problemas-primer+parcial+01

CIRCU CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Introd Introducc uccii ón al análi sis y teoremas de los circuitos lineales.

Vicente León Martínez Joaquín Montañana Romeu

Intro ducci ón a l anál a nál is is y teo remas de l os ci rcui to s li neal es

PROBLEMA. (Magnitudes eléctricas) i(t) Una bat bat er ía de 12 V y 45 A h alimenta a un receptor eléctrico, RECEPTOR suministrándole una corriente constante de 2 A (figura I.1a). El valor de la f.e.m. e(t) de la batería se mantiene mantiene const constante ante hasta el instante a) t o en que su carga eléctrica se reduce en 1/4, momento a partir del cual e(t) (V) decrece decrece linealmente, linealmente, como muestra muest ra la 12 figura figura I.1b. El recept receptor or no funciona y 9 deja de absorber corriente cuando la f.e.m. alcanza los 9 V, instante t 1 en que la carga carga almacenada almacenada por p or la batería bat ería 0 to ha disminuido a la mitad mit ad Determinar: b) 1) Instantes t o y t 1 . 2) Energía Energía suminist suministrada rada por p or la batería Figura I.1 en el inst instante ante t o. 3) Potencia media media y energía energía suministrada por la batería cuando se alcance el instante t 1 .

e(t)

t1

t

SOLUCIÓN: 1) Instantes to y t1 .

La carga eléctrica almacenada por la batería en cada instante, q(t), se obtiene obt iene p or la diferencia ent entre re la carga carga inicial inicial (Q = 45 Ah) y la que se descarg des cargaa a lo largo del tiempo, q’(t):

3

PROBLEMAS

∫

q( t ) =Q− q ′( t ) =Q− i⋅dt

Siendo la corriente suministrada i = 2A, el instante t o en que la carga de la batería disminuye en una cuarta parte es: t o

3 q( t o )= Q = 33,75( Ah ) q (t o ) =45− 2⋅dt = 45−2t o 4 0

∫

t o =5,625( horas) =20250(s)

y el instante en que la carga vale la mitad, dejando la batería de suministrar corriente: t 1

1

∫

q( t1 ) = Q=22,5( Ah ) q (t 1 ) =45− 2⋅dt =45−2t 1 2 0 t1 =11, 25 25( horas ) =40500 (s) 2) Energía suministrada por la batería en el instante to .

En el intervalo de tiempo que transcurre hasta el instante t o , la f.e.m. de la batería se mantiene constante, de valor e(t) = 12 V (figura I.1b). La energía suministrada cuando se alcanza dicho instante es, entonces: to

t o

Wo = p(t )⋅dt = 12⋅2⋅dt = 24⋅t o = 486 (kJ )

∫

∫

0

0

3) Potenci Potencia a media y energía en ergía sumini s umini strada strada por por la batería batería cuando se alcance alcance e l i nstante nstante t1 .

La f.e.m. de la batería decrece en el intervalo int ervalo comprendido compr endido ent entre re t o y t 1 según según la sig s iguiente uiente exp exp resión: e( t ) −12 t −t o = → e( t) = −0,5333⋅t +15(V ) 9−12 t 1 − t o en donde t se mide en horas. 4


El valor medio de la potencia suministrada por la batería en todo el period p eriodoo de funciona funcionamie miento nto (T = t 1) vale: P =

1

T

1

t1

1

t o

t 1

0

t o

p(t) ⋅dt = e⋅i ⋅d t = ( 12⋅2⋅dt + ( −0,5333⋅t +15 15)⋅2⋅dt ) ∫ ∫ ∫ ∫ T t t 1 0

0

P =12⋅2⋅

t o t 1

−0,5333⋅

1

t1 −t o 2

2

t 1

+ 30⋅

t1 −t o t 1

= 22 ,5(W )

y la energía suministrada en este periodo: T

∫

W1 = p( t)⋅dt = P⋅t 1 = 22,5× 40500 0500=911,25 (kJ ) 0

PROBLEMA. (Magnitudes y elementos de los circuitos) La carga q(t) entregada a un elemento de circuito (figura I.2a) y la d.d.p. v(t) existente entre sus terminales evolucionan en el tiempo según se muestra en la figura I.2b. Determinar el valor de la potencia absorbida por el elemento en el instante t = 2 s., indicando si funciona como generador o como receptor en dicho dicho instante. inst ante. v(t) q(t) q(t) (V)

q(t)

(C)

v(t)

100

q(t)

5

v(t)

DIPOLO

4

8

12

-5

16

20

t (s)

-100

a)

b)

Figura I.2

5

PROBLEMAS

SOLUCIÓN: Un dipolo es un elemento o asociación de elementos de un circuito eléctrico que tiene dos terminales accesibles (figura I.2a). La p otencia instantáne instant áneaa del del dipolo está definida definida por p or el producto p roducto de los valores valores instantáneo inst antáneoss de la d.d.p. en bornes del dipolo, v(t), v(t ), y de la intensidad, intensidad, i(t), que absorbe o suministra, suministra, p( t ) =v (t )⋅i (t ) En el inst instante ante t = 2 s., s ., la d.d.p. t iene iene un valor valor constante constant e (figura (figura I.2b) v( t ) =100 (V ) La intensidad de corriente eléctrica no es conocida, pero puede ser obtenida a partir p artir de la carg cargaa eléct eléct rica, rica, cuya valor valor en dicho instante inst ante evoluci evoluciona ona según según la expresión: 5 q( t ) =− t (C) 4

obtenida obt enida del del gráfico gráfico de la figura figura I.2b a partir p artir de la ecuac ecuación ión de recta que pasa p asa por p or dos puntos. Por definición, el valor de la intensidad de corriente en el dipolo es: i( t ) =

dq dt

= −1,25( A)

en donde el signo signo negativo negativo indica solamente que el sentido real r eal de la corriente es el contrario al indicado en la figura I.2a, es decir, es saliente al dipolo. La pot encia del dipolo con los sentidos sent idos de la d.d.p. d.d.p . y de la carg cargaa eléctrica eléctrica representados en la figura I.2a vale, entonces: p( t ) =100⋅( − 1,25 25) = −125 (W ) El dipolo dip olo está “consumiendo” “cons umiendo” una potencia pot encia neg negativa, ativa, de valor constante const ante e igual igual 6


a 125 W, lo cual significa que el dipolo está suministrando una potencia constante de 125 W y , p or tanto, t anto, está est á funcionando funcionando como como un gene generador. rador. En efecto, un elemento que consume una potencia negativa es porque en realidad genera esta potencia. También se podría haber confirmado el funcionamiento como generador a partir de los sentidos de d.d.p. e intensidad, al aprecia ap reciarse rse que la la corrient corrientee sale s ale por p or el t erminal erminal de mayor p otencia ot enciall del del dipolo.

PROBLEMA. (Elementos)

i (mA)

La d.d.p. v(t) y la intensidad i(t) en un element elementoo pasivo p asivo de circuito varían varían en el tiempo como muestra la figura I.3. Determinar: 1) Valor alor de l p ar ámetro ámetro que caract caract eriza al elemento. 2) Energía Energía que se transforma trans forma o que se almacena en el instante t = 10 s.

v (V)

i

0,1

200 200

v 0

10

t (s)

Figura I.3

SOLUCIÓN: 1) Valor Valor del del parámetro que que caracteriz caracteriza a al e le mento.

En principio, no se sabe cual es el elemento pasivo cuyas magnitudes evolucionan evolucionan como muestr muest ra en la la figura figura I.3 y cuy cuyas as exp exp resiones matemá mat emátt icas icas son: s on: v=

200 10

⋅t = 20⋅t (V ) i= 0,1(mA)

El elemento puede ser una resistencia, una bobina o un condensador. 7

PROBLEMAS

Considerando Considerando que fuera una una resist en cia, su p arámetro arámetro característ característic icoo valdría: v 20⋅t R= = − 4 = 200000⋅t ( Ω ) i 10

Si el elem elemento ento hubiera sido una bobina, bobina, su induct induc t an ci a tendría el el siguiente siguiente valor: v 20⋅t = =∞ L = di/dt

0

Si el elemento es un condensador, su capacidad vale: C =

i

=

dv/dt

10

−4

20

= 5( µ F )

El parámetro característico de un elemento pasivo debe tener un valor constante const ante y finito; finit o; en en consecuencia consecuencia,, el elemento elemento cuyas cuy as mag magnitudes nit udes se muestran muest ran en la figura I.3 es un condensador de capacidad igual a 5 µF. 2) Energía Energía que que se transfor transforma ma o que se almacena almacena e n el instante t = 10 segundos.

Los condensadores son elementos que almacenan energía eléctrica en forma de campo campo eléctrico, es decir, mant manteniendo eniendo ent ent re sus terminal t erminales es una diferencia de pot p otencial. encial. El valor de la energía almacenada almacenada al cabo cabo de 10 segundos desde el inicio del proceso p roceso de carga es: es: 10

∫

10

∫

W = v⋅i ⋅d t = 20 2 0⋅10 −4 ⋅t ⋅dt =0 ,1( J ) 0

8

0


PROBLEMA. (Leyes de Kirchhoff). Calcular la potencia disipada en la resistencia del nudo O de la figura I.4a, siendo conocida la evolución temporal de la corriente i 3 y el valor de la d.d.p. en la bobina (figura (figura I.4b). I.4b ). 3

i3 1

V L (V) 0,2

R =2Ω o

O

t (s)

i 3(A) 5

L =0,1H

VL

3 o

1

2

a)

t (s)

b)

Figura I.4

SOLUCIÓN:

3

Por la primera ley de Kirchhoff, se debe cumplir: i1 +i2 =i3

i3 1

R=2Ω

i1 O

De la ley de Ohm de la bobina: i2 =

1 L

∫

v L ⋅dt dt = 2t ( A)

i2 L =0,1H

VL 2

y del gráfico de la figura I.4b: 5−3 i3 = 3+ t = 3+ 2t ( A)

Figura I.5

1

9

PROBLEMAS

De donde la corriente que circula por la resistencia vale: i1 =i3 −i2 =3( A) y la potencia disipada en ella es: P = R ⋅i12 = 2⋅32 =18 (W )

PROBLEMA. (Leyes de Kirchhoff). C 1

i1 R=12Ω

ic v2 L =0,1 H 2

Figura I.6

i3

3

La malla de la figura figura I.6, formada p or tres elementos pasivos, forma parte de un circuito más complejo con fuentes de excitación alternas sinusoidale sinuso idales. s. Se sabe que la d.d.p. d.d.p . en -50 sen100 sen100π t (V) la bobina vale v2 = -50 sen100π t (A), y las corrientes corrientes i 1 = 5 sen1 i 3 = -1, -1,55 55 cos100 cos100π t (A). Calcular: 1) Valor de la capacidad C del condensador. 2) Energía almacenada por el condensador condensador en el el instante instant e t = 5 ms.

SOLUCIÓN: 1) Valor de la capacidad C del condensador.

La malla de la figura I.6 está formada por tres ramas, cada una de ellas formadas formadas por p or un solo elemen elemento to p asivo (malla (malla pasiva), y t res nudos.

10


La capacidad C puede ser obtenida a partir de la expresión de la ley de Ohm del condensador:

C 1

i1 vR

R=12Ω

dv i c = C c dt

vc ic v2

si son conocidos lo valores de la d.d.p. y la corriente en dicho elemento (vc, ic).

i2

i3

3

L =0,1 H 2

Figura I.7

Aplicando la primera ley de Kirchhoff al nudo 3, se verifica: ic + i 3 − i 2 =0 ic = i 2 −i 3 =

1 L

∫ v ⋅dt −i 2

3

= 1,59⋅cos100πt +1,55⋅cos100πt = 3,14⋅cos100π t ( A)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la figura I.7, se cumple: v c + v L −v R = vc + v L − R⋅iR = 0 v c = v R −v L = 60⋅sen100π t − ( −5 0⋅s en100π t) =110⋅sen100π t (V ) Desp ejando ahora de la ley ley de Ohm, la capaci cap acidad dad del d el condensador vale: ic 3,14 14⋅cos10 0π t C = = =91 µ F dvc / dt 110⋅100π ⋅cos100π t 2) Energí Energía a almacenada por por e l conden condensad sador or en el instante ins tante t = 5 ms.

A partir de los valores de la d.d.p. y de la corriente en el condensador, la energía almacenada en el mismo se obtiene como: 0, 005

W=

∫ 0

0,005

vc ⋅i c ⋅dt =

∫345,4⋅ sen100π t⋅cos100π t⋅dt

0

1 0 ,005 2 W = 345 345,4⋅ ⋅sen 100π t 0 =172 ,7( J ) 2 11

PROBLEMAS

PROBLEMA. (Asociación de elementos). La placa de características del horno eléctrico de resistencia de una vivienda indica indica 4 kW a 220 V. La línea línea exist existente ente entre ent re el cuadro de contadores cont adores y el cuadro eléctrico de la vivienda es de cable cable bifilar, de hilo de cobre de 30 m 2 de longitud, 10 mm de sección y conductividad conduct ividad 56 m/Ω mm2. La línea interior que conect conect a el cuadro eléctr eléctrico ico de la vivienda con el el horno es tambié t ambiénn de hilo de cobre de la misma conductividad, de 3 m de longitud y 6 mm 2 de sección. Sabiendo Sabiendo que la tensión t ensión de la red eléctrica monofásica en el cuarto de contadores cont adores es de 222 V eficaces, calcular: 1) Resistencia equivalente de la asociación formada por el horno y las líneas, considerando despreciable la inductancia de estas últimas. 2) Valores eficaces de la corriente absorbida por la instalación y de la d.d.p. en bornes del horno. horno. 3) Idem que en los apartados apart ados anteriores si se conecta un segundo segundo horno h orno eléctrico de 1,5 kW a 220 V en bornes del primero.

SOLUCIÓN: 1) Res Resis istenci tencia a equivalente de la asociación formad formada a por por el horno y las líneas, considerando despreciable la inductancia de estas últimas. R

I R

R L1 L1

VRN

VH

N

Figura I.8 12

R L2 L2

El horno eléctrico equivale a una resistencia: R H

2

R H =

V Hn P Hn

=

220

2

4000

=12,1Ω

obtenida de la expresión de potencia de una resistencia.


Despreciando los efectos inductivos, cada uno de los tramos de línea equivalen a una resistencia, cuyo valor se deduce de la expresión: R L =

l γ ⋅S

en donde l es la longitu longitudd tot t otal al del cable, cable, en el que se s e tiene t iene en cuenta la longitud longitud del conductor de ida y el de vuelt vuelt a, γ es la conductividad conduct ividad del del cobre y S la sección del conductor. Sustituy Sustit uyendo endo valores, la resist resis t encia de cada cada tramo tr amo de la línea vale: vale: 2×30 2× 3 R L1 = , 01786Ω = 0107 Ω RL2 = = 0,01786 56×10 56× 6 Todas estas resistencias resistencias están conectadas conectadas en serie s erie,, dado dado que p or t odas ellas ellas circula la misma misma corriente y la d.d.p . en bornes bo rnes de d e la asociación asociación es igual igual a la suma de las d.d.p. de cada una de ellas (figura I.8). Por tanto, la resistencia equivalente de la asociación vale: Req = R H + R L1 + R L 2 =12,22486 Ω 2) Valores Valores efi caces caces de la corrie corrie nte absorb absorbida ida por por la instal i nstalación ación y de la d.d.p. en bornes del horno.

Ap licando licando la ley de Ohm, el valor eficaz de la corriente corrient e absorbida de la red eléctrica es: I R =

V RN R eq

=

222 12 ,22486

=18,16( A)

También por la ley de Ohm se obtiene el valor eficaz de la diferencia de potencia p otenciall en en el horno: V Hn = R H ⋅ I R =12 ,11816 ⋅ , = 219 ,736 (V ) Se aprecia ap recia que el valor eficaz eficaz de la t en sión exist existente ente en el horno es ligerame ligerament ntee inferior al de la red eléct eléct r i ca (222 V); la diferencia diferencia ent entre re ambos valores (2,264 V) constituye la caída de tensión (c.d.t.) en la línea.

13

PROBLEMAS

3) Idem Idem que en los apartad apartados os anteriores si se conecta un s egund egun do horno el éctrico de de 1,5 kW a 220 V en bornes bornes del primero. R

I R ’ R

R L1 L1

R L2 L2

VRN

V’H

La resistencia del segundo horno eléctr eléctrico ico vale: R H

R’H

2

V Hn

′= R H

N

P H ′

=

220

2

1500

=32,266Ω

Este receptor está en paralelo con el pr p rimer imer horno, horn o, como se aprecia ap recia en en la fig figura I.9, dado dado que los dos recep recep tores t ienen ienen la misma d.d.p . ( V H’) y la corriente t otal ot al de la asociación asociación es igual igual a la suma de las corrientes corrient es que circulan por p or cada cada uno de de ellos. ellos. Figura I.9

La resistencia resist encia equivalent equivalentee de la asociación asociación p aralelo aralelo formada f ormada por p or los dos hornos vale: R p =

1 1 R H

+

1

=8,8Ω

R ′H

A su vez, esta asociación está conectada en serie con las líneas; por tanto, la nueva resistencia equivalente de la instalación es: Re′q = R p + R L1 + R L2 = 8,92486 92486Ω Los valores de la nueva corriente suministrada por la red eléctrica y de la d.d.p. en bornes de los recept receptores ores son: I R′ =

V RN R eq ′

= 24,874 ( A) V H′ = R p ⋅I R′ = 218,89(V )

Se observa que la tensión t ensión aplica ap licada da a los dos hornos es menor que cuando había uno, debido a una mayor c.d.t. en la línea producida por ser la corriente más elevada . Hay H ay que tener t ener cuidado, cuidado, pues, pues , con las c.d.t c.d.t.. en las líneas, líneas, dado que si su valor es muy elevado pueden reducir muy considerablemente la tensión aplicada a los receptores y hacer que estos últimos funcionen incorrectamente.

14


PROBLEMA.

10Ω

(Análisis de circuitos).

Determinar los valores de la f.e.m. E de la fuente de tensión y de la resist resis t encia R del circuito de la figura figura I.10 I.1 0 sabiendo que q ue las fuentes son de continua y que IAB = 8 A, I R = 5 A.

1 mH

A

I AB

I R

2Ω

+

10Ω

200 V

B

R

+

E C

Figura I.10

SOLUCIÓN: En primer lugar hay que simplificar el circuito, en la medida de lo posible p osible.. Como la la d.d.p. en bornes bornes de la bobina vale: vale: dI −3 d v AB = L⋅ AB =10 ⋅ ( 8) = 0 (V ) dt dt

este elemento no afecta energéticamente al resto del circuito, comportándose como un cortocircuito en régimen permanente (figura I.11). A continuación, se establecen las corrientes de las tres mallas con sentido de circulación arbitrario (p.e., los mostrados en la figura I.11). Como la rama AB y la formada por p or la resistencia R son externas externas (es decir, pertenecen a una sola malla), en ellas se verifica que las corrientes corrient es de malla malla coinciden coinciden con las corrientes de rama:

10Ω

A

B

I AB

2Ω

+

200 V

I2

10Ω

I R

+

I3

R

E

I1 C

Figura I.11

15

PROBLEMAS

I 2 = I AB AB = 8 ( A) I 3 = I R =5( A)

que constituy constit uyen, en, respectivamente, resp ectivamente, las ecuaciones de la segunda segunda y tercera t ercera malla. malla. La ecuación de la primera malla es: 200 =(10+10)⋅ I 1 −10⋅ I 2 =20⋅I 1 −10⋅I 2 de donde: I 1 =

200 200 +10⋅ I 2 20

=14 ( A)

Ap licando licando la segunda segunda ley de Kirchhoff a la segunda segunda malla, malla, la f.e.m. de la fuente de tensión vale: V AC AC =10⋅( I 1 − I 2 ) =V BC =2⋅( I 2 − I 3 ) + E E =10⋅( I 1 − I 2 ) −2 ⋅( I 2 − I 3 ) =54(V ) y utilizando la ley de Ohm en la resistencia R se obtiene: V BC =V AC =10⋅( I 1 − I 2 )= 60V = R⋅I 3 R=

2Ω

60 5

=12Ω

PROBLEMA. (Teoremas)

A

0,2 Ω

+

0,5Ω

10 V

+

e(t) B

Figura I.12

16

Aplicando el Principio de Superposición, up erposición, determinar determinar la d.d.p d.d.p.. y la corriente que circula por la resistencia de 0,5 Ω del circuito de la figura I.12, sabiendo que la segunda fuente de tensión es alterna sinusoidal, de f.e.m. e(t) = 0, 0,1 2 sen sen100πt (V).


SOLUCIÓN: Seg Según el el Principio Princip io de Superp osición, la d.d.p . y la corriente que qu e circula por p or la resistencia de 0,5Ω es igual a suma algebraica de las citadas respuestas que produce cada una de las fuentes por separado. - Cálculo de las respuestas de la fuente de tensión continua. Se elimina la fuente de t ensión alterna (figura I.13). Las resistencias de 0,5 Ω y de 0,2 Ω están ent onces onces en paral p aralelo. elo. La La corriente suministrada por la fuente de tensión continua vale, aplica ap licando ndo la segunda segunda ley de Kirchhoff: I ′=

I’

A

I’AB +

10 V

10 6 6( A) =4,66 0,5⋅0,2

2+

2Ω

0,5Ω

V’AB

0,2 Ω

B

Figura I.13

0,5+ 0,2

La d.d.p. y la corriente en la resistencia de 0,5 Ω debida a la fuente de tensión continua son, resopec resop ectt ivame ivamente: nte:

 0,5⋅0,2   ⋅ I ′ = 0,66(V )  0,5 +0, 2  V A′B I AB ′ = AB =1,33( A) V AB A′B = 

0,5

- Cálculo de las respuestas de la fuente de tensión t ensión alterna. alterna. Se elimina la fuente de tensión continua. Procediendo análogame análogament ntee que anteriormente, la corriente suministrada por p or la fuente de t ensión alterna vale: vale:

2Ω

i”(t)

A

i”AB(t) v” (t) AB

0,2 Ω

0,5Ω

+

e(t) B

Figura I.14 17

PROBLEMAS

i ′′ ( t )=

0,1 2 ⋅sen100π t = 0, 04166 2 ⋅ sen100π t ( A) 0,5⋅2 2+ 0,5+2

y las las resp uestas en la resistencia resistencia de 0,5 Ω debidas a la acción exclusiva de esta fuente:  0,5⋅2  v AB 0 166 2 ⋅sen100π t (V ) ′′ (t)=   ⋅i ′′ (t )= 0,01  0,5+2  i AB ′′ (t )= AB

v AB ′′B (t ) A 0,5

0 33 2 ⋅ sen100π t ( A) = 0,03

- Cálculo de las respuestas en la resistencia de 0,5 Ω. Ap licando Aplic ando superposición, sup erposición, la d.d.p d.d.p.. y la corriente corriente en la resistencia de de 0,5 Ω son, resp ect ect ivame ivamente: nte: ′ + v ′AB ′ ( t )= 0,66+0 ,0166 2 ⋅s en100π t (V ) v AB (t ) =V AB i AB ( t) = I AB 33+ 0,03 033 2⋅sen100π t ( A) ′ +i ′AB ′ ( t ) =1,33

PROBLEMA. (Teoremas) 0,5Ω

A

0,5 0,5 Ω

B

0,2 Ω

+

120 V

R

0,5µF

+

117,6 V C

figura I.15

18

La resist encia R del circuito rcuit o de la figura I.15 puede variar entre 72 Ω y 288 Ω. Sabiendo que las fuentes de tensión son continuas continuas y aplica ap licando ndo el teorema t eorema de Thevenin, Th evenin, determinar los límit límit es entre los que varía la potencia en la resistencia considerando el funcionamient funcionamientoo en régime régimenn p ermanent ermanente. e.


SOLUCIÓN: La utilización ut ilización del del circuito circuito equivalente de Thevenin es es muy útil út il para simplifica simp lificarr el cálcul cálculo de las las resp uestas uest as en un element elementoo o asociación asociación de elementos de valor variable. - Cálculo de la f.e.m. equivalente de Thevenin (E eq): La f.e.m. equivalente de Thevenin es la d.d.p. que se establece entre los terminales BC del del circuito result r esultante ante de eliminar la resistencia R (figura I.16). El condensador no afecta al funcionamiento del circuito en corriente continua y régimen perma p ermanente, nente, p or ello ello no es t á representado en la figura I.16. Ap licando licando la segunda segunda ley ley de Kirchhoff al circuito anterior resulta: 120−117,6=(0 ,5 +0 ,5 +0,2 ) ⋅ I I =

2,4 1, 2

0,5Ω

0,5Ω

+

120 V

B

0,2 Ω

I

Eeq

+

117,6 V C

Figura I.16

0,5 Ω

0,5Ω

B

0,2 Ω

=2 ( A) C

y también de la segunda ley de Figura I.17 Kirchhoff se obtiene el valor de la f.e.m. equivalente de Thevenin: E eq =120− (0,5 +0 ,5)⋅ I = 0,2⋅ I +117 ,6=118 (V ) - Cálculo de la resistencia equivalente de Thevenin (R eq): La resistencia equivalente de Thevenin es la que presenta el circuito existente en bornes de la resistencia R al eliminar todas las fuentes de tensión 19

PROBLEMAS

(figura (figura I.17). I. 17). Las resist resist encias encias de 0,5 Ω están est án en serie y , a su vez, est a asociación asociación está conectada en paralelo con la resistencia de 0,2 Ω; por tanto, su valor es: ( 0,5+ 0,5)⋅0,2 Req = = 0,166Ω 0,5+0,5+ 0,2 R eq eq

B

I BC

Utilizando el circuito equivalente de Thevenin, la potencia consumida por R vale:

 E eq  2 P = R⋅ I BC R = ⋅   BC  Req + R 

+

R

VBC

Eeq

2

Sustituy ust ituy endo valore valores, s, se s e obtiene:

C

- para R = 72 Ω, P = 192,5 W. - para R = 288 Ω, P = 48,3 W.

Figura I.18

PROBLEMA. (Análisis (Análisis de circuitos circuitos y teoremas) En el circuito de la figura I.19, calcular: E1

48 V

R4

1) La

16 Ω E2

A

R1

8Ω

R2

12 Ω

18 V

B

Figura I.19

SOLUCIÓN: 20

R3

6Ω

corriente I AB que circula circula p or la resistencia R 2 , aplicando el método de análisis de las corrientes de malla. 2) Valor que debería tener la f.e.m. E 2 para p ara evitar la circula circulación ción d e corriente por p or la resistencia R 2 , aplicando Thevenin.


1) Corriente IAB que circula por la resistencia R 2 , aplicando el método método de de análisi s de l as corrientes corrientes de malla.

R4

E1

I1

El circuito de la figura 1 tiene dos mallas. mallas. Ap li cando cando el método de análisis análisis de las corrientes corr ientes de malla, malla, se ha de resolver un sistema de dos ecuaciones, cuyas dos incógnitas son las corrientes de las mallas.

E2

A

R1 R2

I2

I AB B

Figura I.20

R3

Para plantear las ecuaciones de las mallas, en primer lugar se eligen las corrientes de las mallas con sentido de circulación arbitrario, por ejemplo, dextt rógiro dex rógiro (figura (figura I.20). I. 20).

En el primer miembro de la ecuación de cada malla se expresan la suma algebraica algebraica de las las f.e.ms. f. e.ms. de las fuent f uentes es de excit excitació aciónn exist existent entes es en cada malla, malla, con signo positivo si la corriente de malla entra por el terminal de menor potencial de la fuente. En el segundo miembro de dichas ecuaciones se establecen las caídas de tensión en las resistencias, agrupados los términos de la siguiente manera, manera, para p ara simplifica simp lificar: r: “suma “s uma de resistencia resist enciass de una malla malla por p or la corriente corrient e de dicha malla malla menos las resist encias encias que p ertenecen a dos mallas mallas p or la corriente de la otra malla”. De esta forma, las ecuaciones de las mallas son: Malla Malla 1: E1 =( R1 + R2 + R4 )⋅ I 1 − R 2 ⋅I 2 Malla Malla 2:− E 2 = − R2 ⋅I 1 + R4 ⋅ I 2 y sustituy endo endo valore valores: s: 48= 36⋅ I 1 −12⋅ I 2 1 2⋅ I 1 +6⋅ I 2 −18= −12 Despejando, las corrientes de malla valen: I 1 =1A I 2 = −1A 21

PROBLEMAS

en donde el signo negativo de la corriente de la segunda malla significa que su sentido real es el contrario al asignado. La corriente que circula por la rama AB vale, con el sentido pedido en el enunciado (figura 2): I AB = I 1 − I 2 = 2 A 2) Valor Valor que deberí debería a tener ten er la l a f.e.m. E2 para para evitar la circul ación de corriente por la resistencia R 2 , apli apli cando cando Theveni n.

- Cálculo de la f.e.m. equivalente de Thevenin:

R4

E1

E’2

A

R1

I

VAB

R3

B

Se elimina la resistencia R 2 , conectada entre A y B, y se determina la diferencia de potencial entre dichos terminales. terminales. U t ilizando ilizando el método método de análisis análisis de las corrientes corr ientes de las mallas mallas al circuito así formado (figura I.21) se obtiene obt iene la siguiente siguiente ecuación ecuación : E1 − E 2′ = ( R1 + R3 + R4 )⋅ I

Figura I.21

48− E2′ =30⋅I

de donde la f.e.m. de Thevenin vale: E eq =V AB = E 2′ + R3 ⋅I = 0,8⋅E 2′ + 9,6

R4 A

R1 R3

siendo E2’es el valor de la f.e.m. que se desea calcular.

La resistencia de Thevenin se Figura I.22 obtiene eliminando las fuentes de tensión del circuito de la figura I.21 y calculando la resistencia equivalente del circuito así formado (figura I.22): B

22


1 Req

=

1 R1 + R4

+

1 R3

Req =4,8Ω

T odo el circuito circuito exist existente ente entre ent re los terminal t erminales es A y B, es decir, el circuito “visto” por la resistencia R 2 equivale a un dipolo dip olo serie formado formado por p or la fuente de tensión de f.e.m. Eeq conectado en serie con la la resist encia R eq equivalentee eq (dipolo equivalent de Thevenin). Utilizando el circuito equivalente de Thevenin (figura I.23), se verifica: E e′q − ( R eq + R3 )⋅ I A′ B =0

′ = 0→ E eq′ = 0= 0,8⋅E 2′ +9,6 I AB

Figura I.23

de donde el valor de la f.e.m. E 2 ' necesaria para que no circule corriente por la resistencia R 2 es: E 2′ = 12 12 (V )

23

PROBLEMAS

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) Magnitud Magnitudes es eléctricas. eléctr icas. P-1.1) La f.e.m. de un generador eléctrico ideal evoluciona en el tiempo según se muestra en la figura I.24. Suponiendo que la potencia mecánica suministrada se mantiene siempre constante e igual a 1000 W, determinar la carga eléctrica trasegada por el generador generador en en el instante t=9s. t= 9s.

e (V) 100 100

50

10

20

t (s)

Figura I.24

(Solución: q(t) = t

200 ln(t ln(t+10) +10) -

460 , 5

C

(0

10 s)

q ( t) =

10 10

t + 38,6 38,63 3

C

(t >

10 10

s) s)

).

P-1.2) Un receptor activo, ideal, trasiega una carga eléctrica q (t) = 4t² C. Obtener la energía transformada al cabo de 2 s., sabiendo que su f.e.m. e evoluciona en el tiempo según muestra la figura I.24. (Solución: 906,66 julios).

P-1.3) Un receptor pasivo canaliza uniformemente 10 17 electrones en un periodo de 10 s, siendo la carga carga del electrón electrón es 1,6 10 -19 C y la energía disipada en dicho periodo periodo de 50 julios, calcular calcular la d.d.p. d.d. p. entre los terminales del receptor. receptor. (Solución: 3125 V).

generador ideal ideal (sin pérdidas) tiene una f.e. f.e.m. m. e(t) = 220 cos 100πt P-1.4) Un generador (V), determinar la potencia media y la energía que es necesario suministrarle al cabo de 1 hora para que trasiegue una carga eléctrica q(t) = 20 sen 100πt (mC). (Solución: med P = 690,8 w; W = 2486,88 KJ).

24


P-1.5) Una batería de resistencia interna despreciable está conectada entre los terminales de un circuito (figura I.25a) que le suministra una corriente, cuyo valor evoluciona en el tiempo según se indica en la figura I.25b. Considera Considerando ndo que la d . d .p. en bornes bornes del circu circu ito de carga carga se mantiene constante e igual a 12 V, determinar: 1) Instante para el que la carga suministrada suminis trada a la batería batería es de d e 10 A h. 2) Potencia y energía suministrada al cabo de 7 h. 3) Potencia media suministrada al final del periodo de carga. (Soluci ón:

1)

3,48

horas.

2)

i(t) CIRCUITO

E

v=12V

DE CARGA

a) i(t) (A) (A) 4 2 0

2

4

6

b)

8 t ( horas) horas)

Figura I.25

993,6

KJ. 3) 36 w ).

B) Elementos de los circuitos. P-1.6) Un elemento de un circuito eléctrico es atravesado por una carga eléctrica q(t) = 2 cos t (C) cuando la d.d.p. en sus bornes es v(t) = 100 sen t (v). Con los sentidos de tensión tensión y de corriente indica indi cados dos en la figura I.26, determinar si el elemento es un generador o un receptor y su energía al cabo de 2 segundos. (Soluci ón:

Generador .

W

=

154,535 154,535

J

i(t) v(t)

ELEMENTO

Figura I.26

).

P-1.7) Determinar la carga eléctrica circulante por el elemento de la figura I.27a, así como su energía energía en el instante t = 4 segundos, con indicación indicación de si es generada generada 25

PROBLEMAS

o consumida, sabiendo que la d.d.p. v(t) existente entre sus terminales y la intensidad de corriente i(t) evolucionan según se muestra en la figura 27b. v(t) i(t) (V ) (A )

i(t)

v(t)

1 00

i(t)

5

v(t)

ELE MENT O

4

8

12

-5

16

20

t (s)

-1 00

a)

b)

Figura I.27 (Soluci ón: Q = 10 C, W = 1000 J. Gene rador ).

P-1.8) Un elemento pasivo es recorrido por una corriente i(t i(t) = 0,4 0,45 5 2 sen sen 100πt (A) cuando se le aplica una d.d.p. de ley sinusoidal v(t v(t) = 220 220 2 se sen 100 100πt (V ). Indicar Indicar de que elemento elemento se trata y calcula calcularr el valor valor medio de la potenci a consumida o almacenada al cabo de 0,02 s. (Solución: Resistencia R = 489 , P = 99 W).

q(t) e

DIPOLO

Figura I.28

P-1.9) Una fuente de tensión cuya f.e.m. tiene de ley e(t) = 180 cos 100πt (V) suministra una carga eléctrica q(t) a un elemento pasivo conectado entre sus terminales (figura I.2 8 ). Determinar Determinar de qué elemento elemento se trata y el valor de la propiedad que lo caracteriza en los casos siguientes: a) q(t) = 5 sen 100πt (mC) b) q(t) = -5 cos 100πt (mC) c) q(t) = 5 cos 100πt (mC) (Solución: a) R = 360/

. 2

b) L = 3,6/ H. c) C = 27,77 µF ).

26


P-1.10) La diferencia de potencial v(t) y la intensidad de corriente i(t) en un elemento pasivo de circuito evolucionan con el tiempo como muestra la figura I.29. Deducir qué elemento es y calcular su parámetro característico.

v (mV)

i (A)

v

100 100

10

i

5 0

5

10

t (s)

(Solución: Bobina de L = 0,1 H ).

Figura I.29 P-1.11)

Calcular el coeficiente de autoinducción de una bobina, necesario para para que d i ch o el em ento ent o pueda soportar una diferencia de potencial de hasta 1000 V, cuando la corriente que lo atraviesa evoluciona según se muestra en la figura I.30.

i (A) 60 50 40 30 20 10 0

0, 1

0, 2

0, 3

0, 4

t (s)

Figura I.30

(Solución: L = 2,5 H ).

P-1.12) Calcular la energía almacenada por una bobina de 100 mH al cabo de 10 segundos de ser atravesada por una corriente , que evoluciona en el tiempo según dos tramos, de expresiones: i(t)=0,1(t+5) (0 (0 t 5s), i(t)=1 A (t (t 5s). (Solución: W = 0,0375 J ).

P-1.13) La tensión aplicada sobre un condensador de capacidad C = 0,1 mF evoluciona en el tiempo como se muestra en la figura I.31. Obtener el valor de la intensidad de corriente que lo at raviesa y de la energía energía que almacena al cabo de 4 segundos.

v (V) 100

0

5

10

t (s)

Figura I.31

(Solución: I = 2 mA, W = 0,32 J ).

27

PROBLEMAS

v (V)

P-1.14) La intensidad que se manifiesta en un condensador al producirse producirse una variac variación ión brusca de la tensión en sus bornes, como la mostrada en en la figura figura I.3 I. 3 2, es de 10 A. Calcular la capacidad del condensador.

15 0

10 0

50

0

0 ,0 1

0 ,0 2

t (s)

(Solución: C = 1 mF ).

Figura I.32

C) Leyes Leyes de Kirchhoff. P-1.15) Obtener el valor de la potencia en la fuente de tensión del nudo O del circuito circuito de la figura figura I. 3 3 a, indica indi cando ndo si es genera generada da o consumida, sabiendo que la potencia potencia disipada en la resistencia resistencia R es de 1 W con el sentid o d e su d.d.p. d.d. p. V R mostrado en dicha figura. B

E,VCD (V)

0,2 A A

10

E

E

R=2 R=2Ω

+ O

VR C

C

o -5

10 µF

t (s)

VCD

D

a)

b)

Figura I.33

(Solución: P = 7 W, generada).

28


P-1.16) Determinar la expresión de la potencia en la bobina de la malla de la figura I.34a y su valor en el instante t = 10 s, sabiendo que las corrientes i R e iC evolucionan según se indica en la figura I.34b y la bobina y el condensador están descargados en el instante inicial. ic A

10

iL L=1H

R=1 Ω

iR

B

vc

20

t (s)

10

20

t (s)

iR

C=1mF

C

10 6

ic

a)

b) Figura I.34

p(t) = 0,186 t 3 para 0

(Solución:

t

10 s,

p(t) = 0 para 10 < t < 20 s.).

P-1.17) La d.d.p. en bornes de la bobin a de la malla pasiva de la figura I.35 vale v2 = 1 (V) y la corriente i1 = 0, 6 t (A). Se pide, determinar: 1) Valor de las corrientes i c e i 3 . 2 ) Energía consumida por la resistencia en el instante t = 2 s. 3) Energías almacenadas por la bobina y por el condensador en t = 2 s. (Solución: A;

2)

W R =

1) 9,6

ic =1,98 J; 3)

A,

i3 =50t-1,98

W = L

100

J,

C 1

i1 R

0,33 F ic

10Ω

L= 20mH

i3

3

v2 2

Figura I.35

W C C

= 19,8 J).

29

PROBLEMAS

D) Asociación de elementos. P-1.18) Un determinado circuito eléctrico está formado por la asociación en serie de cinco resistencias de 3,9 Ω y doce de 5,6 Ω. Determinar: 1) Resistencia

equivalente de la asociación; asociación; 2) c. c . d . t. y potencia disipada disi pada en cada cada resistencia si el circuito es alimentado por una fuente de tensión de 100 V. (Solución: 1) 86,7 . 2) En las resistencias de 3,9 : 4,5 V, 5,2 W. En las resistencias de 5,6 : 6,46 V, 7,5 W).

P-1.19) Para alimentar a una lámpa lámpara ra de incandesce incandescencia ncia de 3, 3 , 5 V y 5 w se dispone di spone

de una pila de 9 V. Determinar el valor y la potencia de la resistencia que hay que conectarle en serie para que la lámpara no se funda. (Solución: 3,85 , 7,856 W).

P-1.20) Un voltímetro de 150 V de fondo de escala se utiliza para medir tensiones

de hasta 450 V. Determinar el valor y la potencia de la resistencia de atenuación que es necesario conectarle en serie, sabiendo que la resistencia de la bobina voltimétrica es de 5000 Ω. (Solución: 10000 , 9 W).

P-1.21) La corriente que circula por una bobina evoluciona según la ley i(t) = 5t

(A) cuando cuando tiene aplicada una tensión constante v(t) = 10 (V). (V). Det De t erminar cuantas cuantas bobin bobinas as de 0,6 H hay hay que que cone onectar ctarle le en serie serie para para limitar limitar el valor valor de l a corrie orriente nte a i’(t) = 3,125t (A), manteniendo el valor de la tensión aplicada a toda la asociación. (Solución: 2 bobinas de 0,6 H asociadas en serie).

P-1.22) Para una determinada instalación eléctrica se necesita un condensador de

capacidad 3,33 µF; sin embargo, sólo hay disponibles condensadores de 10 µF. Determinar cuántos de estos condensadores hay que asociar para obtener la capacidad deseada y que tipo de asociación deben formar. (Solución: 3 condensadores de 10 µF).

30


P-1.23) La d.d.p. en bornes del condensador

del circuito de la figura I.36 evoluciona en el tiempo según la ley v c (t) = 100 t2 (V). Sabiendo que la potencia máxima que puede soportar la lámpara es de 10 W, calcular: 1) Instante en que se funde la lámpara. 2) Energías absorbida por la lámpara y almacenada por el condensador en dicho instante. 3 ) Tensión a la que queda cargado el condensador y corriente máxima que lo atraviesa.

R=1000 Ω

v(t) vc (t)

C=200 µF µF

Figura I.36

(Solución: 1) 2,5 s. 2) R W = 8,33 J, W =39,06 J.3)625 V, 0,1 A ). c

P-1.24) Por la rama de la figura I.37

circula una corriente continua I = 2 A. Sabiendo que el condensador está cargado a una tensión Vo = 50 V, con la polaridad indicada, y la bobina está descargada, calcular el valor de VAB.

A

R

I=2A

C

L

2Ω

+

0,5 H

B

10 µF

Figura I.37

(Solución: AB V = 54 + 2.105 t ).

A

R

i

L

(Soluci (So luci ón: 5)

i(t)=2,5t 2,

e

B

a)

vL

P-1.25) Determinar la ley de variación

de la corriente que atraviesa la rama activa de la figura I.38a y de la d.d.p. vAB, siendo la d.d.p. en la bobina (vL) y la f.e.m. (e) de la fuente de tensión las mostradas en la figura I.38b. Datos: R = 1 Ω, L = 1 H.

+

e, vL(V) 10

vL

5

-5

b)

e

2

4 t (s)

2 v AB = 2 , 5 t +5t--

Figura I.38

P-1.26) La instalación instalación de alumbrado de una casa casa está formada formada por 3 l ámparas de

incandescencia de 220 V, 60 W, y 5 lámparas del mismo tipo, 220 V, 100 W, 31

PROBLEMAS

alimentadas por la red eléctrica de 220 V. Siendo las lámparas de incandescencia resistencias puras, calcular la resistencia equivalente de la instalación. (Solución: 71,18

).

P-1.27) Dos estufas eléctricas de 220 V y potencias de 500 W y 1000 W,

respectivamente, están conectadas a la red eléctrica de 220 V. Calcular: 1) Resistencia equivalente de la asociación. 2) Corriente que circula por cada estufa. (Solución: 1) R = 32,27 eq

. 2) I 1 = 2,27 A, I 2 = 4,54 A ).

P-1.28) Un amperímetro de 1 A de fondo de escala se utiliza para medir corrientes

continuas de hasta 3,5 A. Siendo el máximo valor de la c.d.t. interna de 0,1 V, determinar la asociación con menor número de resistencias que hay que conectarle en paralelo para poder realizar la medida. NOTA: Se dispone de resistencias de 0,01Ω, 0,06Ω y 0,08Ω. (Solución: 2 resistencias de 0,08

).

P-1.29) Una instala instalació ciónn eléctr eléctrica ica absor absorbe be una una cor corrie riente nte i(t) = 0,7 2 s en(1 en (100 00πtπ / 2)

(A) (A) al al aplica aplicarle rle una tensión tensión v(t) v(t) = 220 2 sen100 sen100πt (V). Deducir el número de bobinas bobinas de 0,5 H hay hay que que cone conecctar tar en para parale lelo lo con la instala instalacción para para aume umentar ntar el valor valor de de la corr corrien iente te hasta hasta i’(t) = 2,1 2 sen(10 sen(1000πt-π/2) (A). (Solución: 1 bobina).

i L(A) 0,11

iL

L

R 0,01 0,1

a)

t (s)

b) Figura I.39

P-1.30) La corriente en la bobina L del circuito de la figura I.39a decrece

linealmente como muestra la figura I.39b. Determinar la potencia y energía 32


consumida por la lámpara de incandescencia en el periodo de descarga de la bobina. DATOS: R = 484Ω; L = 2,2 H. (Solución: P = 400 w, W = 80 J ).

P-1.31) En la rama activa de la figura I.40 circula una corriente continua de 2 A.

Calcular: 1) Las d.d.p. entre los terminales AG, BC, DF y FD. 2) Corriente que atraviesa al condensador. 3)

Potencia de cada uno de los elementos indicando el tipo de funcionamiento, generador o receptor, de las fuentes de tensión. C 1 µF I=2A A

R1 2Ω

L B

E1

1

3H

L

+ C

D

5V

2

1H

E2 +

R2 F

E

2V

1Ω

G

Figura I.40 (Solución: 1) V = U = 3 V, V = 0, V = 2 V, V = - 2 V. 2) I = 0. AG AG BC DF FD C 3) P R1 = 8 w, P R2 = 4 w, P E1 = 10 w (generador), P E2 = 4 w (receptor), P L1 = P l2 = 0).

E) Análisis de circuitos. La rama rama AB de la malla malla de la fifi g u r a I . 4 1 a es es externa externa (es (es decir, decir, que perte pertene nece ce a una una sola malla malla); ); dete determ rmina inarr el valor valor de la corrie orriente nte (i1) que circula por ella, sabiendo que la d.d.p. VCA y la corriente I2, perteneciente a una malla contigua, son las mostradas en la figura I.41b. P-1.32)

33

PROBLEMAS

VCA A

10Ω

i1

(V)

B

100 50

4Ω 5Ω

I2

+

E=10V

0 I 2 (A)

2

4 t(s)

2

4 t(s)

10

C

0

a)

b) Figura I.41

(Solución: i1 = 5t).

2Ω 2Ω

R5 R2

1Ω

R4 = 4Ω

+ 1Ω

Utilizando el método de análisis de las corrientes de malla, calcular las potencias de las fuentes de tensión del circuito de la figura I.42, indicando su modo de funcionamiento, generador o receptor. P-1.33)

E’=12V +

R3

E=10V

(Solución: P 1 = 27,14 W, generador P 2 2 =

22,284

W,

generador generador ).

Figura I.42

2Ω

A

B

R

+

50 V

P-1.34)

10 µF

2Ω

+

E C

Figura I.43

34

VR

Las fuentes de tensión del circuito de la figura I.43 son de corriente continua y la d.d.p. en la resistencia R de la rama externa es VR = R 10 V. Determinar: 1) Potencia suministrada por la fuente de tensión de 50 V. 2) Valor de la f.e.m. E. (Solución: 1) 625 W; 2) E = 20 V)


P-1.35) Aplicando el método de análisis A

R1 +

R2

B+

R3

E2

R4

E1

R5

R6

C

R7

D

de las corrientes de malla, determinar las corrientes suministradas por las fuentes de tensión y la corriente que circula por la resistencia R 7 del circuito de la figura I.44, siendo R 1 = R 5 = 1Ω, R 2 = R 4 = 2Ω, R 3 = 4Ω, R 6 = 3Ω, R 7 = 6Ω, E1 = 4V y E2 = 2V. (Solución:

Figura I.44

I E1 E1 =

187

mA,

I = E2

7,22

mA,

I = 2,4 mA, con sentido de D a C) R7 R7

F) Teoremas Teorema s de los circuitos lineales lineales.. P-1.36) Obtener

la potencia consumida por la resistencia R 7 del circuito de la figura I.44 aplicando el Principio de Superposición. (Solución: P = 34,56 µW )

P-1.37)

Aplicando el Principio de Superposición al circuito de la figura I.45, calcular calcular : 1) La corriente IAB que circula por R 2 . 2) El valor de la f.e.m. que debe tener la fuente de tensión E2 para evitar la circulación de corriente por la resistencia R 2. (Solución: 1) I =2A; 2) E2=12V) AB

E1

48 V

R4

16 Ω E2

A R1

8Ω

12 Ω

R2

18 V R3

6Ω

B

Figura I.45

P-1.38)

Calcular la d.d.p. y la potencia en la resistencia de 5 Ω del circuito de la figura I.46, aplicando:: a) el Principio de Superposición, b) el teor teoreema de Theve Thevenin nin.. (Solución: V =6,09V, P =7,42W) AB R5 R5

35

PROBLEMAS

2Ω

10Ω

4Ω A

+

1Ω

10V

+

5Ω

12V

B

Figura I.46

P-1.39)

La fuente de tensión del circuito de la figura I.47 es alterna sinusoidal de f.e.m.: e(t)=3 e(t)=300 2sen10 2sen1000πt (mV); aplicando el teorema de Thevenin determinar: 1) Valores de la tensión y corriente en la resistencia de carga R. 2) Relación entre las tensiones VCE y VBE al eliminar la resistencia R. π t mV,iR π t mA; 2) V (Solución: 1) v =2 2sen 2sen10 100 0 =2 2sen sen100 100 /V =0,5). R R=20 0 CE CE BE BE

e

10Ω

10Ω

ib

B

20Ω

85Ω

10Ω

E Figura I.47

36

C

R=10Ω

problemas-primer+parcial+01

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