EQUIVALENCIA Notaciones generales utilizadas. Valor futuro en función del valor presente para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de capitalización. Valor presente en función del valor futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de capitalización. Valor de anualidad en función del valor futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota. .
Valor futuro en función del valor de anualidad futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.
/
.
/
Valor de anualidad en función del valor presente para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.
.
/
Valor presente en función del valor de anualidad futuro para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota.
{
{
[
]
(
)
⁄
(
)
}
}
Valor de anualidad en función de un gradiente aritmético con base B y gradiente G para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota. Valor presente de un gradiente geométrico con cuota inicial T e incrementos proporcionales s, para tasa efectiva i correspondiente a n periodos de cuota. Conversión de intereses efectivos con periodos de capitalización menores a tasas de plazo mayor relacionadas a partir de m. (mensual a anual m = 12) Conversión de intereses efectivos con periodos de capitalización mayores a tasas de plazo menor relacionadas a partir de m. (anual a mensual m = 1/12) Expresión para interpolar valores obtenidos a partir de las tablas de interés compuesto discreto.
1 Una firma financiera le ofrece a usted un préstamo de $1’000.000 a 60 meses con un interés mensual del 3%. a) Determine el valor de los pagos mensuales. b) ¿A cuánto equivaldrían los pagos mensuales si el interés fuese del 1,5% mensual? 1000000
1
2
3
4
5
57
58
59
60
meses
A=? a) P = 1’000.000 i1 = 3% n = 60 meses (
) (
)
b) P= 1’000.000 n=60 i2= 1,5% (
)
2 Un inventor recibe ofertas de dos compañías. Tiene que decidir cuál es la mejor oferta
tomando como punto de referencia su posibilidad de invertir al 14% anual. a) Oferta 1 — $150.000 hoy y $200.000 dentro de 10 años. b) Oferta 2 —, $30.000 al final de cada uno de los próximos 10 años. a) Oferta 1. P=?
1 150000
2
3
4
5
6
7
8
9
10 200000
Años
i = 14% anual
Para el valor de $200.000
Ptotal = 53.948 + 150.000 = 203.948,76 b) Oferta 2. P=?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Años
i = 14% anual
A = 30000
(
) (
)
P = 156.483,47 La oferta 1 es la mejor teniendo en cuenta que es la que ofrece mayor valor hoy. 3 La organización para la cual usted trabaja tiene un fondo de préstamos de emergencia, cuyo reglamento establece que los créditos serán a 12 meses y que las cuotas 3, 6, 9 y 12 serán el doble de las demás. Asimismo, el interés es del 1,5% mensual. La cantidad que le van a prestar depende de la cuota. a) Si le prestan $500.000, ¿cuáles serán sus cuotas normales? b) Si sus cuotas normales son $10.000, ¿Cuál sería el valor del préstamo? = 1,5% Anualidad mensual = 4,57% Anualidad trimestral
= 12 =4
a) P = 500000 1
2
3
A
A
4
5
A
A
6
2A
7
8
A
A
9
2A
10
11
A
A
2A
12
2A
Se trabajará entonces en base a dos anualidades, una mensual y otra trimestral, ambas con el mismo valor de cuota A. )
*( [
(
)+
]
b) P=?
1
2
A
A
3
4
5
A
A
6
2A
*(
2A
)
(
7
8
A
A
9
10
11
A
A
2A
)+
12
2A
A = 10.000 A = 10.000
[
]
i=1,5% i=4,57%
n=12 n=4
4 Una organización desea comprar un vehículo que cuesta $7’800.000, puede pagar $1‘500.000 de contado y el resto a 12 meses. La financiera XW acepta 12 cuotas de $550.000 y la financiera XY ofrece financiar al 0,75% mensual. ¿Cuál financiación debe aceptar? ¿Qué interés mensual cobra la XW? ¿Cuáles serían las cuotas en la XY? Vehículo= 7’800.000 Inicial= 1’500.000
Compañía XW P = 6’300.000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 Meses
i=?
A = 550.000
(
)
i= 0,7 % (
)
i= 0,75% (
)
Interpolando (
) (
)
Por Solver de Excel se halla
que genera
Compañía XY P = 6’300.000
1
2
3
4
5
6
7
A=?
(
)
8
9
10
11
12 Meses
i = 0,75% mensual
La mejor opción de financiación es tomar el crédito con la compañía XW, la cual cobra un interés del 0,723% mensual, mientras que XY cobra un interés del 0,75% mensual, lo que genera una cuota de 550.944,3. 5 Un señor compra un auto y deposita el 30% de su valor como cuota inicial; además, para pagar la diferencia, firma 24 letras con vencimiento mensual. El interés es del 5% mensual. Después de efectuar 14 pagos, le informan que las 10 letras restantes valen $3’500.000 si las paga inmediatamente. ¿Cuál era el valor nominal del vehículo? P = 70% VN
1
2
3
......
14
……
22
23
24 Meses
i = 1,5% mensual
3’500.000
A=?
Inicial 30% de X n= 24 i= 5% P= 0,7X El valor presente del préstamo en el periodo 14 es de 3’500.000, con base en esto se calcula la cuota con n=10 y el interés del préstamo.
(
)
Con la cuota calculada se estima el valor presente del préstamo total con n=24. (
)
El valor presente hallado equivale al 70% del valor nominal del vehículo.
6 Se estima que un depósito de azufre producirá 20.000 toneladas de azufre este año y que la producción disminuirá en 500 ton/año hasta el final del proyecto, el cual ocurrirá en 20 años. La utilidad neta será de US$60/ton durante los primeros 9 años, y de US$80/ton durante los 11 años restantes. ¿En cuánto podemos valorar la mina hoy día, si la tasa mínima de retorno es el 16% anual (en dólares)? B2=1’240.000 B1=1’200.000 G2 = -40.000.
G1 = -30.000
1
2
3
4
5
6
7
8
P=?
9 10 Años
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
i = 16% anual
,
[
]
,
[
]
-
Unidades Monetarias (
)
Unidades Monetarias A partir del periodo 10: ,
[
]
-
Unidades Monetarias (
)
Unidades Monetarias El valor anterior corresponde al valor de la mina en el periodo 9, para sumarlo con periodo cero:
debe llevarse al
Entonces el valor de la mina hoy es:
7 ¿Cuál sería la utilidad (US $/ton) del problema anterior en caso de ser uniforme, para que llegara a ser equivalente a las utilidades diferenciales? Para encontrar las utilidades uniformes es necesario convertir el gradiente que representa la producción, en toneladas, de la mina a una anualidad. 20.000 G = -500
i = 16% anual
0
1
2
3
4
15
16
17
18
19
20
B= 20.000 G=-500 I=16% ,
[
]
-
En toneladas El valor de la cuota debe ser equivalente a la de una cuota calculada con el valor presente de la mina en pesos:
(
)
en pesos
Para obtener la utilidad ($/Ton) se relacionan las dos cuotas halladas: = 63,5115 $/Ton
8 La herencia del señor Rico asciende a $10’000.000, depositados en un fondo que produce el 18% anual. El Señor Rico dispone en su testamento que el primer año se entreguen a sus herederos $2’000.000, el segundo $2’100.000, el tercero $2’200.000, etc. a) ¿Durante cuántos años se pueden hacer los pagos? (La respuesta puede ser decimal.) b) ¿Cuántos años habría durado si el esquema hubiese sido $2’500.000, $2’400.000, $2´300.000, etc.? c) ¿Cuánto si hubiesen sido pagos uniformes de $2’200.000? d) ¿Cuánto, si hubiesen sido pagos uniformes de $1‘800.000? Discuta los resultados. 10’000.000
i = 18% anual 1
2
3
4
5
n-2
n-1
n Años
2’000.000 G = 100.000 a)
P=10’000.000 i=18% anual B=2’000.000 Con base en las formulas: (
)
,
y
[
]
-;
Al reemplazar el valor de A en la primera ecuación, se puede calcular directamente el valor presente de un gradiente aritmético. ,
*
[
]
+- (
)
Para hallar el valor de n que genere un P=10’000.000 se interpola entre n=9 y n=10. Si n=9, entonces P= 9.869.330,9835 Si n=10, entonces P= 10.423.417,9375 Interpolando n=9,24; P=10’006.610,96 Mediante Solver de Excel se obtiene el valor: n=9,2243029 que genera un P=10’000.000.
b) 10’000.000
i = 18% anual 1
2
3
4
n-2
n-1
G = -100.000 2’500.000
n
n=? B=2’500.000 G=-100.000 Se usa la misma ecuación del punto a), y se interpola n entre 10 y 11. Si n=10, entonces P= 9’799.970,9847 Si n=11, entonces P= 10’042.848,9493 Interpolando n=10,82; P=10’004.000,59 Mediante Solver de Excel se obtiene el valor: n=10,8058177 que genera un P=10’000.000.
c) P = 10’000.000
1
2
3
4
5
6
7
n-2
n-1
n
Años
i = 18% anual
A = 2’200.000
(
) (
)
Se interpola n entre 10 y 11. Si n=10, entonces P= 9’886.989,84 Si n=11, entonces P= 10’243.211,74 Interpolando n=10,32; P=10’006.446,57 Mediante Solver de Excel se obtiene el valor: n=10,29969414 que genera un P=10’000.000.
d) P = 10’000.000
1
2
3
4
5
6
7
A = 1’800.000
n-2
n-1
n
Años
i = 18% anual
(
)
(
)
En este caso en particular se tiene que ; es decir se tiene una anualidad perpetua, entonces se supone se podría hacer retiros por una cantidad infinita de periodos de tiempo, sin embargo, se sugiere reemplazar valores muy grandes para n en la ecuación correspondiente al cálculo para verificar esta afirmación.
9 a) ¿Cuánto se acumulará al final de 10 años si hoy invierto $200.000 y dentro de 5 años invierto $150.000 con un interés del 18% anual? b) ¿Cuál sería el resultado si el interés fuese el 18% anual compuesto mensualmente?
F=?
1
2
3
4
200.000
5
6
150.000
a) Futuro para $200.000
F = 200.000 (5,233836) F = 1’046.767,11 Futuro para $150.000
F = 150.000 (2,287758) F = 343.163,66 Futuro total Ftotal = 1’046.767,11 + 343.163,66 Ftotal = 1’389.930,77
7
8
9
10
Años
b)
Futuro para $200.000
F = 1’193.864,57 Futuro para $150.000
Futuro total
10 Si Jorge compra un auto por $4’500.000 y da $2’000.000 como cuota inicial, a) ¿Qué
cuotas mensuales debe pagar al final de los 30 meses siguientes, para cubrir la cantidad financiada, si el interés es el 24% anual compuesto mensualmente? b) ¿Cuál sería su cuota si el interés fuese el 24% anual? P = 2’500.000
1
2
3
4
5
6
A=?
a) i = r/m = 24/12 = 2% mensual
7
28
29
30 Meses
r
= 24% a. c. mensual
(
) (
)
b) ⁄ ⁄
(
) (
)
11 ¿Qué pagos crecientes aritméticamente serían equivalentes a la situación del problema anterior si el gradiente es la mitad de la base? 2’500.000
i = 2% mensual 1
2
3
4
B=?
G = B/2
Para $111.624,81 , , {
[
]
[
}
-
]
-
5
28
29
30 Meses
Para $108.699,6 ,
[
]
,
-
[
{
-
]
}
12 Hace 5 años, al comprar de contado su casa, Enrique pagó $2’500.000. Los estimados de los arriendos anuales ahorrados son: $480.000, $600.000, $720.000, $840.000, $960.000 y el valor al vender hoy la casa es $20’000.000, ¿cuál es la rentabilidad lograda? (Ayuda: formule la ecuación de equivalencia y ensaye varios valores de i? 20’000.000 G = 120.000
i=? B=480.000 1
2
3
4
5
Años
-+ (
)
2’500.000
Para los arriendos *
,
[
]
*
,
[
]
-+ (
)
Para el precio de venta ⁄ ⁄ Valor presente total.
Para hallar el valor de la rentabilidad lograda , se toma como referencia i=64% e i=65%. Si i=64%; entonces P=2.561,85 Si i=65%; entonces P=2.498,75 Interpolando se encuentra que i=64,98019% genera un P=2499,98; y por Solver de Excel se encuentra i=64,979835% que genera un P=2.500.
13 Con miras a realizar un viaje dentro de un año, un profesional recién egresado colocará $16.500 al final de cada uno de los próximos 12 meses, en una entidad que paga el 24% anual compuesto trimestralmente. ¿Cuál será la suma de dinero disponible en el momento de realizar el viaje? Resuélvalo bajo cuatro supuestos: a) Tratamiento de anualidad trimestral teniendo en cuenta que las 2 primeras cuotas de cada trimestre no ganan interés. b) Las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés simple igual al 1,5% mensual. c) Las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés compuesto del 1,5%, lo que se traducirá en pequeñas anualidades durante el trimestre. d) Tratamiento de la anualidad de forma mensual. F=? 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 Meses
r = 24% anual cap. trimestral
A = 16.500
i = 24 / 4 = 6% a) Para este caso se hará un tratamiento de anualidad trimestral teniendo en cuenta que las 2 primeras cuotas de cada trimestre no ganan interés. A = 16.500 * 3 A = 49.500
(
) (
)
F = 49.500 * (4,37462) F = 216.543,49 b) Para este caso las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés simple así:
Para la primera cuota de cada trimestre tendríamos: F = 16.500 * (1 + (2 * 0,015)) F = 16.995
Para la segunda cuota de cada trimestre: F = 16.500 * (1 + (1 * 0,015)) F = 16.747 Replantear la situación inicial a una anualidad trimestral: A = 16.995 + 16.747 + 16.500 = 50.242
(
) (
)
c) Para este caso las dos primeras cuotas de cada trimestre recibirán interés compuesto menor a la tasa pactada por trimestre, lo que se traducirá en pequeñas anualidades durante el trimestre, de la siguiente manera
(
) (
)
F = 50.246,21 Replantear la situación original a una anualidad trimestral, obteniendo:
(
) (
)
d) Para este caso trataremos la anualidad de forma mensual y no como veníamos estudiándola en los incisos anteriores. ⁄ ⁄
(
) (
)
14 Un equipo de perforación cuesta $7´000.000, de los cuales $2000.000 se pagarán hoy y los $5000.000 restantes deben pagarse en 24 cuotas mensuales con una financiación del 1,5% mensual. Los costos de mantenimiento serán de $700.000 el primer año y se incrementarán en $70.000 por año. El equipo tiene una duración de 5 años, al cabo de los cuales carece de valor. a) ¿Cuáles deben ser los pagos mensuales uniformes para cubrir la deuda y los intereses? b) ¿Cuáles serían los costos uniformes de mantenimiento equivalente al esquema real, si la tasa mínima es del 24% anual? c) ¿Cuánto podría pagarle hoy día esta organización a otra que se encargará de comprar (usando el mismo esquema de financiación) y mantener a máquina en operación por 5 años? La tasa mínima de la organización es el 24% anual.
a) Financiación P = 5’000.000
1
2
3
4
5
6
7
22
23
24 Meses
A=? (
)
(
)
A = 5’000.000 (0,04992) A = 249.620,51 b) Mantenimiento
. .
0
1
2
3
700.000 G = 70.000
4
5
Años
i = 24% anual
i = 1,5% mensual
,
[
-
]
,
[
]
-
c)
(
)
La empresa podría pagar: 15 a) ¿Cuál es la tasa trimestral efectiva equivalente a una tasa diaria del (1/15)%? b) ¿Cuál sería la tasa trimestral nominal? c) ¿Cuál sería la tasa anual efectiva? d) ¿Cuál sería la tasa anual nominal? e) ¿Cuál sería el interés continuo equivalente?
a)
b)
;
c)
d)
;
16 Un crédito para adquisición de ropa en el almacén XYZ de Cali, se realizó en las siguientes condiciones: Valor de la ropa: $30.000 Cuota inicial: $7.500 Cuota mensual: $4.350 No de cuotas: 6 ¿Qué tasa de interés mensual se ha cargado? ¿Qué tasa anual nominal y qué tasa anual efectiva? Como por ley usted debe pagar un máximo del 2% mensual sobre saldos, ¿Cuál hubiese sido su cuota en este caso? ¿Aceptar el crédito fue buena o mala decisión económica? P = 22.500
1
2
3
4
5
6
Años
i=?
A = 4.350
a)
(
) (
)
Para hallar i se interpola entre i=4% e i=5% Si i=4% entonces Si i=5% entonces Interpolando: i=4,4189% y
=5,1724
Mediante Solver de Excel se encuentra que b)
=5,1714 con i=4,41281%
c)
(
) (
)
d) No fue una buena decisión porque me encuentro pagando más de lo que debería.
