánto tarda en llegar la luz desde el Sol hasta la Tierra sabiendo que nos separan 150 millones de kilómetros y la luz viaja a 3·10 8 m/s. Si pasamos los kilómetros de distancia Tierra-Sol a metros, solo tenemos que despejar el tiempo de la ecuación de velocidad media, ya que la velocidad de la luz es constante:
15000 150000000 0000 150000000 1500 00000000 000 15 15 10 + ; )* '/- 500.
*Esto es algo más de 8 minutos, lo que coincide con el comentario típico de que la luz del Sol tarda 8 minutos en llegar hasta la Tierra.
4. Algunos animales, como los murciélagos, utilizan el sonido (que se mueve a 343 m/s) para localizar objetos, ya que “calculan” las distancias midiendo el tiempo que tarda en regresar el eco tras rebotar en los objetos. A qué distancia de un murciélago está una pared si tarda 0,20 s en escuchar su propio eco. ________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________ ___________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail:
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Franciscanos T.O.R. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Cód. 28013607 Primero calculamos el espacio recorrido por el sonido, despejando el espacio de la ecuación de velocidad media ya que el sonido tiene velocidad constante en el aire:
; ; 343343 - 0,200. 68,66
Pero este es el espacio que ha recorrido en total, y como el sonido ha realizado un trayecto de ida y vuelta entre el murciélago y la pared, la distancia entre ambos en realidad es la mitad, 34,3 metros.
5. Debido a un malentendido, durante un examen de física le “paso” a un compañero de clase clase un bote de tipex a 15 m/s, al mismo tiempo que él me lanza una regla, con la mala suerte de que se chocan en el aire exactamente a 3,6 m de su posición y tras 0,6 segundos desde el momento de ambos lanzamientos. Calcula la distancia que me separa de mi compañero y a qué velocidad me lanzó la regla. Se pueden despreciar los efectos de la gravedad y el rozamiento. Por un lado podemos calcular la distancia recorrida por el bote de tipex que he lanzado a 15 m/s, ya que sabemos que ha tardado 0,6 s, despejando en la ecuación de velocidad media (suponemos que el bote no se ha frenado en el aire):
; ; 1515 - 0,6. 9
Por lo tanto si ha recorrido 9 m hasta chocar con la regla, y esto ocurre a 3,6 m de mi compañero, solo tenemos que sumar las distancias para ver que nos separan 12,6 metros. Para calcular la velocidad a la que me lanzó la regla, utilizo la ecuación de velocidad media (otra vez suponemos que el objeto no se frena en el aire) para 3,6 m de distancia y 0,6 s de tiempo:
',,- 60/.
¡Eso es muy rápido!
6. Calcula el espacio recorrido, la velocidad y la aceleración en cada cada una de las etapas de este movimiento:
En este ejercicio hay que tener muy claro que en las gráficas espacio-tiempo, como esta, la velocidad viene indicada por la inclinación o pendiente de la línea en cada punto (cuanto más inclinada más velocidad), de manera que si la línea es una recta tiene pendiente constante y por lo tanto la velocidad también es constante, y no habrá aceleración. 2 Como en ninguna de las etapas las líneas son curvas sabemos la aceleración es a = 0 m/s en todas las etapas. Otra cosa es que la velocidad cambia entre una etapa y otra, lo que quiere decir que hay una aceleración puntual solo en ese instante, pero no en el resto de la etapa. En cada etapa el espacio recorrido (e) será la diferencia entre el espacio inicial y final, y la velocidad (v) la calcularemos con la ecuación de velocidad media. Tenemos 5 etapas:
I. II. III. IV.
( 10( 10 ( 0 100; ( 10( 10 ( 10 00; ( 4 ( 10 (6(6; ( 15( 15 ( 4 111;
- 1/. &- 0/. - (3/. - 2,75/.
________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________ ___________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail:
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V.
( 0 ( 15 (15 (15; &- (1,875/.
7. Calcula la aceleración y la fuerza en cada etapa del siguiente siguiente recorrido de un cuerpo de 3 kg de masa.
En estos gráficos velocidad-tiempo, hay que tener en cuenta que la inclinación o pendiente de la línea indica la aceleración del móvil. Así, si la línea es una recta indica que la pendiente es constante y por lo tanto también lo es la aceleración (no confundir con los gráficos espacio-tiempo). Calcularemos la aceleración con la ecuación del cambio de velocidades, y la fuerza con la ecuación de Newton que relaciona fuerza, masa y aceleración. Volvemos a tener 5 etapas:
I.
II.
III.
IV.
V.
&)+ &/- 1,25 ⁄. ; 3 ;1,2)5 5 ⁄. 3,757- 5 3,75 ; ⁄ . 3 ;10)&⁄).+'&30-/- ⁄.10 30⁄.;; 3 ;; 0 0 )⁄&.)+0'&'-/-⁄. 0 00⁄.; ; )& )+ &'- /- (2,86 ; ⁄ 3 ;:(2, 6 . (8,8 (8,8 ; ⁄ ⁄ :(2 , 8 6 6 . 8 . )& )+ &- /- 0 ; ⁄ 3 ;0 0 . 0 ⁄. 0 ⁄. 0 ; 2
* Hemos incluido el cambio de unidades de Kg·m/s a Newton para que veáis como coinciden estas unidades. Se puede poner directamente N sin problemas.
8. ¿Cuál de las siguientes curvas en la gráfica espacio-tiempo describe mejor los siguientes movimientos? (pueden ser varias) -
Aceleración positiva Velocidad positiva constante En reposo
-
Con aceleración negativa
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Franciscanos T.O.R. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Cód. 28013607 En estos gráficos espacio-tiempo hay que tener muy claro que la pendiente de la gráfica es la velocidad, de manera que si la gráfica es una recta (pendiente constante) será que no hay aceleración, ya sea hacia creciente (velocidad positiva), decreciente (velocidad negativa) u horizontal (velocidad 0), mientras que si la gráfica es una curva es que hay una aceleración. Estudiamos cada una de las gráficas: a) Con aceleración negativa, porque la pendiente de la gráfica (velocidad) es cada vez menor, de manera que se está dando una aceleración que disminuye la velocidad. b) Velocidad positiva constante, porque la gráfica es una recta con pendiente (velocidad) constante y de sentido ascendente (positivo). c) Aceleración positiva, porque es una curva donde la pendiente (velocidad) cada vez es mayor, está ganando velocidad y por lo tanto la aceleración es positiva. d) Con aceleración negativa, porque la curva va haciéndose horizontal, perdiendo pendiente (velocidad). e) En reposo, ya que es una recta con pendiente (velocidad) 0.
9. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba a una velocidad inicial de 40 m/s. Cuando un objeto se lanza hacia arriba va perdiendo velocidad hasta detenerse (v f = 0 m/s), y a continuación volver a caer, porque se ve afectado por una fuerza que le provoca una aceleración en sentido contrario al movimiento de subida. Esta fuerza es el peso (por la interacción de la gravedad) y la aceleración que provoca 2 en la superficie de la Tierra siempre es g = 9,8 m/s . En este caso ponemos la aceleración g con valor negativo porque va en sentido contrario al movimiento (si no nos saldría un tiempo negativo, lo que no tiene sentido). Con estos datos podemos utilizar la ecuación de la diferencia de velocidades para despejar y calcular el tiempo:
;; ; )&< )+ &&!,⁄-/-% &!,&⁄/--% 4,1.;
10. Calcula la aceleración (en m/s2) de un objeto que pasa de 20 km/h a 15 km/h en 10 segundos. La mayor dificultad de este problema es que las unidades de medida de todos los datos no son iguales. Ya 2 que el resultado se pide en m/s , y el tiempo viene en segundos, pasaremos ambas velocidades de km/h a m/s:
- 5,6 ⁄.; 20 20 ' ' 15 15 ' - '- 4,2 ⁄.;
; )& )+ ,&,-/- &,- /- (0,14 4 ⁄. ;
Ya podemos despejar y calcular la aceleración con la ecuación de la diferencia de velocidades:
* Observar que me habría ahorrado trabajo si en lugar de pasar ambas velocidades de km/h a m/s hubiese pasado únicamente la resta (-5 km/h), sabiendo que después tenía que restarlas. ** Explicación breve de cómo se hacen los cambios de unidades: Si quiero cambiar una unidad que está multiplicando (arriba, por ejemplo los kilómetros) multiplico todo por una fracción con el numerador y denominador igual, pero con diferentes unidades (¿no es lo mismo 1000 m que 1 km?), y con la que quiero quitar dividiendo (abajo). Y lo contrario si la unidad que quiero cambiar está dividiendo (por ejemplo las horas), multiplicándolo por su fracción (1 h son 60 minutos, que son 3600 segundos). Así, en el ejemplo los kilómetros arriba se van con los kilómetros abajo y las horas abajo se van con las horas de arriba.
11. ¿Cuánto tiempo tarda en frenarse completamente un coche que circula a 80 km/h y sufre una aceleración de -25 m/s2? ¿Qué fuerza habrán hecho los frenos si el coche pesa 1500 kg? De nuevo tenemos magnitudes con diferentes unidades de medida. Elijo pasar la velocidad de km/h a m/s (en lugar de cambiar la aceleración) porque es más sencillo operar (la aceleración tiene los segundos elevados al cuadrado) y además así todas las unidades quedarán en el S.I.
80 80 ' - '- 22,2 ⁄.;
; )&= )+ &&,⁄-/-% &&,⁄/--% 0,9.;
Utilizo la ecuación de cambio de velocidades para obtener el tiempo transcurrido hasta v f = 0 m/s:
________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________ ___________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail:
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12. Calcula la velocidad final de un cuerpo de 10 kg que parte del reposo y se acelera durante 8 segundos con una fuerza de 20 N. Para saber la velocidad final necesitamos la aceleración del objeto, que no nos dan como dato en el problema, pero la podemos calcular utilizando la ecuación de Newton que relaciona fuerza, masa y aceleración:
; > ?< 2
Con el valor de la aceleración y los datos de v0 = 0 m/s y t = 8 s, podemos calcular ya la velocidad final con la ecuación de cambio de velocidades: 2
* Hemos incluido el cambio de unidades de Newton a Kg·m/s para que veáis que las unidades coinciden. Se 2 puede poner directamente m/s sin problemas.
13. Calcula el peso de un objeto en la Luna, sabiendo que en la Tierra pesa 50 N, y que la aceleración de la gravedad en la Luna es 1,62 m/s 2. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad de un planeta donde ese mismo objeto pesa 70 N. Para la primera pregunta, primero calcularé la masa de ese objeto (sabiendo su peso en la Tierra y la aceleración de la gravedad en la Tierra) y luego calcularé su peso en la Luna:
@A"BB= ; CDEFGGH< !,?/-% 5,1; @IJ#= IJ#= 5,1 1, 1,62 -% 8,3; ? @KL=#= KL=#=; KL=#= CMNHOFPH ,< 13,7/.;
En la segunda pregunta, podemos despejar la aceleración de la misma ecuación para el nuevo planeta:
14. Normalmente tardo 10 minutos en ir de casa al colegio, a 5 km de distancia. Un día salimos de casa 15 minutos antes de que empiecen las clases, pero un pequeño atasco hace que en los 2 primeros kilómetros mi velocidad sea de 20 km/h, aunque después puedo ir a la velocidad habitual el resto del recorrido. ¿Llegaré a tiempo a clase? Este es un problema algo más completo, que necesita pensar un planteamiento para resolverlo: Como me piden si llegaré a tiempo, lo que en realidad necesito saber es el tiempo que voy a tardar en el trayecto, y para eso debo conocer el tiempo que gasto en cada una de las dos etapas (el atasco y después). En el atasco conozco la velocidad y el espacio, así que puedo calcular el tiempo con la ecuación de la velocidad media para ese recorrido. Pero antes tenemos que cambiar de unidades, y elijo pasar a Km/min que aunque es una unidad rara me servirá mejor después (si habéis utilizado Km/h o m/s también estará bien, pero habrá que volver a cambiar de unidad después):
20 20 "# "# 0,3 ⁄QR;
; )* ,'/"# 6mi 6 min;
En la etapa de recorrido después del atasco conozco el espacio (si el atasco ha durado 2 km y la distancia total son 5 km, quedarán 3 km por recorrer) y también la velocidad, porque el problema nos dice que voy a la velocidad normal, y otros días hago los 5 km en 10 minutos. Así que primero calculamos esa velocidad de un día normal y después calculamos cuanto habré tardado así en recorrer solo 3 km:
"# 0,5'/Q R ; 6mi ; )* ,/"# 6 min;
Así que habré tardado 6 minutos en cada etapa del trayecto, lo que suman 12 minutos, de manera que aún con atasco habré llegado a tiempo.
15. Un guepardo puede acelerar de 0 a 96 km/h en 2 segundos, mientras que una moto requiere 4,5 s. Calcula las aceleraciones del guepardo y de la moto, y compáralas con la aceleración de la gravedad. Primero paso a m/s la velocidad final, y luego calculo las aceleraciones con la ecuación de cambio de la velocidad: ________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________ ___________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail:
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26,7 ⁄.; 96 96 ' - )! ' &)+ ,&-/- 13,3 ; ⁄ V V 0 ;
Para comparar con la aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s ) lo mejor es dividir cada aceleración entre la de la gravedad, y así nos da el número de veces que es mayor:
;
Lo que quiere decir que el guepardo consigue una aceleración 1,36 veces mayor que la de la gravedad, mientras que la moto solo 0,6 veces mayor (o sea que acelera menos que un objeto al caer).
16. Un coche se mueve a 45 km/h en el instante inicial, después acelera de forma constante a razón de 10 km/h cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá cuando hayan pasado 2 s? ¿En qué momento el coche irá a 70 km/h? Que el coche acelere a 10 km/h cada segundo significa que nos están dando el valor de su aceleración en una unidad que sería km/(h·s), lo que aunque parece una unidad muy rara nos viene muy bien para el ejercicio porque así no es necesario cambiar las unidades, ya que el tiempo transcurrido también nos lo dan en segundos. Para responder a la primera pregunta puedo utilizar directamente la ecuación de cambio de velocidades:
45 10 - 2. 4545 20 65⁄ ; ]*]^* ) & ) & / + ; = ]*]^*_ ]*]^*_ 2,5.; Para la segunda pregunta tendré que despejar el tiempo de la misma ecuación:
17. Calcula la altura máxima que alcanza un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo a 35 m/s. En este tipo de ejercicios hay que tener en cuenta que la energía mecánica del objeto se conserva a lo largo del recorrido (ya que suponemos que no hay rozamiento con el aire). Por lo tanto la energía mecánica (suma de la cinética y potencial) inicial es igual que la final. Al principio no tiene energía potencial porque está a altura 0, mientras que al final no tiene energía cinética porque se detiene en el instante j usto antes de empezar a caer.
` `; `a `K `a `K; ; )+<% :'!,⁄-/-%% !,%/-/-%% 62,5;
Con este planteamiento puedo calcular la altura a la que llega cualquier objeto lanzado hacia arriba sabiendo la velocidad que tenía inicialmente, solo igualando las energías al principio y al final:
18. Calcula con qué velocidad chocará contra el suelo, y cuánto tardará en caer, un objeto de 5 kg que se suelta a 3 m del suelo. ¿Y si pesa 10 kg? Este ejercicio es similar al anterior, aunque ahora el objeto empieza el movimiento con energía potencial (por los 3 m de altura) y acaba solo con energía cinética. La conservación de la energía mecánica nos permite calcular la velocidad final:
` `; `a `K `a `K ; ; 2 ;; b 2 b2 9,8 ⁄. 3 b58, b58,88 ⁄. 7,7/.;
Para saber cuánto tiempo tardará en caer podemos utilizar la ecuación de cambio de la velocidad, ya que sabemos que la aceleración es la de la gravedad:
; )&= )+ ,!,&⁄-/-% 0,78.;
En cuanto a la pregunta de si pesara 10 kg, fijaros que la masa no interviene en el cálculo, ya que la elimino de la ecuación de conservación de la energía al encontrarse tanto a la derecha como a la izquierda, de manera que el objeto llegará a la misma velocidad y tardará el mismo tiempo sea cual sea su masa. ________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________ ___________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail:
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19. Un jarrón de 2 kg se cae desde una repisa a 1,8 m por encima del suelo. Calcula la energía inicial y final del objeto, así como la velocidad del jarrón justo antes de chocar con el suelo. Al principio de su recorrido, el jarrón no tendrá velocidad, de manera que solamente cuenta con energía potencial:
` `a `K 2 9,8 ⁄. 1,8 35,2828 <-% % 35,28c;
Debido a que la energía se conserva (ya que no tenemos en cuenta el rozamiento con el aire), la energía total al final es igual que la que tenía al principio, así que E f = 35,68 J. Al final sabemos que habrá transformado toda la energía potencial en cinética, de manera que podemos calcular la velocidad final sabiendo la energía final:
]Y]Y_%*% ' , d e f ` `a `K ; ; < 5,9/.;
20. Un saltador de puenting se lanza con una cuerda de 50 m de largo. Calcular la velocidad cuando llegue abajo. Este ejercicio se puede plantear de manera parecida a los anteriores, igualando la energía mecánica inicial (solo potencial) con la final (solo cinética):
` `; `a `K `a `K ; ⁄ ; ⁄ 2 ;; b 2 b2 9,8 . 5050 b9 b9880 . 31,3/.;
21. Calcula el cambio en la energía potencial de una persona de 75 kg que sube en ascensor hasta el último piso del Empire State (102 pisos, unos 3 m cada piso) y la fuerza que realiza el ascensor sobre la persona. La energía potencial habrá aumentado debido al aumento de altura:
`K 7575 9,8 ⁄. :10:1022gQ.h. Q.h. 3 ⁄gQ.h.h 224910 <-%% 24910c;
Para calcular la fuerza que realiza el ascensor sobre la persona, podemos tener en cuenta que el ascensor sube a velocidad constante, de manera que la aceleración es nula, y esto indica que la fuerza neta que afecta a la persona es también nula. Por lo tanto el ascensor hace una fuerza que contrarresta al peso de la persona, de manera que la fuerza será igual que el peso pero de sentido contrario: ; También podríamos haberlo razonado de otra manera: el cambio en la energía potencial de la persona se debe a un trabajo mecánico (energía aportada mediante una fuerza que produce un desplazamiento), de manera que puedo usar la ecuación del trabajo mecánico para calcular la fuerza que lo produjo:
@ 7575 9,8 ⁄. 753
j; kW dWM K"-X-!'l⁄K"-X 753
22. Una vagoneta de una montaña rusa se suelta desde 30 m de altura (h) sobre el punto más bajo del recorrido. Calcula la velocidad en el punto más bajo y también en lo alto de un looping de 10 m de radio (r).
La velocidad en el punto más bajo se puede calcular como si fuese una caída libre, igualando la energía inicial y final:
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`2 `; `a `K `a `K ; 2 ; 2 2 V V 22 ;; V V b 2 2 b 2 9,8⁄. 3030 b 588 588 ⁄. 24,2/.; `) % `; `a `K `a `K ; ; ( ; 2 ( ; o 2 ( b 2 9,8 ⁄. :30:30 ( 20 b196 b196 ⁄. 14/.;
E el punto más alto del giro será igual, solo que en ese punto la energía mecánica está formada tanto por cinética como por potencial (la altura será el diámetro del looping, que es el doble del radio):
;
23. Desde la ventana de un 2º piso, a 10 m de altura sobre la calle, lanzo hacia arriba un balón de 4 kg a una velocidad de 5 m/s. Calcula a qué altura llegará, a qué velocidad volverá a pasar por la ventana y a qué velocidad chocará contra el suelo En cada uno de esos momentos se conservará la energía mecánica del balón, de manera que puedo calcular cada uno de los datos igualando las energías. Para calcular la altura máxima, sé que en ese momento tendrá velocidad 0 y por lo tanto solo tendrá energía potencial:
` `);+%`a `K :`a⁄-%`K; %⁄-% ;
< 10 !,/-% 1010 !,/-% 1010 1,3 11,3;
Al volver a pasar por el mismo punto (a la misma altura) tendrá la misma energía potencial, así que la energía cinética también será igual. Por lo tanto, la velocidad del balón cuando baja frente a la ventana desde la que se lanzó será igual que la inicial (5 m/s) y con la misma dirección (vertical) pero de sentido contrario (hacia abajo). Para calcular a qué velocidad choca contra el suelo volvemos a igualar las energías mecánicas inicial y final pero ahora con energía potencial final nula (ya que la altura final es 0):
` `; `a `K `a `K; ; 2 2 ; b 2 2 o :5 :5⁄. 2:9, 8 -%:10; b25⁄. 196⁄. b221 b221⁄. 14,9 m/s;
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