Procesos Estocásticos Unidad 3 Actividad 2
MUERTE
17 de septiembre de 2015 Autor: Laura Pontón AL12533168 y Azucena Sepúlveda al12527149
Unidad 3 Actividad 2
ÍNDICE Índice
1
Procesos de Nacimiento y Muerte
2
Descripción de cada una de las variables de este tipo de procesos
3
Principales características probabilísticas de los procesos de nacimiento y muerte a tiempo a tiempo continuo
5 1 0 2 / 9 0 / 7 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
1
3
Ecuación balance
4
Descripción del proceso de nacimiento y muerte
6
Características del proceso de nacimiento y muerte
7
Tres tipos de procesos de cadena (proceso nacimiento - muerte)
7
Ejemplo 1
8
Ejemplo 2
9
Ejemplo 3
10
Conclusión
12
Bibliografía
12
Procesos de nacimiento y muerte
Se define a un proceso de nacimiento y muerte como un proceso Markov a tiempo continuo con espacios de estados discretos, en el que solo se producen transiciones de un estado a sus contiguos, ya sea al anterior o al superior. (Mateos-Aparicio, 1995, pág. 109) Un proceso de nacimiento y muerte básicamente es un sistema donde la tasa de entidades que llegan y la tasa de entidades que salen o dejan el sistema dependen del número de entidades con las tasas de llegada y salida de entidades respectivamente.
Para el proceso de Markov, la función de densidad de los tiempos de llegada de este tipo de procesos es exponencial con media igual a y la función de densidad para los tiempos de salida es exponencial con media igual a .
Descripción de cada una de las variables de este tipo de procesos
Las dos variables principales son:
Considerando también a:
Es la tasa de llegadas promedio a largo plazo
Es el número de servidores o los canales de servicio en paralelo en el sistema de colas.
Donde el significado de estas variables y su interacción con otras, requiere del análisis de las hipótesis del proceso de nacimiento y muerte, que son tres: Hipótesis 1:
Dado la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro
Hipótesis 2:
Dado la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida y terminación del servicio) es exponencial con parámetro
Hipótesis 3:
La variable aleatoria de la hipótesis 1, que indica el tiempo que fala para el próximo nacimiento, y la variable aleatoria de la hipótesis 2, que describe el tiempo que falta hasta la siguiente muerte, son mutuamente independientes, por lo que la transición que sigue es:
Lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña. En un sistema de colas o línea de espera:
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Principales características probabilísticas de los procesos de nacimiento y muerte a tiempo continúo:
Analizando las características de probabilidad de las 3 hipótesis planteadas: Un resultado de las hipótesis 1 y 2: El proceso de nacimiento y muerte, es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo, puesto que la evolución del proceso se observa de manera continua, describiendo la evolución del proceso en puntos aleatorios en el tiempo, los cuales, no necesariamente son enteros. La razón principal por la cual este proceso se maneja de manera continua, es que los datos de entrada y salida, son más manipulables en un sentido analítico, que cualquier otro modelo. Como la relación de la distribución de Poisson, de la distribución exponencial, implica que las medias, como:
son tasas
Las flechas del diagrama muestran las únicas transacciones posibles en el estado del sistema, como lo implica la hipótesis 3, y el elemento junto a cada flecha, es la tasa media de esa transición, como lo señala la hipótesis 1 y 2, que es cuando el estado está en la base de la flecha. En el supuesto caso de que el proceso de nacimiento y muerte, se torne complejo, sería porque el sistema se encuentra en condición transitoria. Para cualquier caso particular para
del sistema:
Para es cuando se inicia el conteo del número de veces que el sistema entra al estado citado, y el número de veces que sale del mismo, entonces:
∴ ⟹ ∴
Por lo que los dos eventos descritos deben de alternarse, de entrada y salida 5 1 0 2 / 9 0 / 7 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
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Dividiendo ambos lados por , |
Al aplicar un límite: tenemos que:
| Para encontrar las tasas medias de entrada y salida del estado
tasa media de entrada al estado n
tasa media de salida del estado n
Ecuación balance: Según el principio de tasa de entrada tasa de salida, las ecuaciones se escriben en función de
las probabilidades desconocidas , formándose un sistema de ecuaciones fácil de resolver, más la ecuación que demuestra que la suma de probabilidades debe de ser igual a 1: para cada estado, excepto el estado 0, que sería: , siempre tendríamos 3 probabilidades, la anterior, la actual y la que sigue, incluyéndose sus respectivas tasas, de entrada y salida. Tal que para el estado 2, los datos son:
Donde la ecuación de probabilidades está dad por:
⟹
Se muestra en la siguiente tabla, las ecuaciones de balance del proceso de nacimiento y muerte: Al despejar las probabilidades de cada estado:
Tal que para: ...
Y como para el estado
las probabilidades de estado estable son:
Si y sólo si:
Tal que todas las probabilidades de los estados suman 1 Sustituyendo
Despejando
en la sumatoria:
Por lo que cuando trabajamos con un modelo de líneas, o sea, un modelo de colas, y este se basa en el principio de nacimiento y muerte, el estado del sistema representa el número de clientes en el sistema de líneas.
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Las medidas clave del desempeño del sistema son:
Número de clientes esperado en el sistema Longitud esperada de la cola, sin clientes en servicio
Tiempo de espera en el sistema para cada cliente Tiempo de espera en la cola, sin el tiempo de servicio, para cada cliente
∴
Donde:
Es la tasa de llegadas promedio a largo plazo
Es el número de servidores o los canales de servicio en paralelo en el sistema de colas.
Entonces:
Es la tasa media de llegadas cuando el sistema se encuentra en el estado
Es la proporción de tiempo que el sistema está en este estado.
En otras palabras , considerando un proceso de nacimiento y muerte a tiempo continuo, tenemos que:
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X(t) es el número de individuos de una población al tiempo t (variable aleatoria). X(t) es un proceso de nacimiento y muerte a tiempo continuo tal que: Es una cadena de Markov de parámetro continuo. En un periodo infinitesimal de tiempo (t, t + h) sólo se puede pasar a los estados vecinos, siendo que, no hay nacimientos y muertes simultáneos ni múltiples, por lo que: Si X(t) = k, entonces para X(t + h) se tiene únicamente: K + 1 se refiere a un nacimiento, K – 1 se refiere a una muerte y K ni muerte ni nacimiento. Los nacimientos y muertes se producen de manera independiente. tasa de nacimientos cuando hay k elementos en la población. tasa de nacimientos cuando hay k elementos en la población. P(X(t) = k) es la probabilidad de estado del sistema.
Tenemos entonces el comportamientos de las transiciones de estados del sistema partiendo de que sólo se puede pasar a estados vecinos. Del diagrama podemos deducir las tasas de transición obteniendo un sistema de ecuaciones de balance como sigue:
Ahora si resolvemos el sistema para cada una de las probabilidades se tiene:
Como sabemos, Pn son probabilidades y entonces se debe cumplir que:
De aquí podemos escribir
por lo que
y entonces:
Esto último son las probabilidades del estado estacionario y desde luego en el caso que el sistema tiene un número finito de individuos, digamos k, entonces la sumatoria se extiende desde n = 0 hasta n = k. Luego definido P0 tenemos que:
Esta es la probabilidad de estado del sistema y dicha probabilidad existe si
.
D e s c r i p c i ón d e l P r o c e s o d e N a c i m i e n t o y M u e r t e
Varios eventos en la vida se asemejan al proceso de hacer fila. Por ejemplo el hacer fila para ser atendidos en un banco. Un cliente arriba y después es atendido y sale del banco. Cuando un proceso estocástico tiene un proceso de arribo similar al proceso de poisson entonces le llamamos “cadena de nacimientos y muerte”. He de notar que un
sinónimo de fila es cadena.
Área de espera
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Los parámetros para el proceso de nacimiento y muerte son:
1. 2.
Describe la taza o rapidez de arribos.
Describe el fin del servicio.
Características del proceso de nacimiento y muerte:
El Estado de Espacio es o : Esto es el número de elementos o clientes en el sistema además del elemento o cliente siendo atendido en el sistema. 2. 3. 4.
a. La muestra se toma de una población infinita El Estado de Tiempo es . Puede ser estudiado en cualquier instante en el intervalo de tiempo. El proceso estocástico es: Parámetro de nacimiento: a. b. Si entonces nos dice que el sistema no tiene habilidad de crecer. Este es el inicio. c. Los incrementos tienen un proceso transitorio que van incrementando la población de uno a uno d. es un proceso puro de nacimiento Parámetro de muerte: a. b. Si entonces el límite de la serie llego a 0 porque la población murió de sobre población. c. Los decrecimientos tienen un proceso transitorio que van decreciendo la población de uno a uno. d. es un proceso puro de nacimiento
5.
⟹
⟹
Tres tipos de procesos de cadena (proceso nacimiento-muerte)
1. M|M|1:
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Sistema de filas donde el que llega primero se le atiende primero en un solo juego. Este proceso ocurre por ejemplo al hacer fila para subirse a un vuelo de un avión. Se considera la cantidad de asientos que tiene el avión, sólo el tiempo que les tomó a los clientes el abordar el vuelo.
2. M|M|C o M|M|
Sistema de filas donde el que llega primero se le atiende primero tomando en cuenta no solo uno sino varios sistemas a la vez. Este proceso ocurre por ejemplo al ingresar al banco y tomar la unifila sin importar a que servicio del banco se asiste, ya sea cobro de cheques, apertura de cuentas, etc.
También es utilizado en el control para optimizar sistemas, como los sistemas de piloto automático en aeronaves, naves espaciales, robots, controladores de vuelo. Estos modelos contienen incertidumbre entre la interacción del sistema con el entorno o medio ambiente. 3. M|M|1|K Sistema de filas donde el que llega primero se le atiende primero en un solo sistema pero con un circuito de tamaño k. Se utiliza cuando la población tiene una capacidad límite. Como en el caso de un concierto se toma el límite de capacidad de visitantes que hay en un auditorio o estadio, y éstos sólo venden una cantidad de boletos al día no dejando entrar a más personas así que el tamaño del circuito es la capacidad de visitantes que estadio o auditorio pueden tener por evento. Dos situaciones de colas, pueden ser el modelo de nacimiento puro en el cual sólo ocurren llegadas, y el modelo de muerte pura en el cual sólo ocurren salidas. Un ejemplo del modelo de nacimiento puro es la creación de actas de nacimiento de bebés recién nacidos. El modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiro aleatorio de un artículo en existencia en una tienda. (Taha, 2012, pág. 600) Ejemplo 1
En una ciudad grande nacen bebés a razón de uno cada 12 minutos. El tiempo entre nacimientos sigue una distribución exponencial. Determine lo siguiente: (a) La cantidad promedio de nacimientos por año. (b) La probabilidad de que no ocurran nacimientos durante 1 día. (c) La probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas dado que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas del periodo de 3 horas. Procedimiento:
(a) Tasa de natalidad por día:
La cantidad de nacimientos por año en el estado es:
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(b)
Calculando la probabilidad de que no haya nacimientos en un día es:
Porque la probabilidad es observar que si no hay ningún nacimiento en cualquier día equivale a decir que el tiempo entre nacimientos sucesivos es de más de un día. Por lo tanto podemos utilizar la distribución exponencial para calcular la probabilidad deseada. (c) Ya que la distribución de la cantidad de nacimientos es Poisson, entonces, la probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento en 3 horas, siendo que se emitieron 40 actas durante las primeras 2 horas, equivale a tener 10= (50 40) nacimientos en una hora 1= (3 – 2):
Ejemplo 2:
La tienda de Mom-and-Pop´stienen un estacionamiento pequeño adyacente con tres espacios reservados para los clientes. Si la tienda esta abierta los autos llegan y usan un espacio con una tasa media de 2 por horas. Para n = 0, 1, 2, 3, la probabilidad de que haya justo n espacios ocupados es , , ,
a) Describa la interpretación de este estacionamiento como un sistema de colas. En particular, identifique los clientes y los servidores. ¿Cuál es el servicio proporcionado? ¿Qué constituye el tiempo de servicio? ¿Cuál es la capacidad de la cola? Procedimiento
Una playa de estacionamiento o parking lot, es un sistema de colas para proporcionar estacionamiento a los coches como a los clientes, y plazas de aparcamiento de los servidores. El tiempo de servicio es la cantidad de tiempo que un vehículo pasa en un espacio. La capacidad de la cola es de 0. Este es un sistema en el que el cliente es el vehículo, y los cajones donde se estacionan los autos, son los servidores. (Hillier & Lieberman, 2010, pág. 714) 5 1 0 2 / 9 0 / 7 1 | s o c i t s á c o t s E s o s e c o r P
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b) Determine las medias del desempeño básicas,
para este sistema de colas.
c) Use los resultados de b) para determinar el tiempo promedio que un auto permanece en el espacio. Un coche gasta un promedio de 0.95 horas, o 57 minutos en un cajón de estacionamiento. Ejemplo 3:
Considere el proceso de nacimiento y muerte con todas las
a) Construye el diagrama de tasas
a) Calcule Procedimiento
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Por sustitución
b) Calcule
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:
Conclusión
Los procesos de nacimiento y muerte los podemos definir como procesos donde existen llegadas o salidas y cada una de estas es el posible estado en el que se encuentra el proceso, de tal manera que los estados de estas dos categorías tienen tasas propias y hemos podido analizar la distribución y características de probabilidad en estos procesos. Este tipo de procesos revisten mucha importancia en la llamada teoría de colas y sus diversas variantes como sistemas de filas, sin embargo, es posible también encontrar este tipo de procesos en la economía y en ambiente bursátil, así como en aquellas disciplinas como las ciencias naturales, la biología o en áreas como el desarrollo de la tecnología, la informática y la electrónica. Siendo entonces que el proceso de nacimiento y muerte es un modelo matemático con vastas aplicaciones en muy diversos campos donde se utilicen procesos aleatorios y probabilidades de entes que salen o entran al sistema y con sus respectivas tasas o promedios. Por lo cual en el presente hemos intentado proveer la información básica, como lo puede ser una definición formal y una descripción a grandes rasgos sobre este tipo de procesos así como sus características probabilísticas y algunos ejemplos en donde se puede aplicar dicho modelo matemático. Bibliografía
Dmae. (19 Septiembre 2015). dmae.upct.es. Obtenido de http://www.dmae.upct.es/~mcruiz/Telem06/Teoria/apuntes_procesos.pdf: http://www.dmae.upct.es/~mcruiz/Telem06/Teoria/apuntes_procesos.pdf García J. C.. (s.f.). Procesos de nacimiento y muerte. 18 Septiembre 2015, de Universidad Nacional de Colombia Sitio web: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4040147/clases/capitulo_2/2_7.htm Gómez, A. (s.f.). Proceso de nacimiento y muerte. 19 Septiembre 2015, de Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Sitio web: http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_inv-Oper_carpeta/Clase9_II.pdf Hillier, F., & Lieberman, G. (2010). Introducción a la investigación de operaciones. México: Mc Graw Hill. A. Carreras. (2009). Procesos de nacimiento y muerte. 19 Septiembre 2015, de University of Georgia Sitio web: http://www.slideshare.net/tito.carrreras/proceso-de-nacimiento-y-muerte Jiménez, R. y Romera, R. (2008). Cadenas de Markov a tiempo continuo. 19 Septiembre 2015, de OCW Sitio web: http://ocw.uc3m.es/estadistica/procesos-estocasticos-con-aplicaciones-al-ambitoempresarial/presentaciones/5CMcontinuas.pdf Kendall, D. G. (s.f.). Annals of Mathematical Statistics. Obtenido de On the Generalized "Birth and Death" Process: http://math.stackexchange.com/questions/336509/stochastic-process-examples. Mateos-Aparicio, G. (1995). Métodos estadísticos para actuarios. Madrid: Editorial Complutense. Salinas, L. (19 Septiembre 2015). ipn.mx. Obtenido de www.repositoriodigital.ipn.mx: http://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/6024/SALINAS%20SANTAMAR%C3% 8DA%20LUISEL%20Tesis%202009.pdf?sequence=1 Taha, H. (2012). Investigación de operaciones. México: Pearson. Wikipedia. (2013). The Free Encyclopedia. : http://en.wikipedia.org/wiki/. Birth-Death Process
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