Problemas 1.-
Un problema Un problema de producción: de producción: La Swelte Glove Company fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de $12 por cada unidad que vende de su producto 1, u de $4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo mes: 800 horas en el departamento 1, 600 horas en el departamento 2 y 2000 horas en el departamento 3. Suponiendo que la compañía esté interesada en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo de programación lineal correspondiente.
DEPARTAMENTO
REQUERIMIENTOS DE HORAS DE TRABAJO Producto 1
Producto 2
1 1 2
2 3 3
1 2 3 2.-
Problema de producción: Wood Walker es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En ese taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada. Wood podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además el modelo C puede venderse sin pintar. Wood emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule usted un modelo de programación lineal que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que le permitirá maximizar sus ganancias en el próximo mes.
MODELO
3.-
CORTE (hrs)
MONTAJE (hrs (hrs))
PIN PINTURA TURA (hrs)
GANANCIAS POR CADA MESA ($)
A B C C sin pintar
3 1 4 4
4 2 5 5
5 5 4 0
25 20 30 30
Capacidad
150
200
300
Planificación Financiera. Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100,000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule un PL para mostrar
cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de cada esa cartera.
4.-
5.-
ACCIONES
PRECIO POR ACCIÓN ($)
Gofer Crude Can Oil Sloth Petroleum
60 25 20
RENDIMIENTO ANUAL INVERSIÓN POR ACCIÓN ($) MÁXIMA POSIBLE 7 3 3
60,000 25,000 30,000
Problema de integración. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc., ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de los perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas, ¿qué cantidad de cada de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento a fin de minimizar los costos? (16 onzas = 1 libra).
PRODUCTO EN GRANO
COSTO POR LIBRA ($)
PROTEÍNAS (%)
A B C
0.45 0.38 0.27
62 55 36
CARBOHIDRATOS GRASAS (%) (%) 5 10 20
3 2 1
Un problema de integración. McNaughton, Inc. produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las formulas de estos productos. Los porcentajes permisibles así como la información acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo PL cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.
INGREDIENTES SALSA Spicy Diablo Red Baron Costo por litro
6.-
A cuanto menos 25% cuanto mucho 75% $1.60
PRECIO DE VENTA POR B LITRO DE ($) cuanto menos 50% 3.35 * 2.85 $2.59
Un problema de integración. La Corey Ander´s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utilizan en la producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes ( HB01, HB02, HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo
el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente puede vender un máximo de 1,700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70 y HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de PL para maximizar sus ingresos.
INGREDIENTES (oz/botella) HB01 HB02 HB03 Cúrcuma 4 2 1 Pimentón 3 2 3 Disponibilidad (oz) 8000 9000 7000
7.-
DEMANDA (Botellas) 1700 Ilimitada
PRECIO DE VENTA POR BOTELLA ($) 3.25 2.75
Administración de granjas. Una compañía opera cuatro granjas, cuyos grados de productividad son comparables. Cada una de las granjas tiene cierta cantidad de hectáreas útiles y de horas de trabajo para plantar y cuida r la cosecha. Los datos correspondientes a la próxima temporada aparecen en la sgte. Tabla.
GRANJA
HECTAREAS UTILES
HORAS DE TRABAJO DISPONIBLES POR MES
1 2 3 4
500 900 300 700
1700 3000 900 2200
La organización esta considerando la opción de plantar tres cultivos distintos. Las diferencias principales entre estos cultivos son las ganancias esperadas por hect área y la cantidad de mano de obra que cada una requiere como se indica en la sgte. Tabla.
CULTIVO
HECTAREAS MAXIMIZADAS
HORAS MENSUALES DE TRABAJO POR HECTAREA
GANANCIAS ESPERADAS POR HECTAREA ($)
A B C
700 800 300
2 4 3
500 200 300
Además, el total de las hectáreas que pueden ser dedicadas a cualquier cultivo en particular están limitadas por los requerimientos asociados por el concepto de equipo de siega. Con la finalidad de mantener una carga de trabajo mas o menos uniforme entre las distintas granjas, la política de la administración recomienda que el porcentaje de hectáreas plantadas deberá ser igual para todas las granjas. Sin embargo, en cualquiera de estas fincas puede crecer cualquier combinación de cultivos, siempre y cuando se satisfaga todas las restricciones (incluido el requerimiento de que la carga de trabajo sea uniforme). La administración desea saber cuantas hectáreas de cada cultivo tendrá que plantar en sus respectivas granjas, a fin de maximizar las ganancias esperadas. Formule este caso como un modelo PL .
8-
Un programa de programación. Cierto restaurante atiende al publico los siete días de la semana. La administración ha contratado camareros para que trabajen seis horas diarias. En el contrato firmado con el sindicato se estipula que cada uno de ellos debe trabajar cinco días consecutivos y descansar dos. Todos los camareros perciben el mismo salario. En la siguiente tabla aparecen los requerimientos de personal. Suponga que este ciclo de requerimientos se repite indefinidamente y pase por alto el hecho de que la cantidad de camareros contratados tiene que ser un numero entero. La gerencia desea encontrar un programa de empleo que satisfaga estos requerimientos a un costo mínimo. Formule este problema como modelo de PL.
DIA Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
9.-
HORAS / CAMARERO MíNIMAS REQUERIDAS 150 200 400 300 700 800 300
Un problema de producción. Un fabricante tendrá que atender cuatro pedidos de producción. A, B, C y D, en este mes. Cada trabajo puede ser llevado a cabo en cualquiera de los tres talleres. El tiempo necesario para completar cada trabajo en cada uno de esos talleres, el costo por hora y la cantidad de horas disponibles que tendrá cada taller durante este mes aparecen en la sgte. Tabla. También existe la posibilidad de dividir cada uno de los trabajos entre los distintos talleres, en cualquier proporción que se desee. Por ejemplo, una cuarta parte del trabajo A puede hacerse en 8 horas en el taller 1 y una tercera parte del trabajo C puede hacerse en 19 horas en el talle3. El fabricante desea determinar la cantidad de horas de trabajo que deberán realizarse en cada taller, para minimizar el costo total de
terminación de los cuatro trabajos. Identifique las variables de decisión, formule un modelo de PL para este problema.
TALLER 1 2 3
A 32 39 46
TIEMPOREQUERIDO(HRS) B C 151 72 147 61 155 57
D 118 126 121
COSTOPORHORA TIEMPODETALLER DETALLER($) DISPONIBLE(HRS) 89 160 81 160 84 160
10- Max 15X1+25X2+18X3 st 3X1+5X2+X3<1200 ( horas hombre) 10X1+8X2+12X3<1500 ( materia prima) 8X1+6X2+9X3>120 ( horas máquina) X3<150 ( mercado) end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 4687.500 VARIABLE X1 X2 X3
VALUE 0.000000 187.500000 0.000000
REDUCED COST 16.250000 0.000000 19.500000
ROW SLACK OR SURPLUS 2) 262.500000 3) 0.000000 4) 1005.000000 5) 150.000000
DUAL PRICES 0.000000 3.125000 0.000000 0.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 15.000000 16.250000 INFINITY X2 25.000000 INFINITY 13.000000 X3 18.000000 19.500000 INFINITY
ROW 2 3 4 5
RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 1200.000000 INFINITY 1500.000000 420.000000 120.000000 1005.000000 150.000000 INFINITY
ALLOWABLE DECREASE 262.500000 1340.000000 INFINITY 150.000000
A.- ¿ Qué sucede en el modelo si tenemos que producir 100 unidades del producto 1? B.- ¿ Qué sucede en el modelo si tenemos que producir 250 unidades del producto 3? C.- ¿ Qué sucede en el modelo si podemos contar con 1200 unidades adicionales de materia prima? D.- ¿ Qué sucede en el modelo si no podemos contar con el 35% de las horas de mano de obra? E.- ¿ Qué sucede en el modelo si el coeficiente de la variable X1 en la función objetivo aumenta en 48%? F.- ¿ Qué sucede en el modelo si el coeficiente de la variable X2 en la función objetivo decrece en 48%? G.- ¿ Cuántas horas máquina estamos usando en la producción? H.- ¿ Qué sucede en el modelo si el lado derecho de la restricción de horas máquina disminuye en 50%?
11.- Una empresa ensambladora de automóviles presenta el siguiente modelo para optimizar su plan de producción. El modelo tiene como objetivo la maximización de las utilidades de la compañía, y presenta las siguientes variables: C: Número de autos compactos a ensamblar S: Número de autos supercompactos a ensamblar. Max 6740C + 5100S st 200C + 150S < 80000 ( restricción de materia prima) 18C + 20S < 9000 ( restricción de mano de obra) C < 1500 ( restricción de mercado) S < 200 ( restricción de mercado) end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2705000. VARIABLE VALUE REDUCED COST C 250.000000 0.000000 S 200.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 33.700001 3) 500.000000 0.000000 4) 1250.000000 0.000000 5) 0.000000 45.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE C 6740.000000 60.000000 6740.000488 S 5100.000000 INFINITY 45.000000
ROW 2
RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 80000.000000 5555.555176
ALLOWABLE DECREASE 50000.000000
3 4 5
9000.000000 1500.000000 200.000000
INFINITY INFINITY 76.923080
500.000000 1250.000000 200.000000
Teniendo en cuenta la información proporcionada responder a las siguientes preguntas: a.- La compañía esta preocupada por los efectos económicos de las crisis asiática y rusa. La compañía ha estimado que el efecto inmediato de estas crisis se dejaría sentir en la variación ( disminución ) de la utilidad que representa el modelo compacto para sus ganancias. Después de un estudio detallado se ha logrado estimar que la utilidad que la venta de dicho tipo de vehículo disminuiría en un 30 %. Suponiendo que Ud. es el encargado del plan de producción como le afectaría este efecto. b.- El encargado de las compras, aprovechando un descuento por compra por cantidad brindado por su proveedor, ha decidido incrementar la disponibilidad de la materia prima en un 12.5 %. ¿ Que efecto tendría esta decisión sobre su plan de producción ? c.- La gente de ventas de la compañía, metida de lleno en el tema de la globalización, ha desplegado una estrategia a nivel mundial para dar a conocer los productos de la compañía. Para tal efecto los productos de la compañía han participado en la feria del automóvil de Alemania. Como resultado de esta participación la gente de ventas ha traído un nuevo pedido adicional de 200 autos de tipo supercompacto. Ud. como encargado del plan de producción recibe esta información¿ Cómo afecta esto su plan de producción?
d.- Como efecto del nuevo pedido de 200 vehículos de tipo supercompacto , Ud. ha hecho los cálculos respectivos y se encuentra que este pedido adicional le representa el uso de 350 nuevas horas hombre. Sabiendo que un trabajador trabaja 8 horas al día durante cinco días a la semana ¿ Cuántos nuevos operarios necesita? 12.-Una empresa se encarga de producir seis tipos de productos. Los productos se fabrican haciendo uso de tres tipos de materia prima. Tres de los productos tienen restricción de mano de obra y de mercado como se presenta en el modelo siguiente. Además se debe puntualizar que la función objetivo de la empresa maximiza sus utilidades. Max 7X1+8X2+8X3+4Y1+6Y2+5Y3 st X1+Y1 = 3000 (materia prima 1) X2+Y2 = 5000 (materia prima 2) X3+Y3 = 7000 (materia prima 3) 0.6X1+0.4X2+0.3X3<3400 (disponibilidad de horas hombre) X1+X2+X3 < 8000 (restricción de mercado) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)
101000.0
VARIABLE X1
VALUE 3000.000000
REDUCED COST 0.000000
X2 X3 Y1 Y2 Y3
0.000000 5000.000000 0.000000 5000.000000 2000.000000
1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS 2) 0.000000 3) 0.000000 4) 0.000000 5) 100.000000 6) 0.000000
DUAL PRICES 4.000000 6.000000 5.000000 0.000000 3.000000
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE X1 X2 X3 Y1 Y2 Y3
ROW 2 3 4 5 6
OBJ COEFFICIENT RANGES CURRENT ALLOWABLE COEF INCREASE 7.000000 INFINITY 8.000000 1.000000 8.000000 0.000000 4.000000 0.000000 6.000000 INFINITY 5.000000 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE RHS INCREASE 3000.000000 333.333313 5000.000000 INFINITY 7000.000000 INFINITY 3400.000000 INFINITY 8000.000000 333.333313
ALLOWABLE DECREASE 0.000000 INFINITY 1.000000 INFINITY 1.000000 0.000000
ALLOWABLE DECREASE 2000.000000 5000.000000 2000.000000 100.000000 5000.000000
Se pide lo siguiente: a.-¿ Qué sucede con el valor óptimo si por razones de mercado nos vemos obligados a producir 1000 unidades del producto Y1 y pro qué? b.- Toda la producción de los productos X1, X2 y X3 será comprada por un solo cliente. Pero este necesita que de las 8,000 unidades, 1500 sean del producto X2. ¿ Qué espera que suceda con la utilidad de la compañía? c.- El cliente que nos comprará toda la producción de los productos X1, X2 y X3 nos solicita una reducción en el precio de venta del producto X2. Esta reducción disminuiría la utilidad unitaria del producto X2 obtenida por la compañía en 15% ¿ Qué espera que suceda con el valor óptimo de la empresa?
d.- El gerente de la empresa quiere elevar la utilidad a 150,000 unidades monetarias ¿ Se puede lograr este objetivo y de cuántas maneras se puede hacer?
13.‐ CASO PARA RESOLVER EN LINDO Mosaicos Yarango SCRL industria del mármol y el concreto, produce losetas para piso, utilizando para ello agregados, cemento, marmolina, granito y óxidos. El problema de la fábrica es determinar la utilidad máxima que obtendría con las limitaciones en cuanto al equipo que cuenta en el periodo de un mes. Produce la loseta gris que le reporta una utilidad de S/. 6.10 por metro cuadrado y la loseta veneciana que le proporciona una utilidad de S/. 7.00 por metro cuadrado. La empresa cuenta con una prensa hidráulica que llega a procesar indistintamente 800 metros cuadrados al mes y con una prensa de tornillo que está disponible 160 horas al mes. Para procesar un metro cuadrado de loseta gris se necesita de 0.16 horas y un metro cuadrado de loseta veneciana 0.25 horas en la prensa de tornillo. Para la producción de las losetas venecianas se requiere 1.5 horas hombre mientras que para la producción de las losetas gris se requieren 0.75 horas hombre. La empresa posee una fuerza laboral de 48 horas a la semana. Con respecto a la materia prima para la producción, cada metro cuadrado de loseta gris necesita 1.3 unidades de cemento, 0.85 de marmolina, 0.35 de granito y 0.20 de óxidos. Para un metro cuadrado de loseta veneciana se requiere: 0.90 unidades de cemento, 0.9 de marmolina, 0.55 de granito y 0.25 de óxidos. La empresa posee para este mes en sus almacenes lo siguiente: 120 unidades de cemento, 180 unidades de marmolina, 150 unidades de granito y 80 unidades de óxidos. Se pide: a.- Elabore un modelo matemático para el caso planteado Resuelva el modelo utilizando LINDO b.- Determine la solución y el valor óptimos. c.- Encuentre las restricciones activas del modelo. d.- Determine los rangos de los coeficientes de las variables de la función objetivo para que la solución óptima no cambie e.- Determine los rangos de los lados derechos de todas las restricciones para que el precio dual se mantenga constante. f.- Ud. ha sido informado por el jefe de mantenimiento de la planta que la prensa de tornillo ha sufrido un desperfecto y le tomará 100 horas arreglarla. ¿ Cuál es el efecto de este inconveniente para los planes de producción?
g.- El gerente le ha informado que la empresa ha decidido contratar a una o dos personas más para la producción del mes que viene.¿ Cuál es su recomendación? h.- Por razones de mercado el precio del cemento que usa en la producción ha disminuido 10% lo cuál le permite a la empresa adquirir 60 unidades más. ¿ Cuál es el efecto de esto en su plan de producción? i.- La competencia ha comenzado a optimizar sus procesos productivos lo cuál le ha llevado a una reducción de su precio de venta de la loseta veneciana. Esto nos ha afectado porque nuestro precio de venta ha tenido que ser reducido para estar al nivel del precio de la competencia. Esta reducción del precio de venta ha afectado la utilidad que obtenemos por el mencionado producto reduciéndola en 12%. ¿ Qué efecto esperamos cause esta situación en la mezcla óptima y en el valor óptimo? j.- La gerencia de la empresa se ha reunido con todos los responsables del área de operaciones. En esta reunión el gerente general plantea una nueva meta para las utilidades del próximo mes. Se requiere que las utilidades de la empresa se eleven a S/. 1200.00. ¿ Qué decisiones tomaría Ud. para lograr este incremento de las utilidades de la empresa?