Problemas de Flexion

CAPÍTULO 6

272

FLEXIÓN

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

1

F6-1.

2

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo.

F6-4.

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, donde 0 6 x 6 1.5 m y 1.5 m 6 x 6 3 m, y luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo.

9 kN 9 kN

3

4 kN m �

x x

3m

4

1.5 m

1.5 m

F6-1 F6-4

5

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-2.

F6-5.

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada.

6

2 kip/ pie pie 30 kN·m

18 kip·pie B

A

7

x

x

9 pies

6m

F6-2

F6-5 8

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-3.

9

Exprese las funciones de fuerza cortante y de momento en términos de x, y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. F6-6.

12 kN/ m 50 kN m

20 kN m

�

�

10 A

B

x

x

6m

11

3m

F6-3

F6-6

6.2

CORTANTE Y Y DE DE MOMENTO MÉTODO GRÁFICO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. F6-7.

273

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con doble voladizo. F6-11.

4 kN/ m

24 kN m

1

4 kN/ m

�

A

4m

2

B

C

A

2m

B

1.5 m

1.5 m

3m

F6-7 F6-11 3

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-8.

F6-12.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. 4 10 kN/ m

10 kN/ m

6 kN

12 kN m

A

�

B C

B

A

C

1.5 m

5 3m

3m 1.5 m

F6-12

F6-8 6



600 lb

200 lb/ pie pie 6 kN m

7

18 kN m

�

�

A

C

3m

1.5 m

6 pies

1.5 m

B

D

8

3 pies

3 pies F6-13

F6-9

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo. F6-14.


9

20 kN 20 kN/ m

6 kN / m

10 A C

B

A

B

C

3m

3m

2m

4m

11

F6-10

F6-14

6.2

CORTANTE Y Y DE DE MOMENTO MÉTODO GRÁFICO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE


273


4 kN/ m

24 kN m

1

4 kN/ m

�

A

4m

2

B

C

A

2m

B

1.5 m

1.5 m

3m

F6-7 F6-11 3

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. F6-8.

F6-12.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. 4 10 kN/ m

10 kN/ m

6 kN

12 kN m

A

�

B C

B

A

C

1.5 m

5 3m

3m 1.5 m

F6-12

F6-8 6



600 lb

200 lb/ pie pie 6 kN m

7

18 kN m

�

�

A

C

3m

1.5 m

6 pies

1.5 m

B

D

8

3 pies

3 pies F6-13

F6-9

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo. F6-14.


9

20 kN 20 kN/ m

6 kN / m

10 A C

B

A

B

C

3m

3m

2m

4m

11

F6-10

F6-14

CAPÍTULO 6

274

FLEXIÓN

PROBLEMAS

1

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momenmomento para el eje. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. 6-1.

2

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga en voladizo. *6-4.

2 kN/ m

B

A

A

3

6 kN m �

2m

Prob. 6-4

800 mm

250 mm

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. 6-5.

4

24 kN 10 kN

Prob. 6-1

8 kN

5

15 kNm

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momenmomento para la viga simplemente apoyada. 6-2.

2m 6

3m Prob. 6-5

4 kN

M

2 kN m

�



A

7

B

2m

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo. 6-6.

2m

2m

8 kN/ m

Prob. 6-2 C

A B

8

Una grúa se usa para sostener el motor que tiene un peso de 1200 lb. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del aguilón ABC cuando cuando se encuentra en la posición horizontal mostrada. 6-3.

2m

4m

Prob. 6-6

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta que está conectada mediante un pasador en B. 6-7.

9

A

3 pies

5 pies B

10

C

6 kip

8 kip

4 pies A C B

4 pies

11

Prob. 6-3

6 pies

4 pies

Prob. 6-7

4 pies

6.2

MÉTODO GRÁFICO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga simplemente apoyada. *6-8.

150 lb/ pie

275

La viga con voladizo se fabricó incluyendo en ella un brazo proyectado BD. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga ABC si soporta una carga de 800 lb. Sugerencia: La carga en el puntal de apoyo DE debe remplazarse por cargas equivalentes en el punto B sobre el eje de la viga. 6-11.

1

2

300 lb pie �

E

A

B

800 lb

12 pies

5 pies

D

3

Prob. 6-8

2 pies

B A

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Sugerencia: La carga de 20 kip debe remplazarse por cargas equivalentes en el punto C sobre el eje de la viga.

6 pies

6-9.

15 kip 20 kip 1 pie

4

Un muelle de concreto reforzado se utiliza para sostener los largueros de la calzada de un puente. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el muelle cuando se somete a las cargas indicadas. Suponga que las columnas A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el muelle. *6-12.

60 kN B

4 pies

4 pies

4 pies Prob. 6-11

A C

C

1m

35 kN 35 kN 35 kN 1 m 1.5 m 1.5 m 1 m

5

60 kN 1m

6

4 pies

Prob. 6-9 A

B

Los elementos ABC y BD de la silla mostrada están rígidamente conectados en B y el collarín liso en D puede moverse con libertad a lo largo de la ranura vertical. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el elemento ABC . 6-10.

7

Prob. 6-12

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta. Ésta se sostiene mediante una placa lisa en A la cual se desliza dentro de la ranura por lo que no puede soportar una fuerza vertical, aunque sí puede hacerlo con un momento y una carga axial. 6-13.

8

9

P

�

P

150 lb

P

10

C A

A

B

D

B C

1.5 pies 1.5 pies

1.5 pies

D a

Prob. 6-10

a

a

Prob. 6-13

a

11

CAPÍTULO 6

276

FLEXIÓN

El robot industrial se mantiene en la posición estacionaria que se muestra en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento del brazo de ABC si éste se encuentra conectado mediante un pasador en A y unido al cilindro hidráulico BD (elemento de dos fuerzas). Suponga que el brazo y la empuñadura tienen un peso uniforme de 1.5 lb>pulg, y soportan una carga de 40 lb en C . 6-14.

1

2

4 pulg

50 pulg

10 pulg

A

Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga en voladizo. 6-17.

•

300 lb

200 lb/ pie

A

C

B

6 pies Prob. 6-17

3

120

Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga; asimismo determine la fuerza cortante y el momento a lo largo de la viga como funciones de x. 6-18.

D 4

2 kip/ pie

10 kip

8 kip 40 kip pie �

Prob. 6-14 5

6

Considere el problema general de la viga sometida a n cargas concentradas. Escriba un programa de computadora que pueda utilizarse para determinar la fuerza cortante y el momento internos en cualquier ubicación x dada a lo largo de la viga; asimismo grafique los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Muestre una aplicación del programa usando los valores de P 1 500 lb, d1 5 pies, P 2 800 lb, d2 15 pies, L1 10 pies, L 15 pies. 6-15.

=

=

=

=

=

=

P1

P2

x

6 pies

4 pies Prob. 6-18


Pn

2 kip/ pie 7

30 kip pie �

B

A

d1 d2

8

5 pies

5 pies

dn

5 pies

Prob. 6-19

L1 L


Prob. 6-15 9

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el eje y determine la fuerza cortante y el momento en todo el eje como una función de x. Los cojinetes en A y B sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. *6-16.

10 kN 10 kN/ m

500 lb 800 lb

10 A

x

11

A

B

3 pies

2 pies Prob. 6-16

0.5 pie

0.5 pie

B

3m

3m

Prob. 6-20

6.2


La viga está sometida a la carga uniformemente distribuida que se muestra en la figura. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. •6-21.

277

Determine la distancia a en la que debe colocarse un soporte de rodillo de modo que el valor absoluto más grande del momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para esta condición. *6-24.

2 kN/ m

w

A

B

A

1

2

B

a

1.5 m

3

L

Prob. 6-24

C

2m

1m

La viga está sometida al momento uniformemente distribuido m (momento>longitud). Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. 6-25.

4

Prob. 6-21 m

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo. 6-22.

5

A L

Prob. 6-25 6 4 kN/ m

Considere el problema general de una viga en voladizo sometida a n cargas concentradas y una carga distribuida constante w. Escriba un programa de computadora que pueda utilizarse para determinar la fuerza cortante y el momento en cualquier ubicación dada x a lo largo de la viga. Además, grafique los diagramas de fuerza cortante y momento para la viga. Muestre una aplicación del programa usando los valores de P 1 4 kN, d1 2 m, w 800 N>m, a1 2 m, a2 4 m, L 4 m. 6-26.

A B

3m

3m

Prob. 6-22

=

=

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Ésta se sostiene mediante una placa lisa en A que se desliza dentro de una ranura por lo que no puede soportar una fuerza vertical, pero sí puede hacerlo con un momento y una carga axial.

=

=

7

=

=

8

6-23.

a2 a1

9 P1

P2

Pn

w

w

10

d1 B

A

d2 dn L

L

Prob. 6-23

11

Prob. 6-26

CAPÍTULO 6

278

FLEXIÓN


1

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga; asimismo determine la fuerza cortante y el momento en la viga como funciones de x. 6-31.

w0

w0

2

B

3

B x

A

L 3

A L

Prob. 6-27

– 2

Prob. 6-31

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. *6-28.

4

L

– 2

2L 3

w0 5

El pasador liso se sostiene mediante dos silletas A y B, y está sometido a una carga de compresión de 0.4 kN>m causada por la barra C . Determine la intensidad de la carga distribuida w0 en las silletas sobre el pasador y dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el pasador. *6-32.

B

A L –

L –

3

L –

3

3

0.4 kN/ m

C

Prob. 6-28

6

A


•

B

w0

w0

20 mm 60 mm 20 mm

7

Prob. 6-32

5 kN/ m

5 kN/ m

Un esquí soporta el peso de 180 libras de un hombre. Si la carga de la nieve en su superficie inferior es trapezoidal como se muestra en la figura, determine la intensidad w, después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el esquí. 6-33.

•

8

B

A

4.5 m

4.5 m Prob. 6-29

9

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta.

180 lb

6-30.

10

150 lb/ pie

3 pies

150 lb/ pie

A

C

B

w

11

6 pies Prob. 6-30

3 pies

1.5 pies

w

3 pies Prob. 6-33

1.5 pies

6.2


Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta. 6-34.

5 kN

279

En la figura se muestra la carga por el peso muerto a lo largo del ala de avión. Si el ala se encuentra fija al fuselaje en A, determine las reacciones en A y después dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para el ala. 6-38.

1

3 kN/ m

A B

3m

3m

250 lb/ pie

D

C

1.5 m

3000 lb

400 lb/ pie

2

1.5 m

Prob. 6-34

A

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga y determine la fuerza cortante y el momento en función de x.

3

6-35.

8 pies

3 pies

2 pies

4

15 000 lb 400 N/ m

Prob. 6-38

200 N/ m

5 A

La viga compuesta consiste en dos segmentos que están conectados entre sí mediante un pasador en B. Dibu je los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga si ésta soporta la carga distribuida que se muestra en la figura.

B

6-39.

x 3m

3m

Prob. 6-35

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga con voladizo.

6

*6-36.

w

7 18 kN 6 kN

C

A

B

A B

2m

2m

2/ 3 L M

10 kN m

�



1/ 3 L

8

Prob. 6-39

2m

Prob. 6-36



50 kN/ m

50 kN/ m

9

10 kN

10 kN

10 15 kN m �

B

A

B

A

4.5 m

4.5 m

Prob. 6-37

2m

2m

Prob. 6-40

2m

11

CAPÍTULO 6

280

FLEXIÓN

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta. Los tres segmentos están conectados mediante pasadores en B y E.

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga.

6-41. 1

*6-44.

w

2

3 kN

3 kN

0.8 kN/ m B

8 kip/ pie w

E

�

1 2 x 8

F

A C

3

2m

x

D

2m

1m 1m

1m 1m

B

A

2m

8 pies

Prob. 6-41 Prob. 6-44 4

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga compuesta. 6-42.


•

5

w

5 kN/ m w A

6

B

2m

C

1m

w0 2 x L2

w0

D

1m A

x

B

Prob. 6-42

L 7

Prob. 6-45

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga. Los dos segmentos están unidos en B. 6-43.

8

8 kip

9

3 kip/ pie

A

10

11

w

C B

3 pies


5 pies Prob. 6-43

8 pies

w0

w  w0

A

p

–x sen L

B L

L

– 2

– 2

Prob. 6-46

x

6.4

LA FÓRMULA DE LA FLEXIÓN

293

PROBLEMAS P R O B L E M AFUNDAMENTALES S

Si la viga está sometida a un momento flexionante de M = 20 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. F6-15.

∙

1

Si la viga está sometida a un momento flexionante de M = 10 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. F6-18.

∙

2

300 mm 200 mm

20 mm

3 200 mm 30 mm

20 mm

50 mm

30 mm 30 mm

20 mm

M

4 150 mm

F6-15

Si la viga está sometida a un momento flexionante de M = 50 kN m, dibuje la distribución del esfuerzo flexionante sobre la sección transversal de la viga. F6-16.

M

150 mm

∙

50 mm

5 30 mm

300 mm

F6-18 6

M

150 mm

Si la viga está sometida a un momento flexionante de M = 5 kN m, determine el esfuerzo flexionante desarrollado en el punto A. F6-19.

∙

150 mm

7

F6-16

Si la viga está sometida a un momento flexionante de M = 50 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

8

F6-17.

50 mm

∙

50 mm

200 mm 150 mm

9

20 mm 300 mm

25 mm

M

25 mm

M

150 mm

10

20 mm 20 mm 50 mm A

11

F6-17

F6-19

294

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

PROBLEMAS

1

Un elemento que tiene las dimensiones mostradas en la figura se usa para resistir un momento flexionante interno de M = 90 kN m. Determine el esfuerzo máximo en el elemento si el momento se aplica (a) alrededor del eje z (como en la figura), ( b) alrededor del eje y. Dibuje la distribución de esfuerzos para cada caso. 6-47.

2

∙

El perfil en canal mostrado se usa como riel de guía para una carrucha. Si el momento máximo en el perfil es M = 30 N m, determine el esfuerzo flexionante en los puntos A, B y C . 6-51. El perfil en canal mostrado se usa como riel de guía para una carrucha. Si el esfuerzo flexionante permisible para el material es perm = 175 MPa, determine el momento flexionante máximo que resistirá el perfil. 6-50.

∙

s

3

50 mm C

5 mm 4

5 mm

200 mm

B

y

30 mm

150 mm M

5

5 mm

A z

5 mm 5 mm 7 mm 10 mm 7 mm

x

Prob. 6-47 6

Probs. 6-50/51

Determine el momento M que producirá un esfuerzo máximo de 10 ksi en la sección transversal. •6-49. Determine los esfuerzos flexionantes máximos de compresión y de tensión en la viga si ésta se somete a un momento de M = 4 kip pie. *6-48.

7

∙

8

La viga está sometida a un momento M. Determine el porcentaje de este momento que es resistido por los esfuerzos que actúan sobre las tablas superior e inferior, A y B, de la viga. •6-53. Determine el momento M que debe aplicarse a la viga a fin de crear un esfuerzo de compresión en el punto D de D = 30 MPa. Además, dibuje la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal y calcule el esfuerzo máximo desarrollado en la viga. *6-52.

s

9

0.5 pulg 0.5 pulg

A

3 pulg

0.5 pulg

C

25 mm

3 pulg 10

A

B

M

M

D

10 pulg 150 mm B

D 11

0.5 pulg Probs. 6-48/49

25 mm 25 mm

150 mm

Probs. 6-52/53

25 mm

6.4

La viga está fabricada con tres tablones clavados entre sí, como se muestra en la figura. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 600 N m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. Dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. 6-55. La viga está fabricada con tres tablones clavados entre sí, como se muestra en la figura. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 600 N m, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante en el tablón superior. 6-54.

∙


295

Si la viga está sometida a un momento interno M = 100 kip pie, determine el esfuerzo flexionante máximo de tensión y de compresión en la viga. 6-59. Si la viga está fabricada de un material con un esfuerzo permisible de tensión y de compresión, ( perm)t = 24 ksi y ( perm)c = 22 ksi, respectivamente, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga. 6-58.

∙

1

s

s

2

∙

3 pulg

3

3 pulg

25 mm

6 pulg M

4

150 mm

2 pulg

20 mm 200 mm

M

1.5 pulg

600 N m





5

Probs. 6-58/59

20 mm Probs. 6-54/55

La viga está construida a partir de cuatro tablones como se muestra en la figura. Si se somete a un momento de M z = 16 kip pie, determine el esfuerzo en los puntos A y B. Dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo. •6-61. La viga está construida a partir de cuatro tablones como se muestra en la figura. Si se somete a un momento de M z = 16 kip pie, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo sobre el tablón superior C . *6-60.

El puntal de aluminio tiene una sección transversal en forma de cruz. Si se somete al momento M = 8 kN m, determine el esfuerzo flexionante que actúa en los puntos A y B, además muestre los resultados que actúan sobre los elementos de volumen ubicados en estos puntos. 6-57. El puntal de aluminio tiene una sección transversal en forma de cruz. Si se somete al momento M = 8 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga, asimismo dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre toda el área de la sección transversal. *6-56.

∙

•

6

∙

7

∙

∙

y

8

A

C

1 pulg 10 pulg A

9

1 pulg

100 mm 20 mm

10 pulg 100 mm

B

M

8 kN m

�



z

M z

16 kip pie





14 pulg 1 pulg

20 mm

10

B

x

50 mm 50 mm

Probs. 6-56/57

1 pulg Probs. 6-60/61

11

296

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

Una viga de caja está construida a partir de cuatro piezas de madera pegadas como se muestra en la figura. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es de 10 kN m, determine el esfuerzo en los puntos A y B, y muestre los resultados que actúan sobre los elementos de volumen ubicados en estos puntos. 6-62.

1

∙

2 160 mm

20 mm

20 mm

Si el momento que actúa sobre la sección transversal de la viga es M = 4 kip pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. Dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. 6-66. Si M = 4 kip pie, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante sobre el tablón superior A de la viga. 6-65.

•

∙

∙

25 mm A

3 250 mm

25 mm

4

M

12 pulg

10 kN m

�

12 pulg



Prob. 6-62 5

6

A

1.5 pulg

B

M

1.5 pulg

1.5 pulg

6-63. Determine

la dimensión a de una viga con sección transversal cuadrada en términos del radio r de una viga con sección transversal circular si ambas vigas están sometidas al mismo momento interno, el cual resulta en el mismo esfuerzo flexionante máximo.

Probs. 6-65/66

a

a r

7

Prob. 6-63 8

La barra se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B, las cuales sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Si d = 90 mm, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga, y dibuje la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. *6-68. La barra se sostiene mediante chumaceras lisas en A y B, las cuales sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. Determine su diámetro d más pequeño si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 180 MPa. 6-67.

La varilla de acero tiene un diámetro de 1 pulg y está sometida a un momento interno de M = 300 lb pie. Determine el esfuerzo creado en los puntos A y B. Además, dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. *6-64.

∙

s

9

A

12 kN/ m

B

10

M � 300

d

lbpie

45 A 11

0.5 pulg Prob. 6-64

B

3m Probs. 6-67/68

1.5 m

6.4

Se deben considerar dos diseños para una viga. Determine cuál soportará un momento de M = 150 kN m con el menor esfuerzo flexionante. ¿Cuál es ese esfuerzo?

*6-72.

∙

1

s

200 mm

•

30 mm

15 mm

300 mm 30 mm

297

La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Determine la mayor intensidad de la carga distribuida w0 que puede soportar la viga de modo que el esfuerzo flexionante máximo no sea superior a máx = 22 ksi. 6-73. La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si w0 = 0.5 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga.

6-69.

•

200 mm


2

w0

300 mm 15 mm

3

15 mm (a)

30 mm (b)

12 pies

12 pies

Prob. 6-69

8 pulg

La armadura simplemente apoyada está sometida a una carga distribuida central. No tome en cuenta el efecto de los elementos en diagonal y determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la armadura. El elemento superior es un tubo con un diámetro exterior de 1 pulg y grosor de 3 16 de pulg; el elemento inferior es una barra sólida con un diámetro de 1¬2 pulg. 6-70.

6 pies

0.30 pulg Probs. 6-72/73

5

La lancha tiene un peso de 2300 lb y un centro de gravedad en G. Si descansa sobre el remolque en el contacto liso A y puede considerarse articulada en B, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el puntal principal del remolque. Considere que el puntal es una viga de caja, que tiene las dimensiones indicadas y se encuentra articulada en C . 6-74.

5.75 pulg

6 pies

0.30 pulg 10 pulg

0.3 pulg

¬

100 lb/ pie

4

B

6 pies

G

Prob. 6-70

6

7

1 pie

C

A D

El eje del carro de ferrocarril está sometido a cargas sobre las ruedas de 20 kip. Si se sostiene mediante dos chumaceras en C y D, determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en el centro del eje, cuando el diámetro es de 5.5 pulg.

3 pies

6-71.

5 pies

4 pies

1.75 pulg

1 pie

8

1.75 pulg

3 pulg 1.5 pulg

Prob. 6-74

El eje se sostiene mediante un cojinete de empuje liso en A y una chumacera lisa en D. Si el eje tiene la sección transversal mostrada en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en el eje.

9

6-75.

C

A

B

D

10 40 mm A

60 pulg 10 pulg 20 kip

10 pulg 20 kip

Prob. 6-71

B

0.75 m

C

1.5 m 3 kN

D

25 mm

0.75 m

11

3 kN

Prob. 6-75

298

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

Determine el momento M que debe aplicarse a la viga con el fin de crear un esfuerzo máximo de 80 MPa. Además dibuje la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. *6-76.

1

2

300 mm

Si la reacción del terreno sobre el durmiente de una vía puede suponerse uniformemente distribuida en toda su longitud como se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en el durmiente. Éste tiene una sección transversal rectangular con grosor t = 6 pulg. 6-82. La reacción del terreno sobre el durmiente de una vía puede suponerse uniformemente distribuida en toda su longitud como se muestra en la figura. Si la madera tiene un esfuerzo flexionante permisible de perm = 1.5 ksi, determine el grosor mínimo requerido t del área de la sección transversal rectangular del durmiente con una precisión de 1¬8 de pulg. •6-81.

s

20 mm

3 M

15 kip

15 kip

260 mm 30 mm 20 mm

4

5 pies

1.5 pies

30 mm

1.5 pies

12 pulg

30 mm t

Prob. 6-76

w

5

La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Determine la mayor intensidad de la carga distribuida w que puede soportar la viga de modo que el esfuerzo flexionante no exceda máx = 22 ksi. 6-78. La viga de acero tiene la sección transversal mostrada. Si w = 5 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. 6-77.

•

s

6

Probs. 6-81/82

Determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en el eje tubular si di = 160 mm y do = 200 mm. *6-84. El eje tubular debe tener una sección transversal de tal manera que su diámetro interior y diámetro exterior estén relacionados por di = 0.8do. Determine estas dimensiones requeridas si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 155 MPa. 6-83.

s

w

w

7

15 kN/ m 60 kN m d i do 

8 pies

8

8 pies

8 pies 8 pulg 0.30 pulg 10 pulg 0.30 pulg

0.3 pulg 9

Probs. 6-77/78

A

B

3m

1m Probs. 6-83/84

La viga de madera tiene una sección transversal rectangular en la proporción mostrada. Determine su dimensión requerida b si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 10 MPa. 6-85.

s

10

11

Si la viga ACB del problema 6-9 tiene una sección transversal cuadrada, de 6 * 6 pulg, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. *6-80. Si el aguilón ABC de la grúa del problema 6-3 tiene una sección transversal rectangular con base de 2.5 pulg, determine su altura requerida h con una precisión de 1¬4 de pulg si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 24 ksi.

500 N/ m

6-79.

s

1.5b A

B b 2m

2m

Prob. 6-85

6.4

Determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto de un eje de 2 pulg de diámetro que se encuentra sometido a las fuerzas concentradas que se muestran en la figura. Las chumaceras en A y B sólo soportan fuerzas verticales. 6-87. Determine el diámetro más pequeño permisible para un eje que está sometido a las fuerzas concentradas que se muestran en la figura. Los cojinetes en A y B sólo soportan fuerzas verticales. El esfuerzo flexionante permisible es perm = 22 ksi. 6-86.

s


299

Determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en el eje de 80 mm de diámetro, el cual se encuentra sometido a las fuerzas concentradas, como se muestra en la figura. Las chumaceras en A y B sólo soportan fuerzas verticales. *6-92. Determine el menor diámetro permisible para el eje que está sometido a las fuerzas concentradas, como se muestra en la figura. Las chumaceras en A y B sólo soportan fuerzas verticales. El esfuerzo flexionante permisible es perm = 150 MPa. 6-91.

1

2

s

A

B

3

800 lb 0.4 m

0.5 m

600 lb

A

0.6 m

12 kN

Probs. 6-91/9

20 kN

El hombre tiene una masa de 78 kg y permanece inmóvil en el extremo del trampolín. Si éste tiene la sección transversal mostrada en la figura, determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en el trampolín. El módulo de elasticidad del material es E = 125 GPa. Suponga que A es un pasador y B es un rodillo.

4

6-93.

•

15 pulg

B

15 pulg 30 pulg

5

Probs. 6-86/87

6

Si la viga tiene una sección transversal cuadrada de 9 pulg por lado, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga.

30 mm

*6-88.

A

B

1.5 m

2.5 m

20 mm

C

10 mm 10 mm 10 mm

Las dos barras de acero sólido están unidas entre sí en toda su longitud y soportan la carga mostrada en la figura. Suponga que el soporte en A es un pasador y en B es un rodillo. Determine el diámetro requerido d para cada una de las barras si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 130 MPa. 6-95. Resuelva el problema 6-94 si las barras se rotan 90° de modo que ambas descansen sobre los soportes en A (pasador) y en B (rodillo). 6-94.

B A

7

Prob. 6-93

1200 lb

800 lb/ pie

350 mm

8

s

8 pies

8 pies Prob. 6-88

20 kN/ m

9

80 kN

10

Si la viga compuesta del problema 6-42 tiene una sección transversal cuadrada, determine su dimensión a si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 150 MPa. 6-90. Si la viga del problema 6-28 tiene una sección transversal rectangular con anchura b y altura h, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. 6-89.

•

A

s

2m

B

2m Probs. 6-94/95

11

CAPÍTULO 6

300

FLEXIÓN

La silla se sostiene mediante un brazo que está articulado de manera que gira alrededor del eje vertical en A. Si la carga en la silla es de 180 lb y el brazo es una sección de tubo hueco con las dimensiones mostradas en la figura, determine el esfuerzo flexionante máximo en la sección a-a. *6-96.

1

Si la viga tiene una sección cuadrada de 6 pulg en cada lado, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. 6-99.

180 lb

2

400 lb/ pie

1 pulg

3

a A

8 pulg

4

3 pulg

a

B

2.5 pulg

A

0.5 pulg

6 pies

6 pies Prob. 6-99

Prob. 6-96

Una parte del fémur puede modelarse como un tubo con un diámetro interno de 0.375 pulg y un diámetro exterior de 1.25 pulg. Determine la máxima fuerza estática elástica P que puede aplicarse a su centro. Suponga que el hueso se apoya en sus extremos sobre rodillos. El diagrama -P para la masa del hueso que se muestra en la figura, es el mismo en tensión y en compresión. 6-97.

•

5

s

6

(ksi)

P

s

La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Determine la mayor intensidad de la carga distribuida w0 que puede soportar la viga de manera que el esfuerzo flexionante máximo no sea superior a perm = 22 ksi. 6-101. La viga de acero tiene la sección transversal que se muestra en la figura. Si w0 = 2 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. *6-100.

s

2.30 7

1.25

•

4 pulg

P

0.02

0.05

4 pulg

(pulg/ pulg)

8

Prob. 6-97

Si la viga del problema 6-18 tiene una sección transversal rectangular con una anchura de 8 pulg y una altura de 16 pulg, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. 6-98.

9

w0

9 pies

10

16 pulg

9 pulg 0.25 pulg

11

8 pulg Prob. 6-98

9 pies

0.25 pulg 12 pulg 0.25 pulg Probs. 6-100/101

6.4

El bastidor o soporte principal en el chasis de un camión se somete a la carga uniforme distribuida mostrada. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B. 6-102.


301

Si el esfuerzo flexionante permisible en la viga de madera es perm = 150 psi, determine la dimensión requerida b en su sección transversal con una precisión de 1¬4 de pulg. Suponga que el soporte en A es un pasador y el soporte en B es un rodillo. 6-106. La viga de madera tiene una sección transversal rectangular con las proporciones mostradas. Si b = 7.5 pulg, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la viga. 6-105.

•

s

1

2

1.5 kip/ pie 400 lb/ pie

A

3

B

A

B

8 pies

12 pies

3 pies

3 pies

3 pies

F2

F1

4

0.75 pulg 6 pulg

2b b

12 pulg

0.5 pulg

Probs. 6-105/106

A

0.75 pulg

B

Prob. 6-102

Determine la mayor carga distribuida uniforme w que puede soportar la viga de manera que el esfuerzo flexionante no sea superior a perm = 5 MPa. *6-104. Si w = 10 kN>m, determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga. Dibuje la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. 6-103.

s

5

Una viga está fabricada de un material que tiene un módulo de elasticidad en compresión diferente al módulo dado para la tensión. Determine la ubicación c del eje neutro y deduzca una expresión para el esfuerzo de tensión máximo en la viga que tiene las dimensiones mostradas en la figura y que se encuentra sometida al momento flexionante M. *6-108. La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a un momento flexionante M. Si el material del que está hecha tiene un módulo de elasticidad diferente para la tensión y la compresión como se muestra en la figura, determine la ubicación c del eje neutro y el esfuerzo de compresión máximo en la viga. 6-107.

6

7

8

M h s

w

9 c

b

Et

10 P

0.5 m

1m

0.5 m Ec

75 mm

150 mm

Probs. 6-103/104

11

Probs. 6-107/108

6.5

FLEXIÓN ASIMÉTRICA

309

PROBLEMAS FUNDAMENTALES Determine el esfuerzo flexionante desarrollado en las esquinas A y B. ¿Cuál es la orientación del eje neutro? F6-20.

1

Determine el esfuerzo máximo en la sección transversal de la viga. F6-21.

2

z

B

z

D

50 kN m �

B

C

y 3

5

A

50 lbpie

30�

4 pulg

3

6 pulg

4

y A

100 mm

4

x 150 mm

F6-21

100 mm 150 mm

5

F6-20

PROBLEMAS 6

La viga está sometida a un momento flexionante de M = 20 kip pie dirigido como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en la viga y la orientación del eje neutro. 6-109.

•

∙

Determine la magnitud máxima del momento flexionante M que puede aplicarse a la viga de modo que el esfuerzo flexionante en el elemento no exceda 12 ksi. 6-110.

Si el momento interno resultante que actúa sobre la sección transversal del puntal de aluminio tiene una magnitud de M = 520 N m y está dirigido como se muestra en la figura, determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B. Para ello, también debe determinar la ubicación y del centroide C del área de la sección transversal del puntal. Además, especifique la orientación del eje neutro. 6-111.

∙

El momento interno resultante que actúa sobre la sección transversal del puntal de aluminio tiene una magnitud de M = 520 N m y está dirigido como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en el puntal. Para ello, debe terminarse la ubicación y del centroide C del área transversal. Además, especifique la orientación del eje neutro.

7

*6-112.

8

∙

y 8 pulg

B

14 pulg

y

C

M

�

45

5

16 pulg z

A

13

C 20 mm

20 mm

10 pulg



10

B

200 mm

D

A M

Probs. 6-109/110

– y

520 N m

�

12

20 mm

z

9

200 mm

200 mm

11

Probs. 6-111/112

CAPÍTULO 6

310

FLEXIÓN

Considere el caso general de una viga prismática sometida a las componentes del momento flexionante M y y Mz, como se muestra en la figura, cuando los ejes x, y, z pasan por el centroide de la sección transversal. Si el material es elástico lineal, el esfuerzo normal en la viga es una función lineal de la posición en la que s = a + by + cz. Usando las condiciones de equilibrio 0 = µ As dA, M y = µ Azs dA, M z = µ A- ys dA, determine las constantes a, b y c, y demuestre que el esfuerzo normal puede calcularse a partir de la ecuación s = [-(M z I y + M y I yz) y + (M z I y + M z I yz)z]> ( I y I z - Y yz2), donde los momentos y productos de inercia están definidos en el apéndice A. 6-113.

1

2

3

La viga de acero en voladizo con perfil en I de ala ancha está sometida a la fuerza concentrada P en uno de sus extremos. Determine la mayor magnitud de esta fuerza de modo que el esfuerzo flexionante desarrollado en A no supere sperm = 180 MPa. *6-116.

La viga de acero en voladizo con perfil en I de ala ancha está sometida a la fuerza concentrada de P = 600 N en uno de sus extremos. Determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en la sección A de la viga. 6-117.

•

200 mm 10 mm 10 mm

150 mm 10 mm

y z

A

y

4 M y

dA z s

2m

C

y Mz

5

x

x

z

30



P Prob. 6-113

6

7

8

Probs. 6-116/117

La viga en voladizo está hecha con una sección de Z que tiene el área transversal mostrada en la figura. Si soporta las dos cargas, determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la pared de la viga. Use el resultado del problema 6-113. 6-114.

La viga en voladizo está hecha con una sección de Z que tiene el área transversal mostrada en la figura. Si soporta las dos cargas, determine el esfuerzo flexionante en el punto B de la pared de la viga. Use el resultado del problema 6-113. 6-115.

Si la viga está sometida al momento interno de M = 1200 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo que actúa sobre la viga y la orientación del eje neutro. 6-118.

∙

Si la viga está fabricada de un material que tiene un esfuerzo permisible en tensión y en compresión de ( sperm)t = 125 MPa y ( sperm)c = 150 MPa, respectivamente, determine el momento interno M máximo permisible que puede aplicarse a la viga. 6-119.

y

150 mm

50 lb

150 mm

50 lb

M 300 mm

9

3 pies

30�

0.25 pulg 2 pulg

A

10

11

150 mm x

z

150 mm

B

2.25 pulg

2 pies

0.25 pulg 3 pulg

0.25 pulg Probs. 6-114/115

150 mm

Probs. 6-118/119

6.5

El eje está apoyado en dos chumaceras A y B que no ofrecen resistencia a las cargas axiales. Determine el diámetro d requerido del eje si el esfuerzo flexionante permisible para el material es sperm = 150 MPa. *6-120.

z

FLEXIÓN ASIMÉTRICA

311

*6-124. Utilizando las técnicas descritas en el apéndice A, ejemplo A.5 o A.6, se determinó que la sección en Z tiene momentos principales de inercia de I y = 0.060(10-3) m4 e I z = 0.471(10-3) m4, calculados sobre los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección se somete a un momento interno de M = 250 N m dirigido horizontalmente como se muestra en la figura, determine el esfuerzo producido en el punto B. Resuelva el problema empleando la ecuación 6-17.

1

∙

y

0.5 m

0.5 m

C

2

0.5 m 200 N

A

50 mm

0.5 m

200 N 300 N

D

y

B

300 N

3

A

E 200 mm

x 150 N

150 N

y

32.9

4

¿

200 mm

250 N�m

Prob. 6-120

50 mm

z

El eje de 30 mm de diámetro está sometido a las cargas vertical y horizontal de las dos poleas mostradas. Se apoya en dos chumaceras A y B que no ofrecen resistencia a las cargas axiales. Por otra parte, puede considerarse que el acoplamiento al motor en C no ofrece ningún tipo de apoyo al eje. Determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en el eje. 6-121.

•

y

z

1m 1m

1m

C

B

1m

E

400 N

A 100 mm

D

60 mm

400 N

B

z¿

50 mm

300 mm

5

Probs. 6-122/123/124

Determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la viga, y la orientación del eje neutro. Utilizando el método del apéndice A, se determinó que los momentos principales de inercia de la sección transversal son I z¿ = 8.828 pulg4 e I y¿ = 2.295 pulg4, donde z¿ y y¿ son los ejes principales. Resuelva el problema empleando la ecuación 6-17. •6-125.

Determine el esfuerzo flexionante en el punto A de la viga usando el resultado obtenido en el problema 6-113. Los momentos de inercia del área de la sección transversal sobre los ejes z y y son I z = I y = 5.561 pulg4 y el producto de inercia del área de la sección transversal respecto a los ejes z y y es I yz = -3.267 pulg4. (Vea el apéndice A.) 6-126.

6

7

8

x 150 N 150 N

z

1.183 pulg Prob. 6-121 0.5 pulg

Utilizando las técnicas descritas en el apéndice A, ejemplo A.5 o A.6, se determinó que la sección en Z tiene momentos principales de inercia de I y = 0.060(10-3) m4 e I z = 0.471(10-3) m4, calculados sobre los ejes principales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección se somete a un momento interno de M = 250 N m dirigido horizontalmente como se muestra en la figura, determine el esfuerzo producido en el punto A. Resuelva el problema empleando la ecuación 6-17. 6-122.

4 pulg

45� C

y

∙

Resuelva el problema 6-122, para ello use la ecuación desarrollada en el problema 6-113. 6-123.

9

z¿

A

10

1.183 pulg 0.5 pulg

M  3 kip  pie

y

′

4 pulg Probs. 6-125/126

11

6.9

CONCENTRACIONES DE ESFUERZO

329

PROBLEMAS

1

La viga compuesta está fabricada de aluminio 6061T6 ( A) y latón rojo C83400 ( B). Determine la dimensión h de la franja de latón de modo que el eje neutro de la viga se ubique en la costura de los dos metales. ¿Qué momento máximo soportará esta viga si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio es ( perm)al = 128 MPa, y para el latón ( perm)br = 35 MPa? *6-128. La viga compuesta está fabricada de aluminio 6061-T6 ( A) y latón rojo C83400 ( B). Si la altura h = 40 mm, determine el momento máximo que puede aplicarse a la viga si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio es ( perm)al = 128 MPa, y para el latón ( perm)br = 35 MPa. 6-127.

s

La viga de abeto Douglas está reforzada con franjas de acero A-36 en su centro y sus lados. Determine el esfuerzo máximo desarrollado en la madera y el acero si la viga está sometida a un momento flexionante de M z = 7.50 kip pie. Dibuje la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal. 6-131.

2

∙

s

s

3 y

0.5 pulg

0.5 pulg

0.5 pulg

s

4

h B

50 mm

z

6 pulg

A

5

150 mm

Probs. 6-127/128

2 pulg

El segmento A de la viga compuesta está fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si w = 0.9 kip>pie, determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto desarrollado en el aluminio y el acero. Dibuje la distribución del esfuerzo en la sección transversal. 6-130. El segmento A de la viga compuesta está fabricado de una aleación de aluminio 2014-T6 y el segmento B es de acero A-36. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio y el acero es ( perm)al = 15 ksi y ( perm)ac = 22 ksi, determine la intensidad máxima permisible w de la carga uniformemente distribuida. s

6

Prob. 6-131

•6-129.

s

2 pulg

La placa superior está fabricada de aluminio 2014T6 y se usa para reforzar una viga de plástico Kevlar 49. Determine el esfuerzo máximo en el aluminio y en el Kevlar si la viga está sometida a un momento de M = 900 lb pie. •6-133. La placa superior está fabricada de aluminio 2014-T6 y se usa para reforzar una viga de plástico Kevlar 49. Si el esfuerzo flexionante permisible para el aluminio es ( perm)al = 40 ksi y para el Kevlar es ( perm)k = 8 ksi. Determine el momento máximo M que puede aplicarse a la viga. *6-132.

7

∙

s

8

s

w

9

6 pulg 0.5 pulg

15 pies A

3 pulg

B

3 pulg

0.5 pulg

10

12 pulg

3 pulg Probs. 6-129/130

M

0.5 pulg 0.5 pulg

Probs. 6-132/133

11

CAPÍTULO 6

330

FLEXIÓN

El elemento tiene un núcleo de latón unido a una fundición de acero. Si se aplica un momento de 8 kN m en su extremo libre, determine el esfuerzo flexionante máximo en el elemento. Ebr = 100 GPa, Eac = 200 GPa. 6-134.

1

∙

Si la viga está sometida a un momento interno de M = 45 kN m, determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en la sección A de acero A 36 y en la sección B de aluminio 2014-T6. •6-137.

∙

8 kNm 2

3m A

20 mm 100 mm 20 mm

3

50 mm

20 mm

100 mm

20 mm

M

Prob. 6-134 4

15 mm

El canal de acero se usa para reforzar la viga de madera. Determine el esfuerzo máximo en el acero y en la madera si la viga está sometida a un momento de M = 850 lb pie. Eac = 29(103) ksi, Ew = 1600 ksi. 6-135.

B

150 mm

∙

Prob. 6-137

5

4 pulg

La viga de concreto está reforzada con tres varillas de acero con un diámetro de 20 mm. Suponga que el concreto no puede soportar cargas de tensión. Si el esfuerzo de compresión permisible para el concreto es ( perm)con = 12.5 MPa y el esfuerzo permisible de tensión para el acero es ( perm)ac = 220 MPa, determine la dimensión d requerida para que tanto el concreto como el acero alcancen simultáneamente el esfuerzo permisible. A esta condición se le llama “equilibrada”. Además, calcule el correspondiente momento interno máximo permisible M que se puede aplicar a la viga. Los módulos de elasticidad para el concreto y el acero son Econ = 25 GPa y Eac = 200 GPa, respectivamente. 6-138.

6

0.5 pulg 15 pulg 850 lb pie M

0.5 pulg

�

s



s

0.5 pulg 7

8

Prob. 6-135

*6-136. Una viga de abeto blanco se refuerza con franjas de acero A-36 en sus partes superior e inferior, como se muestra en la figura. Determine el momento flexionante M que puede soportar si ( perm)ac = 22 ksi y ( perm)w = 2.0 ksi. s

s

y

0.5 pulg 9 200 mm

4 pulg M d

M

0.5 pulg

10

x z

3 pulg 11

Prob. 6-136

Prob. 6-138

6.9

La viga está fabricada de tres tipos de plástico que se identifican y tienen los módulos de elasticidad mostrados en la figura. Determine el esfuerzo flexionante máximo en el PVC. 6-139.

500 lb

331

La viga de concreto reforzado se utiliza para soportar la carga mostrada. Determine el esfuerzo normal máximo absoluto en cada una de las varillas de refuerzo fabricadas con acero A-36 y el esfuerzo de compresión máximo absoluto en el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resistencia a la compresión y no tome en cuenta su resistencia que soporta a tensión. 6-141.

•

1

2

500 lb PVC EPVC  450 ksi Escon EE  160 ksi Baquelita EB  800 ksi

3 pies


4 pies

10 kip

10 kip

8 pulg

3

15 pulg

3 pies 4 pies

1 pulg 2 pulg 2 pulg

8 pies

4 pies

2 pulg varillas de 1 pulg de diámetro

4

Prob. 6-141

3 pulg 5

Prob. 6-139

La viga de concreto reforzado se fabricó usando dos varillas de acero como refuerzo. Si el esfuerzo de tensión permisible para el acero es ( ac)perm = 40 ksi y el esfuerzo permisible del concreto a la compresión es ( conc)perm = 3 ksi, determine el momento M máximo que puede aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no puede soportar un esfuerzo de tensión. Eac = 29(103) ksi, Econc = 3.8(103) ksi. 6-142.

La losa para piso está fabricada de concreto de baja resistencia e incluye una viga I de ala ancha, de acero A-36, unida mediante pernos de corte (no se muestran en la figura) para formar la viga compuesta. Si el esfuerzo flexionante permisible para el concreto es ( perm)con = 10 MPa, y el esfuerzo flexionante permisible para el acero es ( perm)ac = 165 MPa, determine el momento interno máximo permisible M que puede aplicarse a la viga. *6-140.

s

s

s

6

s

7

8 pulg

4 pulg

6 pulg 8 pulg

8 M

18 pulg

1m

100 mm

9

2 pulg varillas de 1 pulg de diámetro 15 mm 400 mm

Prob. 6-142

M

10

15 mm

15 mm 200 mm

Prob. 6-140

Para la viga curva de la figura 6-40 a, demuestre que cuando el radio de curvatura tiende al infinito, la fórmula de la viga curva, ecuación 6-24, se reduce a la fórmula de la flexión, ecuación 6-13. 6-143.

11

332

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

El elemento tiene una sección transversal elíptica. Si está sometido a un momento de M = 50 N m, determine el esfuerzo en los puntos A y B. ¿El esfuerzo en el punto A¿, que se encuentra cerca de la pared del elemento, es igual al del punto A? Explique. 6-145. El elemento tiene una sección transversal elíptica. Si el esfuerzo flexionante permisible es perm = 125 MPa, determine el momento máximo M que puede aplicarse al elemento. *6-144.

1

∙

•

2

s

La viga curva está sometida a un momento flexionante de M = 900 N m como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo en los puntos A y B, y muestre el esfuerzo sobre un elemento de volumen situado en cada uno de estos puntos. 6-149. La viga curva está sometida a un momento flexionante de M = 900 N m. Determine el esfuerzo en el punto C . *6-148.

∙

•

∙

3

75 mm

A C

4

150 mm B A¿

100 mm

M

C

A 250 mm

A

30�

100 mm

5

20 mm

15 mm 150 mm 400 mm B

M

Probs. 6-148/149 B

6

Probs. 6-144/145

El codo de la tubería tiene un radio exterior de 0.75 pulg y un radio interior de 0.63 pulg. Si el ensamble se somete a los momentos de M = 25 lb pulg, determine el esfuerzo máximo desarrollado en la sección a-a. 6-150.

7

Determine la mayor magnitud P de las fuerzas aplicadas si el esfuerzo flexionante permisible es ( perm)c = 50 MPa en compresión y ( perm)t = 120 MPa en tensión. 6-147. Si P = 6 kN, determine los esfuerzos flexionantes máximos en tensión y en compresión para la viga. 6-146.

s

∙

s

8

a

30

1 pulg

75 mm

9

a

P

10 mm

10 mm 160 mm

10 mm

P

10

150 mm

0.63 pulg 0.75 pulg

150 mm 250 mm

M = 25 lb pulg

11

Probs. 6-146/147

Prob. 6-150

M  25 lbpulg

6.9

El elemento curvo es simétrico y se encuentra sometido a un momento de M = 600 lb pie. Determine el esfuerzo flexionante en los puntos A y B del elemento, además muestre el esfuerzo actuando sobre elementos de volumen ubicados en esos puntos. 6-151.

∙


333

El brazo en C suspendido del techo se emplea para sostener una cámara de rayos X usada en diagnósticos médicos. Si la cámara tiene una masa de 150 kg, con su centro de masa en G, determine el esfuerzo flexionante máximo en la sección A. •6-153.

1

2

0.5 pulg 3

B

2 pulg A

G

1.5 pulg

8 pulg

M

1.2 m A

4

M Prob. 6-151

5

200 mm 100 mm 20 mm 40 mm

Prob. 6-153 6

La barra curva usada en una máquina tiene una sección transversal rectangular. Si la barra está sometida a un par como el mostrado en la figura, determine los esfuerzos máximos en tensión y en compresión que actúan sobre la sección a-a. Dibuje en tres dimensiones la distribución del esfuerzo sobre la sección. *6-152.

La pinza circular de resorte produce una fuerza de compresión de 3 N sobre las placas. Determine el esfuerzo flexionante máximo producido en A del resorte. Éste tiene una sección transversal rectangular como se muestra en la figura. 6-155. Determine la fuerza de compresión máxima que la pinza de resorte puede ejercer sobre las placas si el esfuerzo flexionante permisible para la pinza es perm = 4 MPa. 6-154.

s

7

8

a

10 mm 20 mm

75 mm

a

50 mm

9

210 mm

200 mm

162.5 mm

A

10

250 N

220 mm

60�

150 mm

60� 250 N

75 mm

11

Prob. 6-152

Probs. 6-154/155

CAPÍTULO 6

334

FLEXIÓN

Mientras está en vuelo, la costilla curva del jet se encuentra sometida a un momento esperado de M = 16 N m en la sección. Determine el esfuerzo flexionante máximo en esta sección de la costilla, y dibuje una vista bidimensional de la distribución del esfuerzo. *6-156.

1

∙

2

3

La barra con muescas está simplemente apoyada y se somete a dos fuerzas P. Determine la mayor magnitud de P que puede aplicarse sin ocasionar la cedencia del material. La barra está fabricada de acero A-36 y cada muesca tiene un radio de r = 0.125 pulg. 6-162. La barra con muescas está simplemente apoyada y se somete a las dos cargas, cada una con una magnitud de P = 100 lb. Determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en la barra y dibuje la distribución del esfuerzo flexionante que actúa sobre la sección transversal en el centro de la barra. Cada muesca tiene un radio de r = 0.125 pulg. •6-161.

0.6 m

16 N m �

5 mm 20 mm 5 mm

5 mm

P

P

30 mm

4

0.5 pulg

Prob. 6-156

1.75 pulg

1.25 pulg

Si el radio de cada muesca en la placa es r = 0.5 pulg, determine el mayor momento que puede aplicarse. El esfuerzo flexionante permisible para el material es perm = 18 ksi. 6-158. La placa simétrica con muescas está sometida a flexión. Si el radio de cada muesca es r = 0.5 pulg y el momento aplicado es M = 10 kip pie, determine el esfuerzo flexionante máximo en la placa. •6-157.

20 pulg

s

5

∙

6

14.5 pulg

1 pulg

20 pulg

20 pulg

20 pulg

Probs. 6-161/162

Determine la longitud L de la porción central de la barra de tal forma que los esfuerzos flexionantes máximos en A, B y C sean iguales. La barra tiene un grosor de 10 mm. 6-163.

350 N

M

7

M

12.5 pulg

60 mm

A

200 mm

Probs. 6-157/158

8

40 mm 7 mm

7 mm C

B

L

L

2

2

200 mm

Prob. 6-163

La barra está sometida a un momento de M = 40 N m. Determine el menor radio r de los filetes, de tal forma que el esfuerzo flexionante permisible de perm = 124 MPa no sea superado. *6-160. La barra está sometida a un momento de M = 17.5 N m. Si r = 5 mm, determine el esfuerzo flexionante máximo en el material. 6-159. ∙

s

9

∙

La barra escalonada tiene un grosor de 15 mm. Determine el momento máximo que puede aplicarse en sus extremos, si está hecha de un material con un esfuerzo flexionante permisible de perm = 200 MPa. *6-164.

s

45 mm 30 mm 3 mm

80 mm

10

7 mm

20 mm

10 mm 6 mm

r M

M

M

M

r

11

Probs. 6-159/160

Prob. 6-164

346

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

PROBLEMAS

1

La viga está fabricada de un material elastoplástico para el cual sY = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga luego de aplicar y retirar el momento plástico M p. •6-165.

2

6-167.

Determine el factor de forma para la sección trans-

versal. La viga está fabricada de material elástico perfectamente plástico. Determine los momentos elástico máximo y plástico máximo que pueden aplicarse a la sección transversal. Considere a = 2 pulg y sY = 36 ksi. *6-168.

3

15 mm

4 a

20 mm 200 mm

a

M p a

5 15 mm 200 mm a a

a

Prob. 6-165

6

Probs. 6-167/168

7

La viga de caja está fabricada de un material elástico perfectamente plástico para el cual sY = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga, luego de aplicar y retirar el momento plástico M p. •6-169.

El elemento I de ala ancha está fabricado con un material elastoplástico. Determine el factor de forma. 6-166.

8

9

t

h t t

10

25 mm

b

25 mm

150 mm

150 mm 25 mm

25 mm

11

Prob. 6-166

Prob. 6-169

6.10

6-170.

Determine el factor de forma para la viga I de ala

ancha.

FLEXIÓN INELÁSTICA

347

La viga está fabricada de un material elástico perfectamente plástico. Determine los momentos elástico máximo y plástico máximo que pueden aplicarse a la sección transversal. Considere sY = 36 ksi. *6-172.

1

2

3

15 mm

3 pulg

20 mm 200 mm

4

M p

6 pulg

15 mm 200 mm

1.5 pulg

3 pulg

Prob. 6-170

5

1.5 pulg

Prob. 6-172

6

Determine el factor de forma para la sección transversal de la viga. 6-171.

Determine el factor de forma para la sección transversal de la viga H. •6-173.

7

8

9

3 pulg

200 mm 6 pulg

10

20 mm 1.5 pulg

M p

20 mm

200 mm 3 pulg

1.5 pulg

Prob. 6-171

20 mm Prob. 6-173

11

348

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

La viga H está fabricada de un material elastoplástico para el cual sY = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en las partes superior e inferior de la viga luego de aplicar y retirar el momento plástico M p. 6-174.

1

La viga está fabricada de un material elástico perfectamente plástico. Determine los momentos elástico máximo y plástico máximo que pueden aplicarse a la sección transversal. Considere sY = 36 ksi. *6-176.

2

3

3 pulg

200 mm 4

3 pulg

20 mm

M p

3 pulg

20 mm

200 mm 5

20 mm

3 pulg

Prob. 6-174

3 pulg

3 pulg

Prob. 6-176 6

7

6-175.

Determine el factor de forma de la sección trans-

versal. Determine el factor de forma para la sección transversal del tubo. •6-177.

8

9

3 pulg 3 pulg

10

3 pulg

5 pulg 3 pulg 11

3 pulg

3 pulg

Prob. 6-175

6 pulg Prob. 6-177

6.10

La viga está fabricada de un material elástico perfectamente plástico. Determine el factor de forma para el tubo con paredes gruesas. 6-178.


349

El elemento está fabricado de un material elastoplástico. Determine los momentos elástico máximo y plástico máximo que pueden aplicarse a la sección transversal. Considere b = 4 pulg, h = 6 pulg, sY = 36 ksi. *6-180.

1

2

3

h – 2 r o

r i

4

h – 2 Prob. 6-178

5

b

Prob. 6-180 6

6-179.

Determine el factor de forma para el elemento.

La viga está fabricada de un material que puede suponerse perfectamente plástico en tensión y elástico perfectamente plástico en compresión. Determine el momento flexionante máximo M que puede soportar la viga de modo que el material compresivo en el borde exterior comience a ceder. 6-181.

•

h – 2

7

8

9

h – 2

h sY

10

M �

b

�sY

a

11

Prob. 6-179

Prob. 6-181

350

CAPÍTULO 6

FLEXIÓN

La viga de caja está fabricada de un material elastoplástico para el cual sY = 25 ksi. Determine la intensidad de la carga distribuida w0 que producirá (a) el mayor momento elástico y (b) el mayor momento plástico. 6-182.

1

2

La viga está fabricada de un poliéster que tiene la curva de esfuerzo-deformación mostrada. Si la curva puede representarse mediante la ecuación s = [20 tan 1(15P)] ksi, donde tan 1(15P) está en radianes, determine la magnitud de la fuerza P que puede aplicarse a la viga sin causar que la deformación máxima en sus fibras de la sección crítica exceda Pmáx = 0.003 pulg>pulg. *6-184.

-

-

w0

P

3

2 pulg 4 pulg 9 pies

9 pies

8 pies

4 s

8 pulg

8 pies

(ksi) s

16 pulg

12 pulg

5

20 tan �1(15 P)



6 pulg P

(pulg/ pulg)

Prob. 6-182 Prob. 6-184 6

La viga de caja está fabricada de un material elastoplástico para el cual sY = 36 ksi. Determine la magnitud de cada fuerza concentrada P que producirá (a) el mayor momento elástico y (b) el mayor momento plástico. 6-183.

7

La barra de plexiglás tiene una curva de esfuerzodeformación que puede aproximarse mediante los segmentos de recta mostrados en la figura. Determine el mayor momento M que puede aplicarse a la barra antes de que falle. •6-185.

8 P

P

(MPa)

s

20 mm M

9

20 mm 8 pies

6 pies

6 pies

falla

60 40

tensión

�0.06 �0.04 6 pulg 10

10 pulg

P

0.02 12 pulg

5 pulg

compresión

�80 �100

11

Prob. 6-183

Prob. 6-185

0.04

(mm/ mm)

6.10

El diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación de titanio puede aproximarse mediante las dos líneas rectas. Si un puntal fabricado con este material se encuentra sometido a flexión, determine el momento resistido por el puntal si el esfuerzo máximo alcanza un valor de (a) s A y (b) sB. 6-186.


351

La viga tiene una sección transversal rectangular y está fabricada de un material elastoplástico con un diagrama de esfuerzo-deformación como el mostrado en la figura. Determine la magnitud del momento M que debe aplicarse a la viga, con el fin de crear una deformación máxima en sus fibras exteriores de Pmáx = 0.008. *6-188.

1

2

400 mm

3

M

3 pulg M

4

200 mm 2 pulg (ksi)

s �

s

�

B

A

B

180

s

s

(MPa)

A

140

5

200

6 P

0.01

0.04

(pulg/ pulg)

P

0.004

Prob. 6-186

(mm/ mm)

Prob. 6-188 7

Una viga está fabricada de plástico polipropileno y tiene un diagrama de esfuerzo-deformación que puede aproximarse mediante la curva que se muestra en la figura. Si la viga se somete a una deformación máxima en tensión y en compresión de P = 0.02 mm>mm, determine el momento máximo M . 6-187.

La barra está fabricada de una aleación de aluminio con un diagrama de esfuerzo-deformación que puede aproximarse mediante los segmentos de recta mostrados. Si se supone que este esquema es el mismo tanto en tensión como en compresión, determine el momento que soportará la barra si la deformación máxima en las fibras superiores e inferiores de la viga es Pmáx = 0.03. •6-189.

8

9 �s

s

90 80

M

(Pa)

(ksi)

60

s�

10(106)P1/ 4

100 mm

4 pulg

P

(mm/ mm)

Prob. 6-187

10

M

30 mm P

M

0.006

0.025

0.05

3 pulg (pulg/ pulg)

Prob. 6-189

11

PROBLEMAS CONCEPTUALES

355

PROBLEMAS CONCEPTUALES

1

2

3

4

P6-1

La sierra de acero pasa sobre la rueda motriz de la sierra de banda. Usando las mediciones y los datos apropiados, explique cómo se determina el esfuerzo flexionante en la hoja de la sierra. P6-1.

P6-3

Vientos huracanados ocasionaron la falla de esta señal de carretera al doblar los tubos de apoyo en sus conexiones con la columna. Si se supone que los tubos están fabricados de acero A-36, utilice dimensiones razonables para la señal y los tubos, y trate de estimar la menor presión uniforme del viento que actúa sobre la cara de la señal y que causó la cedencia de los tubos. P6-3.

5

6

7

8

(a) P6-4

Estas tijeras de jardín fueron fabricadas con un material inferior. Utilice una carga de 50 lb aplicada en forma normal a las hojas y dimensiones apropiadas para las tijeras, a fin de determinar el esfuerzo flexionante máximo absoluto del material y demostrar por qué se produjo la falla en el punto crítico del mango. P6-4.

P6-2

Este brazo de grúa en un barco tiene un momento de inercia que varía en toda su longitud. Dibuje el diagrama de momento para el brazo a fin de explicar por qué tiene el ahusamiento mostrado. P6-2.

(b)

9

10

11

CAPÍTULO 6

356

FLEXIÓN

PR O BL EM AS DE REPASO

1

La viga está fabricada de tres tablones clavados entre sí, como se muestra en la figura. Si el momento que actúa sobre la sección transversal es M = 650 N m, determine la fuerza resultante que produce el esfuerzo flexionante en el tablón superior.

•6-193.

La viga está fabricada de tres tablones clavados entre sí, como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo máximo en tensión y en compresión para la viga.

6-194.

6-190.

2

∙

6-191.

3

La viga compuesta consta de un núcleo de madera y dos placas de acero. Si el esfuerzo flexionante permisible para la madera es ( sperm)w = 20 MPa y para el acero es (sperm)ac = 130 MPa, determine el momento máximo que puede aplicarse a la viga. Ew = 11 GPa, Eac = 200 GPa. Resuelva el problema 6-193 si el momento se aplica alrededor del eje y en vez del eje z, como se muestra en la figura.

y

4

z 125 mm 15 mm

M

5

650 N m

�



20 mm

125 mm

20 mm

M

250 mm

20 mm

x

75 mm 20 mm

6

Probs. 6-190/191

Probs. 6-193/194

Determine la distribución del esfuerzo flexionante en la sección a-a de la viga. Dibuje en tres dimensiones la distribución que actúa sobre la sección transversal. *6-192.

7

80 N

80 N

8

a

Un eje está hecho de un polímero y tiene una sección transversal parabólica. Si resiste un momento interno de M = 125 N m, determine el esfuerzo flexionante máximo desarrollado en el material (a) usando la fórmula de la flexión y (b) mediante integración. Dibuje una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre el área de la sección transversal. Sugerencia: El momento de inercia se determina a partir de la ecuación A-3 del apéndice A. 6-195.

∙

a

y

9

400 mm

300 mm

300 mm

400 mm 100 mm

80 N

80 N 15 mm

y  100 – z 2/ 25 M  125 N· m

10

100 mm z

15 mm 75 mm

11

Prob. 6-192

50 mm 50 mm Prob. 6-195

x

Problemas de Flexion

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