UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA AREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE ENERGÉTICA UNIDAD CURRICULAR: TRANSFERENCIA DE CALOR
Profesor: Ing. Egliomar Santos
Tema 2: Conducción de calor unidimensional en estado estable
Objetivo Didáctico: Determinar la velocidad de transferencia de calor por conducción en paredes planas, cilindros, esferas y superficies extendidas en condiciones de estado estable.
Contenido: Estado estable y estado transitorio Ley de Fourier y Gradiente de Temperatura Ecuaciones diferenciales que gobiernan la transferencia de calor en estado estable y transitorio Resistencia Térmica Pared Simple Pared Plana Cilindros y esferas Circuitos Térmicos Estructuras compuestas Transferencia de calor en superficies extendidas (Aletas) Arreglos de aletas.
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LEY DE FOURIER Y GRADIENTE DE TEMPERATURA Establece que la conducción a través de una capa plana es proporcional al área perpendicular a la transferencia de calor y a la diferencia de temperaturas entre las superficies pero inversamente proporcional al espesor de esa capa.
Donde: K : Conductividad Térmica del Material A: Área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor T1 y T2: Temperaturas de las superficies de la capa L= : Espesor de la Capa : Gradiente de Temperatura
El gradiente de temperatura es la pendiente de la curva en un diagrama Temperatura vs. Distancia (espesor de una pared), es decir, es la razón de cambio de T con respecto al a espesor. De acuerdo con la Ley de Fourier la conducción de calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando esta última decrece al crecer x como se muestra en la figura 2. El signo negativo garantiza que la transferencia de calor en la dirección x positiva sea una cantidad positiva.
Figura 2
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Basándonos en operación estable, puede decirse que la conductividad térmica permanece constante, entonces de la ecuación anterior y suponiendo ciertas condiciones, se obtienen las siguientes ecuaciones:
Régimen estacionario (∂ / ∂t = 0 ):
Régimen Transitorio sin Generación de calor (
):
Régimen estacionario sin Generación de calor ((∂ / ∂t = 0, ): Donde
es la generación de calor.
- Pared Cilíndrica: Conductividad Térmica Variable:
Conductividad Térmica Constante:
De igual manera que en el caso anterior se puede suponer conductividad térmica
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Conductividad Térmica Constante:
De ésta última, igual que en los casos anteriores podemos obtener:
Régimen estacionario (∂ / ∂t = 0 ):
Régimen Transitorio sin Generación de calor (
):
Régimen estacionario sin Generación de calor ((∂ / ∂t = 0, ):
Para resolver las ecuaciones es necesario integrarlas, y es necesario dar los límites de integración, que en transferencia de calor se refieren a las condiciones de frontera, las cuales sirven para modelar el proceso de conducción, tomando en cuenta los distintos procesos que pudieran ocurrir en las superficies del tipo de pared estudiada. Para ello se presentan las diversas condiciones en el anexo 1.
RESISTENCIA TÉRMICA
Figura 5
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Resistencias Térmicas para paredes planas: -Resistencia a la conducción:
Donde:
L: Espesor de la pared plana K : Conductividad térmica del material de la pared A: Área perpendicular a la dirección de la transferencia de calor
-Resistencia a la Convección:
Donde:
K
h: Coeficiente de Convección As: Área de superficie expuesta a convección
-Resistencia a la Radiación:
Donde:
hr : Coeficiente de Radiación As: Área de superficie expuesta a convección
Esta resistencia a la radiación es común para todo tipo de pared.
Figura 7 Pared Plana
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Donde:
L: Longitud del cilindro K : Conductividad térmica del material de la pared
-Resistencia a la Convección:
Donde:
h: Coeficiente de Convección As: Área de superficie de una esfera expuesta a convección
Resistencia Térmica por Contacto: Cuando dos superficies se ponen en contacto se forma lo que se conoce como Resistencia Térmica por Contacto, la cual se debe a que microscópicamente todas las superficies son ásperas aunque a simple vista aparente ser lisa. En la figura puede observarse la unión de dos paredes de materiales diferentes, donde se nota la formación microscópica de picos y valles en los cuales se atrapa aire. El aire por su baja conductividad térmica al estar presente en un sistema funciona como aislante, disminuyendo la transferencia de calor y consecuentemente una caída de temperatura. Las resistencias térmicas son proporcionales al área de contacto entre los materiales y vienen expresadas comúnmente en m 2OC/W, y como tal pueden considerarse en cualquier sistema y ser incluidas en el circuito térmico que lo represente.
CIRCUITO TÉRMICO: Los circuitos eléctricos están conformados por resistencias eléctricas entre los nodos
K A
K B Caída de Temperatura
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En este caso como el calor se transfiere a través de distintos medios, representa la transferencia de calor total del sistema y R es la resistencia térmica total del sistema, al igual que en los circuitos eléctricos, en este caso particular las resistencias están en serie, y por lo tanto para obtener RTotal se debe determinar cada una de las resistencias térmicas y luego sumarlas algebraicamente.
Para obtener la máxima transferencia de calor debe usarse la diferencia máxima de temperaturas, que en este caso es la que existe entre los dos fluidos.
Existen paredes compuestas por varias capas de distintos materiales como la que se muestra en la figura 10, para la cual se presenta el circuito térmico correspondiente, sin la presencia de fluidos en los alrededores puede descartarse la convección, y el único mecanismo presente será la conducción, así pueden observarse las resistencias térmicas de ese sistema. Figura 10
La resolución de ese circuito térmico depende de la configuración de las resistencias (en serie o paralelo), de esta manera se tiene:
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Figura 11
Parámetros para el análisis
Diferencia de Temperaturas ( ): ( x ) T ( x ) T
Máxima Diferencia de Temperaturas (
): b
T b T
Donde:
Temperatura del fluido : Temperatura de la base :
Coeficiente de Convección : Área de sección transversal : Perímetro del área de sección transversal : Conductividad térmica de la aleta
En la figura 11 se indican los parámetros y su ubicación en una aleta. Análisis de una aleta Haciendo un balance de energía para la aleta que se muestra en la figura 11 se tiene la siguiente ecuación diferencial: 2
K C
d T dx
2
hP T T
0
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Caso B: Aleta con extremo Adiabático Se considera aleta de este tipo cuando el área del extremo no intercambia calor con el fluido adyacente.
Transferencia de calor de la aleta (
):
Distribución de Temperaturas:
Caso C: Aleta de extremo con Temperatura Establecida Cuando se conoce la temperatura en el extremo de la aleta.
Transferencia de calor de la aleta (
Distribución de Temperaturas:
):
Caso D: Aleta de Longitud Infinita
Transferencia de calor de la aleta (
):
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DESEMPEÑO DE UNA ALETA Se sabe que las aletas se utilizan para aumentar la transferencia de calor de una fuente porque acrecientan el área efectiva de superficie, pero la aleta como tal representa una resistencia a la conducción del calor, por eso no hay seguridad de que la aleta aumente la transferencia de calor por ello se define la efectividad y eficiencia de una aleta como:
EFECTIVIDAD DE UNA ALETA ( ): La efectividad de una aleta se determina con la ecuación:
Ab: Aréa de contacto entre la base y la aleta
La cual compara la transferencia de calor de la aleta con la transferencia de calor que existiría si la aleta no estuviera ( ) como se indica, por ejemplo, en la figura 13.
EFICIENCIA DE UNA ALETA (
):
La eficiencia de una aleta es la relación que existe entre el calor que se transfiere de una aleta con condiciones determinadas, y la transferencia de calor máxima ( ) que existiría si esa aleta estuviera a la máxima temperatura (la temperatura de la base).
Figura 13
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La eficiencia global se determina por medio de:
Donde:
: Transferencia de calor total desde las aletas y la base (espacios libres de aletas)
:
Máxima transferencia de calor suponiendo temperatura uniforme en todo el sistema. : Área total del arreglo que se expone a la convección (espacios libres de aletas y área superficial de todas las aletas)
La máxima transferencia de calor es el caso ideal y resultará posible si toda la aleta, así como la superficie base se mantuvieran a , siendo esta la temperatura de la base y la máxima temperatura en el sistema.
La transferencia de calor total es lo que realmente ocurre cuando las aletas y la parte de base que no posee aletas se exponen a convección, pudiéndose determinar esta transferencia de calor como sigue:
,
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Cuando las aletas son parte integral de la base: El circuito térmico del arreglo considerando sólo la disipación de calor desde la base y las aletas queda así:
Cuando las aletas son adheridas a la base: El circuito térmico del arreglo queda como se muestra a continuación.
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PROBLEMAS RESUELTOS: 1. Considere un tubo de vapor de agua de longitud L=15ft, radio interior r 1=2in, radio exterior r2=2,4in y conductividad térmica de 7,2BTU/h.ft. oF. El vapor fluye por el tubo a una temperatura promedio de 250 oF y en el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre la superficie interior es de 12,5 BTU/h.ft.oF. Si la temperatura de la superficie exterior del tubo es de 160 oF. a) Obtenga una relación para obtener la distribución de temperaturas en la pared cilíndrica resolviendo la ecuación diferencial. b) Evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor. Se busca determinar primeramente una ecuación que permita obtener el valor de la temperatura en cualquier punto del espesor de la pared. En una pared cilíndrica la variación (disminución) de la temperatura ocurre en la dirección radial, es decir, a medida que aumente el radio disminuye la temperatura. Para el de debe verificar lo siguiente: -
El tipo de Pared Si existe generación de calor en la pared Si las condiciones son estables o transitorias
En este caso se tiene una pared cilíndrica, en condiciones de estado estable sin generación, por ello la ecuación representativa de la conducción de calor en el sistema es: dT r 0 dr dr d
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dT dr
C 1 r
T (r ) C1 ln r C2 (SOLUCIÓN GENERAL)
A partir de la solución general se puede obtener la distribución de temperaturas en la pared cilíndrica del sistema, pero es necesario obtener los valores de las constantes de integración C1 y C2. C 1
r = r 1:
k
r = r 2:
T (r2 ) C1 ln r2 C 2 T2
r 1
h[T (C1 ln r1 C2 )]
Resolviendo simultáneamente para C1 y C2, se tiene: C 1
T2 T r k ln 2 r 1 hr 1
and
C2 T2 C1 ln r2 T2
T2 T ln r 2 r 2 k ln r 1 hr 1
Luego sustituyendo C1 y C2 en la solución general se obtiene la ecuación para determinar la distribución de temperaturas en cualquier punto de la pared del tubo: T (r ) C 1 ln r T 2 C 1 ln r 2 C 1 (ln r ln r 2 ) T 2
ln
2.4
(160 250)F 7.2 Btu/h ft F
ln
T 2 T r T 2 ln r 2 k r 2 ln r 1 hr 1
r
2 4 in
160F 24.74 ln
r
2 4 in
160F
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2. Considere una venta de doble hoja de 1,2m de alto y 2m de ancho que consta de dos capas de vidrio (K=0,78 W/mK) de 3mm de espesor separadas por un espacio de aire estancado (K=0,026 W/mK) de 12mm de ancho. Determine la razón de transferencia de calor estacionaria a través de la ventana y la temperatura de la superficie interior para un día durante el cual el cuarto se mantiene a 24oC en tanto que la temperatura del exterior es de -5 oC. Tome los coeficientes de transferencia de calor por convección interior y exterior como 10W/m2K y 25W/m2K respectivamente, desprecie la radiación. Las propiedades de los materiales son: Kvidrio = 0.78 W/m°C and Kaire= 0.026 W/m°C. Se debe plantear un circuito térmico para el sistema: T
T
1
2
El área de transferencia de calor para la conducción y convección en el sistema es: A (12 . m) (2 m) 2.4 m2
Determinando cada una de las resistencias térmicas para el circuito se tiene:
Ri Rconv,1
1 h1 A
R1 R3 Rglass R2 Rair
L2 k 2 A
1 (10 W/m .C) ( 2.4 m 2 )
L1 k 1 A
2
0.0417 C/W
0.003 m (0.78 W/m.C) ( 2.4 m 2 ) 0.012 m
( 0.026 W/m.C)( 2.4 m 2 )
0.0016 C/W
0.1923 C/W
Vidrios
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3. Dos tubos de hierro fundido (K=52 W/m oC) de 3m de largo, 0,4cm de espesor y 10cm de diámetro que conducen vapor de agua están conectados entre sí por medio de dos bridas de 1cm de espesor cuyo diámetro exterior es de 20cm. El vapor fluye en el interior de tubo a una temperatura promedio de 200oC con un coeficiente de transferencia de calor de 180W/m2oC. La superficie exterior del tubo está expuesta a un ambiente a 12 oC con un coeficiente de convección de 25 W/m2oC. a) Si se descartan las bridas determine la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo. B) Con esta temperatura para la base de la brida y si se consideran a las bridas como aletas, determine la eficiencia de la aleta y la razón de la transferencia de calor desde ellas. Se tienen dos tubos de 3m de longitud cada uno, los cuales están unidos por medio de dos bridas que en conjunto funcionan como una aleta. Inicialmente se pide determinar la temperatura de la superficie exterior de los tubos, considerando que las bridas no existen, es decir, suponer que se tiene un tubo completo de 6m de largo. Para determinar la temperatura de la superficie exterior del tubo, es necesario plantear un circuito térmico donde se representen las resistencias presentes en el sistema, obteniendo: Rconv i T
Rcond
Rconv e T
1
T 1
2
T 2
En la parte interior existe una resistencia por convección Rconvi entre el vapor que fluye y la superficie interna del tubo, luego a través del espesor del tubo existe una resistencia a la conducción Rcond y seguidamente encontramos una resistencia a la convección Rconve entre la superficie exterior del tubo y el aire ambiental. Determinando cada una de las resistencias individualmente se tiene:
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En condiciones de estado estable la transferencia de calor total puede considerarse constante en todo el circuito térmico, por lo tanto relacionando una temperatura conocida, en este caso con la temperatura desconocida y la resistencia térmica representativa entre esas dos temperaturas se tiene:
Q
T 2 T 2 Rconv e
T 2 T 2 Q Rconv e 12 C (7673 W )(0.0213 C/W) 174.8
Adicionalmente se pide determinar la eficiencia de las bridas suponiendo que forman una aleta, en este caso de tipo anular de perfil rectangular. La eficiencia puede determinarse gráficamente: 2 2 2.23 r 1 0.05 fin 0.88 2o t h 0.02 25 W/m C L m 0.29 0.05 m 2 kt 2 (52 W/m o C)(0.02 m) r 2
t
0.1
2
0.02
2
. m) 2 ( 0.05 m) 2 ] 2 ( 01 . m)(0.02 m) 0. 0597 m2 Afin 2 (r2 r1 ) 2r2 t 2 [( 01
La razón de transferencia de calor desde la aleta es: Q finned fin Q fin,m ax fin hAfin (T b T )
0.88(25 W/m 2 .C)(0.0597 m 2 )(174.7 12)C 214 W
ANEXOS Condiciones de Frontera:
-Radiación en la Frontera:
-Temperatura Específica:
-Flujo de Calor: -Interfase como frontera:
-Convección en la Frontera:
Gráficas para Cálculo de la Eficiencia de aletas simples:
Ecuaciones y Eficiencias de Formas comunes de Aletas Descripción
Aleta de Perfil Rectangular
Aleta Recta de Perfil Triangular
Aleta Recta de Perfil Parabólico
Aleta Cilíndrica
Esquema
Ecuaciones
Eficiencia
Aleta de Aguja Cónica
Aleta de Aguja Parabólica