PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA PROBLEMAS
1. Se están evaluando cinco proyectos a lo largo de un horizonte de planeación de 3 años. La siguiente tabla presenta los rendimientos esperados (beneficios) (beneficios) y los gastos anuales que conllevan.
a. ¿Qué proyectos deben seleccionarse selecciona rse a lo largo del periodo de 3 años? b. ¿Cómo cambia el problema en estos casos? I. II.
Si se selecciona el proyecto 1 o el 3, debe necesariamente necesariamente seleccionarse el 5. Los proyectos 2 y 3 son mutuamente excluyentes.
2. Un explorador está a punto de regresar de una excursión de trabajo en el desierto. Su vehículo se descompone a una distancia considerable de la carretera y decide cargar sólo hasta 25 Kg. Su equipo científico contiene varias piezas importantes, por lo que elabora un inventario, donde asigna un factor de importancia de cada artículo, y construye una mochila especial de 1 Kg., que podrá contener cualquier volumen que decida cargar. ¿Qué artículos debe cargar si quiere maximizar la importancia? Artículo
1
2
3
4
5
6
Peso
5
4
4
6
8
7
Importancia
4
8
5
7
3
6
Analiza cómo cambia el problema si: •
•
•
Los artículos 4 y 5 son complementarios, tal que uno no es útil sin el otro. Si lleva el 4, también querrá llevar el 5, pero si lleva el 5 no es obligatorio llevar el 4. Dado el volumen de los artículos no puede llevar más de 4.
3. Se van a cargar cinco artículos en un buque. A continuación se tabulan el peso , el volumen y el valor del artículo .
El peso y el volumen de la carga máximos permisibles son de 112 toneladas y 109 3 , respectivamente. a. Formule el modelo de programación lineal entera, y determine la carga más valiosa. b. ¿Cómo cambia el problema si, por motivos de seguridad, los artículos 2 y 4 no pueden transportarse juntos? 4. La compañía discográfica TOPMUSIC contrató a una estrella en ascenso para que grabe ocho canciones. Los tamaños en MB de las canciones son de 8, 3, 5, 5, 9, 6 , 7 y 12, respectivamente. TOPMUSIC utiliza dos CD para la grabación. La capacidad de cada CD es de 30 MB. A la compañía le gustaría distribuir las canciones en los dos CD de modo que el espacio utilizado en cada uno sea aproximadamente el mismo. c. Formule el problema como una PLE y determine la solución óptima. d. Cómo cambia el problema si: •
Queremos que las canciones 1 y 2 vayan en el mismo CD.
•
Queremos que las canciones 1 y 2 vayan en distinto CD.
•
Queremos que el primer CD tenga la mayor ocupación posible, y así plantear la posibilidad de rellenar el segundo con otro tipo de contenido.
5. Para promover la seguridad en un gran centro comercial, se va a proceder a la instalación de teléfonos de emergencia en lugares seleccionados. Se desea instalar una cantidad mínima de estos aparatos que presten servicio a cada una las calles principales del centro comercial. La figura siguiente es un mapa de dichas calles. Por lógica, los teléfonos irían ubicados en intersecciones de calles. Encuentre la distribución óptima de los teléfonos.
6. ABC es una compañía de transporte de menos de una carga de camión que entrega cargas a diario a cinco clientes. La siguiente lista proporciona los clientes asociados con cada ruta:
Los segmentos de cada ruta dependen de la capacidad del camión que entrega las cargas. Por ejemplo, en la ruta 1, la capacidad del camión es suficiente para entregar las cargas a los clientes, 1, 2, 3 y 4 únicamente. La siguiente tabla enlista las distancias (en millas) entre la terminal de los camiones (ABC) y los clientes.
El objetivo es determinar la distancia mínima necesaria para realizar las entregas diarias a los cinco clientes, aun cuando la solución puede dar por resultado que un cliente sea atendido por más de una ruta, la fase de implementación utilizará sólo una de esas rutas. Formule el problema como un PLE, y halle la solución óptima. 7. El condado de Washington incluye seis poblaciones que necesitan el servicio de ambulancias de emergencia. Debido a la proximidad de algunas poblaciones, una sola estación puede atender a más de una comunidad. La estipulación es que la estación debe estar como máximo a 15 minutos de tiempo de manejo de la población que atiende. La siguiente tabla muestra los tiempos de manejo en minutos entre las seis poblaciones.
Formule un PLE cuya solución produzca el número mínimo de estaciones y las poblaciones donde se han de ubicar Determine la solución óptima.
8. Los inmensos tesoros del Rey Tut están en exhibición en el Museo de Giza en El Cairo. La distribución del museo se muestra en la figura con las diferentes salas comunicadas por puertas abiertas. Un guardia de pie en una puerta puede vigilar dos salas adyacentes. La política de seguridad del museo requiere que todas las salas tengan vigilancia. Formule el problema como un PLE para determinar el mínimo de guardias.
9. Bill acaba de terminar sus exámenes del año académico y desea celebrar viendo todas las películas que se están exhibiendo en cines de su ciudad y otras ciudades vecinas. Si viaja a otra ciudad, se quedará allí hasta que vea todas las películas que desea. La siguiente tabla informa sobre las ofertas de películas y las distancias de viaje redondo a las ciudades vecinas.
El costo de conducir es de 75 centavos por milla. Bill desea determinar las ciudades que necesita visitar para ver todas las películas, al mismo tiempo que minimiza su costo total.
10. Las tiendas Walmark están en proceso de expansión en el oeste de Estados Unidos. Walmark planea construir durante el próximo año nuevas tiendas que prestarán servicio a 10 comunidades geográficamente dispersas. La experiencia pasada indica que una comunidad debe estar a una distancia máxima de 25 millas de una tienda para atraer clientes. Además, la población de una comunidad desempeña un rol importante en la ubicación de una tienda, en el sentido que las comunidades grandes generan más clientes participantes. La siguiente tabla proporciona las poblaciones y también las distancias (en millas) entre las comunidades.
La idea es construir el menor número de tiendas, teniendo en cuenta la restricción de la distancia y la concentración de las poblaciones. Especifique las comunidades donde deben ubicarse las tiendas. 11. El presupuesto de MobileCo para construir 7 transmisores que cubran la mayor población posible en 15 comunidades geográficas contiguas, es de 15 millones de dólares. A continuación se presentan las comunidades cubiertas por cada transmisor y los costos de construcción presupuestados.
La siguiente tabla proporciona las poblaciones de las diferentes comunidades:
¿Cuáles de los transmisores propuestos deben construirse?
12. Las redes eléctricas modernas utilizan medidores eléctricos automáticos en lugar de los más costosos medidores manuales. En el sistema automático, los medidores de varios clientes se enlazan inalámbricamente a un solo receptor. El medidor envía señales cada mes a un receptor designado para reportar el consumo de electricidad del cliente. Luego los datos se canalizan a una computadora central para generar los recibos. El objetivo es determinar el mínimo de receptores necesarios para atender a un número dado de medidores. En la vida real, el problema comprende miles de medidores y receptores. Este problema emplea 10 medidores y 8 posibles localizaciones para los receptores, con las siguientes configuraciones:
Resuelva el problema si, además, cada receptor puede manejar cuando mucho 3 medidores.
13. Una joven pareja, Eve y Steven, quiere dividir las principales tareas del hogar (ir de compras, cocinar, lavar platos y lavar ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos obligaciones y el tiempo total para hacer estas tareas sea mínimo. La eficiencia en cada una de las tareas difiere entre ellos; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita para cada tarea:
Formule un modelo de PEB para este problema.
14. Una empresa de bienes raíces, Peterson & Johnson, analiza cinco proyectos de desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor presente neto) que generaría cada proyecto y la inversión que se requiere para emprenderlo, en millones de dólares
. Los propietarios de la empresa, Dave Peterson y Ron Johnson, reunieron $20 millones de capital de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir más de $20 millones. Formule un modelo de PEB para este problema. ¿Cómo cambiaría el problema si sólo tuviesen capacidad para gestionar a lo sumo 2 proyectos? ¿Cómo cambiaría el problema si los proyectos 1 y 3 fuesen, por alguna razón, incompatibles, de manera que invertir en uno de ellos impidiese invertir en el otro?
15. El consejo directivo de General Wheeis Co., estudia seis grandes inversiones de capital. Cada inversión se puede hacer solo una vez. Estas inversiones difieren en la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto) que generaran, así como en la cantidad de capital que requiere cada uno, como se muestra en la siguiente tabla (en millones de dólares):
Se dispone de $100 millones de dólares como capital total para estas inversiones. Las oportunidades de inversión 1 y 2 son mutuamente excluyentes, lo mismo que 3 y 4. Más aun, la oportunidad 3 o la 4 no se pueden aprovechar a menos que se invierta en una de las dos primeras opciones. No existen restricciones de este tipo sobre las oportunidades de inversión 5 y 6. El objetivo es elegir la combinación de inversiones de capital que maximice la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto). Formule el modelo de PEB para este problema. 16. Vincent Cardoza es el propietario y director de un taller de maquinado que trabaja sobre pedido. El miércoles por la tarde recibió llamadas de dos clientes que necesitan órdenes urgentes. Un transportista de autos compactos necesita barras estabilizadoras. Una compañía de enganches para remolques requiere barras de remolque especiales para trabajo pesado. Ambos clientes quieren la mayor cantidad posible para el fi n de semana (dos días hábiles). Como los dos productos usaran las mismas dos máquinas, Vincent debe decidir e informarles esta tarde cuantas unidades de cada producto fabricará en los dos días siguientes. Cada barra de remolque requiere 3.2 horas en la maquina 1 y 2 horas en la 2. Cada barra estabilizadora requiere 2.4 horas en la máquina 1 y 3 en la 2. La máquina 1 estará disponible 16 horas en los próximos dos días y la 2, 15 horas. La ganancia de cada barra de remolque producida será de $130 y la de cada barra estabilizadora será de $150. Vincent quiere determinar la mezcla de estas cantidades de producción que maximizara su ganancia total. Formule un modelo de PE para este problema. Use un enfoque grafico para resolver el modelo.
17. Leatherco firmó un contrato para fabricar lotes de pantalones, chalecos y chamarras. Cada producto requiere una preparación especial de las máquinas necesarias en los procesos de fabricación. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes con respecto al uso de la materia prima (piel) y el tiempo de mano de obra junto con estimaciones de costos e ingresos. Se estima que el abasto actual de piel es de 3000 pies2, y el tiempo de mano de obra disponible está limitado a 2500 horas.
Determine la cantidad óptima de unidades que Leatherco debe fabricar de cada producto .
18. Jobco planea producir al menos 2000 artefactos con tres máquinas. El tamaño mínimo del lote es de 500 artefactos. La siguiente tabla ofrece los datos pertinentes de la situación.
Formule el problema como un PLE y halle la solución óptima. 19. Oilco está considerando dos sitios de perforación potenciales para llegar a cuatro destinos (posibles pozos petroleros). La siguiente tabla presenta los costos de preparación en cada uno de los dos sitios, y el costo de perforación del sitio i al destino j (i = 1, 2; j =1, 2, 3, 4).
Formule el problema como un PLE y halle la solución óptima.
20. Se consideran tres sitios industriales para situar plantas de manufactura. Las plantas envían sus abastos a tres clientes. El abasto en las plantas, la demanda de los clientes y el costo unitario de transporte de las plantas a los clientes aparecen en la siguiente tabla.
Aparte de los costos de transporte, las plantas 1, 2 y 3 incurren en costos fijos a razón de $12,000, $11,000 y $12,000, respectivamente. Formule el problema como un programa lineal entero y halle la solución óptima. 21. Una compañía utiliza cuatro camiones cisterna especiales para entregar a clientes cuatro productos de gasolina diferentes. Cada camión tiene cinco compartimientos de diferentes capacidades: 500, 750, 1200, 1500 y 1750 galones. Las demandas diarias de los cuatro productos se estiman en 10, 15, 12 y 8 mil galones. Cualquier cantidad que no pueda ser entregada por los cuatro camiones de la compañía debe subcontratarse a los costos adicionales de 5, 12, 8 y 10 centavos por galón de los productos 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Desarrolle el programa de carga diaria óptimo para los cuatro camiones que minimizará el costo adicional de subcontratación.
22. Una familia utiliza mensualmente al menos 3000 minutos de llamadas de larga distancia y puede elegir el uso de los servicios de cualquiera de las compañías A, B y C. La compañía A cobra una cuota mensual fija de $10 y 5 centavos por minuto por los primeros 1000 minutos, y 4 centavos por minuto por todos los minutos adicionales. La cuota mensual de la compañía B es de $20 con un cobro fijo de 4 centavos por minuto. El cobro mensual de la compañía C es de $25 con 5 centavos por minuto por los primeros 1000 minutos, y 3.5 centavos después de ese límite. ¿Cuál compañía debe seleccionarse para minimizar el cobro mensual total? 23. Se utiliza una máquina para producir dos productos intercambiables. La capacidad diaria de la máquina permite producir cuando mucho 20 unidades del producto 1 y 10 unidades del producto 2. Como alternativa, se puede ajustar la máquina para que produzca diariamente a lo sumo 12 unidades del producto 1 y 25 unidades del producto 2. El análisis del mercado muestra que la demanda diaria máxima de los dos productos combinados es de 35 unidades. Dado que las utilidades unitarias de los productos respectivos son de $10 y $12, ¿cuál de los dos ajustes de la máquina debe seleccionarse? Formule el problema como un PLE para encontrar la solución óptima
24. Gapco fabrica tres productos cuyos requerimientos diarios de mano de obra y materia prima se muestran en la siguiente tabla
Las utilidades por unidad de los tres productos son de $25, $30 y $22, respectivamente. Gapco tiene dos opciones para situar su planta. Los dos sitios difieren sobre todo en la disponibilidad de mano de obra y materia prima, como se muestra en la siguiente tabla:
Formule el problema como un PLE, y determine la ubicación óptima de la planta. 25. Jobco posee una planta donde se fabrican tres productos. Los requerimientos de mano de obra y materia prima para los tres productos se muestran en la siguiente tabla.
La utilidad por unidad de los tres productos es de $25, $30 y $45, respectivamente. Si se va a fabricar el total de las unidades requeridas diarias del producto 3, entonces su nivel de producción debe ser de al menos 5 unidades diarias. Formule el problema como un PLE combinado, y halle la combinación óptima.
26. Un proceso de manufactura utiliza cuatro materias primas intercambiables. Las propiedades de las materias primas difieren, lo que conduce a diferentes unidades producidas por unidad de materia prima. También difieren en costo y tamaños de lote. La siguiente tabla resume los datos de la situación:
Una materia prima, si se utiliza, debe estar sólo en los lotes indicados (por ejemplo, la materia prima 1 puede adquirirse o en lotes de 100 unidades o nada). Las unidades producidas deben ser por lo menos 950. Formule un modelo para determinar las materias primas que deben usarse a un costo mínimo.
