Universidad Autónoma de Baja California
Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería Investigación de Operaciones II Tarea 5 Carpeta Ing Alma !elia Corrales Oro"co
Arriola Alc#ntara Alc#ntara $st%er de &uadalupe &uadalu pe '(()5)
Tijuana BC *+,ico
'' de mar"o del '-..
./ Un departamento a dispuesto ' millones de dólares de su prosupuesto general para la compra de material inform#tico con el 0ue se compraran computadoras1 impresoras 2 programas1 estos pueden ser ad0uiridos a un costo por unidad de .'51--- 1 (31 --- 2 .'-1 --- todo en dólares respectivamente 4e %a decidido 0ue %an de ad0uirirse al menos 5 computadoras 2 ' impresoras !eido a los costos de mantenimiento se %a decidido tami+n no comprar m#s de 5 impresoras 6or acuerdo del departamento el rango en el 0ue %an de variar la proporción de programas a ordenadores a de estar entre .7.' 2 8 2 el ojetivo es ma,imi"ar la utilidad total de la compra de donde las actividades individuales est#n dadas como '19 2 . :esolver el prolema planteado ' millones Computadoras Impresoras programas
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:estrinccion de 5 / .7'
./ Un departamento a dispuesto ' millones de dólares de su prosupuesto general para la compra de material inform#tico con el 0ue se compraran computadoras1 impresoras 2 programas1 estos pueden ser ad0uiridos a un costo por unidad de .'51--- 1 (31 --- 2 .'-1 --- todo en dólares respectivamente 4e %a decidido 0ue %an de ad0uirirse al menos 5 computadoras 2 ' impresoras !eido a los costos de mantenimiento se %a decidido tami+n no comprar m#s de 5 impresoras 6or acuerdo del departamento el rango en el 0ue %an de variar la proporción de programas a ordenadores a de estar entre .7.' 2 8 2 el ojetivo es ma,imi"ar la utilidad total de la compra de donde las actividades individuales est#n dadas como '19 2 . :esolver el prolema planteado ' millones Computadoras Impresoras programas
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:estrinccion de 5 / .7'
'/ Una empresa desea planear su política de producción7inventario para los meses de agosto1 septiemre1 octure 2 noviemre Da demanda estimada del producto para esos meses es de 5--1 3--1 E-- 2 .1--- unidades respectivamente $n la actualidad la capacidad de producción mensual es de 3-- unidades con un costo de '1 5-- la administración %a decidido instalar un nuevo sistema de producción con capacidad mensual de .1 .-- unidades a un costo por unidad de 91--- sin emargo el nuevo sistema no puede ser instalado %asta noviemre 4upóngase 0ue el inventario inicial es de '5- unidades 2 0ue durante cual0uier mes dado se puede almacenar a los uno 5- unidades1 pero si el costo mensual por unidad por mantener el inventario es de 9-- minimi"ar el costo total de producción e inventario 4uponer 0ue se dee satisfacer la demanda 2 se re0uiere otener .-- unidades en inventario final de noviemre *es Agosto 4eptiemre Octure
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3/ *+todo de :amificación o acotamiento *a, ? @ 3- , > 5-2 4A ', > 2 E9, > '2 55 = .3 = @ (5 K .E K @ .3'5 =12 @ -1.1'L enteros ? @ .'3'5
= @ (5 K @ .3'5 ? @ .'3'5 =( X=7 Y = 17 Z = 1270
=E X=7 Y = 16.5 Z = 1245
X=8 Y = 16 Z = 1280
X=8 Y = 15.5 Z = 1255
K .5
K.3 X = 8.33 Y = 15 Z = 1250
X = 10 Y = 15 Z = 1350
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X=8 Y = 16 Z = 1280
X=8 Y = 16 Z = 1280
=) X=9 Y = 14 Z = 1240
4olución óptima = @ )1 K @ .1 ? @ .1 '-
X = 7.66 Y = 16 Z = 1260
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)/ Una agencia de pulicidad esta tratando de terminar el nMmero de anuncios 0ue se dee comprar en cada una de las ' revistas %a recopilado los siguientes datos
Da agencia 0uiere llegar por lo menos a .3-1 --- %omres 2 a 99-1--- a un costo mínimo aH elaorar la función ojetivo 2 las restricciones para este prolema de programación lineal H Con ramificación 2 acotamiento encu+ntrese la solución óptima *in ? @ 9 --- =. > --- =' 4A -1 --- =. > -1 --- =' .3-1 --9-1 --- =. > ..1 --- =' 99-1 --=.1 =' @ -1.1'L enteros
Da solución da en enteros1 no es necesario %acer ramificación 2 acotamiento 4olución óptima es =@ .. K@ - ?@ 99- --
.-/ Considere el siguiente prolema de ma,imi"ación de utilidades *a, ? @ =. > 5=' > ( =9 > 9 = 4A (=. > 9=' > '=9 > = .5 E =. > '=' > 9=9 > 5 = .( =. =' =9 . = . =.1 ='1 =91 = todos enteros Jec . ' 9 5 3 . ' 9 5 3 . ' 9 5 3 -
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-5 3 2 0 1 0 0 -5 3 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
-7 2 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
-3 4 5 0 0 0 1 -3 4 5 0 0 0 1 -3 4 5 0 0 0 1 0
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0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 5 -3 -2 0 1 0 0 2.75
0 0 0 0 0 1 0 7 -2 -3 0 0 1 0 7 -2 -3 0 0 1 0 5.5
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
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../ *in ? @ ,. > 9,' >5,9 4a =.>,'>,9 35 9,. > ,'> ,9 )5 =. . =' ' =9 =.1='1=9 todos enteros -1 X1 -3 X2 -5 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 + 0 X9 + 0 X10 1 X1 + 1 X2 + 1 X3 -1 X4 + 1 X9 = 6.5 3 X1 + 1 X2 + 4 X3 -1 X5 + 1 X10 = 9.5 1 X1 + 1 X6 = 1 1 X1 + 1 X7 = 2 0 X1 + 1 X3 + 1 X8 = 4 X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10 ≥ 0 MAXIMIZAR:
Z = 18.1666666667 X1 = 1 X2 = 5.16666666667 X3 = 0.333333333333
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./ Una empresa de ienes raíces 6eterson Po%nson anali"a 5 pro2ectos de desarrollo posiles Da siguiente tala muestra las ganancias a largo pla"o estimadas Gvalor presente netoH 0ue generaría cada pro2ecto 2 la inversión re0uerida para emprenderlo1 en millones de dólares 6ro2ecto de desarrollo &anancia estimada
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Capital re0uerido
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Dos propietarios de la empresa !ave 6eterson 2 :on Po%nson reunieron '- millones de capital de inversión para estos pro2ectos $llos 0uieren elegir la cominación de pro2ectos 0ue ma,imice la ganancia total estimada a largo pla"o Gvalor presente netoH sin invertir mas de'- millones aH Formule un modelo de 6$B para este prolema H *uestre el modelo en una %oja de c#lculo de $,cel cH Use la computadora para resolver este m+todo *a, ?@ =.>.E='>.3=9>-E=>.=5 4ujeto a 3=.>.'='>.-=9>=>E=5R@'=.1 ='1 =91 =1 =5 variales inarias
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.5/ $l consejo directivo de &eneral S%eels Co $studia ( grandes inversiones de capital Cada inversión se puede %acer solo una ve" $stas inversiones difieren en la ganancia estimada a largo pla"o Gvalor presente netoH 0ue generaran1 así como la cantidad de capital re0uerido Como se muestra en la siguiente tala Gen millones de dólaresH Oportunidad de inversión &anancia estimada
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Capital re0uerido
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4e dispone de .-- millones de dólares como capital total para estas inversiones Das oportunidades de inversión . 2 ' son mutuamente e,clu2entes Do mismo 0ue 9 2 *#s aun la oportunidad 9 o la no se pueden aprovec%ar a menos 0ue se invierta en una de las primeras opciones .-='>.5=9>.)=>(=5>.9=3>)=( 4ujeto a 9=.>'E='>9=9>E=>.(=5>9'=3>'9=([email protected]=.>='R@. =9>=R@. =9R@=.>=' =R@=.>=' =.1 ='1 =91 =1 =51 =31 =( variales inarias
4e invierte en los pro2ectos .92(
.3/ Farmville es una ciudad pe0ua con unos '-1--- %aitantes $l consejo de la ciudad est# en vías de desarrollar una tala e0uitativa de impuestos uranos Da ase impositiva anual para la propiedad catastral es 55- millones Da ases impositivas anuales para alimentos 2 medicinas es 95 millones1 2 para ventas en general es 55 millones $l consumo local anual de gasolina se estima en (5 millones de galones $l consejo ciudadano desea estalecer las tasas de impuestos as#ndose en cuatro metas principales ./ Dos ingresos impositivos deen ser .3 millones1 cuando menos1 para satisfcer los compromisos financieros municipales '/ Dos impuestos en alimentos 2 medicinas no pueden ser ma2ores 0ue el .- de todos los impuestos recaados 9/ Dos impuestos por ventas en general no pueden se ma2ores 0ue el '- de todos los impuestos recaados / $l impuesto a la gasolina no puede ser ma2or 0ue ' centavos por galón Vaitantes/ '-1--6rop catastral Alimento 2 medicamentos ;entas en general Consumo gasolina
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di 1 di -
.(/$l centro comercial
4e %an estalecido las metas anuales mínimas de asistencia de adolescentes1 jóvenes 2 adultos como .---1 .'-- 2 E--1 respectivamente Formule el prolema como modelo de programación de metas '--,. > .-- ,' > -,9 @ .5--,.>--,'>'5-,9@9-=.>,'>,9>, @.5-*in ? @ .---d.>.'--d'>E--d9
6reguntas './ WQu+ es programación metaX $s similar al modelo de 6rogramación lineal $l 6rimer paso es definir las variales de decisión1 despu+s se deen de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad Así1 una característica de la 6rogramación *eta es 0ue proporciona solución para los prolemas de decisión 0ue tengan metas mMltiples1 conflictivas e inconmensurales arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración Da 6rogramación *eta es capa" de manejar prolemas de decisión con una sola meta o con metas mMltiples $n tales circunstancias1 las metas estalecidas por el tomador de decisiones son logradas Mnicamente con el sacrificio de otras metas
''/ Vaga un contraste de diferencias entre la programación lineal 2 programación meta lineal $n programación lineal/ no %a2 orden 6rogramación meta/ las metas se satisfacen en una secuencia ordinal 6rogramación lineal N %a2 variales de %olgura 6rogramación meta/ son d+ficits 6rogramación lineal/ se ma,imi"a o minimi"a 6rogramación meta/ sólo se minimi"a
'9/ $,prese las características claves de un prolema de programación meta en general1 definiendo t+rminos constru2a un prolema1 ejemplo simple 2 formMlelo como un prolema de programación meta lineal Vaga un contraste entre esta formulación 2 la formulación por programación lineal :esuelva amas formulaciones gr#ficamente Das metas se satisfacen en el orden de prioridad estalecido por el tomador de decisiones Das metas no necesitan satisfacerse e,actamente sino tan cerca como sea posile Ejemplo:
Da compaía Aedis %a desarrollado recientemente tres nuevos productos %aciendo uso del e,ceso de capacidad en sus tres plantas sucursales e,istentes Cada producto puede faricarse en cual0uiera de las tres plantas $l an#lisis %a demostrado 0ue sería rentale utili"ar el e,ceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos $n realidad1 el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utili"ación completa de la capacidad productiva de e,ceso sore una ase rentale *ientras 0ue las plantas Aedis generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos e,istentes1 la producción por deajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia1 presentando prolemas con la fuer"a laoral Aun0ue la compaía no necesita la fuer"a laoral plena durante los períodos de %olgura1 el costo de los despidos sería considerale1 2 Aedis desearía evitar esto tanto como fuera posile Adem#s1 la gerencia desearía alancear la utili"ación del e,ceso de capacidad entre las sucursales $sto serviría para distriuir e0uitativamente la carga de traajo del personal de supervisores asalariados 2 reducir los agravios de la fuer"a laoral 0ue se le paga por %oras1 0ue de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de traajo o a los despidos 6ara el período 0ue es est# considerando1 las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en e,cesoGen t+rminos de unidadesH de nuevos productos 2 capacidades de emar0ue disponiles asignadas a los nuevos productos
Planta
capacidad de exceso de produccin!unidades"
capacidad de emar$ue!pies c%icos"
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9
5-
35--
Dos productos .1' 2 9 re0uieren 9-1'- 2 .5 pies cMicos por unidad1 respectivamente Das contriuciones unitarias a la utilidad de los productos .1' 2 9 son .51.E 2 .' respectivamente Dos pronósticos de ventas indican 0ue Aedis puede esperar ventas tan altas como )--1 .--- 2 (-- unidades de los productos .1 ' 2 9 respectivamente1 durante el periodo de planeación en consideración !ada la situación 0ue %emos descrito1 la administración %a e,presado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente G6.@m#s importanteH 6. Dograr una utilidad perseguida de .5--- 6' Utili"ar tanto de la capacidad de e,ceso como sea posile !eido al ajo costo de la mano de ora1 la administración cree 0ue es .15 veces m#s importante utili"ar la capacidad de e,ceso de la planta . 0ue la de las plantas ' 2 9 69 Dograr un alance de la carga de traajo en la utili"ación de e,ceso de la capacidad entre todas las plantas !eido a ciertas demandas adicionales de los traajadores de la planta .1 la administración cree 0ue si ocurre algMn desalance en la carga de traajo1 es dos veces m#s importante 0ue favorecer a la planta .con menor traajo con respecto a las plantas ' 2 9 6 Dograr el pronóstico de ventas para el producto '1 puesto 0ue este tiene la ma2or contriución a la utilidad por unidad 65 6roducir suficiente cantidad de los productos . 2 9 para cumplir con las ventas pronosticadas 63
=..> ='. > =9. > <./ 6. @(5=.' > ='' > =9' > <'/ 6' @9-=.9 > ='9 > =99 > <9/ 69 @5-
'/+esricciones en el re$uisito de espacio 9-=.. > '-='. > .5=9. > < / 6@.'--9-=.' > '-='' > .5=9' > <5 / [email protected]=.9 > '-='9 > .5=99 > <3 / 63@ 35-9/+estricciones en las (entas esperadas =.. > =.' > =.9 > <( / 6(@)-='. > =' > ='9 > =9' > =99 > <) / 6)@ (-/Balance de car)a de traajo =.. > ='. > =9.7 (5- @ =.' > ='' > =9'7 9-=.. > ='. > =9.7 (5- @ =.9 > ='9 > =99 7 5$ste alance de ecuaciones puede escriirse como una restricción meta por medio de una simple división 2 por transposición del miemro derec%o como sigue Gpor transitividad1 solamente dos restricciones de alance son necesariasH ---.9=.. > ---.9='. > ---.9=9. / ---99=.' / ---99=9' / 6---99=9' > ><.- / 6.- @---.9=.. > ---.9='. > ---.9=9. / ---''=.9 / ---''9='9 / ---''9=99 > <.. / 6..@<.-1 <..@ nMmero de unidades producidas demasiado ajas con relación a las producidas en las plantas ' 2 91 respectivamente 6.-1 6..@ =.'> =.9H > .EG='.> =''> ='9H > .'G=9.> =9'> =99H > <.' / 6.'@.5--3' ,uncin ojeti(o *inimi"ar ?@6:.G<.'> 6.'H> .156:'G<.H> 6:'G<'> <9H> '6:9G<.-> <..H> 6:9G6.-> 6..H>6:G 6:5G<(> <)H> 6:3G6> 65> 63H
'/ WQu+ se entiende por factores prioritarios GpreestalecidosH en un prolema de programación metaX Factores 0ue tienen ma2or importancia 4e toman por niveles de importancia 0ue tengan
'5/ W4e puede utili"ar ponderaciones cardinalGesH cardinal num+rica en la función ojetivo de un modelo de programación metaX 4i se puede
'3/ Una división de 4c%Yim *anufacturing Compan2 produce ' tipos de icicletas ./ una icicleta de 9 velocidades '/ una icicleta de .- velocidades Da división otiene una utilidad de '5 en la icicleta de .- velocidades 2 .5 en la icicleta de 9 velocidades !eido a la fuerte demanda de estos artículos1 durante el periodo de planeación de verano la división cree 0ue puede vender1 a los precios 0ue prevale"can1 todos los tipos de estas ' icicletas 0ue produ"can Das instalaciones de producción se consideran recursos escasos $stos recursos escasos corresponden al departamento de ensamle terminado Dos tiempos unitarios de procesamiento 2 las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la siguiente tala
4in emargo1 la división durante este periodo de planeación se enfrenta a camios grandes de organi"ación 2 cree 0ue el ma,imi"ar la utilidad no es un ojetivo realista 4in emargo desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este periodo de dificultad Da dirección cree 0ue la utilidad diaria de 3-- deería satisfacerse 2 desea determinar1 dadas las restricciones del tiempo de producción1 las me"clas del producto1 0ue deería llevar a esta tasa de contriución a utilidades *a, ? @ .5,. >'5,' 4a ,.>9,' 3,. >,' ,. 1,' *in ?@ d.>d. > / 4a .5,. >'5,' N Gd. N d.H @ 3-=.>9,' 3=.>,' > /
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'E/ 6%iladelp%ia paints tiene una ganancia neta de ' por galón de pintura :egular1 9 por galón de 6remium 21 por galón de 4uprema Cada galón de pintura :egular re0uiere una minuta en una me"cladora1 cada galón de pintura 6remium1 2 cada galón de pintura suprema1 9 minutos $l gerente del departamento de producción %a estalecido una ganancia meta de .-- 2 pretende usar . %ra de tiempo de me"clado 4e considera 0ue ma,imi"ar al ganancia es dolemente importante 0ue minimi"ar la cantidad de tiempo de me"clado Usando el nMmero de galones de cada pintura por producir como variales de decisión1 escria
aH restricciones de meta apropiadas1 H un solo ojetivo 0ue minimice la penali"ación total por no cumplir con las metas aH ',.>9,'>,[email protected] ,.>','>9,9@3/
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')/C%iralt2 Compan2 produce tornillos pe0ueos1 medianos 2 grandes Da gerente del departamento de producción desea producir tantos tornillos como sea posile1 proponi+ndose un total de .(5-- adem#s1 tami+n desea minimi"ar el peso total1 esperando mantener el total en alrededor de .- liras $lla sae 0ue . lira de cada tipo respectivo da como resultado '-- tornillos pe0ueos1 .5- tornillos medianos 2 .-tornillos grandes Usando el numero de tornillos de cada tamao como variales de decisión1 escria aH restricciones de meta apropiadas H un solo ojetivo 0ue minimice la penali"ación total por no cumplir con las metas1 suponiendo 0ue amas metas son igualmente importantes '--,.>.5-,' > .--,9 .(5-=. >,' > ,9 .->
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')/ Da producción de cada galón de gasolina suprema cuesta '- mas 0ue la producción de la regular1 2 cada galón de la e,tra cuesta .- mas 0ue la regular $l gerente del departamento de producción %a determinado 0ue los costos mínimos de producción para satisfacer la demanda de los tres tipos de gasolina para este periodo son de 5- ---1 con un costo de -E- por galón de regular $n un intento por ma,imi"ar al cantidad de gasolina regular producida1 se %a estalecido una meta de --- galones $l gerente tami+n piensa 0ue por cada dólar con 0ue los costos de producción e,ceder#n la meta estalecida en .- por encima del nMmero posile dee
penali"arse tres veces1 así como cada galón 0ue falte a la producción de regular para alcan"ar la meta Usando el nMmero de galones de cada tipo de gasolina por producir como variales de decisión1 escria aH restricciones de meta apropiadas 2 H un solo ojetivo 0ue minimice la penali"ación total por no cumplir con las metas
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9-/ Acme 4oda 6op Compan2 utili"a agua de soda1 jugo de fruta1 a"Mcar 2 #cido ascórico para producir su eida Dime Dovers Da cantidad de a"Mcar1 vitamina C 2 el costo asociado a cada on"a de estos ingredientes usados en la producción de cada otella de la eida se proporcionan en la siguiente tala
Adem#s de minimi"ar costos1 la cantidad deseada de vitamina C en cada otella varía entre '5- 2 9-- mg 2 la a"Mcar es de '--mg Cada gramo por el cual la cantidad de vitamina C est# fuera del intervalo aceptale es dolemente inaceptale1 así como cada centavo por el cual se e,cede el costo ojetivo de -'5 de manera similar1 cada gramos por el cual el a"Mcar e,ceda la meta es considerado 9 veces tan inaceptale como cada centavo por el cual se e,cede la meta de costo Usando el nMmero de on"as de cada ingrediente me"clado en cada otella como variales de decisión1 escria aH restricciones de meta apropiadas1 H H un solo ojetivo 0ue minimice la penali"ación total por no cumplir con las metas .-,' > '55,9 @ '-5,' > E5, '55,' > E5, 9->
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93/ G6resupuesto capitalH
4e est#n evaluando cinco pro2ectos durante un %ori"onte de planeación de 9 aos Da tala siguiente muestra los ingresos esperados para cada uno1 2 sus gastos anuales correspondientes
WCu#les pro2ectos se deen seleccionar para el %ori"onte de 9 aosX *A=
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-olucin: Dos pro2ectos .1 '1 9 2 se deen seleccionar para el %ori"onte de
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9(/ Da gerencia de Vig% Tec% est# considerando invertir en seis pro2ectos1 cada uno re0uiere una cierta cantidad de capital inicial $stos datos1 junto con el factor de riesgo asociado Gentre - 2 .H 2 la recuperación anual esperada1 se presentan en la siguiente tala
Dos socios de la empresa %an acordado 0ue el riesgo total1 otenido al sumar los factores de riesgo de cada pro2ecto emprendido1 no dee e,ceder a 9- Tami+n1 cuando muc%o dos pro2ectos pueden tener un factor de riesgo ma2or a 3- $l siguiente prolema de programación entera fue desarrollado para determinar en 0u+ pro2ectos se dee invertir con un presupuesto de un millón de dólares para lograr la ma2or recuperación anual esperada
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un millón de dólares
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