Investigación de Operaciones I
Problemas de Programación Lineal. Transporte
EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL. TRANSPORTE
1.
MG Auto tiene tres plantas: en Los Angeles, Detroit y Nueva Orleáns y dos centros de distribución principales en Demver y Miami. Las capacidades de las tres plantas durante el próximo trimestre son de 1000, 1500 y 1200 automóviles. La demanda trimestral en los dos centros de distribución es de 2300 y 1400 automóviles. En la siguiente tabla se proporciona la distancia en millas entre las plantas y los centros de distribución. Centros de Distribución Denver Miami 1000 2690 1250 1350 1275 850
Plantas Los Angeles Detroit Nueva Orleáns
La compañía de camiones encargada del transporte de los automóviles cobra 8 centavos por milla por automóvil. Su responsabilidad será emitir una orden de trabajo de transporte que indique cuantos automóviles y a qué destinos deberá entregar para tener un costo mínimo.1 2.
Slick Oil tiene tres almacenes desde los cuales puede embarcar productos a cualquiera de los tres centros de venta al menudeo. La demanda de latas del producto GunKout es de 100 en la tienda minorista 1; de 250 en la 2 y de 150 en la 3. El inventario de GunKout en el almacén 1 es 50; en el 2 es 275 y en el 3 es 175. El costo de transportar una unidad de GunKout desde cada almacén hasta cada tienda minorista se presenta a continuación. Formule un PL a fin de determinar cuantas unidades deben embarcarse desde cada almacén hasta cada tienda minorista para satisfacer a cada una de estas al costo mínimo. 2 ALMACEN 1 2 3
3.
2
1 5 8 4
3 6 10 11
Bob Frapes produce frutas exóticas envueltas para regalo. Prepara sus paquetes en dos locales, desde los cuales envía a cinco distribuidores mayoristas. Los costos del empaque en las localidades 1 y 2 son $ 5.25 y $ 5.70, respectivamente. Los pronósticos de Bob acerca de la demanda de embarques aparecen en la siguiente tabla. MAYORISTA
1
MINORISTA 2 7 9 3
1
2
3
4
5
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 166 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prenti ce Hall. Pag 276
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Embarque requerido
4.000
Problemas de Programación Lineal. Transporte
6.000
2.000
10.000
8.000
La capacidad de empaque en la localidad 1 es de 20.000 paquetes y en la localidad 2 es 12.000. Los costos unitarios de distribución en dólares, desde las dos localidades hasta los cinco mayoristas se presentan en la tabla adjunta. Formule un modelo de PL para determinar cuántos paquetes deberá enviar Bob desde cada localidad hasta cada mayorista. 3 DESDE LA LOCALIDAD 1 2 4.
1 .60 1.5
2 .40 .90
3 1.20 .50
4 .90 .80
5 .50 .80
Jonson Eléctrica produce motores pequeños al pedido para cuatro fabricantes de aparatos domésticos, en cada una de sus tres plantas. Los costos de producción por unidad varían de una localidad a otra por sus diferencias en términos de quipos de producción y en la productividad de sus trabajadores. La siguiente tabla muestra los pedidos de los clientes que deberán atenderse y los costos unitarios de producción en las plantas para el próximo mes: Pedidos Cliente 1 2 3 4
Demanda 300 500 400 600
Producción Planta A B C
Costo Unidad 17 20 24
Capacidad 800 600 700
Los costos por atender a estos clientes varían de una planta a otra. Los costos de transporte unitario en dólares aparecen en la siguiente tabla: Desde A B C
Hasta los clientes 1 2 3 2 6 4 9 1
3 5 8 5
4 7 2 2
Jonson debe decidir cuantas unidades le conviene producir en cada planta y qué proporción de la demanda de cada cliente tendrá que ser atendida para minimizar los costos de producción y de transporte.4 5.
3 4
La empresa FRUTEX produce frutas exóticas envueltas para regalo. Prepara sus paquetes en dos localidades desde los cuales los envía a cinco distribuidores mayoristas. Los pronósticos de la demanda de embarque para el mayorista 1 es
Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prenti ce Hall. Pag 276 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prenti ce Hall. Pag 277
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de 4000 paquetes, para el 2 es de 6000 paquetes, para el 3 es de 2000 paquetes, para el 4 es de 10000 paquetes y para el 5 es de 8000 paquetes. La capacidad de embarque en la localidad 1 es e 20000 paquetes y en la localidad 2 es de 12000 paquetes. Los costos unitarios de cada paquetes desde las localidades hasta los mayoristas se presentan en el siguiente gráfico. Proponga un programa de transporte de costo mínimo.5 LOCALIDAD
MAYORISTAS
0.60 0.40
1
2
1.20 0.90
0.90
0.50 3 0.50 2 4
0.80
0.80 5
6.
Tres Plantas de energía, con capacidades de 30, 35 y 25 millones de kilovatios/hora, proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda en las tres ciudades se calcula en 25, 40 y 50 millones de kilovatios/hora. En la tabla siguiente se proporciona el precio por millón de kilovatios/hora en las tres ciudades. Planta 1 2 3
1 600 320 500
Ciudad 2 700 300 480
3 400 350 450
Durante el mes de agosto hay un incremento del 20% en la demanda en cada una de las tres ciudades, que se puede satisfacer comprándole electricidad a 5
BBB
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otra red, a un precio más elevado de 1000 dólares por millón de kilovatios/hora. Sin embargo, la red no está conectada con la ciudad 3. La compañía de servicios públicos quiere determinar el plan más económico para la distribución y la compra de la energía eléctrica adicional.6 7.
Resuelva el problema anterior (6) suponiendo que en lugar del incremento del 20% en la demanda, ahora existe una pérdida de 10% en la transmisión de la energía a todo lo largo de la red. 7
8.
Tres refinerías, con capacidades diarias de 6, 5 y 8 millones de galones, respectivamente, abastecen a tres áreas de distribución con demandas diarias de 4, 8 y 7 millones de galones, respectivamente. La gasolina se transporta a las tres áreas de distribución a través de una red de ductos. El costo de transporte es de 10 centavos de dólar por cada 1000 galones por milla de ducto. La tabla proporciona el millaje entre refinerías y áreas de distribución. La refinería 1 no está conectada al área de distribución 3. Refinería 1 2 3
1 120 300 200
Área de distribución 2 180 100 250
3 ------80 120
Determine el programa de transporte óptimo.8 9.
En el problema anterior (8), supongamos que la capacidad de la refinería 3 es de solo 6 millones y que el área de distribución 1 debe recibir toda su demanda. Además cualquier faltante en las áreas 2 y 3 incurrirá en una penalidad de 5 centavos de dólar por galón. Determine, para este caso, el programa de transporte óptimo.9
Datos de salida del Solver: 10. En el problema 8, supongamos que la demanda diaria en el área 3 desciende a 4 millones de galones. La producción excedente en las refinerías 1 y 2 se desvía por camión (tanqueros) a otras áreas de distribución. El costo de 6
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Pr entice Hall. Pag. 170
7
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 170
8
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 170
9
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 170
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transporte por 100 galones es de 1.5 dólares desde la refinería 1 y de 2.30 dólares desde la refinería 2. La refinería 3 puede desviar su producción excedente a otros procesos químicos dentro de la planta. Determine el programa de transporte óptimo.10 11. Tres huertos de naranjos suministran cajas de naranjas a cuatro distribuidores. La cantidad de demanda diaria de los cuatro distribuidores es de 150, 150, 400 y 100 cajas, respectivamente. La oferta de los tres huertos está dictada por la mano de obra regular disponible y se calcula en 150, 200 y 250 cajas al día. Sin embargo, los huertos 1 y 2 han indicado que podrían abastecer más cajas de ser necesario, utilizando mano de obra por hora extra. El huerto 3 no ofrece esta opción. El costo de transporte, en dólares, desde los huertos hasta los distribuidores se proporciona en la siguiente tabla: Huertos 1 2 3
1 1 2 1
Distribuidores 2 3 2 3 4 1 3 5
4 2 2 3
Se desea saber el costo óptimo de transporte que cubra las necesidades de la demanda.11 12. Tres centros de distribución envían automóviles a cinco distribuidores. El costo del envío se basa en el millaje entre los puntos de origen y puntos de destino y es independiente de si el camión hace el viaje con cargas parciales o totales. La tabla siguiente resume el millaje entre los centros de distribución y los distribuidores, junto con las cifras mensuales de la oferta y la demanda dadas en el número de automóviles. Un camión con carga completa incluye 18 automóviles. El costo de transporte por milla con carga completa es de 25 dólares. Centros 1 2 3 Demanda
1 100 50 40 100
Distribuidores 2 3 150 200 70 60 90 100 200 150
4 140 65 150 160
5 35 80 130 140
Oferta 400 200 150
Se desea saber el programa de transporte óptimo para emitir las órdenes de carga a cada uno de los distribuidores.12
10
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 172
11
Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall . Pag. 172 Handy A. Taha. Investigación de Operaciones. Una Introducción. Prentice Hall. Pag. 172
12
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13. La Link Manufacturing Company de San Luis, Misuri, maneja tres fábricas. Actualmente los productos manufacturados, se embarcan a tres bodegas diferentes. La localización y capacidades de las bodegas son las siguientes: BODEGAS Newark, Nueva Jersey Jacksonville, Florida San Diego, California
CAPACIDAD 1200 unidades 800 unidades 1000 unidades
La capacidad de cada fábrica, juntamente con la unitaria del flete de cada fábrica a cada bodega son las siguientes: FABRICA 1
CAPACIDAD 600 unidades
2
1000 unidades
3
1400 unidades
TARIFAS DE FLETE A Newark Jacksonville San Diego Newark Jacksonville San Diego Newark Jacksonville San Diego
POR UNIDAD ($) 5 6 8 4 7 7 6 8 6
Determine qué fábricas deben embarcar y cuáles cantidades a las tres bodegas a fin de reducir al mínimo los costos de flete.13 14. La Jutson Company debe hacer embarques de tres fábricas a siete bodegas. Le costo unitario de transporte de la fábrica a cada bodega, los requerimientos de las bodegas y las capacidades de cada fábrica son los siguientes: FABRICAS REQUERIMIENTOS BODEGAS DE LAS BODEGAS 1 2 3 A $6 $ 11 $8 100 B 7 3 5 200 C 5 4 3 450 D 4 5 6 400 E 8 4 5 200 F 6 3 8 350 G 5 2 4 300 CAPACIDAD 700 400 1000 a) Encuentre el programa de transporte de costo mínimo b) Si la compañía cierra la bodega C, ¿Qué procedimiento se requiere para encontrar el programa de transporte de costo mínimo? Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 324 13
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c)
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¿Como de manejaría el caso en que los requerimientos de las bodegas excedan la capacidad total de las fábricas? 14
15. La Austine Company tiene actualmente un programa de embarques que la administración superior no considera como óptimo. La empresa tiene tres fábricas y cinco bodegas. A continuación damos los datos necesarios en términos de costos de transporte, capacidades de fábricas y requerimientos de bodegas: BODEGAS 1 2 3 4 5 CAPACIDAD
FABRICAS 1 2 $5 $4 8 7 6 7 6 6 3 5 800 600
3 $8 4 6 6 4 1100
REQUERIMIENTOS DE LAS BODEGAS 400 400 500 400 800 2500
Búsquese un programa óptimo de embarques, en términos de costos de embarques que sean los más bajos posibles. 15 16. La Building Products Company tiene una división compuesta de cinco fábricas, separadas, esparcidas en los suburbios de una ciudad. Ninguna de las fábricas tiene servicio ferroviario, y los propios camiones de la empresa llevan todas las materias primas que suministran los proveedores. Sin embargo, debido a una huelga de los conductores de camiones de la empresa, varias compañías de camiones han hecho proposiciones sobre las cantidades que pueden llevar a las diversas fábricas. Las cotizaciones para esa situación temporal son los precios por 1000 libras. FABRICAS A B C D E Total
TARIFAS POR 1000 LIBRAS ($) DALTON DORAN RIGGS 8 6 7 4 5 3 7 8 9 3 4 5 8 9 8
Capacidades de acarreo (semanales) Empresa de camiones Dalton
REQUERIMIENTOS (SEMANALES) 800.000 libras 1.000.000 900.000 1.200.000 1.500.000 5.400.000
2.000.000 libras
Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 324 14
Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 325 15
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Empresa de camiones Doran Empresa de camiones Riggs
1.800.000 libras 2.000.000 libras
Determine el programa de menor costo para la Building Products Company guante esa situación temporal (una semana) 16 17. La Arcose Company, que tiene cuatro fábricas y cuatro bodegas, emplea un método iterativo para reducir al mínimo los costos del embarque. El cuadro siguiente se obtuvo después de varias iteraciones. El número de la esquina superior izquierda de cada celda de la tabla representa el costo, mientras que los números en negrita representan las asignaciones actuales. Fábrica A B C
1 9
Bodega: 3 12
2 8 26
10
10
10
12 4
8
9
14
11
11
D Requerim. De ventas 12
0
10
11
12 20
30
60
10
36 44
40
12
10
Capacidad
4 10
12 20 112
Verifique si esta opción es óptima17 18. Johnson Electric produce motores eléctricos pequeños para cuatro fabricantes de aparatos domésticos, en cada una de sus plantas. Los costos de producción por unidad varían de una localidad a otra por sus diferencias en términos de equipo de producción y en la productividad de los trabajadores. La siguiente tabla muestra los pedidos de los clientes que deberán atender con la producción del mes entrante. Cliente 1 2 3 4
Demanda 300 500 400 600
Los costos unitarios de producción y las capacidades mensuales (de oferta) aparecen en la siguiente tabla.
Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 325 17 Robert J. Thierauf y Richard A. Grosse. Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Limusa. Pag 327 16
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Costos de producción por unidad ($) 17 20 24
Planta A B C
Capacidad de Producción mensual 800 600 700
Los costos por atender a estos clientes varían de una planta a otra. Los costos unitarios de transporte en dólares, aparecen en la siguiente tabla. Desde A B C
1 3 6 9
2 2 4 1
Hasta 3 5 8 5
4 7 3 4
Johnson debe decidir cuantas unidades le conviene producir en cada planta y qué proporción de la demanda de cada cliente tendrá que se atendida. La empresa desea minimizar los costos totales de producción y transporte. Formule el problema de Johnson como un modelo de transporte y resuélvalo para hallar la solución óptima. 18 19. Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye al mercado a través de cuatro bodegas de servicio. Se cuenta con los siguientes datos: Bodega 1 2 3 4
Precio de venta ($/por unidad) 1.0 1.1 1.0 0.6
Demanda anual (unidades) 40.000 10.000 20.000 25.000
Planta A B C
Costo de variables de producción ($) 0.40 0.35 0.45
Capacidad anual (unidades) 40.000 30.000 45.000
Costos de transporte en dólares desde/hasta Hasta Bodega Desde 1 2 3 A 0.20 0.20 0.30 Planta B 0.20 0.10 0.35 C 0.45 0.30 0.20 18
4 0.30 0.40 0.20
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El gerente de marketing desea satisface todas las demandas al costo mínimo 19 20. En el problema anterior (19), el vicepresidente de la fábrica desea cumplir sólo con aquellas demandas que sean incrementalmente rentables. Es decir, quiere maximizar las utilidades o los ingresos menos los costos de producción y transporte.20 -------------------------------------------------------------------------------------21. La Versatech Corporation decidió producir tres nuevos productos. Cinco plantas sucursales cuentas ahora con capacidad de producción excedente. El costo unitario de fabricación del primer producto sería $31, $29, $32, $28, y $29 en las respectivas plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario de fabricación del segundo producto sería $45, $41, $46, $42 y $43 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. El costo unitario de fabricación del tercer producto sería $38, $35 y $40 en las respectivas plantas 1, 2 y 3, respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que se deben producir al día 800 unidades del los productos 1, 2 y 3, respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad para producir 400, 600, 400, 600 y 1000 unidades diarias, respectivamente, sin importarle el producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que cuenta con la posibilidad y capacidad de producción puede fabricar cualquier combinación del los producto en cualquier cantidad. La administración desea saber como asignar los nuevos productos a las planta para minimizar el costo total de la fabricación.21 22. Los oficiales de un club de jóvenes granjeros necesitan personal para servir alimentos durante una función de aniversario de dos días. Necesitan el equivalente a 8 días de trabajo el sábado y 6 el domingo. Están considerando dos tipos de servicio: “Casero” (A) y “Club Campestre” (B). A puede
proporcionar un total de 11 días de trabajo para el fin de semana dada su carga actual y B puede suministrar 5 días de trabajo. A cobrará $ 80 por día de trabajo en sábado y $ 160 en domingo, B cobrará $75 en sábado, pero $ 140 en domingo. ¿Cuántos días de trabajo deberán contratar los oficiales del club de cada tipo de servicio en cada uno de los días?. Plantee el problema como modelo de transporte.22 23. La Habsco Corporation tiene muchas fábricas manufactureras, tres de las cuales fabrican tres productos principales, una mesa de juego normal y otra de lujo. Se Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 61 19
Bonini, Hansman, Bierman. Análisis Cuantitativo para los Negocios. Novena Edición. Irwin McGrawHill. Pag. 61 20
21 AAA 22 AAA
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introducirá otra mesa nueva de lujo, que se considerará en términos de precio de venta y costos. El tiempo requerido para la fabricación de las mesas es el siguiente: estándar, 2.5 horas; de lujo 2.8 horas; nueva de lujo 3.9 horas (aproximadamente). Los precios de venta son los siguientes: estandar, 14.95; de lujo, 18.95; y nueva de lujo, 21.95 dólares. Fábrica A B C
Capacidades Disponibles(u) 800 600 700
Requerimientos de ventas(u) Estandar, 450 De lujo, 1050 Nuv. D lujo, 600
Costos variables A B 8.00 7.95 8.50 8.60 9.25 9.20
C 8.10 8.45 9.30
Resuélvase el problema para obtener la mayor contribución utilizando el modelo de transporte.23 24. Pueden usarse tres clasificaciones de trabajadores (W 1, W2 y W3), en tres trabajos distintos (J1, J2 y J3) de acuerdo con un convenio con el sindicato. Cada trabajador tiene un costo (en dólares) diferente para cada trabajo, que aparece en la tabla siguiente:
Trabajos J1 J2 J3 Trabajadores disponibles
Trabajadores W1 W2 4.00 3.60 4.40 3.50 4.60 4.40
W3 3.75 4.00 4.60
Trabajos requeridos 5 20 10
10
10
35
15
¿Cuál es la mejor asignación de trabajadores a los diversos trabajos, a fin de reducir al mínimo los costos?24 25. La Clover Transportation Company tiene cuatro terminales: A, B, C y D. Al principio de determinado día hay 8, 8, 6 y 3 tractores disponibles en las terminales A, B, C y D, respectivamente. Durante la noche anterior se cargaron remolques en las fábricas R, S, T y U con cantidades de 2, 12, 5 y 6, respectivamente. El despachador de la compañía ha suministrado las distancias entre las terminales y las fábricas, que son las siguientes:
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Terminal A B C D
R 22 42 82 40
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S 46 15 32 40
Fábricas T 16 50 48 36
U 40 18 60 30
Basándose en la información, ¿qué tractores debe enviar el despachador a cuales fábricas, a fin de disminuir al máximo las distancias totales? 25 26. La Nielsen Printing Company tiene seis pedidos de folletos de publicidad de una sola página. Las cantidades son las siguientes: 28.000, 15.000, 15.000, 20.000, 38.000 y 44.000. Las tres prensas disponibles pueden producir 50.000, 70.000 y 60.000 hojas diarias, respectivamente. Los costos variables por millar (en dólares) para producir los pedidos en las tres prensas son los siguientes: 26 Prensa: 1 2 3
1 4.48 4.40 4.63
2 5.60 5.44 4.80
Pedido: 3 4 6.40 5.40 6.70 4.82 6.20 5.26
5 6.42 7.52 6.18
6 4.88 5.44 5.26
27. La Precision Products Company tiene ciertos productos que pueden fabricarse en varias máquinas. Sin embargo, hay diferencias de velocidades de funcionamiento, precios de venta y costos, que son los siguientes: Maquinas (producción por hora) Productos 1 2 3 A --9.0 7.2 B 7.5 10.0 8.0 C --8.0 6.4 D 7.5 10.0 8.0 Tiempo disp. 320 400 320 mensualmen. horas horas horas Productos A B C
Precio de venta 3.05 3.00 2.85 2.90
Número de productos 1.620 2.000 1.800 1.750
Costos variables por máquina 1 2 3 --1.15 1.25 1.50 1.25 1.40 --1.05 1.30
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D
1.35
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1.20
1.45
Encuentre la asignación óptima de productos a las tres máquinas para el siguiente mes.27 28. Un socio de la agencia de publicidad Foot, está tratando de decidir cuál de los cuatro ejecutivos de cuenta habrá de asignarle a cada uno de los cuatro clientes más importantes. Los costos estimados de cada asignación para cada ejecutivo, en miles de dólares, se presentan en la siguiente tabla. Formule el modelo y resuélvalo para encontrar la solución. 28 Ejecutivo A B C D
1 15 14 11 21
2 19 15 15 24
Cuenta 3 20 17 15 26
4 18 14 14 24
29. Protrac está tratando de decidir cuál de sus cuatro distritos de ventas, en el oeste medio, debe asignarse a cada uno de los cuatro vendedores. Cada vendedor puede alcanzar un volumen de ventas diferente, en miles de dólares, en cada distrito. Las cifras estimadas se presentan en la siguiente tabla. Protrac desea maximizar el volumen de ventas total. Sin embargo, es imposible asignar el vendedor B al distrito 1 o el vendedor A al distrito 2, porque tales asignaciones violarían las políticas de rotación de personal. Construya un modelo para este problema y encuentre la solución óptima.29
Vendedor A B C D
1 65 90 106 84
2 73 67 86 69
Distrito 3 55 87 96 79
4 58 75 89 77
30. Una compañía inmobiliaria planea vender cuatro predios y ha recibido propuestas de compra individuales de cinco firmas constructoras. En vista de que la cantidad de capital que se requiere, esas propuestas fueron hechas bajo el entendimiento de que ninguna constructora compraría más de un predio. Las propuestas, en miles de dólares, aparecen en la siguiente tabla. La compañía
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28 29
Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 278 Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 279
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inmobiliaria debe maximizar el ingreso total procedente de esas propuestas. Formule el modelo y optimícelo.30 Predio A B C D
30
1 19 23 19 23
2 19 21 19 0
Constructor 3 29 27 22 19
4 23 19 0 21
5 24 25 20 18
Eppen. Investigación de opresiones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. Pag 280
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